როგორ ამოხსნათ ბუნებრივი ლოგარითმის განტოლებები. ლოგარითმული განტოლება: ძირითადი ფორმულები და ტექნიკა. განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი
ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობამათემატიკაში USE ვარიანტებს ეთმობა ამოცანა C3 . თითოეულმა სტუდენტმა უნდა ისწავლოს როგორ ამოხსნას C3 ამოცანები მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან, თუ მას სურს მომავალი გამოცდის ჩაბარება, როგორც „კარგი“ ან „შესანიშნავი“. ეს სტატია გთავაზობთ მოკლე მიმოხილვას ჩვეულებრივ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების, აგრეთვე მათი ამოხსნის ძირითად მეთოდებზე.
მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს დღეს. ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები, რომლებიც შესთავაზეს სტუდენტებს გასული წლების მათემატიკაში USE ვარიანტებით. მაგრამ დაიწყეთ შემაჯამებელიძირითადი თეორიული პუნქტები, რომლებიც მათ გადასაჭრელად გვჭირდება.
ლოგარითმული ფუნქცია
განმარტება
ფუნქციის ნახვა
0,\, a\ne 1 \]" title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
დაურეკა ლოგარითმული ფუნქცია.
ძირითადი თვისებები
ლოგარითმული ფუნქციის ძირითადი თვისებები წ= ჟურნალი ნაჯახი:
ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი არის ლოგარითმული მრუდი:
ლოგარითმების თვისებები
პროდუქტის ლოგარითმიორი დადებითი რიცხვი უდრის ამ რიცხვების ლოგარითმების ჯამს:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
კოეფიციენტის ლოგარითმიორი დადებითი რიცხვი უდრის ამ რიცხვების ლოგარითმების სხვაობას:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
Თუ ადა ბ ა≠ 1, შემდეგ ნებისმიერი რიცხვისთვის რ სამართლიანი თანასწორობა:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
Თანასწორობაჟურნალი ა ტ= ჟურნალი ა ს, სად ა > 0, ა ≠ 1, ტ > 0, ს> 0 მართალია თუ და მხოლოდ თუ ტ = ს.
Თუ ა, ბ, გდადებითი რიცხვებია და ადა გგანსხვავდებიან ერთიანობისგან, შემდეგ თანასწორობისგან ( კონვერტაციის ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე):
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
თეორემა 1.Თუ ვ(x) > 0 და გ(x) > 0, შემდეგ ლოგარითმული განტოლების ჟურნალი ფ(x) = ჟურნალი გ(x) (სად ა > 0, ა≠ 1) განტოლების ტოლფასია ვ(x) = გ(x).
ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა
მაგალითი 1ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი.მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს მხოლოდ მათ x, რომლისთვისაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატული არის ნულზე მეტი. ეს მნიშვნელობები განისაზღვრება უტოლობების შემდეგი სისტემით:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
იმის გათვალისწინებით, რომ
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ჩვენ ვიღებთ ინტერვალს, რომელიც განსაზღვრავს ამ ლოგარითმული განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების ფართობს:
თეორემა 1-ზე დაყრდნობით, რომლის ყველა პირობა აქ დაკმაყოფილებულია, გადავდივართ შემდეგ ეკვივალენტურ კვადრატულ განტოლებაზე:
მხოლოდ პირველი ფესვი შედის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში.
პასუხი: x=7.
მაგალითი 2ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი.განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება უტოლობების სისტემით:
ql-right-eqno">
გამოსავალი.განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი ადვილად განისაზღვრება აქ: x > 0.
ჩვენ ვიყენებთ ჩანაცვლებას:
განტოლება იღებს ფორმას:
ზურგის შეცვლა:
ორივე პასუხიშეიყვანეთ განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონი, რადგან ისინი დადებითი რიცხვებია.
მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი.მოდით, კვლავ დავიწყოთ ამოხსნა განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. იგი განისაზღვრება უტოლობების შემდეგი სისტემით:
ql-right-eqno">
ლოგარითმების საფუძვლები იგივეა, ამიტომ სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონში შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემდეგ კვადრატულ განტოლებაზე:
პირველი ფესვი არ შედის განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში, მეორე შედის.
პასუხი: x = -1.
მაგალითი 5ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი.ჩვენ ვეძებთ გადაწყვეტილებებს ინტერვალში x > 0, x≠1. გადავიყვანოთ განტოლება ეკვივალენტად:
ორივე პასუხიგანტოლების დასაშვები მნიშვნელობების ფარგლებშია.
მაგალითი 6ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი.უტოლობების სისტემას, რომელიც განსაზღვრავს განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს, ამჯერად აქვს ფორმა:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ განტოლებას გარდაქმნით ეკვივალენტურ განტოლებად დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში:
ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
მხოლოდ ერთია დაშვებულ დიაპაზონში. პასუხი: x = 4.
მოდით გადავიდეთ ლოგარითმული უტოლობები . სწორედ ამას მოგიწევთ საქმე მათემატიკაში გამოცდაზე. შემდგომი მაგალითების ამოსახსნელად, ჩვენ გვჭირდება შემდეგი თეორემა:
თეორემა 2.Თუ ვ(x) > 0 და გ(x) > 0, შემდეგ:
ზე ა> 1 ლოგარითმული უტოლობის ჟურნალი a ვ(x) > ჟურნალი ა გ(x) უდრის იგივე მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) > გ(x);
0-ზე< ა < 1 логарифмическое неравенство log a ვ(x) > ჟურნალი ა გ(x) უდრის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობას: ვ(x) < გ(x).
მაგალითი 7ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი.დავიწყოთ უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. ლოგარითმული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ გამოხატულმა უნდა მიიღოს მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობები. ეს ნიშნავს, რომ მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი განისაზღვრება შემდეგი უტოლობების სისტემით:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ვინაიდან ლოგარითმის საფუძველი ერთზე ნაკლები რიცხვია, შესაბამისი ლოგარითმული ფუნქცია მცირდება და, შესაბამისად, თეორემა 2-ის მიხედვით, შემდეგ კვადრატულ უტოლობაზე გადასვლა ექვივალენტური იქნება:
საბოლოოდ, დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, ვიღებთ პასუხი:
მაგალითი 8ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი.დავიწყოთ ხელახლა მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების სიმრავლეზე ჩვენ ვახორციელებთ ეკვივალენტურ გარდაქმნებს:
თეორემა 2-ით უტოლობის ეკვივალენტზე შემცირებისა და გადასვლის შემდეგ მივიღებთ:
დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ საბოლოო პასუხი:
მაგალითი 9ლოგარითმული უტოლობის ამოხსნა:
გამოსავალი.უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი განისაზღვრება შემდეგი სისტემით:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
ჩანს, რომ დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონში, ლოგარითმის ფუძეზე გამოხატულება ყოველთვის ერთზე მეტია და, შესაბამისად, თეორემა 2-ის მიხედვით, შემდეგ უტოლობაზე გადასვლა ექვივალენტური იქნება:
მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის გათვალისწინებით, მივიღებთ საბოლოო პასუხს:
მაგალითი 10ამოხსენით უტოლობა:
გამოსავალი.
უთანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების ფართობი განისაზღვრება უტოლობების სისტემით:
Title="(!LANG:გადაყვანილია QuickLaTeX.com-ის მიერ">!}
მე გზა.მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის და გადავიდეთ უტოლობაზე, რომელიც ექვივალენტურია დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონში.
ამ ვიდეოთი ვიწყებ გაკვეთილების გრძელ სერიას ლოგარითმული განტოლებების შესახებ. ახლა თქვენ გაქვთ სამი მაგალითი ერთდროულად, რომლის საფუძველზეც ჩვენ ვისწავლით ყველაზე მეტად ამოხსნას მარტივი დავალებები, რომლებიც ე.წ პროტოზოები.
ჟურნალი 0.5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
შეგახსენებთ, რომ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება შემდეგია:
log a f(x) = b
მნიშვნელოვანია, რომ x ცვლადი იყოს მხოლოდ არგუმენტის შიგნით, ანუ მხოლოდ f(x) ფუნქციაში. ხოლო a და b რიცხვები მხოლოდ რიცხვებია და არავითარ შემთხვევაში არ არის x ცვლადის შემცველი ფუნქციები.
გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები
ასეთი სტრუქტურების გადაჭრის მრავალი გზა არსებობს. მაგალითად, სკოლაში მასწავლებლების უმეტესობა გვთავაზობს შემდეგს: დაუყოვნებლივ გამოხატეთ ფუნქცია f ( x ) ფორმულის გამოყენებით f( x) = ბ . ანუ, როდესაც შეხვდებით უმარტივეს კონსტრუქციას, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გადახვიდეთ გამოსავალზე დამატებითი ქმედებებისა და კონსტრუქციების გარეშე.
დიახ, რა თქმა უნდა, გადაწყვეტილება სწორი აღმოჩნდება. თუმცა, ამ ფორმულის პრობლემა ის არის, რომ სტუდენტების უმეტესობა ვერ გავიგე, საიდან მოდის და ზუსტად რატომ ვზრდით a ასოს b ასოზე.
შედეგად, მე ხშირად ვაკვირდები ძალიან შეურაცხმყოფელ შეცდომებს, როდესაც, მაგალითად, ეს ასოები ერთმანეთს ცვლის. ეს ფორმულა ან უნდა იყოს გაგებული ან დამახსოვრება, ხოლო მეორე მეთოდი იწვევს შეცდომებს ყველაზე შეუფერებელ და ყველაზე გადამწყვეტ მომენტებში: გამოცდებში, ტესტებში და ა.შ.
