қолөнер

Квадрат және басқа теңдеулер үшін Виет теоремасы. Вьетнам теоремасы, кері вьет формуласы және манекендердің шешімі бар мысалдар Вьетнамның жою теоремасы

Кез келген толық квадрат теңдеу ax2 + bx + c = 0еске түсіруге болады x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, егер алдымен әрбір мүшені a бұрынғы коэффициентіне бөлсек x2. Ал егер біз жаңа белгілерді енгізсек (б/а) = бжәне (c/a) = q, сонда бізде теңдеу болады x 2 + px + q = 0, ол математикада деп аталады келтірілген квадрат теңдеу.

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлері және коэффициенттері бжәне qөзара байланысты. Ол расталды Виетаның теоремасы, 16 ғасырдың аяғында өмір сүрген француз математигі Франсуа Виетаның атымен аталған.

Теорема. Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 2 + px + q = 0екінші коэффициентке тең б, қарама-қарсы таңбамен алынған, ал түбірлердің туындысы – бос мүшеге q.

Бұл коэффициенттерді келесі түрде жазамыз:

Болсын x 1және x2келтірілген теңдеудің әртүрлі түбірлері x 2 + px + q = 0. Вьета теоремасы бойынша x1 + x2 = -pжәне x 1 x 2 = q.

Мұны дәлелдеу үшін теңдеуге x 1 және x 2 түбірлерінің әрқайсысын қойып көрейік. Біз екі шынайы теңдік аламыз:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Бірінші теңдіктен екіншісін алып таста. Біз алып жатырмыз:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Алғашқы екі мүшені квадраттардың айырымы формуласына сәйкес кеңейтеміз:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Шарт бойынша x 1 және x 2 түбірлері әртүрлі. Демек, теңдікті (x 1 - x 2) ≠ 0-ге азайтып, p мәнін өрнектей аламыз.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Бірінші теңдік дәлелденді.

Екінші теңдікті дәлелдеу үшін бірінші теңдеуді ауыстырамыз

p коэффициентінің орнына x 1 2 + px 1 + q \u003d 0, оның тең саны (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Теңдеудің сол жағын түрлендірсек, мынаны аламыз:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, ол дәлелдеуге тиіс болды.

Виетаның теоремасы жақсы, өйткені Тіпті квадрат теңдеудің түбірлерін білмесек те, олардың қосындысы мен көбейтіндісін есептей аламыз .

Виет теоремасы берілген квадрат теңдеудің бүтін түбірлерін анықтауға көмектеседі. Бірақ көптеген студенттер үшін бұл әрекеттің нақты алгоритмін білмеуіне байланысты қиындықтар туғызады, әсіресе теңдеу түбірлерінің белгілері әртүрлі болса.

Сонымен, берілген квадрат теңдеудің x 2 + px + q \u003d 0 түрі бар, мұндағы x 1 және x 2 оның түбірлері. Вьета теоремасы бойынша x 1 + x 2 = -p және x 1 x 2 = q.

Біз мынадай қорытынды жасай аламыз.

Егер теңдеуде соңғы мүшенің алдында минус таңбасы тұрса, онда x 1 және x 2 түбірлерінің таңбалары әртүрлі болады. Сонымен қатар, кіші түбірдің таңбасы теңдеудегі екінші коэффициенттің таңбасымен бірдей.

Таңбалары әртүрлі сандарды қосқанда олардың модульдері алынып тасталатынына және модульдегі үлкен санның таңбасы нәтиженің алдына қойылғанына сүйене отырып, келесі әрекеттерді орындау керек:

q санының мұндай көбейткіштерін олардың айырмасы p санына тең болатындай етіп анықтау;
алынған сандардың кішісінің алдына теңдеудің екінші коэффициентінің таңбасын қою; екінші түбірде қарама-қарсы таңба болады.

Кейбір мысалдарды қарастырайық.

1-мысал.

x 2 - 2x - 15 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Осы теңдеуді жоғарыда ұсынылған ережелер арқылы шешуге тырысайық. Сонда бұл теңдеудің екі түрлі түбірі болатынын нақты айта аламыз, өйткені D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Енді 15 санының барлық көбейткіштерінен (1 және 15, 3 және 5) айырмасы 2-ге тең болатынын таңдаймыз. Бұл 3 және 5 сандары болады. Кіші санның алдына минус таңбасын қоямыз. , яғни. теңдеудің екінші коэффициентінің таңбасы. Осылайша, біз x 1 \u003d -3 және x 2 \u003d 5 теңдеуінің түбірлерін аламыз.

