Қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналуы. Қозғалмайтын ось айналасындағы қатты дененің айналмалы қозғалысы. Бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу Қозғалмайтын ось айналасындағы жылдам айналу қозғалысы

Және Савельева.

Дененің алға қозғалысы кезінде (Е. М. Никитин оқулығындағы § 60) оның барлық нүктелері бірдей траекториялар бойымен қозғалады және әрбір берілген сәтте олардың жылдамдықтары мен үдеулері бірдей болады.

Демек, дененің ілгерілемелі қозғалысы кез келген бір нүктенің қозғалысымен, әдетте ауырлық центрінің қозғалысымен анықталады.

Кез келген есептегі вагонның (147-есеп) немесе тепловоздың (141-есеп) қозғалысын қарастырғанда, біз шын мәнінде олардың ауырлық орталықтарының қозғалысын қарастырамыз.

Дененің айналмалы қозғалысын (Е.М. Никитин, § 61) оның кез келген нүктесінің қозғалысымен анықтауға болмайды. Кез келген айналмалы дененің осі (дизельдік маховик, электр қозғалтқышының роторы, машина шпиндельі, желдеткіш қалақтары және т.б.) қозғалыс кезінде қоршаған қозғалмайтын денелерге қатысты кеңістікте бір орынды алады.

Материалдық нүктенің қозғалысы немесе алға қозғалысденелер уақытқа байланысты сипатталады сызықтық шамалар s (жол, қашықтық), v (жылдамдық) және a (үдеу) оның құрамдас бөліктері a t және a n.

Айналмалы қозғалыс t уақытына байланысты денелер сипатталады бұрыштық мәндер: φ (радиандағы айналу бұрышы), ω (рад/сектегі бұрыштық жылдамдық) және ε (рад/сектегі бұрыштық үдеу 2).

Дененің айналу қозғалысының заңы теңдеу арқылы өрнектеледі
φ = f(t).

Бұрыштық жылдамдық- дененің айналу жылдамдығын сипаттайтын шама жалпы жағдайда айналу бұрышының уақытқа қатысты туындысы ретінде анықталады.
ω = dφ/dt = f" (t).

Бұрыштық үдеу- бұрыштық жылдамдықтың өзгеру жылдамдығын сипаттайтын шама бұрыштық жылдамдықтың туындысы ретінде анықталады.
ε = dω/dt = f"" (t).

Дененің айналмалы қозғалысына есептер шығаруға кіріскенде, техникалық есептер мен есептерде, әдетте, бұрыштық орын ауыстыру радианмен φ емес, шамамен φ айналыммен өрнектелетінін есте ұстаған жөн.

Сондықтан айналымдар санынан бұрыштық орын ауыстырудың радиандық өлшеміне және керісінше ауыса білу қажет.

Бір толық айналым 2π радға сәйкес болғандықтан, онда
φ = 2πφ шамамен және φ шамамен = φ/(2π).

Техникалық есептеулерде бұрыштық жылдамдық өте жиі минутына (айн/мин) өндірілген айналымдармен өлшенеді, сондықтан ω рад/сек және n айн/мин бірдей ұғымды білдіретінін нақты түсіну керек - дененің айналу жылдамдығы (бұрыштық жылдамдық) , бірақ әртүрлі бірліктерде - рад/сек немесе айн/мин.

Бұрыштық жылдамдықтың бір бірлігінен екіншісіне өту формулалар бойынша орындалады
ω = πn/30 және n = 30ω/π.

Дене айналғанда оның барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, олардың центрі бір қозғалмайтын түзу сызықта (айналатын дененің осі) орналасқан. Осы тарауда берілген есептерді шешу кезінде дененің айналу қозғалысын сипаттайтын φ, ω және ε бұрыштық шамалары мен сипаттайтын s, v, a t және an сызықтық шамалары арасындағы байланысты нақты түсіну өте маңызды. осы дененің әртүрлі нүктелерінің қозғалысы (205-сурет).

Егер R - айналмалы дененің геометриялық осінен кез келген А нүктесіне дейінгі қашықтық (205-суретте R = OA), онда φ - дененің айналу бұрышы және s - нүктесінің жүріп өткен жолы арасындағы байланыс. дене бір уақытта былайша өрнектеледі:
s = φR.

Әрбір берілген моменттегі дененің бұрыштық жылдамдығы мен нүктенің жылдамдығы арасындағы байланыс теңдікпен өрнектеледі.
v = ωR.

Нүктенің тангенциалды үдеуі бұрыштық үдеуіне байланысты және формуламен анықталады
a t = εR.

Нүктенің қалыпты үдеуі дененің бұрыштық жылдамдығына тәуелді және қатынаспен анықталады.
a n = ω 2 R.

Осы тарауда берілген есепті шешу кезінде айналу – қозғалыс екенін нақты түсіну керек қатты, ұпай емес. Бір материалдық нүкте айналмайды, бірақ шеңбер бойымен қозғалады - қисық сызықты қозғалыс жасайды.

§ 33. Бірқалыпты айналмалы қозғалыс

Егер бұрыштық жылдамдық ω=const болса, онда айналу қозғалысы бірқалыпты деп аталады.

Біркелкі айналу теңдеуі формасы бар
φ = φ 0 + ωt.

Айналудың бастапқы бұрышы φ 0 =0 болған нақты жағдайда,
φ = ωt.

Бірқалыпты айналатын дененің бұрыштық жылдамдығы
ω = φ/т
былайша білдіруге болады:
ω = 2π/Т,
мұндағы Т – дененің айналу периоды; φ=2π - бір периодтағы айналу бұрышы.

§ 34. Бірқалыпты айналмалы қозғалыс

Айнымалы бұрыштық жылдамдығы бар айналмалы қозғалыс біркелкі емес деп аталады (төменде § 35 қараңыз). Егер бұрыштық үдеу ε=const болса, онда айналмалы қозғалыс деп аталады бірдей айнымалы. Осылайша, дененің біркелкі айналуы жеке оқиғабіркелкі емес айналу қозғалысы.

Бірқалыпты айналу теңдеуі
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
және кез келген уақытта дененің бұрыштық жылдамдығын өрнектейтін теңдеу,
(2) ω = ω 0 + εt
дененің айналмалы бірқалыпты қозғалысы үшін негізгі формулалар жиынтығын білдіреді.

Бұл формулалар тек алты шаманы қамтиды: берілген есеп үшін үш тұрақты φ 0, ω 0 және ε және үш айнымалы φ, ω және t. Демек, біркелкі айналу үшін әрбір есептің шарты кем дегенде төрт көрсетілген шаманы қамтуы керек.

Кейбір есептерді шешуге ыңғайлы болу үшін (1) және (2) теңдеулерінен тағы екі көмекші формуланы алуға болады.

(1) және (2)-ден ε бұрыштық үдеуін алып тастаймыз:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

(1) және (2)-ден t уақытын алып тастайық:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

Тыныштық күйінен бастап біркелкі жылдамдатылған айналудың нақты жағдайында φ 0 =0 және ω 0 =0. Демек, жоғарыдағы негізгі және көмекші формулалар келесі форманы алады:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Біркелкі емес айналмалы қозғалыс

Дененің бірқалыпты емес айналмалы қозғалысы көрсетілген есепті шешудің мысалын қарастырайық.

Абсолютті қатты денедене өзара реттеуоның бөліктері қозғалыс кезінде өзгермейді.

Қатты дененің трансляциялық қозғалысы - бұл денеге қатты қосылған кез келген түзу өзінің бастапқы бағытына параллель болып қозғалатын оның қозғалысы.

Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысы кезінде оның барлық нүктелері dt қысқа уақыт ішінде бірдей қозғалады, бұл нүктелердің радиус векторы бірдей шамаға өзгереді. Сәйкесінше, уақыттың әрбір сәтінде оның барлық нүктелерінің жылдамдықтары бірдей және тең. Сондықтан кинематика қарастырылады алға қозғалысҚатты дененің кез келген нүктесінің қозғалысын зерттеуге байланысты. Әдетте біз кеңістікте еркін қозғалатын қатты дененің инерция центрінің қозғалысын қарастырамыз.

Қатты дененің айналмалы қозғалысы - бұл оның барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалатын қозғалыс, оның орталықтары дененің сыртында орналасқан . Түзу сызық дененің айналу осі деп аталады.

Бұрыштық жылдамдық– дененің айналу жылдамдығын сипаттайтын векторлық шама; айналу бұрышының осы айналу орын алған уақытқа қатынасы; дененің айналу бұрышының уақытқа қатысты бірінші туындысымен анықталатын вектор. Бұрыштық жылдамдық векторы оң бұранда ережесіне сәйкес айналу осі бойымен бағытталған. ω=φ/t=2π/T=2πn, мұндағы T – айналу периоды, n – айналу жиілігі. ω=lim Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt.

Бұрыштық үдеу– бұрыштық жылдамдықтың уақытқа қатысты бірінші туындысымен анықталатын вектор. Дене қозғалмайтын ось айналасында айналғанда, бұрыштық үдеу векторы айналу осі бойымен бұрыштық жылдамдықтың элементар өсімінің векторына қарай бағытталады. Уақытқа қатысты айналу бұрышының екінші туындысы. Дене қозғалмайтын ось айналасында айналғанда, бұрыштық үдеу векторы айналу осінің бойымен бұрыштық жылдамдықтың элементар өсімінің векторына қарай бағытталады. Қозғалыс үдетілгенде ε векторы φ векторына кодирекциялы, ал баяу болғанда оған қарама-қарсы болады. ε=dω/dt.

Егер dω/dt> 0 болса, онда εω

Егер dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. Инерция принципі (Ньютонның бірінші заңы). Инерциялық анықтамалық жүйелер. Салыстырмалылық принципі.

Ньютонның бірінші заңы (инерция заңы): әрбір материалдық нүкте (дене) басқа денелердің әсері оны осы күйді өзгертуге мәжбүр етпейінше тыныштық күйін немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалысты сақтайды.

Дененің тыныштық күйін немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалысын сақтауға ұмтылысы деп аталады инерция. Сондықтан Ньютонның бірінші заңы инерция заңы деп аталады.

Ньютонның бірінші заңы инерциялық санақ жүйелерінің бар екенін айтады.

Инерциялық санақ жүйесі– бұл басқа денелер әсер етпейтін бос материалдық нүкте түзу сызықта бірқалыпты қозғалатын салыстырмалы тірек жүйесі; Бұл басқа инерциялық жүйеге қатысты тыныштықта немесе біркелкі және түзу сызықты қозғалатын жүйе.

Салыстырмалылық принципі- іргелі физикалық заң, оған сәйкес кез келген процесс тыныштықтағы оқшауланған материалдық жүйеде және бір жүйеде бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс күйінде бірдей жүреді. Қозғалыс немесе тыныштық күйлері ерікті түрде таңдалған инерциялық санақ жүйесіне қатысты анықталады. Салыстырмалылық принципі Эйнштейннің арнайы салыстырмалылық теориясының негізінде жатыр.

5. Галилей түрлендірулері.

Салыстырмалылық принципі (Галилей): берілген инерциялық эталондық жүйенің ішінде жүргізілген ешбір тәжірибелер (механикалық, электрлік, оптикалық) бұл жүйенің тыныштықта немесе бірқалыпты және түзу сызықты қозғалыста екенін анықтауға мүмкіндік бермейді; табиғаттың барлық заңдары бір инерциялық санақ жүйесінен екіншісіне өтуге қатысты инвариантты.

Екі анықтамалық жүйені қарастырайық: инерциялық жүйе K (бар координаталары x,y,z), біз шартты түрде стационарды және K’ жүйесін (x’,y’,z’ координаталарымен) қарастырамыз, K-ға қатысты U жылдамдықпен біркелкі және түзу сызықты қозғалады (U = const). Екі жүйеде де ерікті А нүктесінің координаталары арасындағы байланысты табайық. r = r’+r0=r’+Ut. (1.)

(1.) теңдеуді координаталық осьтердегі проекцияларда жазуға болады:

y=y’+Uyt; (2.)

z=z’+Уцт; (1.) және (2.) теңдеулер галилей координаталық түрлендірулер деп аталады.

Потенциалдық энергия мен күш арасындағы байланыс

Потенциалдық өрістің әрбір нүктесі, бір жағынан, денеге әсер ететін күш векторының белгілі бір мәніне, ал екінші жағынан, потенциалдық энергияның белгілі бір мәніне сәйкес келеді. Сондықтан күш пен потенциалдық энергияның арасында белгілі бір байланыс болуы керек.

Бұл байланысты орнату үшін дененің кеңістікте ерікті түрде таңдалған бағыт бойымен болатын аз ғана орын ауыстыруы кезіндегі өріс күштерінің орындайтын элементар жұмысын есептейік, оны әрпімен белгілейік. Бұл жұмыс тең

мұндағы күштің бағыттағы проекциясы.

Бұл жағдайда жұмыс потенциалдық энергияның қоры есебінен орындалатындықтан, ол ось сегментіндегі потенциалдық энергияның жоғалуына тең болады:

Соңғы екі өрнектен біз аламыз

Бұл формула күш векторының координаталық осьтерге проекциясын анықтайды. Егер бұл проекциялар белгілі болса, күш векторының өзі анықталатын болады:

математика векторында ,

мұндағы a – x, y, z скаляр функциясы, осы скалярдың градиенті деп аталады және символмен белгіленеді. . Демек, күш қарама-қарсы таңбамен алынған потенциалдық энергия градиентіне тең

Айналмалыолар денемен байланысты екі нүкте, демек, осы нүктелер арқылы өтетін түзу қозғалыс кезінде қозғалыссыз қалатын қозғалысты атайды (2.16-сурет). Бекітілген түзу сызық А Бшақырды айналу осі.

Күріш. 2,1 В. Дененің айналмалы қозғалысын анықтауға қарай

Айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің орны айналу бұрышын φ, рад анықтайды (2.16-суретті қараңыз). Қозғалыс кезінде айналу бұрышы уақыт бойынша өзгереді, яғни. дененің айналу қозғалысының заңы қозғалмайтын жарты жазықтық арасындағы екібұрышты бұрыштың Ф = Ф(/) шамасының уақыт бойынша өзгеру заңы ретінде анықталады TO (),айналу осінен өтетін және жылжымалы n 1денеге қосылған, сонымен қатар айналу осінен өтетін жарты жазықтық.

Айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің барлық нүктелерінің траекториялары центрлері айналу осінде болатын параллель жазықтықта орналасқан концентрлік шеңберлер болып табылады.

Дененің айналмалы қозғалысының кинематикалық сипаттамасы. Нүкте үшін кинематикалық сипаттамалар енгізілген сияқты, айналу қозғалысы кезінде дененің орнын анықтайтын φ(c) функциясының өзгеру жылдамдығын сипаттайтын кинематикалық түсінік енгізіледі, яғни. бұрыштық жылдамдық co = f = s/f/s//, бұрыштық жылдамдық өлшемі [co] = рад /Бірге.

Техникалық есептеулерде бұрыштық жылдамдықтың басқа өлшемдегі өрнегі жиі пайдаланылады - минутына айналымдар саны бойынша: [i] = айн / мин және арасындағы қатынас Пжәне co келесі түрде ұсынылуы мүмкін: co = 27w/60 = 7w/30.

Жалпы, бұрыштық жылдамдық уақыт бойынша өзгереді. Бұрыштық жылдамдықтың өзгеру жылдамдығының өлшемі бұрыштық үдеу e = c/co/c//= co = f, бұрыштық үдеу өлшемі [e] = рад/с 2 .

Енгізілген бұрыштық кинематикалық сипаттамалар бір функцияны – уақытқа қатысты айналу бұрышын көрсету арқылы толығымен анықталады.

Айналмалы қозғалыс кезіндегі дене нүктелерінің кинематикалық сипаттамалары. Нүктеге назар аударыңыз Майналу осінен р қашықтықта орналасқан дене. Бұл нүкте радиусы p шеңбер бойымен қозғалады (2.17-сурет).

Күріш. 2.17.

дененің айналу кезіндегі нүктелері

Доғаның ұзындығы M Q Mрадиусы p шеңбері ретінде анықталады с= ptp, мұндағы f – айналу бұрышы, рад. Егер дененің қозғалыс заңы φ = φ(g) түрінде берілсе, онда нүктенің қозғалыс заңы Мтраектория бойынша формуламен анықталады С= рф(7).

Нүкте қозғалысын нақтылаудың табиғи әдісімен кинематикалық сипаттамалардың өрнектерін пайдалана отырып, айналатын дене нүктелері үшін кинематикалық сипаттамаларды аламыз: (2.6) формула бойынша жылдамдық.

В= 5 = rf = rso; (2,22)

(2.12) өрнекке сәйкес тангенциалды үдеу

i t = K = sor = er; (2,23)

(2.13) формула бойынша қалыпты үдеу

a„ =Ал 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2,24)

(2.15) өрнегі арқылы толық үдеу

А = -]А + a] = px/e 2 + co 4. (2,25)

Толық үдеу бағытының сипаттамасы p - нүктемен сипатталған шеңбердің радиусынан толық үдеу векторының ауытқу бұрышы деп алынады (2.18-сурет).

Суреттен. 2.18 аламыз

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2,26)

Күріш. 2.18.

Айналмалы дене нүктелерінің барлық кинематикалық сипаттамалары айналу осіне дейінгі қашықтықтарға пропорционал екенін ескеріңіз. Ве-

Олардың сәйкестіктері бірдей функцияның туындылары – айналу бұрышы арқылы анықталады.

Бұрыштық және сызықтық кинематикалық сипаттамаларға арналған векторлық өрнектер. Айналмалы дененің бұрыштық кинематикалық сипаттамаларының айналу осімен бірге аналитикалық сипаттамасы үшін тұжырымдама айналу бұрышының векторы(2.19-сурет): φ = φ(/)A:, мұндағы Кімге- жеу

біржақты айналу осінің векторы

1; Кімге=sop51.

f векторы «соңынан» көрінетіндей етіп осы ось бойымен бағытталған.

айналу сағат тіліне қарсы жүреді.

Күріш. 2.19.

векторлық түрдегі сипаттамалар

Егер φ(/) векторы белгілі болса, онда айналмалы қозғалыстың барлық басқа бұрыштық сипаттамаларын векторлық түрде көрсетуге болады:

• бұрыштық жылдамдық векторы co = f = f Кімге.Бұрыштық жылдамдық векторының бағыты айналу бұрышының туындысының белгісін анықтайды;
• бұрыштық үдеу векторы є = со = Ф Кімге.Бұл вектордың бағыты бұрыштық жылдамдықтың туындысының белгісін анықтайды.

Енгізілген с және є векторлары нүктелердің кинематикалық сипаттамалары үшін векторлық өрнектерді алуға мүмкіндік береді (2.19-суретті қараңыз).

Нүктенің жылдамдық векторының модулі бұрыштық жылдамдық векторы мен радиус векторының векторлық көбейтіндісінің модулімен сәйкес келетінін ескеріңіз: |cox Г= соғвіпа = қоқыс. с және r векторларының бағыттарын және векторлық көбейтіндінің бағыты ережесін ескере отырып, жылдамдық векторы үшін өрнек жазуға болады:

В= co xg.

Сол сияқты, мұны көрсету оңай

• ? X
• - egBіpa= өр = а тЖәне

Сосор = co p = i.

(Сонымен қатар, осы кинематикалық сипаттамалардың векторлары сәйкес векторлық туындылармен бағытта сәйкес келеді.

Сондықтан тангенциалды және қалыпты үдеу векторларын векторлық көбейтінділер ретінде көрсетуге болады:

• (2.28)
• (2.29)

a x = g X Г

А= co x В.

Айналу бұрышы, бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу

Қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналуыДененің екі нүктесі қозғалыстың барлық уақытында қозғалыссыз қалатын қозғалыс деп аталады. Бұл жағдайда дененің қозғалмайтын нүктелері арқылы өтетін түзу бойында орналасқан барлық нүктелері де қозғалыссыз қалады. Бұл сызық деп аталады дененің айналу осі.

Егер АЖәне IN- дененің қозғалмайтын нүктелері (15-сурет ), онда айналу осі ось болып табылады Оз,кеңістікте кез келген бағыт болуы мүмкін, міндетті түрде тік емес. Бір ось бағыты Озоң ретінде қабылданады.

Айналу осі арқылы қозғалмайтын жазықтықты саламыз Авторыжәне ұялы P,айналмалы денеге бекітілген. Уақыттың бастапқы моментінде екі жазықтық сәйкес келсін. Содан кейін бір сәтте тқозғалатын жазықтықтың және айналатын дененің орнын жазықтықтар арасындағы екібұрышты бұрышпен және сәйкес сызықтық бұрышпен анықтауға болады φ осы жазықтықтарда орналасқан және айналу осіне перпендикуляр түзулер арасында. Бұрыш φ шақырды дененің айналу бұрышы.

Таңдалған анықтамалық жүйеге қатысты дененің жағдайы кез келгенінде толығымен анықталады

теңдеу берілген болса, уақыт моменті φ =f(t) (5)

Қайда f(t)- уақыттың кез келген екі есе дифференциалданатын функциясы. Бұл теңдеу деп аталады қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналу теңдеуі.

Қозғалмайтын ось айналасында айналатын дененің бір еркіндік дәрежесі бар, өйткені оның орны тек бір параметрді – бұрышты көрсету арқылы анықталады. φ .

Бұрыш φ егер ол сағат тіліне қарсы сызылған болса, оң, ал осьтің оң бағытынан қараған кезде кері бағытта теріс болып саналады. Оз.Дененің қозғалмайтын ось айналасында айналуы кезіндегі нүктелерінің траекториялары айналу осіне перпендикуляр жазықтықта орналасқан шеңберлер болып табылады.

Қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналу қозғалысын сипаттау үшін бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу ұғымдарын енгіземіз. Дененің алгебралық бұрыштық жылдамдығыуақыттың кез келген сәтінде осы сәттегі айналу бұрышының уақытқа қатысты бірінші туындысы деп аталады, яғни. dφ/dt = φ.Дене сағат тіліне қарсы айналғанда ол оң шама, өйткені айналу бұрышы уақыт өткен сайын артады, ал дене сағат тілімен бұрғанда теріс, өйткені айналу бұрышы азаяды.

Бұрыштық жылдамдық модулі арқылы белгіленеді ω. Содан кейін ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Бұрыштық жылдамдықтың өлшемі (6) тармағына сәйкес орнатылады.

[ω] = бұрыш/уақыт = рад/с = с -1.

Техникада бұрыштық жылдамдық - минутына айналымдармен көрсетілген айналу жылдамдығы. 1 минуттан кейін дене бұрыш арқылы айналады 2πп,Егер П- минутына айналымдар саны. Бұл бұрышты минуттағы секундтар санына бөлсек, мынаны аламыз: (7)

Дененің алгебралық бұрыштық үдеуіалгебралық жылдамдықтың уақытқа қатысты бірінші туындысы деп аталады, яғни. айналу бұрышының екінші туындысы d 2 φ/dt 2 = ω. Бұрыштық үдеу модулін белгілейік ε , Содан кейін ε=|φ| (8)

Бұрыштық үдеу өлшемі мынадан алынады (8):

[ε ] = бұрыштық жылдамдық/уақыт = рад/с 2 = с -2

Егер φ’’>0 сағ φ’>0 , содан кейін алгебралық бұрыштық жылдамдық уақыт өткен сайын артады және, демек, дене уақыт моментінде оң бағытта (сағат тіліне қарсы) жылдамдатылған айналады. Сағат φ’’<0 Және φ’<0 дене теріс бағытта жылдам айналады. Егер φ’’<0 сағ φ’>0 , онда бізде оң бағытта баяу айналу бар. Сағат φ’’>0 Және φ’<0 , яғни. теріс бағытта баяу айналу орын алады. Суреттердегі бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу айналу осінің айналасындағы доғалық көрсеткілермен бейнеленген. Бұрыштық жылдамдыққа арналған доға көрсеткісі денелердің айналу бағытын көрсетеді;

Жедел айналу үшін бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу үшін доғаның көрсеткілері баяу айналу үшін бірдей бағыттарға ие, олардың бағыттары қарама-қарсы;

Қатты дененің айналуының ерекше жағдайлары

Айналу біркелкі деп аталады, егер ω=const, φ= φ’t

Айналу біркелкі болады, егер ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t және

Жалпы, егер φ’’ әрдайым емес,

Дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулері

Қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналу теңдеуі белгілі φ= f(t)(Cурет 16). Қашықтық сұпай Мқозғалатын жазықтықта Пнүктеден өлшенген дөңгелек доғаның бойымен (нүктелік траектория). М о,бұрыш арқылы өрнектелетін қозғалмайтын жазықтықта орналасқан φ тәуелділік s=hφ, Қайда h-нүкте қозғалатын шеңбердің радиусы. Бұл нүктеден ең қысқа қашықтық Майналу осіне. Мұны кейде нүктенің айналу радиусы деп те атайды. Дененің әрбір нүктесінде қозғалмайтын ось айналасында айналу радиусы өзгеріссіз қалады.

Нүктенің алгебралық жылдамдығы Мформуласымен анықталады v τ =s’=hφНүктелік жылдамдық модулі: v=hω(9)

Қозғалмайтын ось айналасында айналу кезінде дене нүктелерінің жылдамдықтары олардың осы оське дейінгі ең қысқа қашықтықтарына пропорционал.Пропорционалдық коэффициенті бұрыштық жылдамдық болып табылады. Нүктелердің жылдамдықтары траекторияларға жанамалар бойымен бағытталған, демек, айналу радиустарына перпендикуляр. Түзу кесіндіде орналасқан дене нүктелерінің жылдамдықтары ОМ,(9) тармағына сәйкес сызықтық заң бойынша бөлінеді. Олар өзара параллель және олардың ұштары айналу осінен өтетін бір түзуде орналасқан. Нүктенің үдеуін тангенциалды және қалыпты құраушыларға ыдыратамыз, яғни. a=a τ +a nτТангенциалды және қалыпты үдеулерді (10) формулалар арқылы есептейді.

өйткені шеңбер үшін қисықтық радиусы болады p=h(Cурет 17 ). Осылайша,

Нүктелердің жанама, қалыпты және толық үдеулері, сондай-ақ жылдамдықтар да сызықтық заң бойынша бөлінеді. Олар нүктелердің айналу осіне дейінгі арақашықтығына сызықты түрде тәуелді. Қалыпты үдеу шеңбердің радиусы бойымен айналу осіне қарай бағытталған. Тангенциалды үдеудің бағыты алгебралық бұрыштық үдеудің таңбасына байланысты. Сағат φ’>0 Және φ’’>0 немесе φ’<0 Және φ’<0 біз дененің жылдам айналуын және векторлардың бағыттарын алдық а τЖәне vсәйкестендіріңіз. Егер φ’ Және φ’" әртүрлі белгілері бар (баяу айналу), содан кейін а τЖәне vбір-біріне қарама-қарсы бағытталған.

Белгіленген α нүктенің толық үдеуі мен оның айналу радиусы арасындағы бұрыш, бізде бар

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

қалыпты үдеуден бері а бәрқашан позитивті. Бұрыш Адененің барлық нүктелері үшін бірдей. Оны қатты дененің айналу бағытына қарамастан, бұрыштық үдеу доғасының көрсеткісі бағытында үдеуден айналу радиусына дейін кейінге қалдыру керек.

Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторлары

Дененің бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуі векторлары ұғымдарын енгізейік. Егер TOоң бағытқа бағытталған айналу осінің бірлік векторы, содан кейін бұрыштық жылдамдық векторлары ώ және бұрыштық үдеу ε (12) өрнектермен анықталады

Өйткені кшамасы мен бағыты бойынша векторлық константа болса, онда (12)-ден мынаны шығады

ε=dώ/dt(13)

Сағат φ’>0 Және φ’’>0 векторлық бағыттар ώ Және ε сәйкестендіріңіз. Олардың екеуі де айналу осінің оң жағына бағытталған Оз(18.а-сурет)Егер φ’>0 Және φ’’<0 , содан кейін олар қарама-қарсы бағытта бағытталған (18.б-сурет ). Бұрыштық үдеу векторы үдетілген айналу кезінде бұрыштық жылдамдық векторымен бағытта сәйкес келеді және баяу айналу кезінде оған қарама-қарсы болады. Векторлар ώ Және ε айналу осінің кез келген нүктесінде бейнеленуі мүмкін. Олар қозғалыстағы векторлар. Бұл қасиет дене нүктелерінің жылдамдықтары мен үдеулерінің векторлық формулаларынан туындайды.

Күрделі нүкте қозғалысы

Негізгі ұғымдар

Қатты дене қозғалысының кейбір күрделі түрлерін зерттеу үшін нүктенің ең қарапайым күрделі қозғалысын қарастырған жөн. Көптеген есептерде нүктенің қозғалысы бір-біріне қатысты қозғалатын екі (немесе одан да көп) тірек жүйелеріне қатысты қарастырылуы керек. Осылайша, Айға қарай қозғалатын ғарыш аппаратының қозғалысын бір мезгілде Жерге қатысты да, Жерге қатысты қозғалатын Айға қатысты да қарастыру керек. Нүктенің кез келген қозғалысын бірнеше қозғалыстардан тұратын күрделі деуге болады. Мысалы, кеменің Жерге қатысты өзен бойымен қозғалысын су бойымен және ағып жатқан сумен бірге қозғалыстан тұратын күрделі деп санауға болады.

Қарапайым жағдайда нүктенің күрделі қозғалысы салыстырмалы және трансляциялық қозғалыстардан тұрады. Осы қозғалыстарды анықтайық. Бір-біріне қатысты қозғалатын екі анықтамалық жүйе болсын. Осы жүйелердің бірі болса O l x 1 y 1 z 1(Cурет 19 ) негізгі немесе стационарлық ретінде қабылданады (оның басқа эталондық жүйелерге қатысты қозғалысы ескерілмейді), содан кейін екінші эталондық жүйе Oxyzбіріншісіне қатысты қозғалады. Нүктенің қозғалатын анықтамалық жүйеге қатысты қозғалысы Oxyzшақырды туыс.Бұл қозғалыстың траектория, жылдамдық және үдеу сияқты сипаттамалары деп аталады туыс.Олар r индексімен белгіленеді; жылдамдық пен үдеу үшін v r, a r.Нүктенің негізгі немесе бекітілген жүйе анықтамалық жүйесіне қатысты қозғалысы O 1 x 1 y 1 z 1шақырды абсолютті(немесе күрделі ). Оны кейде деп те атайды құрамақозғалыс. Бұл қозғалыстың траекториясы, жылдамдығы және үдеуі абсолютті деп аталады. Абсолюттік қозғалыстың жылдамдығы мен үдеуі әріптермен белгіленеді v, aиндекстер жоқ.

Нүктенің тасымалданатын қозғалысы - бұл қарастырылып отырған уақытта осы жүйеге қатаң бекітілген нүкте ретінде қозғалатын тірек жүйесімен бірге жасайтын қозғалысы. Салыстырмалы қозғалыстың арқасында әртүрлі уақытта қозғалатын нүкте дененің әртүрлі нүктелерімен сәйкес келеді S,оған жылжымалы анықтамалық жүйе бекітілген. Портативті жылдамдық пен портативті жеделдету дененің сол нүктесінің жылдамдығы мен үдеуі болып табылады S,онымен қазіргі уақытта қозғалатын нүкте сәйкес келеді. Портативті жылдамдық пен үдеу білдіреді v e, a e.

Дененің барлық нүктелерінің траекториялары болса S,суретте (20-сурет) бейнеленген қозғалмалы анықтамалық жүйеге бекітілген, содан кейін біз сызықтар тобын аламыз - нүктенің жылжымалы қозғалысының траекториялар тобын М.Нүктенің салыстырмалы қозғалысына байланысты Муақыттың әр сәтінде ол портативті қозғалыс траекторияларының бірінде болады. Нүкте Мосы портативті траекториялар тобының траекторияларының әрқайсысында бір ғана нүктемен сәйкес келуі мүмкін. Осыған байланысты кейде портативті қозғалыстың траекториялары жоқ деп есептейді, өйткені сызықтарды портативті қозғалыс траекториялары ретінде қарастыру қажет, ол үшін тек бір нүкте шын мәнінде траекторияның нүктесі болып табылады.

Нүктенің кинематикасында нүктенің кез келген тірек жүйесіне қатысты қозғалысы, бұл анықтамалық жүйе басқа жүйелерге қатысты қозғалатынына немесе қозғалмайтынына қарамастан зерттелді. Бұл зерттеуді салыстырмалы және бейнелі қозғалыстан тұратын қарапайым жағдайда күрделі қозғалысты қарастыру арқылы толықтырайық. Бір және бірдей абсолютті қозғалыс, әртүрлі қозғалатын анықтамалық жүйені таңдай отырып, әртүрлі тасымалданатын және сәйкесінше салыстырмалы қозғалыстардан тұрады деп санауға болады.

Жылдамдықты қосу

Егер осы нүктенің салыстырмалы және тасымалданатын қозғалыстарының жылдамдықтары белгілі болса, нүктенің абсолютті қозғалысының жылдамдығын анықтайық. Нүкте Oxyz санақ жүйесіне қатысты бір ғана салыстырмалы қозғалыс жасасын және t уақыт моментінде салыстырмалы қозғалыс траекториясында М позициясын алсын (20-сурет). t+ t уақытында салыстырмалы қозғалысқа байланысты нүкте салыстырмалы қозғалыс траекториясы бойымен MM 1 жылжытып, М 1 күйінде болады. Нүкте қатысы бар деп есептейік Oxyzжәне салыстырмалы траекториямен ол кейбір қисық бойымен қозғалады ММ 2.Егер нүкте салыстырмалы және тасымалданатын қозғалыстарға бір мезгілде қатысса, онда А уақытында; ол көшеді MM"абсолютті қозғалыс траекториясы бойынша және уақыт моментінде t+ Atорнын алады М».Уақыт болса Сағатаз, содан кейін шегіне барыңыз кезінде,нөлге ұмтылатын болса, қисық сызықтар бойындағы кішігірім жылжуларды хордалардың сегменттерімен алмастыруға және орын ауыстыру векторлары ретінде алуға болады. Вектордың орын ауыстыруларын қоссақ, аламыз

Осыған байланысты, нөлге ұмтылатын жоғары дәрежелі шағын мөлшерлер жойылады кезінде,нөлге ұмтылады. Бізде шегіне дейін (14)

Сондықтан (14) (15) пішінін қабылдайды.

Жылдамдықты қосу теоремасы алынды: нүктенің абсолютті қозғалысының жылдамдығы осы нүктенің тасымалданатын және салыстырмалы қозғалыстарының жылдамдықтарының векторлық қосындысына тең.Жалпы жағдайда тасымалданатын және салыстырмалы қозғалыстардың жылдамдықтары перпендикуляр болмағандықтан, (15’)

Қатысты ақпарат.

Күріш. 6.4

Кез келген екі нүктесі болатын дененің мұндай қозғалысы (АЖәне INсуретте. 6.4) қозғалмайтын ось айналасында айналу деп аталатын қозғалыссыз қалады.

Бұл жағдайда нүктелерді қосатын түзу бойында жатқан дененің кез келген нүктесі қозғалыссыз қалатынын көрсетуге болады. Әй В.

Осы нүктелер арқылы өтетін ось деп аталады айналу осіоргандар; оның оң бағыты ерікті түрде таңдалады (6.4-сурет).

Кез келген нүкте Майналу осінде жатпайтын дене шеңберді сипаттайды, оның центрі айналу осінде орналасқан (6.4-сурет).

Айналу осі бекітілген дене қалпы z(6.5-сурет) бір ғана скаляр параметрін пайдаланып сипаттауға болады - айналу бұрышы (р. Бұл айналу осі арқылы жүргізілген екі жазықтықтың арасындағы бұрыш: қозғалмайтын жазықтық Нжәне ұялы - R,корпусқа қатты жалғанған (6.5-сурет). Бұрыштың анықтамалық бағытын оң деп қабылдаймыз осьтің соңынан қарағанда сағат тілімен қозғалысқа қарама-қарсы z.(6.5-суретте доға көрсеткісімен көрсетілген). Бұрыштың SI өлшем бірлігі 1 радиан « 57,3°. Айналу бұрышының уақытқа функционалдық тәуелділігі

қозғалмайтын ось айналасындағы дененің айналу қозғалысын толығымен анықтайды. Сондықтан (6.3) теңдігі қатты дененің қозғалмайтын ось айналасында айналу теңдеуі деп аталады.

Дененің айналу жылдамдығы бұрыштық жылдамдықпен сипатталады біргеуақыт бойынша айналу бұрышының туындысы ретінде анықталған дене

және өлшемі rad/s (немесе s"") бар.

Айналмалы қозғалыстың екінші кинематикалық сипаттамасы бұрыштық үдеу – дененің бұрыштық жылдамдығының туындысы:

Бұрыштық үдеу өлшемі рад/с 2 (немесе бірге~ 2).

Пікір.Рәміздер және? Восы лекцияның тақырыбы белгіленді алгебралықбұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу мәндері. Олардың белгілері айналу бағытын және оның сипатын көрсетеді (тездетілген немесе баяулаған). Мысалы, егер бірге = f> 0, содан кейін бұрыш (Руақыт өткен сайын артады, демек, дене сілтеме бағытында айналады (Р.

Айналмалы дененің әрбір нүктесінің жылдамдығы мен үдеуі оның бұрыштық жылдамдығымен және бұрыштық үдеуімен оңай байланысты болуы мүмкін. Ерікті нүктенің қозғалысын қарастырайық Мденелер (6.6-сурет).

Оның траекториясы шеңбер болғандықтан, нүктенің доға координатасы.9 Мденені бұрышпен айналдырғаннан кейін ерік

Қайда h- нүктеден қашықтық Майналу осіне (6.6-сурет).

Осы теңдіктің екі жағын уақыт бойынша ажырата отырып, (5.14) және (6.4) ескере отырып, аламыз:

мұндағы g g – доғаның тірек нүктесіне және бұрышқа бағытталған g жанамаға нүкте жылдамдығының проекциясы.

Нүктенің қалыпты үдеуінің шамасы М(5.20) және (6.6) сәйкес болады

және оның тангенциалды үдеуінің (5.19) және (6.5) сәйкес r жанамаға проекциясы.

Толық нүктелік жеделдету модулі М

v векторларының бағыттары, а, а„, а,болған жағдайда f> 0 және f > 0 суретте көрсетілген. 6.7.

Мысал 1. Беріліс механизмі бір нүктеде қосылған дөңгелектерден / және 2 тұрады TOсондықтан олар айналған кезде өзара сырғанау болмайды. Дөңгелектің айналу теңдеуі 1:

оң бұрыштың анықтамалық бағыты (Рсуреттегі доға көрсеткімен көрсетілген. 6.8.

Механизмнің өлшемдері белгілі: Г= 4 см, R2= 6 см, g 2 = 2 см.

Нүктенің жылдамдығы мен үдеуін табыңыз Мдөңгелектер 2 уақыт моменті үшін /| = 2 с.

Шешім.Доңғалақ механизмі қозғалған кезде 1 және 2 нүктелер арқылы өтетін қозғалмайтын осьтер айналасында айналады 0 Және 0 2 сурет жазықтығына перпендикуляр. 6.8. Дөңгелектің бұрыштық жылдамдығын және бұрыштық үдеуін табу Iуақытында / = 2 с, осы шамалардың жоғарыдағы (6.4) және (6.5) анықтамаларын пайдалана отырып:

Олардың теріс белгілері осы уақытты көрсетеді т- 2 с доңғалақ / сағат тілімен айналады (бұрышты оқу бағытына қарама-қарсы (Р) және бұл айналу жеделдетілген. Дөңгелектің өзара сырғанауының болмауына байланысты Iжәне олардың жанасу нүктесіндегі нүктелерінің 2 жылдамдық векторы TOтең болуы керек. Бұл жылдамдықтың шамасын дөңгелектердің бұрыштық жылдамдықтары арқылы (6.6) өрнектеп көрейік:

Соңғы теңдіктен 2-дөңгелектің бұрыштық жылдамдығының модулін өрнектеп, оның берілген 6 = 2 с уақыт моменті үшін мәнін табамыз:

Жылдамдық бағыты Кімге(6.9-сурет) 2-дөңгелектің сағат тіліне қарсы айналатынын көрсетеді, демек, о> 0. (6.10) және соңғы теңсіздіктен доңғалақтардың бұрыштық жылдамдықтары тұрақты теріс коэффициентпен ерекшеленетіні анық (- g1g 2): 2 = арқылы g (/г 2). Бірақ содан кейін бұл жылдамдықтардың туындылары - дөңгелектердің бұрыштық үдеулері - бірдей фактормен ерекшеленуі керек: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4с~ 2 .

Нүктенің жылдамдығы мен үдеуін табу М(6.6) - (6.9) формулалары арқылы сатылы дөңгелек 2:

v және, a, d/ векторларының бағыттары суретте көрсетілген. 6.9.