ამიტომ ყველა ჩემს მოსწავლეს ვთავაზობ, მიატოვონ სტანდარტული სასკოლო ფორმულა და გამოიყენონ მეორე მიდგომა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად, რომელსაც, როგორც სახელიდან ალბათ მიხვდით, ე.წ. კანონიკური ფორმა.
კანონიკური ფორმის იდეა მარტივია. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს ამოცანას: მარცხნივ გვაქვს log a , ხოლო ასო a ნიშნავს ზუსტად რიცხვს და არავითარ შემთხვევაში x ცვლადის შემცველ ფუნქციას. ამიტომ, ეს წერილი ექვემდებარება ყველა შეზღუდვას, რომელიც დაწესებულია ლოგარითმის საფუძველზე. კერძოდ:
1 ≠ a > 0
მეორეს მხრივ, იმავე განტოლებიდან ვხედავთ, რომ ლოგარითმი უნდა იყოს b რიცხვის ტოლი და ამ ასოზე არანაირი შეზღუდვა არ არის დაწესებული, რადგან მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა - დადებითიც და უარყოფითიც. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობებს იღებს ფუნქცია f(x).
და აქ ჩვენ გვახსოვს ჩვენი შესანიშნავი წესი, რომ ნებისმიერი b რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით a ბაზაში a-დან b-ის ხარისხამდე:
b = log a a b
როგორ გავიხსენოთ ეს ფორმულა? დიახ, ძალიან მარტივი. დავწეროთ შემდეგი კონსტრუქცია:
b = b 1 = b log a a
რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში, წარმოიქმნება ყველა ის შეზღუდვა, რაც თავიდანვე დავწერეთ. ახლა კი გამოვიყენოთ ლოგარითმის ძირითადი თვისება და შევიტანოთ b ფაქტორი a-ს ხარისხად. ჩვენ ვიღებთ:
b = b 1 = b log a a = log a a b
შედეგად, ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგი ფორმით:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Სულ ეს არის. ახალი ფუნქცია აღარ შეიცავს ლოგარითმს და წყდება სტანდარტული ალგებრული ტექნიკით.
რასაკვირველია, ახლა ვინმე გააპროტესტებს: რატომ იყო აუცილებელი რაიმე სახის კანონიკური ფორმულის გამომუშავება, რატომ უნდა შესრულდეს ორი დამატებითი არასაჭირო ნაბიჯი, თუ შესაძლებელი იყო დაუყოვნებლივ გადასვლა ორიგინალური კონსტრუქციიდან საბოლოო ფორმულამდე? დიახ, მხოლოდ იმიტომ, რომ სტუდენტების უმეტესობას არ ესმის, საიდან მოდის ეს ფორმულა და, შედეგად, რეგულარულად უშვებენ შეცდომებს მისი გამოყენებისას.
მაგრამ მოქმედებების ასეთი თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება სამი საფეხურისგან, საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ორიგინალური ლოგარითმული განტოლება, მაშინაც კი, თუ არ გესმით, საიდან მოდის ეს საბოლოო ფორმულა. სხვათა შორის, ამ ჩანაწერს ეწოდება კანონიკური ფორმულა:
log a f(x) = log a a b
კანონიკური ფორმის მოხერხებულობა ასევე მდგომარეობს იმაში, რომ მისი გამოყენება შესაძლებელია ლოგარითმული განტოლებების ძალიან ფართო კლასის გადასაჭრელად და არა მხოლოდ უმარტივესთათვის, რომლებსაც დღეს განვიხილავთ.
გადაწყვეტის მაგალითები
ახლა მოდით შევხედოთ რეალურ მაგალითებს. ასე რომ გადავწყვიტოთ:
ჟურნალი 0.5 (3x - 1) = -3
გადავიწეროთ ასე:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
ბევრი სტუდენტი ჩქარობს და ცდილობს დაუყოვნებლივ აიყვანოს რიცხვი 0.5 იმ სიმძლავრემდე, რომელიც ჩვენამდე მოვიდა საწყისი პრობლემისგან. და მართლაც, როდესაც უკვე კარგად ხართ გაწვრთნილი ასეთი პრობლემების გადაჭრაში, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეასრულოთ ეს ნაბიჯი.
თუმცა, თუ ახლავე იწყებთ ამ თემის შესწავლას, უმჯობესია არსად არ იჩქაროთ, რათა შეურაცხმყოფელი შეცდომები არ დაუშვათ. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს კანონიკური ფორმა. Ჩვენ გვაქვს:
3x - 1 = 0.5 -3
ეს აღარ არის ლოგარითმული განტოლება, არამედ წრფივი განტოლება x ცვლადის მიმართ. მის ამოსახსნელად ჯერ მივმართოთ რიცხვს 0,5 −3-ის ხარისხზე. გაითვალისწინეთ, რომ 0.5 არის 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
ყველა ათწილადებიგადაიყვანეთ ნორმაში, როდესაც ამოხსნით ლოგარითმული განტოლებას.
ჩვენ ხელახლა ვწერთ და ვიღებთ:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
ყველა მივიღეთ პასუხი. პირველი ამოცანა მოგვარებულია.
მეორე დავალება
გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:
როგორც ხედავთ, ეს განტოლება აღარ არის უმარტივესი. მხოლოდ იმიტომ, რომ განსხვავება მარცხნივ არის და არც ერთი ლოგარითმი ერთ ბაზაში.
ამიტომ, თქვენ უნდა როგორმე მოიცილოთ ეს განსხვავება. ამ შემთხვევაში ყველაფერი ძალიან მარტივია. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფუძეებს: მარცხნივ არის რიცხვი ფესვის ქვეშ:
ზოგადი რეკომენდაცია: ყველა ლოგარითმულ განტოლებაში შეეცადეთ თავი დააღწიოთ რადიკალებს, ე.ი. ნოტაცია მნიშვნელოვნად ამარტივებს და აჩქარებს გამოთვლებს. მოდით დავწეროთ ასე:
ახლა გავიხსენებთ ლოგარითმის გასაოცარ თვისებას: არგუმენტიდან, ისევე როგორც ფუძიდან, შეგიძლიათ აიღოთ გრადუსები. ბაზების შემთხვევაში ხდება შემდეგი:
log a k b = 1/k ლოგა ბ
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი, რომელიც იდგა ფუძის ხარისხში, წინ მიიწევს და ამავდროულად გადატრიალდება, ანუ ხდება რიცხვის ორმხრივი. ჩვენს შემთხვევაში, იყო ბაზის ხარისხი 1/2 ინდიკატორით. მაშასადამე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ 2/1. ჩვენ ვიღებთ:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: არავითარ შემთხვევაში არ უნდა მოიცილოთ ლოგარითმები ამ ეტაპზე. დაფიქრდით 4-5 კლასის მათემატიკაზე და მოქმედებების თანმიმდევრობაზე: ჯერ სრულდება გამრავლება და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრება და გამოკლება. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გამოვაკლებთ ერთსა და იმავე ელემენტს 10 ელემენტს:
9 ჟურნალი 5 x = 18
ჟურნალი 5 x = 2
ახლა ჩვენი განტოლება გამოიყურება ისე, როგორც უნდა. ეს არის უმარტივესი კონსტრუქცია და ჩვენ მას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით:
ჟურნალი 5 x = ჟურნალი 5 5 2
x = 5 2
x=25
Სულ ეს არის. მეორე პრობლემა მოგვარებულია.
მესამე მაგალითი
გადავიდეთ მესამე დავალებაზე:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
გაიხსენეთ შემდეგი ფორმულა:
ჟურნალი b = ჟურნალი 10 ბ
თუ რაიმე მიზეზით დაბნეული ხართ lg b წერით, მაშინ ყველა გამოთვლების შესრულებისას შეგიძლიათ უბრალოდ ჩაწეროთ log 10 b. თქვენ შეგიძლიათ იმუშაოთ ათობითი ლოგარითმებთან ისევე, როგორც სხვებთან: ამოიღეთ სიმძლავრეები, დაამატეთ და წარმოადგინეთ ნებისმიერი რიცხვი, როგორც lg 10.
სწორედ ამ თვისებებს გამოვიყენებთ ახლა პრობლემის გადასაჭრელად, რადგან ეს არ არის უმარტივესი, რაც ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისში დავწერეთ.
დასაწყისისთვის, გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტი 2 lg 5-მდე შეიძლება იყოს ჩასმული და ხდება 5-ის ბაზის სიმძლავრე. გარდა ამისა, თავისუფალი ტერმინი 3 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად - ამის დაკვირვება ძალიან ადვილია ჩვენი აღნიშვნით.
თავად განსაჯეთ: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჟურნალი 10-ის ბაზაზე:
3 = ჟურნალი 10 10 3 = ჟურნალი 10 3
გადავიწეროთ ორიგინალური პრობლემა მიღებული ცვლილებების გათვალისწინებით:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
ჩვენს წინაშე კვლავ არის კანონიკური ფორმა და ჩვენ მივიღეთ იგი გარდაქმნების სტადიის გვერდის ავლით, ანუ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება არსად არ გამოგვივიდა.