Жауап. x 1 = -3 және x 2 = 5.

2-мысал.

x 2 + 5x - 6 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Бұл теңдеудің түбірі бар-жоғын тексерейік. Ол үшін дискриминантты табамыз:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Теңдеудің екі түрлі түбірі бар.

6 санының мүмкін болатын көбейткіштері 2 және 3, 6 және 1. Айырмашылық 6 және 1 жұбы үшін 5. Бұл мысалда екінші қосылғыштың коэффициенті плюс белгісіне ие, сондықтан кіші санның мәні болады. бірдей белгі. Бірақ екінші санның алдында минус белгісі болады.

Жауабы: x 1 = -6 және x 2 = 1.

Виет теоремасын толық квадрат теңдеу үшін де жазуға болады. Сонымен, егер квадрат теңдеу ax2 + bx + c = 0түбірлері бар x 1 және x 2 , онда олар теңдіктерді қанағаттандырады

x 1 + x 2 = -(b/a)және x 1 x 2 = (c/a). Алайда бұл теореманы толық квадрат теңдеуде қолдану өте қиын, өйткені түбірлер болса, олардың ең болмағанда біреуі бөлшек сан. Ал бөлшек таңдаумен жұмыс істеу өте қиын. Бірақ одан шығудың жолы бар.

ax 2 + bx + c = 0 толық квадрат теңдеуін қарастырайық. Оның сол және оң жақтарын а коэффициентіне көбейтіңіз. Теңдеу (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 түрінде болады. Енді жаңа айнымалыны енгізейік, мысалы t = ax.

Бұл жағдайда алынған теңдеу t 2 + bt + ac = 0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеуге айналады, оның түбірлері t 1 және t 2 (бар болса) Виет теоремасы арқылы анықталуы мүмкін.

Бұл жағдайда бастапқы квадрат теңдеудің түбірлері болады

x 1 = (t 1 / a) және x 2 = (t 2 / a).

3-мысал.

15x 2 - 11x + 2 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Көмекші теңдеу жасаймыз. Теңдеудің әрбір мүшесін 15-ке көбейтейік:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

t = 15x өзгерісін жасаймыз. Бізде бар:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Виета теоремасы бойынша бұл теңдеудің түбірлері t 1 = 5 және t 2 = 6 болады.

t = 15x ауыстыруға ораламыз:

5 = 15x немесе 6 = 15x. Осылайша x 1 = 5/15 және x 2 = 6/15. Біз азайтамыз және соңғы жауапты аламыз: x 1 = 1/3 және x 2 = 2/5.

Жауап. x 1 = 1/3 және x 2 = 2/5.

Квадрат теңдеулерді Виета теоремасын пайдаланып шешуді меңгеру үшін студенттер мүмкіндігінше жаттығуы керек. Бұл жетістіктің құпиясы.

сайт, материалды толық немесе ішінара көшірумен, дереккөзге сілтеме қажет.

Виетаның теоремасы (дәлірек айтсақ, Вьета теоремасына кері теорема) квадрат теңдеулерді шешу уақытын қысқартуға мүмкіндік береді. Сіз оны қалай пайдалану керектігін білуіңіз керек. Квадрат теңдеулерді Виет теоремасын пайдаланып шешуді қалай үйренуге болады? Аздап ойлансаңыз оңай.

Енді қысқартылған квадрат теңдеуді Виета теоремасы арқылы шешу туралы ғана айтамыз.Келтірілген квадрат теңдеу – бұл а, яғни x² алдындағы коэффициент бірге тең болатын теңдеу. Берілмеген квадрат теңдеулерді Виета теоремасы арқылы шешуге болады, бірақ түбірлердің кем дегенде біреуі бүтін сан емес. Оларды болжау қиынырақ.

Виетаның теоремасына қарама-қарсы теорема былай дейді: егер x1 және x2 сандары

онда x1 және x2 квадрат теңдеудің түбірі болады

Квадрат теңдеуді Виета теоремасын пайдаланып шешкенде тек 4 нұсқа мүмкін. Егер сіз пайымдау барысын еске түсірсеңіз, сіз тұтас тамырларды тез табуға үйрене аласыз.

