មកជាមួយព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ និងមិនអាចអាចទៅរួចចំនួនពីរ។ មកជាមួយព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលអាចទុកចិត្តបាន ចៃដន្យ និងមិនអាចទៅរួច។ រៀនសម្ភារៈថ្មី។

ប្រធានបទនៃមេរៀន៖ "ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ដែលអាចទុកចិត្តបាន និងមិនអាចទៅរួច"

ទីកន្លែងនៃមេរៀនក្នុងកម្មវិធីសិក្សា៖ "អ្នករួមផ្សំ។ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ” មេរៀនទី 5/8

ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀនបង្កើតចំណេះដឹងថ្មី។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ការអប់រំ៖

o ណែនាំនិយមន័យនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ជាក់លាក់ និងមិនអាចទៅរួច;

o បង្រៀននៅក្នុងដំណើរការនៃស្ថានភាពជាក់ស្តែងដើម្បីកំណត់លក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ៖ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន មិនអាចទៅរួច ព្រឹត្តិការណ៍ដែលស្មើគ្នា។

អភិវឌ្ឍន៍៖

o ជំរុញការអភិវឌ្ឍនៃការគិតឡូជីខល,

o ចំណាប់អារម្មណ៍នៃការយល់ដឹងរបស់សិស្ស,

o សមត្ថភាពក្នុងការប្រៀបធៀប និងវិភាគ

ការអប់រំ៖

o ជំរុញចំណាប់អារម្មណ៍ក្នុងការសិក្សាគណិតវិទ្យា

o ការអភិវឌ្ឍន៍ទស្សនៈពិភពលោករបស់សិស្ស។

o មានជំនាញបញ្ញា និងប្រតិបត្តិការផ្លូវចិត្ត។

វិធីសាស្រ្តបង្រៀន៖ការពន្យល់ - គំនូរ, ការបន្តពូជ, ការសរសេរតាមគណិតវិទ្យា។

UMC៖គណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ ៦ កោសិកា។ នៅក្រោមការកែសម្រួល។ល។, គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "ការត្រាស់ដឹង", ឆ្នាំ ២០០៨, គណិតវិទ្យា, ៥-៦៖ សៀវភៅ។ សម្រាប់គ្រូ / [, [ , ]។ - M. : ការអប់រំ, 2006 ។

សម្ភារៈ Didactic៖ ផ្ទាំងរូបភាពក្តារ។

អក្សរសិល្ប៍៖

1. គណិតវិទ្យា៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ 6 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន/។ល។]; ed ។ , ; រស់. អាកាដ។ វិទ្យាសាស្រ្ត, Ros ។ អាកាដ។ ការអប់រំ, គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយ "ការត្រាស់ដឹង" ។ - ទី 10 ed ។ - M.: Enlightenment, 2008.-302 p.: ill. - (សៀវភៅសិក្សាសាលា) ។

2. គណិតវិទ្យា, 5-b: សៀវភៅ។ សម្រាប់គ្រូ / [,] ។ - M. : ការអប់រំ, 2006. - 191 ទំ។ ៖ ឈឺ។

4. ការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងស្ថិតិ បន្សំ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ថ្នាក់ទី 7-9 ។ / auth.- comp ។ . អេដ។ ទី 2, ប។ - Volgograd: គ្រូបង្រៀន, 2006. -428 ទំ។

5. មេរៀនគណិតវិទ្យាដោយប្រើបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន។ ៥-១០ ថ្នាក់។ វិធីសាស្រ្ត - សៀវភៅដៃជាមួយកម្មវិធីអេឡិចត្រូនិច / និងផ្សេងៗទៀត ទី 2 ed., stereotype ។ - M. : Globus Publishing House, 2010. - 266 ទំ។ (សាលាទំនើប) ។

6. ការបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅក្នុងសាលាទំនើប។ ការណែនាំ. វ្ល៉ាឌីវ៉ូស្តុក៖ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព PIPPCRO ឆ្នាំ ២០០៣។

ផែនការ​មេរៀន

I. ពេលរៀបចំ។

II. ការងារផ្ទាល់មាត់។

III. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

IV. ការបង្កើតជំនាញនិងសមត្ថភាព។

V. លទ្ធផលនៃមេរៀន។

V. កិច្ចការផ្ទះ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1. ពេលវេលារៀបចំ

2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង

15*(-100)

ការងារផ្ទាល់មាត់៖

3. ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី។

គ្រូ៖ ជីវិតរបស់យើងភាគច្រើនកើតចេញពីគ្រោះថ្នាក់។ មានវិទ្យាសាស្ត្របែបនេះ "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" ។ ដោយប្រើភាសារបស់វា វាអាចពិពណ៌នាអំពីបាតុភូត និងស្ថានភាពជាច្រើន។

មេទ័ពបុរាណដូចជា Alexander the Great ឬ Dmitry Donskoy ដែលត្រៀមប្រយុទ្ធ ពឹងផ្អែកមិនត្រឹមតែលើភាពក្លាហាន និងជំនាញរបស់អ្នកចម្បាំងប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានឱកាសផងដែរ។

មនុស្សជាច្រើនចូលចិត្តគណិតវិទ្យា សេចក្តីពិតអស់កល្បពីរដង ពីរគឺតែងតែជាបួន ផលបូកនៃលេខគូគឺស្មើ តំបន់នៃចតុកោណគឺជាផលនៃជ្រុងជាប់គ្នារបស់វា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នៅក្នុងបញ្ហាណាមួយដែលអ្នកដោះស្រាយ អ្នកគ្រប់គ្នាទទួលបានចម្លើយដូចគ្នា - អ្នកគ្រាន់តែមិនចាំបាច់បង្កើត កំហុសក្នុងដំណោះស្រាយ។

ជីវិតពិតមិនសាមញ្ញ និងមិនច្បាស់លាស់។ លទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនមិនអាចទាយទុកជាមុនបានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការនិយាយឱ្យប្រាកដថាតើផ្នែកមួយណាដែលកាក់ដែលត្រូវបោះនឹងធ្លាក់ចុះ នៅពេលដែលព្រិលដំបូងនឹងធ្លាក់នៅឆ្នាំក្រោយ ឬមានមនុស្សប៉ុន្មាននាក់នៅក្នុងទីក្រុងនឹងចង់ទូរស័ព្ទក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងបន្ទាប់។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទាយទុកជាមុនបានបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ចៃដន្យ .

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយករណីនេះក៏មានច្បាប់ផ្ទាល់ខ្លួនផងដែរដែលចាប់ផ្តើមបង្ហាញខ្លួនឯងជាមួយនឹងការកើតឡើងដដែលៗនៃបាតុភូតចៃដន្យ។ ប្រសិនបើអ្នកបោះកាក់ 1000 ដង នោះ "ឥន្ទ្រី" នឹងធ្លាក់ប្រហែលពាក់កណ្តាលម៉ោង ដែលមិនអាចនិយាយបានថាប្រហែលពីរ ឬដប់ដង។ "ប្រហែល" មិនមានន័យថាពាក់កណ្តាលទេ។ នេះ​ជា​ក្បួន​អាច​ឬ​មិន​ជា​ករណី។ ច្បាប់ជាទូទៅមិនបញ្ជាក់អ្វីឱ្យប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែផ្តល់ភាពប្រាកដប្រជាមួយថា ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយចំនួននឹងកើតឡើង។

ភាពទៀងទាត់បែបនេះត្រូវបានសិក្សាដោយសាខាពិសេសនៃគណិតវិទ្យា - ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ . ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចទស្សន៍ទាយដោយមានទំនុកចិត្តកាន់តែខ្លាំង (ប៉ុន្តែនៅតែមិនប្រាកដ) ទាំងកាលបរិច្ឆេទនៃការធ្លាក់ព្រិលដំបូង និងចំនួននៃការហៅទូរស័ព្ទ។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានភ្ជាប់ដោយ inextricably ជាមួយរបស់យើង។ ជីវិត​ប្រចាំថ្ងៃ. នេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដ៏អស្ចារ្យមួយក្នុងការបង្កើតច្បាប់ដែលអាចកើតមានជាច្រើន។ ជាក់ស្តែងដោយការពិសោធន៍ចៃដន្យម្តងទៀតច្រើនដង។ សម្ភារៈសម្រាប់ការពិសោធន៍ទាំងនេះភាគច្រើនជាកាក់ធម្មតា គ្រាប់ឡុកឡាក់ សំណុំនៃ dominoes backgammon រ៉ូឡែត ឬសូម្បីតែសន្លឹកបៀ។ ធាតុនីមួយៗទាំងនេះ មិនថាមធ្យោបាយមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀត ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយហ្គេម។ ការពិតគឺថាករណីនៅទីនេះលេចឡើងក្នុងទម្រង់ញឹកញាប់បំផុត។ ហើយ​កិច្ចការ​ដែល​ទំនង​ជា​ដំបូង​ត្រូវ​បាន​ភ្ជាប់​ជាមួយ​នឹង​ការ​វាយ​តម្លៃ​ឱកាស​របស់​អ្នក​លេង​ដើម្បី​ឈ្នះ។

ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេទំនើបបានផ្លាស់ប្តូរឆ្ងាយពីការលេងល្បែងស៊ីសង ប៉ុន្តែឧបករណ៍របស់ពួកគេនៅតែជាប្រភពនៃឱកាសដ៏សាមញ្ញបំផុត និងគួរឱ្យទុកចិត្តបំផុត។ ដោយការអនុវត្តជាមួយកង់រ៉ូឡែត និងស្លាប់ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យក្នុងស្ថានភាពជីវិតពិត ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកវាយតម្លៃឱកាសជោគជ័យ សាកល្បងសម្មតិកម្ម និងធ្វើការសម្រេចចិត្តដ៏ល្អប្រសើរមិនត្រឹមតែនៅក្នុងហ្គេម និងឆ្នោតប៉ុណ្ណោះទេ។ .

ពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេ ត្រូវប្រយ័ត្នឲ្យបានខ្ពស់ ព្យាយាមកំណត់ជំហាននីមួយៗ ព្រោះគ្មានផ្នែកណាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យាមានលេខផ្ទុយគ្នាបែបនេះទេ។ ដូចជាទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ហើយប្រហែលជាការពន្យល់សំខាន់សម្រាប់រឿងនេះ គឺការភ្ជាប់របស់វាជាមួយនឹងពិភពពិតដែលយើងរស់នៅ។

នៅក្នុងហ្គេមជាច្រើន គ្រាប់ត្រូវប្រើដែលមានចំនួនពិន្ទុខុសៗគ្នាពី 1 ដល់ 6 នៅផ្នែកម្ខាងៗ។ អ្នកលេងរមៀលការស្លាប់ រកមើលចំនួនពិន្ទុដែលបានធ្លាក់ចុះ (នៅផ្នែកដែលស្ថិតនៅខាងលើ) និងធ្វើឱ្យ ចំនួនចលនាសមស្រប៖ 1,2,3,4,5, ឬ 6។ ការបោះចោលអាចចាត់ទុកថាជាបទពិសោធន៍ ការពិសោធន៍ ការសាកល្បង ហើយលទ្ធផលដែលទទួលបានអាចចាត់ទុកថាជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ជាធម្មតាមនុស្សចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការទស្សន៍ទាយការចាប់ផ្តើមនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ ដោយទស្សន៍ទាយលទ្ធផលរបស់វា។ តើការទស្សន៍ទាយអ្វីដែលពួកគេអាចធ្វើនៅពេលគ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រូវបានរមៀល?

ការព្យាករណ៍ដំបូង៖ លេខមួយក្នុងចំនោមលេខ 1,2,3,4,5, ឬ 6 នឹងធ្លាក់ចេញ តើអ្នកគិតថាព្រឹត្តិការណ៏ទស្សន៍ទាយនឹងមកដល់ឬអត់? ពិតណាស់វានឹងមក។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រាកដថានឹងកើតឡើងនៅក្នុងបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា អាចទុកចិត្តបាន។ព្រឹត្តិការណ៍។

ការព្យាករណ៍ទីពីរ : លេខ​៧​នឹង​ធ្លាក់​ចុះ​តើ​អ្នក​គិត​ថា​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​ទាយ​ទុក​នឹង​មក​ដល់​ឬ​អត់? ជាការពិតណាស់ វានឹងមិនអាចទៅរួចនោះទេ វាគ្រាន់តែជាការមិនអាចទៅរួចនោះទេ។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចកើតឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា មិនអាចទៅរួចព្រឹត្តិការណ៍។

ការទស្សន៍ទាយទីបី : លេខ​១​នឹង​ធ្លាក់​ចុះ។​តើ​អ្នក​គិត​ថា​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​បាន​ទស្សន៍ទាយ​នឹង​មក​ដល់​ឬ​ក៏​អត់? យើង​មិន​អាច​ឆ្លើយ​សំណួរ​នេះ​ដោយ​ភាព​ប្រាកដ​ប្រជា​បាន​ទេ ព្រោះ​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​បាន​ព្យាករ​អាច​នឹង​កើត​ឡើង​ឬ​មិន​អាច​កើត​ឡើង។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចឬមិនកើតឡើងនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ចៃដន្យ.

