Пифагор теоремасын дәлелдеудің әртүрлі тәсілдері: мысалдар, сипаттама және шолулар. Мәселелерді өз бетінше шешу
Сынып: 8
Сабақтың мақсаттары:
- Тәрбиелік:Пифагор теоремасын меңгеруге қол жеткізу, екі белгілінің көмегімен тік бұрышты үшбұрыштың белгісіз қабырғасын есептеу дағдыларын қалыптастыру, қарапайым есептерді шығаруда Пифагор теоремасын қолдануды үйрету
- Әзірлеуші:салыстыру, бақылау, зейінін дамытуға, аналитикалық және синтетикалық ойлау қабілетін дамытуға, ой-өрісін кеңейтуге ықпал ету.
- Тәрбиелік:білімге деген қажеттілігін, математикаға қызығушылығын қалыптастыру
Сабақтың түрі:жаңа материалды таныстыру сабағы
Жабдық:компьютер, мультимедиялық проектор, сабаққа арналған презентация ( 1-қосымша)
Сабақ жоспары:
- Ұйымдастыру уақыты
- ауызша жаттығулар
- Зерттеу жұмысы, гипотезаны алға тарту және оны нақты жағдайларда тексеру
- Жаңа материалды түсіндіру
а) Пифагор туралы
б) Теореманың тұжырымы мен дәлелі - Есептер шығару арқылы жоғарыда айтылғандарды бекіту
- Үйге тапсырма, сабақты қорытындылау.
Сабақтар кезінде
2-слайд: Жаттығуларды орындаңыз
- Жақшаларды кеңейту: (3 + x) 2
- x = 1, 2, 3, 4 үшін 3 2 + x 2 есептеңіз
– Квадраты 10, 13, 18, 25 болатын натурал сан бар ма? - Қабырғалары 11 см, 50 см, 7 дм шаршының ауданын табыңыз.
Шаршы ауданның формуласы қандай?
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады?
3-слайд: Сұрақ жауап
– Өлшемі 90° болатын бұрыш. (Түзу)
Үшбұрыштың тік бұрышына қарама-қарсы қабырғасы. (гипотенуза)
- Үшбұрыш, шаршы, трапеция, шеңбер - бұл геометриялық ... (Пішіндер)
- Тікбұрышты үшбұрыштың кіші қабырғасы. (Катет)
- Бір нүктеден шығатын екі сәуледен құралған фигура. (бұрыш)
- Үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасы бар түзуге жүргізілген перпендикулярдың кесіндісі. (Биіктігі)
- Екі қабырғасы тең үшбұрыш . (Тең қабырғалы)
4-слайд: Тапсырма
Қабырғалары 3 см, 4 см және 6 см болатын тікбұрышты үшбұрыш сал.
Тапсырма жолдарға бөлінеді.
| 1 қатар | 2 қатар | 3 қатар | |
| аяқ а | 3 | 3 | |
| аяқ б | 4 | 4 | |
| Гипотенуза бірге | 6 | 6 |
Сұрақтар:
-Қабырғалары берілген үшбұрышты біреу алды ма?
- Бұдан қандай қорытынды шығаруға болады? (Тікбұрышты үшбұрышты ерікті түрде анықтауға болмайды. Оның қабырғалары арасында тәуелділік бар).
- Алынған жақтарды өлшеңіз. ( Әрбір жолдың шамамен орташа нәтижесі кестеге енгізіледі)
| 1 қатар | 2 қатар | 3 қатар | |
| аяқ а | 3 | 3 | ~4,5 |
| аяқ б | 4 | ~5,2 | 4 |
| Гипотенуза бірге | ~5 | 6 | 6 |
- Әрбір жағдайда аяқ пен гипотенузаның арақатынасын орнатуға тырысыңыз.
(Ауызша жаттығуларды еске түсіріп, басқа сандар арасындағы бірдей қатынасты тексеру ұсынылады).
- Нақты нәтиже нәтиже бермейтініне назар аударылады, өйткені. өлшемдерді дәл деп санауға болмайды.
Мұғалім болжамды сұрайды (гипотеза): оқушылар тұжырымдайды.
– Иә, расында да, гипотенуза мен аяқтың арасында байланыс бар, оны бірінші болып дәлелдеген ғалым, оның атын өзіңіз атайсыз. Бұл теорема оның атымен аталған.
5-слайд: Дешифрлеу
6-слайд: Самостағы Пифагор
Бүгінгі сабақтың тақырыбын кім атайды?
