Figūros su ribotomis linijomis. Apskaičiuokite paveikslo pavyzdžių plotą. Revoliucijos kūno tūris
Šiame straipsnyje sužinosite, kaip rasti figūros plotą, apribotą linijomis, naudojant integralinius skaičiavimus. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai ką tik baigėme apibrėžtųjų integralų studijas ir laikas pradėti geometrinė interpretacijažinių įgijo praktikoje.
Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto, naudojant integralus, problemą:
- Gebėjimas atlikti kompetentingus brėžinius;
- Gebėjimas išspręsti apibrėžtąjį integralą naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnizo formulę;
- Galimybė „pamatyti“ pelningesnį sprendimo variantą – t.y. supranti, kaip vienu ar kitu atveju bus patogiau vykdyti integraciją? Išilgai x ašies (OX) ar y ašies (OY)?
- Na, kur mes būtume be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti kito tipo integralus, ir teisingus skaitinius skaičiavimus.
Figūros, apribotos linijomis, ploto skaičiavimo problemos sprendimo algoritmas:
1. Mes statome brėžinį. Patartina tai daryti ant languoto popieriaus lapo, dideliu mastu. Šios funkcijos pavadinimą pasirašome pieštuku virš kiekvieno grafiko. Grafikai pasirašomi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavus norimos figūros grafiką, daugeliu atvejų iš karto bus aišku, kokios integracijos ribos bus naudojamos. Taigi problemą išsprendžiame grafiškai. Tačiau atsitinka taip, kad ribų reikšmės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antrojo veiksmo.
2. Jei integravimo ribos nėra aiškiai nurodytos, randame grafikų susikirtimo taškus tarpusavyje ir žiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas sutampa su analitiniu.
3. Toliau reikia išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip išdėstyti funkcijų grafikai, yra skirtingi požiūriai rasti figūros plotą. Pasvarstykime skirtingų pavyzdžių kaip rasti figūros plotą naudojant integralus.
3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti sritį lenkta trapecija. Kas yra lenkta trapecija? Tai plokščia figūra, kurią riboja x ašis (y = 0), tiesus x = a, x = b ir bet kuri kreivė, ištisinė intervale nuo a prieš b. Be to, šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau x ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitiniu būdu lygus tam tikram integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnizo formulę:
1 pavyzdys y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Kokiomis linijomis riboja figūra? Mes turime parabolę y = x2 – 3x + 3, kuris yra virš ašies OI, tai neneigiama, nes visi šios parabolės taškai turi teigiamas reikšmes. Toliau pateiktos tiesios linijos x = 1 Ir x = 3, kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra figūros ribinės linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, tai taip pat yra x ašis, kuri riboja figūrą iš apačios. Gauta figūra yra užtamsinta, kaip matyti iš paveikslo kairėje. Tokiu atveju galite nedelsiant pradėti spręsti problemą. Prieš mus yra paprastas išlenktos trapecijos pavyzdys, kurį toliau sprendžiame naudodami Niutono-Leibnizo formulę.
3.2. Ankstesnėje 3.1 pastraipoje nagrinėjome atvejį, kai lenkta trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tokios pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnizo formulės pridedamas minusas. Toliau apsvarstysime, kaip išspręsti tokią problemą.
2 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Šiame pavyzdyje turime parabolę y = x2 + 6x + 2, kuris kilęs iš ašies OI, tiesus x = -4, x = -1, y = 0. Čia y = 0 riboja norimą figūrą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 Ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus skaičiuojamas apibrėžtasis integralas. Figūros ploto radimo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad duota funkcija nėra teigiama, o taip pat yra ištisinė intervale [-4; -1] . Ką reiškia ne teigiama? Kaip matyti iš paveikslo, figūra, esanti duotųjų x ribose, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti spręsdami problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnizo formulę, tik su minuso ženklu pradžioje.
Straipsnis nebaigtas.
Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Klasėje sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.
Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integralas apibrėžia tam tikrą kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją visada galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.
