Квадрат теңдеулерді ауызша шешу және Виета теоремасы. Квадраттық және басқа теңдеулер үшін Виет теоремасы Виетаның теоремасын қолдану
Бұл лекцияда біз квадрат теңдеудің түбірлері мен оның коэффициенттері арасындағы қызықты байланыстармен танысамыз. Бұл қатынастарды алғаш рет француз математигі Франсуа Вьет (1540-1603) ашты.
Мысалы, Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 теңдеуі үшін оның түбірін таппай, Виета теоремасын пайдаланып, түбірлердің қосындысы , ал түбірлердің көбейтіндісі тең екенін бірден айтуға болады.
яғни - 2. Ал x 2 - 6x + 8 \u003d 0 теңдеуі үшін қорытынды жасаймыз: түбірлердің қосындысы 6, түбірлердің көбейтіндісі 8; Айтпақшы, түбірлердің неге тең екенін болжау қиын емес: 4 және 2.
Вьета теоремасын дәлелдеу. ax 2 + bx + c \u003d 0 квадрат теңдеуінің x 1 және x 2 түбірлері формулалар арқылы табылады.
Мұндағы D \u003d b 2 - 4ac теңдеудің дискриминанты. Бұл тамырларды төсеу
Біз алып жатырмыз
Енді x 1 және x 2 түбірлерінің көбейтіндісін есептейміз
Екінші қатынас дәлелденді:
Түсініктеме.
Виетаның теоремасы квадрат теңдеудің бір түбірі болған жағдайда да жарамды (яғни, D \u003d 0 болғанда), бұл жағдайда теңдеудің жоғарыда аталған қатынастар қолданылатын екі бірдей түбірі бар деп есептеледі.
Келтірілген x 2 + px + q \u003d 0 квадрат теңдеуінің дәлелденген қатынастары өте қарапайым пішінді алады. Бұл жағдайда мынаны аламыз:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
анау. берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең.
Виета теоремасын пайдалана отырып, квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да қатынастарды алуға болады. Мысалы, x 1 және x 2 келтірілген x 2 + px + q = 0 квадрат теңдеудің түбірі болсын. Сонда
Алайда Виет теоремасының негізгі мақсаты оның квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы белгілі бір байланыстарды өрнектеуінде емес. Виетаның теоремасының көмегімен квадрат үшмүшені көбейткіштерге бөлу формуласы шығарылғаны әлдеқайда маңызды, онсыз біз болашақта жасай алмаймыз.
Дәлелдеу. Бізде бар
1-мысал. 3x 2 - 10x + 3 үшмүшелігін көбейткіштерге бөліңіз.
Шешім. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 теңдеуін шешіп, Zx 2 - 10x + 3 шаршы үшмүшесінің түбірлерін табамыз: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
2-теореманы пайдаланып, аламыз
Zx - 1 деп жазудың орнына мағынасы бар. Содан кейін біз Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) аламыз.
Берілген квадрат үшмүшені топтастыру әдісімен 2-теореманы қолданбай-ақ көбейткіштерге бөлуге болатынын ескеріңіз:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Бірақ, көріп отырғаныңыздай, бұл әдіспен табыс сәтті топтастыруды таба аламыз ба, жоқ па, соған байланысты, ал бірінші әдіспен табысқа кепілдік беріледі.
1-мысал. Бөлшекті азайту
Шешім. 2x 2 + 5x + 2 = 0 теңдеуінен х 1 = - 2,
x2 - 4x - 12 = 0 теңдеуінен х 1 = 6, х 2 = -2 табамыз. Сондықтан
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Енді берілген бөлшекті азайтайық:
3-мысал. Өрнектерді көбейткіштерге жіктеу:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Шешімі.а) y = x 2 жаңа айнымалысын енгіземіз. Бұл берілген өрнекті y айнымалысына қатысты квадрат үшмүше түрінде, атап айтқанда y 2 + bу + 6 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді.
