Patikimų ir neįmanomų įvykių pavyzdžiai. Pats sugalvok du patikimus, atsitiktinius ir neįmanomus įvykius. Šiek tiek informacijos iš kombinatorikos
Įvykis yra bandymo rezultatas. Kas yra įvykis? Iš urnos atsitiktinai paimamas vienas rutulys. Kamuoliuko išėmimas iš urnos yra išbandymas. Tam tikros spalvos kamuoliuko atsiradimas yra įvykis. Tikimybių teorijoje įvykis suprantamas kaip kažkas, apie kurį po tam tikro laiko momento galima pasakyti vieną ir tik vieną iš dviejų dalykų. Taip, atsitiko. Ne, tai neįvyko. Galimas eksperimento rezultatas vadinamas elementariu įvykiu, o daugelis tokių rezultatų tiesiog vadinami įvykiu.
Neprognozuojami įvykiai vadinami atsitiktiniais įvykiais. Įvykis vadinamas atsitiktiniu, jei tomis pačiomis sąlygomis jis gali įvykti arba neįvykti. Išmetus kauliuką, bus numestas šešetas. Turiu loterijos bilietą. Paskelbus loterijos burtų rezultatus mane dominantis įvykis - laimėti tūkstantį rublių arba įvyksta, arba neįvyksta. Pavyzdys.
Du įvykiai, kurie gali įvykti vienu metu šiomis sąlygomis, vadinami jungtiniais, o tie, kurie negali vykti vienu metu, vadinami nesuderinamais. Metama moneta. „Gerbo“ išvaizda neįtraukia užrašo išvaizdos. Įvykiai „atsirado herbas“ ir „pasirodė užrašas“ yra nesuderinami. Pavyzdys.
Įvykis, kuris visada nutinka, vadinamas patikimu. Įvykis, kuris negali įvykti, vadinamas neįmanomu. Pavyzdžiui, tegul iš urnos, kurioje yra tik juodi rutuliukai, išimamas kamuolys. Tada juodo rutulio atsiradimas yra tam tikras įvykis; balto rutulio atsiradimas yra neįmanomas įvykis. Pavyzdžiai. Kitais metais sniego neiškris. Išmetus kauliuką, bus numestas septynetas. Tai neįmanomi įvykiai. Kitais metais iškris sniegas. Metant kauliuką bus metamas mažesnis nei septyni skaičius. Saulėtekis kiekvieną dieną. Tai patikimi įvykiai.
Problemos sprendimas Kiekvienam aprašytam įvykiui nustatykite, kas tai yra: neįmanoma, tikras ar atsitiktinis. 1. Iš 25 klasės mokinių du švenčia gimtadienį a) sausio 30 d.; b) vasario 30 d. 2. Atsitiktinai atsidaro literatūros vadovėlis ir kairiajame puslapyje randamas antras žodis. Šis žodis prasideda: a) raide „K“; b) su raide "b".
3. Šiandien Sočyje barometras rodo normalų atmosferos slėgį. Šiuo atveju: a) vanduo puode virinamas 80 °C temperatūroje; b) temperatūrai nukritus iki -5 °C, vanduo baloje užšaldavo. 4. Mesti du kauliukus: a) pirmasis kauliukas turi 3 taškus, o antrasis – 5 taškus; b) ant dviejų kauliukų numestų taškų suma lygi 1; c) ant dviejų kauliukų numestų taškų suma lygi 13; d) ant abiejų kaulų buvo surinkti 3 taškai; e) dviejų kauliukų taškų suma mažesnė už 15. Užduočių sprendimas
5. Atsivertėte knygą bet kuriame puslapyje ir perskaitėte pirmą pasitaikiusį daiktavardį. Paaiškėjo, kad: a) pasirinkto žodžio rašyboje yra balsis; b) pasirinkto žodžio rašyboje yra raidė „O“; c) pasirinkto žodžio rašyboje nėra balsių; d) pasirinkto žodžio rašyboje yra minkštasis ženklas. Spręsti problemas
Tikimybių teorija, kaip ir bet kuri matematikos šaka, veikia su tam tikromis sąvokomis. Daugumai tikimybių teorijos sąvokų suteikiamas apibrėžimas, tačiau kai kurios laikomos pagrindinėmis, o ne apibrėžtos, kaip geometrijoje taškas, tiesė, plokštuma. Pirminė tikimybių teorijos samprata yra įvykis. Įvykis suprantamas kaip kažkas, apie kurį po tam tikro laiko momento galima pasakyti vieną ir tik vieną iš dviejų dalykų:
- · Taip, atsitiko.
- · Ne, taip neatsitiko.
Pavyzdžiui, aš turiu loterijos bilietą. Paskelbus loterijos burtų rezultatus, mane domina įvykis, kad tūkstančio rublių laimėjimas arba įvyksta, arba neįvyksta. Bet koks įvykis įvyksta kaip bandymo (arba patirties) rezultatas. Testas (arba patirtis) reiškia sąlygas, dėl kurių įvyksta įvykis. Pavyzdžiui, monetos metimas yra išbandymas, o „herbo“ atsiradimas ant jos – įvykis. Renginys paprastai žymimas didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: A, B, C,…. Įvykius materialiame pasaulyje galima suskirstyti į tris kategorijas – patikimus, neįmanomus ir atsitiktinius.
Patikimas įvykis yra įvykis, kurio įvykis yra žinomas iš anksto. Žymima raide W. Taigi, metant įprastą kauliuką patikima gauti ne daugiau kaip šešis balus, balto rutulio išvaizdą išėmus iš urnos, kurioje yra tik balti rutuliukai ir pan.