1 pavyzdys
Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.
Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje.
Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.
Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):
Neužtemdysiu lenktos trapecijos, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:
Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:
Atsakymas:
Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę, žiūrėkite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.
Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gautume, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tada akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida - 20 langelių aiškiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?
3 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.
Sprendimas: Padarykime piešinį:
Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi, tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:
Tokiu atveju:
Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokių geometrine prasme, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.
4 pavyzdys
Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.
Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:
Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti.
Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.
Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:
Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.
O dabar darbo formulė: Jei segmente yra tam tikra ištisinė funkcija didesnis arba lygus kai kurie nuolatinė funkcija, tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:
Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.
Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš
Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:
Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Atsakymas:
Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos apatinėje pusplokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra tokia: ypatinga byla formules Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra žemiau ašies, tada
O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui
5 pavyzdys
6 pavyzdys
Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .
Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:
7 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .
Pirmiausia padarykime piešinį:
Figūra, kurios sritį turime rasti, yra nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai iškyla taip, kad reikia rasti užtamsintos figūros plotą žalias!
Šis pavyzdys taip pat naudingas, nes jis apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:
1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;
2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.
Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:
Atsakymas:
8 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokyklos“ forma ir nubrėžkime tašką po taško:
Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?
Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.
Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:
Vadinasi,.
Tolesnis sprendimas yra nereikšmingas, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, skaičiavimai čia nėra patys paprasčiausi.
Segmente pagal atitinkamą formulę:
Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.
9 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , ,
Sprendimas: pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.
Norėdami sukurti taškinį brėžinį, turite žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.
Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:
Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:
(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Integralai iš trigonometrinės funkcijos . Tai tipinė technika, nuspaudžiame vieną sinusą.
(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę
(3) Pakeiskime kintamąjį , tada:
Naujos integracijos sritys:
Visi, kurie tikrai blogai elgiasi su pakaitalais, pasimokykite. Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Tiems, kurie ne visai supranta pakeitimo algoritmą tam tikru integralu, apsilankykite puslapyje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. 5 pavyzdys: Sprendimas: , todėl:
Atsakymas:
Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip čia naudojamas kubo liestinės integralas.
Atgal į priekį
Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.
Raktiniai žodžiai: integralas, kreivinė trapecija, figūrų plotas, apribotas lelijomis
Įranga: žymeklis, kompiuteris, multimedijos projektorius
Pamokos tipas: pamoka-paskaita
Pamokos tikslai:
- edukacinis: kurti protinio darbo kultūrą, sukurti kiekvieno mokinio sėkmės situaciją, kurti teigiamą mokymosi motyvaciją; ugdyti gebėjimą kalbėti ir klausytis kitų.
- kuriant: ugdyti savarankišką mokinio mąstymą taikant žinias įvairiose situacijose, gebėjimą analizuoti ir daryti išvadas, lavinti logiką, ugdyti gebėjimą teisingai kelti klausimus ir rasti į juos atsakymus. Tobulinti skaičiavimo ir skaičiavimo įgūdžius, ugdyti mokinių mąstymą atliekant siūlomas užduotis, ugdyti algoritminę kultūrą.
- edukacinis: formuoti sąvokas apie kreivinę trapeciją, apie integralą, įsisavinti plokštumos figūrų plotų skaičiavimo įgūdžius
Mokymo metodas: aiškinamoji ir iliustracinė.
Per užsiėmimus
Ankstesnėse pamokose mokėmės skaičiuoti plotus figūrų, kurių ribos yra trūkinės linijos. Matematikoje yra metodai, leidžiantys apskaičiuoti figūrų, apribotų kreivių, plotus. Tokios figūros vadinamos kreivinėmis trapecijomis, o jų plotas apskaičiuojamas naudojant antidarinius.
