Sugalvokite du tikėtinus atsitiktinius ir neįmanomus įvykius. Sugalvokite du patikimus, atsitiktinius ir neįmanomus įvykius. Naujos medžiagos mokymasis
Pamokos tema: „Atsitiktiniai, patikimi ir neįmanomi įvykiai“
Pamokos vieta mokymo programoje: „Kombinatorika. Atsitiktiniai įvykiai“ pamoka 5/8
Pamokos tipas: Naujų žinių formavimo pamoka
Pamokos tikslai:
Švietimas:
o pateikti atsitiktinio, tam tikro ir neįmanomo įvykio apibrėžimą;
o išmokyti realios situacijos procese apibrėžti tikimybių teorijos terminus: patikimi, neįmanomi, lygiaverčiai įvykiai;
Kuriama:
o skatinti loginio mąstymo ugdymą,
o pažintinis mokinių susidomėjimas,
o gebėjimas lyginti ir analizuoti,
Švietimas:
o domėjimosi matematikos studijomis skatinimas,
o mokinių pasaulėžiūros ugdymas.
o intelektinių įgūdžių ir protinių operacijų turėjimas;
Mokymo metodai: aiškinamasis-iliustracinis, reprodukcinis, matematinis diktantas.
UMC: Matematika: vadovėlis 6 langeliams. pagal redakciją ir kt., leidykla „Apšvietos“, 2008, Matematika, 5-6: knyga. mokytojui / [, [ , ]. - M.: Švietimas, 2006 m.
Didaktinė medžiaga: lentos plakatai.
Literatūra:
1. Matematika: vadovėlis. 6 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos/ ir kt.]; red. , ; Ros. akad. Mokslai, Ros. akad. švietimas, leidykla „Švietimas“. – 10-asis leidimas. - M.: Švietimas, 2008.-302 p.: iliustr. - (Akademinis mokyklinis vadovėlis).
2. Matematika, 5-b: knyga. mokytojui / [, ]. - M. : Švietimas, 2006. - 191 p. : nesveikas.
4. Statistikos, kombinatorikos ir tikimybių teorijos uždavinių sprendimas. 7-9 klasės. / aut.- komp. . Red. 2-oji, red. - Volgogradas: Mokytojas, 2006. -428 p.
5. Matematikos pamokos naudojant informacines technologijas. 5-10 klasių. Metodinis - vadovas su elektronine programa / ir kt.. 2 leid., stereotipas. - M.: Leidykla Globus, 2010. - 266 p. (Šiuolaikinė mokykla).
6. Matematikos mokymas šiuolaikinėje mokykloje. Gairės. Vladivostokas: PIPPCRO leidykla, 2003 m.
PAMOKOS PLANAS
I. Organizacinis momentas.
II. žodinis darbas.
III. Naujos medžiagos mokymasis.
IV. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas.
V. Pamokos rezultatai.
V. Namų darbai.
UŽSIĖMIMŲ METU
1. Organizavimo momentas
2. Žinių atnaujinimas
15*(-100) |
Darbas žodžiu:
3. Naujos medžiagos paaiškinimas
Mokytojas: Mūsų gyvenimas daugiausia susideda iš nelaimingų atsitikimų. Yra toks mokslas „Tikimybių teorija“. Naudojant jos kalbą galima apibūdinti daugybę reiškinių ir situacijų.
Tokie senovės vadai kaip Aleksandras Didysis ar Dmitrijus Donskojus, besiruošdami mūšiui, pasikliovė ne tik karių narsumu ir įgūdžiais, bet ir atsitiktinumu.
Daugelis žmonių mėgsta matematiką amžinos tiesos du kartus du visada yra keturi, lyginių skaičių suma yra lyginė, stačiakampio plotas yra gretimų kraštinių sandauga ir t.t. Išspręsdami bet kokius uždavinius visi gauna tą patį atsakymą – tik nereikia daryti klaidų sprendime.
Tikrasis gyvenimas nėra toks paprastas ir nedviprasmiškas. Daugelio įvykių pasekmių negalima numatyti iš anksto. Pavyzdžiui, neįmanoma tiksliai pasakyti, į kurią pusę nukris mesta moneta, kada kitais metais iškris pirmasis sniegas ar kiek mieste norės paskambinti per artimiausią valandą. Tokie nenuspėjami įvykiai vadinami atsitiktinis .
Tačiau byla turi ir savų dėsnių, kurie ima reikštis pasikartojant atsitiktiniams reiškiniams. Jeigu monetą išmesite 1000 kartų, tai „erelis“ iškris maždaug pusę laiko, ko negalima pasakyti apie du ar net dešimt metimų. „Apytiksliai“ nereiškia pusės. Tai, kaip taisyklė, gali būti arba nebūti. Įstatymas paprastai nieko tiksliai nenurodo, bet suteikia tam tikrą tikrumo laipsnį, kad įvyks koks nors atsitiktinis įvykis.
Tokius dėsningumus tiria speciali matematikos šaka - Tikimybių teorija . Su juo galite drąsiau (bet vis tiek ne tikrai) numatyti tiek pirmojo sniego datą, tiek skambučių skaičių.
Tikimybių teorija yra neatsiejamai susijusi su mūsų kasdienybė. Tai suteikia mums puikią galimybę nustatyti daugybę tikimybių dėsnių empiriškai daug kartų kartojant atsitiktinius eksperimentus. Šių eksperimentų medžiaga dažniausiai bus paprasta moneta, kauliukas, domino kauliukų rinkinys, nardai, ruletė ar net kortų kaladė. Kiekvienas iš šių daiktų vienaip ar kitaip yra susijęs su žaidimais. Faktas yra tas, kad atvejis čia pasirodo dažniausiai. O pirmosios tikimybinės užduotys buvo susijusios su žaidėjų galimybių laimėti įvertinimu.
Šiuolaikinė tikimybių teorija nutolo nuo azartinių lošimų, tačiau jų rekvizitai vis dar yra paprasčiausias ir patikimiausias atsitiktinumo šaltinis. Praktikuodami su ruletės ratu ir kauliuku išmoksite apskaičiuoti atsitiktinių įvykių tikimybę realiose gyvenimo situacijose, o tai leis įvertinti savo sėkmės galimybes, pasitikrinti hipotezes, priimti optimalius sprendimus ne tik žaidimuose ir loterijose. .
Spręsdami tikimybinius uždavinius, būkite labai atsargūs, stenkitės pagrįsti kiekvieną žingsnį, nes jokioje kitoje matematikos srityje nėra tiek paradoksų. Kaip tikimybių teorija. Ir, ko gero, pagrindinis to paaiškinimas yra jo ryšys su realiu pasauliu, kuriame gyvename.
Daugelyje žaidimų naudojamas kauliukas, kurio kiekvienoje pusėje yra skirtingas taškų skaičius nuo 1 iki 6. Žaidėjas meta kauliuką, žiūri, kiek taškų krito (toje pusėje, kuri yra viršuje) ir padaro. atitinkamas judesių skaičius: 1,2,3 ,4,5 arba 6. Kauliuko metimas gali būti laikomas patirtimi, eksperimentu, išbandymu, o gautas rezultatas – įvykiu. Žmonėms dažniausiai labai įdomu atspėti įvykio pradžią, nuspėti jo baigtį. Kokias prognozes jie gali daryti metę kauliuką?
Pirmoji prognozė: iškris vienas iš skaičių 1,2,3,4,5 arba 6. Kaip manote, ateis numatytas įvykis ar ne? Žinoma, tikrai ateis.
Įvykis, kuris būtinai įvyks tam tikroje patirtyje, vadinamas patikimas renginys.
Antroji prognozė : iškris skaičius 7. Kaip manote, ateis numatytas įvykis ar ne? Žinoma, kad nebus, tai tiesiog neįmanoma.
Įvykis, kuris negali įvykti duotame eksperimente, vadinamas neįmanomas renginys.
Trečioji prognozė : iškris skaičius 1. Kaip manote, ateis numatytas įvykis ar ne? Negalime visiškai tiksliai atsakyti į šį klausimą, nes numatomas įvykis gali įvykti arba neįvykti.
Įvykiai, kurie gali įvykti arba neįvykti tokiomis pačiomis sąlygomis, vadinami atsitiktinis.
Pavyzdys. Dėžutėje yra 5 šokoladiniai saldainiai mėlyname ir vienas baltas. Nežiūrėdami į dėžutę jie atsitiktinai išima vieną saldainį. Ar galima iš anksto pasakyti, kokios spalvos jis bus?
