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इस लेख में आपको त्रिभुज के समद्विभाजक और माध्यिका के गुण मिलेंगे जो समस्याओं को हल करने में उपयोगी हो सकते हैं।

द्विभाजक।

1. किसी त्रिभुज के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज के अंकित वृत्त का केंद्र होता है।

सबूत।

दरअसल, किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित बिंदु कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होते हैं। फलस्वरूप, समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज की सभी भुजाओं से समान दूरी पर होता है, अर्थात यह अंकित वृत्त का केंद्र होता है।

2. किसी त्रिभुज का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के आनुपातिक खंडों में विभाजित करता है:

सबूत।

आइए अतिरिक्त निर्माण करें। आइए बिंदु के समानांतर एक रेखा खींचें

एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु:

∠1=∠2, चूँकि - समद्विभाजक ∠

∠2=∠3, निर्माण के अनुसार, आड़ा पड़ा हुआ है।

इसलिए, ∠1=∠3 और त्रिभुज समद्विबाहु है, और।

इस तरह,

3. समद्विभाजक की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

आइए दूसरे सूत्र को सिद्ध करें।

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

आइए हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए व्यंजकों को समान करें:

4. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक है:

तब संबंध कायम रहता है:

सबूत:

एक त्रिभुज पर विचार करें:

इसलिए, एक कोण का समद्विभाजक, त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण से होता है

फिर रहने दो

आइए इसे व्यक्त करें. त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण के अनुसार:

यहाँ से

कुछ समस्याओं में, त्रिभुज के समद्विभाजक को परिचालित वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन तक विस्तारित करना सुविधाजनक होता है।

ट्रेफ़ोइल के बारे में लेम्मा।

एक त्रिभुज दिया गया है. बिंदु - त्रिभुज के परिवृत्त के साथ कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु। मान लीजिए त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र है। तब

सबूत।

समान चापों को अंतरित करने वाले अंकित कोण बराबर होते हैं। समान अंकित कोणों पर ध्यान दें:

यहाँ से।

अत: वृत्त का केंद्र कोण का समद्विभाजक है।

एक त्रिकोण से

फिर त्रिभुज से

प्राप्त ।

अर्थात् त्रिभुज समद्विबाहु है।

यहाँ से।

ये साबित कर दिया

आइए बिंदु 3 से सूत्र (1) सिद्ध करें:

सबूत:

आइए हम समद्विभाजक को तब तक जारी रखें जब तक कि यह परिवृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। त्रिभुजों और पर विचार करें। आइए समान कोणों को चिह्नित करें:

एक त्रिभुज दो कोणों पर एक त्रिभुज के समान होता है। यहाँ से:

प्रतिच्छेदी जीवाओं के खंडों की संपत्ति से

आइए (3) को (2) में प्रतिस्थापित करें और (4) का उपयोग करें:

आइए हम उन खंडों की लंबाई को त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के रूप में व्यक्त करें जिनमें समद्विभाजक त्रिभुज की भुजा को विभाजित करता है। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

हमें सिस्टम मिलता है:

मध्यस्थ।

1. एक त्रिभुज की माध्यिकाओं को शीर्ष से गिनती करते हुए, प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा 2:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है:

2. मान लीजिए कि त्रिभुज के अंदर एक बिंदु इस प्रकार है कि निम्नलिखित संबंध कायम है: , तो त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है.

सबूत।

आइए हम एक सहायक प्रमेय सिद्ध करें।

लेम्मा.

एक त्रिभुज के अंदर एक मनमाने बिंदु के लिए, निम्नलिखित संबंध होता है:

आइए हम बिंदुओं और लंबों से हटें :

त्रिभुजों की समानता से हमें यह मिलता है:

यदि हम एक सामान्य आधार वाले त्रिभुजों पर विचार करें , तो हमें संबंध मिलता है:

वैसे ही हम पाते हैं

इन समानताओं को जोड़ने पर हमें यह मिलता है:

हम कथन 2 को सिद्ध करने के लिए इस प्रमेयिका का उपयोग करते हैं।

यदि समानता कायम रहे (1) , फिर समानता (2) और लेम्मा से यह निष्कर्ष निकलता है कि समानता (2) में प्रत्येक भिन्न बराबर है।

आइए हम साबित करें कि इस मामले में खंड मध्यस्थ हैं.