y 2 + bу + 6 \u003d 0 теңдеуін шешіп, y 2 + 5y + 6 квадрат үшмүшесінің түбірлерін табамыз: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Енді біз 2-теореманы қолданамыз; Біз алып жатырмыз
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y \u003d x 2, яғни берілген өрнекке оралу керек екенін есте ұстаған жөн. Сонымен,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
б) Жаңа y = айнымалысын енгізейік. Бұл берілген өрнекті у айнымалысына қатысты квадрат үшмүше түрінде, атап айтқанда 2y 2 + y - 3 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Теңдеуді шешкеннен кейін
2y 2 + y - 3 \u003d 0, 2y 2 + y - 3 квадрат үшмүшесінің түбірлерін табамыз:
y 1 = 1, y 2 =. Әрі қарай, 2-теореманы пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:
y \u003d, яғни берілген өрнекке оралу керектігін есте сақтау керек. Сонымен,
Бөлім қайтадан Вьета теоремасымен, дәлірек айтсақ, керісінше бекітумен байланысты кейбір пікірлермен аяқталады:
егер x 1, x 2 сандары x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q болатындай болса, онда бұл сандар теңдеудің түбірі болады
Бұл мәлімдемені пайдалана отырып, көптеген квадрат теңдеулерді күрделі түбір формулаларын қолданбай ауызша шешуге, сондай-ақ берілген түбірлері бар квадрат теңдеулерді құруға болады. Мысалдар келтірейік.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. х 1 = 8, x 2 = 3 екенін болжау оңай.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 деп болжау оңай.
Назар аударыңыз: егер теңдеудің бос мүшесі оң сан болса, онда екі түбір де оң немесе теріс болады; бұл тамырларды таңдағанда ескеру маңызды.
3) x 2 + x - 12 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 екенін болжау оңай.
Назар аударыңыз: егер теңдеудің бос мүшесі теріс сан болса, онда түбірлер таңбалары бойынша әр түрлі болады; бұл тамырларды таңдағанда ескеру маңызды.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 теңдеуді қанағаттандыратынын оңай байқауға болады, яғни. x 1 \u003d 1 - теңдеудің түбірі. x 1 x 2 \u003d - және x 1 \u003d 1 болғандықтан, біз x 2 \u003d - аламыз.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Мұнда x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283 екеніне назар аударсаңыз. 10, және 293 \u003d 283 + 10, содан кейін x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 екені белгілі болады (енді осы квадрат теңдеуді стандартты формулалар арқылы шешу үшін қандай есептеулер қажет болатынын елестетіп көріңіз).
6) x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 сандары оның түбірлері болатындай етіп квадрат теңдеуді құрамыз.Әдетте мұндай жағдайларда олар x 2 + px + q \u003d 0 келтірілген квадрат теңдеуді құрайды.
Бізде x 1 + x 2 \u003d -p, сондықтан 8 - 4 \u003d -p, яғни p \u003d -4. Әрі қарай, x 1 x 2 = q, яғни. 8"(-4) = q, осыдан q = -32 аламыз. Сонымен, p \u003d -4, q \u003d -32, бұл қажетті квадрат теңдеудің x 2 -4x-32 \u003d 0 түріне ие екенін білдіреді.
Кез келген толық квадрат теңдеу ax2 + bx + c = 0еске түсіруге болады x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, егер алдымен әрбір мүшені a бұрынғы коэффициентіне бөлсек x2. Ал егер біз жаңа белгілерді енгізсек (б/а) = бжәне (c/a) = q, сонда бізде теңдеу болады x 2 + px + q = 0, ол математикада деп аталады келтірілген квадрат теңдеу.
Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлері және коэффициенттері бжәне qөзара байланысты. Ол расталды Виетаның теоремасы, 16 ғасырдың аяғында өмір сүрген француз математигі Франсуа Виетаның атымен аталған.
Теорема. Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 2 + px + q = 0екінші коэффициентке тең б, қарама-қарсы таңбамен алынған, ал түбірлердің туындысы – бос мүшеге q.
Бұл коэффициенттерді келесі түрде жазамыз:
Болсын x 1және x2келтірілген теңдеудің әртүрлі түбірлері x 2 + px + q = 0. Вьета теоремасы бойынша x1 + x2 = -pжәне x 1 x 2 = q.
Мұны дәлелдеу үшін теңдеуге x 1 және x 2 түбірлерінің әрқайсысын қойып көрейік. Біз екі шынайы теңдік аламыз:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Бірінші теңдіктен екіншісін алып таста. Біз алып жатырмыз: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Алғашқы екі мүшені квадраттардың айырымы формуласына сәйкес кеңейтеміз:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
Шарты бойынша x 1 және x 2 түбірлері әртүрлі. Сондықтан теңдікті (x 1 - x 2) ≠ 0-ге азайтып, p-ті өрнектей аламыз.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Бірінші теңдік дәлелденді.
Екінші теңдікті дәлелдеу үшін бірінші теңдеуді ауыстырамыз
p коэффициентінің орнына x 1 2 + px 1 + q \u003d 0, оның тең саны (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Теңдеудің сол жағын түрлендірсек, мынаны аламыз:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, ол дәлелдеуге тиіс болды.
Виетаның теоремасы жақсы, өйткені Тіпті квадрат теңдеудің түбірлерін білмесек те, олардың қосындысы мен көбейтіндісін есептей аламыз .