Neįmanomas įvykis – tai įvykis, apie kurį iš anksto žinoma, kad jis neįvyks. Jis žymimas raide E. Neįmanomų įvykių pavyzdžiai yra daugiau nei keturių tūzų pašalinimas iš įprastos kortų kaladės, raudono kamuoliuko atsiradimas iš urnos, kurioje yra tik balti ir juodi kamuoliukai ir kt.
Atsitiktinis įvykis yra įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti dėl testo. Įvykiai A ir B vadinami nesuderinamais, jei vieno iš jų pradžia atmeta galimybę prasidėti kitam. Taigi bet kokio galimo taškų skaičiaus atsiradimas metant kauliuką (įvykis A) yra nesuderinamas su kito skaičiaus atsiradimu (įvykis B). Lytinis taškų skaičius nesuderinamas su nelyginiu skaičiumi. Priešingai, lyginių taškų praradimas (įvykis A) ir taškų skaičius, kuris yra trijų kartotinis (įvykis B), nebus nenuoseklus, nes šešių taškų praradimas reiškia ir įvykių A, ir įvykių B įvykimą, kad vieno iš jų atsiradimas neatmeta galimybės atsirasti kitam. Galite atlikti operacijas su įvykiais. Dviejų įvykių sąjunga C = AUB yra įvykis C, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai įvyksta bent vienas iš šių įvykių A ir B. Dviejų įvykių sankirta D = A ?? B vadinamas įvykiu, kuris įvyksta tada ir tik tada, kai A ir B įvykiai.
Mūsų stebimus įvykius (reiškinius) galima suskirstyti į tris tipus: patikimus, neįmanomus ir atsitiktinius.
Patikimas vadinamas įvykiu, kuris būtinai įvyks, jei bus įvykdyta tam tikra sąlygų rinkinys S. Pavyzdžiui, jei inde yra normalaus atmosferos slėgio ir 20 ° temperatūros vandens, tai įvykis „vanduo inde yra skystos būsenos. “ yra patikimas. Šiame pavyzdyje nustatytas atmosferos slėgis ir vandens temperatūra yra sąlygų S rinkinys.
Neįmanomas yra įvykis, kuris neįvyks, jei bus įvykdyta sąlygų aibė S. Pavyzdžiui, įvykis „vanduo inde yra kietos būsenos“ tikrai neįvyks, jei bus įvykdyta ankstesnio pavyzdžio sąlygų rinkinys.
Atsitiktinis yra įvykis, kuris, kai įvykdoma sąlygų S rinkinys, gali įvykti arba ne. Pavyzdžiui, išmetus monetą, ji gali nukristi taip, kad viršuje bus arba herbas, arba užrašas. Todėl įvykis „metant monetą, „herbas“ iškrito – atsitiktinis. Kiekvienas atsitiktinis įvykis, ypač „herbo“ kritimas, yra daugelio atsitiktinių priežasčių (mūsų pavyzdyje: monetos metimo jėgos, monetos formos ir daugelio kitų) pasekmė. ). Neįmanoma atsižvelgti į visų šių priežasčių įtaką rezultatui, nes jų skaičius yra labai didelis ir jų veikimo dėsniai nežinomi. Todėl tikimybių teorija nekelia sau užduoties numatyti, ar koks nors įvykis įvyks, ar ne – ji tiesiog negali to padaryti.
Situacija yra kitokia, jei nagrinėjami atsitiktiniai įvykiai, kuriuos galima stebėti daug kartų tomis pačiomis sąlygomis S, t.y., jei kalbame apie masinius vienalyčius atsitiktinius įvykius. Pasirodo, pakankamai daug vienarūšių atsitiktinių įvykių, nepaisant jų specifinės prigimties, paklūsta tam tikriems dėsniams, būtent tikimybiniams dėsniams. Šių dėsningumų nustatymą sprendžia tikimybių teorija.
Taigi tikimybių teorijos dalykas yra masinių vienalyčių atsitiktinių įvykių tikimybinių dėsnių tyrimas.
Tikimybių teorijos metodai plačiai taikomi įvairiose gamtos mokslų ir technikos šakose. Tikimybių teorija taip pat padeda pagrįsti matematinę ir taikomąją statistiką.
Atsitiktinių įvykių rūšys... Renginiai vadinami nenuoseklus jeigu įvykus vienam iš jų negalima įvykti kitų įvykių tame pačiame teisme.
Pavyzdys. Metama moneta. „Gerbo“ išvaizda neįtraukia užrašo išvaizdos. Įvykiai „atsirado herbas“ ir „pasirodė užrašas“ yra nesuderinami.
Susidaro keli renginiai pilna grupė jei atlikus testą atsiranda bent vienas iš jų. Visų pirma, jei įvykiai, sudarantys visą grupę, yra nesuderinami poromis, testo rezultatas bus vienas ir tik vienas iš šių įvykių. Šis konkretus atvejis mus labiausiai domina, nes jis naudojamas toliau.
2 pavyzdys. Nupirkti du grynųjų pinigų loterijos bilietai. Tikrai įvyks vienas ir tik vienas iš šių įvykių: „laimėjimai nukrito ant pirmo bilieto, o nepateko ant antrojo“, „laimėjimai nepateko ant pirmo bilieto, o nukrito ant antrojo“, „laimėjimai krito ant abiejų bilietų“, „ant abiejų bilietų laimėjimai neiškrito“. Šie įvykiai sudaro visą poromis nesuderinamų įvykių grupę.
3 pavyzdys. Šaulys paleido šūvį į taikinį. Tikrai įvyks vienas iš dviejų įvykių: pataikyti, praleisti. Šie du nesuderinami įvykiai sudaro ištisą grupę.
Renginiai vadinami vienodai įmanoma jei yra pagrindo manyti, kad nė vienas iš jų nėra labiau įmanomas už kitą.