अगर , तो हमें मिलता है . आइए हम बिंदु के समानांतर और उससे होकर गुजरने वाली सीधी रेखाएँ खींचें और समरूप त्रिभुजों के दो युग्मों पर विचार करें: और:

यहीं से हमें मिलता है

त्रिभुजों की समानता से हमें प्राप्त होता है, अर्थात् बिंदु खंड का मध्य है। यहाँ से।

अतः, त्रिभुज की माध्यिका है।

3. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे 6 समान त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।

सबूत।

आइए इसे साबित करें

क्योंकि ,

क्योंकि ,

इस तरह,

ऊंचाई.

1. त्रिभुज की ऊँचाई वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। न्यूनकोण त्रिभुज के मामले में, ऊँचाईयाँ स्वयं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

2. किसी त्रिभुज की ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु में निम्नलिखित गुण होते हैं: त्रिभुज के शीर्ष से दूरी के वर्ग और विपरीत भुजा के वर्ग का योग किसी भी शीर्ष के लिए समान होता है:

सबूत।

आइए समानता का पहला भाग सिद्ध करें:

आइए इसे इस रूप में फिर से लिखें:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: (त्रिकोणों से और)

(त्रिभुज से)

(त्रिभुज से)

इन भावों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

आइए कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें:

हमें एक पहचान मिली. समानता का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।

3. यदि हम किसी त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते हैं और त्रिभुज की ऊंचाईयों को तब तक बढ़ाते हैं जब तक कि वे इस वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दें,

फिर किसी त्रिभुज की किसी भी ऊँचाई के लिए, ऊँचाई के आधार से वृत्त के साथ ऊँचाई की निरंतरता के प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी ऊँचाई के आधार से ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है:

या इस तरह: त्रिभुज की भुजाओं के सापेक्ष त्रिभुज की ऊंचाईयों के प्रतिच्छेदन बिंदु के सममित बिंदु त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित होते हैं।

सबूत।

आइए इसे साबित करें.

ऐसा करने के लिए, त्रिभुजों और पर विचार करें और उसे सिद्ध करें :

आइए हम इस चिह्न का उपयोग करें कि त्रिभुज एक भुजा और दो आसन्न कोणों के अनुदिश बराबर होते हैं। - सामान्य पक्ष. आइए दो कोणों की समानता सिद्ध करें।

आइए हम सिद्ध करें कि ∠ ∠

मान लीजिए ∠, तो त्रिभुज से हमें वह प्राप्त होता है

∠. अत: त्रिभुज से हमें वह प्राप्त होता है

लेकिन ∠ और ∠ एक ही चाप पर टिके हैं, इसलिए ∠ ∠ ∠

इसी प्रकार हम पाते हैं कि ∠ ∠

4. एक त्रिभुज में, बिंदु और शीर्षों से खींची गई ऊँचाइयों के आधार होते हैं। साबित करें कि एक त्रिकोण एक त्रिकोण के समान है और समानता गुणांक के बराबर है।

सबूत:

एक समकोण त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य में स्थित होता है . बिंदु इस वृत्त पर है क्योंकि - समकोण त्रिभुज का कर्ण:

जैसे एक चाप पर आधारित अंकित कोण।

त्रिकोण से:

यहाँ से। कोण त्रिभुजों का उभयनिष्ठ कोण है। इसलिए, एक त्रिभुज एक त्रिभुज के समान होता है। समानता गुणांक समान भुजाओं के अनुपात के बराबर है, अर्थात वे भुजाएँ जो समान कोणों के विपरीत स्थित हैं:

सेवा का प्रमेय

एक त्रिकोण में चलो

खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि

सबूत।

आइए हम सिद्ध करें कि यदि खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो संबंध (1) संतुष्ट होता है।

यह जांचना आसान है कि यदि, तो धारण करता है

आइए अनुपात की इस संपत्ति को लागू करें:

वैसे ही:

सेवा का प्रमेय इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो निम्नलिखित संबंध होता है:

साबित करना सेवा का प्रमेय ज्या के रूप में, यह प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के स्थान पर समानता के दूसरे भाग (2) में सूत्र को प्रतिस्थापित करने के लिए पर्याप्त है .