Užduotis : apibūdinkite įvykius, kurie aptariami toliau pateiktose užduotyse. Kaip tikra, neįmanoma ar atsitiktinė.
1. Išmeskite monetą. Atsirado herbas. (atsitiktinis)
2. Medžiotojas šovė į vilką ir pataikė. (atsitiktinis)
3. Kiekvieną vakarą moksleivis eina pasivaikščioti. Pasivaikščiojimo metu pirmadienį jis sutiko tris pažįstamus. (atsitiktinis)
4. Mintyse atlikime tokį eksperimentą: apverskime stiklinę vandens aukštyn kojomis. Jei šis eksperimentas bus atliktas ne erdvėje, o namuose ar klasėje, vanduo išsilies. (autentiškas)
5. Trys šūviai į taikinį. Buvo penki smūgiai“. (neįmanomas)
6. Mesti akmenį aukštyn. Akmuo lieka pakibęs ore. (neįmanomas)
Pavyzdys Petya pastojo natūralusis skaičius. Renginys yra toks:
a) sumanytas lyginis skaičius; (atsitiktinis)
b) sumanytas nelyginis skaičius; (atsitiktinis)
c) sumanytas skaičius, kuris nėra nei lyginis, nei nelyginis; (neįmanomas)
d) sumanytas lyginis arba nelyginis skaičius. (autentiškas)
Įvykiai, kurie tam tikromis sąlygomis turi vienodas galimybes, vadinami lygiavertis.
Vadinami atsitiktiniai įvykiai, kurių tikimybė yra lygi vienodai įmanoma arba lygiavertis .
Padėkite plakatą ant lentos.
Per egzaminą žodžiu studentas paima vieną iš priešais jį padėtų bilietų. Šansai laikyti bet kurį iš egzamino bilietų yra vienodi. Lygiai taip pat tikėtinas bet kokio taškų skaičiaus praradimas nuo 1 iki 6 metant kauliuką, taip pat galvos ar uodegos metant monetą.
Tačiau ne visi įvykiai yra vienodai įmanoma. Žadintuvas gali neskambėti, perdega lemputė, sugenda autobusas, bet normaliomis sąlygomis tokie įvykiai mažai tikėtina. Labiau tikėtina, kad suskambės žadintuvas, užsidegs šviesa, autobusas važiuos.
Kai kurie įvykiai šansų atsiranda daugiau, o tai reiškia, kad jie yra labiau tikėtini – arčiau patikimų. O kiti turi mažiau šansų, jie mažiau tikėtini – arčiau neįmanomo.
Neįmanomi įvykiai neturi jokios galimybės įvykti, o tam tikri įvykiai turi visas galimybes įvykti, tam tikromis sąlygomis jie tikrai įvyks.
Pavyzdys Petya ir Kolya lygina savo gimtadienius. Renginys yra toks:
a) nesutampa jų gimtadieniai; (atsitiktinis)
b) jų gimtadieniai yra vienodi; (atsitiktinis)
d) abu gimtadieniai patenka į šventes - Naujieji metai(sausio 1 d.) ir Rusijos nepriklausomybės dieną (birželio 12 d.). (atsitiktinis)
3. Įgūdžių ir gebėjimų formavimas
Užduotis iš vadovėlio Nr. 000. Kurie iš šių atsitiktinių įvykių yra patikimi, galimi:
a) vėžlys išmoks kalbėti;
b) vanduo virdulyje ant viryklės užverda;
d) laimite dalyvaudami loterijoje;
e) nelaimėsite dalyvaudami loterijoje, kurioje laimi;
f) pralaimėsite šachmatų partiją;
g) rytoj sutiksite užsienietį;
h) kitą savaitę orai pablogės; i) paspaudei varpelį, bet jis neskambėjo; j) šiandien – ketvirtadienis;
k) po ketvirtadienio bus penktadienis; m) ar bus ketvirtadienis po penktadienio?
Dėžutėse yra 2 raudoni, 1 geltonas ir 4 žali rutuliukai. Iš dėžutės atsitiktinai ištraukiami trys rutuliai. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, atsitiktiniai, tikri:
A: bus ištraukti trys žali rutuliai;
B: bus ištraukti trys raudoni rutuliai;
C: bus nupiešti dviejų spalvų kamuoliukai;
D: bus nupiešti tos pačios spalvos kamuoliukai;
E: tarp nupieštų kamuoliukų yra mėlynas;
F: tarp nupieštų yra trijų spalvų kamuoliukai;
G: Ar tarp ištrauktų kamuoliukų yra du geltoni kamuoliukai?
Išbandyk save. (matematikos diktantas)
1) Nurodykite, kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie yra tikri, kurie atsitiktiniai:
Futbolo rungtynės „Spartak“ – „Dinamo“ baigsis lygiosiomis (atsitiktinis)
Jūs laimėsite dalyvaudami laimėjimo loterijoje ( autentiškas)
Vidurnaktį pasnigs, o po paros švies saulė (neįmanomas)
· Rytoj bus matematikos testas. (atsitiktinis)
· Būsite išrinktas JAV prezidentu. (neįmanomas)
· Būsite išrinktas Rusijos prezidentu. (atsitiktinis)
2) Parduotuvėje įsigijote televizorių, kuriam gamintojas suteikia dvejų metų garantiją. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie atsitiktiniai, kurie yra tikri:
· Televizorius nesuges per metus. (atsitiktinis)
Televizorius nesuges per dvejus metus . (atsitiktinis)
· Per dvejus metus nereikės mokėti už televizoriaus remontą. (autentiškas)
Televizorius suges trečiais metais. (atsitiktinis)
3) Autobusas, vežantis 15 keleivių, turi 10 stotelių. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie atsitiktiniai, kurie yra tikri:
· Visi keleiviai iš autobuso išlips skirtingose stotelėse. (neįmanomas)
Visi keleiviai išlips toje pačioje stotelėje. (atsitiktinis)
Kiekvienoje stotelėje bent kas nors išlips. (atsitiktinis)
Bus stotelė, kurioje niekas neišlips. (atsitiktinis)
Visose stotelėse išlips lyginis keleivių skaičius. (neįmanomas)
Visose stotelėse išlips nelyginis keleivių skaičius. (neįmanomas)
Pamokos santrauka
Klausimai studentams:
Kokie įvykiai vadinami atsitiktiniais?
Kokie įvykiai vadinami lygiaverčiais?
Kokie įvykiai laikomi patikimais? neįmanomas?
Kurie įvykiai laikomi labiau tikėtinais? mažiau tikėtina?
Namų darbai : 9.3 punktas
Nr. 000. Pagalvokite apie tris tam tikrų neįmanomų įvykių pavyzdžius, taip pat įvykius, kurių nebūtinai įvyksta.
902. Dėžutėje yra 10 raudonų, 1 žalias ir 2 mėlynos spalvos rašikliai. Iš dėžutės atsitiktinai išimami du rašikliai. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, aišku:
A: Bus išimtos dvi raudonos rankenos; B: bus ištrauktos dvi žalios rankenos; C: bus ištrauktos dvi mėlynos rankenos; D: bus išimtos dvi skirtingų spalvų rankenos;
E: Ar bus išimami du pieštukai? 03. Egoras ir Danila susitarė: jei patefono rodyklė (205 pav.) sustos ant balto lauko, tai Egoras nudažys tvorą, o jei ant mėlyno – Danila. Kuris berniukas dažniau dažys tvorą?
Pamokos tikslas:
- Supažindinkite su tam tikrų, neįmanomų ir atsitiktinių įvykių samprata.
- Suformuoti žinias ir įgūdžius, leidžiančius nustatyti įvykių tipą.
- Ugdykite: skaičiavimo įgūdžius; Dėmesio; gebėjimas analizuoti, samprotauti, daryti išvadas; grupinio darbo įgūdžiai.
Per užsiėmimus
1) Organizacinis momentas.
Interaktyvi mankšta: vaikai turi spręsti pavyzdžius ir iššifruoti žodžius, pagal rezultatus suskirstomi į grupes (patikimas, neįmanomas ir atsitiktinis) ir nustato pamokos temą.
1 kortelė.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kortele
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kortele
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Studijuojamų žinių aktualizavimas.
Žaidimas „Ploja“: lyginis skaičius – ploji, nelyginis – atsistokite.
Užduotis: iš pateiktos skaičių serijos 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... nustatykite lyginį ir nelyginį.
3) Naujos temos mokymasis.
