Желіде сызықтар арасындағы аумақты табыңыз. y=f(x), x=g(y) түзулерімен шектелген фигураның ауданын табу. Жазық қисық доғаның ұзындығы

Функция аралықта теріс емес және үзіліссіз болсын. Содан кейін белгілі бір интегралдың геометриялық мағынасына сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданы жоғарыдан осы функцияның графигімен, төменнен осімен, сол және оң жағынан түзу сызықтармен шектелген және (2-суретті қараңыз). ) формуласымен есептеледі

9-мысалТүзумен шектелген фигураның ауданын табыңыз және ось.

Шешім. Функция графигі тармақтары төмен бағытталған парабола. Оны құрастырайық (3-сурет). Интегралдау шектерін анықтау үшін түзудің (парабола) осімен (түзу) қиылысу нүктелерін табамыз. Ол үшін теңдеулер жүйесін шешеміз

Біз алып жатырмыз: , мұндағы , ; Демек, , .

Күріш. 3

Фигураның ауданы (5) формуласы бойынша табылады:

Егер функция оң емес және кесіндісінде үздіксіз болса, онда қисық сызықты трапецияның ауданы төменнен осы функцияның графигімен, жоғарыдан осьпен, солдан және оң жақтан түзулермен шектелген және , болады. формула бойынша есептеледі

. (6)

Егер функция кесіндіде үзіліссіз болса және нүктелердің соңғы санында таңбасын өзгертсе, онда көлеңкеленген фигураның ауданы (4-сурет) сәйкес анықталған интегралдардың алгебралық қосындысына тең болады:

Күріш. төрт

10-мысалОсьпен шектелген фигураның ауданын және үшін функцияның графигін есептеңіз.

Күріш. 5

Шешім. Сурет салайық (5-сурет). Қажетті аудан аудандардың қосындысы және . Осы аймақтардың әрқайсысын табайық. Біріншіден, жүйені шешу арқылы интеграцияның шектерін анықтаймыз Біз алып жатырмыз , . Нәтижесінде:

;

.

Осылайша, көлеңкеленген фигураның ауданы

(шаршы бірлік).

Күріш. 6

Ақырында, қисық сызықты трапеция кесіндідегі үздіксіз функциялардың графиктерімен жоғарыдан және төменнен шектелсін және ,
ал сол және оң жақта – түзу және (6-сурет). Содан кейін оның ауданы формула бойынша есептеледі

. (8)

11-мысал.және сызықтарымен қоршалған фигураның ауданын табыңыз.

Шешім.Бұл сурет суретте көрсетілген. 7. Оның ауданын (8) формула арқылы есептейміз. Теңдеулер жүйесін шешіп, , табамыз; Демек, , . Сегментте бізде: . Демек, (8) формулада келесідей қабылдаймыз x, және - ретінде. Біз алып жатырмыз:

(шаршы бірлік).

Аудандарды есептеудің күрделі мәселелері фигураны қиылыспайтын бөліктерге бөлу және бүкіл фигураның ауданын осы бөліктердің аудандарының қосындысы ретінде есептеу арқылы шешіледі.

Күріш. 7

12-мысал., , түзулерімен шектелген фигураның ауданын табыңыз.

Шешім. Сурет салайық (8-сурет). Бұл фигураны төменнен осьпен, сол жақтан және оң жақтан - түзу сызықтармен және жоғарыдан - функциялардың графиктерімен және шектелген қисық сызықты трапеция ретінде қарастыруға болады. Фигура жоғарыдан екі функцияның графиктерімен шектелгендіктен, оның ауданын есептеу үшін бұл түзу фигураны екі бөлікке бөлеміз (1 - түзулердің қиылысу нүктесінің абциссасы және). Осы бөліктердің әрқайсысының ауданы (4) формула бойынша табылады:

(шаршы бірлік); (шаршы бірлік). Нәтижесінде:

(шаршы бірлік).