4 pavyzdys. „Gerbo“ ir užrašo atsiradimas metant monetą yra vienodai galimi įvykiai. Iš tiesų daroma prielaida, kad moneta pagaminta iš vienalytės medžiagos, taisyklingos cilindro formos, o nukaldinimas neturi įtakos vienos ar kitos monetos pusės iškritimui.
Savas žymimas lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis: A, B, C, .. A 1, A 2 ..
Vieninteliai du galimi subjektai, kurie sudaro visą grupę, vadinami priešingais. Jei viena iš dviejų priešingybių. įvykiai žymimi A, kiti – A.
Pavyzdys 5. Pataikė ir trūksta šaudant į taikinį – priešingas laukas. taip-i.
Pamokos tikslas:
- Supažindinkite su patikimų, neįmanomų ir atsitiktinių įvykių samprata.
- Suformuoti žinias ir įgūdžius, leidžiančius nustatyti įvykių tipą.
- Ugdykite: skaičiavimo įgūdžius; Dėmesio; gebėjimas analizuoti, samprotauti, daryti išvadas; grupinio darbo įgūdžiai.
Per užsiėmimus
1) Organizacinis momentas.
Interaktyvi mankšta: vaikai turi spręsti pavyzdžius ir iššifruoti žodžius, pagal rezultatus suskirstomi į grupes (patikimas, neįmanomas ir atsitiktinis) ir nustato pamokos temą.
1 kortelė.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kortele
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kortele
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Išmoktų žinių atnaujinimas.
Plojimų žaidimas: lyginis skaičius - ploji, nelyginis - atsistokite.
Užduotis: iš pateiktos skaičių serijos 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... nustatykite lyginį ir nelyginį.
3) Naujos temos mokymasis.
Jūs turite kubelius ant savo stalų. Pažvelkime į juos atidžiau. Ką tu matai?
Kur naudojami kauliukai? Kaip?
Grupinis darbas.
Eksperimento vykdymas.
Kokias prognozes galima daryti metant kauliuką?
Pirmoji prognozė: vienas iš skaičių 1,2,3,4,5 arba 6 bus atmestas.
Įvykis, kuris būtinai įvyks šioje patirtyje, vadinamas patikimas.
Antroji prognozė: numeris 7 bus atmestas.
Kaip manote, ar ateis numatytas įvykis, ar ne?
Tai neįmanoma!
Įvykis, kuris negali įvykti tam tikroje patirtyje, vadinamas neįmanomas.
Trečia prognozė: numeris 1 bus atmestas.
Ar ateis šis renginys?
Įvykis, kuris tam tikroje patirtyje gali įvykti arba neįvykti, vadinamas atsitiktinis.
4) Studijuotos medžiagos konsolidavimas.
I. Nustatykite įvykio tipą
-Rytoj snigs raudonai.
Rytoj gausus sniegas.
Rytoj, nors ir liepa, pasnigs.
Rytoj, nors ir liepa, sniego nebus.
Rytoj snigs ir pūs pūga.
II. Pridėkite žodį prie šio sakinio, kad įvykis taptų neįmanomas.
Kolya istorijoje gavo A.
Sasha teste neatliko nė vienos užduoties.
Naują temą paaiškins Oksana Michailovna (istorijos mokytoja).
III. Pateikite neįmanomų, atsitiktinių ir patikimų įvykių pavyzdžių.
IV. Darbas pagal vadovėlį (grupėse).
Toliau pateiktose užduotyse nurodytus įvykius apibūdinkite kaip tikėtinus, neįmanomus ar atsitiktinius.
Nr. 959. Petja sumanė natūralųjį skaičių. Renginys yra toks:
a) sumanytas lyginis skaičius;
b) sumanytas nelyginis skaičius;
c) sumanytas skaičius, kuris nėra nei lyginis, nei nelyginis;
d) nelyginis arba lyginis skaičius yra sumanytas.
Nr. 960. Atidarėte šią mokymo programą bet kuriame puslapyje ir pasirinkote pirmą pasitaikiusį daiktavardį. Renginys yra toks:
a) pasirinkto žodžio rašyboje yra balsis;
b) pasirinkto žodžio rašyboje yra raidė „o“;
c) pasirinkto žodžio rašyboje nėra balsių;
d) pasirinkto žodžio rašyboje yra minkštasis ženklas.
Spręsti Nr.961, Nr.964.
Išspręstų užduočių aptarimas.
5) Refleksija.
1.Su kokiais įvykiais susipažinote pamokoje?
2. Nurodykite, kuris iš šių įvykių yra patikimas, kuris neįmanomas, o kuris atsitiktinis:
a) nebus vasaros atostogų;
b) sumuštinis kris sviestu žemyn;
c) kada nors baigsis mokslo metai.
6) Namų darbai:
Sugalvokite du patikimus, atsitiktinius ir neįmanomus įvykius.
Nupieškite piešinį prie vieno iš jų.
5 klasė. Įvadas į tikimybę (4 val.)
(4 pamokų šia tema kūrimas)
Mokymosi tikslai : - supažindinti su atsitiktinio, patikimo ir neįmanomo įvykio apibrėžimu;
Pateikite pirmąsias kombinatorinių problemų sprendimo idėjas: naudokite variantų medį ir daugybos taisyklę.
Švietimo tikslas: mokinių pasaulėžiūros ugdymas.
Plėtros tikslas : erdvinės vaizduotės ugdymas, darbo su liniuote įgūdžių tobulinimas.
Patikimi, neįmanomi ir atsitiktiniai įvykiai (2 val.)
Kombinacinės užduotys (2 val.)
Patikimi, neįmanomi ir atsitiktiniai įvykiai.
Pirma pamoka
Pamokos įranga: kauliukai, monetos, nardai.
Mūsų gyvenimas daugiausia susideda iš nelaimingų atsitikimų. Yra toks mokslas „Tikimybių teorija“. Vartojant jos kalbą galima aprašyti daugybę reiškinių ir situacijų.