Jūs turite kubelius ant stalų. Pažvelkime į juos atidžiau. Ką tu matai?
Kur naudojami kauliukai? Kaip?
Grupinis darbas.
Eksperimento vykdymas.
Kokias prognozes galima daryti metant kauliuką?
Pirmoji prognozė: iškris vienas iš skaičių 1,2,3,4,5 arba 6.
Įvykis, kuris būtinai įvyks tam tikroje patirtyje, vadinamas patikimas.
Antroji prognozė: pasirodys skaičius 7.
Ar manote, kad numatytas įvykis įvyks, ar ne?
Tai neįmanoma!
Įvykis, kuris negali įvykti duotame eksperimente, vadinamas neįmanomas.
Trečia prognozė: pasirodys skaičius 1.
Ar įvyks šis įvykis?
Įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti tam tikroje patirtyje, vadinamas atsitiktinis.
4) Studijuotos medžiagos konsolidavimas.
I. Nustatykite įvykio tipą
-Rytoj snigs raudonai.
Rytoj stipriai pasnigs.
Rytoj, nors ir liepa, pasnigs.
Rytoj, nors ir liepa, sniego nebus.
Rytoj snigs ir pūs pūga.
II. Pridėkite žodį prie šio sakinio taip, kad įvykis taptų neįmanomas.
Kolya istorijoje gavo A.
Sasha teste neatliko nė vienos užduoties.
Naują temą paaiškins Oksana Michailovna (istorijos mokytoja).
III. Pateikite neįmanomų, atsitiktinių ir tam tikrų įvykių pavyzdžių.
IV. Darbas pagal vadovėlį (grupėse).
Toliau pateiktose užduotyse aptartus įvykius apibūdinkite kaip tikrus, neįmanomus ar atsitiktinius.
Nr. 959. Petja sumanė natūralųjį skaičių. Renginys yra toks:
a) sumanytas lyginis skaičius;
b) sumanytas nelyginis skaičius;
c) sumanytas skaičius, kuris nėra nei lyginis, nei nelyginis;
d) sumanytas lyginis arba nelyginis skaičius.
Nr. 960. Jūs atidarėte šį vadovėlį į bet kurį puslapį ir pasirinkote pirmą pasitaikiusį daiktavardį. Renginys yra toks:
a) pasirinkto žodžio rašyboje yra balsis;
b) pasirinkto žodžio rašyboje yra raidė „o“;
c) pasirinkto žodžio rašyboje nėra balsių;
d) pasirinkto žodžio rašyboje yra minkštasis ženklas.
Išspręskite #961, #964.
Išspręstų užduočių aptarimas.
5) Refleksija.
1. Su kokiais įvykiais susidūrėte pamokoje?
2. Nurodykite, kuris iš šių įvykių yra tikras, kuris neįmanomas, o kuris atsitiktinis:
a) nebus vasaros atostogų;
b) sumuštinis kris sviestine puse žemyn;
c) kada nors baigsis mokslo metai.
6) Namų darbai:
Sugalvokite du patikimus, atsitiktinius ir neįmanomus įvykius.
Nupieškite vieną iš jų.
Tikimybių teorija, kaip ir bet kuri matematikos šaka, veikia su tam tikromis sąvokomis. Dauguma tikimybių teorijos sąvokų yra apibrėžtos, tačiau kai kurios laikomos pirminėmis, neapibrėžtomis, kaip geometrijoje taškas, tiesė, plokštuma. Pirminė tikimybių teorijos samprata yra įvykis. Įvykis yra kažkas, apie kurį po tam tikro laiko galima pasakyti vieną ir tik vieną iš dviejų:
- · Taip, tai atsitiko.
- · Ne, tai neįvyko.
Pavyzdžiui, aš turiu loterijos bilietą. Paskelbus loterijos burtų rezultatus mane dominantis įvykis - laimėti tūkstantį rublių arba įvyksta, arba neįvyksta. Bet koks įvykis įvyksta kaip bandymo (arba patirties) rezultatas. Atlikdami testą (arba patirtį) supraskite sąlygas, dėl kurių įvyksta įvykis. Pavyzdžiui, monetos metimas yra išbandymas, o „herbo“ atsiradimas ant jos – įvykis. Įvykis dažniausiai žymimas didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: A, B, C, .... Įvykius materialiame pasaulyje galima suskirstyti į tris kategorijas – tam tikrus, neįmanomus ir atsitiktinius.
Tam tikras įvykis yra toks, apie kurį iš anksto žinoma. Žymima raide W. Taigi, metant įprastą kauliuką patikimi ne daugiau kaip šeši taškai, balto rutulio išvaizda traukiant iš urnos, kurioje yra tik balti rutuliukai ir pan.
Neįmanomas įvykis – tai įvykis, apie kurį iš anksto žinoma, kad jis neįvyks. Jis žymimas raide E. Neįmanomų įvykių pavyzdžiai yra daugiau nei keturių tūzų traukimas iš įprastos kortų kaladės, raudono rutulio atsiradimas iš urnos, kurioje yra tik balti ir juodi rutuliai ir kt.
Atsitiktinis įvykis yra įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl testo. Įvykiai A ir B vadinami nesuderinamais, jei vieno iš jų įvykis atmeta galimybę įvykti kitam. Taigi bet kokio galimo taškų skaičiaus atsiradimas metant kauliuką (įvykis A) yra nesuderinamas su kito skaičiaus atsiradimu (įvykis B). Lyginio taškų skaičiaus metimas nesuderinamas su nelyginiu skaičiumi. Ir atvirkščiai, lyginis taškų skaičius (įvykis A) ir taškų skaičius, dalijantis iš trijų (įvykis B), nebus nesuderinami, nes šešių taškų praradimas reiškia ir įvykių A, ir B įvykių įvykimą, taigi vieno iš jų neatmeta kito atsiradimo. Operacijos gali būti atliekamos renginiuose. Dviejų įvykių sąjunga C=AUB yra įvykis C, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš šių įvykių A ir B. Dviejų įvykių sankirta D=A?? B yra įvykis, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta abu įvykiai A ir B.
Mūsų stebimus įvykius (reiškinius) galima suskirstyti į tris tipus: patikimus, neįmanomus ir atsitiktinius.
patikimas iškvieskite įvykį, kuris neabejotinai įvyks, jei bus įgyvendintas tam tikras sąlygų rinkinys S. Pavyzdžiui, jei inde yra normalaus atmosferos slėgio ir 20 ° temperatūros vandens, tai įvykis „vanduo inde yra skystos būsenos. “ yra tikras. Šiame pavyzdyje nurodytas atmosferos slėgis ir vandens temperatūra sudaro sąlygų S rinkinį.
Neįmanomas iškviesti įvykį, kuris tikrai neįvyks, jei bus įgyvendinta sąlygų aibė S. Pavyzdžiui, įvykis „vanduo inde yra kietos būsenos“ tikrai neįvyks, jei bus įgyvendinta ankstesnio pavyzdžio sąlygų rinkinys.
AtsitiktinisĮvykiu vadinamas įvykis, kuris, įgyvendinus S sąlygų rinkinį, gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, išmetus monetą, ji gali nukristi taip, kad viršuje būtų arba herbas, arba užrašas. Todėl įvykis „metant monetą iškrito „herbas“ – atsitiktinis. Kiekvienas atsitiktinis įvykis, ypač „herbo kritimas“, yra daugelio atsitiktinių priežasčių (mūsų pavyzdyje: monetos metimo jėgos, monetos formos ir daugelio kitų) rezultatas. ). Neįmanoma atsižvelgti į visų šių priežasčių įtaką rezultatui, nes jų skaičius yra labai didelis ir jų veikimo dėsniai nežinomi. Todėl tikimybių teorija nekelia sau užduoties numatyti, ar koks nors įvykis įvyks, ar ne – ji tiesiog negali to padaryti.
Situacija yra kitokia, jei atsižvelgsime į atsitiktinius įvykius, kurie gali būti pakartotinai stebimi tomis pačiomis sąlygomis S, t.y., jei kalbame apie masinius vienalyčius atsitiktinius įvykius. Pasirodo, pakankamai daug vienarūšių atsitiktinių įvykių, nepaisant jų specifinės prigimties, paklūsta tam tikriems dėsniams, būtent tikimybiniams dėsniams. Šių dėsningumų nustatymą nagrinėja tikimybių teorija.
Taigi tikimybių teorijos dalykas yra masinių vienarūšių atsitiktinių įvykių tikimybinių dėsningumų tyrimas.