Күріш. сегіз

X= j ( сағ)

Күріш. 9

Қорытындылай келе, егер қисық сызықты трапеция түзулермен шектелген және , осі және қисық сызықта үздіксіз болса (9-сурет), онда оның ауданы формула бойынша табылатынын атап өтеміз.

Революция денесінің көлемі

Кесіндіде, осьте, түзулерде үздіксіз функцияның графигімен шектелген қисық сызықты трапеция және ось айналасында айналсын (10-сурет). Содан кейін алынған айналым денесінің көлемі формула бойынша есептеледі

. (9)

13-мысалГиперболамен , түзу сызықтармен және осімен шектелген қисық сызықты трапеция осінің айналасында айналу нәтижесінде алынған дененің көлемін есептеңіз .

Шешім. Сурет салайық (11-сурет).

Мәселенің шартынан шығатыны , . (9) формула бойынша аламыз

.

Күріш. он

Күріш. он бір

Дененің ось айналасында айналу нәтижесінде алынған көлемі OUтүзу сызықтармен шектелген қисық сызықты трапеция y = cжәне y = d, ось OUжәне кесіндідегі үздіксіз функцияның графигі (12-сурет), формуламен анықталады

. (10)

X= j ( сағ)

Күріш. 12

14-мысал. Ось айналасында айналу нәтижесінде алынған дененің көлемін есептеңдер OUсызықтармен шектелген қисық сызықты трапеция X 2 = 4сағ, у= 4, x = 0 (Cурет 13).

Шешім. Есептің шартына сәйкес интеграцияның шегін табамыз: , . (10) формула бойынша біз мынаны аламыз:

Күріш. 13

Жазық қисық доғаның ұзындығы

, мұндағы , теңдеуімен берілген қисық жазықтықта жатсын (14-сурет).

Күріш. он төрт

Анықтама. Доғаның ұзындығы деп полисызық буындарының саны шексіздікке, ал ең үлкен буынның ұзындығы нөлге ұмтылған кезде осы доғаға сызылған полисызық ұзындығының ұмтылатын шегі түсініледі.

Егер функция және оның туындысы кесіндіде үзіліссіз болса, онда қисық доғасының ұзындығы формула бойынша есептеледі.

. (11)

15-мысал. Нүктелерінің арасына салынған қисық доғасының ұзындығын есептеңдер .

Шешім. Біздегі мәселенің жай-күйінен . (11) формула бойынша біз мынаны аламыз:

.

4. Дұрыс емес интегралдар
интеграцияның шексіз шекараларымен

Анықталған интеграл түсінігін енгізу кезінде келесі екі шарт орындалады деп есептелді:

а) интеграцияның шектері ажәне шектеулі;

б) интеграл кесіндімен шектелген.

Егер осы шарттардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, интеграл деп аталады дұрыс емес.

Алдымен интегралдаудың шексіз шекті дұрыс емес интегралдарын қарастырайық.

Анықтама. Функция аралықта анықталған және үзіліссіз болсын, ондажәне оң жақта шектелмеген (Cурет 15).

Егер дұрыс емес интеграл жинақталса, онда бұл аудан ақырлы болады; егер бұрыс интеграл ауытқыса, онда бұл аудан шексіз болады.

Күріш. он бес

Интегралдаудың төменгі шегі шексіз бұрыс интеграл да осылай анықталады:

. (13)

Бұл интеграл жинақталады, егер (13) теңдіктің оң жағындағы шегі бар болса және ақырлы болса; әйтпесе интеграл дивергент деп аталады.

Интегралдаудың екі шексіз шегі бар дұрыс емес интеграл келесі түрде анықталады:

, (14)

мұндағы с - интервалдың кез келген нүктесі. Екі интеграл теңдіктің оң жағына жинақталғанда ғана интеграл жинақталады (14).

;

G) = [бөлгіштегі толық шаршыны таңдаңыз: ] = [ауыстыру:

] =

Демек, бұрыс интеграл жинақталады және оның мәні -ге тең.

Интегралды тапқыңыз келетін функцияны енгізіңіз

Калькулятор анықталған интегралдардың ТОЛАЙЛЫ шешімін береді.