Виет теоремасы берілген квадрат теңдеудің бүтін түбірлерін анықтауға көмектеседі. Бірақ көптеген студенттер үшін бұл әрекеттің нақты алгоритмін білмеуіне байланысты қиындықтар туғызады, әсіресе теңдеу түбірлерінің белгілері әртүрлі болса.
Сонымен, берілген квадрат теңдеудің x 2 + px + q \u003d 0 түрі бар, мұндағы x 1 және x 2 оның түбірлері. Вьета теоремасы бойынша x 1 + x 2 = -p және x 1 x 2 = q.
Біз мынадай қорытынды жасай аламыз.
Егер теңдеуде соңғы мүшенің алдында минус таңбасы тұрса, онда x 1 және x 2 түбірлерінің таңбалары әртүрлі болады. Сонымен қатар, кіші түбірдің таңбасы теңдеудегі екінші коэффициенттің таңбасымен бірдей.
Таңбалары әртүрлі сандарды қосқанда олардың модульдері алынып тасталатынына және модульдегі үлкен санның таңбасы нәтиженің алдына қойылғанына сүйене отырып, келесі әрекеттерді орындау керек:
- q санының мұндай көбейткіштерін олардың айырмасы p санына тең болатындай етіп анықтау;
- алынған сандардың кішісінің алдына теңдеудің екінші коэффициентінің таңбасын қою; екінші түбірде қарама-қарсы таңба болады.
Кейбір мысалдарды қарастырайық.
1-мысал.
x 2 - 2x - 15 = 0 теңдеуін шешіңіз.
Шешім.
Осы теңдеуді жоғарыда ұсынылған ережелер арқылы шешуге тырысайық. Сонда бұл теңдеудің екі түрлі түбірі болатынын нақты айта аламыз, өйткені D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Енді 15 санының барлық көбейткіштерінен (1 және 15, 3 және 5) айырмасы 2-ге тең болатынын таңдаймыз. Бұл 3 және 5 сандары болады. Кіші санның алдына минус таңбасын қоямыз. , яғни. теңдеудің екінші коэффициентінің таңбасы. Осылайша, біз x 1 \u003d -3 және x 2 \u003d 5 теңдеуінің түбірлерін аламыз.
Жауап. x 1 = -3 және x 2 = 5.
2-мысал.
x 2 + 5x - 6 = 0 теңдеуін шешіңіз.
Шешім.
Бұл теңдеудің түбірі бар-жоғын тексерейік. Ол үшін дискриминантты табамыз:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Теңдеудің екі түрлі түбірі бар.
6 санының мүмкін болатын көбейткіштері 2 және 3, 6 және 1. Айырмашылық 6 және 1 жұбы үшін 5. Бұл мысалда екінші қосылғыштың коэффициенті плюс белгісіне ие, сондықтан кіші санның мәні болады. бірдей белгі. Бірақ екінші санның алдында минус белгісі болады.
Жауабы: x 1 = -6 және x 2 = 1.
Виет теоремасын толық квадрат теңдеу үшін де жазуға болады. Сонымен, егер квадрат теңдеу ax2 + bx + c = 0түбірлері бар x 1 және x 2 , онда олар теңдіктерді қанағаттандырады
x 1 + x 2 = -(b/a)және x 1 x 2 = (c/a). Алайда бұл теореманы толық квадрат теңдеуде қолдану өте қиын, өйткені түбірлер болса, олардың ең болмағанда біреуі бөлшек сан. Ал бөлшек таңдаумен жұмыс істеу өте қиын. Бірақ одан шығудың жолы бар.
ax 2 + bx + c = 0 толық квадрат теңдеуін қарастырайық. Оның сол және оң жақтарын а коэффициентіне көбейтіңіз. Теңдеу (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 түрінде болады. Енді жаңа айнымалыны енгізейік, мысалы t = ax.
Бұл жағдайда алынған теңдеу t 2 + bt + ac = 0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеуге айналады, оның түбірлері t 1 және t 2 (бар болса) Виет теоремасы арқылы анықталуы мүмкін.
Бұл жағдайда бастапқы квадрат теңдеудің түбірлері болады
x 1 = (t 1 / a) және x 2 = (t 2 / a).
3-мысал.
15x 2 - 11x + 2 = 0 теңдеуін шешіңіз.
Шешім.