Tikimybių teorijos metodai plačiai taikomi įvairiose gamtos mokslų ir technikos šakose. Tikimybių teorija taip pat pasitarnauja matematinei ir taikomajai statistikai pagrįsti.
Atsitiktinių įvykių rūšys. Renginiai vadinami nesuderinamas jeigu įvykus vienam iš jų negalima įvykti kitų įvykių tame pačiame teisme.
Pavyzdys. Metama moneta. „Gerbo“ išvaizda neįtraukia užrašo išvaizdos. Įvykiai „atsirado herbas“ ir „pasirodė užrašas“ yra nesuderinami.
Susidaro keli renginiai pilna grupė, jei atlikus testą atsiranda bent vienas iš jų. Visų pirma, jei įvykiai, sudarantys visą grupę, yra nesuderinami poromis, testo rezultatas bus vienas ir tik vienas iš šių įvykių. Šis konkretus atvejis mus labiausiai domina, nes jis bus naudojamas toliau.
2 pavyzdys Nupirkti du grynųjų pinigų ir drabužių loterijos bilietai. Neabejotinai įvyks vienas ir tik vienas iš šių įvykių: „laimėjimas pateko į pirmąjį bilietą, o nepateko į antrą“, „laimėjimas nepateko į pirmąjį bilietą, o į antrąjį“, „laimėjimas sumažėjo ant abiejų bilietų“, „laimėjimas nelaimėtas ant abiejų bilietų“. iškrito“. Šie įvykiai sudaro visą poromis nesuderinamų įvykių grupę.
3 pavyzdys. Šaulys šovė į taikinį. Neabejotinai įvyks vienas iš šių dviejų įvykių: pataikyti, praleisti. Šie du nesusiję įvykiai sudaro visą grupę.
Renginiai vadinami vienodai įmanoma jei yra pagrindo manyti, kad nė vienas nėra labiau įmanomas už kitą.
4 pavyzdys. „Gerbo“ ir užrašo atsiradimas metant monetą yra vienodai galimi įvykiai. Iš tiesų, daroma prielaida, kad moneta pagaminta iš vienalytės medžiagos, taisyklingos cilindro formos, o monetos buvimas neturi įtakos vienos ar kitos monetos pusės praradimui.
Savęs žymėjimas lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Priešingybės yra 2 vieninteliai galimi taip-aš, sudarantys ištisą grupę. Jei vienas iš dviejų priešingų įvykiai žymimi A, tada kiti pavadinimai yra A`.
5 pavyzdys. Pataikyti ir nepataikyti šaudant į taikinį – priešinga lytis. savo.
1.1. Šiek tiek informacijos iš kombinatorikos
1.1.1. Apgyvendinimas
Apsvarstykite paprasčiausias sąvokas, susijusias su tam tikro objektų rinkinio pasirinkimu ir vieta.
Sprendžiant tikimybines problemas, dažnai skaičiuojama, kiek šių veiksmų galima atlikti.
Apibrėžimas. Nakvynė nuo n elementai pagal k (k ≤n) yra bet koks sutvarkytas poaibis k rinkinio, susidedančio iš nįvairių elementų.
Pavyzdys.Šios skaičių sekos yra 2 elementų išdėstymai iš 3 aibės elementų (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Atminkite, kad paskirties vietos skiriasi savo sudedamųjų elementų tvarka ir sudėtimi. 12 ir 21 vietose yra tie patys skaičiai, tačiau jų tvarka skiriasi. Todėl šios paskirties vietos laikomos skirtingomis.
Įvairių vietų skaičius nuo n elementai pagal kžymimas ir apskaičiuojamas pagal formulę:
,
kur n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(skaityti " n faktorinis).
Skaičius dviženklius skaičius, kurį galima sudaryti iš skaičių 1, 2, 3, jei nesikartoja nė vienas skaitmuo, lygus: .
1.1.2. Permutacijos
Apibrėžimas. Permutacijos iš n elementai vadinami tokiomis patalpomis iš n elementai, kurie skiriasi tik elementų išdėstymu.
Permutacijų skaičius iš n elementai P n apskaičiuojamas pagal formulę: P n=n!
Pavyzdys. Keliais būdais gali išsirikiuoti 5 žmonės? Būdų skaičius lygus 5 elementų permutacijų skaičiui, t.y.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Apibrėžimas. Jei tarp n elementai k identiški, tada šių permutacija n elementai vadinami permutacija su pasikartojimais.
Pavyzdys. Tarkime, kad iš 6 knygų 2 yra vienodos. Bet koks visų knygų išdėstymas lentynoje yra permutacija su pasikartojimais.
Įvairių permutacijų su pasikartojimais skaičius (iš n elementų, tarp kurių k identiškas) apskaičiuojamas pagal formulę: .
Mūsų pavyzdyje knygų išdėstymo lentynoje skaičius yra toks: .
1.1.3. Deriniai
Apibrėžimas. Deriniai iš n elementai pagal k tokios vietos vadinamos n elementai pagal k, kurios skiriasi viena nuo kitos bent vienu elementu.
Įvairių derinių skaičius n elementai pagal kžymimas ir apskaičiuojamas pagal formulę: .
Pagal apibrėžimą 0!=1.
Deriniai turi šias savybes:
1.
2.
3.
4.
Pavyzdys. Yra 5 skirtingų spalvų gėlės. Puokštei parenkamos 3 gėlės. Skirtingų 3 gėlių puokščių skaičius iš 5 yra: .
1.2. atsitiktiniai įvykiai
1.2.1. Vystymai
Realybės pažinimas gamtos moksluose vyksta bandymų (eksperimento, stebėjimo, patirties) rezultatas.
bandymas
arba patirtis yra tam tikros sąlygos, kurios gali būti atkurtos savavališkai daug kartų, įgyvendinimas.
Atsitiktinis
vadinamas įvykiu, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl kokio nors testo (patirties).
Taigi įvykis laikomas testo rezultatu.
Pavyzdys. Monetos metimas yra išbandymas. Erelio pasirodymas išmetus yra įvykis.
Mūsų stebimi įvykiai skiriasi jų atsiradimo tikimybės laipsniu ir santykių pobūdžiu.
Renginys vadinamas patikimas
jei tai tikrai įvyks dėl tyrimo.
Pavyzdys. Studentas, gavęs teigiamą arba neigiamą egzamino pažymį, yra tam tikras įvykis, jei egzaminas vyksta pagal įprastas taisykles.
Renginys vadinamas neįmanomas
jei jis negali atsirasti dėl šio testo.
Pavyzdys. Ištraukti baltą rutulį iš urnos, kurioje yra tik spalvoti (ne balti) rutuliai, yra neįmanomas įvykis. Atkreipkite dėmesį, kad kitomis eksperimento sąlygomis balto rutulio išvaizda neatmetama; taigi šis įvykis neįmanomas tik mūsų patirties sąlygomis.
Be to, atsitiktiniai įvykiai bus žymimi didžiąja lotynų kalba raidės A, B, C... Tikras įvykis bus žymimas raide Ω, neįmanomas įvykis – Ø.
Vadinami du ar daugiau įvykių vienodai įmanoma
atliekant tam tikrą testą, jei yra pagrindo manyti, kad nė vienas iš šių įvykių nėra labiau tikėtinas arba mažiau tikėtinas už kitus.
Pavyzdys. Vienu kauliuko metimu 1, 2, 3, 4, 5 ir 6 taškai yra vienodai galimi įvykiai. Žinoma, daroma prielaida, kad štampas yra pagamintas iš vienalytės medžiagos ir yra taisyklingos formos.
Du įvykiai vadinami nesuderinamas
tam tikrame tyrime, jei įvykus vienam iš jų negalima įvykti kito, ir Bendras
kitaip.
Pavyzdys. Dėžutėje yra standartinių ir nestandartinių dalių. Paimkime vieną detalę. Standartinės dalies išvaizda pašalina nestandartinės dalies išvaizdą. Šie įvykiai yra nesuderinami.
Susidaro keli renginiai pilna renginių grupė
šiame bandyme, jei dėl šio testo būtinai atsiranda bent vienas iš jų.
Pavyzdys.Įvykiai iš pavyzdžio sudaro visą vienodai galimų ir poromis nesuderinamų įvykių grupę.
Vadinami du nesusiję įvykiai, kurie sudaro visą įvykių grupę tam tikrame bandyme priešingi įvykiai.
Jei vienas iš jų žymimas A, tada kitas paprastai žymimas per (skaitoma „ne A»).