Бұл калькулятор f(x) функциясының анықталған интегралын берілген жоғарғы және төменгі шектермен шешеді.

Мысалдар

Дәрежені пайдалану арқылы
(шаршы және текше) және бөлшектер

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Шаршы түбір

Sqrt(x)/(x + 1)

текше түбірі

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Синус пен косинусты қолдану

2*sin(x)*cos(x)

Арксин

X*arcsin(x)

Доғалық косинус

x*arccos(x)

Логарифмді қолдану

X*log(x, 10)

табиғи логарифм

Көрмеге қатысушы

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Иррационал бөлшектер

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Доғаның тангенсі

X*arсctg(x)

Гиберболалық синус және косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболалық тангенс және котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболалық арксин және арккосин

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболалық арктангенс және арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Өрнектер мен функцияларды енгізу ережелері

Өрнектер функциялардан тұруы мүмкін (белгілер алфавиттік ретпен берілген): абсолютті(x)Абсолютті мән x
(модуль xнемесе |x|) arccos(x)Функциясы – доғалық косинус x arccosh(x)Косинус доғасының гиперболалық x arcsin(x)Арксин x arcsinh(x)Арксинус гиперболалық x arctg(x)Функция - доғаның жанамасынан x arctgh(x)Доғаның тангенсі -ден гиперболалық x e eшамамен 2,7-ге тең сан Exp(x)Функция – көрсеткіштен x(қайсысы e^x) журнал(x)немесе журнал(x)Натурал логарифм x
(Алу үшін log7(x), log(x)/log(7) енгізуіңіз керек (немесе, мысалы, for журнал10(x)=log(x)/log(10)) пиСан «Pi» болып табылады, ол шамамен 3,14-ке тең күнә(x)Функция - синус x cos(x)Функция - косинус x sinh(x)Функциясы - Гиперболалық синусы x қолма-қол ақша(x)Функциясы - Гиперболалық косинус x sqrt(x)Функция квадрат түбірі болып табылады x шаршы(x)немесе x^2Функция - Шаршы x тг(x)Функция - тангенс x tgh(x)Функция - Гиперболалық тангенс x cbrt(x)Функция текше түбірі болып табылады x

Сіз өрнектерде келесі операцияларды пайдалана аласыз: Нақты сандарпішінге енгізіңіз 7.5 , жоқ 7,5 2*x- көбейту 3/x- бөлу x^3- дәрежеге шығару x + 7- қосу x - 6- алу
Басқа мүмкіндіктер: қабат(x)Функция – дөңгелектеу xтөмен (мысал қабат(4,5)==4,0) төбе(x)Функция – дөңгелектеу xжоғары (мысалы, төбе(4,5)==5,0) белгісі(x)Функция - Белгі x erf(x)Қате функциясы (немесе ықтималдық интегралы) лаплас(x)Лаплас функциясы

Фигураның ауданын есептеуБұл аймақ теориясының ең қиын мәселелерінің бірі болуы мүмкін. Мектеп геометриясында оларды, мысалы, үшбұрыш, ромб, тіктөртбұрыш, трапеция, шеңбер және т.б. сияқты негізгі геометриялық фигуралардың аудандарын табуға үйретеді. Дегенмен, көбінесе күрделі фигуралардың аудандарын есептеумен айналысуға тура келеді. Дәл осындай есептерді шешуде интегралдық есептеуді қолдану өте ыңғайлы.

Анықтама.

Қисық сызықты трапециякейбір G фигурасы шақырылады, y = f(x), y = 0, x = a және x = b түзулерімен шектелген, және f(x) функциясы [a кесіндісінде үзіліссіз; b] және оның белгісін өзгертпейді (Cурет 1).Қисық сызықты трапецияның ауданын S(G) арқылы белгілеуге болады.

f(x) функциясы үшін ʃ a b f(x)dx анықталған интегралы [a кесіндісінде үзіліссіз және теріс емес; b], және сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданы.