अगाखानोव नज़र खांगेल्डिविच और व्लादिमीर विक्टरोविच ट्रुशकोव, केपीके एमआईपीटी के व्याख्यानों से।

त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज है, या तीन कड़ियों वाली एक बंद टूटी हुई रेखा है, या तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों से बनी एक आकृति है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं (चित्र 1 देखें)।

त्रिभुज एबीसी के मूल तत्व

चोटियों - बिंदु ए, बी, और सी;

दलों - शीर्षों को जोड़ने वाले खंड a = BC, b = AC और c = AB;

एंगल्स - α, β, γ तीन जोड़ी भुजाओं से बनते हैं। कोणों को अक्सर शीर्षों की तरह ही ए, बी और सी अक्षरों से निर्दिष्ट किया जाता है।

किसी त्रिभुज की भुजाओं से बना और उसके आंतरिक क्षेत्र में पड़ने वाले कोण को आंतरिक कोण कहा जाता है, और उससे सटे कोण को त्रिभुज का आसन्न कोण कहा जाता है (2, पृष्ठ 534)।

त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ

त्रिभुज में मुख्य तत्वों के अलावा, दिलचस्प गुणों वाले अन्य खंडों पर भी विचार किया जाता है: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ।

ऊंचाई

त्रिभुज की ऊँचाई- ये त्रिभुज के शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर डाले गए लम्ब हैं।

ऊँचाई आलेखित करने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) त्रिभुज की एक भुजा वाली एक सीधी रेखा खींचिए (यदि ऊँचाई एक अधिक त्रिभुज में न्यून कोण के शीर्ष से खींची गई हो);

2) खींची गई रेखा के विपरीत स्थित शीर्ष से इस रेखा तक 90 डिग्री का कोण बनाते हुए एक खंड बनाएं।

त्रिभुज की भुजा के साथ ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है ऊंचाई का आधार (चित्र 2 देखें)।

त्रिभुज ऊंचाई के गुण

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसके दो शीर्षलंब समरूप त्रिभुजों को इससे काट देते हैं।

यदि त्रिभुज तीव्र है, तो ऊँचाई के सभी आधार त्रिभुज की भुजाओं से संबंधित होते हैं, और एक अधिक त्रिभुज में, दो ऊँचाइयाँ भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन शीर्षलंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु को कहा जाता है ऑर्थोसेंटर त्रिकोण.

मंझला

माध्यिकाओं(लैटिन मेडियाना से - "मध्य") - ये त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड हैं (चित्र 3 देखें)।

माध्यिका बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित चरण करने होंगे:

1) भुजा के मध्य का पता लगाएं;

2) उस बिंदु को जो त्रिभुज की भुजा के मध्य में विपरीत शीर्ष के साथ है, एक खंड से जोड़ें।

त्रिभुज माध्यिकाओं के गुण

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनती करते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्र त्रिकोण.

सम्पूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।

द्विभाजक

समद्विभाजक(लैटिन बीआईएस से - दो बार और सेको - कट) एक त्रिभुज के अंदर घिरे सीधी रेखा खंड हैं जो इसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं (चित्र 4 देखें)।

समद्विभाजक बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कदम उठाने होंगे:

1) कोण के शीर्ष से निकलने वाली एक किरण बनाएं और इसे दो बराबर भागों (कोण का समद्विभाजक) में विभाजित करें;

2) विपरीत भुजा वाले त्रिभुज के कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें;

3) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले एक खंड का चयन करें।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

किसी त्रिभुज के कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को अंकित वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

आंतरिक और बाह्य कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा के विस्तार को काटता है, तो ADBD=ACBC होता है।

त्रिभुज के एक आंतरिक और दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु इस त्रिभुज के तीन बाह्यवृत्तों में से एक का केंद्र है।