ឧទាហរណ៍។ ប្រអប់មានសូកូឡាចំនួន 5 នៅក្នុងរុំពណ៌ខៀវ និងមួយទៀតជាពណ៌ស។ ដោយ​មិន​បាន​មើល​ទៅ​ក្នុង​ប្រអប់ ពួកគេ​បាន​យក​ស្ករ​គ្រាប់​មួយ​ចេញ​ដោយ​ចៃដន្យ។ តើអាចប្រាប់ជាមុនថាតើពណ៌អ្វី?

កិច្ចការ : ពិពណ៌នាអំពីព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងកិច្ចការខាងក្រោម។ ជាក់​ស្តែង មិន​អាច​ទៅ​រួច ឬ​ចៃដន្យ។

1. ត្រឡប់កាក់មួយ។ អាវធំនៃអាវុធបានបង្ហាញខ្លួន។ (ចៃដន្យ)

2. អ្នកប្រមាញ់បានបាញ់ទៅចចកហើយវាយ។ (ចៃដន្យ)

3. សិស្សសាលាម្នាក់ទៅដើរលេងជារៀងរាល់ល្ងាច។ ពេលដើរលេងកាលពីថ្ងៃច័ន្ទ គាត់បានជួបអ្នកស្គាល់គ្នាបីនាក់។ (ចៃដន្យ)

4. ចូរយើងអនុវត្តការពិសោធន៍ដូចខាងក្រោមនេះដោយបញ្ញា៖ បង្វែរទឹកមួយកែវចុះ។ ប្រសិនបើការពិសោធន៍នេះត្រូវបានអនុវត្តមិនមែននៅក្នុងលំហ ប៉ុន្តែនៅផ្ទះ ឬក្នុងថ្នាក់រៀន នោះទឹកនឹងហូរចេញ។ (ពិត)

5. ការបាញ់ប្រហារចំនួនបីគ្រាប់ទៅកាន់គោលដៅ។ មាន​ការ​វាយ​ប្រហារ​ចំនួន​ប្រាំ​លើក​ហើយ»។ (មិនអាចទៅរួច)

6. បោះថ្មឡើង។ ថ្មនៅតែព្យួរនៅលើអាកាស។ (មិនអាចទៅរួច)

ឧទាហរណ៍ Petya មានផ្ទៃពោះ លេខធម្មជាតិ. ព្រឹត្តិការណ៍នេះមានដូចខាងក្រោម៖

ក) លេខគូត្រូវបានបង្កើតឡើង; (ចៃដន្យ)

ខ) លេខសេសត្រូវបានបង្កើតឡើង; (ចៃដន្យ)

គ) លេខមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលមិនសូម្បីតែឬសេស; (មិនអាចទៅរួច)

ឃ) លេខដែលគូឬសេសត្រូវបានបង្កើតឡើង។ (ពិត)

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឱកាសស្មើគ្នាត្រូវបានហៅ ស្មើគ្នា.

ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដែលមានឱកាសស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថា អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា ឬ ស្មើគ្នា .

ដាក់ផ្ទាំងរូបភាពនៅលើក្តារ។

នៅពេលប្រឡងផ្ទាល់ សិស្សយកសំបុត្រមួយសន្លឹកដែលដាក់នៅពីមុខគាត់។ ឱកាសនៃការទទួលយកសំបុត្រប្រឡងណាមួយគឺស្មើគ្នា។ ប្រហែលស្មើគ្នាគឺការបាត់បង់ពិន្ទុពី 1 ដល់ 6 នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ក៏ដូចជាក្បាល ឬកន្ទុយនៅពេលបោះកាក់។

ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នោះទេ។ អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា. នាឡិការោទិ៍ប្រហែលជាមិនរោទិ៍ អំពូលភ្លើងឆេះ ឡានក្រុងខូច ប៉ុន្តែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌធម្មតា ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ មិនទំនង។ វាទំនងជាថានាឡិការោទិ៍នឹងរោទ៍ ពន្លឺនឹងបើក ឡានក្រុងនឹងទៅ។

ព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន ឱកាសកើតឡើងកាន់តែច្រើនដែលមានន័យថាពួកគេទំនងជា - កាន់តែខិតទៅជិតគួរឱ្យទុកចិត្ត។ ហើយអ្នកផ្សេងទៀតមានឱកាសតិចជាងពួកគេទំនងជាតិចជាង - ខិតទៅជិតមិនអាចទៅរួចទេ។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចមិនមានឱកាសកើតឡើងទេ ហើយព្រឹត្តិការណ៍ខ្លះមានឱកាសកើតឡើងគ្រប់កាលៈទេសៈ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ ពួកវាប្រាកដជានឹងកើតឡើង។

ឧទាហរណ៍ Petya និង Kolya ប្រៀបធៀបថ្ងៃកំណើតរបស់ពួកគេ។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះមានដូចខាងក្រោម៖

ក) ថ្ងៃកំណើតរបស់ពួកគេមិនត្រូវគ្នា; (ចៃដន្យ)

ខ) ថ្ងៃកំណើតរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នា; (ចៃដន្យ)

ឃ) ថ្ងៃកំណើតទាំងពីរធ្លាក់នៅថ្ងៃឈប់សម្រាក - ឆ្នាំ​ថ្មី(ថ្ងៃទី 1 ខែមករា) និងទិវាបុណ្យឯករាជ្យជាតិរុស្ស៊ី (ថ្ងៃទី 12 ខែមិថុនា) ។ (ចៃដន្យ)

3. ការបង្កើតជំនាញ និងសមត្ថភាព

កិច្ចការពីសៀវភៅសិក្សាលេខ 000។ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យខាងក្រោមណាមួយដែលអាចទុកចិត្តបាន អាចធ្វើទៅបាន៖

ក) អណ្តើកនឹងរៀននិយាយ។

ខ) ទឹកនៅក្នុងកំសៀវនៅលើចង្ក្រានឆ្អិន;

ឃ) អ្នកឈ្នះដោយការចូលរួមក្នុងឆ្នោត;

e) អ្នកនឹងមិនឈ្នះដោយការចូលរួមក្នុងឆ្នោតឈ្នះឈ្នះនោះទេ។

f) អ្នកនឹងចាញ់ល្បែងអុកមួយ;

g) អ្នកនឹងជួបជនបរទេសនៅថ្ងៃស្អែក។

h) អាកាសធាតុនឹងកាន់តែយ៉ាប់យ៉ឺននៅសប្តាហ៍ក្រោយ។ ខ្ញុំ) អ្នកបានចុចកណ្ដឹង ប៉ុន្តែវាមិនរោទិ៍ទេ។ j) ថ្ងៃនេះ - ថ្ងៃព្រហស្បតិ៍;

k) បន្ទាប់ពីថ្ងៃព្រហស្បតិ៍នឹងមានថ្ងៃសុក្រ; m) តើនឹងមានថ្ងៃព្រហស្បតិ៍បន្ទាប់ពីថ្ងៃសុក្រទេ?

ប្រអប់មាន 2 ក្រហម លឿង 1 និងបាល់ពណ៌បៃតង 4 ។ បាល់បីត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យពីប្រអប់។ ព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមមួយណាដែលមិនអាចទៅរួច ចៃដន្យ ជាក់លាក់៖

A: បាល់ពណ៌បៃតងចំនួនបីនឹងត្រូវបានគូរ;

ខ: បាល់ក្រហមបីនឹងត្រូវបានគូរ;

C: បាល់នៃពណ៌ពីរនឹងត្រូវបានគូរ;

D: បាល់ដែលមានពណ៌ដូចគ្នានឹងត្រូវបានគូរ;

អ៊ី៖ ក្នុងចំណោមបាល់ដែលបានគូរ មានពណ៌ខៀវមួយ

F: ក្នុងចំណោមអ្នកដែលបានគូរមានបាល់បីពណ៌។

G: តើមានបាល់ពណ៌លឿងពីរក្នុងចំនោមបាល់ដែលបានគូរទេ?

សាកល្បងខ្លួនឯង។ (ការ​សរសេរ​តាម​គណិតវិទ្យា​)

1) បង្ហាញថាតើព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមមួយណាដែលមិនអាចទៅរួច ដែលប្រាកដ វាជាចៃដន្យ៖

ការប្រកួតបាល់ទាត់ "Spartak" - "Dynamo" នឹងបញ្ចប់ដោយការស្មើ (ចៃដន្យ)

អ្នកនឹងឈ្នះដោយការចូលរួមក្នុងឆ្នោតឈ្នះឈ្នះ ( ពិត)

នៅពាក់កណ្តាលអធ្រាត្រវានឹងធ្លាក់ព្រិលហើយបន្ទាប់ពី 24 ម៉ោងព្រះអាទិត្យនឹងភ្លឺ (មិនអាចទៅរួច)

· ស្អែកនឹងមានការប្រលងគណិតវិទ្យា។ (ចៃដន្យ)

· អ្នកនឹងត្រូវបានជ្រើសរើសជាប្រធានាធិបតីសហរដ្ឋអាមេរិក។ (មិនអាចទៅរួច)

· អ្នកនឹងត្រូវបានជ្រើសរើសជាប្រធានាធិបតីនៃប្រទេសរុស្ស៊ី។ (ចៃដន្យ)

2) អ្នកបានទិញទូរទស្សន៍នៅក្នុងហាងមួយ ដែលក្រុមហ៊ុនផលិតផ្តល់ការធានារយៈពេលពីរឆ្នាំ។ ព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមមួយណាដែលមិនអាចទៅរួច ដែលចៃដន្យ ដែលប្រាកដ៖

· ទូរទស្សន៍នឹងមិនខូចក្នុងរយៈពេលមួយឆ្នាំ។ (ចៃដន្យ)

ទូរទស្សន៍នឹងមិនខូចក្នុងរយៈពេលពីរឆ្នាំទេ។ . (ចៃដន្យ)

· ក្នុងរយៈពេលពីរឆ្នាំ អ្នកនឹងមិនចាំបាច់បង់ថ្លៃជួសជុលទូរទស្សន៍ទេ។ (ពិត)

ទូរទស្សន៍នឹងខូចនៅឆ្នាំទីបី។ (ចៃដន្យ)

៣) រថយន្តក្រុងដឹកអ្នកដំណើរ ១៥ នាក់ មានចំណត ១០ កន្លែង។ ព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមមួយណាដែលមិនអាចទៅរួច ដែលចៃដន្យ ដែលប្រាកដ៖

· អ្នកដំណើរទាំងអស់នឹងចុះពីឡានក្រុងនៅចំណតផ្សេងៗគ្នា។ (មិនអាចទៅរួច)

អ្នកដំណើរទាំងអស់នឹងចុះនៅចំណតតែមួយ។ (ចៃដន្យ)

នៅរាល់ការឈប់ យ៉ាងហោចណាស់មាននរណាម្នាក់នឹងចុះ។ (ចៃដន្យ)

វានឹងមានកន្លែងឈប់មួយដែលគ្មាននរណាម្នាក់នឹងចុះ។ (ចៃដន្យ)

អ្នកដំណើរចំនួនគូនឹងចុះនៅគ្រប់ចំណត។ (មិនអាចទៅរួច)

ចំនួន​អ្នក​ដំណើរ​ចំនួន​សេស​នឹង​ចុះ​ពី​គ្រប់​ចំណត។ (មិនអាចទៅរួច)

សង្ខេបមេរៀន

សំណួរសម្រាប់សិស្ស៖

អ្វីទៅដែលហៅថាចៃដន្យ?

តើ​ព្រឹត្តិការណ៍​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​គេ​ហៅថា equiprobable?

តើ​ព្រឹត្តិការណ៍​ណា​ខ្លះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​អាច​ទុក​ចិត្ត​បាន? មិនអាចទៅរួច?

តើ​ព្រឹត្តិការណ៍​ណា​ខ្លះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ទំនង​ជាង? ទំនងតិច?

កិច្ចការ​ផ្ទះ : ប្រការ ៩.៣

លេខ 000។ សូមគិតពីឧទាហរណ៍ចំនួនបី ដែលនីមួយៗនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចទៅរួចជាក់លាក់ ក៏ដូចជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចនិយាយបានថាត្រូវតែកើតឡើង។

902. មានប៊ិច 10 ពណ៌ក្រហម 1 ពណ៌បៃតង និង 2 ពណ៌ខៀវ នៅក្នុងប្រអប់មួយ។ ប៊ិចពីរត្រូវបានដកចេញដោយចៃដន្យចេញពីប្រអប់។ ព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមមួយណាដែលមិនអាចទៅរួច ជាក់លាក់៖

A: ចំណុចទាញពណ៌ក្រហមពីរនឹងត្រូវដកចេញ។ ខ: ចំណុចទាញពណ៌បៃតងពីរនឹងត្រូវបានទាញចេញ; C: ចំណុចទាញពណ៌ខៀវពីរនឹងត្រូវបានទាញចេញ; ឃ: ចំណុចទាញពីរនៃពណ៌ផ្សេងគ្នានឹងត្រូវបានយកចេញ;

អ៊ី៖ តើខ្មៅដៃពីរនឹងត្រូវដកចេញទេ? 03. Egor និង Danila បានយល់ព្រម៖ ប្រសិនបើព្រួញ turntable (រូបភាព 205) ឈប់នៅលើវាលពណ៌ស នោះ Egor នឹងលាបពណ៌របង ហើយប្រសិនបើនៅលើវាលពណ៌ខៀវ Danila ។ តើ​ក្មេង​ប្រុស​ណា​ដែល​ងាយ​លាប​ពណ៌​របង?