Яғни, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a және x \u003d b сызықтарымен шектелген G фигурасының ауданын табу үшін мынаны есептеу керек. анықталған интеграл ʃ a b f (x) dx.

Осылайша, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Егер y = f(x) функциясы [a; b] болса, қисық сызықты трапеция ауданын формула бойынша табуға болады S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

1-мысал

y \u003d x 3 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңіз; y = 1; x = 2.

Шешім.

Берілген сызықтар штрих арқылы көрсетілген ABC фигурасын құрайды күріш. 2.

Қажетті аудан қисық сызықты трапеция DACE және DABE квадратының аудандары арасындағы айырмашылыққа тең.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) формуласын пайдаланып, интегралдау шегін табамыз. Ол үшін екі теңдеу жүйесін шешеміз:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Осылайша, бізде x 1 \u003d 1 - төменгі шегі және x \u003d 2 - жоғарғы шегі.

Сонымен, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (шаршы бірлік).

Жауабы: 11/4 шаршы. бірлік

2-мысал

y \u003d √x сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңіз; y = 2; x = 9.

Шешім.

Берілген сызықтар жоғарыдан функцияның графигімен шектелген ABC фигурасын құрайды

y \u003d √x, ал төменнен y \u003d 2 функциясының графигі. Алынған сурет штрихтау арқылы көрсетілген. күріш. 3.

Қажетті аудан S = ʃ a b (√x - 2) тең. Интегралдау шегін табайық: b = 9, а табу үшін екі теңдеу жүйесін шешеміз:

(y = √x,
(y = 2.

Осылайша, бізде x = 4 = a төменгі шек болып табылады.

Сонымен, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (шаршы бірлік).

Жауабы: S = 2 2/3 шаршы. бірлік

3-мысал

y \u003d x 3 - 4x сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңіз; y = 0; x ≥ 0.

Шешім.

x ≥ 0 үшін y \u003d x 3 - 4x функциясының графигін салайық. Ол үшін y ' туындысын табамыз:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 кезінде х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критикалық нүктелер.

Критикалық нүктелерді нақты оське сызып, туындының таңбаларын орналастырсақ, функция нөлден 2/√3-ке дейін төмендейді және 2/√3-тен плюс шексіздікке дейін өседі. Сонда x = 2/√3 ең кіші нүкте, y функциясының ең кіші мәні min = -16/(3√3) ≈ -3.

Графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін анықтайық:

егер x \u003d 0 болса, онда y \u003d 0, бұл A (0; 0) Oy осімен қиылысу нүктесі екенін білдіреді;

егер y \u003d 0, онда x 3 - 4x \u003d 0 немесе x (x 2 - 4) \u003d 0, немесе x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, мұндағы x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (қолайсыз, себебі x ≥ 0).

A(0; 0) және B(2; 0) нүктелері графтың Ox осімен қиылысу нүктелері болып табылады.

Берілген сызықтар штрих арқылы көрсетілген OAB фигурасын құрайды күріш. төрт.

y \u003d x 3 - 4x функциясы (0; 2) теріс мән қабылдайтындықтан, онда

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Бізде: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, одан S \u003d 4 шаршы метр. бірлік

Жауабы: S = 4 шаршы. бірлік

4-мысал

y \u003d 2x 2 - 2x + 1 параболасымен, x \u003d 0, y \u003d 0 түзулерімен және абсцисса x 0 \u003d нүктесінде осы параболаға жанамамен шектелген фигураның ауданын табыңыз. 2.

Шешім.

Алдымен абсцисса x₀ \u003d 2 нүктесінде y \u003d 2x 2 - 2x + 1 параболасына жанама теңдеуін құрастырамыз.

Туынды y' = 4x - 2 болғандықтан, x 0 = 2 үшін k = y'(2) = 6 аламыз.

Жанасу нүктесінің ординатасын табыңыз: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Демек, тангенс теңдеу келесідей болады: y - 5 \u003d 6 (x - 2) немесе y \u003d 6x - 7.