სწორედ ამაზე ვსაუბრობდი გაკვეთილის დასაწყისში. კანონიკური ფორმა იძლევა უფრო ფართო კლასის პრობლემების გადაჭრის საშუალებას, ვიდრე სტანდარტული სკოლის ფორმულა, რომელიც მოცემულია სკოლის მასწავლებლების უმეტესობის მიერ.
სულ ეს არის, ჩვენ ვაშორებთ ათობითი ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ მარტივ წრფივ კონსტრუქციას:
x + 3 = 25000
x = 24997
ყველა! პრობლემა მოგვარებულია.
შენიშვნა მოცულობის შესახებ
აქვე მინდა გავაკეთო მნიშვნელოვანი შენიშვნა განმარტების სფეროსთან დაკავშირებით. რა თქმა უნდა, ახლა არიან სტუდენტები და მასწავლებლები, რომლებიც იტყვიან: "როდესაც ჩვენ ვხსნით გამონათქვამებს ლოგარითმებით, აუცილებელია გვახსოვდეს, რომ არგუმენტი f (x) უნდა იყოს ნულზე მეტი!" ამასთან დაკავშირებით ჩნდება ლოგიკური კითხვა: რატომ არც ერთ განხილულ პრობლემაში არ მოვითხოვეთ ამ უთანასწორობის დაკმაყოფილება?
Არ ინერვიულო. ამ შემთხვევებში ზედმეტი ფესვები არ გამოჩნდება. და ეს არის კიდევ ერთი შესანიშნავი ხრიკი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დააჩქაროთ გადაწყვეტა. უბრალოდ იცოდეთ, რომ თუ პრობლემაში ცვლადი x გვხვდება მხოლოდ ერთ ადგილას (უფრო სწორად, ერთი და ერთადერთი ლოგარითმის ერთადერთ არგუმენტში), და ჩვენს შემთხვევაში სხვაგან არსად არის ცვლადი x, მაშინ ჩაწერეთ დომენი. არ არის საჭიროებარადგან ის ავტომატურად იმუშავებს.
თავად განსაჯეთ: პირველ განტოლებაში მივიღეთ, რომ 3x - 1, ანუ არგუმენტი უნდა იყოს 8-ის ტოლი. ეს ავტომატურად ნიშნავს, რომ 3x - 1 იქნება ნულზე მეტი.
იგივე წარმატებით შეგვიძლია დავწეროთ, რომ მეორე შემთხვევაში x უნდა იყოს 5 2-ის ტოლი, ანუ, რა თქმა უნდა, ნულზე მეტია. და მესამე შემთხვევაში, სადაც x + 3 = 25,000, ანუ ისევ, აშკარად მეტია ნულზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მასშტაბი ავტომატურია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x ხდება მხოლოდ ერთი ლოგარითმის არგუმენტში.
ეს არის ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად. მარტო ეს წესი, ტრანსფორმაციის წესებთან ერთად, საშუალებას მოგცემთ გადაჭრათ პრობლემების ძალიან ფართო კლასი.
მაგრამ მოდით ვიყოთ გულწრფელები: იმისათვის, რომ საბოლოოდ გავიგოთ ეს ტექნიკა, რათა ვისწავლოთ ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმის გამოყენება, საკმარისი არ არის მხოლოდ ერთი ვიდეო გაკვეთილის ყურება. ასე რომ, ჩამოტვირთეთ პარამეტრები ახლავე დამოუკიდებელი გადაწყვეტა, რომლებიც თან ერთვის ამ ვიდეო ტუტორიალს და იწყებენ ამ ორი დამოუკიდებელი სამუშაოდან ერთის მაინც ამოხსნას.
სულ რამდენიმე წუთი დაგჭირდებათ. მაგრამ ასეთი ტრენინგის ეფექტი გაცილებით მაღალი იქნება, ვიდრე უბრალოდ უყურეთ ამ ვიდეო გაკვეთილს.
იმედი მაქვს, ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ ლოგარითმული განტოლებების გაგებაში. გამოიყენეთ კანონიკური ფორმა, გაამარტივეთ გამონათქვამები ლოგარითმებთან მუშაობის წესების გამოყენებით - და არ შეგეშინდებათ რაიმე დავალების. და სულ ეს მაქვს დღეისთვის.
ფარგლების განხილვა
ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმული ფუნქციის დომენზე, ასევე იმაზე, თუ როგორ მოქმედებს ეს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნაზე. განვიხილოთ ფორმის კონსტრუქცია
log a f(x) = b
ასეთ გამონათქვამს უმარტივესს უწოდებენ - მას აქვს მხოლოდ ერთი ფუნქცია, ხოლო a და b რიცხვები მხოლოდ რიცხვებია და არავითარ შემთხვევაში არ არის ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია x ცვლადზე. მოგვარებულია ძალიან მარტივად. თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:
b = log a a b
ეს ფორმულა ლოგარითმის ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა და ჩვენს თავდაპირველ გამოხატულებაში ჩანაცვლებისას ვიღებთ შემდეგს:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
ეს უკვე ნაცნობი ფორმულაა სასკოლო სახელმძღვანელოებიდან. ბევრ სტუდენტს ალბათ გაუჩნდება შეკითხვა: რადგან ფუნქცია f ( x) თავდაპირველ გამოსახულებაში არის ჟურნალის ნიშნის ქვეშ, მასზე დაწესებულია შემდეგი შეზღუდვები:
f(x) > 0
ეს შეზღუდვა ვრცელდება, რადგან ლოგარითმი უარყოფითი რიცხვებიარ არსებობს. მაშ, იქნებ ამ შეზღუდვის გამო უნდა შემოიღოთ პასუხების შემოწმება? იქნებ ისინი უნდა შეიცვალოს წყაროში?
არა, უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებებში დამატებითი შემოწმება არასაჭიროა. და ამიტომ. შეხედეთ ჩვენს საბოლოო ფორმულას:
f(x) = a b
ფაქტია, რომ რიცხვი a ნებისმიერ შემთხვევაში 0-ზე მეტია - ამ მოთხოვნას ასევე აწესებს ლოგარითმი. რიცხვი a არის საფუძველი. ამ შემთხვევაში ბ ნომრის შეზღუდვა არ არის დაწესებული. მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან რა ხარისხითაც არ უნდა ავწიოთ დადებითი რიცხვი, გამომავალზე მაინც მივიღებთ დადებით რიცხვს. ამრიგად, მოთხოვნა f (x) > 0 სრულდება ავტომატურად.
რაც ნამდვილად ღირს შემოწმება არის ფუნქციის ფარგლები ჟურნალის ნიშნის ქვეშ. შეიძლება იყოს საკმაოდ რთული დიზაინები და მათი გადაჭრის პროცესში აუცილებლად უნდა მიჰყვეთ მათ. Მოდი ვნახოთ.
პირველი დავალება:
პირველი ნაბიჯი: გადაიყვანეთ წილადი მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ ჩვეულებრივ ირაციონალურ განტოლებას:
მიღებული ფესვებიდან მხოლოდ პირველი გვიწყობს, ვინაიდან მეორე ფესვი ნულზე ნაკლებია. ერთადერთი პასუხი იქნება ნომერი 9. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია. არ არის საჭირო დამატებითი შემოწმება, რომ გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის 0-ზე მეტი, რადგან ის არ არის მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ განტოლების პირობით ის უდრის 2-ს. ამიტომ მოთხოვნა „ნულზე მეტი“ ავტომატურად ხდება. შესრულდა.
გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:
აქ ყველაფერი იგივეა. ჩვენ ხელახლა ვწერთ კონსტრუქციას, ვცვლით სამეულს:
ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშნებს და ვიღებთ ირაციონალურ განტოლებას:
შეზღუდვების გათვალისწინებით ორივე ნაწილს ვაკვერცხებთ და ვიღებთ:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას დისკრიმინანტის საშუალებით:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = −1
x 2 \u003d -6
მაგრამ x = −6 არ გვერგება, რადგან თუ ამ რიცხვს ჩვენს უტოლობაში ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ:
−6 + 4 = −2 < 0
ჩვენს შემთხვევაში, საჭიროა, რომ ის იყოს 0-ზე მეტი ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ტოლი. მაგრამ x = −1 გვერგება:
−1 + 4 = 3 > 0
ერთადერთი პასუხი ჩვენს შემთხვევაში არის x = −1. ეს არის ყველაფერი გამოსავალი. მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენი გამოთვლების საწყისს.
მთავარი დასკვნა ამ გაკვეთილიდან არის ის, რომ არ არის საჭირო ფუნქციის ლიმიტების შემოწმება უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებებში. რადგან გადაჭრის პროცესში ყველა შეზღუდვა სრულდება ავტომატურად.
თუმცა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თქვენ შეგიძლიათ საერთოდ დაივიწყოთ გადამოწმება. ლოგარითმულ განტოლებაზე მუშაობის პროცესში ის შესაძლოა გადაიზარდოს ირაციონალურ განტოლებაში, რომელსაც ექნება თავისი შეზღუდვები და მოთხოვნები მარჯვენა მხარის მიმართ, რაც დღეს ვნახეთ ორ სხვადასხვა მაგალითში.
თავისუფლად მოაგვარეთ ასეთი პრობლემები და განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით, თუ კამათს აქვს საფუძველი.