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

1. ណែនាំគំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់ មិនអាចទៅរួច និងចៃដន្យ។
2. ដើម្បីបង្កើតចំណេះដឹង និងជំនាញដើម្បីកំណត់ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍។
3. អភិវឌ្ឍ៖ ជំនាញកុំព្យូទ័រ; ការយកចិត្តទុកដាក់; សមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ, ហេតុផល, ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន; ជំនាញការងារជាក្រុម។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

1) ពេលវេលារៀបចំ។

លំហាត់អន្តរកម្ម៖ កុមារត្រូវដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងបកស្រាយពាក្យ យោងទៅតាមលទ្ធផលដែលពួកគេត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុម (អាចទុកចិត្តបាន មិនអាចទៅរួច និងចៃដន្យ) និងកំណត់ប្រធានបទនៃមេរៀន។

1 កាត។

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 កាត

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 កាត

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងដែលបានសិក្សា។

ល្បែង "ទះដៃ"៖ លេខគូ - ទះដៃលេខសេស - ក្រោកឈរឡើង។

កិច្ចការ៖ ពីស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... កំណត់គូ និងសេស។

3) រៀនប្រធានបទថ្មី។

អ្នកមានគូបនៅលើតុ។ សូមក្រឡេកមើលពួកគេឱ្យកាន់តែច្បាស់។ តើ​អ្នក​ឃើញ​អ្វី?

តើគ្រាប់ឡុកឡាក់ប្រើនៅឯណា? យ៉ាងម៉េច?

ការងារជាក្រុម។

ធ្វើការពិសោធន៍។

តើការទស្សន៍ទាយអ្វីខ្លះដែលអ្នកអាចធ្វើនៅពេលរមៀលគ្រាប់ឡុកឡាក់?

ការព្យាករណ៍ដំបូង៖ លេខមួយក្នុងចំណោមលេខ 1,2,3,4,5 ឬ 6 នឹងធ្លាក់ចេញ។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រាកដថានឹងកើតឡើងនៅក្នុងបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា អាចទុកចិត្តបាន។.

ការព្យាករណ៍ទីពីរ៖ លេខ 7 នឹងមកដល់។

តើអ្នកគិតថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានព្យាករណ៍នឹងកើតឡើងឬអត់?

វាមិនអាចទៅរួចទេ!

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចកើតឡើងនៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា មិនអាចទៅរួច។

ការព្យាករណ៍ទីបី៖ លេខ 1 នឹងមកដល់។

តើព្រឹត្តិការណ៍នេះនឹងកើតឡើងទេ?

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចឬមិនកើតឡើងនៅក្នុងបទពិសោធន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ចៃដន្យ.

4) ការបញ្ចូលគ្នានៃសម្ភារៈសិក្សា។

I. កំណត់ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍

-ថ្ងៃស្អែកវានឹងមានព្រិលពណ៌ក្រហម។

វានឹងធ្លាក់ព្រិលខ្លាំងនៅថ្ងៃស្អែក។

ថ្ងៃស្អែក ទោះជាខែកក្កដាក៏ដោយ វានឹងធ្លាក់ព្រិល។

ថ្ងៃស្អែក ទោះជាខែកក្កដាក៏ដោយ ក៏មិនមានព្រិលធ្លាក់ដែរ។

ថ្ងៃស្អែកវានឹងមានព្រិលធ្លាក់ ហើយនឹងមានព្យុះភ្លៀង។

II. បន្ថែមពាក្យមួយទៅប្រយោគនេះ តាមរបៀបដែលព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចទៅរួច។

Kolya បានទទួលនិទ្ទេស A ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

Sasha មិន​បាន​បំពេញ​កិច្ចការ​តែ​មួយ​លើ​ការ​ធ្វើ​តេស្ត​នោះ​ទេ។

Oksana Mikhailovna (គ្រូប្រវត្តិសាស្ត្រ) នឹងពន្យល់ប្រធានបទថ្មី។

III. ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច ចៃដន្យ និងជាក់លាក់។

IV. ធ្វើការតាមសៀវភៅសិក្សា (ជាក្រុម)។

ពណ៌នាព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងកិច្ចការខាងក្រោមថាជាក់លាក់ មិនអាចទៅរួច ឬចៃដន្យ។

លេខ 959. Petya បង្កើតលេខធម្មជាតិ។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះមានដូចខាងក្រោម៖

ក) លេខគូត្រូវបានបង្កើតឡើង;

ខ) លេខសេសត្រូវបានបង្កើតឡើង;

គ) លេខមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលមិនសូម្បីតែឬសេស;

ឃ) លេខដែលគូឬសេសត្រូវបានបង្កើតឡើង។

លេខ 960. អ្នកបើកសៀវភៅសិក្សានេះទៅទំព័រណាមួយ ហើយជ្រើសរើសនាមដំបូងដែលចូលមក។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះមានដូចខាងក្រោម៖

ក) មានស្រៈនៅក្នុងអក្ខរាវិរុទ្ធនៃពាក្យដែលបានជ្រើសរើស;

ខ) នៅក្នុងអក្ខរាវិរុទ្ធនៃពាក្យដែលបានជ្រើសរើសមានអក្សរ "o";

គ) មិនមានស្រៈនៅក្នុងអក្ខរាវិរុទ្ធនៃពាក្យដែលបានជ្រើសរើស;

ឃ) មានសញ្ញាទន់នៅក្នុងអក្ខរាវិរុទ្ធនៃពាក្យដែលបានជ្រើសរើស។

ដំណោះស្រាយ #961, #964 ។

ការពិភាក្សាអំពីកិច្ចការដែលបានដោះស្រាយ។

5) ការឆ្លុះបញ្ចាំង។

1. តើអ្នកបានជួបព្រឹត្តិការណ៍អ្វីខ្លះនៅក្នុងមេរៀន?

2. ចង្អុលប្រាប់ពីព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមណាមួយដែលប្រាកដ ដែលមិនអាចទៅរួច និងមួយណាចៃដន្យ៖

ក) នឹងមិនមានថ្ងៃឈប់សម្រាករដូវក្តៅទេ។

ខ) សាំងវិចនឹងធ្លាក់ចុះផ្នែកខាងប៊ឺ;

គ) ឆ្នាំសិក្សានឹងបញ្ចប់នៅថ្ងៃណាមួយ។

៦) កិច្ចការផ្ទះ៖

មកជាមួយព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលអាចទុកចិត្តបាន ចៃដន្យ និងមិនអាចទៅរួច។

គូរមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដូចជាផ្នែកណាមួយនៃគណិតវិទ្យា ដំណើរការជាមួយនឹងជួរជាក់លាក់នៃគោលគំនិត។ ភាគច្រើននៃគោលគំនិតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ ប៉ុន្តែខ្លះត្រូវបានគេយកជាបឋម មិនបានកំណត់ ដូចជានៅក្នុងធរណីមាត្រ ចំណុច បន្ទាត់ យន្តហោះ។ គោលគំនិតចម្បងនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍​មួយ​គឺ​ជា​អ្វី​មួយ​ដែល​បន្ទាប់​ពី​ពេល​វេលា​ជាក់លាក់​មួយ​និង​តែ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ពីរ​អាច​និយាយ​បាន​ថា​:

• · បាទ វាបានកើតឡើង។
• · ទេ វាមិនបានកើតឡើងទេ។

ឧទាហរណ៍ ខ្ញុំមានសំបុត្រឆ្នោត។ បន្ទាប់ពីការបោះពុម្ភផ្សាយលទ្ធផលនៃការចាប់ឆ្នោតព្រឹត្តិការណ៍ដែលខ្ញុំចាប់អារម្មណ៍ - ការឈ្នះមួយពាន់រូប្លិ៍កើតឡើងឬមិនកើតឡើង។ ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត (ឬបទពិសោធន៍)។ នៅក្រោមការសាកល្បង (ឬបទពិសោធន៍) យល់ពីលក្ខខណ្ឌទាំងនោះជាលទ្ធផលដែលព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង។ ជាឧទាហរណ៍ ការបោះកាក់គឺជាការសាកល្បងមួយ ហើយការលេចចេញនូវ “អាវធំ” នៅលើវាគឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង៖ A, B, C, ... ។ ព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងពិភពសម្ភារៈអាចត្រូវបានបែងចែកជាបីប្រភេទ - គួរឱ្យទុកចិត្តមិនអាចទៅរួចនិងចៃដន្យ។

ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយដែលដឹងជាមុនថានឹងកើតឡើង។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ W. ដូច្នេះ មិនលើសពីប្រាំមួយពិន្ទុដែលអាចទុកចិត្តបាននៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ធម្មតា រូបរាងនៃបាល់ពណ៌សនៅពេលដកចេញពីកោដ្ឋដែលមានតែគ្រាប់បាល់ពណ៌ស។ល។

ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលដឹងជាមុនថាវានឹងមិនកើតឡើង។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ E. ឧទាហរណ៍នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺការគូរសន្លឹកអាត់ច្រើនជាងបួនសន្លឹកពីសន្លឹកបៀធម្មតា រូបរាងនៃបាល់ពណ៌ក្រហមពីកោដ្ឋដែលមានតែបាល់ពណ៌ស និងខ្មៅ។ល។

ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចឬមិនអាចកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍ A និង B ត្រូវបានគេហៅថាមិនឆបគ្នាប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនរាប់បញ្ចូលលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងនៃផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះរូបរាងនៃចំនួនពិន្ទុដែលអាចកើតមាននៅពេលបោះចោល (ព្រឹត្តិការណ៍ A) គឺមិនស៊ីគ្នានឹងរូបរាងនៃលេខផ្សេងទៀត (ព្រឹត្តិការណ៍ B) ។ ការរំកិលលេខគូគឺមិនស៊ីគ្នានឹងការបង្វិលលេខសេសទេ។ ផ្ទុយទៅវិញ ចំនួនពិន្ទុគូ (ព្រឹត្តិការណ៍ A) និងចំនួនពិន្ទុដែលបែងចែកដោយបី (ព្រឹត្តិការណ៍ B) នឹងមិនត្រូវគ្នាទេ ព្រោះការបាត់បង់ប្រាំមួយពិន្ទុមានន័យថាការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A និងព្រឹត្តិការណ៍ B ដូច្នេះការកើតឡើងនៃមួយ។ នៃពួកគេមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃមួយផ្សេងទៀត។ ប្រតិបត្តិការអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើព្រឹត្តិការណ៍។ ការ​រួបរួម​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​ពីរ C=AUB គឺ​ជា​ព្រឹត្តិការណ៍ C ដែល​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​ព្រឹត្តិការណ៍ A និង B យ៉ាង​ហោច​មួយ​កើត​ឡើង។ ប្រសព្វ​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​ពីរ D=A?? B គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែព្រឹត្តិការណ៍ A និង B កើតឡើង។

ព្រឹត្តិការណ៍ (បាតុភូត) ដែលយើងសង្កេតឃើញអាចត្រូវបានបែងចែកជាបីប្រភេទដូចខាងក្រោម៖ អាចជឿទុកចិត្តបាន មិនអាច និងចៃដន្យ។

គួរឱ្យទុកចិត្តហៅព្រឹត្តិការណ៍ដែលនឹងកើតឡើង ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ S ត្រូវបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើកប៉ាល់ផ្ទុកទឹកនៅសម្ពាធបរិយាកាសធម្មតា និងសីតុណ្ហភាព 20 ° នោះព្រឹត្តិការណ៍ "ទឹកនៅក្នុងកប៉ាល់ស្ថិតក្នុងសភាពរាវ។ "គឺប្រាកដ។ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ សម្ពាធ​បរិយាកាស និង​សីតុណ្ហភាព​ទឹក​ដែល​បាន​បញ្ជាក់​បង្កើត​ជា​សំណុំ​លក្ខខណ្ឌ S ។

មិនអាចទៅរួចហៅ​ទៅ​កាន់​ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​ប្រាកដ​ជា​នឹង​មិន​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​សំណុំ​លក្ខខណ្ឌ S ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍ ព្រឹត្តិការណ៍ "ទឹក​ក្នុង​កប៉ាល់​ស្ថិត​ក្នុង​ស្ថានភាព​រឹង" នឹង​មិន​កើត​ឡើង​ទេ ប្រសិន​បើ​សំណុំ​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ឧទាហរណ៍​មុន​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត។