किसी त्रिभुज के दो आंतरिक और एक बाह्य कोण के समद्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं यदि बाह्य कोण का समद्विभाजक त्रिभुज की विपरीत भुजा के समानांतर नहीं होता है।

यदि किसी त्रिभुज के बाह्य कोणों के समद्विभाजक विपरीत भुजाओं के समानांतर नहीं हैं, तो उनके आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

स्कूल पाठ्यक्रम में किसी भी विषय का अध्ययन करते समय, आप कुछ न्यूनतम समस्याओं का चयन कर सकते हैं, और उन्हें हल करने के तरीकों में महारत हासिल करने के बाद, छात्र अध्ययन किए जा रहे विषय पर कार्यक्रम आवश्यकताओं के स्तर पर किसी भी समस्या को हल करने में सक्षम होंगे। मैं उन समस्याओं पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं जो आपको स्कूली गणित पाठ्यक्रम में व्यक्तिगत विषयों के अंतर्संबंधों को देखने की अनुमति देंगी। इसलिए, कार्यों की संकलित प्रणाली छात्रों को परीक्षा के लिए तैयार करने के दौरान शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति, सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का एक प्रभावी साधन है।

परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए त्रिभुज के कुछ तत्वों के बारे में अतिरिक्त जानकारी रखना उपयोगी होगा। आइए एक त्रिभुज की माध्यिका के गुणों और उन समस्याओं पर विचार करें जिन्हें हल करने में इन गुणों का उपयोग किया जा सकता है। प्रस्तावित कार्य स्तर विभेदन के सिद्धांत को लागू करते हैं। सभी कार्यों को सशर्त रूप से स्तरों में विभाजित किया गया है (स्तर प्रत्येक कार्य के बाद कोष्ठक में दर्शाया गया है)।

आइए हम त्रिभुज की माध्यिका के कुछ गुणों को याद करें

संपत्ति 1. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिका है एबीसी, शीर्ष से खींचा गया ए, भुजाओं के योग के आधे से भी कम अबऔर एसी।.

सबूत

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt='$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

संपत्ति 2. माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रों में काटती है।

सबूत

आइए त्रिभुज ABC के शीर्ष B से माध्यिका BD और ऊँचाई BE बनाएं..gif" alt='क्षेत्रफल" width="82" height="46">!}

चूँकि खंड BD माध्यिका है

क्यू.ई.डी.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt='Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} संपत्ति 4. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ त्रिभुज को 6 बराबर त्रिभुजों में विभाजित करती हैं।

सबूत

आइए हम सिद्ध करें कि छह त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल जिसमें माध्यिकाएँ त्रिभुज ABC को विभाजित करती हैं, त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल के बराबर है। ऐसा करने के लिए, उदाहरण के लिए, त्रिभुज AOF पर विचार करें और शीर्ष A से रेखा BF पर एक लंबवत AK छोड़ें।

संपत्ति 2 के कारण,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt='Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

संपत्ति 6. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज में माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।

सबूत

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt='Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

नतीजे:1. एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य में स्थित होता है।

2. यदि किसी त्रिभुज में माध्यिका की लंबाई उस भुजा की लंबाई की आधी के बराबर है जिस पर वह खींची गई है, तो यह त्रिभुज समकोण है।

कार्य

प्रत्येक आगामी समस्या को हल करते समय सिद्ध गुणों का उपयोग किया जाता है।

№1 विषय: माध्यिका का दोगुना होना। कठिनाई: 2+

समांतर चतुर्भुज के लक्षण और गुण ग्रेड: 8,9

स्थिति

माध्यिका की निरंतरता पर पूर्वाह्न।त्रिकोण एबीसीप्रति बिंदु एमखंड स्थगित एम.डी., बराबर पूर्वाह्न।. सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एबीडीसी- समांतर चतुर्भुज.

समाधान

आइए समांतर चतुर्भुज के किसी एक चिह्न का उपयोग करें। चतुर्भुज के विकर्ण एबीडीसीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना एमऔर इसे आधे में विभाजित करें, इसलिए चतुर्भुज एबीडीसी- समांतर चतुर्भुज.