Net pirmykštis vadas suprato, kad keliolika medžiotojų turi „tikimybę“ ietimi pataikyti į bizoną ne vieną. Todėl tada jie medžiojo kolektyviai.
Tokie senovės generolai kaip Aleksandras Didysis ar Dmitrijus Donskojus, besiruošdami mūšiui, pasikliovė ne tik karių narsumu ir įgūdžiais, bet ir atsitiktinumu.
Daugeliui žmonių matematika patinka dėl amžinųjų tiesų, du kartus du visada yra keturi, lyginių skaičių suma yra lyginė, stačiakampio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir tt Bet kurią jūsų išspręstą problemą gauna tas pats atsakymas – tiesiog nereikia daryti klaidų sprendime.
Tikrasis gyvenimas nėra toks paprastas ir aiškus. Daugelio reiškinių pasekmių negalima numatyti iš anksto. Pavyzdžiui, neįmanoma tiksliai pasakyti, į kurią pusę nukris įmesta moneta, kada kitais metais iškris pirmasis sniegas ar kiek mieste norės paskambinti per kitą valandą. Tokie nenuspėjami reiškiniai vadinami atsitiktinis .
Tačiau byla turi ir savų dėsnių, kurie ima reikštis pasikartojant atsitiktiniams reiškiniams. Jei monetą apversite 1000 kartų, tai „galvos“ iškris maždaug pusę laiko, ko negalima pasakyti apie du ar net dešimt metimų. „Apytiksliai“ nereiškia pusės. Tai, kaip taisyklė, gali būti arba ne. Įstatymas visiškai nieko nenurodo, bet suteikia tam tikrą tikrumo laipsnį, kad įvyks koks nors atsitiktinis įvykis. Tokius modelius tiria specialus matematikos skyrius - Tikimybių teorija . Su jo pagalba galima su didesniu pasitikėjimu (bet vis tiek neabejotina) numatyti ir pirmojo sniego datą, ir telefono skambučių skaičių.
Tikimybių teorija yra neatsiejamai susijusi su mūsų kasdieniu gyvenimu. Tai suteikia mums nuostabią galimybę empiriškai nustatyti daugybę tikimybių dėsnių, daug kartų kartojant atsitiktinius eksperimentus. Šių eksperimentų medžiaga dažniausiai bus paprasta moneta, kauliukas, domino kauliukų rinkinys, nardai, ruletė ar net kortų kaladė. Kiekvienas iš šių elementų yra kažkaip susijęs su žaidimais. Faktas yra tas, kad atvejis čia pasirodo dažniausiai. O pirmosios tikimybinės problemos buvo susijusios su žaidėjų galimybių laimėti įvertinimu.
Šiuolaikinė tikimybių teorija nutolo nuo azartinių lošimų, tačiau jos rekvizitai vis dar yra paprasčiausias ir patikimiausias atsitiktinumo šaltinis. Praktikuodami su ruletės ratu ir kauliukais išmoksite apskaičiuoti atsitiktinių įvykių tikimybę realiose gyvenimo situacijose, o tai leis įvertinti savo sėkmės galimybes, pasitikrinti hipotezes, priimti optimalius sprendimus ne tik žaidimuose ir loterijose. .
Spręsdami tikimybinius uždavinius, būkite labai atsargūs, stenkitės pagrįsti kiekvieną savo žingsnį, nes jokioje kitoje matematikos srityje nėra tiek daug paradoksų. Kaip tikimybių teorija. Ir turbūt pagrindinis to paaiškinimas yra jos ryšys su realiu pasauliu, kuriame gyvename.
Daugelyje žaidimų naudojamas kauliukas su skirtingu taškų skaičiumi ant kiekvieno veido nuo 1 iki 6. Žaidėjas meta kauliuką, žiūri, kiek taškų iškrito (ant veido, kuris yra viršuje), ir atlieka atitinkamą skaičių ėjimų. : 1,2,3 , 4,5 arba 6. Kauliuko metimas gali būti laikomas patirtimi, eksperimentu, išbandymu, o gautas rezultatas yra įvykis. Žmonėms dažniausiai labai įdomu atspėti įvykio pradžią, nuspėti jo baigtį. Kokias prognozes jie gali padaryti metę kauliuką? Pirmoji prognozė: iškris vienas iš skaičių 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Kaip manote, ateis numatytas įvykis ar ne? Žinoma, tikrai ateis. Įvykis, kuris būtinai įvyks šioje patirtyje, vadinamas patikimas įvykis.
Antroji prognozė : iškris numeris 7. Kaip manote, ateis numatytas įvykis ar ne? Žinoma, kad nebus, tai tiesiog neįmanoma. Įvykis, kuris negali įvykti tam tikroje patirtyje, vadinamas neįmanomas įvykis.
Trečia prognozė : iškris numeris 1. Kaip manote, ateis numatytas įvykis ar ne? Negalime visiškai užtikrintai atsakyti į šį klausimą, nes numatomas įvykis gali įvykti arba neįvykti. Įvykis, kuris tam tikroje patirtyje gali įvykti arba neįvykti, vadinamas atsitiktinis įvykis.
Pratimas : Apibūdinkite toliau pateiktose užduotyse nurodytus įvykius. Kiek patikima, neįmanoma ar atsitiktinė.