ចៃដន្យព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលនៅក្រោមការអនុវត្តនៃសំណុំនៃលក្ខខណ្ឌ S អាចកើតឡើងឬមិនកើតឡើង។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើកាក់មួយត្រូវបានបោះចោល នោះវាអាចធ្លាក់ចុះ ដូច្នេះថាអាវធំ ឬសិលាចារឹកនៅពីលើ។ ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍ “ពេលបោះកាក់ “អាវធំ” ធ្លាក់ចេញគឺចៃដន្យ។ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនីមួយៗ ជាពិសេសការដួលរលំនៃ "អាវធំ" គឺជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនៃមូលហេតុចៃដន្យជាច្រើន (ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ កម្លាំងដែលកាក់ត្រូវបានបោះ រូបរាងកាក់ និងអ្វីៗជាច្រើនទៀត។ ) វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពិចារណាលើឥទ្ធិពលនៃបុព្វហេតុទាំងអស់នេះលើលទ្ធផលព្រោះចំនួនរបស់ពួកគេមានទំហំធំណាស់ហើយច្បាប់នៃសកម្មភាពរបស់ពួកគេមិនត្រូវបានគេដឹង។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេមិនកំណត់ខ្លួនឯងនូវភារកិច្ចនៃការទស្សន៍ទាយថាតើព្រឹត្តិការណ៍តែមួយនឹងកើតឡើងឬអត់នោះទេ - វាមិនអាចធ្វើវាបានទេ។

ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាប្រសិនបើយើងពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដែលអាចត្រូវបានគេសង្កេតឃើញម្តងហើយម្តងទៀតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា S ពោលគឺប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដូចគ្នាដ៏ធំ។ វាប្រែថាមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់នៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដូចគ្នា ដោយមិនគិតពីលក្ខណៈជាក់លាក់របស់ពួកគេ គោរពតាមច្បាប់ជាក់លាក់ ពោលគឺច្បាប់ប្រូបាប៊ីលីតេ។ វាគឺជាទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលទាក់ទងនឹងការបង្កើតភាពទៀងទាត់ទាំងនេះ។

ដូច្នេះ ប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាការសិក្សាអំពីភាពទៀងទាត់នៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដូចគ្នាដ៏ធំ។

វិធីសាស្រ្តនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងសាខាផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យា។ ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេក៏បម្រើដើម្បីបញ្ជាក់គណិតវិទ្យា និងស្ថិតិអនុវត្តផងដែរ។

ប្រភេទនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ. ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតនៅក្នុងការសាកល្បងដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍។ កាក់មួយត្រូវបានបោះចោល។ រូបរាងនៃ "អាវធំ" មិនរាប់បញ្ចូលរូបរាងនៃសិលាចារឹកទេ។ ព្រឹត្តិការណ៍ "អាវធំមួយបានបង្ហាញខ្លួន" និង "សិលាចារឹកមួយបានបង្ហាញខ្លួន" គឺមិនត្រូវគ្នាទេ។

ទម្រង់នៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើន។ ក្រុមពេញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាលេចឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត។ ជាពិសេស ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ដែលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញគឺមិនឆបគ្នាជាគូ នោះព្រឹត្តិការណ៍មួយ និងតែមួយគត់ក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះនឹងបង្ហាញជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត។ ករណីពិសេសនេះគឺជាការចាប់អារម្មណ៍បំផុតសម្រាប់ពួកយើង ព្រោះវានឹងត្រូវប្រើខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 2. សំបុត្រពីរសម្រាប់ឆ្នោតសាច់ប្រាក់ និងសំលៀកបំពាក់ត្រូវបានទិញ។ ព្រឹត្តិការណ៍មួយ និងតែមួយគត់ក្នុងចំនោមព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមនឹងចាំបាច់កើតឡើង៖ "ការឈ្នះបានធ្លាក់លើសំបុត្រទីមួយ ហើយមិនធ្លាក់លើសំបុត្រទីពីរ" "ការឈ្នះមិនបានធ្លាក់លើសំបុត្រទីមួយ ហើយធ្លាក់លើទីពីរ" "ការឈ្នះបានធ្លាក់ចុះ។ នៅលើសំបុត្រទាំងពីរ”, “ការឈ្នះមិនបានឈ្នះលើសំបុត្រទាំងពីរទេ”។ ធ្លាក់ចេញ។ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូ។

ឧទាហរណ៍ទី 3. អ្នកបាញ់បានបាញ់ចំគោលដៅ។ ព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំនោមព្រឹត្តិការណ៍ពីរខាងក្រោមគឺត្រូវកើតឡើង៖ បុក, នឹក។ ព្រឹត្តិការណ៍មិនជាប់គ្នាទាំងពីរនេះបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញ។

ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នាប្រសិនបើមានហេតុផលដើម្បីជឿថា វាមិនអាចទៅរួចជាងមួយផ្សេងទៀតនោះទេ។

ឧទាហរណ៍ 4. រូបរាងនៃ "អាវធំ" និងរូបរាងនៃសិលាចារឹកនៅពេលដែលកាក់ត្រូវបានបោះចោលគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។ ជាការពិត វាត្រូវបានសន្មត់ថាកាក់ត្រូវបានធ្វើពីវត្ថុធាតុដូចគ្នា មានរាងស៊ីឡាំងធម្មតា ហើយវត្តមានរបស់កាក់មិនប៉ះពាល់ដល់ការបាត់បង់ផ្នែកម្ខាង ឬម្ខាងទៀតនៃកាក់នោះទេ។

ការកំណត់ខ្លួនឯងជាអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ A, B, C, .. A 1, A 2 ..

ក្រុមប្រឆាំងត្រូវបានគេហៅថា 2 ដែលអាចធ្វើទៅបានតែមួយគត់ ដូច្នេះ-I បង្កើតក្រុមពេញលេញ។ ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពីរផ្ទុយគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានតំណាងដោយ A បន្ទាប់មកការកំណត់ផ្សេងទៀតគឺ A` ។

ឧទាហរណ៍ 5. វាយនិងខកខាននៅពេលបាញ់ដល់គោលដៅ - ភេទផ្ទុយ។ ផ្ទាល់ខ្លួន។

១.១. ព័ត៌មានខ្លះពី combinatorics

១.១.១. កន្លែងស្នាក់នៅ

ពិចារណាអំពីគំនិតសាមញ្ញបំផុតដែលទាក់ទងនឹងការជ្រើសរើស និងទីតាំងនៃសំណុំវត្ថុជាក់លាក់មួយ។
ការរាប់ចំនួនវិធីដែលសកម្មភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ត្រូវបានធ្វើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលអាចកើតមាន។
និយមន័យ. កន្លែងស្នាក់នៅពី នធាតុដោយ k (k ≤ន) គឺជាសំណុំរងដែលបានបញ្ជាទិញណាមួយ kធាតុនៃសំណុំដែលមាន នធាតុផ្សេងៗ។
ឧទាហរណ៍។លំដាប់លេខខាងក្រោមគឺជាការរៀបចំនៃធាតុ 2 ពី 3 ធាតុនៃសំណុំ (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32 ។
ចំណាំថាកន្លែងដាក់ខុសគ្នាតាមលំដាប់នៃធាតុផ្សំ និងសមាសភាពរបស់វា។ ទីតាំង 12 និង 21 មានលេខដូចគ្នា ប៉ុន្តែលំដាប់របស់វាខុសគ្នា។ ដូច្នេះ​ការ​ដាក់​ទាំង​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ខុស​គ្នា។
ចំនួនកន្លែងផ្សេងគ្នាពី នធាតុដោយ kកំណត់ និងគណនាដោយរូបមន្ត៖
,
កន្លែងណា ន! = 1∙2∙...∙(ន - 1)∙ន(អាន " នរោងចក្រ) ។
ចំនួន លេខពីរខ្ទង់ដែលអាចបង្កើតជាលេខ 1, 2, 3 បានផ្តល់ថាមិនមែនលេខមួយខ្ទង់ត្រូវដដែលៗស្មើនឹង៖ .

១.១.២. ការផ្លាស់ប្តូរ

និយមន័យ. ការផ្លាស់ប្តូរពី នធាតុត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងបែបនេះពី នធាតុដែលខុសគ្នាតែក្នុងការរៀបចំធាតុ។
ចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរពី នធាតុ ទំ នគណនាដោយរូបមន្ត៖ ទំ ន=ន!
ឧទាហរណ៍។តើមនុស្ស 5 នាក់អាចតម្រង់ជួរបានប៉ុន្មាន? ចំនួននៃវិធីគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនៃធាតុ 5, i.e.
ទំ 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
និយមន័យ. ប្រសិនបើក្នុងចំណោម នធាតុ kដូចគ្នាបនា្ទាប់មកការបំប្លែងរបស់ទាំងនេះ នធាតុត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ។
ឧទាហរណ៍។ឧបមាថា ក្នុង​ចំណោម​សៀវភៅ​៦​ក្បាល មាន​២​គឺ​ដូច​គ្នា។ ការរៀបចំណាមួយនៃសៀវភៅទាំងអស់នៅលើធ្នើគឺជាការប្តូរជាមួយពាក្យដដែលៗ។
ចំនួននៃការបំប្លែងផ្សេងៗគ្នាជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ (ចេញពី នធាតុ, ក្នុងចំណោមនោះ។ k identical) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ .
ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ចំនួនវិធីដែលសៀវភៅអាចត្រូវបានរៀបចំនៅលើធ្នើគឺ៖ .

១.១.៣. បន្សំ

និយមន័យ. បន្សំពី នធាតុដោយ kកន្លែងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា នធាតុដោយ kដែលខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយ។
ចំនួននៃបន្សំផ្សេងគ្នានៃ នធាតុដោយ kកំណត់ និងគណនាដោយរូបមន្ត៖ .
តាមនិយមន័យ 0!=1។
បន្សំមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
1.
2.
3.
4.
ឧទាហរណ៍។មានផ្កាចំនួន 5 ដែលមានពណ៌ខុសៗគ្នា។ សម្រាប់ភួងផ្កា 3 ត្រូវបានជ្រើសរើស។ ចំនួនភួងផ្សេងគ្នានៃផ្កា 3 ក្នុងចំណោម 5 គឺ: .

១.២. ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ

១.២.១. ការអភិវឌ្ឍន៍

ការយល់ដឹងអំពីការពិតនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត (ការពិសោធន៍ ការសង្កេត បទពិសោធន៍)។
សាកល្បង ឬបទពិសោធន៍ គឺជាការអនុវត្តនូវលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយចំនួន ដែលអាចត្រូវបានផលិតឡើងវិញនូវចំនួនដងច្រើនតាមអំពើចិត្ត។
ចៃដន្យ ហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាច ឬមិនកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមួយចំនួន (បទពិសោធន៍)។
ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តមួយ។
ឧទាហរណ៍។ការបោះកាក់គឺជាការសាកល្បងមួយ។ រូបរាងរបស់ឥន្ទ្រីនៅពេលបោះគឺជាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។
ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងសង្កេតឃើញមានភាពខុសគ្នានៅក្នុងកម្រិតនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងរបស់ពួកគេ និងនៅក្នុងលក្ខណៈនៃទំនាក់ទំនងរបស់ពួកគេ។
ព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា អាចទុកចិត្តបាន។ ប្រសិនបើវាប្រាកដថានឹងកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត។
ឧទាហរណ៍។សិស្សដែលទទួលបានសញ្ញាណវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានក្នុងការប្រឡង គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ ប្រសិនបើការប្រឡងដំណើរការទៅតាមច្បាប់ធម្មតា។
ព្រឹត្តិការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា មិនអាចទៅរួច ប្រសិនបើវាមិនអាចកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនេះ។
ឧទាហរណ៍។ការទាញយកបាល់ពណ៌សចេញពីកោដ្ឋដែលមានតែបាល់ពណ៌ (មិនមែនពណ៌ស) គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ ចំណាំថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតនៃការពិសោធន៍, រូបរាងនៃគ្រាប់បាល់ពណ៌សគឺមិនត្រូវបានដកចេញ; ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍នេះមិនអាចទៅរួចបានតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបទពិសោធន៍របស់យើងប៉ុណ្ណោះ។
លើសពីនេះ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនឹងត្រូវបានតំណាងដោយឡាតាំងធំ អក្សរ A, B, C... ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដមួយនឹងត្រូវបានតាងដោយអក្សរ Ω ដែលជាព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចទៅរួចដោយ Ø ។
ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ឬច្រើនត្រូវបានគេហៅថា អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា នៅក្នុងការធ្វើតេស្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើមានហេតុផលដើម្បីជឿថាគ្មានព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះទំនងជាឬតិចជាងអ្នកដទៃ។
ឧទាហរណ៍។ជាមួយនឹងការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់មួយគ្រាប់ រូបរាងនៃ 1, 2, 3, 4, 5 និង 6 ពិន្ទុគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នា។ ប្រាកដណាស់ វាត្រូវបានសន្មត់ថា ការស្លាប់ត្រូវបានធ្វើឡើងពីវត្ថុធាតុដូចគ្នា និងមានរូបរាងធម្មតា។
ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។ នៅក្នុងការសាកល្បងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេ មិនរាប់បញ្ចូលការកើតឡើងនៃមួយផ្សេងទៀត និង រួម បើមិនដូច្នេះទេ
ឧទាហរណ៍។ប្រអប់មានផ្នែកស្តង់ដារ និងមិនមានស្តង់ដារ។ ចូរយើងពិចារណាលម្អិតមួយ។ រូបរាងនៃផ្នែកស្តង់ដារមិនរាប់បញ្ចូលរូបរាងនៃផ្នែកដែលមិនស្តង់ដារ។ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះមិនត្រូវគ្នាទេ។
ទម្រង់នៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើន។ ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ នៅក្នុងការធ្វើតេស្តនេះ ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនេះ យ៉ាងហោចណាស់មានមួយក្នុងចំណោមពួកវាចាំបាច់កើតឡើង។
ឧទាហរណ៍។ព្រឹត្តិការណ៍ពីឧទាហរណ៍បង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាដែលអាចស្មើគ្នា និងជាគូ។
ព្រឹត្តិការណ៍មិនជាប់គ្នាពីរដែលបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ.
ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវបានតំណាងដោយ កបន្ទាប់មកមួយទៀតជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងតាមរយៈ (វាអានថា "ទេ" ក»).
ឧទាហរណ៍។ការ​វាយ​និង​បាត់​ដោយ​ការ​បាញ់​មួយ​ចំ​គោល​ដៅ​គឺ​ជា​ព្រឹត្តិការណ៍​ផ្ទុយ​គ្នា។