Көмекші теңдеу жасаймыз. Теңдеудің әрбір мүшесін 15-ке көбейтейік:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
t = 15x өзгерісін жасаймыз. Бізде бар:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Виета теоремасы бойынша бұл теңдеудің түбірлері t 1 = 5 және t 2 = 6 болады.
t = 15x ауыстыруға ораламыз:
5 = 15x немесе 6 = 15x. Осылайша x 1 = 5/15 және x 2 = 6/15. Біз азайтамыз және соңғы жауапты аламыз: x 1 = 1/3 және x 2 = 2/5.
Жауап. x 1 = 1/3 және x 2 = 2/5.
Квадрат теңдеулерді Виета теоремасын пайдаланып шешуді меңгеру үшін студенттер мүмкіндігінше жаттығуы керек. Бұл жетістіктің құпиясы.
сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.
Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттерінің арасында түбір формулаларынан басқа, келесі арқылы берілетін басқа да пайдалы байланыстар бар. Виетаның теоремасы. Бұл мақалада біз квадрат теңдеу үшін Виет теоремасының тұжырымы мен дәлелін береміз. Әрі қарай, біз Вьета теоремасына қарама-қарсы теореманы қарастырамыз. Осыдан кейін біз ең тән мысалдардың шешімдерін талдаймыз. Соңында біз нақты түбірлер арасындағы байланысты анықтайтын Vieta формулаларын жазамыз алгебралық теңдеу n дәрежесі және оның коэффициенттері.
Бетті шарлау.
Виет теоремасы, тұжырымы, дәлелі
Квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларынан a x 2 +b x+c=0 түріндегі , мұндағы D=b 2 −4 a c , x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = қатынастары. с/а. Бұл нәтижелер расталды Виетаның теоремасы:
Теорема.
Егер а x 1 және x 2 квадрат теңдеудің түбірлері a x 2 +b x+c=0, онда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған b және a коэффициенттерінің қатынасына және көбейтіндісіне тең болады. түбірлері с және а коэффициенттерінің қатынасына тең, яғни .
Дәлелдеу.
Виета теоремасын мына схема бойынша дәлелдейміз: белгілі түбір формулаларын пайдаланып квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы мен көбейтіндісін құрастырамыз, содан кейін алынған өрнектерді түрлендіреміз және олардың −b-ға тең екендігіне көз жеткіземіз. /a және c/a.
Түбірлердің қосындысынан бастайық, оны құрастыр. Енді біз бөлшектерді ортақ бөлімге келтіреміз, бізде бар. Пайда болған бөлшектің алымында , одан кейін : . Ақырында, 2-ден кейін біз аламыз. Бұл квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы үшін Виет теоремасының бірінші қатынасын дәлелдейді. Екіншісіне көшейік.
Квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісін құрастырамыз:. Бөлшектерді көбейту ережесі бойынша соңғы көбейтіндіні былай жазуға болады. Енді біз жақшаны алымдағы жақшаға көбейтеміз, бірақ бұл көбейтіндіні қысқарту жылдамырақ квадраттар айырымы формуласы, Сонымен. Содан кейін еске түсіріп, келесі көшуді орындаймыз. Ал D=b 2 −4 a·c формуласы квадрат теңдеудің дискриминантына сәйкес болғандықтан, соңғы бөлшекке D орнына b 2 −4·a·c қоюға болады, біз аламыз. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді азайтқаннан кейін біз бөлшекке келеміз және оны 4·а-ға азайту -ды береді. Бұл түбірлердің туындысы үшін Виет теоремасының екінші қатынасын дәлелдейді.
Түсіндірмелерді алып тастасақ, онда Виеталық теореманың дәлелі қысқаша формада болады:
,
.
Дискриминант нөлге тең болғанда, квадрат теңдеудің бір түбірі болатынын ескеру ғана қалады. Алайда, егер бұл жағдайда теңдеудің екі бірдей түбірі бар деп есептесек, онда Виеталық теоремадағы теңдіктер де орындалады. Шынында да, D=0 үшін квадрат теңдеудің түбірі , онда және , ал D=0 болғандықтан, b 2 −4·a·c=0 , одан b 2 =4·a·c , онда .
Тәжірибеде Виет теоремасы көбінесе x 2 +p·x+q=0 түріндегі келтірілген квадрат теңдеуге (ең жоғары коэффициенті a 1 -ге тең) қатысты қолданылады. Кейде ол тек осы типтегі квадрат теңдеулер үшін тұжырымдалады, бұл жалпылықты шектемейді, өйткені кез келген квадрат теңдеуді оның екі бөлігін де нөлдік емес а санына бөлу арқылы эквивалентті теңдеумен ауыстыруға болады. Міне, Виет теоремасының сәйкес тұжырымы:
Теорема.
Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы x 2 + p x + q \u003d 0 қарама-қарсы таңбамен алынған x нүктесіндегі коэффициентке тең, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүше, яғни x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Виетаның теоремасына кері теорема
Алдыңғы абзацта келтірілген Виета теоремасының екінші тұжырымы, егер x 1 және x 2 келтірілген квадрат теңдеудің x 2 +p x+q=0 түбірлері болса, онда x 1 +x 2 = − қатынастары болатынын көрсетеді. p, x 1 x 2=q. Екінші жағынан, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q жазбаша қатынастардан x 1 және x 2 x 2 +p x+q=0 квадрат теңдеудің түбірі болатыны шығады. Басқаша айтқанда, Виетаның теоремасына қарама-қарсы бекіту ақиқат. Оны теорема түрінде тұжырымдап, дәлелдейміз.
Теорема.
Егер x 1 және x 2 сандары x 1 +x 2 =−p және x 1 x 2 =q болатындай болса, онда x 1 және x 2 келтірілген квадрат теңдеудің x 2 +p x+q=0 түбірі болады. .
Дәлелдеу.
Олардың өрнектелуінің x 2 +p x+q=0 теңдеуіндегі p және q коэффициенттерін x 1 және x 2 арқылы ауыстырғаннан кейін ол эквивалентті теңдеуге түрлендіріледі.
Алынған теңдеуде х орнына х 1 санын қоямыз, бізде теңдік бар x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, бұл кез келген x 1 және x 2 үшін дұрыс сандық теңдік 0=0, өйткені x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Демек, x 1 – теңдеудің түбірі x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, бұл x 1 эквивалентті x 2 +p x+q=0 теңдеуінің түбірі екенін білдіреді.
Теңдеуде болса x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0х орнына х 2 санын қойсақ, онда теңдік шығады x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Бұл дұрыс теңдеу, өйткені x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Демек, x 2 те теңдеудің түбірі болады x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, демек, теңдеулер x 2 +p x+q=0 .
Бұл Вьета теоремасына қарама-қарсы теореманы дәлелдеуді аяқтайды.
Виет теоремасын қолдану мысалдары
Виетаның теоремасы мен оның кері теоремасын практикалық қолдану туралы айтатын кез келді. Бұл бөлімде біз ең типтік мысалдардың бірнеше шешімдерін талдаймыз.
Біз Виетаның теоремасына кері теореманы қолданудан бастаймыз. Оны берілген екі санның берілген квадрат теңдеудің түбірі екенін тексеру үшін пайдалану ыңғайлы. Бұл жағдайда олардың сомасы мен айырмасы есептеледі, содан кейін қатынастардың дұрыстығы тексеріледі. Егер осы қатынастың екеуі де орындалса, онда Виет теоремасына қарама-қарсы теореманың күшімен бұл сандар теңдеудің түбірлері болып табылады деген қорытынды шығады. Егер қатынастың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда бұл сандар квадрат теңдеудің түбірлері болып табылмайды. Бұл тәсілді табылған түбірлерді тексеру үшін квадрат теңдеулерді шешу кезінде қолдануға болады.
Мысал.
1) x 1 =−5, x 2 =3, немесе 2), немесе 3) жұптарының қайсысы 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады?
Шешім.
Берілген 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат теңдеудің коэффициенттері a=4 , b=−16 , c=9 . Виет теоремасы бойынша квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы −b/a, яғни 16/4=4, ал түбірлердің көбейтіндісі c/a, яғни 9-ға тең болуы керек. /4.
Енді берілген үш жұптың әрқайсысындағы сандардың қосындысы мен көбейтіндісін есептеп, оларды жаңа ғана алынған мәндермен салыстырайық.
Бірінші жағдайда, бізде x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Алынған мән 4-тен өзгеше, сондықтан одан әрі тексеру жүргізілмейді, бірақ теорема бойынша, Виет теоремасының кері теоремасы бойынша біз бірден бірінші жұп сандар берілген квадрат теңдеудің түбірлері жұбы емес деген қорытынды жасауға болады. .
Екінші жағдайға көшейік. Мұнда, яғни бірінші шарт орындалады. Екінші шартты тексереміз: , алынған мән 9/4-тен өзгеше. Демек, сандардың екінші жұбы квадрат теңдеудің түбірлері емес.
Соңғы жағдай қалады. Мұнда және . Шарттардың екеуі де орындалады, сондықтан бұл x 1 және x 2 сандары берілген квадрат теңдеудің түбірі болады.