Kreivinė trapecija ( skaidrė 1)
Išlenkta trapecija yra figūra, apribota funkcijos grafiku, ( sh.m.), tiesiai x = a Ir x = b ir x ašis
Įvairių tipų lenktos trapecijos ( 2 skaidrė)
Atsižvelgiame į įvairius kreivinių trapecijų tipus ir pastebime: viena iš tiesių yra išsigimusi į tašką, ribojančios funkcijos vaidmenį atlieka tiesė
Išlenktos trapecijos plotas (3 skaidrė)
Pataisykime kairįjį intervalo galą A, ir teisingas X pakeisime, t.y., perkeliame dešinę kreivinės trapecijos sienelę ir gauname besikeičiančią figūrą. Kintamos kreivinės trapecijos plotas, apribotas funkcijos grafiku, yra antidarinė F už funkciją f
Ir segmente [ a; b] kreivinės trapecijos, kurią sudaro funkcija, plotas f, yra lygus šios funkcijos antidarinės prieaugiui:
1 pratimas:
Raskite kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja funkcijos grafikas: f(x) = x 2 ir tiesiai y = 0, x = 1, x = 2.
Sprendimas: ( pagal algoritmo skaidrę 3)
Nubraižykime funkcijos ir tiesių grafiką
Raskime vieną iš funkcijos antidarinių f(x) = x 2 :
Slyskite savęs patikrinimas
Integralinis
Apsvarstykite kreivinę trapeciją, kurią apibrėžia funkcija f segmente [ a; b]. Padalinkime šį segmentą į kelias dalis. Visos trapecijos plotas bus padalintas į mažesnių lenktų trapecijos plotų sumą. ( 5 skaidrė). Kiekvieną tokią trapeciją galima apytiksliai laikyti stačiakampiu. Šių stačiakampių plotų suma apytiksliai leidžia susidaryti vaizdą apie visą lenktos trapecijos plotą. Kuo mažesnį segmentą padalinsime [ a; b], tuo tiksliau apskaičiuosime plotą.
Parašykime šiuos argumentus formulių pavidalu.
Padalinkite segmentą [ a; b] į n dalis taškais x 0 = a, x1,…, xn = b. Ilgis k- th žymėti xk = xk – xk-1. Suskaičiuokime sumą
Geometriškai ši suma reiškia figūros plotą, nuspalvintą paveiksle ( sh.m.)
Formos sumos vadinamos integraliomis funkcijos sumomis f. (sh.m.)
Integralinės sumos suteikia apytikslę ploto vertę. Tiksli vertė gaunama pereinant prie ribos. Įsivaizduokime, kad tiksliname segmento skaidinį [ a; b], kad visų mažų atkarpų ilgiai būtų lygūs nuliui. Tada sudarytos figūros plotas priartės prie išlenktos trapecijos ploto. Galima sakyti, kad kreivosios trapecijos plotas lygus integralinių sumų ribai, Sc.t. (sh.m.) arba integralas, t.y.
Apibrėžimas:
Funkcijos integralas f(x) iš a prieš b vadinama integralinių sumų riba
= (sh.m.)
Niutono-Leibnizo formulė.
Prisimename, kad integralinių sumų riba yra lygi kreivinės trapecijos plotui, o tai reiškia, kad galime rašyti:
Sc.t. = (sh.m.)
Kita vertus, išlenktos trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę
S k.t. (sh.m.)
Palyginus šias formules, gauname:
= (sh.m.)Ši lygybė vadinama Niutono-Leibnizo formule.
Kad būtų lengviau apskaičiuoti, formulė parašyta taip:
= = (sh.m.)Užduotys: (sh.m.)
1. Apskaičiuokite integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę: ( patikrinkite 5 skaidrę)
2. Sudarykite integralus pagal brėžinį ( patikrinkite 6 skaidrę)
3. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( 7 skaidrė)
Plokštumos figūrų plotų radimas ( skaidrė 8)
Kaip rasti figūrų, kurios nėra išlenktos trapecijos, plotą?
Pateikiamos dvi funkcijos, kurių grafikus matote skaidrėje . (sh.m.) Raskite užtamsintos figūros plotą . (sh.m.). Ar nagrinėjama figūra yra lenkta trapecija? Kaip galite rasti jo plotą naudodami ploto adityvumo savybę? Apsvarstykite dvi lenktas trapecijas ir atimkite kitos plotą iš vienos iš jų ploto ( sh.m.)
