Резеңке білезіктер

Виетаның теоремасы. Қолдану мысалдары. Математикадағы Виета теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу жолы Виетаның теңдеу формуласы

Математикада көптеген квадрат теңдеулерді өте жылдам және ешқандай дискриминанттарсыз шешетін ерекше трюктар бар. Оның үстіне, дұрыс жаттығу арқылы көпшілігі квадрат теңдеулерді сөзбен, сөзбе-сөз «бір қарағанда» шеше бастайды.

Өкінішке орай, мектеп математикасының қазіргі курсында мұндай технологиялар дерлік зерттелмеген. Және сіз білуіңіз керек! Ал бүгін біз осы әдістердің бірі – Виетаның теоремасын қарастырамыз. Алдымен жаңа анықтаманы енгізейік.

x 2 + bx + c = 0 түріндегі квадрат теңдеу келтірілген деп аталады. Назар аударыңыз, x 2 коэффициенті 1-ге тең. Коэффициенттерге басқа шектеулер жоқ.

x 2 + 7x + 12 = 0 - келтірілген квадрат теңдеу;
x 2 − 5x + 6 = 0 да азайтылады;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - бірақ бұл мүлдем берілмейді, өйткені x 2-дегі коэффициент 2-ге тең.

Әрине, ax 2 + bx + c = 0 түріндегі кез келген квадрат теңдеуді қысқартылған етіп жасауға болады - барлық коэффициенттерді a санына бөлу жеткілікті. Біз мұны әрқашан жасай аламыз, өйткені квадрат теңдеудің анықтамасынан a ≠ 0 болатыны шығады.

Рас, бұл түрлендірулер түбірлерді табу үшін әрқашан пайдалы бола бермейді. Сәл төменірек, бұл соңғы квадрат теңдеудегі барлық коэффициенттер бүтін сандар болған кезде ғана жасалуы керек екеніне көз жеткіземіз. Әзірге қарапайым мысалдарды қарастырайық:

Тапсырма. Квадрат теңдеуді келтірілгенге түрлендіру:

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5х2 + 7,5х + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0.

Әрбір теңдеуді x 2 айнымалысының коэффициентіне бөлейік. Біз алып жатырмыз:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - барлығын 3-ке бөлді;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4-ке бөлу;
1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1,5-ке бөлінген, барлық коэффициенттер бүтін санға айналды;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - 2-ге бөлінеді. Бұл жағдайда бөлшек коэффициенттер пайда болды.

Көріп отырғаныңыздай, бастапқы теңдеуде бөлшектер болса да, берілген квадрат теңдеулерде бүтін коэффициенттер болуы мүмкін.

Енді біз негізгі теореманы тұжырымдаймыз, ол үшін қысқартылған квадрат теңдеу түсінігі енгізілген:

Виетаның теоремасы. x 2 + bx + c \u003d 0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеуді қарастырайық. Бұл теңдеудің x 1 және x 2 нақты түбірлері бар делік. Бұл жағдайда келесі мәлімдемелер дұрыс:

x1 + x2 = −b. Басқаша айтқанда, берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған х айнымалысының коэффициентіне тең;

x 1 x 2 = c. Квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісі бос коэффициентке тең.

Мысалдар. Қарапайымдылық үшін біз қосымша түрлендірулерді қажет етпейтін берілген квадрат теңдеулерді ғана қарастырамыз:

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; түбірлер: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; түбірлер: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; түбірлер: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Виет теоремасы бізге квадрат теңдеудің түбірлері туралы қосымша ақпарат береді. Бір қарағанда, бұл күрделі болып көрінуі мүмкін, бірақ тіпті ең аз жаттығулармен сіз тамырларды «көруді» және оларды бірнеше секунд ішінде сөзбе-сөз болжауды үйренесіз.

Тапсырма. Квадрат теңдеуді шеш:

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 - 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0.