I. Егер q оң сан болса,

бұл х1 және х2 түбірлері бір таңбалы сандар екенін білдіреді (өйткені таңбалары бірдей сандарды көбейткенде ғана оң сан шығады).

I.a. Егер -p оң сан болса, (тиісінше, б<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Егер -p теріс сан болса, (сәйкесінше, p>0), онда екі түбір де теріс сандар (бір таңбалы сандарды қосты, теріс сан алды).

II. Егер q теріс сан болса,

бұл х1 және х2 түбірлерінің таңбалары әртүрлі екенін білдіреді (сандарды көбейткенде, көбейткіштердің белгілері әртүрлі болғанда ғана теріс сан алынады). Бұл жағдайда x1 + x2 енді қосынды емес, айырмашылық болып табылады (ақыр соңында, әртүрлі таңбалары бар сандарды қосқанда үлкенірек модульден кішісін алып тастаймыз). Демек, x1 + x2 x1 және x2 түбірлерінің қаншалықты ерекшеленетінін, яғни бір түбірдің екіншісінен қанша артық екенін көрсетеді (модуль).

II.a. Егер -p оң сан болса, (яғни б<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Егер -p теріс сан болса, (p>0), онда үлкенірек (модульдік) түбір теріс сан болады.

Квадрат теңдеулерді Виет теоремасы бойынша шешуді мысалдар арқылы қарастырыңыз.

Берілген квадрат теңдеуді Виет теоремасын пайдаланып шешіңіз:

Мұнда q=12>0, сондықтан х1 және х2 түбірлері бір таңбалы сандар. Олардың қосындысы -p=7>0, сондықтан екі түбір де оң сандар. Көбейтіндісі 12 болатын бүтін сандарды таңдаймыз. Бұлар 1 және 12, 2 және 6, 3 және 4. 3 және 4 жұбының қосындысы 7. Демек, 3 және 4 теңдеудің түбірі болады.

Бұл мысалда q=16>0, яғни x1 және x2 түбірлері бірдей таңбалы сандар. Олардың қосындысы -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Мұнда q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 болса, үлкен сан оң болады. Сонымен, түбірлер 5 және -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Кез келген дерлік квадрат теңдеуді \ пішіміне түрлендіруге болады \ Алайда, егер әрбір мүше бастапқыда \ алдында \ коэффициентіне бөлінсе, бұл мүмкін болады \ Сонымен қатар, жаңа белгілерді енгізуге болады:

\[(\frac (b)(a))= p\] және \[(\frac (c)(a)) = q\]

Осының арқасында біз математикада келтірілген квадрат теңдеу деп аталатын \ теңдеуіне ие боламыз. Бұл теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері бір-бірімен байланысты, бұл Виет теоремасымен расталады.

Виет теоремасы: Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы \ қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүше \.

Түсінікті болу үшін келесі түрдегі теңдеуді шешеміз:

Бұл квадрат теңдеуді жазбаша ережелер арқылы шешеміз. Бастапқы мәліметтерді талдағаннан кейін теңдеудің екі түрлі түбірі болады деп қорытынды жасауға болады, өйткені:

Енді 15 санының барлық көбейткіштерінен (1 және 15, 3 және 5) айырмасы 2-ге тең сандарды таңдаймыз. 3 және 5 сандары осы шартқа жатады.Кіші санның алдына минус таңбасын қоямыз. саны. Осылайша, \ теңдеуінің түбірлерін аламыз.

Жауабы: \[ x_1= -3 және x_2 = 5\]

Интернетте Виет теоремасын пайдаланып теңдеуді қай жерде шешуге болады?

Теңдеуді біздің https: // сайтында шеше аласыз. Тегін онлайн шешуші кез келген күрделіліктегі онлайн теңдеуді секундтарда шешуге мүмкіндік береді. Сізге тек шешушіге деректеріңізді енгізу жеткілікті. Сондай-ақ біздің веб-сайттан бейне нұсқаулығын көре аласыз және теңдеуді шешу жолын біле аласыз. Ал сұрақтарыңыз болса, біздің http://vk.com/pocketteacher Вконтакте тобымызда қоя аласыздар. Біздің топқа қосылыңыз, біз сізге көмектесуге әрқашан қуаныштымыз.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттерінің арасында түбір формулаларынан басқа келесідей берілген пайдалы байланыстар бар. Виетаның теоремасы. Бұл мақалада біз квадрат теңдеу үшін Виет теоремасының тұжырымы мен дәлелін береміз. Әрі қарай, біз Вьета теоремасына қарама-қарсы теореманы қарастырамыз. Осыдан кейін біз ең тән мысалдардың шешімдерін талдаймыз. Соңында біз нақты түбірлер арасындағы байланысты анықтайтын Vieta формулаларын жазамыз алгебралық теңдеу n дәрежесі және оның коэффициенттері.