១.២.២. និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ គឺជាការវាស់វែងជាលេខនៃលទ្ធភាពនៃការកើតឡើងរបស់វា។
ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែបានហៅ អំណោយផល ព្រឹត្តិការណ៍ INប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយកើតឡើង ប៉ុន្តែ, ព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង IN.
ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែ 1 , ប៉ុន្តែ 2 , ..., ប៉ុន្តែនទម្រង់ តារាងករណី , បើ​ពួកគេ:
1) អាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា;
2) មិនត្រូវគ្នាជាគូ;
3) បង្កើតក្រុមពេញលេញ។
នៅក្នុងគ្រោងការណ៍នៃករណី (ហើយមានតែនៅក្នុងគ្រោងការណ៍នេះ) និយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេកើតឡើង ទំ(ក) ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែ. នៅទីនេះ ព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រុមពេញលេញដែលបានជ្រើសរើសនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាដែលអាចស្មើគ្នា និងជាគូត្រូវបានគេហៅថាករណី។
ប្រសិនបើ នគឺជាចំនួនករណីទាំងអស់នៅក្នុងគ្រោងការណ៍ និង ម- ចំនួនករណីអំណោយផលដល់ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព៖

លក្ខណសម្បត្តិខាងក្រោមធ្វើតាមនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖
1. ប្រូបាប៊ីលីតេ ព្រឹត្តិការណ៍ប្រាកដគឺស្មើនឹងមួយ។
ប្រាកដណាស់ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយប្រាកដ នោះរាល់ការកើតឡើងក្នុងឧបាយកលនៃការកើតឡើង អនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ ក្នុងករណី​នេះ ម = នហេតុ​ដូចនេះ​ហើយ

2. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ។
ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចទៅរួចនោះ គ្មានករណីណាមួយពីគ្រោងការណ៍នៃករណីដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍នោះទេ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ម=0 ហើយដូច្នេះ

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យគឺជាចំនួនវិជ្ជមានរវាងសូន្យ និងមួយ។
ជាការពិតណាស់ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយត្រូវបានអនុគ្រោះដោយតែប្រភាគនៃចំនួនសរុបនៃករណីនៅក្នុងគ្រោងការណ៍នៃករណីប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ០<ម<នដែលមានន័យថា 0<ម/ន<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយបំពេញវិសមភាព
0 ≤ P(ក) ≤ 1.
នាពេលបច្ចុប្បន្ន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ក្នុងទម្រង់នៃ axioms ដែលបង្កើតឡើងដោយ A.N. Kolmogorov ។
គុណសម្បត្តិចម្បងមួយនៃនិយមន័យបុរាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេគឺសមត្ថភាពក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដោយផ្ទាល់ i.e. ដោយមិនងាកទៅរកការពិសោធន៍ ដែលត្រូវបានជំនួសដោយហេតុផលឡូជីខល។

បញ្ហានៃការគណនាដោយផ្ទាល់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ

កិច្ចការ 1.1. តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានពិន្ទុគូ (ព្រឹត្តិការណ៍ A) ក្នុងមួយវិល?
ដំណោះស្រាយ. ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែខ្ញុំ- ធ្លាក់ចេញ ខ្ញុំពិន្ទុ, ខ្ញុំ= ១, ២, …, ៦ ។ ជាក់ស្តែង ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះបង្កើតបានជាគំរូនៃករណី។ បន្ទាប់មកចំនួនករណីទាំងអស់។ ន= 6. ចំនួនគូនៃពិន្ទុត្រូវបានអនុគ្រោះដោយករណី ប៉ុន្តែ 2 , ប៉ុន្តែ 4 , ប៉ុន្តែ 6, ឧ។ ម= 3. បន្ទាប់មក .
កិច្ចការ 1.2. កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស​ចំនួន ៥ និង​គ្រាប់​ខ្មៅ ១០ ។ បាល់ត្រូវបានលាយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងហ្មត់ចត់ ហើយបន្ទាប់មក 1 គ្រាប់ត្រូវបានយកចេញដោយចៃដន្យ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ដែលគូរមានពណ៌ស?
ដំណោះស្រាយ. មាន 15 ករណីសរុបដែលបង្កើតជាគំរូនៃករណី។ និងព្រឹត្តិការណ៍ដែលរំពឹងទុក ប៉ុន្តែ- រូបរាងនៃបាល់ពណ៌សត្រូវបានពេញចិត្តដោយ 5 ក្នុងចំណោមពួកគេ។ .
កិច្ចការ 1.3. កុមារលេងជាមួយអក្សរចំនួនប្រាំមួយ: A, A, E, K, P, T. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់អាចបន្ថែមពាក្យ CARRIAGE (ព្រឹត្តិការណ៍ A) ដោយចៃដន្យ។
ដំណោះស្រាយ. ការសម្រេចចិត្តមានភាពស្មុគស្មាញដោយការពិតដែលថាក្នុងចំណោមអក្សរមានដូចគ្នា - អក្សរពីរ "A" ។ ដូច្នេះចំនួនករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៅក្នុងការកាត់ក្តីនេះគឺស្មើនឹងចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរដែលមានពាក្យដដែលៗចំនួន ៦ អក្សរ៖
.
ករណីទាំងនេះគឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា មិនត្រូវគ្នាជាគូ និងបង្កើតក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ ពោលគឺឧ។ បង្កើតដ្យាក្រាមករណី។ ឱកាសតែមួយគត់ដែលពេញចិត្តនឹងព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ ប៉ុន្តែ. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
.
កិច្ចការ 1.4. Tanya និង Vanya បានយល់ព្រមប្រារព្ធពិធីចូលឆ្នាំថ្មីនៅក្នុងក្រុមហ៊ុនមួយដែលមានមនុស្ស 10 នាក់។ ពួកគេទាំងពីរពិតជាចង់អង្គុយក្បែរគ្នា។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលបំណងប្រាថ្នារបស់ពួកគេនឹងក្លាយជាការពិត ប្រសិនបើវាជាទម្លាប់ក្នុងការចែកចាយទីកន្លែងក្នុងចំណោមមិត្តភ័ក្តិរបស់ពួកគេដោយចំនួនច្រើន?
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់ដោយ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍ "ការបំពេញបំណងប្រាថ្នារបស់ Tanya និង Vanya" ។ 10 នាក់អាចអង្គុយនៅតុ 10 នាក់! វិធី​ផ្សេង​គ្នា។ តើមានប៉ុន្មាន ន=១០! តើមធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នាសម្រាប់ Tanya និង Vanya? Tanya និង Vanya អង្គុយក្បែរគ្នាអាចទទួលយក 20 មុខតំណែងផ្សេងគ្នា។ ជាមួយគ្នានេះ មិត្តភ័ក្តិ ៨ នាក់ អាចអង្គុយនៅតុ ៨ បាន! វិធីផ្សេងគ្នា, ដូច្នេះ ម= 20∙8!។ អាស្រ័យហេតុនេះ
.
កិច្ចការ 1.5. មួយក្រុមមានស្ត្រី 5 នាក់ និងបុរស 20 នាក់ ជ្រើសរើសប្រតិភូចំនួន 3 នាក់។ ដោយសន្មតថាអ្នកដែលមានវត្តមាននីមួយៗទំនងជាត្រូវបានជ្រើសរើសស្មើគ្នា ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលស្ត្រីពីរនាក់ និងបុរសម្នាក់នឹងត្រូវបានជ្រើសរើស។
ដំណោះស្រាយ. ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលដែលទំនងស្មើគ្នានៃការធ្វើតេស្តគឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែលប្រតិភូចំនួនបីអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីមនុស្ស 25 នាក់ពោលគឺឧ។ . ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាចំនួនករណីអំណោយផល i.e. ចំនួនដងដែលព្រឹត្តិការណ៍ចាប់អារម្មណ៍កើតឡើង។ ប្រតិភូបុរសអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមម្ភៃវិធី។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ប្រតិភូពីរនាក់ដែលនៅសល់ត្រូវតែជាស្ត្រី ហើយអ្នកអាចជ្រើសរើសស្ត្រីពីរនាក់ក្នុងចំណោមប្រាំនាក់។ ជាលទ្ធផល, ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
.
បញ្ហា 1.6 ។បាល់ចំនួនបួនត្រូវបានខ្ចាត់ខ្ចាយដោយចៃដន្យនៅលើរន្ធចំនួនបួន បាល់នីមួយៗធ្លាក់ចូលទៅក្នុងរន្ធមួយឬមួយផ្សេងទៀតដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា និងដោយឯករាជ្យពីគ្រាប់ផ្សេងទៀត (មិនមានឧបសគ្គក្នុងការទទួលបានបាល់ជាច្រើនចូលទៅក្នុងរន្ធដូចគ្នាទេ)។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលនឹងមានបាល់បីនៅក្នុងរន្ធមួយ មួយ - នៅក្នុងផ្សេងទៀត និងគ្មានបាល់នៅក្នុងរន្ធពីរផ្សេងទៀត។
ដំណោះស្រាយ។ ចំនួនករណីសរុប ន=៤ ៤. ចំនួននៃវិធីដែលអាចជ្រើសរើសរន្ធមួយ ដែលនឹងមានបាល់បី។ ចំនួនវិធីដែលអ្នកអាចជ្រើសរើសរន្ធដែលនឹងមានបាល់មួយ, . ចំនួន​នៃ​វិធី​ដែល​អ្នក​អាច​ជ្រើស​រើស​បាល់​បី​ពី​បួន​គ្រាប់​ដើម្បី​ដាក់​វា​ក្នុង​រន្ធ​ទី​មួយ​។ ចំនួនសរុបនៃករណីអំណោយផល។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍៖
បញ្ហា 1.7 ។មានបាល់ដូចគ្នាចំនួន 10 នៅក្នុងប្រអប់ដែលមានលេខ 1, 2, ..., 10 ។ គ្រាប់ចំនួនប្រាំមួយត្រូវបានគូរសម្រាប់សំណាង។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមបាល់ដែលបានស្រង់ចេញនឹងមានៈ ក) បាល់លេខ 1; ខ) បាល់លេខ 1 និង # 2 ។
ដំណោះស្រាយ. ក) ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមដែលអាចកើតមាននៃការធ្វើតេស្តគឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែលបាល់ចំនួនប្រាំមួយអាចទាញចេញពីដប់ ពោលគឺឧ។
ចូរយើងស្វែងរកចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍៖ ក្នុងចំណោមបាល់ទាំងប្រាំមួយដែលបានជ្រើសរើសមានបាល់លេខ 1 ហើយជាលទ្ធផល បាល់ចំនួនប្រាំដែលនៅសល់មានលេខខុសៗគ្នា។ ចំនួននៃលទ្ធផលបែបនេះគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹងចំនួនវិធីដែលបាល់ចំនួនប្រាំអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពីប្រាំបួនដែលនៅសល់ពោលគឺឧ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាចំពោះចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមដែលអាចកើតមាន៖
ខ) ចំនួននៃលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ (ក្នុងចំណោមបាល់ដែលបានជ្រើសរើសមានបាល់លេខ 1 និងលេខ 2 ដូច្នេះបាល់ចំនួនបួនមានលេខខុសៗគ្នា) គឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែលបាល់ទាំងបួនអាច ដកស្រង់ចេញពីប្រាំបីដែលនៅសល់ ពោលគឺ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន

១.២.៣. ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ

និយមន័យស្ថិតិនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍មិនទំនងស្មើគ្នា។
ប្រេកង់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលទាក់ទង ប៉ុន្តែត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព៖
,
កន្លែងណា មគឺជាចំនួននៃការសាកល្បងដែលព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ ប៉ុន្តែវាបានមក នគឺជាចំនួនសរុបនៃការធ្វើតេស្តដែលបានអនុវត្ត។
J. Bernoulli បានបង្ហាញឱ្យឃើញថា ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនការពិសោធន៍គ្មានដែនកំណត់ ប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយនឹងអនុវត្តខុសពីចំនួនថេរមួយចំនួន។ វាបានប្រែក្លាយថាចំនួនថេរនេះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ដូច្នេះតាមធម្មជាតិ ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃការសាកល្បងត្រូវបានគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិ ផ្ទុយទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលបានណែនាំពីមុន។
ឧទាហរណ៍ 1.8. តើអ្នកអាចគណនាចំនួនត្រីក្នុងបឹងបានដោយរបៀបណា?
អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងបឹង Xត្រី។ យើងបោះបណ្តាញហើយឧបមាថាយើងរកឃើញនៅក្នុងវា។ នត្រី។ យើង​សម្គាល់​ពួកវា​នីមួយៗ ហើយ​ដោះលែង​វា​វិញ​។ ពីរបីថ្ងៃក្រោយមកក្នុងអាកាសធាតុដូចគ្នានិងនៅកន្លែងដដែលយើងបោះសំណាញ់ដូចគ្នា។ ឧបមាថាយើងរកឃើញ m ត្រីនៅក្នុងនោះ។ kដាក់ស្លាក។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ- "ត្រីដែលចាប់បានត្រូវបានដាក់ស្លាក" ។ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទង។
ប៉ុន្តែប្រសិនបើនៅក្នុងបឹង Xត្រីហើយយើងដោះលែងវា។ នដាក់ស្លាកបន្ទាប់មក។
ដោយសារតែ រ * (ប៉ុន្តែ) » រ(ប៉ុន្តែ) បន្ទាប់មក។

១.២.៤. ប្រតិបត្តិការលើព្រឹត្តិការណ៍។ ទ្រឹស្តីបទបន្ថែម

ផលបូកឬសហជីពនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ (នៅក្នុងការសាកល្បងដូចគ្នា)។
ផលបូក ប៉ុន្តែ 1 + ប៉ុន្តែ 2 + … + ប៉ុន្តែនបញ្ជាក់ដូចនេះ៖
ឬ .
ឧទាហរណ៍. គ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរត្រូវបានបោះចោល។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែមានការរំកិល 4 ពិន្ទុលើ 1 ស្លាប់ និងព្រឹត្តិការណ៍ IN- នៅក្នុងការវិលនៃ 5 ពិន្ទុនៅលើស្លាប់មួយផ្សេងទៀត។ ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង INរួម។ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ +INមានការរំកិល 4 ពិន្ទុលើការស្លាប់ដំបូង ឬ 5 ពិន្ទុនៅលើការស្លាប់ទីពីរ ឬ 4 ពិន្ទុនៅលើការស្លាប់ដំបូង និង 5 ពិន្ទុនៅលើការស្លាប់ទីពីរក្នុងពេលតែមួយ។
ឧទាហរណ៍។ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ- ឈ្នះលើប្រាក់កម្ចី 1 ព្រឹត្តិការណ៍ IN- ឈ្នះលើប្រាក់កម្ចីចំនួន 2 ។ បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ A+B- ទទួលបានប្រាក់កម្ចីយ៉ាងហោចណាស់មួយ (អាចពីរក្នុងពេលតែមួយ) ។
ការងារឬចំនុចប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើន គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នេះ (នៅក្នុងការធ្វើតេស្តដូចគ្នា)។
ការងារ INព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ 1 , ប៉ុន្តែ 2 , …, ប៉ុន្តែនបញ្ជាក់ដូចនេះ៖
.
ឧទាហរណ៍។ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង INមាននៅក្នុងការឆ្លងកាត់ជោគជ័យនៃជុំ I និង II រៀងគ្នានៅពេលចូលរៀននៅវិទ្យាស្ថាន។ បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ× ខមាននៅក្នុងការបញ្ចប់ដោយជោគជ័យនៃជុំទាំងពីរ។
គោលគំនិតនៃផលបូក និងផលនៃព្រឹត្តិការណ៍មានការបកស្រាយធរណីមាត្រច្បាស់លាស់។ អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែមាន​ចំណុច​មួយ​នៅ​ក្នុង​តំបន់ ប៉ុន្តែនិងព្រឹត្តិការណ៍ IN- ប៉ះចំណុចមួយក្នុងតំបន់ IN. បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ A+Bមានការប៉ះទង្គិចនៃចំណុចមួយនៅក្នុងសហជីពនៃតំបន់ទាំងនេះ (រូបភាព 2.1) និងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែINមានចំនុចមួយនៅចំនុចប្រសព្វនៃតំបន់ទាំងនេះ (រូបភាព 2.2)។

អង្ករ។ 2.1 រូប។ ២.២
ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ អាយ(ខ្ញុំ = 1, 2, …, ន) គឺមិនត្រូវគ្នាជាគូ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ៖
.
អនុញ្ញាតឱ្យមាន ប៉ុន្តែនិង Ā - ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ, ឧ។ ក + ក= Ω ដែល Ω គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ។ ពីទ្រឹស្តីបទបន្ថែមវាធ្វើតាមនោះ។
P(Ω) = រ(ប៉ុន្តែ) + រ(Ā ) = 1 ដូច្នេះ
រ(Ā ) = 1 – រ(ប៉ុន្តែ).
ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ 1 និង ប៉ុន្តែ 2 គឺរួមគ្នា បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាពីរគឺស្មើនឹង៖
រ(ប៉ុន្តែ 1 + ប៉ុន្តែ 2) = រ(ប៉ុន្តែ 1) + រ(ប៉ុន្តែ 2) - P ( ប៉ុន្តែ 1 × ប៉ុន្តែ 2).
ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ ធ្វើឱ្យវាអាចផ្លាស់ទីពីការគណនាដោយផ្ទាល់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ ដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគស្មាញ។
កិច្ចការ 1.8. ខ្មាន់កាំភ្លើងបាញ់មួយគ្រាប់ចំគោលដៅ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទម្លាក់ 10 ពិន្ទុ (ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ), 9 ពិន្ទុ (ព្រឹត្តិការណ៍ IN) និង ៨ ពិន្ទុ (ព្រឹត្តិការណ៍ ពី) គឺស្មើនឹង 0.11 រៀងគ្នា; ០.២៣; ០.១៧. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាញ់មួយគ្រាប់ អ្នកបាញ់បានពិន្ទុតិចជាង 8 ពិន្ទុ (ព្រឹត្តិការណ៍ ឃ).
ដំណោះស្រាយ. ចូរបន្តទៅព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ - ដោយបាញ់មួយគ្រាប់ អ្នកបាញ់នឹងទម្លាក់យ៉ាងហោចណាស់ 8 ពិន្ទុ។ ព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងប្រសិនបើ ប៉ុន្តែឬ IN, ឬ ពី, i.e. . ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ ក, ខ, ពីគឺមិនស៊ីគ្នាជាគូ បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទបន្ថែម
កន្លែងណា។
កិច្ចការ 1.9. ពីក្រុមនៃកងពលតូចដែលមានបុរស 6 នាក់និងស្ត្រី 4 នាក់ត្រូវបានជ្រើសរើសមនុស្ស 2 នាក់សម្រាប់សន្និសីទសហជីព។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ស្ត្រីម្នាក់ក្នុងចំណោមអ្នកដែលបានជ្រើសរើស (ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ).
ដំណោះស្រាយ. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាមួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាខាងក្រោមនឹងចាំបាច់កើតឡើង៖ IN- "បុរសនិងស្ត្រីត្រូវបានជ្រើសរើស"; ពី"ស្ត្រីពីរនាក់ត្រូវបានជ្រើសរើស" ។ ដូច្នេះយើងអាចសរសេរ៖ A=B+C. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ INនិង ពី. មនុស្សពីរនាក់ក្នុងចំណោម 10 នាក់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី។ ស្ត្រីពីរនាក់ក្នុងចំណោម 4 នាក់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី។ បុរសនិងស្ត្រីអាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមវិធី 6 × 4 ។ បន្ទាប់មក។ ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ INនិង ពីគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទបន្ថែម
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
បញ្ហា 1.10 ។មានសៀវភៅសិក្សាចំនួន 15 ក្បាលដែលត្រូវបានរៀបចំដោយចៃដន្យនៅលើធ្នើរនៅក្នុងបណ្ណាល័យ ដែល 5 ក្បាលត្រូវបានចងភ្ជាប់។ បណ្ណារក្សយកសៀវភៅសិក្សាចំនួនបីដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់សៀវភៅសិក្សាមួយដែលបានយកនឹងត្រូវបានចង (ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ).
ដំណោះស្រាយ. វិធីទីមួយ។ តម្រូវការ - យ៉ាងហោចណាស់សៀវភៅសិក្សាមួយក្នុងចំនោមសៀវភៅសិក្សាដែលបានចងភ្ជាប់ - នឹងត្រូវបានបំពេញប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនស៊ីគ្នាទាំងបីខាងក្រោមកើតឡើង៖ IN-សៀវភៅសិក្សាចំនួន០១ក្បាល ពី- សៀវភៅសិក្សាពីរ ឃ- សៀវភៅសិក្សាចំនួនបី។
ព្រឹត្តិការណ៍ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ ប៉ុន្តែអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍៖ A=B+C+D. ដោយទ្រឹស្តីបទបន្ថែម,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D)។ (2.1)
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ខ, គនិង ឃ(សូមមើលគ្រោងការណ៍រួមបញ្ចូលគ្នា)៖

តំណាងឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេទាំងនេះក្នុងសមភាព (2.1) ទីបំផុតយើងទទួលបាន
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
វិធីទីពីរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ(យ៉ាងហោចណាស់សៀវភៅសិក្សាមួយក្នុងចំណោមសៀវភៅសិក្សាទាំងបីដែលបានយកមានចំណង) និង Ā (គ្មានសៀវភៅសិក្សាណាដែលយកមកមានចំណង) ផ្ទុយពីនេះ។ P(A) + P(Ā) = 1 (ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយពីរគឺស្មើនឹង 1) ។ ពី​ទីនេះ P(A) = 1 – P(a)ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង Ā (គ្មានសៀវភៅសិក្សាណាដែលយកមកចង)
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន
P(A) = 1 - ភី (អេ) = 1 – 24/91 = 67/91.