Коэффициенттерді Вьетнам теоремасы бойынша жазып, түбірлерді «болжауға» тырысайық:

x 2 − 9x + 14 = 0 – келтірілген квадрат теңдеу.
Виета теоремасы бойынша бізде: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Түбірлер 2 және 7 сандары екенін оңай байқауға болады;
x 2 − 12x + 27 = 0 да азайтылады.
Виета теоремасы бойынша: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Осыдан түбірлер: 3 және 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - Бұл теңдеу азайтылмаған. Бірақ біз мұны қазір теңдеудің екі жағын a \u003d 3 коэффициентіне бөлу арқылы түзетеміз. Біз мынаны аламыз: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
Виета теоремасы бойынша шешеміз: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ түбірлер: −10 және −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - қайтадан x 2-дегі коэффициент 1-ге тең емес, яғни. теңдеу берілмейді. Барлығын a = −7 санына бөлеміз. Біз мынаны аламыз: x 2 - 11x + 30 = 0.
Виета теоремасы бойынша: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; бұл теңдеулерден түбірлерді табу оңай: 5 және 6.

Жоғарыда келтірілген пайымдаулардан Виет теоремасы квадрат теңдеулерді шешуді қалай жеңілдететінін көруге болады. Күрделі есептеулер, арифметикалық түбірлер мен бөлшектер жоқ. Тіпті дискриминант («Квадрат теңдеулерді шешу» сабағын қараңыз) бізге қажет емес еді.

Әрине, біздің барлық ой-пікірлерімізде біз, жалпы алғанда, нақты мәселелерде әрқашан орындала бермейтін екі маңызды болжамнан шықтық:

Квадрат теңдеу қысқартылған, яғни. x 2 кезіндегі коэффициент 1;
Теңдеудің екі түрлі түбірі бар. Алгебра тұрғысынан бұл жағдайда дискриминант D > 0 - шын мәнінде, біз бастапқыда бұл теңсіздікті ақиқат деп есептейміз.

Дегенмен, типтік математикалық есептерде бұл шарттар орындалады. Егер есептеулердің нәтижесі «нашар» квадрат теңдеу болса (x 2 коэффициенті 1-ден өзгеше), оны түзету оңай - сабақтың ең басындағы мысалдарды қараңыз. Мен негізінен түбірлер туралы үндемеймін: жауабы жоқ бұл қандай тапсырма? Әрине, тамыр болады.

Сонымен, Вьета теоремасы бойынша квадрат теңдеулерді шешудің жалпы схемасы келесідей:

Квадрат теңдеуді берілгенге келтіріңіз, егер бұл есеп шартында орындалмаған болса;
Егер жоғарыдағы квадрат теңдеудегі коэффициенттер бөлшек болып шықса, дискриминант арқылы шешеміз. Неғұрлым «ыңғайлы» сандармен жұмыс істеу үшін сіз тіпті бастапқы теңдеуге орала аласыз;
Бүтін коэффициенттер жағдайында теңдеуді Виета теоремасы арқылы шешеміз;
Егер бірнеше секунд ішінде түбірлерді табу мүмкін болмаса, біз Виета теоремасы бойынша ұпай жинап, дискриминант арқылы шешеміз.

Тапсырма. Теңдеуді шеш: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Сонымен, бізде азайтылмайтын теңдеу бар, өйткені коэффициенті a \u003d 5. Барлығын 5-ке бөліңіз, біз аламыз: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Квадрат теңдеудің барлық коэффициенттері бүтін сан – оны Виет теоремасын пайдаланып шешуге тырысайық. Бізде: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Бұл жағдайда түбірлерді табу оңай - бұл 2 және 5. Дискриминант арқылы санаудың қажеті жоқ.

Тапсырма. Теңдеуді шешіңіз: -5х 2 + 8х - 2,4 = 0.

Қараймыз: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - бұл теңдеу азайтылмаған, екі жағын да a = −5 коэффициентіне бөлеміз. Біз аламыз: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - бөлшек коэффициенттері бар теңдеу.