Бетті шарлау.

Виет теоремасы, тұжырымы, дәлелі

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларынан a x 2 +b x+c=0 түріндегі , мұндағы D=b 2 −4 a c , x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = қатынастары. с/а. Бұл нәтижелер расталды Виетаның теоремасы:

Теорема.

Егер а x 1 және x 2 квадрат теңдеудің түбірлері a x 2 +b x+c=0, онда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған b және a коэффициенттерінің қатынасына және көбейтіндісіне тең болады. түбірлері c және a коэффициенттерінің қатынасына тең, яғни .

Дәлелдеу.

Виета теоремасын мына схема бойынша дәлелдейміз: белгілі түбір формулаларын пайдаланып квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін құрастырамыз, содан кейін алынған өрнектерді түрлендіреміз және олардың −b-ға тең екендігіне көз жеткіземіз. /a және c/a.

Түбірлердің қосындысынан бастайық, оны құрастыр. Енді біз бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз, бізде бар. Пайда болған бөлшектің алымында , одан кейін : . Ақырында, 2-ден кейін біз аламыз. Бұл квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы үшін Виет теоремасының бірінші қатынасын дәлелдейді. Екіншісіне көшейік.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісін құрастырамыз:. Бөлшектерді көбейту ережесі бойынша соңғы көбейтіндіні былай жазуға болады. Енді біз жақшаны алымдағы жақшаға көбейтеміз, бірақ бұл көбейтіндіні қысқарту жылдамырақ квадраттар айырымы формуласы, Сонымен. Содан кейін еске түсіріп, келесі көшуді орындаймыз. Ал D=b 2 −4 a·c формуласы квадрат теңдеудің дискриминантына сәйкес болғандықтан, соңғы бөлшекке D орнына b 2 −4·a·c қоюға болады, біз аламыз. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді азайтқаннан кейін біз бөлшекке келеміз және оны 4·а-ға азайту -ды береді. Бұл түбірлердің туындысы үшін Виет теоремасының екінші қатынасын дәлелдейді.

Түсіндірмелерді алып тастасақ, онда Виеталық теореманың дәлелі қысқаша формада болады:
,
.

Дискриминант нөлге тең болғанда, квадрат теңдеудің бір түбірі болатынын ескеру ғана қалады. Алайда, егер бұл жағдайда теңдеудің екі бірдей түбірі бар деп есептесек, онда Виеталық теоремадағы теңдіктер де орындалады. Шынында да, D=0 үшін квадрат теңдеудің түбірі , онда және , ал D=0 болғандықтан, b 2 −4·a·c=0 , одан b 2 =4·a·c , онда .

Практикада Виета теоремасы көбінесе x 2 +p·x+q=0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеуге (ең жоғары коэффициенті a 1 -ге тең) қатысты қолданылады. Кейде ол тек осы типтегі квадрат теңдеулер үшін тұжырымдалады, бұл жалпылықты шектемейді, өйткені кез келген квадрат теңдеуді оның екі бөлігін де нөлдік емес а санына бөлу арқылы эквивалентті теңдеумен ауыстыруға болады. Міне, Виет теоремасының сәйкес тұжырымы:

Теорема.

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 2 + p x + q \u003d 0 қарама-қарсы таңбамен алынған x нүктесіндегі коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүше, яғни x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Виетаның теоремасына кері теорема

Алдыңғы абзацта келтірілген Виета теоремасының екінші тұжырымы, егер x 1 және x 2 келтірілген квадрат теңдеудің x 2 +p x+q=0 түбірлері болса, онда x 1 +x 2 = − қатынастары болатынын көрсетеді. p , x 1 x 2=q. Екінші жағынан, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q жазбаша қатынастардан x 1 және x 2 x 2 +p x+q=0 квадрат теңдеудің түбірі болатыны шығады. Басқаша айтқанда, Виетаның теоремасына қарама-қарсы бекіту ақиқат. Оны теорема түрінде тұжырымдап, дәлелдейміз.