Оқушылар дәптерге сабақтың тақырыбын жазады: «Пифагор теоремасы»
Пифагор теоремасы – геометрияның негізгі теоремаларының бірі. Оның көмегімен көптеген басқа теоремалар дәлелденіп, әртүрлі салалардағы есептер шығарылады: физика, астрономия, құрылыс және т.б. Бұл Пифагор дәлелдегенге дейін белгілі болды. Ежелгі египеттіктер оны қабырғалары 3, 4 және 5 бірлік болатын тікбұрышты үшбұрышты салу кезінде ғимараттарды, пирамидаларды төсеу кезінде тік бұрыштарды салу үшін арқан арқылы пайдаланған. Сондықтан мұндай үшбұрыш деп аталады Египет үшбұрышы.
Бұл теореманы дәлелдеудің үш жүзден астам жолы бар. Біз бүгін олардың біреуін қарастырамыз.
7-слайд: Пифагор теоремасы
Теорема: Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.
Берілген:
Тік бұрышты үшбұрыш,
a, b - аяқтар, бірге- гипотенуза
Дәлелдеу:
Дәлелдеу.
1. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерін жалғастырамыз: катет а- ұзындығы бойынша б, аяқ б- ұзындығы бойынша а.
Үшбұрышты қандай пішінде салуға болады? Неліктен шаршыға дейін? Шаршы жағы қандай болады?
2. Үшбұрышты қабырғасы бар шаршыға дейін аяқтаймыз a + b.
Бұл шаршының ауданын қалай табуға болады?
3. Алаңның ауданы
- Шаршы бөліктерге бөлейік: 4 үшбұрыш және қабырғасы с болатын шаршы.
Бастапқы шаршының ауданын тағы қалай табуға болады?
Алынған тікбұрышты үшбұрыштар неге сәйкес келеді?
4. Екінші жағынан,
5. Алынған теңдіктерді теңестіріңіз:
Теорема дәлелденді.
Бұл теореманың күлкілі тұжырымы бар: «Пифагор шалбары барлық бағытта бірдей». Мүмкін, мұндай тұжырымдау бұл теореманың бастапқыда тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыш үшін бекітілгеніне байланысты. Оның үстіне, ол сәл басқаша естілді: «Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған шаршының ауданы оның аяқтарына салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең».
8-слайд: Пифагор теоремасының тағы бір тұжырымы
Мен сізге бұл теореманың тағы бір тұжырымын өлеңде беремін:
Егер бізге үшбұрыш берілсе
Сонымен қатар, тік бұрышпен,
Бұл гипотенузаның квадраты
Біз әрқашан оңай таба аламыз:
Біз аяқтарды шаршыға саламыз,
Біз градустардың қосындысын табамыз
Және осындай қарапайым жолмен
Нәтижеге келеміз.
-Ендеше, бүгін сендер планиметрияның ең әйгілі теоремасы Пифагор теоремасымен таныстыңдар. Пифагор теоремасы қалай тұжырымдалған? Оны тағы қалай тұжырымдауға болады?
Материалды біріншілік бекіту
9-слайд: Дайын сызбалар бойынша есептерді шығару.
10-слайд: Дәптерге есептер шығару
Есептерді шығару үшін тақтаға бір мезгілде үш оқушы шақырылады.
11-слайд: 12 ғасырдағы үнді математигі Бхаскара мәселесі
Сабақты қорытындылау:
Бүгін сабақта қандай жаңа білдің?
- Пифагор теоремасын тұжырымдаңыз.
- Сабақта не істеуді үйрендің?
Үй жұмысы:
– Пифагор теоремасын дәлелдеу арқылы үйреніңіз
- No483 в, г оқулықтағы тапсырмалар; № 484, қ
– Жоғары деңгейлі студенттер үшін: Пифагор теоремасының басқа дәлелдерін табыңыз, олардың біреуін үйреніңіз.
Жеке оқушыларды бөліп көрсете отырып, жалпы сынып жұмысы бағаланады.
Тақырып бойынша сабақ: «Пифагор теоремасы»
Сабақтың түрі: жаңа материалды меңгерту сабағы. («Геометрия, 7–9» оқулығы бойынша, оқу орындарына арналған оқулық; Л.С. Атанасян және т.б. – 12-бас. – М.: Білім, 2009).
Мақсат:
оқушыларды Пифагор теоремасымен және осы теоремаға қатысты тарихи мәліметтермен таныстыру; математиканы оқуға қызығушылығын, логикалық ойлауын дамыту; Назар аударыңыз.
Сабақтар кезінде:
1. Ұйымдастыру кезеңі.
СЛАЙД 2 «Үй» ертегісі.
Сабағымыздың тақырыбы «Пифагор теоремасы». Бүгін сабақта біз Пифагордың өмірбаянымен танысамыз, біз Планиметрияның негізгі теоремаларының бірі Пифагор теоремасы деп аталатын ежелгі дәуірдің ең әйгілі геометриялық теоремаларының бірін зерттейміз.