Бастапқы теңдеуге оралып, дискриминант арқылы санаған дұрыс: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Тапсырма. Теңдеуді шешіңіз: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Алдымен біз барлығын a \u003d 2 коэффициентіне бөлеміз. Біз x 2 + 5x - 300 \u003d 0 теңдеуін аламыз.

Бұл төмендетілген теңдеу, Вьетнам теоремасы бойынша бізде: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Бұл жағдайда квадрат теңдеудің түбірін болжау қиын - жеке мен бұл мәселені шешкен кезде қатты «қатып қалдым».

Дискриминант арқылы түбірлерді іздеуге тура келеді: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Егер дискриминанттың түбірі есіңізде болмаса, мен 1225: 25 = 49 екенін ескертемін. Сондықтан 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Енді дискриминанттың түбірі белгілі болғандықтан, теңдеуді шешу қиын емес. Біз аламыз: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Мектеп алгебра курсында екінші ретті теңдеулерді шешу жолдарын оқығанда алынған түбірлердің қасиеттерін қарастыру. Олар қазір Виетаның теоремасы ретінде белгілі. Оны пайдалану мысалдары осы мақалада келтірілген.

Квадрат теңдеу

Екінші ретті теңдеу - төмендегі фотода көрсетілген теңдік.

Мұндағы a, b, c таңбалары қарастырылып отырған теңдеудің коэффициенттері деп аталатын кейбір сандар. Теңдікті шешу үшін оны ақиқат ететін x мәндерін табу керек.

Назар аударыңыз, х көтерілетін дәреженің максималды мәні екі болғандықтан, жалпы жағдайда түбірлер саны да екі болады.

Теңдіктің бұл түрін шешудің бірнеше жолы бар. Бұл мақалада біз олардың бірін қарастырамыз, ол Вьетнам деп аталатын теореманы қолдануды қамтиды.

Вьета теоремасының тұжырымы

16 ғасырдың аяғында атақты математик Франсуа Виет (француз) әртүрлі квадрат теңдеулердің түбірлерінің қасиеттерін талдай отырып, олардың белгілі бір комбинациялары нақты қатынастарды қанағаттандыратынын байқады. Атап айтқанда, бұл комбинациялар олардың туындысы мен сомасы болып табылады.

Виет теоремасы мынаны белгілейді: квадрат теңдеудің түбірлері қосындыда қарама-қарсы таңбамен алынған сызықтық және квадраттық коэффициенттердің қатынасын береді, ал оларды көбейткенде бос мүшенің квадраттық коэффициентке қатынасына әкеледі. .

Егер теңдеудің жалпы түрі мақаланың алдыңғы бөліміндегі фотосуретте көрсетілгендей жазылса, онда математикалық түрде бұл теореманы екі теңдік түрінде жазуға болады:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Мұндағы r 1 , r 2 – қарастырылатын теңдеудің түбірлерінің мәні.

Бұл екі теңдік өте әртүрлі математикалық есептерді шешу үшін пайдаланылуы мүмкін. Шешімі бар мысалдарда Виета теоремасын қолдану мақаланың келесі бөлімдерінде берілген.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттерінің арасында түбір формулаларынан басқа, келесі арқылы берілетін басқа да пайдалы байланыстар бар. Виетаның теоремасы. Бұл мақалада біз квадрат теңдеу үшін Виет теоремасының тұжырымы мен дәлелін береміз. Әрі қарай, біз Вьета теоремасына қарама-қарсы теореманы қарастырамыз. Осыдан кейін біз ең тән мысалдардың шешімдерін талдаймыз. Соңында біз нақты түбірлер арасындағы байланысты анықтайтын Vieta формулаларын жазамыз алгебралық теңдеу n дәрежесі және оның коэффициенттері.

Бетті шарлау.

Виет теоремасы, тұжырымы, дәлелі

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларынан a x 2 +b x+c=0 түріндегі , мұндағы D=b 2 −4 a c , x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = қатынастары. с/а. Бұл нәтижелер расталды Виетаның теоремасы:

Теорема.