Pavyzdys. Pataikyti ir nepataikyti vienu šūviu į taikinį yra priešingi įvykiai.
1.2.2. Klasikinis tikimybės apibrėžimas
Įvykio tikimybė
yra skaitinis jo atsiradimo galimybės matas.
Renginys BET paskambino palankus
renginys IN jei kada nors įvyksta įvykis BETįvykis įvyksta IN.
Vystymai BET 1 , BET 2 , ..., BETn forma atvejo diagrama
, jeigu jie:
1) yra vienodai įmanomi;
2) yra nesuderinami poromis;
3) sudaryti visą grupę.
Atvejų schemoje (ir tik šioje schemoje) vyksta klasikinis tikimybės apibrėžimas P(A) pokyčius BET. Čia kiekvienas įvykis, priklausantis pasirinktai pilnai vienodai galimų ir poromis nesuderinamų įvykių grupei, vadinamas atvejis.
Jeigu n yra visų atvejų skaičius schemoje ir m- įvykiui palankių atvejų skaičius BET, tada įvykio tikimybė
BET yra apibrėžiamas lygybe:
Šios savybės išplaukia iš tikimybės apibrėžimo:
1. Tikimybė tikras įvykis yra lygus vienam.
Iš tiesų, jei įvykis yra tikras, tada kiekvienas įvykis įvykių schemoje yra palankus įvykiui. Tokiu atveju m = n taigi 
2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.
Iš tiesų, jei įvykis neįmanomas, tada nė vienas atvejis iš atvejų schemos nėra palankus įvykiui. Štai kodėl m=0 ir todėl 
Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo nulio iki vieneto.
Iš tiesų atsitiktiniam įvykiui pirmenybė teikiama tik daliai visų atvejų skaičiaus atvejų schemoje. Todėl 0<m<n, o tai reiškia 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Taigi, bet kokio įvykio tikimybė patenkina nelygybes
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Šiuo metu tikimybės savybės apibrėžiamos aksiomų pavidalu, suformuluotų A. N. Kolmogorovas.
Vienas iš pagrindinių klasikinio tikimybės apibrėžimo privalumų yra galimybė įvykio tikimybę apskaičiuoti tiesiogiai, t.y. nesiimant eksperimentų, kuriuos pakeičia loginis samprotavimas.
Tiesioginio tikimybių skaičiavimo problemos
1.1 užduotis. Kokia tikimybė gauti lyginį taškų skaičių (įvykis A) metant kauliuką?
Sprendimas. Apsvarstykite įvykius BETi- išstojo i taškai, i= 1, 2, …, 6. Akivaizdu, kad šie įvykiai sudaro atvejų modelį. Tada visų atvejų skaičius n= 6. Atvejai palankūs lyginiam taškų skaičiui BET 2 , BET 4 , BET 6 , t.y. m= 3. Tada 
.
1.2 užduotis. Urnoje yra 5 balti ir 10 juodų rutuliukų. Rutuliukai kruopščiai sumaišomi ir atsitiktine tvarka išimamas 1 rutuliukas. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra baltas?
Sprendimas. Iš viso yra 15 bylų, kurios sudaro bylų modelį. Ir laukiamas įvykis BET- balto rutulio išvaizdą palankiai vertina 5 iš jų, todėl 
.
1.3 užduotis. Vaikas žaidžia su šešiomis abėcėlės raidėmis: A, A, E, K, P, T. Raskite tikimybę, kad jis gali atsitiktinai pridėti žodį VEŽIMAS (įvykis A).
Sprendimas. Sprendimą apsunkina tai, kad tarp raidžių yra tos pačios – dvi raidės „A“. Todėl visų galimų atvejų skaičius šiame bandyme yra lygus permutacijų su 6 raidžių pasikartojimais skaičiui:
.
Šie atvejai vienodai galimi, poromis nesuderinami ir sudaro ištisą įvykių grupę, t.y. sudaryti atvejo diagramą. Tik viena galimybė palanki renginiui BET. Štai kodėl
.
1.4 užduotis. Tanya ir Vanya sutiko sutikti Naujuosius metus 10 žmonių kompanijoje. Jie abu labai norėjo sėdėti vienas šalia kito. Kokia tikimybė, kad jų noras išsipildys, jei įprasta burtų keliu paskirstyti vietas tarp draugų?
Sprendimas. Pažymėti BET renginys „Tanijos ir Vanios troškimo išsipildymas“. Prie 10 žmonių stalo gali sėdėti 10 žmonių! Skirtingi keliai. Kiek tokių n= 10! ar vienodai galimi būdai yra palankūs Tanjai ir Vanijai? Tanya ir Vanya, sėdinčios šalia, gali užimti 20 skirtingų pozicijų. Tuo pačiu metu aštuoni jų draugai gali sėdėti prie 8 stalo! skirtingais būdais, taigi m= 20∙8!. Vadinasi, 
.
1.5 užduotis. 5 moterų ir 20 vyrų grupė išrenka tris delegatus. Darant prielaidą, kad kiekvienas iš dalyvaujančiųjų yra vienodai tikėtinas, suraskite tikimybę, kad bus išrinktos dvi moterys ir vienas vyras.
Sprendimas. Bendras vienodai tikėtinų testo baigčių skaičius lygus būdų, kuriais iš 25 žmonių galima pasirinkti tris delegatus, t.y. . Dabar paskaičiuokime palankių atvejų skaičių, t.y. dominančio įvykio kartų skaičius. Vyrą delegatą galima pasirinkti dvidešimčia būdų. Tuo pačiu metu likusios dvi delegatės turi būti moterys, o jūs galite pasirinkti dvi moteris iš penkių. Vadinasi,. Štai kodėl
.
1.6 problema. Keturi rutuliai atsitiktinai išsibarstę po keturias duobutes, kiekvienas kamuoliukas į vieną ar kitą duobutę patenka su ta pačia tikimybe ir nepriklausomai nuo kitų (nėra jokių kliūčių į tą pačią duobutę įmesti kelis kamuoliukus). Raskite tikimybę, kad vienoje iš angų bus trys rutuliukai, kitoje – vienas, o kitose dviejose – nebus kamuoliukų.
Sprendimas. Bendras bylų skaičius n= 4 4 . Būdų, kuriais galima pasirinkti vieną duobutę, kurioje bus trys kamuoliukai, skaičius. Būdų, kuriais galite pasirinkti skylę, kurioje bus vienas rutulys, skaičius, . Būdų, kuriais galite pasirinkti tris rutulius iš keturių rutulių, įmušti juos į pirmąją duobutę, skaičius. Bendras palankių atvejų skaičius . Įvykio tikimybė: 
1.7 problema. Dėžutėje yra 10 vienodų kamuoliukų, pažymėtų skaičiais 1, 2, ..., 10. Sėkmei ištraukiami šeši kamuoliukai. Raskite tikimybę, kad tarp ištrauktų rutuliukų bus: a) rutulys Nr. 1; b) kamuoliukai Nr.1 ir Nr.2.
Sprendimas. a) Bendras galimų elementarių testo baigčių skaičius lygus būdų, kuriais galima ištraukti šešis kamuoliukus iš dešimties, skaičiui, t.y.
Raskime rezultatų, palankių mus dominančiam įvykiui, skaičių: tarp atrinktų šešių kamuoliukų yra kamuoliukas numeris 1, taigi, likę penki kamuoliukai turi skirtingus numerius. Tokių baigčių skaičius akivaizdžiai lygus tam, kiek būdų iš likusių devynių galima pasirinkti penkis kamuoliukus, t.y.
Norima tikimybė yra lygi nagrinėjamam įvykiui palankių baigčių skaičiaus ir bendro galimų elementarių baigčių skaičiaus santykiui:
b) Rezultatų, palankių mus dominančiam įvykiui, skaičius (tarp pasirinktų kamuoliukų yra kamuoliukai Nr. 1 ir Nr. 2, todėl keturi kamuoliukai turi skirtingus numerius) yra lygus keturių kamuoliukų skaičiui būdų. išgautas iš likusių aštuonių, t Norima tikimybė 
1.2.3. Statistinė tikimybė
Statistinis tikimybės apibrėžimas naudojamas, kai eksperimento rezultatai nėra vienodai tikėtini.
Santykinis įvykių dažnis
BET yra apibrėžiamas lygybe:
,
kur m yra bandymų, kurių metu įvyko įvykis, skaičius BET tai atėjo n yra bendras atliktų testų skaičius.