Сызықтармен шектелген фигураны құрастырайық:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - парабола. Координаталық осьтермен қиылысу нүктелері: A(0; 1) - Oy осімен; Ox осімен - қиылысу нүктелері жоқ, өйткені 2x 2 - 2x + 1 = 0 теңдеуінің шешімі жоқ (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, яғни В парабола нүктесінің төбесінде B координаталары бар (1/2; 1/2).

Сонымен, ауданы анықталатын фигура штрихтау арқылы көрсетіледі күріш. 5.

Бізде: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Шарттан D нүктесінің координаталарын табыңыз:

6x - 7 = 0, яғни. x \u003d 7/6, содан кейін DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

DBC үшбұрышының ауданын S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC формуласы арқылы табамыз. Осылайша,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 ш. бірлік

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (шаршы бірлік).

Соңында біз аламыз: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (шаршы бірлік).

Жауабы: S = 1 1/4 шаршы. бірлік

Біз мысалдарды қарастырдық берілген түзулермен шектелген фигуралардың аудандарын табу. Мұндай есептерді сәтті шешу үшін жазықтықта функциялардың түзулері мен графиктерін тұрғыза білу, түзулердің қиылысу нүктелерін таба білу, ауданды табу формуласын қолдана білу керек, бұл белгілі бір интегралдарды есептеу қабілеті мен дағдыларын білдіреді.

сайт, материалды толық немесе ішінара көшірген кезде, дереккөзге сілтеме қажет.

а)

Шешім.

Шешімнің бірінші және ең маңызды сәті сызбаның құрылысы болып табылады.

Сурет салайық:

теңдеу y=0 x осін орнатады;

- x=-2 және x=1 - түзу, осіне параллель OU;

- y \u003d x 2 +2 - тармақтары жоғары бағытталған, шыңы (0;2) нүктесінде болатын парабола.

Пікір.Параболаны тұрғызу үшін оның координаталық осьтермен қиылысу нүктелерін табу жеткілікті, яғни. қою x=0 осімен қиылысуын табыңыз OU және сәйкес квадрат теңдеуді шешіп, осімен қиылысуын табыңдар О .

Параболаның төбесін мына формулалар арқылы табуға болады:

Сіз сызықтар мен нүктелерді сызуға болады.

[-2;1] аралықта функцияның графигі y=x 2 +2 орналасқан ось үстінде Өгіз , сондықтан:

Жауап: С \u003d 9 шаршы бірлік

Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың шынайы екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, шамамен 9 терілетін болады, бұл дұрыс сияқты. Егер бізде, айталық, жауап болса: 20 шаршы бірлік, бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Жауап теріс болып шықса, тапсырма да қате шешілген.

Қисық сызықты трапеция орналасса не істеу керек осьтің астында О?

б)Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз y=-e x , x=1 және координаталық осьтер.

Шешім.

Сурет салайық.

Қисық сызықты трапеция болса толығымен осьтің астында О , онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады:

Жауап: S=(e-1) шаршы бірлігі» 1,72 шаршы бірлігі

Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастырмаңыз:

1) Егер сізге геометриялық мағынасы жоқ белгілі бір интегралды шешу сұралса, ол теріс болуы мүмкін.

2) Егер сізге фигураның ауданын белгілі интеграл арқылы табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус қарастырылған формулада пайда болады.

Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады.

бірге)Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Шешім.

Алдымен сіз сурет салуыңыз керек. Жалпы алғанда, аудан есептерінің сызбасын салу кезінде бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық.Оны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс – аналитикалық.

Теңдеуді шешеміз:

Сондықтан интеграцияның төменгі шегі a=0 , интеграцияның жоғарғы шегі b=3 .