2. Білімді актуализациялау.(Жаңа материалды, теореманы дәлелдеуде қажет болатын материалды оқуға дайындық қайталанады)
1) Сұрақтар:
Қандай төртбұрыш шаршы деп аталады?
Шаршының ауданын қалай табуға болады?
Қандай үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш деп аталады?
Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары қалай аталады?
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын қалай табуға болады?
3. Жаңа материалды меңгеру.
1) Тарих анықтамасы.
Слайд 3 және 4.
Ұлы ғалым Пифагор біздің дәуірімізге дейінгі 570 жылы дүниеге келген. Самос аралында. Пифагордың әкесі Мнесарх асыл тастар оюшы болған. Пифагордың анасының аты белгісіз. Көптеген ежелгі куәліктерге сәйкес, дүниеге келген бала керемет әдемі болды және көп ұзамай өзінің керемет қабілеттерін көрсетті. Кез келген әке сияқты, Мнесарх ұлының өз жұмысын - зергердің қолөнерін жалғастыруын армандады. Өмір басқаша сотталды. Болашақ ұлы математик және философ бала кезінен-ақ ғылымға үлкен қабілет көрсетті.
Пифагор бүтін сандар мен пропорциялардың қасиеттерін зерттеген, Пифагор теоремасын дәлелдеген және т.б. Пифагор есімі емес, философтың грек оракулы сияқты әрқашан дұрыс және нанымды сөйлегені үшін алған лақап аты. (Пифагор – «сендіргіш сөз».)
Ол өзінің сөйлеген сөздерімен 2000 студентке ие болды, олар өз отбасыларымен бірге Пифагор заңдары мен ережелері әрекет ететін мектеп мемлекетін құрады. Пифагор мектебі немесе оны Пифагор одағы деп те атайды, бір уақытта философиялық мектеп, саяси партия және діни бауырластық болды.
Пифагорлықтардың сүйікті геометриялық фигурасы пентаграмма болды, оны Пифагор жұлдызы деп те атайды. Пифагорлықтар бұл фигураны құмға салып, бір-бірімен амандасып, тану үшін пайдаланған. Пентаграмма олардың құпия сөзі ретінде қызмет етті және денсаулық пен бақыттың символы болды.
Дәстүр бойынша Пифагор өзінің атымен аталатын теоремаға келгенде, құдайларға 100 бұқа әкелді. Біздің дәуірімізге дейінгі 500 жылы халық көтерілісі кезінде Пифагор көшедегі шайқаста қаза тапты. Қазіргі уақытта Пифагор теоремасының 200-ге жуық дәлелі бар.
Теореманың тұжырымы
2) Теореманы дәлелдеу.
Қабырғасы a+b болатын шаршыға тіктөртбұрыш салайық.
Балалар мұғалімнің көмегімен сызба бойынша теореманы дәлелдейді, сосын дәлелдеуді дәптерге жазады.
Дәлелдеу:
Шаршы алаңы
- теорема дәлелденді.
4. Білімді алғашқы бекіту.
Оқулық жұмысы (Пифагор теоремасын есептер шығаруға қолдану).
Есептер тақтаға, дәптерге шығарылады.
Қорытынды: Пифагор теоремасын қолдана отырып, есептердің екі түрін шешуге болады:
1. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері белгілі болса, оның гипотенузасын табыңыз.
2. Гипотенузасы мен екінші аяғы белгілі болса, аяқты табыңыз.
.
5. Мәселелерді өз бетінше шешу.
№ 483 (б), 484 (б)
6. Үйге тапсырма:П 54, № 483 (г), 484 (д) тармақтары.
7. Сабақтың нәтижесі.
Бүгін сабақта қандай жаңа білдің?
Пифагор теоремасы қандай үшбұрыштар үшін қолданылады?
Сабақты өлеңмен аяқтау.
Көптеген адамдар Чамиссоның сонетін біледі:
Ақиқат мәңгілік қалады, қалай тез
Оны әлсіз адам біледі!
Ал енді Пифагор теоремасы
Верна, оның алыс жасындағыдай.
Құрбандық өте көп болды
Пифагордан келген құдайлар. Жүз бұқа
Ол союға және өртелуге берді
Жарықтың артында бұлттан шыққан сәуле бар.
Сондықтан, содан бері
Дүниеде аз ғана шындық туады,
Бұқалар ақырып, оны сезіп, соңынан ереді.
Олар жарықты тоқтата алмайды
Және тек дірілдеп көздерін жұмып алады
Пифагор олардың бойына сіңірген қорқыныштан.