J. Bernoulli įrodė, kad neribotai didėjant eksperimentų skaičiui, santykinis įvykio pasireiškimo dažnis praktiškai savavališkai skirsis nuo kokio nors pastovaus skaičiaus. Paaiškėjo, kad šis pastovus skaičius yra įvykio atsiradimo tikimybė. Todėl natūralu, kad santykinis įvykio atsiradimo dažnis su pakankamai dideliu bandymų skaičiumi vadinamas statistine tikimybe, priešingai nei anksčiau įvesta tikimybe.
1.8 pavyzdys. Kaip apytiksliai apskaičiuoti žuvų skaičių ežere?
Įleisk į ežerą Xžuvis. Mes metame tinklą ir, tarkime, jame randame nžuvis. Pažymime kiekvieną iš jų ir atleidžiame atgal. Po kelių dienų tuo pačiu oru ir toje pačioje vietoje užmetėme tą patį tinklą. Tarkime, jame rasime m žuvų, tarp kurių k pažymėtas. Tegul įvykis BET– „Pagauta žuvis ženklinama“. Tada pagal santykinio dažnio apibrėžimą.
Bet jei ežere Xžuvies ir paleidome n pažymėtas, tada .
Nes R * (BET) » R(BET), tada .
1.2.4. Operacijos renginiuose. Sudėjimo teorema
suma, arba kelių įvykių sąjunga, yra įvykis, susidedantis iš bent vieno iš šių įvykių (tame pačiame teste).
Suma BET 1 + BET 2 + … + BETnžymimas taip: 
arba 
.
Pavyzdys. Mesti du kauliukai. Tegul įvykis BET susideda iš 4 taškų metimo ant 1 kauliuko ir įvykio IN- metant 5 taškus ant kito kauliuko. Vystymai BET Ir IN Bendras. Todėl renginys BET +IN susideda iš 4 taškų metimo ant pirmojo kauliuko arba 5 taškai ant antrojo kauliuko arba 4 taškai ant pirmo ir 5 taškai ant antrojo kauliuko tuo pačiu metu.
Pavyzdys. Renginys BET– 1 paskolos laimėjimas, renginys IN- laimėti 2 paskolas. Tada renginys A+B- laimėti bent vieną paskolą (galbūt dvi iš karto).
dirbti arba kelių įvykių susikirtimas yra įvykis, susidedantis iš visų šių įvykių bendro įvykio (tame pačiame teste).
Darbas INįvykius BET 1 , BET 2 , …, BETnžymimas taip:
.
Pavyzdys. Vystymai BET Ir IN susideda iš sėkmingo I ir II etapo įveikimo į institutą. Tada renginys BET×B susideda iš sėkmingo abiejų raundų užbaigimo.
Įvykių sumos ir sandaugos sąvokos turi aiškią geometrinę interpretaciją. Tegul įvykis BET srityje yra taško smūgis BET, ir įvykis IN- pataikyti į tašką srityje IN. Tada renginys A+B yra taško pataikymas šių sričių sąjungoje (2.1 pav.), ir įvykis BETINšių sričių sankirtoje yra taško pataikymas (2.2 pav.).
Ryžiai. 2.1 pav. 2.2
Teorema. Jei įvykiai Ai(i = 1, 2, …, n) yra nesuderinami poromis, tada įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai: 
.
Leisti būti BET Ir Ā
– priešingi įvykiai, t.y. A + a= Ω, kur Ω yra tam tikras įvykis. Iš sudėjimo teoremos išplaukia, kad
P(Ω) = R(BET) + R(Ā
) = 1, todėl
R(Ā
) = 1 – R(BET).
Jei įvykiai BET 1 ir BET 2 yra jungtiniai, tada dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė yra lygi:
R(BET 1 + BET 2) = R(BET 1) + R(BET 2) – P( BET 1× BET 2).
Tikimybių sudėjimo teoremos leidžia pereiti nuo tiesioginio tikimybių skaičiavimo prie sudėtingų įvykių atsiradimo tikimybių nustatymo.
1.8 užduotis. Šaulys paleidžia vieną šūvį į taikinį. Tikimybė išmušti 10 taškų (įvykis BET), 9 taškai (įvykis IN) ir 8 taškai (įvykis NUO) yra atitinkamai lygūs 0,11; 0,23; 0.17. Raskite tikimybę, kad vienu šūviu šaulys surinks mažiau nei 8 taškus (įvykis D).
Sprendimas. Pereikime prie priešingo įvykio – vienu šūviu šaulys nokautuos mažiausiai 8 taškus. Įvykis įvyksta, jei BET arba IN, arba NUO, t.y. . Nuo įvykių A, B, NUO yra poros nenuoseklūs, tada pagal sudėjimo teoremą,
, kur.
1.9 užduotis. Iš brigados komandos, kurią sudaro 6 vyrai ir 4 moterys, į profesinių sąjungų konferenciją atrenkami du žmonės. Kokia tikimybė, kad tarp išrinktųjų bus bent viena moteris (įvykis BET).
Sprendimas. Jei įvyksta įvykis BET, tada būtinai įvyks vienas iš šių nesuderinamų įvykių: IN- „išrenkamas vyras ir moteris“; NUO„Išrinktos dvi moterys“. Todėl galime rašyti: A=B+C. Raskite įvykių tikimybę IN Ir NUO. Du žmones iš 10 galima pasirinkti įvairiais būdais. Dvi moteris iš 4 galima pasirinkti įvairiais būdais. Vyrą ir patelę galima pasirinkti 6×4 būdais. Tada . Nuo įvykių IN Ir NUO yra nenuoseklūs, tada pagal sudėjimo teoremą,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
1.10 uždavinys. Bibliotekos lentynoje yra 15 atsitiktinai išdėstytų vadovėlių, penki iš jų įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paima tris vadovėlius. Raskite tikimybę, kad bent vienas iš paimtų vadovėlių bus įrištas (įvykis BET).
Sprendimas. Pirmas būdas. Reikalavimas – bent vienas iš trijų paimtų įrištų vadovėlių – bus įvykdytas, jei įvyks kuris nors iš šių trijų nesuderinamų įvykių: IN- 1 įrištas vadovėlis NUO- du įrišti vadovėliai D- Trys įrišti vadovėliai.
Mus domina įvykis BET gali būti pavaizduota kaip įvykių suma: A=B+C+D. Pagal sudėjimo teoremą,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Raskite įvykių tikimybę B, C Ir D(žr. kombinacines schemas): 
Šias tikimybes pateikę lygybėje (2.1), galiausiai gauname
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Antras būdas. Renginys BET(bent vienas iš trijų paimtų vadovėlių turi įrišimą) ir Ā
(nė vienas iš paimtų vadovėlių neturi įrišimo) yra priešingi, todėl P(A) + P(Ā) = 1 (dviejų priešingų įvykių tikimybių suma lygi 1). Iš čia P(A) = 1 – P(a). Tikimybė, kad įvyks įvykis Ā
(nė vienas iš paimtų vadovėlių nėra įrištas)
Norima tikimybė
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Sąlyginė tikimybė. Tikimybių daugybos teorema
Sąlyginė tikimybė P(B/BET) yra įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvykis A jau įvyko.
Teorema. Dviejų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybių sandaugai su sąlygine kito tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/BET). (2.2)
Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jeigu įvykus vienam iš jų nekeičiama kito įvykimo tikimybė, t.y.
P(A) = P(A/B) arba P(B) = P(B/BET). (2.3)
Jei įvykiai BET Ir IN yra nepriklausomi, tada formulės (2.2) ir (2.3) reiškia
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Teisingas ir atvirkštinis teiginys, t.y. jei lygybė (2.4) galioja dviem įvykiams, tai šie įvykiai yra nepriklausomi. Iš tiesų, formulės (2.4) ir (2.2) reiškia
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/BET), kur P(A) = P(B/BET).
Formulė (2.2) gali būti apibendrinta baigtinio įvykių skaičiaus atveju BET 1 , BET 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙BET 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /BET 1)∙P(A 3 /BET 1 BET 2)∙…∙P (A n/BET 1 BET 2 …A n -1).
1.11 užduotis. Iš urnos, kurioje yra 5 balti ir 10 juodų rutuliukų, iš eilės traukiami du rutuliai. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra balti (įvykis BET).
Sprendimas. Apsvarstykite įvykius: IN- pirmasis ištrauktas rutulys yra baltas; NUO– antras ištrauktas rutulys yra baltas. Tada A = BC.