Егер а x 1 және x 2 квадрат теңдеудің түбірлері a x 2 +b x+c=0, онда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған b және a коэффициенттерінің қатынасына және көбейтіндісіне тең болады. түбірлері с және а коэффициенттерінің қатынасына тең, яғни .

Дәлелдеу.

Виета теоремасын мына схема бойынша дәлелдейміз: белгілі түбір формулаларын пайдаланып квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін құрастырамыз, содан кейін алынған өрнектерді түрлендіреміз және олардың −b-ға тең екендігіне көз жеткіземіз. /a және c/a.

Түбірлердің қосындысынан бастайық, оны құрастыр. Енді біз бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз, бізде бар. Пайда болған бөлшектің алымында , одан кейін : . Ақырында, 2-ден кейін біз аламыз. Бұл квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы үшін Виет теоремасының бірінші қатынасын дәлелдейді. Екіншісіне көшейік.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісін құрастырамыз:. Бөлшектерді көбейту ережесі бойынша соңғы көбейтіндіні былай жазуға болады. Енді біз жақшаны алымдағы жақшаға көбейтеміз, бірақ бұл көбейтіндіні қысқарту жылдамырақ квадраттар айырымы формуласы, Сонымен. Содан кейін еске түсіріп, келесі көшуді орындаймыз. Ал D=b 2 −4 a·c формуласы квадрат теңдеудің дискриминантына сәйкес болғандықтан, соңғы бөлшекке D орнына b 2 −4·a·c қоюға болады, біз аламыз. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді азайтқаннан кейін біз бөлшекке келеміз және оны 4·а-ға азайту -ды береді. Бұл түбірлердің туындысы үшін Виет теоремасының екінші қатынасын дәлелдейді.

Түсіндірмелерді алып тастасақ, онда Виеталық теореманың дәлелі қысқаша формада болады:
,
.

Дискриминант нөлге тең болғанда, квадрат теңдеудің бір түбірі болатынын ескеру ғана қалады. Алайда, егер бұл жағдайда теңдеудің екі бірдей түбірі бар деп есептесек, онда Виеталық теоремадағы теңдіктер де орындалады. Шынында да, D=0 үшін квадрат теңдеудің түбірі , онда және , ал D=0 болғандықтан, яғни b 2 −4 a c=0 , одан b 2 =4 a c , онда .

Практикада Виета теоремасы көбінесе x 2 +p·x+q=0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеуге (ең жоғары коэффициенті a 1 -ге тең) қатысты қолданылады. Кейде ол тек осы типтегі квадрат теңдеулер үшін тұжырымдалады, бұл жалпылықты шектемейді, өйткені кез келген квадрат теңдеуді оның екі бөлігін де нөлдік емес а санына бөлу арқылы эквивалентті теңдеумен ауыстыруға болады. Міне, Виет теоремасының сәйкес тұжырымы:

Теорема.

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 2 + p x + q \u003d 0 қарама-қарсы таңбамен алынған x нүктесіндегі коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүше, яғни x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Виетаның теоремасына кері теорема

Алдыңғы абзацта келтірілген Виета теоремасының екінші тұжырымы, егер x 1 және x 2 келтірілген квадрат теңдеудің x 2 +p x+q=0 түбірлері болса, онда x 1 +x 2 = − қатынастары болатынын көрсетеді. p , x 1 x 2=q. Екінші жағынан, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q жазбаша қатынастардан x 1 және x 2 x 2 +p x+q=0 квадрат теңдеудің түбірі болатыны шығады. Басқаша айтқанда, Виетаның теоремасына қарама-қарсы бекіту ақиқат. Оны теорема түрінде тұжырымдап, дәлелдейміз.

Теорема.

Егер x 1 және x 2 сандары x 1 +x 2 =−p және x 1 x 2 =q болатындай болса, онда x 1 және x 2 x 2 +p x+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің түбірі болады. .

Дәлелдеу.

Олардың өрнектелуінің x 2 +p x+q=0 теңдеуіндегі p және q коэффициенттерін x 1 және x 2 арқылы ауыстырғаннан кейін ол эквивалентті теңдеуге түрлендіріледі.