Сұрақ - жауап Өлшемі 90 ° болатын бұрыш ТІКЕЛЕЙ Үшбұрыштың тік бұрышына қарама-қарсы жатқан қабырғасы ГИПОТЕНЕЗ Үшбұрыш, шаршы, трапеция, шеңбер геометриялық ... ФИГУРАЛАР Тікбұрышты үшбұрыштың кіші қабырғасы КАТЕТ Мына жерден шығатын екі сәуледен құралған фигура бір нүкте БҰРЫШ Үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасы бар түзуге жүргізілген перпендикуляр кесінді БИІКТІЛІК Екі қабырғасы тең тең қабырғалы үшбұрыш
Самостық Пифагор (шамамен б.д.д. 580 – 500 ж.) Ежелгі грек математигі және философы. Самос аралында дүниеге келген. Ол өзінің жеке мектебін – Пифагор мектебін (Пифагор одағы) ұйымдастырды, ол бір уақытта философиялық мектеп, саяси партия және діни бауырластық болды. Ол бірінші болып тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттерінің арасындағы байланысты дәлелдеді.
ХІІ ғасырдағы үнді математигі Бхаскараның есебі Өзен жағасында жалғыз терек өсті. Кенет екпінді жел оның діңін сындырды. Байғұс терек құлап қалды. Ал түзудің бұрышы Өзеннің ағысымен оның діңі болды. Енді есіңе түсір, бұл жерде В өзенінің ені төрт-ақ фут болатын.Басы өзеннің шетіне еңкейген. Діңнен үш-ақ фут қалды, өтінемін, тезірек айтыңызшы: Теректің биіктігі қанша?
Шаповалова Л.А. (Егорлыкская станциясы, MBOU ESOSH No 11)
1. Глейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы VII - VIII сыныптар, мұғалімдерге арналған нұсқаулық, - М: Білім, 1982.
2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. «Математика оқулығының беттері» 5-6 сынып оқушыларына арналған анықтамалық. – М.: Ағарту, 1989 ж.
3. Зенкевич И.Г. «Математика сабағының эстетикасы». – М.: Ағарту, 1981 ж.
4. Лицман В. Пифагор теоремасы. - М., 1960 ж.
5. Волошинов А.В. «Пифагор». - М., 1993 ж.
6. Пичурин Л.Ф. «Алгебра оқулығының беттерінен тыс». - М., 1990 ж.
7. Земляков А.Н. «10-сыныптағы геометрия». - М., 1986 ж.
8. «Математика» газеті 17/1996 ж.
9. «Математика» газеті 3/1997.
10. Антонов Н.П., Выгодский М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. «Бастауыш математикадан есептер жинағы». - М., 1963 ж.
11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. «Математика бойынша анықтамалық». - М., 1973 ж.
12. Щетников А.И. «Сан және шама туралы Пифагор ілімі». - Новосибирск, 1997 ж.
13. «Нақты сандар. Иррационал өрнектер» 8-сынып. Томск университетінің баспасы. – Томск, 1997 ж.
14. Атанасян М.С. «Геометрия» 7-9 сынып. – М.: Ағарту, 1991 ж.
15. URL: www.moypifagor.narod.ru/
16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.
Осы оқу жылында мен қызықты теоремамен таныстым, ол көне заманнан белгілі болды:
«Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына салынған шаршы катеттердің үстіне салынған шаршылардың қосындысына тең».
Әдетте бұл мәлімдеменің ашылуы ежелгі грек философы және математигі Пифагорға (б.з.б. VI ғ.) жатады. Бірақ көне қолжазбаларды зерттеу бұл мәлімдеменің Пифагордың туғанына дейін белгілі болғанын көрсетті.
Неліктен бұл жағдайда Пифагор есімімен байланысты болды деп ойладым.
Тақырыптың өзектілігі: Пифагор теоремасы үлкен маңызға ие: ол геометрияда әр қадамда тура мағынада қолданылады. Пифагор шығармалары әлі де өзекті деп есептеймін, өйткені қай жерде қарасақ та, оның қазіргі өмірдің сан алуан салаларында бейнеленген ұлы идеяларының жемісін кез келген жерден көруге болады.
Зерттеу жұмысымның мақсаты: Пифагордың кім болғанын және оның осы теоремаға қандай қатысы бар екенін анықтау.
Теореманың тарихын зерттей отырып, мен мынаны анықтауды шештім:
Бұл теореманың басқа дәлелдері бар ма?
Бұл теореманың адам өміріндегі маңызы қандай?
Пифагор математиканың дамуында қандай рөл атқарды?