១.២.៥. ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ។ ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ P(B/ប៉ុន្តែ) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ B ដែលគណនាលើការសន្មត់ថាព្រឹត្តិការណ៍ A បានកើតឡើងរួចហើយ។
ទ្រឹស្តីបទ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេដោយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតដែលគណនាលើការសន្មត់ថាព្រឹត្តិការណ៍ដំបូងបានកើតឡើងរួចហើយ:
P(A∙ខ) = P(A)∙P( IN/ប៉ុន្តែ). (2.2)
ព្រឹត្តិការណ៍ពីរត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យប្រសិនបើការកើតឡើងនៃពួកគេទាំងពីរមិនផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃផ្សេងទៀត i.e.
P(A) = P(A/B) ឬ P(B) = P(B/ប៉ុន្តែ). (2.3)
ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង INគឺឯករាជ្យ បន្ទាប់មករូបមន្ត (2.2) និង (2.3) បង្កប់ន័យ
P(A∙ខ) = P(A)∙P(B). (2.4)
សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ i.e. ប្រសិនបើសមភាព (2.4) ទទួលបានសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ នោះព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺឯករាជ្យ។ ជាការពិត រូបមន្ត (២.៤) និង (២.២) បង្កប់ន័យ
P(A∙ខ) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/ប៉ុន្តែ) កន្លែងណា P(A) = P(B/ប៉ុន្តែ).
រូបមន្ត (2.2) អាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ជា​ទូទៅ​ចំពោះ​ករណី​នៃ​ចំនួន​ព្រឹត្តិការណ៍​កំណត់ ប៉ុន្តែ 1 , ប៉ុន្តែ 2 ,…,ក ន:
P(A 1 ∙ប៉ុន្តែ 2 ∙…∙ក ន)=P(A 1)∙P(A 2 /ប៉ុន្តែ 1)∙P(A 3 /ប៉ុន្តែ 1 ប៉ុន្តែ 2)∙…∙P(A n/ប៉ុន្តែ 1 ប៉ុន្តែ 2 …ក ន -1).
កិច្ចការ 1.11. ពីកោដ្ឋមួយដែលមានបាល់ពណ៌សចំនួន 5 និងគ្រាប់ខ្មៅចំនួន 10 គ្រាប់ចំនួនពីរត្រូវបានគូរជាប់គ្នា។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ទាំងពីរមានពណ៌ស (ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ).
ដំណោះស្រាយ. ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ IN- បាល់ដំបូងដែលគូរគឺពណ៌ស; ពី- បាល់ដែលគូរទីពីរមានពណ៌ស។ បន្ទាប់មក ក = BC.
បទពិសោធន៍អាចធ្វើបានតាមពីរវិធី៖
1) ជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ: បន្ទាប់ពីជួសជុលពណ៌គ្រាប់បាល់ដែលបានគូរត្រូវបានត្រឡប់ទៅកោដ្ឋ។ ក្នុងករណីនេះព្រឹត្តិការណ៍ INនិង ពីឯករាជ្យ៖
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) ដោយគ្មានការជំនួស: បាល់ដែលបានគូរត្រូវបានដាក់មួយឡែក។ ក្នុងករណីនេះព្រឹត្តិការណ៍ INនិង ពីពឹងផ្អែក:
P(A) = P(B)∙P(C/IN).
សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ INលក្ខខណ្ឌគឺដូចគ្នា និងសម្រាប់ ពីស្ថានភាពបានផ្លាស់ប្តូរ។ បានកើតឡើង INដូច្នេះមានបាល់ចំនួន 14 ដែលនៅសល់ក្នុងកោដ្ឋ ដែល 4 គ្រាប់មានពណ៌ស។
ដូច្នេះ, ។
កិច្ចការ 1.12. ក្នុងចំណោមអំពូល 50 អំពូល 3 គឺមិនមានស្តង់ដារ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអំពូលពីរដែលថតក្នុងពេលតែមួយគឺមិនមានលក្ខណៈស្តង់ដារ។
ដំណោះស្រាយ. ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍៖ ប៉ុន្តែ- អំពូលទីមួយមិនមានស្តង់ដារ IN- អំពូលទីពីរមិនស្តង់ដារ ពី- អំពូលទាំងពីរមិនស្តង់ដារ។ វាច្បាស់ណាស់។ គ = ក∙IN. ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែអនុគ្រោះ ៣ ករណីក្នុងចំណោម ៥០ ដែលអាចធ្វើទៅបាន ឧ. P(A) = 3/50 ។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើងរួចហើយ INអនុគ្រោះពីរករណីក្នុងចំណោម 49 ដែលអាចធ្វើទៅបានពោលគឺឧ។ P(B/ប៉ុន្តែ) = 2/49 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
.
កិច្ចការ 1.13. អត្តពលិកពីរនាក់បាញ់ដោយឯករាជ្យនៅគោលដៅដូចគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកគោលដៅរបស់អត្តពលិកទីមួយគឺ 0.7 និងទីពីរគឺ 0.8 ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលគោលដៅនឹងត្រូវបានវាយប្រហារ?
ដំណោះស្រាយ. គោលដៅនឹងត្រូវបានវាយប្រហារ ប្រសិនបើអ្នកបាញ់ទីមួយ ឬទីពីរ ឬទាំងពីរវាយវា ពោលគឺឧ។ ព្រឹត្តិការណ៍មួយនឹងកើតឡើង A+Bដែលជាកន្លែងដែលព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែមាននៅក្នុងការវាយលុកគោលដៅដោយអត្តពលិកដំបូងនិងព្រឹត្តិការណ៍ IN- ទីពីរ។ បន្ទាប់មក
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
បញ្ហា 1.14 ។មានសៀវភៅសិក្សាចំនួនប្រាំមួយស្តីពីទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៅក្នុងបន្ទប់អាន ដែលក្នុងនោះមានបីត្រូវបានចង។ បណ្ណារក្សបានយកសៀវភៅសិក្សាពីរក្បាលដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលសៀវភៅសិក្សាពីរនឹងត្រូវបានចង។
ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងណែនាំអំពីសញ្ញាណនៃព្រឹត្តិការណ៍ ៖ ក- សៀវភៅសិក្សាដំបូងដែលយកមកមានចំណង IN- សៀវភៅសិក្សាទីពីរត្រូវបានចង។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសៀវភៅសិក្សាដំបូងមានចំណង,
P(A) = 3/6 = 1/2.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសៀវភៅសិក្សាទីពីរត្រូវបានចង ផ្តល់ឱ្យថាសៀវភៅទីមួយដែលបានយកត្រូវបានចង i.e. ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ IN, តើនេះ៖ P(B/ប៉ុន្តែ) = 2/5.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានដែលសៀវភៅសិក្សាទាំងពីរមានចំណង យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទគុណសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ គឺស្មើនឹង
P(AB) = P(A) ∙ P(B/ប៉ុន្តែ)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2 ។
បញ្ហា 1.15 ។ហាង​នេះ​មាន​បុគ្គលិក​ប្រុស​៧​នាក់ ស្រី​៣​នាក់ ។ មនុស្ស 3 នាក់ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យយោងទៅតាមចំនួនបុគ្គលិក។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលមនុស្សដែលបានជ្រើសរើសទាំងអស់គឺជាបុរស។
ដំណោះស្រាយ. ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ពី​សញ្ញាណ​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍៖ ក- បុរសជ្រើសរើសដំបូង IN- បុរសជ្រើសរើសទីពីរ ពី -បុរសទីបីដែលបានជ្រើសរើស។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបុរសត្រូវបានជ្រើសរើសមុន។ P(A) = 7/10.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបុរសម្នាក់ត្រូវបានជ្រើសរើសទីពីរ ផ្តល់ថាបុរសម្នាក់ត្រូវបានជ្រើសរើសមុនរួចហើយ ពោលគឺឧ។ ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ INបន្ទាប់ : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបុរសម្នាក់នឹងត្រូវបានជ្រើសរើសទីបី ផ្តល់ថាបុរសពីរនាក់ត្រូវបានជ្រើសរើសរួចហើយ i.e. ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ពីគឺ៖ P(C/AB) = 5/8.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានដែលអ្នកជ្រើសរើសទាំងបីគឺជាបុរស, P(ABC) = P(A) P(B/ប៉ុន្តែ) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24 ។

១.២.៦. រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប និងរូបមន្ត Bayes

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ខ 1 , ខ 2 ,…, ខ នគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូ (សម្មតិកម្ម) និង ប៉ុន្តែ- ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតឡើងដោយភ្ជាប់ជាមួយមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងផងដែរ។ Р(B i) និង P(A/ខ i) (ខ្ញុំ = 1, 2, …, ន).
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ រូបមន្តមានសុពលភាព៖
(2.5)
(2.6)
រូបមន្ត (2.5) ត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប . វាគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែ(ប្រូបាប៊ីលីតេពេញលេញ) ។
រូបមន្ត (2.6) ត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Bayes . វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាឡើងវិញនូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែបានកើតឡើង។
នៅពេលចងក្រងឧទាហរណ៍ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាថាសម្មតិកម្មបង្កើតជាក្រុមពេញលេញ។
កិច្ចការ 1.16. កន្ត្រកមានផ្លែប៉ោមពីដើមឈើបួនដើមដែលមានពូជដូចគ្នា។ ពីដំបូង - 15% នៃផ្លែប៉ោមទាំងអស់ពីទីពីរ - 35% ពីទីបី - 20% ពីទីបួន - 30% ។ ផ្លែប៉ោមទុំរៀងៗខ្លួន 99%, 97%, 98%, 95% ។
ក) តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្លែប៉ោមដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យគឺទុំ? ប៉ុន្តែ).
ខ) ដោយ​ផ្តល់​ថា​ផ្លែ​ប៉ោម​ដែល​យក​ដោយ​ចៃដន្យ​ប្រែ​ទៅ​ជា​ទុំ សូម​គណនា​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​វា​មក​ពី​ដើម​ដំបូង។
ដំណោះស្រាយ. ក) យើងមានសម្មតិកម្មចំនួន ៤៖
B 1 - ផ្លែប៉ោមមួយដែលយកដោយចៃដន្យត្រូវបានយកចេញពីដើមឈើទី 1;
B 2 - ផ្លែប៉ោមមួយយកដោយចៃដន្យត្រូវបានយកចេញពីដើមឈើទី 2;
B 3 - ផ្លែប៉ោមមួយត្រូវបានគេយកដោយចៃដន្យត្រូវបានយកចេញពីដើមឈើទី 3 ។
B 4 - ផ្លែប៉ោមមួយត្រូវបានគេយកដោយចៃដន្យត្រូវបានយកចេញពីដើមឈើទី 4 ។
ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេតាមលក្ខខណ្ឌ៖ P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ ប៉ុន្តែ:
P(A/ខ 1) = 0,99; P(A/ខ 2) = 0,97; P(A/ខ 3) = 0,98; P(A/ខ 4) = 0,95.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្លែប៉ោមដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងទុំត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប៖
P(A)=P(B 1)∙P(A/ខ 1)+P(B 2)∙P(A/ខ 2)+P(B 3)∙P(A/ខ 3)+P(B 4)∙P(A/ខ 4)=0,969.
ខ) រូបមន្ត Bayes សម្រាប់ករណីរបស់យើងមានទម្រង់៖
.
បញ្ហា 1.17 ។បាល់ពណ៌សមួយត្រូវបានទម្លាក់ទៅក្នុងកោដ្ឋដែលមានបាល់ពីរ បន្ទាប់ពីនោះបាល់មួយត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ដែលបានគូរនឹងមានពណ៌ស ប្រសិនបើការសន្មត់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់អំពីសមាសភាពដំបូងនៃបាល់ (តាមពណ៌) គឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នា។
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់ដោយ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍ - បាល់ពណ៌សត្រូវបានគូរ។ ការសន្មត់ខាងក្រោម (សម្មតិកម្ម) អំពីសមាសភាពដំបូងនៃបាល់គឺអាចធ្វើទៅបាន: ខ១មិនមានបាល់ពណ៌សទេ។ IN 2- បាល់ពណ៌សមួយ។ នៅក្នុង 3- បាល់ពណ៌សពីរ។
ដោយសារមានសម្មតិកម្មសរុបចំនួនបី ហើយផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មគឺស្មើនឹង 1 (ចាប់តាំងពីពួកគេបង្កើតជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍) បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មនីមួយៗគឺស្មើនឹង 1/3 ពោលគឺឧ។
P(B 1) = P(B 2)=P(B 3) = 1/3.
ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌដែលបាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានគូរ ដោយថាមិនមានបាល់ពណ៌សនៅក្នុងកោដ្ឋដំបូងឡើយ P(A/ខ 1) = 1/3 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ​តាម​លក្ខខណ្ឌ​ដែល​បាល់​ពណ៌​ស​នឹង​ត្រូវ​បាន​គូរ​ដោយ​សារ​តែ​កោដ្ឋ​មាន​បាល់​ពណ៌​ស​ដំបូង P(A/ខ 2) = 2/3 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ​តាម​លក្ខខណ្ឌ​ដែល​បាល់​ពណ៌​ស​នឹង​ត្រូវ​បាន​គូរ ដោយ​សារ​តែ​កោដ្ឋ​នោះ​មាន​បាល់​ពណ៌​ស​ពីរ។ P(A/ខ 3)=3/ 3=1.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានដែលបាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានគូរត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប៖
រ(ប៉ុន្តែ)=P(B 1)∙P(A/ខ 1)+P(B 2)∙P(A/ខ 2)+P(B 3)∙P(A/ខ 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
កិច្ចការ 1.18. ម៉ាស៊ីនពីរផលិតផ្នែកដូចគ្នាដែលត្រូវបានចុកទៅឧបករណ៍បញ្ជូនធម្មតា។ ដំណើរការនៃម៉ាស៊ីនទីមួយគឺពីរដងនៃម៉ាស៊ីនទីពីរ។ ម៉ាស៊ីនទីមួយផលិតជាមធ្យម 60% នៃផ្នែកដែលមានគុណភាពល្អឥតខ្ចោះហើយទីពីរ - 84% ។ ផ្នែកដែលបានយកដោយចៃដន្យពីបន្ទាត់ជួបប្រជុំគ្នាប្រែទៅជាមានគុណភាពល្អឥតខ្ចោះ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលធាតុនេះត្រូវបានផលិតដោយម៉ាស៊ីនដំបូង។
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់ដោយ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺជាវត្ថុដែលមានគុណភាពល្អឥតខ្ចោះ។ ការសន្មត់ពីរអាចត្រូវបានធ្វើឡើង៖ ខ១- ផ្នែកត្រូវបានផលិតដោយម៉ាស៊ីនទីមួយ ហើយ (ចាប់តាំងពីម៉ាស៊ីនទីមួយផលិតបានពីរដងច្រើនជាងផ្នែកទីពីរ) P(A/ខ 1) = 2/3; ខ 2 - ផ្នែកត្រូវបានផលិតដោយម៉ាស៊ីនទីពីរនិង P(B 2) = 1/3.
ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌដែលផ្នែកនឹងមានគុណភាពល្អ ប្រសិនបើវាត្រូវបានផលិតដោយម៉ាស៊ីនទីមួយ P(A/ខ 1)=0,6.
ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌដែលផ្នែកនឹងមានគុណភាពល្អឥតខ្ចោះប្រសិនបើវាត្រូវបានផលិតដោយម៉ាស៊ីនទីពីរ។ P(A/ខ 1)=0,84.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនឹងមានគុណភាពល្អបំផុត យោងតាមរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុបគឺស្មើនឹង
P(A)=P(B 1) ∙P(A/ខ 1)+P(B 2) ∙P(A/ខ 2)=2/3 0.6+1/3 0.84 = 0.68។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានដែលផ្នែកដ៏ល្អដែលបានយកត្រូវបានផលិតដោយ automaton ដំបូងយោងទៅតាមរូបមន្ត Bayes គឺស្មើនឹង