Išverčiame monetą. Atsirado herbas. (atsitiktinis)
Medžiotojas nušovė vilką ir pataikė. (atsitiktinis)
Moksleivis kiekvieną vakarą eina pasivaikščioti. Pirmadienį vaikščiodamas sutiko tris pažįstamus. (atsitiktinis)
Protiškai atlikime tokį eksperimentą: apverskite vandens stiklinę aukštyn kojomis. Jei šis eksperimentas bus atliktas ne erdvėje, o namuose ar klasėje, vanduo išsilies. (patikimas)
Į taikinį buvo paleisti trys šūviai“. Buvo penki hitai „(Neįmanoma)
Mes metame akmenį aukštyn. Akmuo lieka pakibęs ore. (neįmanomas)
Atsitiktinai pertvarkome žodžio „antagonizmas“ raides. Išeis žodis „anachroizmas“. (neįmanomas)
№959. Petya sumanė natūralų skaičių. Renginys yra toks:
a) sumanytas lyginis skaičius; (atsitiktinis) b) sumanytas nelyginis skaičius; (atsitiktinis)
c) sumanytas skaičius, kuris nėra nei lyginis, nei nelyginis; (neįmanomas)
d) nelyginis arba lyginis skaičius yra sumanytas. (patikimas)
№ 961. Petya ir Tolya lygina savo gimtadienius. Renginys yra toks:
a) jų gimtadieniai nesutampa; (atsitiktinis) b) jų gimtadieniai yra vienodi; (atsitiktinis)
d) abiejų gimtadieniai patenka į šventes – Naujuosius metus (sausio 1 d.) ir Rusijos nepriklausomybės dieną (birželio 12 d.). (atsitiktinis)
№ 962. Žaidžiant nardus naudojami du kauliukai. Žaidimo dalyvio atliekamų ėjimų skaičius nustatomas sudėjus skaičius ant dviejų numestų kauliuko briaunų, o jei iškrenta „dublis“ (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), tada judesių skaičius padvigubinamas. Metate kauliukus ir suprasite, kiek judesių turite atlikti. Renginys yra toks:
a) turite padaryti vieną judesį; b) turite atlikti 7 judesius;
c) turite atlikti 24 judesius; d) turite atlikti 13 judesių.
a) - neįmanoma (1 ėjimas gali būti atliktas, jei iškrenta kombinacija 1 + 0, bet ant kauliuko nėra skaičiaus 0).
b) - atsitiktinis (jei iškrenta 1 + 6 arba 2 + 5).
c) - atsitiktinis (jei derinys yra 6 +6).
d) - neįmanomas (nėra skaičių nuo 1 iki 6 kombinacijų, kurių suma yra 13; šio skaičiaus negalima gauti net tada, kai atsiranda „dvigubas“, nes jis nelyginis).
Išbandyk save. (matematikos diktantas)
1) Nurodykite, kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie yra patikimi, kurie atsitiktiniai:
Futbolo rungtynės „Spartak“ – „Dinamo“ baigsis lygiosiomis. (atsitiktinis)
Jūs laimėsite dalyvaudami laimėjimo loterijoje (patvirtinta)
Vidurnaktį iškris sniegas, o po 24 valandų švies saulė. (neįmanomas)
Rytoj bus matematikos testas. (atsitiktinis)
Būsite išrinktas JAV prezidentu. (neįmanomas)
Būsite išrinktas Rusijos prezidentu. (atsitiktinis)
2) Parduotuvėje pirkote televizorių, kuriam gamintojas suteikia dvejų metų garantiją. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie atsitiktiniai, kurie patikimi:
Televizorius nesuges metus. (atsitiktinis)
Televizorius nesuges po dvejų metų. (atsitiktinis)
Per dvejus metus jums nereikės mokėti už televizoriaus remontą. (patikimas)
Televizorius suges trečiais metais. (atsitiktinis)
3) Autobusas, vežantis 15 keleivių, turės sustoti 10 kartų. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie atsitiktiniai, kurie patikimi:
Visi keleiviai iš autobuso išlips skirtingose stotelėse. (neįmanomas)
Visi keleiviai išlips vienoje stotelėje. (atsitiktinis)
Kiekvienoje stotelėje bent kas nors išlips. (atsitiktinis)
Bus stotelė, kurioje niekas neišlips. (atsitiktinis)
Visose stotelėse išvažiuos lyginis keleivių skaičius. (neįmanomas)
Visose stotelėse išvažiuos nelyginis keleivių skaičius. (neįmanomas)
Namų darbai : 53 p. №960, 963, 965 (pats pagalvokite apie du patikimus, atsitiktinius ir neįmanomus įvykius).
Antra pamoka.
Namų darbų patikra. (žodžiu)
a) Paaiškinkite, kas yra tam tikras, atsitiktinis ir neįmanomas įvykis.
b) Nurodykite, kuris iš šių įvykių yra patikimas, kuris neįmanomas, kuris atsitiktinis:
Vasaros atostogų nebus. (neįmanomas)
Sumuštinis kris sviestu žemyn. (atsitiktinis)
Mokslo metai kada nors baigsis. (patikimas)
Jie manęs paklaus rytoj klasėje. (atsitiktinis)
Šiandien sutiksiu juodą katę. (atsitiktinis)
№ 960. Atidarėte šią mokymo programą bet kuriame puslapyje ir pasirinkote pirmą pasitaikiusį daiktavardį. Renginys yra toks:
a) pasirinkto žodžio rašyboje yra balsis. ((patikimas)
b) pasirinkto žodžio rašyboje yra raidė „o“. (atsitiktinis)
c) pasirinkto žodžio rašyboje nėra balsių. (neįmanomas)
d) pasirinkto žodžio rašyboje yra minkštasis ženklas. (atsitiktinis)
№ 963. Jūs vėl žaidžiate nardus. Apibūdinkite šį įvykį:
a) žaidėjas turi atlikti ne daugiau kaip du ėjimus. (neįmanoma - su mažiausių skaičių 1 + 1 kombinacija žaidėjas atlieka 4 ėjimus; derinys 1 + 2 duoda 3 ėjimus; visi kiti deriniai duoda daugiau nei 3 ėjimus)
b) žaidėjas turi atlikti daugiau nei du ėjimus. (patikimas – bet koks derinys suteikia 3 ar daugiau judesių)
c) žaidėjas turi atlikti ne daugiau kaip 24 ėjimus. (patikimas - didžiausių skaičių 6 + 6 derinys duoda 24 judesius, o visi likusieji - mažiau nei 24 ėjimus)
d) žaidėjas turi atlikti dviženklį ėjimų skaičių. (atsitiktinis - pavyzdžiui, derinys 2 + 3 suteikia vienženklį ėjimų skaičių: 5, o kritimas iš dviejų ketvertų - dviženklį ėjimų skaičių)