Пифагордың өмірбаянынан
Самостық Пифагор – ұлы грек ғалымы. Оның даңқы Пифагор теоремасының атымен байланысты. Бұл теорема ежелгі Вавилонда Пифагордан 1200 жыл бұрын, ал одан 2000 жыл бұрын Египетте қабырғалары 3, 4, 5 болатын тік бұрышты үшбұрыш белгілі болғанын қазір білсек те, біз оны әлі күнге дейін осы көненің атымен атаймыз. ғалым.
Пифагордың өмірі туралы нақты ештеңе дерлік белгілі емес, бірақ оның есімімен байланысты көптеген аңыздар бар.
Пифагор біздің дәуірімізге дейінгі 570 жылы Самос аралында дүниеге келген.
Пифагордың келбеті әдемі болды, ұзын сақалды, басында алтын диадема болды. Пифагор - бұл есім емес, философ әрқашан дұрыс және нанымды сөйлегені үшін алған лақап ат, грек оракулы сияқты. (Пифагор – «сендіргіш сөз»).
Біздің эрамызға дейінгі 550 жылы Пифагор шешім қабылдап, Египетке аттанады. Сонымен, Пифагордың алдынан белгісіз ел мен белгісіз мәдениет ашылады. Бұл елде Пифагорды таң қалдырды және таң қалдырды және мысырлықтардың өмірін біраз бақылаудан кейін Пифагор діни қызметкерлер кастасымен қорғалған білімге жол дін арқылы өтетінін түсінді.
Мысырда он бір жыл оқығаннан кейін Пифагор өз отанына барады, сол жерде ол Вавилон тұтқынына түседі. Онда ол мысырлықтан гөрі дамыған вавилондық ғылыммен танысады. Вавилондықтар сызықтық, квадраттық және текше теңдеулердің кейбір түрлерін шешуді білген. Тұтқыннан аман қалған ол елде билеп-төстеп жатқан зорлық-зомбылық пен озбырлық атмосферасына байланысты туған жерінде ұзақ тұра алмады. Ол Кротонға (Солтүстік Италиядағы грек колониясы) көшуге шешім қабылдады.
Дәл Кротонда Пифагор өміріндегі ең керемет кезең басталады. Онда ол діни-этикалық бауырластық немесе құпия монастырлық тәртіп сияқты нәрсені құрды, оның мүшелері пифагорлық деп аталатын өмір салтын жүргізуге міндетті болды.
Пифагор және Пифагоршылар
Пифагор Апеннин түбегінің оңтүстігіндегі грек колониясында кейінірек Пифагор одағы деп аталатын монастырлық орден сияқты діни және этикалық бауырластықты ұйымдастырды. Одақ мүшелері белгілі бір қағидаларды ұстануға тиіс болды: біріншіден, әдемі де даңқтыға ұмтылу, екіншіден, пайдалы болуға, үшіншіден, жоғары ләззатқа ұмтылу.
Пифагор шәкірттеріне өсиет етіп қалдырған моральдық-этикалық ережелер жүйесі антикалық, орта ғасырлар мен Қайта өрлеу дәуірінде өте танымал болған пифагорлықтардың өзіндік моральдық кодексі «Алтын өлеңдер» болып жинақталды.
Пифагорлық зерттеулер жүйесі үш бөлімнен тұрды:
Сан туралы ілімдер – арифметика,
Фигуралар туралы ілімдер – геометрия,
Ғаламның құрылысы туралы ілімдер – астрономия.
Пифагор негізін қалаған білім беру жүйесі көптеген ғасырларға созылды.
Пифагор мектебі геометрияға ғылым сипатын беру үшін көп жұмыс жасады. Пифагор әдісінің басты ерекшелігі геометрияны арифметикамен біріктіру болды.
Пифагор пропорциялар мен прогрессияларға және, бәлкім, фигуралардың ұқсастығына көп көңіл бөлді, өйткені ол мәселені шешуге үлес қосты: «Мөлшері бойынша деректердің біріне тең және екіншісіне ұқсас үшіншісін салыңыз. екі цифр берілген».
Пифагор және оның шәкірттері көпбұрышты, достық, кемел сандар ұғымын енгізіп, олардың қасиеттерін зерттеді. Арифметика есептеу тәжірибесі ретінде Пифагорды қызықтырмады және ол «арифметиканы саудагердің мүддесінен жоғары қоямын» деп мақтанышпен мәлімдеді.
Пифагор одағының мүшелері Грекияның көптеген қалаларының тұрғындары болды.
Пифагорлықтар да әйелдерді өз қоғамына қабылдады. Одақ жиырма жылдан астам гүлденді, содан кейін оның мүшелерін қудалау басталды, көптеген студенттер өлтірілді.
Пифагордың өзі қайтыс болғаны туралы көптеген түрлі аңыздар болды. Бірақ Пифагор мен оның шәкірттерінің ілімдері өмір сүруін жалғастырды.