ლოგარითმული განტოლებები სხვადასხვა ფუძით
ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და კიდევ ორი საკმაოდ საინტერესო ხრიკის ანალიზს, რომლითაც მოდურია მეტის ამოხსნა რთული სტრუქტურები. მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ, როგორ წყდება უმარტივესი ამოცანები:
log a f(x) = b
ამ აღნიშვნით a და b მხოლოდ რიცხვებია, ხოლო f (x) ფუნქციაში ცვლადი x უნდა იყოს წარმოდგენილი და მხოლოდ იქ, ანუ x უნდა იყოს მხოლოდ არგუმენტში. ჩვენ გარდაქმნის ასეთ ლოგარითმულ განტოლებებს კანონიკური ფორმის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ
b = log a a b
და b მხოლოდ არგუმენტია. გადავიწეროთ ეს გამოთქმა შემდეგნაირად:
log a f(x) = log a a b
სწორედ ამის მიღწევას ვცდილობთ, რომ მარცხნივ და მარჯვნივ იყოს ლოგარითმი a ფუძისკენ. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, გადავკვეთოთ ლოგის ნიშნები და მათემატიკის თვალსაზრისით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უბრალოდ გავაიგივებთ არგუმენტებს:
f(x) = a b
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ გამონათქვამს, რომელიც ბევრად უფრო მარტივად მოგვარდება. მოდით გამოვიყენოთ ეს წესი ჩვენს ამოცანებზე დღეს.
ასე რომ, პირველი დიზაინი:
პირველ რიგში აღვნიშნავ, რომ მარჯვნივ არის წილადი, რომლის მნიშვნელი არის log. როდესაც ხედავთ ასეთ გამონათქვამს, ღირს გაიხსენოთ ლოგარითმების შესანიშნავი თვისება:
რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი ლოგარითმის კოეფიციენტი ნებისმიერი ფუძით c. რა თქმა უნდა, 0< с ≠ 1.
ასე რომ: ამ ფორმულას აქვს ერთი შესანიშნავი განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ცვლადი c უდრის ცვლადს ბ. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ ფორმის კონსტრუქციას:
სწორედ ამ კონსტრუქციას ვაკვირდებით ჩვენი განტოლების მარჯვენა ნიშნიდან. შევცვალოთ ეს კონსტრუქცია log a b-ით, მივიღებთ:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველ ამოცანასთან შედარებით, ჩვენ შევცვალეთ არგუმენტი და ლოგარითმის საფუძველი. სამაგიეროდ, წილადის გადაბრუნება მოგვიწია.
შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ხარისხის ბაზიდან გატანა შესაძლებელია შემდეგი წესით:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოეფიციენტი k, რომელიც არის ფუძის ხარისხი, ამოღებულია შებრუნებული წილადის სახით. ამოვიღოთ შებრუნებული წილადის სახით:
წილადი ფაქტორის წინ დატოვება შეუძლებელია, რადგან ამ შემთხვევაში ამ ჩანაწერს კანონიკურ ფორმად ვერ წარმოვადგენთ (ბოლოს და ბოლოს, კანონიკურ ფორმაში მეორე ლოგარითმის წინ დამატებითი ფაქტორი არ არის). მაშასადამე, წილადი 1/4 ჩავსვათ არგუმენტში ხარისხად:
ახლა ჩვენ ვაიგივებთ არგუმენტებს, რომელთა საფუძვლები იგივეა (და ჩვენ ნამდვილად გვაქვს იგივე საფუძვლები) და ვწერთ:
x + 5 = 1
x = −4
Სულ ეს არის. ჩვენ მივიღეთ პასუხი პირველ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ყურადღება მიაქციეთ: თავდაპირველ პრობლემაში ცვლადი x გვხვდება მხოლოდ ერთ ჟურნალში და ის არის მის არგუმენტში. აქედან გამომდინარე, არ არის საჭირო დომენის შემოწმება და ჩვენი რიცხვი x = -4 ნამდვილად არის პასუხი.
ახლა გადავიდეთ მეორე გამოთქმაზე:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
აქ, ჩვეულებრივი ლოგარითმების გარდა, მოგვიწევს მუშაობა lg f (x)-თან. როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება? შეიძლება მოუმზადებელ სტუდენტს მოეჩვენოს, რომ ეს რაღაც კალისაა, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ელემენტარულად მოგვარებულია.
დააკვირდით ტერმინს lg 2 log 2 7. რა შეგვიძლია ვთქვათ მასზე? log-ისა და lg-ის საფუძვლები და არგუმენტები ერთი და იგივეა და ამან უნდა მოგვცეს გარკვეული მინიშნებები. კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ, როგორ იღებენ გრადუსებს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ:
log a b n = nlog a b
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რა იყო არგუმენტში b რიცხვის ძალა, ხდება ფაქტორი თავად ლოგის წინ. მოდით გამოვიყენოთ ეს ფორმულა გამონათქვამზე lg 2 log 2 7. ნუ შეგეშინდებათ lg 2 - ეს ყველაზე გავრცელებული გამოთქმაა. შეგიძლიათ გადაწეროთ ასე:
მისთვის მოქმედებს ყველა ის წესი, რომელიც ეხება ნებისმიერ სხვა ლოგარითმს. კერძოდ, წინა ფაქტორი შეიძლება შევიდეს არგუმენტის ძალაში. Მოდი დავწეროთ:
ძალიან ხშირად, სტუდენტები ცარიელი წერტილით ვერ ხედავენ ამ მოქმედებას, რადგან არ არის კარგი ერთი ჟურნალის შეყვანა მეორის ნიშნით. სინამდვილეში, ამაში კრიმინალური არაფერია. უფრო მეტიც, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას, რომლის გამოთვლა მარტივია, თუ გახსოვთ მნიშვნელოვანი წესი:
ეს ფორმულა შეიძლება ჩაითვალოს როგორც განმარტება, ასევე მისი ერთ-ერთი თვისება. ნებისმიერ შემთხვევაში, თუ თქვენ გარდაქმნით ლოგარითმულ განტოლებას, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს ფორმულა ისევე, როგორც ნებისმიერი რიცხვის წარმოდგენა ჟურნალის სახით.
ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს ამოცანას. ჩვენ ხელახლა ვწერთ იმის გათვალისწინებით, რომ ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ პირველი წევრი უბრალოდ ტოლი იქნება lg 7-ის. გვაქვს:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
გადავიტანოთ lg 7 მარცხნივ, მივიღებთ:
lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)
ჩვენ გამოვაკლებთ მარცხნივ გამოსახულებებს, რადგან მათ აქვთ იგივე საფუძველი:
lg (56/7) = -3 lg (x + 4)
ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს განტოლებას. ის პრაქტიკულად კანონიკური ფორმაა, მაგრამ მარჯვნივ არის −3 ფაქტორი. მოდი ჩავწეროთ lg-ის სწორ არგუმენტში:
lg 8 = lg (x + 4) −3
ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ამიტომ გადავკვეთთ lg-ის ნიშნებს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0.5
Სულ ეს არის! ჩვენ ამოვხსენით მეორე ლოგარითმული განტოლება. ამ შემთხვევაში დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან თავდაპირველ პრობლემაში x მხოლოდ ერთ არგუმენტში იყო წარმოდგენილი.
ნება მომეცით გავიმეორო ამ გაკვეთილის ძირითადი პუნქტები.
მთავარი ფორმულა, რომელიც შესწავლილია ამ გვერდის ყველა გაკვეთილზე, რომელიც ეძღვნება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას, არის კანონიკური ფორმა. და არ შეგაწუხოთ ის ფაქტი, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოების უმეტესობა გასწავლით თუ როგორ უნდა გადაჭრათ მსგავსი პრობლემები სხვაგვარად. ეს ინსტრუმენტი მუშაობს ძალიან ეფექტურად და საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ პრობლემების ბევრად უფრო ფართო კლასი, ვიდრე უმარტივესი, რომელიც ჩვენ შევისწავლეთ ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისში.
გარდა ამისა, ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად, სასარგებლო იქნება ძირითადი თვისებების ცოდნა. კერძოდ:
- ერთ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა და სპეციალური შემთხვევა, როცა ლოგის გადახვევა (ეს ძალიან გამოგვადგება პირველ ამოცანაში);
- ლოგარითმის ნიშნის ქვემოდან ძალების შემოტანისა და ამოღების ფორმულა. აქ ბევრი სტუდენტი იჭედება და ვერ ხედავს სიცარიელეს, რომ ამოღებული და შემოტანილი დენი შეიძლება შეიცავდეს ჟურნალს f (x). ამაში ცუდი არაფერია. ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ერთი ლოგი მეორის ნიშნის მიხედვით და ამავდროულად მნიშვნელოვნად გავამარტივოთ პრობლემის გადაწყვეტა, რასაც ვაკვირდებით მეორე შემთხვევაში.
დასასრულს, მინდა დავამატო, რომ არ არის საჭირო სპექტის შემოწმება თითოეულ ამ შემთხვევაში, რადგან ყველგან ცვლადი x იმყოფება ლოგის მხოლოდ ერთ ნიშანში და ამავე დროს არის მის არგუმენტში. შედეგად, დომენის ყველა მოთხოვნა ავტომატურად სრულდება.
ცვლადი ბაზის პრობლემები
დღეს განვიხილავთ ლოგარითმულ განტოლებებს, რომლებიც ბევრი სტუდენტისთვის არასტანდარტულად გამოიყურება, თუ მთლად ამოუხსნელი. ჩვენ ვსაუბრობთ გამონათქვამებზე, რომლებიც ეფუძნება არა რიცხვებს, არამედ ცვლადებს და ლუწი ფუნქციებს. ჩვენ მოვაგვარებთ ასეთ კონსტრუქციებს ჩვენი სტანდარტული ტექნიკით, კერძოდ, კანონიკური ფორმის საშუალებით.