Алынған теңдеуде х орнына х 1 санын қоямыз, бізде теңдік бар x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, бұл кез келген x 1 және x 2 үшін дұрыс сандық теңдік 0=0, өйткені x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Демек, x 1 – теңдеудің түбірі x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, бұл x 1 эквивалентті x 2 +p x+q=0 теңдеуінің түбірі екенін білдіреді.

Теңдеуде болса x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0х орнына х 2 санын қойсақ, онда теңдік шығады x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Бұл дұрыс теңдеу, өйткені x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Демек, x 2 те теңдеудің түбірі болады x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, демек, теңдеулер x 2 +p x+q=0 .

Бұл Вьета теоремасына қарама-қарсы теореманы дәлелдеуді аяқтайды.

Виет теоремасын қолдану мысалдары

Виетаның теоремасы мен оның кері теоремасын практикалық қолдану туралы айтатын кез келді. Бұл бөлімде біз ең типтік мысалдардың бірнеше шешімдерін талдаймыз.

Біз Виетаның теоремасына кері теореманы қолданудан бастаймыз. Оны берілген екі санның берілген квадрат теңдеудің түбірі екенін тексеру үшін пайдалану ыңғайлы. Бұл жағдайда олардың сомасы мен айырмасы есептеледі, содан кейін қатынастардың дұрыстығы тексеріледі. Егер осы қатынастың екеуі де қанағаттандырылса, онда теореманың күшімен Виетаның теоремасына қарама-қайшы келетін болсақ, бұл сандар теңдеудің түбірі болады деген қорытынды шығады. Егер қатынастардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда бұл сандар квадрат теңдеудің түбірлері болып табылмайды. Бұл тәсілді табылған түбірлерді тексеру үшін квадрат теңдеулерді шешу кезінде қолдануға болады.

Мысал.

1) x 1 =−5, x 2 =3 немесе 2), немесе 3) жұптарының қайсысы 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады?

Шешім.

Берілген 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат теңдеудің коэффициенттері a=4 , b=−16 , c=9 . Виет теоремасы бойынша квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы −b/a, яғни 16/4=4, ал түбірлердің көбейтіндісі c/a, яғни 9-ға тең болуы керек. /4.

Енді берілген үш жұптың әрқайсысындағы сандардың қосындысы мен көбейтіндісін есептеп, оларды жаңа ғана алынған мәндермен салыстырайық.

Бірінші жағдайда, бізде x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Алынған мән 4-тен өзгеше, сондықтан одан әрі тексеру жүргізілмейді, бірақ теорема бойынша, Виет теоремасының кері теоремасы бойынша біз бірден бірінші жұп сандар берілген квадрат теңдеудің түбірлері жұбы емес деген қорытынды жасауға болады. .

Екінші жағдайға көшейік. Мұнда, яғни бірінші шарт орындалады. Екінші шартты тексереміз: , алынған мән 9/4-тен өзгеше. Демек, сандардың екінші жұбы квадрат теңдеудің түбірлері емес.

Соңғы жағдай қалады. Мұнда және . Шарттардың екеуі де орындалады, сондықтан бұл x 1 және x 2 сандары берілген квадрат теңдеудің түбірі болады.

Жауап:

Теорема, Виет теоремасының кері теоремасы, квадрат теңдеудің түбірлерін таңдау үшін тәжірибеде қолданылуы мүмкін. Әдетте, бүтін коэффициенттері бар берілген квадрат теңдеулердің бүтін түбірлері таңдалады, өйткені басқа жағдайларда мұны істеу өте қиын. Сонымен бірге, егер екі санның қосындысы минус таңбасымен алынған квадрат теңдеудің екінші коэффициентіне тең болса және бұл сандардың көбейтіндісі бос мүшеге тең болса, онда бұл сандар осы квадрат теңдеудің түбірлері. Мұны мысалмен қарастырайық.

x 2 −5 x+6=0 квадрат теңдеуін алайық. x 1 және x 2 сандары осы теңдеудің түбірі болуы үшін x 1 +x 2 \u003d 5 және x 1 x 2 \u003d 6 екі теңдік орындалуы керек. Мұндай сандарды таңдау қалады. Бұл жағдайда мұны істеу өте қарапайым: мұндай сандар 2 және 3, өйткені 2+3=5 және 2 3=6 . Сонымен, 2 және 3 - бұл квадрат теңдеудің түбірі.