2. Problemų sprendimas.
№ 964. Maišelyje yra 10 kamuoliukų: 3 mėlyni, 3 balti ir 4 raudoni. Apibūdinkite šį įvykį:
a) iš maišelio buvo ištraukti 4 rutuliukai ir visi mėlyni; (neįmanomas)
b) iš maišelio buvo ištraukti 4 rutuliukai ir visi raudoni; (atsitiktinis)
c) iš maišelio buvo ištraukti 4 rutuliukai, kurie visi pasirodė skirtingos spalvos; (neįmanomas)
d) Iš maišo buvo ištraukti 4 rutuliai, tarp kurių nebuvo juodo kamuoliuko. (patikimas)
1 tikslas. Dėžutėje yra 10 raudonų, 1 žalia ir 2 mėlyni rašikliai. Atsitiktinai iš dėžutės išimami du daiktai. Kurie iš šių įvykių yra neįmanomi, kurie atsitiktiniai, kurie patikimi:
a) išimamos dvi raudonos rankenos (atsitiktinai)
b) išimamos dvi žalios rankenos; (neįmanomas)
c) išimamos dvi mėlynos rankenos; (atsitiktinis)
d) išimamos dviejų skirtingų spalvų rankenos; (atsitiktinis)
e) nuimamos dvi rankenos; (patikimas)
f) išimami du pieštukai. (neįmanomas)
2 tikslas. Mikė Pūkuotukas, Paršelis ir visi – visi – visi susėda prie apskrito stalo švęsti savo gimtadienio. Kiek iš visų renginių „Mikė Pūkuotukas ir Paršelis sėdės vienas šalia kito“ yra patikimas, o kiek atsitiktinis?
(jei visi - visi - visi yra tik 1, tai įvykis patikimas, jei daugiau nei 1, tai atsitiktinis).
3 tikslas. Iš 100 labdaros loterijos bilietų laimi 20. Kiek bilietų reikia nusipirkti, kad renginys „nieko nelaimėsi“ būtų neįmanomas?
4 užduotis. Klasėje yra 10 berniukų ir 20 mergaičių. Kurie iš šių įvykių tokiai klasei neįmanomi, kurie yra atsitiktiniai, kurie yra patikimi
Klasėje yra du žmonės, gimę skirtingais mėnesiais. (atsitiktinis)
Klasėje yra du žmonės, gimę tą patį mėnesį. (patikimas)
Klasėje yra du berniukai, gimę tą patį mėnesį. (atsitiktinis)
Klasėje yra dvi mergaitės, kurios gimė tą patį mėnesį. (patikimas)
Visi berniukai gimė skirtingais mėnesiais. (patikimas)
Visos mergaitės gimė skirtingais mėnesiais. (atsitiktinis)
Tą patį mėnesį gimė berniukas ir mergaitė. (atsitiktinis)
Yra berniukas ir mergaitė, kurie gimė skirtingais mėnesiais. (atsitiktinis)
5 užduotis. Dėžutėje yra 3 raudoni, 3 geltoni, 3 žali rutuliukai. Atsitiktinai išimame 4 kamuoliukus. Apsvarstykite įvykį „Tarp išimtų kamuoliukų bus tiksliai M spalvų kamuoliukų“. Kiekvienam M nuo 1 iki 4 nustatykite, kuris įvykis yra neįmanomas, patikimas ar atsitiktinis, ir užpildykite lentelę:
Savarankiškas darbas.
ašvariantas
a) jūsų draugo gimtadienis yra mažesnis nei 32;
c) rytoj bus matematikos testas;
d) Kitais metais pirmasis sniegas Maskvoje iškris sekmadienį.
Mesti kauliuką. Apibūdinkite įvykį:
a) kubas, nukritęs, atsistos ant krašto;
b) vienas iš skaičių bus išmestas: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) skaičius 6 bus išmestas;
d) bus atmestas 7 kartotinis.
Dėžutėje yra 3 raudoni, 3 geltoni ir 3 žali rutuliai. Apibūdinkite įvykį:
a) visi išimti tos pačios spalvos kamuoliukai;
b) visi išimti skirtingų spalvų kamuoliukai;
c) tarp išimtų kamuoliukų yra skirtingų spalvų kamuoliukų;
c) tarp išimtų kamuoliukų yra raudonas, geltonas ir žalias rutulys.
IIvariantas
Apibūdinkite aptariamą įvykį kaip tam tikrą, neįmanomą ar atsitiktinį:
a) nuo stalo nukritęs sumuštinis nukris sviestu ant grindų;
b) Maskvoje vidurnaktį pasnigs, o po 24 valandų švies saulė;
c) laimite dalyvaudami loterijoje, kurioje laimi;
d) kitais metais gegužės mėnesį pasigirs pirmasis pavasario griaustinis.
Ant kortelių užrašomi visi dviženkliai skaičiai. Viena kortelė parenkama atsitiktinai. Apibūdinkite įvykį:
a) kortelėje buvo nulis;
b) kortelės skaičius yra 5 kartotinis;
c) kortelės skaičius yra 100 kartotinis;
d) kortelės skaičius yra didesnis nei 9 ir mažesnis nei 100.