დასაწყისისთვის, გავიხსენოთ, როგორ წყდება უმარტივესი ამოცანები, რომლებიც დაფუძნებულია ჩვეულებრივ რიცხვებზე. ასე რომ, უმარტივესი კონსტრუქცია ე.წ
log a f(x) = b
ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი ფორმულა:
b = log a a b
ჩვენ ხელახლა ვწერთ ჩვენს თავდაპირველ გამონათქვამს და ვიღებთ:
log a f(x) = log a a b
შემდეგ ვაიგივებთ არგუმენტებს, ანუ ვწერთ:
f(x) = a b
ამრიგად, ჩვენ ვიშორებთ ჟურნალის ნიშანს და მოვაგვარებთ ჩვეულებრივ პრობლემას. ამ შემთხვევაში ხსნარში მიღებული ფესვები იქნება თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლების ფესვები. გარდა ამისა, ჩანაწერს, როდესაც მარცხენა და მარჯვენა ერთი და იგივე ფუძით ერთსა და იმავე ლოგარითმზეა, კანონიკური ფორმა ეწოდება. სწორედ ამ რეკორდს შევეცდებით შევამციროთ დღევანდელი მშენებლობები. ასე რომ წავიდეთ.
პირველი დავალება:
ჟურნალი x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
ჩაანაცვლეთ 1 ჟურნალით x − 2 (x − 2) 1 . ხარისხი, რომელსაც ჩვენ ვაკვირდებით არგუმენტში არის, ფაქტობრივად, რიცხვი b, რომელიც იყო ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ. მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა. ჩვენ ვიღებთ:
ჟურნალი x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ჟურნალი x - 2 (x - 2)
რას ვხედავთ? ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავაიგივოთ არგუმენტები. ჩვენ ვიღებთ:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
მაგრამ გამოსავალი ამით არ მთავრდება, რადგან ეს განტოლება არ არის ორიგინალის ექვივალენტური. ყოველივე ამის შემდეგ, შედეგად მიღებული კონსტრუქცია შედგება ფუნქციებისგან, რომლებიც განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა წრფეზე და ჩვენი თავდაპირველი ლოგარითმები არ არის განსაზღვრული ყველგან და არა ყოველთვის.
ამიტომ, ჩვენ ცალკე უნდა ჩავწეროთ განმარტების დომენი. ნუ ვიქნებით უფრო ბრძენი და ჯერ ჩამოვწერეთ ყველა მოთხოვნა:
პირველი, თითოეული ლოგარითმის არგუმენტი უნდა იყოს 0-ზე მეტი:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
მეორეც, ბაზა უნდა იყოს არა მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ განსხვავებული 1-ისგან:
x − 2 ≠ 1
შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას:
მაგრამ არ ინერვიულოთ: ლოგარითმული განტოლებების დამუშავებისას, ასეთი სისტემა შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს.
თავად განსაჯეთ: ერთი მხრივ, ჩვენგან მოეთხოვებათ, რომ კვადრატული ფუნქცია იყოს ნულზე მეტი, ხოლო მეორე მხრივ, ეს კვადრატული ფუნქცია უტოლდება გარკვეულ წრფივ გამოსახულებას, რომელიც ასევე საჭიროა, რომ ის იყოს ნულზე მეტი.
ამ შემთხვევაში, თუ მოვითხოვთ, რომ x − 2 > 0, მაშინ მოთხოვნა 2x 2 − 13x + 18 > 0 ავტომატურად დაკმაყოფილდება, ამიტომ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გადავკვეთოთ კვადრატული ფუნქციის შემცველი უტოლობა. ამრიგად, ჩვენს სისტემაში შემავალი გამონათქვამების რაოდენობა სამამდე შემცირდება.
რა თქმა უნდა, ჩვენ ასევე შეგვიძლია გადავკვეთოთ წრფივი უტოლობა, ანუ გადავკვეთოთ x - 2 > 0 და მოვითხოვოთ 2x 2 - 13x + 18 > 0. მაგრამ უნდა აღიაროთ, რომ უმარტივესი წრფივი უტოლობის ამოხსნა ბევრად უფრო სწრაფი და მარტივია. ვიდრე კვადრატული, თუნდაც მთელი ამ სისტემის ამოხსნის შედეგად მივიღოთ იგივე ფესვები.
ზოგადად, შეეცადეთ გათვლების ოპტიმიზაცია შეძლებისდაგვარად. ხოლო ლოგარითმული განტოლებების შემთხვევაში გადაკვეთეთ ურთულესი უტოლობა.
მოდით გადავწეროთ ჩვენი სისტემა:
აქ არის სამი გამონათქვამის ასეთი სისტემა, რომელთაგან ორი ჩვენ, ფაქტობრივად, უკვე გავარკვიეთ. ცალკე დავწეროთ კვადრატული განტოლებადა გადაჭრით:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
ჩვენს წინაშე არის შემცირებული კვადრატული ტრინომი და, შესაბამისად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ Vieta ფორმულები. ჩვენ ვიღებთ:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
ახლა, ჩვენს სისტემას დავუბრუნდებით, აღმოვაჩენთ, რომ x = 2 არ გვერგება, რადგან ჩვენ გვჭირდება, რომ x მკაცრად მეტი იყოს 2-ზე.
მაგრამ x \u003d 5 საკმაოდ კარგად გვერგება: რიცხვი 5 მეტია 2-ზე და ამავე დროს 5 არ არის 3-ის ტოლი. ამიტომ, ამ სისტემის ერთადერთი გამოსავალი იქნება x \u003d 5.
ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია, მათ შორის ODZ-ის გათვალისწინებით. გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე. აქ ჩვენ ველოდებით უფრო საინტერესო და მნიშვნელოვანი გამოთვლებს:
პირველი ნაბიჯი: ისევე როგორც ბოლო დროს, ჩვენ ყველა ამ საქმეს კანონიკურ ფორმაში მივყავართ. ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ რიცხვი 9 შემდეგნაირად:
ფესვთან ფუძეს შეხება არ შეიძლება, მაგრამ უმჯობესია არგუმენტის გარდაქმნა. მოდით გადავიდეთ ძირიდან ძალაზე რაციონალური მაჩვენებლით. Მოდი დავწეროთ:
ნება მომეცით არ გადავწერო მთელი ჩვენი დიდი ლოგარითმული განტოლება, მაგრამ დაუყოვნებლივ გავაიგივოთ არგუმენტები:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
ჩვენს წინაშე არის ისევ შემცირებული კვადრატული ტრინომი, გამოვიყენებთ Vieta ფორმულებს და დავწერთ:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ ფესვები, მაგრამ არავინ გვაძლევს გარანტიას, რომ ისინი მოერგება თავდაპირველ ლოგარითმულ განტოლებას. ბოლოს და ბოლოს, ჟურნალის ნიშნები აწესებს დამატებით შეზღუდვებს (აქ მოგვიწევს სისტემის ჩაწერა, მაგრამ მთელი კონსტრუქციის უხერხულობის გამო, გადავწყვიტე ცალკე გამოვთვალო განმარტების დომენი).
პირველ რიგში, გახსოვდეთ, რომ არგუმენტები უნდა იყოს 0-ზე მეტი, კერძოდ:
ეს არის მოთხოვნები, რომლებიც დაწესებულია განმარტების დომენით.
ჩვენ მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ ვინაიდან სისტემის პირველ ორ გამონათქვამს ვაიგივებთ ერთმანეთს, შეგვიძლია გადავკვეთოთ რომელიმე მათგანი. მოდი გადავკვეთოთ პირველი, რადგან ის მეორეზე უფრო საშიში ჩანს.
გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ მეორე და მესამე უტოლობების ამონახსნები იქნება იგივე სიმრავლე (ზოგიერთი რიცხვის კუბი მეტია ნულზე, თუ ეს რიცხვი თავად არის ნულზე მეტი; ანალოგიურად მესამე ხარისხის ფესვთან ერთად - ეს უტოლობა არის სრულიად მსგავსი, ასე რომ, ერთ-ერთი მათგანი შეგვიძლია გადავკვეთოთ).
მაგრამ მესამე უთანასწორობით, ეს არ იმუშავებს. მოვიშოროთ რადიკალი მარცხნივ ნიშანს, რისთვისაც ორივე ნაწილს ავწევთ კუბამდე. ჩვენ ვიღებთ:
ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მოთხოვნებს:
−2 ≠ x > −3
რომელი ჩვენი ფესვები: x 1 = -3 თუ x 2 = -1 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს? ცხადია, მხოლოდ x = −1, რადგან x = −3 არ აკმაყოფილებს პირველ უტოლობას (რადგან ჩვენი უტოლობა მკაცრია). საერთო ჯამში, ჩვენს პრობლემას რომ დავუბრუნდეთ, ვიღებთ ერთ ფესვს: x = −1. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია.
კიდევ ერთხელ, ამ ამოცანის ძირითადი პუნქტები:
- მოგერიდებათ გამოიყენოთ და ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები კანონიკური ფორმის გამოყენებით. მოსწავლეები, რომლებიც აკეთებენ ასეთ ჩანაწერს და არ გადადიან თავდაპირველი ამოცანიდან პირდაპირ კონსტრუქციაზე, როგორიცაა log a f ( x ) = b , უშვებენ გაცილებით ნაკლებ შეცდომებს, ვიდრე ისინი, ვინც სადღაც ჩქარობენ, გამოტოვებენ გამოთვლების შუალედურ საფეხურებს;
- როგორც კი ცვლადი ბაზა გამოჩნდება ლოგარითმში, პრობლემა წყვეტს უმარტივესს. ამიტომ, მისი ამოხსნისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ განსაზღვრების დომენი: არგუმენტები უნდა იყოს ნულზე მეტი, ხოლო ფუძეები არა მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ 1-ის ტოლიც არ უნდა იყოს.