Пифагор теоремасының жасалу тарихынан
Қазіргі уақытта бұл теореманы Пифагор ашпағаны белгілі. Дегенмен, кейбіреулер оның толық дәлелін алғаш рет Пифагор берді деп санайды, ал басқалары оның бұл еңбегін жоққа шығарады. Кейбіреулер Пифагорға Евклид өзінің Элементтерінің бірінші кітабында келтірген дәлелді жатқызады. Екінші жағынан, Прокл Элементтердегі дәлел Евклидтің өзіне байланысты деп мәлімдейді. Көріп отырғанымыздай, математика тарихында Пифагордың өмірі мен оның математикалық қызметі туралы сенімді нақты деректер жоқтың қасы.
Пифагор теоремасының тарихи шолуын Ежелгі Қытайдан бастайық. Мұнда Чу-пейдің математикалық кітабы ерекше назар аударады. Бұл эссе қабырғалары 3, 4 және 5 болатын Пифагор үшбұрышы туралы айтады:
«Егер тік бұрыш оның құрамдас бөліктеріне ыдырайтын болса, онда табаны 3 және биіктігі 4 болғанда оның қабырғаларының ұштарын қосатын сызық 5-ке тең болады».
Олардың құрылыс әдісін жаңғырту өте оңай. Ұзындығы 12 м арқан алып, оған 3 м қашықтықта түрлі-түсті жолақ бойымен байлаңыз. бір шетінен және екіншісінен 4 метр. Ұзындығы 3 және 4 метр жақтардың арасына тік бұрыш салынады.
Индустар арасындағы геометрия культпен тығыз байланысты болды. Гипотенузаның квадраты теоремасы Үндістанда біздің эрамызға дейінгі 8 ғасырда белгілі болған болуы ықтимал. Таза ғұрыптық нұсқамалармен қатар геометриялық теологиялық сипаттағы шығармалар бар. Біздің дәуірімізге дейінгі 4-5 ғасырларға жататын бұл жазбаларда қабырғалары 15, 36, 39 болатын үшбұрышты пайдаланып, тік бұрышты салуды кездестіреміз.
Орта ғасырларда Пифагор теоремасы мүмкін болатын ең үлкен емес болса, ең болмағанда жақсы математикалық білімнің шегін анықтады. Пифагор теоремасының сипатты сызбасы, оны кейде мектеп оқушылары, мысалы, профессордың немесе адамның шапанын киген жоғарғы қалпаққа айналдырады, ол кезде математиканың символы ретінде жиі қолданылды.
Қорытындылай келе, грек, латын және неміс тілдерінен аударылған Пифагор теоремасының әртүрлі тұжырымдарын ұсынамыз.
Евклид теоремасы оқылады (сөзбе-сөз аударма):
«Тік бұрышты үшбұрышта тік бұрышты қамтитын қабырғасының квадраты тік бұрышты қоршап тұрған қабырғалардағы квадраттарға тең».
Көріп отырғаныңыздай, әртүрлі елдерде және әртүрлі тілдерде таныс теореманы тұжырымдаудың әртүрлі нұсқалары бар. Әртүрлі уақытта және әртүрлі тілдерде жасалған олар бір математикалық заңдылықтың мәнін көрсетеді, оның дәлелі де бірнеше нұсқаға ие.
Пифагор теоремасын дәлелдеудің бес жолы
ежелгі қытай дәлелдері
Ежелгі Қытай сызбасында катеттері a, b және гипотенузасы c болатын төрт бірдей тік бұрышты үшбұрыштар олардың сыртқы контуры а + b қабырғасы бар шаршыны құрайтындай етіп, ал ішкі жағы с қабырғасына салынған шаршыны құрайтындай етіп жинақталған. гипотенузасы
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
Дж.Гардфилдтің дәлелі (1882)
Екі бірдей тік бұрышты үшбұрышты бірінің катеті екіншісінің жалғасы болатындай етіп орналастырайық.
Қарастырылып отырған трапецияның ауданы табандары мен биіктігінің қосындысының жартысының көбейтіндісі ретінде табылады.
Екінші жағынан, трапецияның ауданы алынған үшбұрыштардың аудандарының қосындысына тең:
Осы өрнектерді теңестірсек, мынаны аламыз:
Дәлел қарапайым
Бұл дәлел тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштың ең қарапайым жағдайында алынады.
Сірә, теорема содан басталған.
Шынында да, теореманың ақиқат екенін көру үшін тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыштардың плиткаларын қарау жеткілікті.
Мысалы, ABC үшбұрышы үшін: АС гипотенузасына салынған шаршыда 4 бастапқы үшбұрыш, ал катеттерде салынған квадраттар екіден тұрады. Теорема дәлелденді.