Теорема.

Егер x 1 және x 2 сандары x 1 +x 2 =−p және x 1 x 2 =q болатындай болса, онда x 1 және x 2 келтірілген квадрат теңдеудің x 2 +p x+q=0 түбірі болады. .

Дәлелдеу.

Олардың өрнектелуінің x 2 +p x+q=0 теңдеуіндегі p және q коэффициенттерін x 1 және x 2 арқылы ауыстырғаннан кейін ол эквивалентті теңдеуге түрлендіріледі.

Алынған теңдеуде х орнына х 1 санын қоямыз, бізде теңдік бар x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, бұл кез келген x 1 және x 2 үшін дұрыс сандық теңдік 0=0, өйткені x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Демек, x 1 – теңдеудің түбірі x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, бұл x 1 эквивалентті x 2 +p x+q=0 теңдеуінің түбірі екенін білдіреді.

Теңдеуде болса x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0х орнына х 2 санын қойсақ, онда теңдік шығады x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Бұл дұрыс теңдеу, өйткені x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Демек, x 2 те теңдеудің түбірі болады x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, демек, теңдеулер x 2 +p x+q=0 .

Бұл Вьета теоремасына қарама-қарсы теореманы дәлелдеуді аяқтайды.

Виет теоремасын қолдану мысалдары

Виетаның теоремасы мен оның кері теоремасын практикалық қолдану туралы айтатын кез келді. Бұл бөлімде біз ең типтік мысалдардың бірнеше шешімдерін талдаймыз.

Біз Виетаның теоремасына кері теореманы қолданудан бастаймыз. Оны берілген екі санның берілген квадрат теңдеудің түбірі екенін тексеру үшін пайдалану ыңғайлы. Бұл жағдайда олардың сомасы мен айырмасы есептеледі, содан кейін қатынастардың дұрыстығы тексеріледі. Егер осы қатынастың екеуі де қанағаттандырылса, онда теореманың күшімен Виетаның теоремасына қарама-қайшы келетін болсақ, бұл сандар теңдеудің түбірі болады деген қорытынды шығады. Егер қатынастардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда бұл сандар квадрат теңдеудің түбірлері болып табылмайды. Бұл тәсілді табылған түбірлерді тексеру үшін квадрат теңдеулерді шешу кезінде қолдануға болады.

Мысал.

1) x 1 =−5, x 2 =3, немесе 2), немесе 3) жұптарының қайсысы 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады?

Шешім.

Берілген 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат теңдеудің коэффициенттері a=4 , b=−16 , c=9 . Виет теоремасы бойынша квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы −b/a, яғни 16/4=4, ал түбірлердің көбейтіндісі c/a, яғни 9-ға тең болуы керек. /4.

Енді берілген үш жұптың әрқайсысындағы сандардың қосындысы мен көбейтіндісін есептеп, оларды жаңа ғана алынған мәндермен салыстырайық.

Бірінші жағдайда, бізде x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Алынған мән 4-тен өзгеше, сондықтан одан әрі тексеру жүргізілмейді, бірақ теорема бойынша, Виет теоремасының кері теоремасы бойынша біз бірден бірінші жұп сандар берілген квадрат теңдеудің түбірлері жұбы емес деген қорытынды жасауға болады. .

Екінші жағдайға көшейік. Мұнда, яғни бірінші шарт орындалады. Екінші шартты тексереміз: , алынған мән 9/4-тен өзгеше. Демек, сандардың екінші жұбы квадрат теңдеудің түбірлері емес.

Соңғы жағдай қалады. Мұнда және . Шарттардың екеуі де орындалады, сондықтан бұл x 1 және x 2 сандары берілген квадрат теңдеудің түбірі болады.