თქვენ შეგიძლიათ დააწესოთ ბოლო მოთხოვნები საბოლოო პასუხებზე სხვადასხვა გზით. მაგალითად, შესაძლებელია მთელი სისტემის გადაჭრა, რომელიც შეიცავს დომენის ყველა მოთხოვნას. მეორეს მხრივ, თქვენ შეგიძლიათ ჯერ თავად მოაგვაროთ პრობლემა, შემდეგ კი დაიმახსოვროთ განსაზღვრების სფერო, ცალკე დამუშავოთ იგი სისტემის სახით და გამოიყენოთ იგი მიღებულ ფესვებზე.
რომელი გზა აირჩიო კონკრეტული ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას შენზეა დამოკიდებული. ნებისმიერ შემთხვევაში, პასუხი იგივე იქნება.
მოგეხსენებათ, გამონათქვამების ძალებით გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ყოველთვის იკრიბება (a b * a c = a b + c). ეს მათემატიკური კანონი გამოიტანა არქიმედესმა და მოგვიანებით, მე-8 საუკუნეში, მათემატიკოსმა ვირასენმა შექმნა მთელი რიცხვების ინდიკატორების ცხრილი. სწორედ ისინი ემსახურებოდნენ ლოგარითმების შემდგომ აღმოჩენას. ამ ფუნქციის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ თითქმის ყველგან, სადაც საჭიროა რთული გამრავლების გამარტივება მარტივ შეკრებამდე. თუ 10 წუთს დაუთმობთ ამ სტატიის კითხვას, ჩვენ აგიხსნით რა არის ლოგარითმები და როგორ იმუშაოთ მათთან. მარტივი და ხელმისაწვდომი ენა.
განმარტება მათემატიკაში
ლოგარითმი არის შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log a b=c, ანუ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის (ანუ ნებისმიერი დადებითი) ლოგარითმი "b" მისი ფუძით "a" ითვლება "c"-ის ხარისხად. , რომელზედაც უნდა გაიზარდოს ფუძე "a", რათა საბოლოოდ მივიღოთ მნიშვნელობა "b". გავაანალიზოთ ლოგარითმი მაგალითების გამოყენებით, ვთქვათ არის გამონათქვამი log 2 8. როგორ მოვძებნოთ პასუხი? ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა იპოვოთ ისეთი ხარისხი, რომ 2-დან საჭირო ხარისხამდე მიიღოთ 8. რამდენიმე გამოთვლების შემდეგ თქვენს გონებაში მივიღებთ რიცხვს 3! და მართალიც ასეა, რადგან 2 3-ის ხარისხზე იძლევა პასუხში 8 რიცხვს.
ლოგარითმების ჯიშები
ბევრი მოსწავლისა და სტუდენტისთვის ეს თემა რთული და გაუგებარი ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში, ლოგარითმები არც ისე საშინელია, მთავარია მათი ზოგადი მნიშვნელობის გაგება და მათი თვისებების და ზოგიერთი წესის დამახსოვრება. ლოგარითმული გამოსახულებების სამი განსხვავებული ტიპი არსებობს:
- ბუნებრივი ლოგარითმი ln a, სადაც ფუძეა ეილერის რიცხვი (e = 2.7).
- ათწილადი a, სადაც ფუძე არის 10.
- ნებისმიერი b რიცხვის ლოგარითმი a>1 ფუძესთან.
თითოეული მათგანი წყდება სტანდარტული გზით, მათ შორის გამარტივება, შემცირება და შემდგომი შემცირება ერთ ლოგარითმზე ლოგარითმული თეორემების გამოყენებით. ლოგარითმების სწორი მნიშვნელობების მისაღებად, უნდა გახსოვდეთ მათი თვისებები და მოქმედებების თანმიმდევრობა მათ გადაწყვეტილებებში.
წესები და გარკვეული შეზღუდვები
მათემატიკაში არის რამდენიმე წესი-შეზღუდვა, რომლებიც მიღებულია აქსიომად, ანუ განხილვას არ ექვემდებარება და ჭეშმარიტია. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვების გაყოფა ნულზე და ასევე შეუძლებელია ლუწი ხარისხის ფესვის ამოღება უარყოფითი რიცხვებიდან. ლოგარითმებს ასევე აქვთ საკუთარი წესები, რომელთა დაცვით შეგიძლიათ მარტივად ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ თუნდაც გრძელი და ტევადი ლოგარითმული გამონათქვამებით:
- ფუძე "a" ყოველთვის უნდა იყოს ნულზე მეტი და ამავე დროს არ იყოს 1-ის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში გამოთქმა დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან "1" და "0" ნებისმიერი ხარისხით ყოველთვის ტოლია მათი მნიშვნელობების;
- თუ a > 0, მაშინ a b > 0, გამოდის, რომ "c" უნდა იყოს ნულზე მეტი.
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?
მაგალითად, მიეცა დავალება, იპოვოთ პასუხი განტოლებაზე 10 x \u003d 100. ეს ძალიან მარტივია, თქვენ უნდა აირჩიოთ ასეთი ძალა ათი რიცხვის აწევით, რომელზედაც მივიღებთ 100-ს. ეს, რა თქმა უნდა, არის 10 2. \u003d 100.
ახლა წარმოვიდგინოთ ეს გამონათქვამი, როგორც ლოგარითმული. ვიღებთ log 10 100 = 2. ლოგარითმის ამოხსნისას ყველა ქმედება პრაქტიკულად ემთხვევა იმ ხარისხს, რომლითაც უნდა იყოს შეყვანილი ლოგარითმის საფუძველი მოცემული რიცხვის მისაღებად.
უცნობი ხარისხის მნიშვნელობის ზუსტად დასადგენად, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ იმუშაოთ გრადუსების ცხრილთან. ეს ასე გამოიყურება:
როგორც ხედავთ, ზოგიერთი მაჩვენებლის გამოცნობა შესაძლებელია ინტუიციურად, თუ თქვენ გაქვთ ტექნიკური აზროვნება და ცოდნა გამრავლების ცხრილის შესახებ. თუმცა, უფრო დიდ მნიშვნელობებს დასჭირდება დენის მაგიდა. მისი გამოყენება შეუძლიათ მათაც კი, ვისაც საერთოდ არაფერი ესმის რთულ მათემატიკური თემებში. ნომრები მოცემულია მარცხენა სვეტში (ბაზა a), რიცხვების ზედა მწკრივი არის c სიმძლავრის მნიშვნელობა, რომელზედაც ამაღლებულია რიცხვი. უჯრედებში კვეთაზე განისაზღვრება რიცხვების მნიშვნელობები, რომლებიც პასუხია (a c =b). ავიღოთ, მაგალითად, პირველივე უჯრა 10-ით და კვადრატში მივიღოთ მნიშვნელობა 100, რომელიც მითითებულია ჩვენი ორი უჯრედის გადაკვეთაზე. ყველაფერი ისეთი მარტივი და მარტივია, რომ ყველაზე ნამდვილი ჰუმანისტიც კი მიხვდება!
განტოლებები და უტოლობა
გამოდის, რომ გარკვეულ პირობებში, მაჩვენებელი არის ლოგარითმი. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მათემატიკური რიცხვითი გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული განტოლების სახით. მაგალითად, 3 4 =81 შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც 81-ის ლოგარითმი 3-ის ბაზაზე, რომელიც არის ოთხი (log 3 81 = 4). უარყოფითი ძალებისთვის წესები იგივეა: 2 -5 = 1/32 ვწერთ ლოგარითმად, ვიღებთ log 2 (1/32) = -5. მათემატიკის ერთ-ერთი ყველაზე მომხიბვლელი განყოფილება არის "ლოგარითმების" თემა. განტოლებათა მაგალითებსა და ამონახსნებს განვიხილავთ ოდნავ უფრო დაბალი, მათი თვისებების შესწავლისთანავე. ახლა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება უტოლობები და როგორ განვასხვავოთ ისინი განტოლებისგან.
მოცემულია შემდეგი ფორმის გამოხატულება: log 2 (x-1) > 3 - ეს არის ლოგარითმული უტოლობა, ვინაიდან უცნობი მნიშვნელობა „x“ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება. და ასევე გამონათქვამში შედარებულია ორი სიდიდე: სასურველი რიცხვის ლოგარითმი ორი ფუძეში მეტია სამზე.
ყველაზე მნიშვნელოვანი განსხვავება ლოგარითმულ განტოლებებსა და უტოლობას შორის არის ის, რომ განტოლებები ლოგარითმებით (მაგალითად, ლოგარითმი 2 x = √9) გულისხმობს პასუხში ერთ ან მეტ კონკრეტულ ციფრულ მნიშვნელობას, ხოლო უტოლობის ამოხსნისას, ორივე დიაპაზონი. მისაღები მნიშვნელობები და ამ ფუნქციის დამრღვევი წერტილები. შედეგად, პასუხი არ არის ინდივიდუალური რიცხვების მარტივი ნაკრები, როგორც განტოლების პასუხში, არამედ უწყვეტი სერია ან რიცხვების სიმრავლე.