Виет теоремасына қарама-қарсы теорема, әсіресе, түбірлердің бірі белгілі немесе анық болғанда, келтірілген квадрат теңдеудің екінші түбірін табу үшін өте ыңғайлы. Бұл жағдайда екінші түбір қатынастың кез келгенінен табылады.

Мысалы, 512 x 2 −509 x−3=0 квадрат теңдеуін алайық. Мұнда бірліктің теңдеудің түбірі екенін түсіну қиын емес, өйткені бұл квадрат теңдеудің коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең. Сонымен x 1 = 1. Екінші түбір x 2, мысалы, x 1 x 2 =c/a қатынасынан табуға болады. Бізде 1 x 2 =−3/512 , одан x 2 =−3/512 . Сонымен, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де анықтадық: 1 және −3/512.

Тамырларды таңдау ең қарапайым жағдайларда ғана орынды болатыны анық. Басқа жағдайларда түбірлерді табу үшін квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын дискриминант арқылы қолдануға болады.

Теореманың тағы бір практикалық қолданылуы, Виет теоремасының кері теоремасы берілген x 1 және x 2 түбірлері үшін квадрат теңдеулерді құрастыру болып табылады. Ол үшін берілген квадрат теңдеудің қарама-қарсы таңбасы бар х коэффициентін беретін түбірлердің қосындысын және бос мүшені беретін түбірлердің көбейтіндісін есептесек жеткілікті.

Мысал.

Түбірлері −11 және 23 сандары болатын квадрат теңдеуді жазыңыз.

Шешім.

x 1 =−11 және x 2 =23 деп белгілеңіз. Біз осы сандардың қосындысы мен көбейтіндісін есептейміз: x 1 + x 2 \u003d 12 және x 1 x 2 \u003d −253. Демек, бұл сандар екінші коэффициенті -12 және бос мүшесі -253 берілген квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады. Яғни, x 2 −12·x−253=0 қажетті теңдеу.

Жауап:

x 2 −12 x−253=0 .

Квадрат теңдеулердің түбірлерінің белгілеріне байланысты тапсырмаларды шешуде Виет теоремасы өте жиі қолданылады. Виет теоремасы x 2 +p x+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің таңбаларымен қалай байланысты? Мұнда екі сәйкес мәлімдеме берілген:

Егер бос q мүшесі оң сан болса және квадрат теңдеудің нақты түбірлері болса, онда олардың екеуі де оң немесе екеуі де теріс болады.
Егер бос q мүшесі теріс сан болса және квадрат теңдеудің нақты түбірлері болса, онда олардың таңбалары әртүрлі, басқаша айтқанда, бір түбірі оң, екіншісі теріс болады.

Бұл мәлімдемелер x 1 x 2 =q формуласынан, сондай-ақ оң, теріс сандарды және таңбалары әртүрлі сандарды көбейту ережелерінен шығады. Оларды қолдану мысалдарын қарастырыңыз.

Мысал.

R оң. Дискриминант формуласы бойынша D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 өрнегінің мәнін табамыз. +8 кез келген нақты r үшін оң, осылайша кез келген нақты r үшін D>0. Демек, бастапқы квадрат теңдеудің r параметрінің кез келген нақты мәндері үшін екі түбірі болады.