Ежелгі индустардың дәлелі
Қабырғасы (a + b) бар шаршыны суреттегідей бөліктерге бөлуге болады. 12. a немесе суреттегідей. 12б. Екі суретте де 1, 2, 3, 4 бөліктері бірдей екені анық. Ал егер теңдерден (аудандардан) теңдер алынып тасталса, онда теңдер қалады, яғни. c2 = a2 + b2.
Евклидтің дәлелі
Екі мыңжылдықта ең көп тараған Евклид ойлап тапқан Пифагор теоремасын дәлелдеу болды. Бұл оның әйгілі «Бастаулар» кітабында орналастырылған.
Евклид BH биіктігін тік бұрыштың төбесінен гипотенузаға түсіріп, оның созылуы гипотенузада аяқталған шаршыны екі тік төртбұрышқа бөлетінін, олардың аудандары катеттерге салынған сәйкес квадраттардың аудандарына тең болатынын дәлелдеді.
Бұл теореманы дәлелдеу үшін қолданылған сызба әзілмен «Пифагор шалбары» деп аталады. Ол ұзақ уақыт бойы математика ғылымының символдарының бірі болып саналды.
Пифагор теоремасын қолдану
Пифагор теоремасының маңыздылығы геометрия теоремаларының көпшілігін одан немесе оның көмегімен шығаруға және көптеген мәселелерді шешуге болатынында. Сонымен қатар, Пифагор теоремасының және оның кері теоремасының практикалық маңызы мынада: олар кесінділердің өздерін өлшемей-ақ кесінділердің ұзындықтарын табуға болады. Бұл түзу сызықтан жазықтыққа, жазықтықтан көлемдік кеңістікке және одан тыс жерлерге жол ашады. Дәл осы себепті Пифагор теоремасы көбірек өлшемдерді ашуға және осы өлшемдерде технологиялар жасауға ұмтылатын адамзат үшін өте маңызды.
Қорытынды
Пифагор теоремасы соншалықты әйгілі, ол туралы естімеген адамды елестету қиын. Пифагор теоремасын дәлелдеудің бірнеше жолы бар екенін білдім. Мен бірқатар тарихи-математикалық дереккөздерді, соның ішінде Интернеттегі ақпаратты зерттеп, Пифагор теоремасы өзінің тарихымен ғана емес, өмірде және ғылымда маңызды орын алатындықтан да қызықты екенін түсіндім. Бұл жұмыста мен берген осы теорема мәтінінің әртүрлі түсіндірмелерімен және оны дәлелдеу жолдарымен дәлелденеді.
Сонымен, Пифагор теоремасы геометрияның негізгі теоремаларының бірі және ең маңыздысы деп айтуға болады. Оның маңыздылығы геометрия теоремаларының көпшілігін одан немесе оның көмегімен шығаруға болатынында. Пифагор теоремасы да таңқаларлық, оның өзі мүлдем анық емес. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыштың қасиеттерін тікелей сызбадан көруге болады. Бірақ сіз тікбұрышты үшбұрышқа қанша қарасаңыз да, оның қабырғалары арасында қарапайым қатынас бар екенін ешқашан көре алмайсыз: c2 = a2 + b2. Сондықтан оны дәлелдеу үшін визуализация жиі қолданылады. Пифагордың еңбегі – ол осы теореманы толық ғылыми дәлелдеп берді. Бұл теорема жады кездейсоқ сақталмаған ғалымның жеке тұлғасы қызықты. Пифагор – музыка мен сандар үндестігіне, ізгілік пен әділеттілікке, білім мен салауатты өмір салтына бағдарланған тамаша шешен, ұстаз және тәрбиеші, өз мектебін ұйымдастырушы. Ол бізге, алыстағы ұрпақтарға үлгі болар.
Библиографиялық сілтеме
Тұманова С.В. ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫН ДӘЛЕЛДЕТУДІҢ БІРШЕ ӘДІЛДЕРІ // Ғылымнан бастау. - 2016. - No 2. - Б. 91-95;URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (кіру күні: 10.01.2020).
Пифагор теоремасы- қатынасты орнатушы евклид геометриясының іргелі теоремаларының бірі
тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары арасында.
Оны грек математигі Пифагор дәлелдеген деп саналады, оның атымен аталған.
Пифагор теоремасының геометриялық тұжырымы.
Теорема бастапқыда былай тұжырымдалған:
Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаға салынған шаршының ауданы квадраттардың аудандарының қосындысына тең,
катетерге салынған.
Пифагор теоремасының алгебралық тұжырымы.
Тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның ұзындығының квадраты катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысына тең.