Берілген түзулерді саламыз: 1. Парабола – (1;1) нүктесінде төбесі; осьтің қиылысы О -(0;0) және (0;2) нүктелері. 2. Түзу – 2-ші және 4-ші координаталық бұрыштардың биссектрисасы. Ал енді Назар аударыңыз! Егер аралықта [ а;б] кейбір үздіксіз функция f(x)кейбір үздіксіз функциядан үлкен немесе оған тең g(x), онда сәйкес фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады: . Және фигураның қай жерде орналасқаны маңызды емес - осьтің үстінде немесе осьтің астында, бірақ қай диаграмма ЖОҒАРЫ (басқа диаграммаға қатысты), қайсысы ТӨМЕН екені маңызды. Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек.

Интегралдау шегі «өзінен-өзі» анықталғандай нүкте бойынша сызықтарды салуға болады. Дегенмен, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе бұрандалы конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін).

Қажетті фигура жоғарыдан параболамен және төменнен түзу сызықпен шектеледі.

Сәйкес формула бойынша сегментінде:

Жауап: С \u003d 4,5 шаршы бірлік

Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.

Шешім.

Берілген түзулердің қиылысу нүктелерін табамыз. Ол үшін теңдеулер жүйесін шешеміз:

Берілген түзулердің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табу үшін мына теңдеуді шешеміз:

Біз табамыз: x 1 = -2, x 2 = 4.

Сонымен, парабола және түзу болып табылатын бұл түзулер нүктелерде қиылысады А(-2; 0), Б(4; 6).

Бұл жолдар жабық фигураны құрайды, оның ауданы жоғарыдағы формула бойынша есептеледі:

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша мынаны табамыз:

Эллипспен шектелген ауданның ауданын табыңыз.

Шешім.

I квадрант үшін эллипс теңдеуінен бізде . Осыдан формула бойынша аламыз

Ауыстыруды қолданайық x = акүнә т, dx = а cos т дт. Интеграцияның жаңа шектері т = α және т = β 0 = теңдеулерінен анықталады акүнә т, а = акүнә т. Қоюға болады α = 0 және β = π /2.

Біз қажетті аумақтың төрттен бір бөлігін табамыз

Осы жерден С = паб.

Түзулермен шектелген фигураның ауданын табыңызж = - x 2 + x + 4 жәнеж = - x + 1.

Шешім.

Түзулердің қиылысу нүктелерін табыңыз ж = -x 2 + x + 4, ж = -x+ 1, түзулердің ординаталарын теңестіру: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 немесе x 2 - 2x- 3 = 0. Түбірлерді табыңыз x 1 = -1, x 2 = 3 және олардың сәйкес ординаталары ж 1 = 2, ж 2 = -2.

Фигураның ауданы формуласын қолданып, аламыз

Парабола қоршалған ауданды табыңызж = x 2 + 1 және тікелейx + ж = 3.

Шешім.

Теңдеулер жүйесін шешу

қиылысу нүктелерінің абциссаларын табыңыз x 1 = -2 және x 2 = 1.

Болжам бойынша ж 2 = 3 - xжәне ж 1 = x 2 + 1, формулаға сүйене отырып, біз аламыз

Бернулли лемнискатындағы аумақты есептеңізr 2 = а 2 cos 2 φ .

Шешім.

Полярлық координаталар жүйесінде фигураның ауданы қисық доғасымен шектелген r = f(φ ) және екі полярлық радиус φ 1 = ʅ және φ 2 = ʆ , интегралмен өрнектеледі

Қисық сызықтың симметриясына байланысты алдымен қалаған ауданның төрттен бір бөлігін анықтаймыз

Демек, жалпы ауданы С = а 2 .

Астроид доғасының ұзындығын есептеңізx 2/3 + ж 2/3 = а 2/3 .

Шешім.

Астроид теңдеуін түрінде жазамыз

(x 1/3) 2 + (ж 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .

қояйық x 1/3 = а 1/3 cos т, ж 1/3 = а 1/3 күнә т.

Осыдан астроидтың параметрлік теңдеулерін аламыз

x = а cos 3 т, ж = акүнә 3 т, (*)

мұндағы 0 ≤ т ≤ 2π .