Patirtis gali būti įgyta dviem būdais:
1) su grąžinimu: užfiksavus spalvą, nupieštas kamuoliukas grąžinamas į urną. Šiuo atveju įvykiai IN Ir NUO nepriklausomas:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) be pakeitimo: ištrauktas kamuolys atidedamas į šalį. Šiuo atveju įvykiai IN Ir NUO priklausomas:
P(A) = P(B)∙P(C/IN).
Dėl renginio IN sąlygos yra tos pačios, ir už NUO situacija pasikeitė. Įvyko IN, todėl urnoje liko 14 kamuoliukų, iš kurių 4 balti.
Taigi,.
1.12 užduotis. Iš 50 lempučių 3 yra nestandartinės. Raskite tikimybę, kad dvi lemputės, paimtos vienu metu, yra nestandartinės.
Sprendimas. Apsvarstykite įvykius: BET- pirmoji lemputė nestandartinė, IN- antroji lemputė nestandartinė, NUO- abi lemputės nestandartinės. Tai aišku C = A∙IN. renginys BET palankiai vertina 3 atvejus iš 50 galimų, t.y. P(A) = 3/50. Jei įvykis BET jau įvyko, įvykis IN palankiai vertina du atvejus iš 49 galimų, t.y. P(B/BET) = 2/49. Vadinasi,
.
1.13 užduotis. Du sportininkai savarankiškai šaudo į tą patį taikinį. Tikimybė pataikyti į pirmojo sportininko taikinį yra 0,7, o antrojo - 0,8. Kokia tikimybė, kad taikinys bus pataikytas?
Sprendimas. Į taikinį pataikys arba pirmas šaulys, arba antrasis, arba abu, t.y. įvyks įvykis A+B, kur vyksta renginys BET susideda iš pirmojo sportininko pataikymo į taikinį ir įvykį IN- antra. Tada
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
1.14 uždavinys. Skaitykloje yra šeši tikimybių teorijos vadovėliai, iš kurių trys yra įrišti. Bibliotekininkė atsitiktinai paėmė du vadovėlius. Raskite tikimybę, kad bus įrišti du vadovėliai.
Sprendimas. Supažindinkime su įvykių žymėjimu : A– pirmasis paimtas vadovėlis turi įrišimą, IN– Antrasis vadovėlis įrištas. Tikimybė, kad pirmasis vadovėlis turi įrišimą,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Tikimybė, kad antrasis vadovėlis bus įrištas, atsižvelgiant į tai, kad pirmoji paimta knyga buvo įrišta, t.y. sąlyginė įvykio tikimybė IN, ar tai: P(B/BET) = 2/5.
Norima tikimybė, kad abu vadovėliai turės įrišimą, pagal įvykių tikimybių daugybos teoremą, lygi
P(AB) = P(A) ∙ P(B/BET)= 1/2 ∙ 2/5 = 0,2.
1.15 uždavinys. Parduotuvėje dirba 7 vyrai ir 3 moterys. Atsitiktinai pagal darbuotojų skaičių buvo atrinkti trys žmonės. Raskite tikimybę, kad visi atrinkti asmenys yra vyrai.
Sprendimas. Supažindinkime su įvykių žymėjimu: A- pirmiausia pasirinktas vyras IN- antrasis išrinktasis vyras, NUO – trečiasis pasirinktas vyras. Tikimybė, kad pirmas bus pasirinktas patinas P(A) = 7/10.
Tikimybė, kad vyras bus pasirinktas antras, su sąlyga, kad vyras jau buvo pasirinktas pirmas, t.y. sąlyginė įvykio tikimybė IN Kitas : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Tikimybė, kad vyras bus išrinktas trečias, su sąlyga, kad jau buvo atrinkti du vyrai, t.y. sąlyginė įvykio tikimybė NUO yra: P(C/AB) = 5/8.
Norima tikimybė, kad visi trys atrinkti asmenys yra vyrai, P(ABC) = P(A) P(B/BET) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.
1.2.6. Bendrosios tikimybės formulė ir Bayes formulė
Leisti būti B 1 , B 2 ,…, B n yra poromis nesuderinami įvykiai (hipotezės) ir BET- įvykis, kuris gali įvykti tik kartu su vienu iš jų.
Taip pat praneškite mums Р(B i) Ir P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Esant tokioms sąlygoms, galioja formulės: 
(2.5)
(2.6)
Formulė (2.5) vadinama bendrosios tikimybės formulė
. Jis apskaičiuoja įvykio tikimybę BET(visa tikimybė).
Formulė (2.6) vadinama Bayes formulė
. Tai leidžia perskaičiuoti hipotezių tikimybę, jei įvykis BETįvyko.
Rengiant pavyzdžius patogu atsižvelgti į tai, kad hipotezės sudaro ištisą grupę.
1.16 užduotis. Krepšelyje yra obuoliai iš keturių tos pačios veislės medžių. Iš pirmo - 15% visų obuolių, iš antrojo - 35%, iš trečio - 20%, iš ketvirto - 30%. Prinokusių obuolių yra atitinkamai 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas obuolys yra prinokęs? BET).
b) Jei atsitiktinai paimtas obuolys pasirodė prinokęs, apskaičiuokite tikimybę, kad jis yra nuo pirmojo medžio.
Sprendimas. a) Turime 4 hipotezes:
B 1 - atsitiktinai paimtas obuolys paimamas iš 1-ojo medžio;
B 2 - atsitiktinai paimtas obuolys paimamas iš 2-ojo medžio;
B 3 - atsitiktinai paimtas obuolys paimamas iš 3 medžio;
B 4 - atsitiktinai paimtas obuolys paimamas iš 4-ojo medžio.
Jų tikimybė pagal sąlygą: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Sąlyginės įvykio tikimybės BET:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Tikimybė, kad atsitiktinai parinktas obuolys bus prinokęs, nustatoma pagal bendrosios tikimybės formulę:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Mūsų atveju Bayes formulė yra tokia: 
.
1.17 uždavinys.Į urną, kurioje yra du rutuliukai, įmetamas baltas rutulys, po kurio atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad nupieštas rutulys bus baltas, jei visos galimos prielaidos apie pradinę rutuliukų sudėtį (pagal spalvą) yra vienodai įmanomos.
Sprendimas. Pažymėti BETįvykis – ištraukiamas baltas rutulys. Galimos šios prielaidos (hipotezės) apie pradinę kamuoliukų sudėtį: B1 jokių baltų kamuoliukų 2- vienas baltas rutulys 3 DALYJE- du balti rutuliai.
Kadangi iš viso yra trys hipotezės, o hipotezių tikimybių suma yra 1 (kadangi jos sudaro ištisą įvykių grupę), tai kiekvienos iš hipotezių tikimybė yra 1/3, t.y.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Sąlyginė tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, atsižvelgiant į tai, kad iš pradžių urnoje baltų rutulių nebuvo, P(A/B 1) = 1/3. Sąlyginė tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, atsižvelgiant į tai, kad urnoje iš pradžių buvo vienas baltas rutulys, P(A/B 2) = 2/3. Sąlyginė tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, atsižvelgiant į tai, kad urnoje iš pradžių buvo du balti rutuliai. P(A/B 3)=3/ 3=1.
Norima tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, randama pagal bendrosios tikimybės formulę:
R(BET)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3) = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3 .
1.18 užduotis. Dvi mašinos gamina tas pačias dalis, kurios tiekiamos į bendrą konvejerį. Pirmosios mašinos našumas yra dvigubai didesnis nei antrojo. Pirmoji mašina pagamina vidutiniškai 60% puikios kokybės detalių, o antroji – 84%. Atsitiktinai nuo surinkimo linijos paimta dalis pasirodė puikios kokybės. Raskite tikimybę, kad šį elementą pagamino pirmoji mašina.
Sprendimas. Pažymėti BET renginys yra puikios kokybės prekė. Galima daryti dvi prielaidas: B1- dalį gamina pirmoji mašina ir (kadangi pirmoji mašina pagamina dvigubai daugiau dalių nei antroji) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - dalis buvo pagaminta antra mašina, ir P(B 2) = 1/3.
Sąlyginė tikimybė, kad dalis bus puikios kokybės, jei ją pagamins pirmoji mašina, P(A/B 1)=0,6.
Sąlyginė tikimybė, kad dalis bus puikios kokybės, jei ji bus pagaminta antra mašina, P(A/B 1)=0,84.