ძირითადი თეორემები ლოგარითმების შესახებ
ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნის პრიმიტიული ამოცანების გადაჭრისას, მისი თვისებები შეიძლება არ იყოს ცნობილი. თუმცა, როდესაც საქმე ეხება ლოგარითმულ განტოლებებს ან უტოლობას, უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ლოგარითმების ყველა ძირითადი თვისების მკაფიოდ გაგება და პრაქტიკაში გამოყენება. განტოლებების მაგალითებს მოგვიანებით გავეცნობით, ჯერ თითოეული თვისება უფრო დეტალურად გავაანალიზოთ.
- ძირითადი იდენტურობა ასე გამოიყურება: a logaB =B. იგი გამოიყენება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ a მეტია 0-ზე, არ უდრის ერთს და B არის ნულზე მეტი.
- პროდუქტის ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმულით: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ამ შემთხვევაში წინაპირობაა: d, s 1 და s 2 > 0; a≠1. თქვენ შეგიძლიათ დაასაბუთოთ ლოგარითმების ამ ფორმულის მაგალითები და ამონახსნები. მოდით log a s 1 = f 1 და log a s 2 = f 2 , შემდეგ a f1 = s 1 , a f2 = s 2. მივიღებთ, რომ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ხარისხის თვისებები ), და შემდგომ განმარტებით: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, რაც დასამტკიცებელი იყო.
- კოეფიციენტის ლოგარითმი ასე გამოიყურება: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- ფორმულის სახით თეორემა იღებს შემდეგ ფორმას: log a q b n = n/q log a b.
ამ ფორმულას ეწოდება "ლოგარითმის ხარისხის თვისება". ის წააგავს ჩვეულებრივი ხარისხების თვისებებს და გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა მათემატიკა ემყარება რეგულარულ პოსტულატებს. მოდით შევხედოთ მტკიცებულებას.
მოდით log a b \u003d t, გამოდის t \u003d b. თუ ორივე ნაწილს ამაღლებთ m ხარისხზე: a tn = b n;
მაგრამ რადგან a tn = (a q) nt/q = b n , შესაბამისად log a q b n = (n*t)/t, მაშინ log a q b n = n/q log a b. თეორემა დადასტურდა.
პრობლემებისა და უთანასწორობის მაგალითები
ლოგარითმის ამოცანების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის განტოლებებისა და უტოლობების მაგალითები. ისინი გვხვდება თითქმის ყველა პრობლემურ წიგნში, ასევე შედის მათემატიკაში გამოცდების სავალდებულო ნაწილში. უნივერსიტეტში ჩაბარებისთვის ან ჩაბარებისთვის მისაღები გამოცდებიმათემატიკაში, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ გადაჭრათ ასეთი პრობლემები სწორად.
სამწუხაროდ, არ არსებობს ლოგარითმის უცნობი მნიშვნელობის ამოხსნისა და განსაზღვრის ერთი გეგმა ან სქემა, თუმცა, გარკვეული წესები შეიძლება გამოყენებულ იქნას თითოეულ მათემატიკური უტოლობის ან ლოგარითმული განტოლების მიმართ. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, შეიძლება თუ არა გამოხატვის გამარტივება ან შემცირება ზოგად ფორმამდე. გამარტივება დიდხანს ლოგარითმული გამონათქვამებიშეგიძლიათ, თუ სწორად გამოიყენებთ მათ თვისებებს. მოდით გავეცნოთ მათ მალე.
ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განვსაზღვროთ როგორი ლოგარითმი გვაქვს ჩვენს წინაშე: გამოხატვის მაგალითი შეიძლება შეიცავდეს ბუნებრივ ლოგარითმს ან ათწილადს.
აქ არის მაგალითები ln100, ln1026. მათი გადაწყვეტა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თქვენ უნდა დაადგინოთ ის ხარისხი, რომლითაც ფუძე 10 ტოლი იქნება, შესაბამისად, 100 და 1026. ბუნებრივი ლოგარითმების ამონახსნებისთვის უნდა გამოვიყენოთ ლოგარითმული იდენტობები ან მათი თვისებები. მოდით შევხედოთ სხვადასხვა ტიპის ლოგარითმული ამოცანების ამოხსნის მაგალითებს.
როგორ გამოვიყენოთ ლოგარითმის ფორმულები: მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით
ასე რომ, მოდით შევხედოთ ლოგარითმებზე ძირითადი თეორემების გამოყენების მაგალითებს.
- პროდუქტის ლოგარითმის თვისება შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამოცანებში, სადაც საჭიროა გაფართოება დიდი მნიშვნელობარიცხვები b მარტივ ფაქტორებად. მაგალითად, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. პასუხი არის 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - როგორც ხედავთ, ლოგარითმის ხარისხის მეოთხე თვისების გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ ერთი შეხედვით რთული და ამოუხსნელი გამოსახულების ამოხსნა. საჭიროა მხოლოდ ბაზის ფაქტორიზაცია და შემდეგ მაჩვენებლების გამოტანა ლოგარითმის ნიშნიდან.
ამოცანები გამოცდიდან
ლოგარითმები ხშირად გვხვდება მისაღებ გამოცდებში, განსაკუთრებით ბევრი ლოგარითმული პრობლემა ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (სახელმწიფო გამოცდა სკოლის ყველა კურსდამთავრებულისთვის). ჩვეულებრივ, ეს ამოცანები წარმოდგენილია არა მხოლოდ A ნაწილში (გამოცდის ყველაზე მარტივი ტესტი), არამედ C ნაწილში (ყველაზე რთული და მოცულობითი ამოცანები). გამოცდა გულისხმობს თემის „ბუნებრივი ლოგარითმები“ ზუსტ და სრულყოფილ ცოდნას.
მაგალითები და პრობლემის გადაწყვეტა აღებულია ოფიციალური პირებისგან გამოყენების პარამეტრები. ვნახოთ, როგორ წყდება ასეთი ამოცანები.
მოცემული ჟურნალი 2 (2x-1) = 4. ამოხსნა:
მოდით გადავიწეროთ გამონათქვამი, გავამარტივოთ იგი ცოტათი log 2 (2x-1) = 2 2 , ლოგარითმის განმარტებით მივიღებთ, რომ 2x-1 = 2 4 , შესაბამისად 2x = 17; x = 8.5.
- ყველა ლოგარითმი საუკეთესოდ შემცირდება ერთსა და იმავე ფუძემდე, რათა გამოსავალი არ იყოს რთული და დამაბნეველი.
- ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამონათქვამი მითითებულია დადებითად, ამიტომ გამონათქვამის მაჩვენებლის მაჩვენებლის ამოღებისას, რომელიც არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და როგორც მისი საფუძველი, ლოგარითმის ქვეშ დარჩენილი გამოხატულება უნდა იყოს დადებითი.
მათემატიკაში დასკვნითი ტესტისთვის მზადება მოიცავს მნიშვნელოვან ნაწილს – „ლოგარითმები“. ამ თემიდან ამოცანები აუცილებლად შეიცავს გამოცდას. გასული წლების გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ ლოგარითმული განტოლებები ბევრ სკოლის მოსწავლეს უქმნიდა სირთულეებს. ამიტომ, სხვადასხვა დონის ტრენინგის მქონე სტუდენტებმა უნდა გაიგონ, როგორ იპოვონ სწორი პასუხი და სწრაფად გაუმკლავდნენ მათ.
წარმატებით გაიარეთ სასერტიფიკაციო ტესტი საგანმანათლებლო პორტალ „შკოლკოვოს“ დახმარებით!
ერთიანობისთვის მზადებაში სახელმწიფო გამოცდასაშუალო სკოლის კურსდამთავრებულებს სჭირდებათ სანდო წყარო, რომელიც უზრუნველყოფს ყველაზე სრულ და ზუსტ ინფორმაციას ტესტის პრობლემების წარმატებით გადაჭრისთვის. თუმცა, სახელმძღვანელო ყოველთვის ხელთ არ არის და ინტერნეტში საჭირო წესებისა და ფორმულების ძიებას ხშირად დრო სჭირდება.
საგანმანათლებლო პორტალი "შკოლკოვო" საშუალებას გაძლევთ მოემზადოთ გამოცდისთვის ნებისმიერ ადგილას, ნებისმიერ დროს. ჩვენი საიტი გთავაზობთ ყველაზე მოსახერხებელ მიდგომას ლოგარითმებზე, ასევე ერთ და რამდენიმე უცნობზე დიდი რაოდენობით ინფორმაციის გამეორებისა და დაუფლებისთვის. დაიწყეთ მარტივი განტოლებებით. თუ თქვენ გაუმკლავდით მათ უპრობლემოდ, გადადით უფრო რთულზე. თუ რაიმე კონკრეტული უთანასწორობის ამოხსნა გიჭირთ, შეგიძლიათ დაამატოთ ის თქვენს რჩეულებში, რათა მოგვიანებით დაუბრუნდეთ მას.
თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ საჭირო ფორმულები დავალების შესასრულებლად, გაიმეოროთ სპეციალური შემთხვევები და მეთოდები სტანდარტული ლოგარითმული განტოლების ფესვის გამოსათვლელად განყოფილების "თეორიული მითითების" ნახვით. „შკოლკოვოს“ მასწავლებლებმა შეაგროვეს, სისტემატიზაცია მოახდინეს და წარადგინეს წარმატებული მიწოდებისთვის საჭირო ყველა მასალა ყველაზე მარტივი და გასაგები ფორმით.