Sukurkime algoritmą, kaip rasti sritį naudojant animaciją skaidrėje:
- Grafinės funkcijos
- Suprojektuokite grafikų susikirtimo taškus į x ašį
- Nuspalvinkite figūrą, gautą, kai grafikai susikerta
- Raskite kreivines trapecijas, kurių sankirta arba jungtis yra duota figūra.
- Apskaičiuokite kiekvieno iš jų plotą
- Raskite skirtumą arba plotų sumą
Žodinė užduotis: Kaip gauti užtamsintos figūros plotą (papasakokite naudojant animaciją, 8 ir 9 skaidrės)
Namų darbai: Perdirbti užrašus, Nr. 353 (a), Nr. 364 (a).
Bibliografija
- Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis vakarinės (pamaininės) mokyklos 9-11 klasei / red. G.D. Glaseris. - M: Švietimas, 1983 m.
- Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 10-11 vidurinės mokyklos klasėms / Bashmakov M.I. - M: Švietimas, 1991 m.
- Bašmakovas M.I. Matematika: vadovėlis institucijoms pradžiai. ir trečiadienį prof. išsilavinimas / M.I. Bašmakovas. - M: Akademija, 2010 m.
- Kolmogorovas A.N. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis 10-11 klasei. švietimo įstaigos / A.N. Kolmogorovas. - M: Švietimas, 2010 m.
- Ostrovskis S.L. Kaip parengti pristatymą pamokai?/ S.L. Ostrovskis. – M.: 2010 m. rugsėjo 1 d.
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą.
Sprendimas.
Susikirtimo taškų paieška duotomis eilutėmis. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą:
Norėdami rasti nurodytų tiesių susikirtimo taškų abscises, išsprendžiame lygtį:
Mes randame: x 1 = -2, x 2 = 4.
Taigi, šios linijos, kurios yra parabolė ir tiesė, susikerta taškuose A(-2; 0), B(4; 6).
Šios linijos sudaro uždarą figūrą, kurios plotas apskaičiuojamas pagal aukščiau pateiktą formulę:
Naudodami Niutono-Leibnizo formulę randame:
Raskite elipsės ribojamos srities plotą.
Sprendimas.
Iš elipsės lygties pirmajam kvadrantui turime. Iš čia, naudodami formulę, gauname
Taikykime pakaitalą x = a nuodėmė t, dx = a cos t dt. Naujos integracijos ribos t = α Ir t = β nustatomi iš lygčių 0 = a nuodėmė t, a = a nuodėmė t. Galima įdėti α = 0 ir β = π /2.
Raskite ketvirtadalį reikiamo ploto
Iš čia S = πab.
Raskite figūros, apribotos linijomis, plotąy = - x 2 + x + 4 iry = - x + 1.
Sprendimas.
Raskime tiesių susikirtimo taškus y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, prilyginant eilučių ordinates: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 arba x 2 - 2x- 3 = 0. Šaknų radimas x 1 = -1, x 2 = 3 ir jas atitinkančios ordinatės y 1 = 2, y 2 = -2.
Naudodami figūros ploto formulę gauname
Nustatykite plotą, apsuptą parabolėsy = x 2 + 1 ir tiesiaix + y = 3.
Sprendimas.
Lygčių sistemos sprendimas
raskite susikirtimo taškų abscises x 1 = -2 ir x 2 = 1.
Tikėdamas y 2 = 3 - x Ir y 1 = x 2 + 1, remiantis gauta formule
Apskaičiuokite plotą, esantį Bernulio lemniskater 2 = a 2 cos 2 φ .
Sprendimas.
Poliarinėje koordinačių sistemoje figūros plotas, apribotas kreivės lanku r = f(φ ) ir du poliariniai spinduliai φ 1 = ʅ Ir φ 2 = ʆ , bus išreikštas integralu
Dėl kreivės simetrijos pirmiausia nustatome ketvirtadalį reikiamo ploto
Todėl visas plotas lygus S = a 2 .