Енді тамырлардың қай кезде әртүрлі белгілері бар екенін білейік. Егер түбірлердің белгілері әртүрлі болса, онда олардың көбейтіндісі теріс болады, ал Виета теоремасы бойынша берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісі бос мүшеге тең болады. Сондықтан бізді r-1 бос мүшесі теріс болатын r мәндері қызықтырады. Осылайша, бізді қызықтыратын r мәндерін табу үшін бізге қажет сызықтық теңсіздікті шешу r−1<0 , откуда находим r<1 .

Жауап:

r<1 .

Вита формулалары

Жоғарыда біз квадрат теңдеу үшін Виетаның теоремасы туралы айттық және ол бекітетін қатынастарды талдадық. Бірақ тек квадрат теңдеулердің ғана емес, текше теңдеулердің, төрттік теңдеулердің де нақты түбірлері мен коэффициенттерін қосатын формулалар бар. алгебралық теңдеулердәрежесі n. Олар деп аталады Вита формулалары.

Біз n дәрежелі алгебралық теңдеу үшін Виета формулаларын жазамыз, бұл ретте оның n нақты түбірі x 1, x 2, ..., x n бар деп есептейміз (олардың арасында бірдей болуы мүмкін):

Vieta формулаларын алуға мүмкіндік береді полиномды көбейткіштерге бөлу теоремасы, сонымен қатар тең көпмүшелерді олардың барлық сәйкес коэффициенттерінің теңдігі арқылы анықтау. Сонымен, көпмүше және оның форманың сызықтық көбейткіштеріне кеңеюі тең. Соңғы өнімдегі жақшаларды ашып, сәйкес коэффициенттерді теңестіре отырып, біз Vieta формулаларын аламыз.

Атап айтқанда, n=2 үшін бізде квадрат теңдеу үшін бұрыннан таныс Виет формулалары бар.

Текше теңдеу үшін Виета формулаларының пішіні болады

Виеталық формулалардың сол жағында қарапайым деп аталатындар бар екенін ескеру қажет симметриялы көпмүшеліктер.

Әдебиеттер тізімі.

Алгебра:оқулық 8 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М. : Білім, 2008. - 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебра. 8 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г.Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілген. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебражәне математикалық талдаудың басталуы. 10-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер: негізгі және профильді. деңгейлері / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; ред. Жижченко А.Б. - 3-ші басылым. - М.: Ағарту, 2010.- 368 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Квадрат теңдеулер үшін Виет теоремасын тұжырымдау және дәлелдеу. Кері Виета теоремасы. Кубтық теңдеулер мен ерікті ретті теңдеулер үшін Виетаның теоремасы.

Мазмұны

Сондай-ақ қараңыз: Квадрат теңдеудің түбірлері

Квадрат теңдеулер

Виетаның теоремасы

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерін белгілейік
(1) .
Сонда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған коэффициентке тең болады. Түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең:
;
.

Бірнеше түбір туралы ескертпе

Егер (1) теңдеудің дискриминанты нөлге тең болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады. Бірақ, қиын тұжырымдарды болдырмау үшін, бұл жағдайда (1) теңдеудің екі еселі немесе тең түбірі бар екендігі жалпы қабылданған:
.

Бір дәлелі

(1) теңдеудің түбірлерін табайық. Ол үшін квадрат теңдеудің түбірлері үшін формуланы қолданыңыз:
;
;
.

Түбірлердің қосындысын табу:
.

Өнімді табу үшін формуланы қолданамыз:
.
Содан кейін

.

Теорема дәлелденді.

Екінші дәлел

Егер және сандары (1) квадрат теңдеудің түбірі болса, онда
.
Біз жақшаларды ашамыз.

.
Осылайша, (1) теңдеу келесі түрде болады:
.
(1)-мен салыстырсақ:
;
.

Теорема дәлелденді.

Кері Виета теоремасы

Ерікті сандар болсын. Сонда және квадрат теңдеудің түбірлері болады
,
қайда
(2) ;
(3) .

Виетаның қарама-қарсы теоремасын дәлелдеу

Квадрат теңдеуді қарастырайық
(1) .
Егер және болса, онда және (1) теңдеуінің түбірлері болатынын дәлелдеу керек.