Tikimybė, kad atsitiktinai parinkta dalis bus puikios kokybės, pagal bendrosios tikimybės formulę, lygi
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Norima tikimybė, kad pirmasis automatas pagamins puikią dalį pagal Bayes formulę, yra lygi
1.19 užduotis. Yra trys dalių partijos po 20 dalių. Standartinių dalių skaičius pirmoje, antroje ir trečioje partijoje yra atitinkamai 20, 15 ir 10. Iš pasirinktos partijos atsitiktinai buvo išskirta dalis, kuri pasirodė esanti standartinė. Dalys grąžinamos į partiją ir dalis atsitiktinai išimama iš tos pačios partijos antrą kartą, o tai taip pat pasirodo esanti standartinė. Raskite tikimybę, kad dalys buvo paimtos iš trečiosios partijos.
Sprendimas. Pažymėti BETįvykis – kiekviename iš dviejų testų (su grąžinimu) buvo gauta standartinė dalis. Galima iškelti tris hipotezes: B 1 - dalys pašalinamos iš pirmosios partijos, IN 2
– dalys paimamos iš antrosios partijos, IN 3 - dalys pašalinamos iš trečiosios partijos.
Išsamios detalės buvo paimtos atsitiktinai iš paimtos partijos, todėl hipotezių tikimybės yra tokios pačios: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Raskite sąlyginę tikimybę P(A/B 1), t.y. tikimybė, kad iš pirmos partijos iš eilės bus paimtos dvi standartinės dalys. Šis renginys patikimas, nes. pirmoje partijoje visos dalys yra standartinės, todėl P(A/B 1) = 1.
Raskite sąlyginę tikimybę P(A/B 2), t.y. tikimybė, kad dvi standartinės dalys bus paeiliui išgaunamos (su grąžinimu) iš antrosios partijos: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Raskite sąlyginę tikimybę P(A/B 3), t.y. tikimybė, kad dvi standartinės dalys bus paeiliui pašalintos (su grąžinimu) iš trečiosios partijos: P(A/B 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Norima tikimybė, kad abi ištrauktos standartinės dalys bus paimtos iš trečiosios partijos, pagal Bayes formulę, yra lygi 
1.2.7. Pakartotiniai testai
Jei atliekami keli testai, ir įvykio tikimybė BET kiekviename tyrime nepriklauso nuo kitų bandymų rezultatų, tada tokie bandymai vadinami nepriklausomas nuo įvykio A.Įvairiuose nepriklausomuose bandymuose įvykis BET gali turėti skirtingas tikimybes arba tą pačią tikimybę. Toliau svarstysime tik tokius nepriklausomus bandymus, kuriuose įvykis BET turi tokią pat tikimybę.
Tegul jis gaminamas P nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename įvykis BET gali pasirodyti arba nepasirodyti. Tarkime, kad įvykio tikimybė BET kiekviename teste yra tas pats, būtent lygus R. Todėl įvykio neįvykimo tikimybė BET kiekviename bandyme taip pat yra pastovus ir lygus 1- R. Tokia tikimybinė schema vadinama Bernulli schema. Iškelkime sau užduotį apskaičiuoti tikimybę, kad P Bernulli įvykių bandymai BET išsipildys tiksliai k kartą ( k- sėkmių skaičius) ir todėl nebus realizuotas P- kartą. Svarbu pabrėžti, kad renginio nereikia BET tiksliai pakartojo k kartų tam tikra seka. Pažymėkite norimą tikimybę R p (k).
Pavyzdžiui, simbolis R 5 (3) reiškia tikimybę, kad per penkis bandymus įvykis pasirodys lygiai 3 kartus, todėl 2 kartus nepasikartos.
Problemą galima išspręsti naudojant vadinamąjį Bernulio formulės, kuris atrodo taip: 
.
1.20 uždavinys. Tikimybė, kad elektros energijos suvartojimas per vieną dieną neviršys nustatytos normos, lygi R=0,75. Raskite tikimybę, kad per artimiausias 6 dienas elektros suvartojimas 4 dienas neviršys normos.
Sprendimas. Tikimybė normaliai suvartoti elektros energiją per kiekvieną iš 6 dienų yra pastovi ir lygi R=0,75. Todėl elektros energijos pertekliaus tikimybė kiekvieną dieną taip pat yra pastovi ir lygi q= 1–R=1–0,75=0,25.
Norima tikimybė pagal Bernulio formulę lygi
.
1.21 užduotis. Du lygūs šachmatininkai žaidžia šachmatais. Kas labiau tikėtina: laimėti dvi rungtynes iš keturių ar tris iš šešių (į lygiąsias neatsižvelgiama)?
Sprendimas. Žaidžia vienodi šachmatininkai, todėl tikimybė laimėti R= 1/2, vadinasi, tikimybė pralaimėti q taip pat lygus 1/2. Nes visuose žaidimuose tikimybė laimėti yra pastovi ir nesvarbu, kokia seka žaidimai laimi, tuomet taikoma Bernulio formulė.
Raskite tikimybę, kad bus laimėtos dvi rungtynės iš keturių:
Raskite tikimybę, kad bus laimėtos trys iš šešių žaidimų:
Nes P 4 (2) > P 6 (3), didesnė tikimybė laimėti dvi rungtynes iš keturių nei tris iš šešių.
Tačiau galima pastebėti, kad naudojant Bernulio formulę didelėms reikšmėms n tai gana sunku, nes formulė reikalauja atlikti operacijas su didžiuliais skaičiais, todėl skaičiavimo procese kaupiasi klaidos; dėl to galutinis rezultatas gali gerokai skirtis nuo tikrojo.
Norint išspręsti šią problemą, yra kelios ribinės teoremos, kurios naudojamos daugybei bandymų.
1. Puasono teorema
Atliekant daugybę bandymų pagal Bernulli schemą (su n=> ∞) ir su nedideliu palankių rezultatų skaičiumi k(darant prielaidą, kad sėkmės tikimybė p mažas), Bernulio formulė artėja prie Puasono formulės 
.
1.22 pavyzdys. Santuokos tikimybė, kai įmonė pagamina produkcijos vienetą, yra lygi p=0,001. Kokia tikimybė, kad gaminant 5000 vienetų gaminių bus mažiau nei 4 brokuoti (įvykis BET Sprendimas. Nes n yra didelis, naudojame vietinę Laplaso teoremą: 
Apskaičiuokite x:
Funkcija 
yra lyginis, todėl φ(–1,67) = φ(1,67).
Pagal A.1 priedo lentelę randame φ(1,67) = 0,0989.
Norima tikimybė P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplaso integralų teorema
Jei tikimybė Rįvykio atsiradimas A kiekviename bandyme pagal Bernoulli schemą yra pastovi ir skiriasi nuo nulio ir vieno, tada su daugybe bandymų n, tikimybė R p (k 1 , k 2) įvykio įvykis Ašiuose bandymuose k 1 iki k 2 kartus maždaug lygus
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), kur 
yra Laplaso funkcija,
Laplaso funkcijos apibrėžtasis integralas nėra skaičiuojamas pagal analitinių funkcijų klasę, todėl jam apskaičiuoti naudojama 1 lentelė. 2 punktas, pateiktas priede.
1.24 pavyzdys. Tikimybė, kad įvykis įvyks kiekviename iš šimto nepriklausomų bandymų, yra pastovi ir lygi p= 0,8. Raskite tikimybę, kad įvykis įvyks: a) mažiausiai 75 ir ne daugiau kaip 90 kartų; b) ne mažiau kaip 75 kartus; c) ne daugiau kaip 74 kartus.
Sprendimas. Pasinaudokime Laplaso integraliąja teorema:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), kur Ф( x) yra Laplaso funkcija,
a) Pagal sąlygą n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Apskaičiuokite x"" Ir x" :
Atsižvelgiant į tai, kad Laplaso funkcija yra nelyginė, t.y. F(- x) = – F( x), mes gauname
P 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d F (2,5) + F (1,25).
Pagal lentelę P.2. rasti programas:
F(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Norima tikimybė
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Reikalavimas, kad įvykis įvyktų ne mažiau kaip 75 kartus, reiškia, kad įvykio įvykių skaičius gali būti lygus 75, arba 76, ... arba 100. Taigi nagrinėjamu atveju reikėtų sutikti su k 1 = 75, k 2 = 100. Tada 
.
Pagal lentelę P.2. programas, randame Ф (1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Norima tikimybė
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Įvykis - " BET pasirodė mažiausiai 75 kartus“ ir „ BET pasirodė ne daugiau kaip 74 kartus“ yra priešingi, todėl šių įvykių tikimybių suma yra 1. Todėl norima tikimybė
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