Яғни, арқылы үшбұрыштың гипотенузасы ұзындығын белгілеу в, және арқылы аяқтардың ұзындықтары ажәне б:
Екі тұжырым пифагорлық теоремаларэквивалентті, бірақ екінші тұжырым неғұрлым қарапайым, олай емес
аумақ ұғымын қажет етеді. Яғни, екінші мәлімдемені аудан және туралы ештеңе білмей-ақ тексеруге болады
тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын ғана өлшеу арқылы.
Кері Пифагор теоремасы.
Егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысына тең болса, онда
үшбұрыш тікбұрышты.
Немесе, басқаша айтқанда:
Оң сандардың кез келген үштігі үшін а, бжәне в, солай
аяқтары бар тікбұрышты үшбұрыш бар ажәне бжәне гипотенуза в.
Тең қабырғалы үшбұрыш үшін Пифагор теоремасы.
Тең бүйірлі үшбұрыш үшін Пифагор теоремасы.
Пифагор теоремасының дәлелдері.
Қазіргі уақытта ғылыми әдебиеттерде бұл теореманың 367 дәлелі тіркелген. Мүмкін теорема
Пифагор - мұндай әсерлі дәлелдер саны бар жалғыз теорема. Мұндай әртүрлілік
геометрия үшін теореманың іргелі маңызымен ғана түсіндіруге болады.
Әрине, концептуалды түрде олардың барлығын аздаған сыныптарға бөлуге болады. Олардың ең танымалдары:
дәлелі аумақ әдісі, аксиоматикалықжәне экзотикалық дәлелдер(Мысалға,
көмегімен дифференциалдық теңдеулер).
1. Пифагор теоремасын ұқсас үшбұрыштар арқылы дәлелдеу.
Алгебралық тұжырымның келесі дәлелі құрастырылған дәлелдердің ең қарапайымы болып табылады
тікелей аксиомалардан. Атап айтқанда, ол фигураның ауданы түсінігін пайдаланбайды.
Болсын ABCтік бұрышты үшбұрыш бар C. Бір биіктікті сызайық Cжәне белгілеңіз
арқылы оның негізі Х.
Үшбұрыш ACHүшбұрышқа ұқсас AB C екі бұрышта. Сол сияқты үшбұрыш CBHұқсас ABC.
Белгілеуді енгізу арқылы:
Біз алып жатырмыз:
,
қайсысы сәйкес келеді -
Бүктелген а 2 және б 2, біз аламыз:
немесе , ол дәлелдеуге тиіс болды.
2. Пифагор теоремасын аудан әдісімен дәлелдеу.
Келесі дәлелдер, олардың қарапайымдылығына қарамастан, соншалықты қарапайым емес. Олардың барлығы
дәлелі Пифагор теоремасының өзін дәлелдеуден гөрі күрделірек болатын ауданның қасиеттерін қолданыңыз.
- Эквикомплемент арқылы дәлелдеу.
Төрт бірдей төртбұрышты орналастырыңыз
суретте көрсетілгендей үшбұрыш
оң жақта.
Қабырғалары бар төртбұрыш в- шаршы,
өйткені екі сүйір бұрыштың қосындысы 90°, және
дамыған бұрышы 180°.
Бүкіл фигураның ауданы, бір жағынан,
қабырғасы бар шаршының ауданы ( a+b), ал екінші жағынан, төрт үшбұрыштың аудандарының қосындысы және
Q.E.D.
3. Пифагор теоремасын шексіз аз әдіспен дәлелдеу.
Суретте көрсетілген сызбаны ескере отырып, және
жағының өзгеруін бақылайдыа, Біз істей аламыз
шексіздікке мына қатынасты жазыңыз
кішкентай бүйірлік қадамдарбіргежәне а(ұқсастық арқылы
үшбұрыштар):
Айнымалыларды бөлу әдісін пайдалана отырып, біз табамыз:
Екі аяқтың ұлғаюы жағдайында гипотенузаны өзгертуге арналған жалпылама өрнек:
Бұл теңдеуді интегралдап, бастапқы шарттарды қолданып, мынаны аламыз:
Осылайша, біз қажетті жауапқа келеміз:
Көру оңай болғандықтан, соңғы формуладағы квадраттық тәуелділік сызықтыққа байланысты пайда болады
үшбұрыштың қабырғалары мен өсімшелері арасындағы пропорционалдық, ал қосынды тәуелсіз
әр түрлі аяқтардың ұлғаюынан алынған жарналар.
Қарапайымырақ дәлелді, егер біз аяқтардың біреуі өсімге ұшырамайды деп есептесек, алуға болады
(бұл жағдайда аяқ б). Сонда интегралдау константасы үшін мынаны аламыз:
