Ენის გასატეხები

ლოგარითმული გამონათქვამების მაგალითები. ლოგარითმების ძირითადი თვისებები. ლოგარითმების ფორმულები. ლოგარითმის ამოხსნის მაგალითები

ამოცანა B7 იძლევა გამოხატულებას, რომელიც გამარტივებას საჭიროებს. შედეგი უნდა იყოს ჩვეულებრივი რიცხვი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს პასუხების ფურცელზე. ყველა გამონათქვამი პირობითად იყოფა სამ ტიპად:

ლოგარითმული,
დემონსტრაცია,
კომბინირებული.

ექსპონენციალური და ლოგარითმული გამონათქვამები მათი სუფთა სახით თითქმის არ არის ნაპოვნი. თუმცა, აუცილებელია იმის ცოდნა, თუ როგორ ხდება მათი გაანგარიშება.

ზოგადად, პრობლემა B7 მოგვარებულია საკმაოდ მარტივად და საკმაოდ საშუალო კურსდამთავრებულის ძალაშია. მკაფიო ალგორითმების ნაკლებობა კომპენსირდება მისი სტანდარტით და ერთგვაროვნებით. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ როგორ მოაგვაროთ ასეთი პრობლემები უბრალოდ ბევრი ტრენინგის საშუალებით.

ლოგარითმული გამონათქვამები

B7 ამოცანების დიდი უმრავლესობა შეიცავს ლოგარითმებს ამა თუ იმ ფორმით. ეს თემა ტრადიციულად რთულად არის მიჩნეული, ვინაიდან მას ჩვეულებრივ მე-11 კლასში სწავლობენ - დასკვნითი გამოცდებისთვის მასობრივი მომზადების ეპოქაში. შედეგად, ბევრ კურსდამთავრებულს აქვს ძალიან ბუნდოვანი წარმოდგენა ლოგარითმების შესახებ.

მაგრამ ამ ამოცანაში არავის სჭირდება ღრმა თეორიული ცოდნა. ჩვენ შევხვდებით მხოლოდ უმარტივეს გამონათქვამებს, რომლებიც საჭიროებენ პირდაპირ მსჯელობას და შეიძლება დამოუკიდებლად აითვისონ. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები, რომლებიც უნდა იცოდეთ ლოგარითმებთან გამკლავებისთვის:

გარდა ამისა, ადამიანს უნდა შეეძლოს ფესვებისა და წილადების ძალებით ჩანაცვლება რაციონალური მაჩვენებლით, წინააღმდეგ შემთხვევაში ზოგიერთ გამონათქვამში უბრალოდ არაფერი იქნება ამოღებული ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ჩანაცვლების ფორმულები:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობები:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

პირველი ორი გამონათქვამი გარდაიქმნება ლოგარითმების სხვაობის სახით:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

მესამე გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა აირჩიოთ გრადუსები - როგორც ბაზაში, ასევე არგუმენტში. პირველი, მოდით ვიპოვოთ შიდა ლოგარითმი:

შემდეგ - გარე:

კონსტრუქციები, როგორიცაა log a log b x, ბევრისთვის რთული და გაუგებარი ჩანს. იმავდროულად, ეს მხოლოდ ლოგარითმის ლოგარითმია, ე.ი. log a (log b x). ჯერ გამოითვლება შიდა ლოგარითმი (დასვით log b x = c ), შემდეგ კი გარე: log a c .

ექსპონენციალური გამონათქვამები

ექსპონენციალურ გამოსახულებას დავარქმევთ k ფორმის ნებისმიერ კონსტრუქციას, სადაც a და k რიცხვები თვითნებური მუდმივებია და a > 0. ასეთ გამოსახულებებთან მუშაობის მეთოდები საკმაოდ მარტივია და განიხილება მე-8 კლასის ალგებრის გაკვეთილებზე.

ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები, რომლებიც უნდა იცოდეთ. ამ ფორმულების პრაქტიკაში გამოყენება, როგორც წესი, არ იწვევს პრობლემებს.

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n − m;
(a n) m = a n m;
(ა ბ) n = a n b n;
(a : b ) n = a n : b n .

თუ შეგხვდებათ კომპლექსური გამოხატულება ძალებით და გაუგებარია როგორ მივუდგეთ მას, გამოიყენება უნივერსალური ტექნიკა - დაშლა პირველ ფაქტორებად. შედეგად, გრადუსების საფუძვლებში დიდი რიცხვები იცვლება მარტივი და გასაგები ელემენტებით. შემდეგ რჩება მხოლოდ ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენება - და პრობლემა მოგვარდება.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობები: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

გამოსავალი. ჩვენ ვანაწილებთ ძალაუფლების ყველა საფუძველს მთავარ ფაქტორებად:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

კომბინირებული დავალებები

თუ თქვენ იცით ფორმულები, მაშინ ყველა ექსპონენციალური და ლოგარითმული გამონათქვამი წყდება სიტყვასიტყვით ერთ სტრიქონში. თუმცა, პრობლემა B7-ში ძალები და ლოგარითმები შეიძლება გაერთიანდეს საკმაოდ ძლიერი კომბინაციების შესაქმნელად.

სექციები: მათემატიკა

გაკვეთილის ტიპი:ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი

მიზნები:

განაახლოს სტუდენტების ცოდნა ლოგარითმებისა და მათი თვისებების შესახებ განზოგადებული გამეორებისა და გამოცდისთვის მომზადების ფარგლებში;
ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარებას, სავარჯიშოების შესრულებისას თეორიული ცოდნის გამოყენების უნარ-ჩვევებს;
ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა პიროვნული თვისებების განვითარებას, თვითკონტროლის უნარებს და მათი საქმიანობის თვითშეფასებას; განავითარეთ შრომისმოყვარეობა, მოთმინება, შეუპოვრობა, დამოუკიდებლობა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, პრეზენტაცია (დანართი 1), ბარათები საშინაო დავალებით (შეგიძლიათ დაურთოთ ფაილი დავალება ელექტრონულ დღიურში).

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი. გამარჯობა, მოემზადეთ გაკვეთილისთვის.

II. საშინაო დავალების განხილვა.

III. შეტყობინება გაკვეთილის თემისა და მიზნის შესახებ. Მოტივაცია.(სლაიდი 1) პრეზენტაცია.

ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკის კურსის განზოგადებულ გამეორებას გამოცდისთვის მოსამზადებლად. დღეს კი გაკვეთილზე ვისაუბრებთ ლოგარითმებზე და მათ თვისებებზე.

ლოგარითმების გამოთვლისა და ლოგარითმული გამონათქვამების ტრანსფორმაციის ამოცანები აუცილებლად წარმოდგენილია როგორც ძირითადი, ისე პროფილის დონის საკონტროლო და საზომ მასალებში. ამიტომ, ჩვენი გაკვეთილის მიზანია აღვადგინოთ იდეები „ლოგარითმის“ ცნების მნიშვნელობის შესახებ და ლოგარითმული გამონათქვამების გარდაქმნის უნარების განახლება. ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა რვეულებში.

IV. ცოდნის განახლება.

1. /ზეპირად/ჯერ გავიხსენოთ რას ჰქვია ლოგარითმი. (სლაიდი 2)

(დადებითი b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე (სადაც a > 0, a? 1) არის მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა აწიოთ რიცხვი a, რომ მიიღოთ რიცხვი b)

შესვლა a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

ასე რომ, "LOGARIFM" არის "ექსპონენტი"!

(სლაიდი 3) შემდეგ a n = b შეიძლება გადაიწეროს როგორც = b არის მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თუ საფუძველი a \u003d 10, მაშინ ლოგარითმს ეწოდება ათობითი და აღინიშნება lgb.

თუ a \u003d e, მაშინ ლოგარითმს ეწოდება ბუნებრივი და აღინიშნება lnb.

2. /დაწერილი/ (სლაიდი 4)შეავსეთ ხარვეზები სწორი ტოლობის მისაღებად:

ჟურნალი? x + შესვლა a ? = ჟურნალი? (? y)

შესვლა ? - ჟურნალი? y = ჟურნალი? (x/?)

შესვლა x ? = pLog? (?)

გამოცდა:

ერთი; ერთი; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

ეს არის ლოგარითმების თვისებები. და თვისებების კიდევ ერთი ჯგუფი: (სლაიდი 5)

გამოცდა:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a, x, b; ა, 1, ბ.

V. ზეპირი ნაშრომი

(სლაიდი 6) No1. გამოთვალეთ:

ა ბ გ დ) ; ე) .

პასუხები : ა) 4; ბ) - 2; 2-ში; დ) 7; ე) 27.

(სლაიდი 7) No2. იპოვე X:

ა) ; ბ) (პასუხები: ა) 1/4; ბ) 9).

No3. აქვს თუ არა აზრი ასეთი ლოგარითმის განხილვას:

ა) ; ბ) ; ვ)? (არა)

VI. დამოუკიდებელი მუშაობაჯგუფებში, ძლიერი სტუდენტები - კონსულტანტები. (სლაიდი 8)

#1 გამოთვალეთ: .

#2 გამარტივება:

No 3. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა თუ

#4 გაამარტივე გამოთქმა:

#5 გამოთვალეთ:

#6 გამოთვალეთ:

#7 გამოთვალეთ:

#8 გამოთვალეთ:

დასრულების შემდეგ - გადამოწმება და განხილვა მომზადებულ ხსნარზე ან დოკუმენტის კამერის დახმარებით.

VII. გაზრდილი სირთულის ამოცანის ამოხსნა(დაფაზე ძლიერი მოსწავლეა, დანარჩენი რვეულებში) (სლაიდი 9)

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

VIII. Საშინაო დავალება(ბარათებზე) დიფერენცირებული.(სლაიდი 10)

No1. გამოთვალეთ:

No2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

F.F. ლისენკო და სხვები. მათემატიკა. თემატური ტესტები 10 - 11 კლასები. ნაწილი 1 / დონის როსტოვი: „ლეგიონი“, 2008 წ

VV Kochagin ინტენსიური ვარჯიში. გამოიყენეთ მათემატიკა. / M: “Eksmo”, 2008 წ

ინტერნეტ რესურსები:

ლ.ვ. არტამონოვა, მათემატიკის მასწავლებელი, მოსკალენსკის ლიცეუმის პრეზენტაცია "ლოგარითმების ქვეყანაში"
A.A. კუკშევა, მემორანდუმი "ეგორიევსკაიას საშუალო სკოლა" პრეზენტაცია "ლოგარითმები და მათი თვისებები"

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაქმნას ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

ეს წესები უნდა იყოს ცნობილი - მათ გარეშე სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეიძლება. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

ჟურნალი ა x+ლოგი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

ამრიგად, ლოგარითმების ჯამი უდრის ნამრავლის ლოგარითმს, ხოლო სხვაობა არის კოეფიციენტის ლოგარითმი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: აქ მთავარია - იგივე საფუძველი. თუ საფუძვლები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი " რა არის ლოგარითმი"). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
ჟურნალი 2 48 - ჟურნალი 2 3 = ჟურნალი 2 (48: 3) = ჟურნალი 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ და ისევ, საფუძვლები იგივეა, ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ განიხილება. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ საკმაოდ ნორმალური რიცხვები გამოდის. ამ ფაქტს ეფუძნება მრავალი ტესტი. დიახ, კონტროლი - გამოცდაზე შემოთავაზებულია მსგავსი გამონათქვამები მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ - პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე).

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ არის ხარისხი ლოგარითმის ფუძეში ან არგუმენტში? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი მათ პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ მაინც სჯობს დაიმახსოვროთ – ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ დაცულია ODZ ლოგარითმი: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანამდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ ხარისხს არგუმენტში პირველი ფორმულის მიხედვით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
[სურათის წარწერა]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი არის ლოგარითმი, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 72. Ჩვენ გვაქვს:

[სურათის წარწერა]

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი საჭიროებს გარკვევას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. მათ იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი გრადუსების სახით წარმოადგინეს და ინდიკატორები ამოიღეს - მიიღეს „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველს და მნიშვნელს ერთი და იგივე რიცხვი აქვთ: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი არის პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ ბაზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. ჩვენ ვაყალიბებთ მათ თეორემის სახით:

დაე, ლოგარითმი დარეგისტრირდეს ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:
[სურათის წარწერა]
კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:
[სურათის წარწერა]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შესაძლებელია ლოგარითმის ფუძისა და არგუმენტის გაცვლა, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი არის მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. შესაძლებელია შეაფასოთ რამდენად მოსახერხებელია ისინი მხოლოდ გადაწყვეტილების მიღებისას ლოგარითმული განტოლებებიდა უთანასწორობები.

თუმცა არის ამოცანები, რომელთა გადაჭრაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. განვიხილოთ რამდენიმე მათგანი:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები ზუსტი მაჩვენებლებია. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა გადავატრიალოთ მეორე ლოგარითმი:

[სურათის წარწერა]

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი და შემდეგ გავარკვიეთ ლოგარითმები.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით ჩამოვწეროთ და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

[სურათის წარწერა]

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

[სურათის წარწერა]

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში საჭიროა რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ფუძეზე. ამ შემთხვევაში ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტის გამომხატველი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. მას ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

მართლაც, რა მოხდება, თუ ნომერი ბძალაუფლებაზე აყვანა ისე, რომ ბამ ზომით იძლევა რიცხვს ა? მართალია: ეს იგივე რიცხვია ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - მასზე ბევრი ადამიანი "ჰკიდია".

ახალი ბაზის კონვერტაციის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
[სურათის წარწერა]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ ამოიღო კვადრატი ფუძიდან და ლოგარითმის არგუმენტი. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

[სურათის წარწერა]

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო ნამდვილი დავალება გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელია უწოდო თვისებები - უფრო მეტიც, ეს არის შედეგები ლოგარითმის განმარტებიდან. ისინი გამუდმებით პრობლემებში ხვდებიან და რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე აამ ფუძიდან თავად უდრის ერთს.
ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი ერთია, ლოგარითმი არის ნული! რადგან ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

ლოგარითმის მისაღები დიაპაზონი (ODZ).

ახლა მოდით ვისაუბროთ შეზღუდვებზე (ODZ - ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი).

გვახსოვს, რომ, მაგალითად, კვადრატული ფესვის აღება უარყოფითი რიცხვებიდან არ შეიძლება; ან თუ გვაქვს წილადი, მაშინ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი. მსგავსი შეზღუდვები არსებობს ლოგარითმებისთვის:

ანუ არგუმენტიც და ფუძეც ნულზე მეტი უნდა იყოს და ბაზა არ შეიძლება იყოს ტოლი.

Რატომ არის, რომ?

დავიწყოთ მარტივად: ვთქვათ. მაშინ, მაგალითად, რიცხვი არ არსებობს, რადგან რაც არ უნდა ავამაღლოთ ხარისხი, ყოველთვის გამოდის. უფრო მეტიც, ის არ არსებობს არც ერთისთვის. მაგრამ ამავე დროს ის შეიძლება იყოს ყველაფრის ტოლი (იმავე მიზეზის გამო - უდრის ნებისმიერ ხარისხს). მაშასადამე, ობიექტი არანაირ ინტერესს არ იწვევს და ის უბრალოდ მათემატიკიდან გადმოაგდეს.

ანალოგიური პრობლემა გვაქვს საქმეშიც: ნებისმიერი დადებითი ხარისხით - ეს, მაგრამ მისი აწევა უარყოფით ხარისხზე საერთოდ არ შეიძლება, რადგან ნულზე გაყოფა მოჰყვება (შეგახსენებთ).

როცა წილადის ხარისხამდე აწევის პრობლემის წინაშე ვდგავართ (რომელიც წარმოდგენილია ფესვის სახით:. მაგალითად, (ანუ), მაგრამ არ არსებობს.

ამიტომ, ნეგატიური მიზეზების გადაყრა უფრო ადვილია, ვიდრე მათთან არეულობა.

კარგი, ვინაიდან a ფუძე ჩვენთვის მხოლოდ დადებითია, მაშინ რაც არ უნდა ავამაღლოთ ის, ყოველთვის მივიღებთ მკაცრად დადებით რიცხვს. ასე რომ, არგუმენტი დადებითი უნდა იყოს. მაგალითად, ის არ არსებობს, რადგან ის არავითარ შემთხვევაში არ იქნება უარყოფითი რიცხვი (და თუნდაც ნული, ამიტომ არც არსებობს).

ლოგარითმებთან დაკავშირებული პრობლემების დროს, პირველი ნაბიჯი არის ODZ-ის ჩაწერა. მაგალითს მოვიყვან:

მოდი ამოვხსნათ განტოლება.

გავიხსენოთ განმარტება: ლოგარითმი არის ძალა, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ბაზა არგუმენტის მისაღებად. პირობით კი ეს ხარისხი უდრის: .

ვიღებთ ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებას: . ჩვენ ვხსნით მას ვიეტას თეორემის გამოყენებით: ფესვების ჯამი ტოლია და ნამრავლი. ადვილად აღება, ეს არის რიცხვები და.

მაგრამ თუ თქვენ დაუყოვნებლივ აიღებთ და ჩაწერთ ორივე რიცხვს პასუხში, შეგიძლიათ მიიღოთ 0 ქულა დავალებისთვის. რატომ? მოდით დავფიქრდეთ რა მოხდება, თუ ამ ფესვებს საწყის განტოლებაში ჩავანაცვლებთ?

ეს აშკარად მცდარია, რადგან საფუძველი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ანუ ფესვი არის "მესამე მხარე".

ასეთი უსიამოვნო ხრიკების თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ODZ განტოლების ამოხსნის დაწყებამდეც კი:

შემდეგ, ფესვების მიღების შემდეგ, ჩვენ მაშინვე ვაშორებთ ფესვს და ვწერთ სწორ პასუხს.

მაგალითი 1(შეეცადე თავად მოაგვარო) :

იპოვეთ განტოლების ფესვი. თუ რამდენიმე ფესვია, თქვენს პასუხში მიუთითეთ უფრო მცირე.

გამოსავალი:

უპირველეს ყოვლისა, მოდით დავწეროთ ODZ:

ახლა ჩვენ გვახსოვს რა არის ლოგარითმი: რა ძალამდე გჭირდებათ ბაზის ამაღლება არგუმენტის მისაღებად? მეორეში. ანუ:

როგორც ჩანს, პატარა ფესვი ტოლია. მაგრამ ეს ასე არ არის: ODZ-ის მიხედვით, ფესვი მესამე მხარეა, ანუ ის საერთოდ არ არის ამ განტოლების ფესვი. ამრიგად, განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი: .

პასუხი: .

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტება ზოგადი ტერმინებით:

ჩაანაცვლეთ მეორე ტოლობაში ლოგარითმის ნაცვლად:

ამ თანასწორობას ე.წ ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა. თუმცა არსებითად ეს თანასწორობა უბრალოდ სხვაგვარად არის დაწერილი ლოგარითმის განმარტება:

ეს არის ძალა, რომლის ამაღლებაც გჭირდებათ.

Მაგალითად:

ამოხსენით შემდეგი მაგალითები:

მაგალითი 2

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

გამოსავალი:

გაიხსენეთ წესი განყოფილებიდან: ანუ, ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ინდიკატორები მრავლდება. მოდით გამოვიყენოთ:

მაგალითი 3

დაამტკიცე რომ.

გამოსავალი:

ლოგარითმების თვისებები

სამწუხაროდ, ამოცანები ყოველთვის ასე მარტივი არ არის - ხშირად ჯერ საჭიროა გამოხატვის გამარტივება, ჩვეულ ფორმამდე მიყვანა და მხოლოდ ამის შემდეგ იქნება შესაძლებელი მნიშვნელობის გამოთვლა. ამის გაკეთება ყველაზე ადვილია იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები. მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებები. თითოეულ მათგანს დავამტკიცებ, რადგან ნებისმიერი წესი უფრო ადვილი დასამახსოვრებელია, თუ იცი საიდან მოდის.

ყველა ეს თვისება უნდა გვახსოვდეს; მათ გარეშე, ლოგარითმებთან დაკავშირებული პრობლემების უმეტესობა ვერ გადაიჭრება.

ახლა კი ლოგარითმების ყველა თვისების შესახებ უფრო დეტალურად.

საკუთრება 1:

მტკიცებულება:

მოდით, მაშინ.

გვაქვს: , h.t.d.

თვისება 2: ლოგარითმების ჯამი

ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმს: .

მტკიცებულება:

მოდით, მაშინ. მოდით, მაშინ.

მაგალითი:იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: .

გამოსავალი:.

ფორმულა, რომელიც ახლახან ისწავლეთ, გეხმარებათ ლოგარითმების ჯამის გამარტივებაში და არა განსხვავებაში, ასე რომ ამ ლოგარითმების დაუყოვნებლივ გაერთიანება შეუძლებელია. მაგრამ შეგიძლიათ პირიქით გააკეთოთ - პირველი ლოგარითმი „გატეხეთ“ ორად: და აი დაპირებული გამარტივება:
.
რატომ არის ეს საჭირო? კარგად, მაგალითად: რა მნიშვნელობა აქვს?

ახლა აშკარაა, რომ.

ახლა გაუადვილეთ თავს:

Დავალებები:

პასუხები:

თვისება 3: ლოგარითმების სხვაობა:

მტკიცებულება:

ყველაფერი ზუსტად იგივეა, რაც მე-2 პუნქტშია:

მოდით, მაშინ.

მოდით, მაშინ. Ჩვენ გვაქვს:

მაგალითი ბოლო წერტილიდან ახლა კიდევ უფრო მარტივია:

უფრო რთული მაგალითი: . თავად გამოიცანით როგორ გადაწყვიტოთ?

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმების კვადრატის შესახებ ერთი ფორმულა არ გვაქვს. ეს არის რაღაც გამოხატვის მსგავსი - ამის გამარტივება მაშინვე შეუძლებელია.

მაშასადამე, მოდით გადავიდეთ ლოგარითმების ფორმულებიდან და ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელ ფორმულებს ვიყენებთ მათემატიკაში ყველაზე ხშირად? მე-7 კლასიდან მოყოლებული!

ეს -. უნდა შეეგუო იმას, რომ ყველგან არიან! და ექსპონენციალურ, ტრიგონომეტრიულ და ირაციონალურ ამოცანებში ისინი გვხვდება. ამიტომ, ისინი უნდა ახსოვდეს.

თუ ყურადღებით დავაკვირდებით პირველ ორ ტერმინს, ცხადი ხდება, რომ ეს ასეა კვადრატების განსხვავება:

პასუხი შესამოწმებლად:

გაიმარტივეთ თავი.

მაგალითები

პასუხები.