Жауап:
Теорема, Виет теоремасының кері теоремасы, квадрат теңдеудің түбірлерін таңдау үшін тәжірибеде қолданылуы мүмкін. Әдетте, бүтін коэффициенттері бар берілген квадрат теңдеулердің бүтін түбірлері таңдалады, өйткені басқа жағдайларда мұны істеу өте қиын. Сонымен бірге, егер екі санның қосындысы минус таңбасымен алынған квадрат теңдеудің екінші коэффициентіне тең болса және бұл сандардың көбейтіндісі бос мүшеге тең болса, онда бұл сандар осы квадрат теңдеудің түбірлері. Мұны мысалмен қарастырайық.
x 2 −5 x+6=0 квадрат теңдеуін алайық. x 1 және x 2 сандары осы теңдеудің түбірі болуы үшін x 1 +x 2 \u003d 5 және x 1 x 2 \u003d 6 екі теңдік орындалуы керек. Мұндай сандарды таңдау қалады. Бұл жағдайда мұны істеу өте қарапайым: мұндай сандар 2 және 3, өйткені 2+3=5 және 2 3=6 . Сонымен, 2 және 3 - бұл квадрат теңдеудің түбірі.
Виет теоремасына қарама-қарсы теорема, әсіресе, түбірлердің бірі белгілі немесе анық болғанда, келтірілген квадрат теңдеудің екінші түбірін табу үшін өте ыңғайлы. Бұл жағдайда екінші түбір қатынастың кез келгенінен табылады.
Мысалы, 512 x 2 −509 x−3=0 квадрат теңдеуін алайық. Бұл квадрат теңдеудің коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең болғандықтан, бірлік теңдеудің түбірі екенін мұнда оңай көруге болады. Сонымен x 1 = 1. Екінші түбір x 2, мысалы, x 1 x 2 =c/a қатынасынан табуға болады. Бізде 1 x 2 =−3/512 , одан x 2 =−3/512 . Сонымен, біз квадрат теңдеудің екі түбірін де анықтадық: 1 және −3/512.
Тамырларды таңдау ең қарапайым жағдайларда ғана орынды болатыны анық. Басқа жағдайларда түбірлерді табу үшін квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын дискриминант арқылы қолдануға болады.
Теореманың тағы бір практикалық қолданылуы, Виет теоремасына кері теорема, берілген x 1 және x 2 түбірлері үшін квадрат теңдеулерді құрастыру болып табылады. Ол үшін берілген квадрат теңдеудің қарама-қарсы таңбасы бар х коэффициентін беретін түбірлердің қосындысын және бос мүшені беретін түбірлердің көбейтіндісін есептесек жеткілікті.
Мысал.
Түбірлері −11 және 23 сандары болатын квадрат теңдеуді жазыңыз.
Шешім.
x 1 =−11 және x 2 =23 деп белгілеңіз. Біз осы сандардың қосындысы мен көбейтіндісін есептейміз: x 1 + x 2 \u003d 12 және x 1 x 2 \u003d −253. Демек, бұл сандар екінші коэффициенті -12 және бос мүшесі -253 берілген квадрат теңдеудің түбірлері болып табылады. Яғни, x 2 −12·x−253=0 қажетті теңдеу.
Жауап:
x 2 −12 x−253=0 .
Квадрат теңдеулердің түбірлерінің белгілеріне байланысты тапсырмаларды шешуде Виет теоремасы өте жиі қолданылады. Виет теоремасы x 2 +p x+q=0 келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің таңбаларымен қалай байланысты? Мұнда екі сәйкес мәлімдеме берілген:
- Егер q кесіндісі оң сан болса және квадрат теңдеудің нақты түбірлері болса, онда олардың екеуі де оң немесе екеуі де теріс болады.
- Егер бос q мүшесі теріс сан болса және квадрат теңдеудің нақты түбірлері болса, онда олардың таңбалары әртүрлі, басқаша айтқанда, бір түбірі оң, екіншісі теріс болады.
Бұл мәлімдемелер x 1 x 2 =q формуласынан, сондай-ақ оң, теріс сандарды және таңбалары әртүрлі сандарды көбейту ережелерінен шығады. Оларды қолдану мысалдарын қарастырыңыз.
Мысал.
R оң. Дискриминант формуласы бойынша D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 өрнегінің мәнін табамыз. +8 кез келген нақты r үшін оң, осылайша кез келген нақты r үшін D>0. Демек, бастапқы квадрат теңдеудің r параметрінің кез келген нақты мәндері үшін екі түбірі болады.