Жауап:

Теорема, Виет теоремасының кері теоремасы, квадрат теңдеудің түбірлерін таңдау үшін тәжірибеде қолданылуы мүмкін. Әдетте, бүтін коэффициенттері бар берілген квадрат теңдеулердің бүтін түбірлері таңдалады, өйткені басқа жағдайларда мұны істеу өте қиын. Сонымен бірге, егер екі санның қосындысы минус таңбасымен алынған квадрат теңдеудің екінші коэффициентіне тең болса және бұл сандардың көбейтіндісі бос мүшеге тең болса, онда бұл сандар осы квадрат теңдеудің түбірлері. Мұны мысалмен қарастырайық.

x 2 −5 x+6=0 квадрат теңдеуін алайық. x 1 және x 2 сандары осы теңдеудің түбірі болуы үшін x 1 +x 2 \u003d 5 және x 1 x 2 \u003d 6 екі теңдік орындалуы керек. Мұндай сандарды таңдау қалады. Бұл жағдайда мұны істеу өте қарапайым: мұндай сандар 2 және 3, өйткені 2+3=5 және 2 3=6 . Сонымен, 2 және 3 - бұл квадрат теңдеудің түбірі.

Виет теоремасына қарама-қарсы теорема, әсіресе, түбірлердің бірі белгілі немесе анық болғанда, келтірілген квадрат теңдеудің екінші түбірін табу үшін өте ыңғайлы. Бұл жағдайда екінші түбір қатынастың кез келгенінен табылады.

Мысалы, 512 x 2 −509 x−3=0 квадрат теңдеуін алайық. Бұл квадрат теңдеудің коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең болғандықтан, бірлік теңдеудің түбірі екенін мұнда оңай көруге болады. Сонымен x 1 = 1. Екінші түбір x 2, мысалы, x 1 x 2 =c/a қатынасынан табуға болады. Бізде 1 x 2 =−3/512 , одан x 2 =−3/512 . Сонымен, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де анықтадық: 1 және −3/512.

Тамырларды таңдау ең қарапайым жағдайларда ғана орынды болатыны анық. Басқа жағдайларда түбірлерді табу үшін квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын дискриминант арқылы қолдануға болады.

Теореманың тағы бір практикалық қолданылуы, Виет теоремасына кері теорема, берілген x 1 және x 2 түбірлері үшін квадрат теңдеулерді құрастыру болып табылады. Ол үшін берілген квадрат теңдеудің қарама-қарсы таңбасы бар х коэффициентін беретін түбірлердің қосындысын және бос мүшені беретін түбірлердің көбейтіндісін есептесек жеткілікті.

Мысал.

Түбірлері −11 және 23 сандары болатын квадрат теңдеуді жазыңыз.

Шешім.

x 1 =−11 және x 2 =23 деп белгілеңіз. Біз осы сандардың қосындысы мен көбейтіндісін есептейміз: x 1 + x 2 \u003d 12 және x 1 x 2 \u003d −253. Демек, бұл сандар екінші коэффициенті -12 және бос мүшесі -253 берілген квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады. Яғни, x 2 −12·x−253=0 қажетті теңдеу.

Жауап:

x 2 −12 x−253=0 .

Квадрат теңдеулердің түбірлерінің белгілеріне байланысты тапсырмаларды шешуде Виет теоремасы өте жиі қолданылады. Виет теоремасы x 2 +p x+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің таңбаларымен қалай байланысты? Мұнда екі сәйкес мәлімдеме берілген:

Егер q кесіндісі оң сан болса және квадрат теңдеудің нақты түбірлері болса, онда олардың екеуі де оң немесе екеуі де теріс болады.
Егер бос q мүшесі теріс сан болса және квадрат теңдеудің нақты түбірлері болса, онда олардың таңбалары әртүрлі, басқаша айтқанда, бір түбірі оң, екіншісі теріс болады.

Бұл мәлімдемелер x 1 x 2 =q формуласынан, сондай-ақ оң, теріс сандарды және таңбалары әртүрлі сандарды көбейту ережелерінен шығады. Оларды қолдану мысалдарын қарастырыңыз.

Мысал.

R оң. Дискриминант формуласы бойынша D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 өрнегінің мәнін табамыз. +8 кез келген нақты r үшін оң, осылайша кез келген нақты r үшін D>0. Демек, бастапқы квадрат теңдеудің r параметрінің кез келген нақты мәндері үшін екі түбірі болады.

Енді тамырлардың қай кезде әртүрлі белгілері бар екенін білейік. Егер түбірлердің белгілері әртүрлі болса, онда олардың көбейтіндісі теріс болады, ал Виета теоремасы бойынша берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісі бос мүшеге тең болады. Сондықтан бізді r-1 бос мүшесі теріс болатын r мәндері қызықтырады. Осылайша, бізді қызықтыратын r мәндерін табу үшін бізге қажет сызықтық теңсіздікті шешу r−1<0 , откуда находим r<1 .