Қисықтың (*) симметриясын ескере отырып, доға ұзындығының төрттен бір бөлігін табу жеткілікті. Лпараметрінің өзгеруіне сәйкес келеді т 0-ден π /2.

Біз алып жатырмыз

dx = -3а cos 2 ткүнә т дт, dy = 3акүнә 2 т cos т дт.

Осы жерден табамыз

Алынған өрнекті 0-ден аралықта біріктіру π /2, аламыз

Осы жерден Л = 6а.

Архимед спиралімен шектелген ауданды табыңызr = aφ және полярлық бұрыштарға сәйкес келетін екі радиус векторыφ 1 жәнеφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Шешім.

Қисық сызықпен шектелген аудан r = f(φ ) формуласымен есептеледі, мұндағы α және β - полярлық бұрыштың өзгеру шектері.

Осылайша, біз аламыз

(*)

(*) нүктесінен поляр осімен және Архимед спиральының бірінші айналымымен шектелген аудан шығады ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Сол сияқты, поляр осімен және Архимед спиральының екінші айналымымен шектелген ауданды табамыз ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Қажетті аудан осы аумақтардың айырмашылығына тең

Ось айналасында айналу нәтижесінде алынған дененің көлемін есептеңдерӨгіз параболалармен шектелген фигураж = x 2 жәнеx = ж 2 .

Шешім.

Теңдеулер жүйесін шешейік

және алу x 1 = 0, x 2 = 1, ж 1 = 0, ж 2 = 1, қисықтардың қиылысу нүктелері осыдан О(0; 0), Б(он бір). Суретте көрініп тұрғандай, айналу денесінің қажетті көлемі ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болған екі көлемнің айырмашылығына тең. Өгізқисық сызықты трапециялар OCBAжәне ОДБА:

осімен шектелген ауданды есептеңдерӨгіз және синусоидж = күнәx сегменттер бойынша: a); б) .

Шешім.

а) кесіндіде sin функциясы xтаңбасын сақтайды, демек формула бойынша , қабылдайды ж= күнә x, табамыз

б) , кесіндісінде sin функциясы xбелгісін өзгертеді. Есепті дұрыс шешу үшін кесіндіні екіге және [ге бөлу керек. π , 2π ], олардың әрқайсысында функция өз белгісін сақтайды.

Белгілер ережесі бойынша сегментте [ π , 2π ] ауданы минус белгісімен алынады.

Нәтижесінде қалаған аумақ тең болады

Эллипстің айналуынан алынған бетпен шектелген дененің көлемін анықтаңызнегізгі осьтің айналасындаа .

Шешім.

Эллипс координата осьтеріне қатысты симметриялы екенін ескерсек, ось айналасында айналу нәтижесінде пайда болған көлемді табу жеткілікті. Өгізаумақ OAB, эллипс ауданының төрттен біріне тең және нәтижені екі есе көбейтіңіз.

Төңкеріс денесінің көлемін арқылы белгілейік В x; онда формулаға сүйене отырып, бізде , мұндағы 0 және а- нүктелердің абсциссалары Бжәне А. Эллипс теңдеуінен табамыз. Осы жерден

Осылайша, қажетті көлем -ге тең. (Эллипс кіші ось айналасында айналғанда б, дененің көлемі )

Параболалармен шектелген ауданды табыңызж 2 = 2 px жәнеx 2 = 2 py .

Шешім.

Біріншіден, интегралдау интервалын анықтау үшін параболалардың қиылысу нүктелерінің координаталарын табамыз. Бастапқы теңдеулерді түрлендіре отырып, аламыз және. Осы мәндерді теңестіріп, немесе аламыз x 4 - 8б 3 x = 0.

x 4 - 8б 3 x = x(x 3 - 8б 3) = x(x - 2б)(x 2 + 2px + 4б 2) = 0.

Теңдеулердің түбірін табамыз:

Нүкте екенін ескере отырып Апараболалардың қиылысы бірінші ширекте, одан кейін интегралдау шегінде болады x= 0 және x = 2б.

Қажетті аудан формула бойынша табылады