Енді тамырлардың қай кезде әртүрлі белгілері бар екенін білейік. Егер түбірлердің белгілері әртүрлі болса, онда олардың көбейтіндісі теріс болады, ал Виета теоремасы бойынша берілген квадрат теңдеудің түбірлерінің көбейтіндісі бос мүшеге тең болады. Сондықтан бізді r-1 бос мүшесі теріс болатын r мәндері қызықтырады. Осылайша, бізді қызықтыратын r мәндерін табу үшін бізге қажет сызықтық теңсіздікті шешу r−1<0 , откуда находим r<1 .
Жауап:
r<1 .
Вита формулалары
Жоғарыда біз квадрат теңдеу үшін Виетаның теоремасы туралы айттық және ол бекітетін қатынастарды талдадық. Бірақ тек квадрат теңдеулердің ғана емес, текше теңдеулердің, төрттік теңдеулердің де нақты түбірлері мен коэффициенттерін қосатын формулалар бар. алгебралық теңдеулердәрежесі n. Олар деп аталады Вита формулалары.
Виеталық формулаларды n дәрежелі алгебралық теңдеу үшін жазамыз, бұл ретте оның n нақты түбірі x 1, x 2, ..., x n бар деп есептейміз (олардың арасында бірдей болуы мүмкін): 
Vieta формулаларын алуға мүмкіндік береді полиномды көбейткіштерге бөлу теоремасы, сонымен қатар тең көпмүшелерді олардың барлық сәйкес коэффициенттерінің теңдігі арқылы анықтау. Сонымен, көпмүше және оның пішіннің сызықтық көбейткіштеріне кеңеюі тең. Соңғы өнімдегі жақшаларды ашып, сәйкес коэффициенттерді теңестіре отырып, біз Vieta формулаларын аламыз.
Атап айтқанда, n=2 үшін бізде квадрат теңдеу үшін бұрыннан таныс Виет формулалары бар.
Текше теңдеу үшін Виета формулаларының пішіні болады 
Вьета формулаларының сол жағында қарапайым деп аталатындар бар екенін атап өту ғана қалады симметриялы көпмүшеліктер.
Әдебиеттер тізімі.
- Алгебра:оқулық 8 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М. : Білім, 2008. - 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 8 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г.Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілген. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебражәне математикалық талдаудың басталуы. 10-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер: негізгі және профильді. деңгейлері / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; ред. Жижченко А.Б. - 3-ші басылым. - М.: Ағарту, 2010.- 368 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Квадрат теңдеуді шешу әдістерінің бірі қолданбалы әдіс болып табылады VIETA формулалары, ол ФРАНСУА ВИЕТтің есімімен аталды.
Ол әйгілі заңгер болды және 16 ғасырда француз королімен бірге қызмет етті. Бос уақытында астрономия мен математиканы оқыды. Ол квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасында байланыс орнатты.
Формуланың артықшылығы:
1 . Формуланы қолдану арқылы шешімді тез табуға болады. Өйткені шаршыға екінші коэффициентті енгізудің қажеті жоқ, содан кейін одан 4ac-ты алып тастаңыз, дискриминантты табыңыз, оның мәнін түбірлерді табу формуласына ауыстырыңыз.
2 . Шешімі жоқ, сіз тамырлардың белгілерін анықтай аласыз, тамырлардың мәндерін таңдай аласыз.
3 . Екі жазбаның жүйесін шешкеннен кейін, түбірлерді өздері табу қиын емес. Жоғарыда келтірілген квадрат теңдеуде түбірлердің қосындысы минус таңбасы бар екінші коэффициенттің мәніне тең. Жоғарыдағы квадрат теңдеудегі түбірлердің көбейтіндісі үшінші коэффициенттің мәніне тең.
4 . Берілген түбірлер бойынша квадрат теңдеуді жаз, яғни кері есепті шығар. Мысалы, бұл әдіс теориялық механикада есептерді шығаруда қолданылады.
5 . Жетекші коэффициент бірге тең болғанда формуланы қолдану ыңғайлы.
Кемшіліктері:
1
. Формула әмбебап емес.
Вьета теоремасы 8-сынып
Формула
Егер x 1 және x 2 берілген квадрат теңдеудің түбірлері болса x 2 + px + q \u003d 0, онда:
Мысалдар
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - x 2 - 2x - 3 \u003d 0 теңдеуінің түбірлері.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Кері теорема
Формула
Егер x 1 , x 2 , p, q сандары шарттармен қосылса:
Сонда x 1 және x 2 x 2 + px + q = 0 теңдеуінің түбірі болады.
Мысал
Түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрайық:
X 1 \u003d 2 -? 3 және x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Қажетті теңдеудің келесі түрі бар: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Жоғары дәрежелі көпмүшеліктер (теңдеулер) үшін Виета формуласы
Квадрат теңдеулер үшін Виетаның шығарған формулалары жоғары дәрежелі көпмүшелер үшін де дұрыс.