Apskaičiuokite astroido lanko ilgįx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Sprendimas.
Parašykime astroido lygtį į formą
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Padėkime x 1/3 = a 1/3 kaš t, y 1/3 = a 1/3 nuodėmės t.
Iš čia gauname astroido parametrines lygtis
x = a cos 3 t, y = a nuodėmė 3 t, (*)
kur 0 ≤ t ≤ 2π .
Dėl kreivės simetrijos (*) pakanka rasti ketvirtadalį lanko ilgio L, atitinkantis parametro pasikeitimą t nuo 0 iki π /2.
Mes gauname
dx = -3a cos 2 t nuodėmė t dt, dy = 3a nuodėmė 2 t cos t dt.
Iš čia randame
Integruojant gautą išraišką nuo 0 iki π /2, gauname
Iš čia L = 6a.
Raskite plotą, aptvertą Archimedo spiraler = aφ ir du spindulio vektoriai, atitinkantys poliarinius kampusφ 1 Irφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Sprendimas.
Kreivės aptvertas plotas r = f(φ ) apskaičiuojamas pagal formulę, kur α Ir β - poliarinio kampo kitimo ribos.
Taigi, mes gauname
(*)
Iš (*) matyti, kad plotas, kurį riboja poliarinė ašis ir pirmasis Archimedo spiralės posūkis ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Panašiai randame plotą, kurį riboja poliarinė ašis ir antrasis Archimedo spiralės posūkis ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Reikalingas plotas lygus šių plotų skirtumui
Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašįJautis parabolėmis apribotos figūrosy = x 2 Irx = y 2 .
Sprendimas.
Išspręskime lygčių sistemą
ir gauname x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, iš kur kreivių susikirtimo taškai O(0; 0), B(vienuolika). Kaip matyti paveikslėlyje, reikalingas apsisukimo kūno tūris yra lygus skirtumui tarp dviejų tūrių, susidarančių sukantis aplink ašį Jautis kreivinės trapecijos O.C.B.A. Ir ODBA:
Apskaičiuokite ašies aptvertą plotąJautis ir sinusoidinisy = nuodėmėx segmentuose: a) ; b) .
Sprendimas.
a) Atkarpoje funkcija sin x išsaugo ženklą, todėl pagal formulę darant prielaidą y= nuodėmė x, mes randame
b) Atkarpoje funkcija sin x keičia ženklą. Norint teisingai išspręsti problemą, reikia padalinti segmentą į du ir [ π , 2π ], kurių kiekvienoje funkcija išsaugo savo ženklą.
Pagal ženklų taisyklę, atkarpoje [ π , 2π ] plotas paimtas su minuso ženklu.
Dėl to reikalingas plotas lygus
Nustatykite kūno, apriboto paviršiaus, gauto sukantis elipsei, tūrįaplink pagrindinę ašįa .
Sprendimas.
Atsižvelgiant į tai, kad elipsė yra simetriška koordinačių ašių atžvilgiu, pakanka rasti tūrį, susidarantį sukantis aplink ašį Jautis plotas OAB, lygus vienam ketvirčiui elipsės ploto, ir padvigubinti rezultatą.
Sukimosi kūno tūrį pažymėkime V x; tada pagal formulę turime , kur 0 ir a- taškų abscisės B Ir A. Iš elipsės lygties randame . Iš čia
Taigi reikalingas tūris yra lygus . (Kai elipsė sukasi aplink mažąją ašį b, kūno tūris lygus )
Raskite plotą, kurį riboja parabolėsy 2 = 2 px Irx 2 = 2 py .
Sprendimas.
Pirmiausia randame parabolių susikirtimo taškų koordinates, kad nustatytų integravimo atkarpą. Transformuodami pradines lygtis, gauname ir . Sulyginę šias reikšmes, gauname arba x 4 - 8p 3 x = 0.
x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.