Dėžutėje yra 10 raudonų, 1 žalia ir 2 mėlyni rašikliai. Atsitiktinai iš dėžutės išimami du daiktai. Apibūdinkite įvykį:
a) išimamos dvi mėlynos rankenos;
b) išimamos dvi raudonos rankenos;
c) išimamos dvi žalios rankenos;
d) žalios ir juodos rankenos išimamos.
Namų darbai: 1). Sugalvokite du patikimus, atsitiktinius ir neįmanomus įvykius.
2). Užduotis . Dėžutėje yra 3 raudoni, 3 geltoni, 3 žali rutuliukai. Atsitiktinai išimkite N kamuoliukus. Apsvarstykite įvykį „tarp išimtų kamuoliukų bus lygiai trijų spalvų kamuoliukų“. Kiekvienam N nuo 1 iki 9 nustatykite, kuris įvykis yra neįmanomas, patikimas ar atsitiktinis, ir užpildykite lentelę:
Kombinacinės problemos.
Pirma pamoka
Namų darbų patikra. (žodžiu)
a) patikriname mokinių sugalvotas problemas.
b) papildoma užduotis.
Skaitau ištrauką iš V. Levšino knygos „Trys dienos nykštuke“.
„Iš pradžių, skambant sklandžiam valso garsams, skaičiai sudarė grupę: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Tada jaunieji čiuožėjai ėmė keistis vietomis, formuodami vis naujas grupes: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 ir kt.
Tai tęsėsi tol, kol čiuožėjai grįžo į pradinę padėtį.
Kiek kartų jie apsikeitė vietomis?
Šiandien pamokoje išmoksime spręsti tokias problemas. Jie vadinami kombinatorinis.
3. Naujos medžiagos mokymasis.
1 tikslas. Kiek dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2, 3?
Sprendimas: 11, 12, 13
31, 32, 33. Iš viso yra 9 skaičiai.
Spręsdami šią problemą atlikome visų galimų variantų išvardijimą arba, kaip paprastai sakoma tokiais atvejais. Visi galimi deriniai. Todėl tokios užduotys vadinamos kombinatorinis. Gyvenime gana dažnai tenka skaičiuoti galimus (ar neįmanomus) variantus, todėl pravartu susipažinti su kombinatorinėmis problemomis.
№ 967. Kelios šalys nusprendė savo nacionalinei vėliavai naudoti simbolius – tris vienodo pločio horizontalias skirtingų spalvų – baltos, mėlynos, raudonos – juosteles. Kiek šalių gali naudoti tokius simbolius, jei kiekviena šalis turi savo vėliavą?
Sprendimas. Tarkime, kad pirmoji juostelė yra balta. Tada antroji juostelė gali būti mėlyna arba raudona, o trečia atitinkamai raudona arba mėlyna. Pasirodė du variantai: balta, mėlyna, raudona arba balta, raudona, mėlyna.
Dabar tegul pirmoji juostelė būna mėlyna, tada vėl gauname dvi parinktis: balta, raudona, mėlyna arba mėlyna, raudona, balta.
Tegul pirmoji juostelė būna raudona, tada yra dar du variantai: raudona, balta, mėlyna arba raudona, mėlyna, balta.
Iš viso yra 6 galimi variantai. Šią vėliavą gali naudoti 6 šalys.
Taigi, spręsdami šią problemą, ieškojome būdo, kaip išvardinti galimus variantus. Daugeliu atvejų tai yra naudinga paveikslo konstravimo technika - surašymo schema. Tai, pirma, aišku, ir, antra, leidžia mums į viską atsižvelgti, nieko nepraleisti.
Ši schema dar vadinama galimų variantų medžiu.
Titulinis lapas
Antroji juosta
Trečia juosta
Gautas derinys
№ 968. Kiek dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2, 4, 6, 8?
Sprendimas. Mus dominantiems dviženkliams skaičiams pirmoje vietoje gali būti bet kuris iš nurodytų skaitmenų, išskyrus 0. Jei į pirmą vietą padėsime skaičių 2, tai bet kuris iš pateiktų skaitmenų gali būti antroje vietoje. Bus penki dviženkliai skaičiai: 2., 22, 24, 26, 28. Taip pat bus penki dviženkliai skaičiai su pirmuoju skaitmeniu 4, penki dviženkliai skaičiai su pirmuoju skaitmeniu 6 ir penki dviženkliai. -skaitmenų skaičiai, kurių pirmasis skaitmuo yra 8.
Atsakymas: iš viso bus 20 numerių.
Sukurkime galimų šios problemos sprendimo variantų medį.
Dvigubos figūros
Pirmas skaitmuo
Antras skaitmuo
Gauti numeriai
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Kurdami pasirinkimų medį, išspręskite šias problemas.
№ 971. Šalies vadovybė nusprendė savo valstybės vėliavą padaryti taip: viename iš kampų ant vienspalvio stačiakampio fono uždėtas kitos spalvos apskritimas. Buvo nuspręsta rinktis iš trijų spalvų: raudonos, geltonos, žalios. Kiek tokios vėliavos variantų
egzistuoja? Paveikslėlyje parodyta keletas galimų variantų.
Atsakymas: 24 variantai.
№ 973. a) Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaitmenų 1,3, 5,? (27 skaičiai)
b) Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaitmenų 1,3, 5, jei skaičiai nesikartotų? (6 skaičiai)
№ 979. Šiuolaikinės penkiakovininkės dvi dienas dalyvauja penkių sporto šakų varžybose: konkūrų, fechtavimosi, plaukimo, šaudymo ir bėgimo.
a) Kiek yra varžybų tipų eilės variantų? (120 variantų)
b) Kiek yra varžybų tipų įveikimo eilės variantų, jei žinoma, kad turi važiuoti paskutinis tipas? (24 variantai)
c) Kiek yra varžybų tipų įveikimo eilės variantų, jei žinoma, kad paskutinis tipas turi būti bėgimas, o pirmasis – konkūras? (6 variantai)
№ 981. Dviejose urnose yra po penkis kamuoliukus, kurių yra penkios skirtingos spalvos: balta, mėlyna, raudona, geltona, žalia. Vienu metu iš kiekvienos urnos išimamas vienas rutulys.
a) kiek skirtingų išimtų kamuoliukų kombinacijų yra (tokie deriniai kaip „balta – raudona“ ir „raudona – balta“ laikomi vienodais)?