Көпмүше болсын
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
n түрлі түбірлері бар x 1 , x 2 …, x n .
Бұл жағдайда пішіннің факторизациясы бар:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Осы теңдіктің екі бөлігін де 0 ≠ 0-ге бөліп, бірінші бөліктегі жақшаларды кеңейтейік. Біз теңдік аламыз:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Бірақ екі көпмүше бірдей дәрежедегі коэффициенттер тең болған жағдайда ғана тең болады. Осыдан теңдік шығады
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Мысалы, үшінші дәрежелі көпмүшеліктер үшін
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Бізде сәйкестіктер бар
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Квадрат теңдеулерге келетін болсақ, бұл формула Виета формулалары деп аталады. Бұл формулалардың сол жақ бөліктері берілген теңдеудің x 1 , x 2 ..., x n түбірлерінен алынған симметриялық көпмүшелер, ал оң жақ бөліктері көпмүшенің коэффициенті арқылы өрнектеледі.
2.6 Шаршыға келтірілетін теңдеулер (биквадрат)
Төртінші дәрежелі теңдеулер квадрат теңдеулерге келтіріледі:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
биквадрат деп аталады, сонымен қатар a ≠ 0.
Бұл теңдеуде x 2 \u003d y қою жеткілікті, сондықтан
ay² + арқылы + c = 0
алынған квадрат теңдеудің түбірлерін табыңдар
y 1,2 = 
x 1, x 2, x 3, x 4 түбірлерін бірден табу үшін у-ны х-пен ауыстырып, мынаны алу керек.
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Егер төртінші дәрежелі теңдеуде x 1 болса, онда оның да түбірі х 2 \u003d -x 1,
Егер x 3 болса, онда x 4 \u003d - x 3. Мұндай теңдеудің түбірлерінің қосындысы нөлге тең.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Биквадрат теңдеулердің түбірлерінің формуласына теңдеуді ауыстырамыз:
x 1,2,3,4 = 
,
x 1 \u003d -x 2 және x 3 \u003d -x 4 екенін біле отырып, онда:
x 3,4 = 
Жауап: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =
2.7 Биквадрат теңдеулерді оқу
Биквадрат теңдеуді алайық
ax 4 + bx 2 + c = 0,
мұндағы a, b, c нақты сандар, және a > 0. Көмекші белгісіз y = x² енгізу арқылы біз бұл теңдеудің түбірлерін зерттейміз және нәтижелерді кестеге енгіземіз (№ 1 қосымшаны қараңыз).
2.8 Кардано формуласы
Егер біз заманауи символизмді қолданатын болсақ, онда Кардано формуласының туындысы келесідей болуы мүмкін:
x = 
Бұл формула үшінші дәрежелі жалпы теңдеудің түбірлерін анықтайды:
балта 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Бұл формула өте ауыр және күрделі (оның құрамында бірнеше күрделі радикалдар бар). Ол әрқашан қолданыла бермейді, өйткені. аяқтау өте қиын.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
2-3 мәтіннен ең қызықты жерлерді тізімдеңіз немесе таңдаңыз. Сонымен, 9-сыныпқа арналған «Параметрі бар төртбұрышты теңдеулер және теңсіздіктер» алгебрадан элективті курсты әзірлеу кезінде ескерілетін элективті курстарды құру және өткізудің жалпы ережелерін қарастырдық. II тарау. «Параметрі бар квадрат теңдеулер және теңсіздіктер» элективті курсын өткізу әдістемесі 1.1. Жалпы...
Сандық есептеу әдістерінен шешімдер. Теңдеудің түбірлерін анықтау үшін Абель, Галуа, Ли топтары және т.б. теорияларын білу қажет емес және арнайы математикалық терминологияны қолдану: сақиналар, өрістер, идеалдар, изоморфизмдер және т.б. n-дәрежелі алгебралық теңдеуді шешу үшін тек квадрат теңдеулерді шешу және күрделі саннан түбір алу мүмкіндігі қажет. Түбірлерді анықтауға болады...
MathCAD жүйесінде физикалық шамалардың өлшем бірліктерімен? 11. Мәтінді, графикалық және математикалық блоктарды толық сипаттаңыз. Дәріс нөмірі 2. Сызықтық алгебра есептері және MathCAD ортасында дифференциалдық теңдеулерді шешу Сызықтық алгебра есептерінде әрқашан дерлік матрицалармен әртүрлі операцияларды орындау қажет болады. Матрицалық оператор тақтасы Математика панелінде орналасқан. ...