(2) және (3) тармақтарын (1) ауыстырыңыз:
.
Теңдеудің сол жағының мүшелерін топтастырамыз:
;
;
(4) .

(4) орнына:
;
.

(4) орнына:
;
.
Теңдеу орындалды. Яғни, сан (1) теңдеудің түбірі болып табылады.

Теорема дәлелденді.

Толық квадрат теңдеу үшін Виет теоремасы

Енді толық квадрат теңдеуді қарастырайық
(5) ,
мұндағы және кейбір сандар. Және .

(5) теңдеуді келесіге бөлеміз:
.
Яғни, жоғарыдағы теңдеуді алдық
,
қайда; .

Сонда толық квадрат теңдеу үшін Виета теоремасы келесі түрге ие болады.

Толық квадрат теңдеудің түбірлерін белгілейік
.
Содан кейін түбірлердің қосындысы мен көбейтіндісі мына формулалармен анықталады:
;
.

Кубтық теңдеу үшін Виетаның теоремасы

Сол сияқты біз текше теңдеудің түбірлері арасында байланыс орната аламыз. Текше теңдеуін қарастырайық
(6) ,
мұндағы , , , кейбір сандар. Және .
Бұл теңдеуді келесіге бөлейік:
(7) ,
қайда , , .
(7) теңдеудің (және (6) теңдеуінің) түбірлері , , болсын. Содан кейін

.

(7) теңдеумен салыстырсақ:
;
;
.

n-дәрежелі теңдеу үшін Виетаның теоремасы

Дәл осылай n-ші дәрежелі теңдеу үшін , , ... , , түбірлерінің арасындағы байланыстарды табуға болады.
.

n-дәрежелі теңдеу үшін Виет теоремасы келесі формада болады:
;
;
;

.

Бұл формулаларды алу үшін теңдеуді келесі түрде жазамыз:
.
Содан кейін , , , ... бойынша коэффициенттерді теңестіріп, бос мүшені салыстырамыз.

Қолданылған әдебиет:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Жоғары оқу орындарының инженерлері мен студенттеріне арналған математика анықтамалығы, Лан, 2009 ж.
СМ. Никольский, М.К. Потапов және т.б., Алгебра: оқу орындарының 8-сыныбына арналған оқулық, Мәскеу, Білім, 2006 ж.

Сондай-ақ қараңыз:

Квадрат теңдеуді шешу әдістерінің бірі қолданбалы әдіс болып табылады VIETA формулалары, ол ФРАНСУА ВИЕТтің есімімен аталды.

Ол әйгілі заңгер болды және 16 ғасырда француз королімен бірге қызмет етті. Бос уақытында астрономия мен математиканы оқыды. Ол квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасында байланыс орнатты.

Формуланың артықшылығы:

1 . Формуланы қолдану арқылы шешімді тез табуға болады. Өйткені шаршыға екінші коэффициентті енгізудің қажеті жоқ, содан кейін одан 4ac-ты алып тастаңыз, дискриминантты табыңыз, оның мәнін түбірлерді табу формуласына ауыстырыңыз.

2 . Шешімі жоқ, сіз тамырлардың белгілерін анықтай аласыз, тамырлардың мәндерін таңдай аласыз.

3 . Екі жазбаның жүйесін шешкеннен кейін, түбірлерді өздері табу қиын емес. Жоғарыда келтірілген квадрат теңдеуде түбірлердің қосындысы минус таңбасы бар екінші коэффициенттің мәніне тең. Жоғарыдағы квадрат теңдеудегі түбірлердің көбейтіндісі үшінші коэффициенттің мәніне тең.

4 . Берілген түбірлер бойынша квадрат теңдеуді жаз, яғни кері есепті шығар. Мысалы, бұл әдіс теориялық механикада есептерді шығаруда қолданылады.

5 . Жетекші коэффициент бірге тең болғанда формуланы қолдану ыңғайлы.

Кемшіліктері:

1 . Формула әмбебап емес.