Raskite lygčių šaknis:
Atsižvelgiant į tai, kad taškas A parabolių sankirta yra pirmame ketvirtyje, tada integracijos ribos x= 0 ir x = 2p.
Pagal formulę randame reikiamą plotą
1 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 ir x = 2
Sukonstruokime figūrą (žr. pav.) Tiesę x + 2y – 4 = 0 statome naudodami du taškus A(4;0) ir B(0;2). Išreikšdami y per x, gauname y = -0,5x + 2. Naudodami (1) formulę, kur f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, randame
S = = [-0,25 = 11,25 kv. vienetų
2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 ir y = 0.
Sprendimas. Sukonstruokime figūrą.
Sukonstruokime tiesę x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Sukonstruokime tiesę x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Išspręsdami lygčių sistemą, raskime tiesių susikirtimo tašką:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Norint apskaičiuoti reikiamą plotą, trikampį AMC padalijame į du trikampius AMN ir NMC, nes kai x keičiasi iš A į N, plotas ribojamas tiesia linija, o kai x keičiasi iš N į C - tiese.
Trikampiui AMN turime: ; y = 0,5x + 2, t.y. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.
Trikampiui NMC turime: y = - x + 5, ty f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Apskaičiavę kiekvieno trikampio plotą ir sudėję rezultatus, gauname:
kv. vienetų
kv. vienetų
9 + 4, 5 = 13,5 kv. vienetų Patikrinkite: = 0,5 AC = 0,5 kv. vienetų
3 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Tokiu atveju reikia apskaičiuoti išlenktos trapecijos plotą, kurį riboja parabolė y = x 2 , tiesės x = 2 ir x = 3 ir Ox ašis (žr. pav.) Naudodami formulę (1) randame kreivinės trapecijos plotą
= = 6 kv. vienetų
4 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - x 2 + 4 ir y = 0
Sukonstruokime figūrą. Reikalingas plotas yra tarp parabolės y = - x 2 + 4 ir Jaučio ašis.
Raskime parabolės susikirtimo taškus su Jaučio ašimi. Darant prielaidą, kad y = 0, randame x = Kadangi šis skaičius yra simetriškas Oy ašiai, apskaičiuojame figūros, esančios dešinėje nuo Oy ašies, plotą ir gautą rezultatą padvigubiname: = +4x] kv. vienetų 2 = 2 kv. vienetų
5 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Čia reikia apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja viršutinė parabolės šaka 2 = x, ašis Ox ir tiesės x = 1 и x = 4 (žr. pav.)
Pagal (1) formulę, kur f(x) = a = 1 ir b = 4, turime = (= kv. vnt.).
6 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
Reikiamą plotą riboja sinusoidės pusbangis ir Ox ašis (žr. pav.).
Mes turime - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienetų
7 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - 6x, y = 0 ir x = 4.
Paveikslas yra po Jaučio ašimi (žr. pav.).
Todėl jo plotą randame naudodami formulę (3)
= =
8 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: y = ir x = 2. Iš taškų sukonstruokite y = kreivę (žr. pav.). Taigi figūros plotą randame naudodami formulę (4)
9 pavyzdys .
X 2 + y 2 = r 2 .
Čia reikia apskaičiuoti plotą, kurį sudaro apskritimas x 2 + y 2 = r 2 , ty apskritimo, kurio spindulys yra r, kurio centras yra ištakoje, plotas. Raskime ketvirtąją šios srities dalį imdami integracijos ribas iš 0
prieš; mes turime: 1 = = [
Vadinasi, 1 =
10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos tiesėmis, plotą: y= x 2 ir y = 2x
Šį skaičių riboja parabolė y = x 2 o tiesė y = 2x (žr. pav.) Norėdami nustatyti duotųjų tiesių susikirtimo taškus, sprendžiame lygčių sistemą: x 2 – 2x = 0 x = 0 ir x = 2
Naudodami (5) formulę, norėdami rasti plotą, gauname
= }