(15 derinių)
b) Kiek yra kombinacijų, kuriose ištraukti kamuoliukai yra vienodos spalvos?
(5 deriniai)
c) kiek yra kombinacijų, kuriose ištraukti kamuoliukai yra skirtingų spalvų?
(15–5 = 10 derinių)
Namų darbai: 54 p., Nr.969, 972, patiems sugalvoti kombinatorinę problemą.
№ 969. Keletas šalių nusprendė savo nacionalinei vėliavai naudoti simbolius – tris vienodo pločio vertikalias juosteles skirtingomis spalvomis: žalia, juoda, geltona. Kiek šalių gali naudoti tokius simbolius, jei kiekviena šalis turi savo vėliavą?
№ 972. a) Kiek dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaičių 1, 3, 5, 7, 9?
b) Kiek dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaičių 1, 3, 5, 7, 9, su sąlyga, kad skaičiai nesikartotų?
Antra pamoka
Namų darbų patikra. a) Nr. 969 ir Nr. 972a) ir Nr. 972b) - lentoje pastatykite galimų variantų medį.
b) žodžiu patikrinkite sudarytas užduotis.
Spręsti problemas.
Taigi, prieš tai jūs ir aš išmokome spręsti kombinacines problemas naudojant pasirinkimų medį. Ar tai geras būdas? Tikriausiai taip, bet labai sudėtinga. Pabandykime kitaip išspręsti namų problemą Nr.972. Kas gali atspėti, kaip tai galima padaryti?
Atsakymas: kiekvienai iš penkių marškinėlių spalvų yra 4 kelnaičių spalvos. Iš viso: 4 * 5 = 20 variantų.
№ 980. Urnos turi po penkis kamuoliukus, penkių skirtingų spalvų: baltos, mėlynos, raudonos, geltonos, žalios. Vienu metu iš kiekvienos urnos išimamas vienas rutulys. Apibūdinkite šį įvykį kaip tam tikrą, atsitiktinį arba neįmanomą:
a) nuimti skirtingų spalvų kamuoliukai; (atsitiktinis)
b) išimami tos pačios spalvos kamuoliukai; (atsitiktinis)
c) išimami juodi ir balti rutuliai; (neįmanomas)
d) buvo ištraukti du rutuliai, kurie abu buvo nudažyti viena iš šių spalvų: balta, mėlyna, raudona, geltona, žalia. (patikimas)
№ 982. Grupė turistų planuoja surengti žygį maršrutu Antonovas – Borisovas – Vlasovas – Gribovas. Nuo Antonovo iki Borisovo galite plaukti upe arba vaikščioti. Nuo Borisovo iki Vlasovo galite eiti pėsčiomis arba važiuoti dviračiais. Nuo Vlasovo iki Gribovo galite plaukti palei upę, važiuoti dviračiais ar vaikščioti pėsčiomis. Kiek žygių galimybių turistai gali pasirinkti? Kiek žygio galimybių turistai gali pasirinkti, jei bent vienoje maršruto atkarpoje turi važiuoti dviračiais?
(12 maršrutų variantų, 8 iš jų dviračiais)
Savarankiškas darbas.
1 variantas
a) Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų: 0, 1, 3, 5, 7, su sąlyga, kad skaičiai nesikartotų?
Athos, Porthos ir Aramis turi tik kardą, durklą ir pistoletą.
a) Kiek būdų gali būti ginkluoti muškietininkai?
b) Kiek yra ginklų variantų, jei Aramis turėtų valdyti kardą?
c) Kiek yra ginklų variantų, jei Aramis turėtų turėti kardą, o Porthos - pistoletas?
Varnui kažkur Dievas atsiuntė gabalėlį sūrio, taip pat fetos sūrio, dešros, baltos ir juodos duonos. Ant eglės tupintis varnas susiruošė pusryčiauti, bet susimąstė: kiek iš šių produktų galima pagaminti sumuštinius?
2 variantas
a) Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų: 0, 2, 4, 6, 8, su sąlyga, kad skaitmenys nesikartotų?
Grafas Monte Cristo nusprendė princesei Gaidei padovanoti auskarus, vėrinį ir apyrankę. Kiekviename papuošale turi būti vienos rūšies brangakmeniai: deimantai, rubinai ar granatai.
a) Kiek yra brangakmenių papuošalų derinimo galimybių?
b) Kiek yra papuošalų, jei manoma, kad auskarai yra deimantiniai?
c) Kiek yra papuošalų, jei auskarai turi būti deimantiniai, o apyrankė – granatinė?
Pusryčiams galite rinktis bandelę, sumuštinį ar meduolį su kava ar kefyru. Kiek pusryčių variantų galite sudaryti?
Namų darbai : Nr. 974, 975. (sudarius variantų medį ir naudojant daugybos taisyklę)
№ 974 . a) Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaitmenų 0, 2, 4?
b) Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaitmenų 0, 2, 4, jei skaičiai nesikartotų?
№ 975 . a) Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš skaitmenų 1.3, 5.7?
b) Kiek triženklių skaičių galima padaryti iš pateiktų skaitmenų 1.3, 5.7. Kad skaičiai neturėtų kartotis?
Problemų numeriai paimti iš pamokos
„Matematika-5“, I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius, 2004 m.