Жауап:

r<1 .

Вита формулалары

Жоғарыда біз квадрат теңдеу үшін Виетаның теоремасы туралы айттық және ол бекітетін қатынастарды талдадық. Бірақ тек квадрат теңдеулердің ғана емес, текше теңдеулердің, төрттік теңдеулердің де нақты түбірлері мен коэффициенттерін қосатын формулалар бар. алгебралық теңдеулердәреже n. Олар деп аталады Вита формулалары.

Біз n дәрежелі алгебралық теңдеу үшін Виета формулаларын жазамыз, бұл ретте оның n нақты түбірі x 1, x 2, ..., x n бар деп есептейміз (олардың арасында бірдей болуы мүмкін):

Vieta формулаларын алуға мүмкіндік береді полиномды көбейткіштерге бөлу теоремасы, сонымен қатар тең көпмүшелерді олардың барлық сәйкес коэффициенттерінің теңдігі арқылы анықтау. Сонымен, көпмүше және оның пішіннің сызықтық көбейткіштеріне кеңеюі тең. Соңғы өнімдегі жақшаларды ашып, сәйкес коэффициенттерді теңестіре отырып, біз Vieta формулаларын аламыз.

Атап айтқанда, n=2 үшін бізде квадрат теңдеу үшін бұрыннан таныс Виет формулалары бар.

Текше теңдеу үшін Виета формулаларының пішіні болады

Виеталық формулалардың сол жағында қарапайым деп аталатындар бар екенін ескеру қажет симметриялы көпмүшеліктер.

Әдебиеттер тізімі.

Алгебра:оқулық 8 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М. : Білім, 2008. - 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебра. 8 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г.Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілген. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебражәне математикалық талдаудың басталуы. 10-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер: негізгі және профильді. деңгейлері / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; ред. Жижченко А.Б. - 3-ші басылым. - М.: Ағарту, 2010.- 368 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Мектеп алгебра курсында екінші ретті теңдеулерді шешу жолдарын оқығанда алынған түбірлердің қасиеттерін қарастыру. Олар қазір Виетаның теоремасы ретінде белгілі. Оны пайдалану мысалдары осы мақалада келтірілген.

Квадрат теңдеу

Екінші ретті теңдеу - төмендегі фотода көрсетілген теңдік.

Мұндағы a, b, c таңбалары қарастырылып отырған теңдеудің коэффициенттері деп аталатын кейбір сандар. Теңдікті шешу үшін оны ақиқат ететін x мәндерін табу керек.

Назар аударыңыз, х көтерілетін дәреженің максималды мәні екі болғандықтан, жалпы жағдайда түбірлер саны да екі болады.

Теңдіктің бұл түрін шешудің бірнеше жолы бар. Бұл мақалада біз олардың бірін қарастырамыз, ол Вьетнам деп аталатын теореманы қолдануды қамтиды.

Вьета теоремасының тұжырымы

16 ғасырдың аяғында атақты математик Франсуа Виет (француз) әртүрлі квадрат теңдеулердің түбірлерінің қасиеттерін талдай отырып, олардың белгілі бір комбинациялары нақты қатынастарды қанағаттандыратынын байқады. Атап айтқанда, бұл комбинациялар олардың туындысы мен сомасы болып табылады.

Виет теоремасы мынаны белгілейді: квадрат теңдеудің түбірлері қосындыда қарама-қарсы таңбамен алынған сызықтық және квадраттық коэффициенттердің қатынасын береді, ал оларды көбейткенде бос мүшенің квадраттық коэффициентке қатынасына әкеледі. .

Егер теңдеудің жалпы түрі мақаланың алдыңғы бөліміндегі фотосуретте көрсетілгендей жазылса, онда математикалық түрде бұл теореманы екі теңдік түрінде жазуға болады:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Мұндағы r 1 , r 2 – қарастырылатын теңдеудің түбірлерінің мәні.

Бұл екі теңдік өте әртүрлі математикалық есептерді шешу үшін пайдаланылуы мүмкін. Шешімі бар мысалдарда Виета теоремасын қолдану мақаланың келесі бөлімдерінде берілген.