កិច្ចការ 1.19. មានបីផ្នែកដែលមាន 20 ផ្នែកនីមួយៗ។ ចំនួននៃផ្នែកស្ដង់ដារនៅក្នុងបាច់ទីមួយ ទីពីរ និងទីបីគឺ 20, 15 និង 10 រៀងគ្នា។ ផ្នែកដែលប្រែទៅជាស្តង់ដារត្រូវបានស្រង់ចេញដោយចៃដន្យពីបាច់ដែលបានជ្រើសរើស។ ផ្នែកត្រូវបានត្រលប់ទៅបាច់វិញ ហើយផ្នែកមួយត្រូវបានដកចេញដោយចៃដន្យពីបាច់ដូចគ្នាជាលើកទីពីរ ដែលវាប្រែជាស្តង់ដារផងដែរ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកត្រូវបានយកចេញពីក្រុមទីបី។
ដំណោះស្រាយ. បញ្ជាក់ដោយ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍ - ក្នុងការធ្វើតេស្តទាំងពីរនីមួយៗ (ជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) ផ្នែកស្តង់ដារមួយត្រូវបានទាញយកមកវិញ។ សម្មតិកម្មបីអាចត្រូវបានបង្កើតឡើង: ខ 1 - ផ្នែកត្រូវបានយកចេញពីបាច់ទីមួយ IN 2 - ផ្នែកត្រូវបានយកចេញពីក្រុមទីពីរ IN 3 - ផ្នែកត្រូវបានយកចេញពីក្រុមទីបី។
ព័ត៌មានលម្អិតត្រូវបានគេយកដោយចៃដន្យពីបណ្តុំដែលបានយក ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃសម្មតិកម្មគឺដូចគ្នា៖ P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ P(A/ខ១) ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកស្តង់ដារពីរនឹងត្រូវបានទាញជាប់គ្នាពីបាច់ទីមួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍នេះគឺអាចជឿទុកចិត្តបាន, ដោយសារតែ។ នៅក្នុងបណ្តុំទីមួយ គ្រប់ផ្នែកទាំងអស់សុទ្ធតែមានលក្ខណៈស្តង់ដារ P(A/ខ 1) = 1.
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ P(A/ខ២) ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកស្តង់ដារពីរនឹងត្រូវបានស្រង់ចេញជាបន្តបន្ទាប់ (ជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) ពីបាច់ទីពីរ៖ P(A/ខ 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ P(A/ខ៣) ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកស្តង់ដារពីរនឹងត្រូវដកចេញជាបន្តបន្ទាប់ (ជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) ពីក្រុមទីបី៖ P(A/ខ 3) = 10/20 10/20 = 1/4 ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានដែលផ្នែកស្ដង់ដារដែលបានស្រង់ចេញទាំងពីរត្រូវបានយកចេញពីបាច់ទីបី យោងតាមរូបមន្ត Bayes គឺស្មើនឹង

១.២.៧. ការធ្វើតេស្តឡើងវិញ

ប្រសិនបើការធ្វើតេស្តជាច្រើនត្រូវបានអនុវត្ត, និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗមិនអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃការសាកល្បងផ្សេងទៀតទេ បន្ទាប់មកការសាកល្បងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ A.នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យផ្សេងៗគ្នាព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែអាចមានប្រូបាប៊ីលីតេខុសៗគ្នា ឬប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។ យើង​នឹង​ពិចារណា​បន្ថែម​ទៀត​ចំពោះ​តែ​ការ​សាកល្បង​ឯករាជ្យ​បែប​នេះ​ដែល​ក្នុង​ព្រឹត្តិការណ៍​នោះ។ ប៉ុន្តែមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។
អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផលិត ទំការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ប៉ុន្តែអាចឬមិនលេចឡើង។ ចូរយើងសន្មតថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែក្នុងការធ្វើតេស្តនីមួយៗគឺដូចគ្នា ពោលគឺស្មើនឹង រ.ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុងការធ្វើតេស្តនីមួយៗក៏ថេរ និងស្មើនឹង 1- រ.គ្រោងការណ៍ប្រូបាប៊ីលីតេបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា គ្រោងការណ៍ Bernoulli. ចូរយើងកំណត់ខ្លួនយើងនូវភារកិច្ចនៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ ទំការសាកល្បងព្រឹត្តិការណ៍ Bernoulli ប៉ុន្តែនឹងក្លាយជាការពិត kម្តង ( k- ចំនួនជោគជ័យ) ហើយដូច្នេះវានឹងមិនត្រូវបានគេដឹងទេ។ ទំ-ម្តង។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការសង្កត់ធ្ងន់ថាវាមិនតម្រូវឱ្យមានព្រឹត្តិការណ៍នោះទេ។ ប៉ុន្តែបានធ្វើម្តងទៀតយ៉ាងពិតប្រាកដ kដងក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។ សម្គាល់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន R p (k). ឧទាហរណ៍និមិត្តសញ្ញា រ 5 (3) មានន័យថា ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងការសាកល្បងចំនួនប្រាំ ព្រឹត្តិការណ៍នឹងលេចឡើងយ៉ាងពិតប្រាកដ 3 ដង ហើយដូច្នេះវានឹងមិនកើតឡើង 2 ដងទេ។
បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើអ្វីដែលគេហៅថា រូបមន្ត Bernoulli,ដែលមើលទៅដូច៖
.
បញ្ហា 1.20 ។ប្រូបាប៊ីលីតេដែលការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីក្នុងរយៈពេលមួយថ្ងៃនឹងមិនលើសពីបទដ្ឋានដែលបានបង្កើតឡើងគឺស្មើនឹង រ=0.75 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងរយៈពេល 6 ថ្ងៃបន្ទាប់ ការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីរយៈពេល 4 ថ្ងៃនឹងមិនលើសពីបទដ្ឋាន។
ដំណោះស្រាយ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីធម្មតាក្នុងអំឡុងពេល 6 ថ្ងៃនីមួយៗគឺថេរនិងស្មើនឹង រ=0.75 ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចំណាយលើសនៃអគ្គិសនីជារៀងរាល់ថ្ងៃក៏ថេរនិងស្មើនឹង q= 1–រ=1–0,75=0,25.
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានយោងទៅតាមរូបមន្ត Bernoulli គឺស្មើនឹង
.
កិច្ចការ 1.21. អ្នកលេងអុកស្មើគ្នាពីរនាក់លេងអុក។ តើមួយណាទំនងជាង៖ ដើម្បីឈ្នះពីរប្រកួតក្នុងចំនោម 4 ឬ 3 ហ្គេមក្នុងចំណោម 6 (ស្មើមិនត្រូវបានគិតទេ)?
ដំណោះស្រាយ. អ្នកលេងអុកស្មើគ្នាកំពុងលេង ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះ រ= 1/2 ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបាត់បង់ qក៏ស្មើនឹង 1/2 ។ ដោយសារតែ នៅក្នុងហ្គេមទាំងអស់ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះគឺថេរ ហើយវាមិនមានបញ្ហានៅក្នុងលំដាប់អ្វីដែលហ្គេមត្រូវបានឈ្នះនោះទេ បន្ទាប់មករូបមន្ត Bernoulli គឺអាចអនុវត្តបាន។
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលហ្គេមពីរក្នុងចំណោមបួននឹងត្រូវបានឈ្នះ៖

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលហ្គេម 3 ក្នុងចំណោម 6 នឹងឈ្នះ:

ដោយសារតែ ទំ 4 (2) > ទំ៦ (3) ន ឝ្វរឝ្វរោឝ្ច ឝ្ច ឝ្ច ឝ្ច ឝ្រី ឝ្ឌ្ឍឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ច ឝ្ចឝ្ចឝ្ចឝ្ច។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគេអាចមើលឃើញថាការប្រើរូបមន្ត Bernoulli សម្រាប់តម្លៃធំ នវាជាការលំបាកជាង, ចាប់តាំងពីរូបមន្តតម្រូវឱ្យមានការអនុវត្តនៃប្រតិបត្តិការលើចំនួនដ៏ធំហើយដូច្នេះកំហុសកកកុញនៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនា; ជាលទ្ធផល លទ្ធផលចុងក្រោយអាចខុសគ្នាខ្លាំងពីលទ្ធផលពិត។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះមានទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ជាច្រើនដែលត្រូវបានប្រើសម្រាប់ករណីនៃការសាកល្បងមួយចំនួនធំ។
1. ទ្រឹស្តីបទ Poisson
នៅពេលធ្វើតេស្តមួយចំនួនធំយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli (ជាមួយ ន=> ∞) និងជាមួយនឹងចំនួនតិចតួចនៃលទ្ធផលអំណោយផល k(សន្មតថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ ទំតូច) រូបមន្ត Bernoulli ខិតជិតរូបមន្ត Poisson
.
ឧទាហរណ៍ 1.22 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអាពាហ៍ពិពាហ៍ក្នុងការផលិតឯកតាផលិតកម្មដោយសហគ្រាសគឺស្មើនឹង ទំ=0.001។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថានៅក្នុងការផលិត 5000 គ្រឿងនឹងមានកំហុសតិចជាង 4 (ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ ដំណោះស្រាយ. ដោយសារតែ នមានទំហំធំ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Laplace មូលដ្ឋាន៖

គណនា x:
មុខងារ គឺស្មើគ្នា ដូច្នេះ φ(–1.67) = φ(1.67) ។
យោងតាមតារាងឧបសម្ព័ន្ធ A.1 យើងរកឃើញ φ(1.67) = 0.0989 ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន ទំ 2400 (1400) = 0,0989.
3. ទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace
ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ រការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ កនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli គឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ បន្ទាប់មកជាមួយនឹងចំនួនដ៏ច្រើននៃការសាកល្បង ន, ប្រូបាប៊ីលីតេ R p (k 1 , ក 2) ព្រឹត្តិការណ៍ កនៅក្នុងការសាកល្បងទាំងនេះ k 1 ទៅ k 2 ដងប្រហាក់ប្រហែល
R ទំ(k 1 , ក 2) = Φ ( x"") – Φ ( x") កន្លែងណា
គឺជាមុខងារ Laplace

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៅក្នុងអនុគមន៍ Laplace មិនត្រូវបានគណនាលើថ្នាក់នៃអនុគមន៍វិភាគទេ ដូច្នេះតារាងទី 1 ត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាវា។ ប្រការ 2 ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងឧបសម្ព័ន្ធ។
ឧទាហរណ៍ 1.24 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យមួយរយគឺថេរ និងស្មើនឹង ទំ= 0.8 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើង៖ ក) យ៉ាងហោចណាស់ 75 ដង និងច្រើនបំផុត 90 ដង។ ខ) យ៉ាងហោចណាស់ ៧៥ ដង; គ) មិនលើសពី 74 ដង។
ដំណោះស្រាយ. តោះប្រើទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលរបស់ Laplace៖
R ទំ(k 1 , ក 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), ដែល Ф( x) គឺជាមុខងារ Laplace

ក) តាមលក្ខខណ្ឌ ន = 100, ទំ = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. គណនា x""និង x" :


ពិចារណាថាមុខងារ Laplace គឺសេស, i.e. F(- x) = – F( x), យើង​ទទួល​បាន
ទំ 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25) ។
នេះបើយោងតាមតារាង ទំ.២. ស្វែងរកកម្មវិធី៖
F(2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944 ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន
ទំ 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
ខ) តម្រូវការដែលព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងយ៉ាងហោចណាស់ 75 ដងមានន័យថាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍អាចស្មើនឹង 75, ឬ 76, ..., ឬ 100 ។ ដូច្នេះក្នុងករណីដែលកំពុងពិចារណា គួរតែយក k 1 = 75, ក 2 = 100. បន្ទាប់មក

.
នេះបើយោងតាមតារាង ទំ.២. កម្មវិធី យើងរកឃើញ Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0.5 ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន
ទំ 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
គ) ព្រឹត្តិការណ៍ - " ប៉ុន្តែបានបង្ហាញខ្លួនយ៉ាងហោចណាស់ 75 ដង" និង " ប៉ុន្តែបានបង្ហាញខ្លួនមិនលើសពី 74 ដង” គឺផ្ទុយគ្នា ដូច្នេះផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះគឺ 1។ ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន
ទំ 100 (0;74) = 1 – ទំ 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.