იმისათვის, რომ მარტივად გაუმკლავდეთ ნებისმიერი სირთულის ამოცანებს, ჩვენს პორტალზე შეგიძლიათ გაეცნოთ რამდენიმე ტიპიური ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას. ამისათვის გადადით "კატალოგების" განყოფილებაში. ჩვენ წარმოვადგინეთ უამრავი მაგალითი, მათ შორის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პროფილის დონის განტოლებებით.
ჩვენი პორტალით სარგებლობა შეუძლიათ მთელი რუსეთის სკოლების მოსწავლეებს. დასაწყებად, უბრალოდ დარეგისტრირდით სისტემაში და დაიწყეთ განტოლებების ამოხსნა. შედეგების გასამყარებლად, ჩვენ გირჩევთ ყოველდღიურად დაუბრუნდეთ შკოლკოვოს ვებსაიტს.
ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნამდე გავიმეოროთ ლოგარითმის განმარტება და ძირითადი ფორმულები.
ლოგარითმიდადებითი რიცხვი ბმიზეზით აარის ინდიკატორი იმისა, თუ რამდენად აუცილებელია მისი ამაღლება ა, მისაღებად ბ.
ამ შემთხვევაში, class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
ყურადღება მივაქციოთ ლოგარითმის დასაშვები მნიშვნელობების არეალს:
class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}
ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:
ლოგარითმების ძირითადი ფორმულები:
(ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმების ჯამის)
(რაოდენობის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია)
(ხარისხის ლოგარითმის ფორმულა)
ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა არის:
ჩვენ ვიცით, როგორ გამოიყურება ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი. ეს ფუნქცია მონოტონურია. თუ ლოგარითმის საფუძველი ერთზე მეტია, ლოგარითმული ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. თუ ფუძე არის ნულზე მეტი და ერთზე ნაკლები, ლოგარითმული ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. და ნებისმიერ შემთხვევაში, ის იღებს თითოეულ მნიშვნელობას მხოლოდ ერთხელ. ეს ნიშნავს, რომ თუ ორი რიცხვის ლოგარითმები ტოლია რომელიმე ფუძეში, მაშინ თავად რიცხვები ტოლია.
ეს ყველაფერი გამოგვადგება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას.
უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები
1. ამოხსენით განტოლება:
ლოგარითმების ფუძეები ტოლია, თავად ლოგარითმებიც ტოლია, რაც იმას ნიშნავს, რომ რიცხვები, საიდანაც ისინი აღებულია, ასევე ტოლია.
ჩვეულებრივ, მოსწავლეები იმახსოვრებენ ამ წესს მოკლე ჟარგონული ფორმულირებით: "მოდით, დავტოვოთ ლოგარითმები!" რასაკვირველია, ჩვენ მათ არა მხოლოდ ასე, არამედ ლოგარითმული ფუნქციის მონოტონურობის თვისების გამოყენებით „ვაგდებთ“.
ჩვენ ვიღებთ:
ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას ნუ დაივიწყებთ ტოლერანტობის დიაპაზონილოგარითმი. გახსოვდეთ, რომ გამოთქმა განისაზღვრება class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1)">.!}
ძალიან კარგია, თუ თქვენ, როდესაც იპოვნეთ განტოლების ფესვი, უბრალოდ ჩაანაცვლებთ მას განტოლებაში. თუ ასეთი ჩანაცვლების შემდეგ განტოლების მარცხენა ან მარჯვენა მხარეს აზრი არ აქვს, მაშინ ნაპოვნი რიცხვი არ არის განტოლების ფესვი და ვერ იქნება პრობლემის პასუხი. ეს არის კარგი გზა გამოცდისთვის.
2. ამოხსენით განტოლება:
განტოლების მარცხენა მხარეს - ლოგარითმი, მარჯვნივ - რიცხვი 7. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ წარმოვადგენთ რიცხვს 7 ფორმაში. მაშინ ყველაფერი მარტივია.
პასუხი: -124
3. ამოხსენით განტოლება:
ნახე რიცხვი 2 განტოლების მარჯვენა მხარეს ლოგარითმის წინ? ახლა ის გიშლით ხელს „ლოგარითმების ჩამოგდებაში“. რა გავაკეთო, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები იყოს მხოლოდ ლოგარითმები 5-ის ბაზაზე? რა თქმა უნდა, ხარისხის ლოგარითმის ფორმულა დაგეხმარებათ.
4. ამოხსენით განტოლება:
Valid range: class="tex" alt="(!LANG:4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x > -4.">!}
გამოვსახოთ 2 განტოლების მარჯვენა მხარეს, როგორც - ისე, რომ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები იყოს ლოგარითმები მე-5 ფუძის მიმართ.
ფუნქცია მონოტონურად იზრდება და მის თითოეულ მნიშვნელობას ზუსტად ერთხელ იღებს. ლოგარითმები ტოლია, მათი ფუძეები ტოლია. მოდით, დავტოვოთ ლოგარითმები! რა თქმა უნდა, class="tex" alt="(!LANG:x> -4">.!}
5. ამოხსენით განტოლება:
ამოხსნას ვწერთ ეკვივალენტური გადასვლების ჯაჭვის სახით. ჩვენ ვწერთ ODZ-ს და „ამოშლით“ ლოგარითმებს:
Class="tex" alt="(!LANG:\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \მარჯვნივ )\მარცხნივ მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\ დასაწყისი(მატრიცა) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ დასასრული(მატრიცა)\მარჯვნივ.\მარცხნივმარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \ბოლო(მატრიცა)\ მარჯვნივ.\მარცხენა მარჯვენა ისარი x=-4">!}
პასუხი: -4.
გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმული განტოლებების ამონახსნები საუკეთესოდ ჩაიწერება ეკვივალენტური გადასვლების ჯაჭვის სახით. ეს დაგვეხმარება არ დავივიწყოთ მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი.
6.ამოხსენი განტოლება:.
მოდით გადავიდეთ მე-4 ფუძის ლოგარითმიდან (ექსპონენტში) ფუძე 2-ის ლოგარითმზე. ამას ვაკეთებთ ბაზის კონვერტაციის ფორმულის გამოყენებით:
ამოხსნას ვწერთ ეკვივალენტური გადასვლების ჯაჭვის სახით.
Class="tex" alt="(!LANG:2^(\log _(4)\left (4x+5 \მარჯვნივ))=9\მარცხნივ მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\begin(მატრიცა) 2^\frac(( \log _(2)\მარცხნივ (4x+5 \მარჯვნივ)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\მარცხნივ მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\ დასაწყისი (მატრიცა) \მარცხნივ (2^(\log _(2)\მარცხნივ (4x+5 \მარჯვნივ)) \მარჯვნივ)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\მარცხნივ მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა) \მარცხნივ (4x+5 \მარჯვნივ)^(\frac(1)(2)=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(მატრიცა)\მარჯვნივ.\მარცხენა მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\ დასაწყისი(მატრიცა) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( მატრიცა)\მარჯვნივ.\მარცხნივ მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \ბოლო(მატრიცა)\მარჯვნივ.\მარცხნივ მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\(\ დასაწყისი (მატრიცა) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(მატრიცა)\მარჯვნივ.">!}
7. ამოხსენით განტოლება:.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ცვლადი Xროგორც ლოგარითმის ქვეშ, ასევე ლოგარითმის ფუძეზე. ჩვენ გვახსოვს, რომ ლოგარითმის საფუძველი უნდა იყოს დადებითი და არა 1-ის ტოლი.
ODZ:
class="tex" alt="(!LANG:\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right.">!}
ახლა თქვენ შეგიძლიათ "ამოშალოთ" ლოგარითმები.
უცხო ფესვი, რადგან class="tex" alt="(!LANG:x> 0">.!}
8. ამოხსენით განტოლება.
ODZ განტოლება: class="tex" alt="(!LANG:x> 0">!}
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. როგორც ალგებრულ განტოლებებში, ჩვენ ვაკეთებთ ცვლადის შეცვლას შეძლებისდაგვარად.
დაუბრუნდით ცვლადს X:
9. ამოხსენით განტოლება:
ლოგარითმის ქვეშ გამოსახულება ყოველთვის დადებითია - რადგან არაუარყოფით მნიშვნელობას ვამატებთ 25. მარჯვენა მხარეს ფესვის ქვეშ გამოსახული ასევე დადებითია. ნიშნავს, Xშეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
ჩვენ წარმოვადგენთ ლოგარითმების ჯამს მარცხენა მხარეს, როგორც ნამრავლის ლოგარითმს. მარჯვენა მხარეს - გადავიდეთ ლოგარითმზე მე-3 ფუძეზე. და გამოვიყენოთ ფორმულა ხარისხის ლოგარითმისთვის.
ჩვენ უგულებელყოფთ ლოგარითმებს.
ასეთ განტოლებას ბიკვადრადული ეწოდება. იგი მოიცავს გამონათქვამებს და . მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება
დაუბრუნდით ცვლადს X. ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ვიპოვეთ თავდაპირველი განტოლების ყველა ფესვი.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ დააკმაყოფილოთ ლოგარითმული განტოლებები დავალება 5-ში პროფილის გამოცდამათემატიკაში და დავალება 13-ში. და თუ მე-5 ამოცანაში უნდა ამოხსნათ უმარტივესი განტოლება, მაშინ მე-13 ამოცანაში ამონახსნი ორი წერტილისგან შედგება. მეორე წერტილი არის ფესვების შერჩევა მოცემულ სეგმენტზე ან ინტერვალზე.