एक प्रमेय है कि एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहां 2 उस शीर्ष से खंड से मेल खाता है जहां से मध्यिका खींची गई है और मध्यस्थों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक, और 1 उस खंड से संबंधित है जो मध्यस्थों के प्रतिच्छेदन बिंदु से लेकर उस तरफ के मध्य तक है जहां से मध्यिका खींची गई है।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए माध्यिका AE, BF, CD वाले त्रिभुज ABC पर विचार करें। अर्थात्, बिंदु D, E, F क्रमशः भुजाओं AB, BC, CA को समद्विभाजित करते हैं।
हम नहीं जानते कि क्या सभी माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (इसे अभी भी सिद्ध करने की आवश्यकता है)। हालाँकि, कोई भी दो माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी, क्योंकि वे समानांतर नहीं हो सकती हैं। मान लीजिए माध्यिकाएँ AE और BF बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।

माध्यिका BF माध्यिका AE को दो खंडों AO और EO में विभाजित करती है। आइए बिंदु E से होकर BF के समानांतर एक रेखा खींचें। यह रेखा भुजा AC को एक निश्चित बिंदु L पर प्रतिच्छेद करेगी। हम खंड AB (बिंदु D) के मध्य से होकर BF के समानांतर एक और रेखा भी खींचेंगे। यह AC को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करेगा।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, यदि किसी कोण के शीर्ष से एक तरफ हम क्रमिक रूप से समान खंड बनाते हैं और इन खंडों के सिरों से समानांतर रेखाएँ खींचते हैं जो कोण के दूसरे पक्ष को काटते हैं, तो ये समानांतर रेखाएँ समान खंडों को भी काट देंगी कोण के दूसरी ओर.

आइए इस त्रिभुज के कोण BCA को देखें। खंड BE और EC एक दूसरे के बराबर हैं, रेखाएँ BF और EL एक दूसरे के समानांतर हैं। फिर, थेल्स प्रमेय के अनुसार, सीएल = एलएफ।
यदि हम कोण BAC को देखें, चूँकि AD = BD और DK || बीएफ, फिर एके = केएफ।

चूँकि खंड AF और CF एक दूसरे के बराबर हैं (चूंकि वे माध्यिका से बनते हैं) और उनमें से प्रत्येक को दो समान खंडों में विभाजित किया गया है, तो AC पक्ष के सभी चार खंड एक दूसरे के बराबर हैं: AK = KF = FL = एलसी.

कोण EAC पर विचार करें. AC भुजा के तीन समान खंडों के सिरों से होकर समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं। परिणामस्वरूप, उन्होंने AE की ओर समान खंड काट दिए। खंड AO में ऐसे दो खंड हैं, और EO में केवल एक खंड है। इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है कि त्रिभुज की कम से कम एक माध्यिका दूसरी माध्यिका के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा दो खंडों में विभाजित होती है, जिनकी लंबाई 2: 1 के रूप में संबंधित होती है।

अब माध्यिका AE और माध्यिका CD के प्रतिच्छेदन पर विचार करें। मान लीजिए कि वे बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।

पिछले वाले के समान, यह सिद्ध होता है कि समानांतर रेखाएँ FM, CD, EN भुजा AB को समान खंडों में विभाजित करती हैं। बदले में, वे AE को तीन समान खंडों में विभाजित करते हैं। इसके अलावा, शीर्ष A से मध्यस्थों के प्रतिच्छेदन तक ऐसे दो खंड हैं, और उसके बाद एक है।

एक ही खंड को तीन समान भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है ताकि एक विभाजन विकल्प के साथ उनका आकार समान हो, और दूसरे के साथ - एक अलग। इसलिए, बिंदु O और P संपाती होने चाहिए। इसका मतलब यह है कि त्रिभुजों की तीनों माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यह साबित करने के लिए कि अन्य दो माध्यिकाएँ प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा 2:1 के अनुपात में विभाजित हैं, आप पिछले वाले की तरह, भुजाओं AB और BC पर समानांतर रेखाएँ खींच सकते हैं।