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वर्ग को हल करने के 10 तरीके। द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके। द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> एमओयू "सर्गिएव्स्काया सेकेंडरी स्कूल"

द्वारा पूरा किया गया: सिज़िकोव स्टानिस्लाव

शिक्षक:

साथ। सर्गिएवका, 2007

1 परिचय। प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण…………….3

2. द्विघात में द्विघात समीकरण…………………………………….4

3. भारत में द्विघात समीकरण ………………………………………………………………………

4. अल-खोरेज़मी में द्विघात समीकरण …………………………………..6

5. यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XYII ……………………………7

6. वीटा प्रमेय के बारे में …………………………………………………………..9

7. द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके……………………..10

8. निष्कर्ष …………………………………………………………20

9. संदर्भ ……………………………………………… 21

परिचय

द्विघातीय समीकरण

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणक, अपरिमेय समीकरणों को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि कक्षा 8 से शुरू करके द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। लेकिन द्विघात समीकरणों को हल करने के इतिहास की उत्पत्ति और विकास कैसे हुआ?

प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, प्राचीन काल में, भूमि के क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी; एक सैन्य प्रकृति के भूकंप, साथ ही साथ खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ। द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियाई। आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में, अधूरे लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं: x2 + x = : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; भास्कर की आड़ में लिखते हैं

x2- 64एक्स = - 768

और, इस समीकरण के बाईं ओर के वर्ग को पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों में 322 जोड़ता है, फिर प्राप्त करता है: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(एक्स- 32)2 = 256; एक्स - 32 = ± 16, xt = 16, एचजी= 48.

अल - खोरेज़मी . में द्विघात समीकरण

अल-ख्वारिज्मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 = में।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह2= साथ।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह = एस।

4) "वर्ग और संख्याएं जड़ों के बराबर हैं", अर्थात। आह2+ सी = में।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह2+ में = एस।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात। में+ सी \u003d कुल्हाड़ी 2।अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के प्रयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित करता है। उनका निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाता है। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी, 17 वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य को ध्यान में नहीं रखते हैं। समाधान, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-ख्वारिज्मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करता है, और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाण।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

समस्या 14. “वर्ग और संख्या 21 10 मूल के बराबर हैं। मूल खोजें "(मतलब समीकरण की जड़ x2+ 21 = 10एक्स)।

लेखक का समाधान कुछ इस प्रकार है: जड़ों की संख्या को आधे में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को अपने आप से गुणा करें, उत्पाद से 21 घटाएं, 4 शेष। 4 की जड़ लें, आपको 2 मिलता है। 5 से 2 घटाएं, आप 3 प्राप्त करें, यह वांछित जड़ होगी। या 2 से 5 जोड़ें, जो 7 देगा, यह भी एक जड़ है।

अल-ख्वारिज्मी का ग्रंथ पहली पुस्तक है जो हमारे सामने आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें- XVIIसदियों

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले बुक ऑफ द अबेकस (पिछली शताब्दी के मध्य में रोम में प्रकाशित, अबेकस की फिबोनाची बुक में 459 पृष्ठ हैं) में लिखे गए थे। 1202 इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस के दोनों देशों के गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजीय उदाहरण विकसित किए और पहला मेंयूरोप ने नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत की। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक के कई कार्य 16वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में पारित हो गए। और आंशिक रूप से XVIII।

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए सामान्य नियम x2+ में = एस,गुणांक के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों के लिए इसके साथ मेंयूरोप में केवल 1544 में तैयार किया गया था। एम स्टीफेल।

Vieta के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डाको, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले थे। सकारात्मक, और नकारात्मक जड़ों के अलावा, ध्यान में रखें। केवल XVII सदी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि एक आधुनिक रूप लेती है।

Vieta के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और इसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाली प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, उनके द्वारा पहली बार 1591 में निम्नानुसार तैयार किया गया था: "यदि पर+ डी, से गुणा लेकिनऋण ए2,बराबरी बीडी, फिर लेकिनबराबरी परऔर बराबर डी».

विएटा को समझने के लिए यह याद रखना चाहिए कि लेकिन,किसी तरह
स्वर, उसके लिए अज्ञात (हमारे .) एक्स),स्वर वर्ण
पर,डी- अज्ञात के लिए गुणांक। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: if

(एक+ सी) एक्स - एक्स 2 = अब, x2 - (ए+ बी) एक्स + अब = 0, एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी।

प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों की जड़ों और गुणांक के बीच संबंध व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक रूप से दूर है। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों के मूल सूत्रों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी सहायता से आप किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके हैं जो आपको बहुत जल्दी और तर्कसंगत रूप से कई समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके हैं। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें।

1. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड

आइए समीकरण हल करें x2+ 10एक्स- 24 = 0. आइए समीकरण के बाईं ओर गुणनखंड करें:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

एक्स (एक्स + एक्स + 12) = (एक्स + 12) (एक्स - 2)।

इसलिए, समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12)(x - 2) = 0.

चूंकि उत्पाद शून्य है, इसका कम से कम एक कारक शून्य है। इसलिए, समीकरण का बायां पक्ष गायब हो जाता है जब एक्स = 2, साथ ही एक्स= - 12. इसका मतलब है कि संख्या 2 और - 12 समीकरण x2 + 10x - 24 = 0 के मूल हैं।

2. पूर्ण वर्ग चयन विधि

आइए इस विधि को एक उदाहरण के साथ समझाते हैं।

आइए समीकरण x2 + 6x - 7 = 0 को हल करें। बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में व्यंजक x2 + 6x लिखते हैं:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

परिणामी व्यंजक में, पहला पद संख्या x का वर्ग है, और दूसरा x बटा 3 का दोहरा गुणनफल है। इसलिए, पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको 32 जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2।

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करते हैं

x2 + 6x - 7 = 0,

इसमें जोड़ना और घटाना 32. हमारे पास है:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 एक्स 3 +– 7 = (एक्स- \u003d (एक्स - जेड) 2 - 16 .

इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(x + = 0, अर्थात (x + 3)2 = 16.

फलस्वरूप, एक्स+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1, या x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों का हल

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

आह2+ में+ सी = 0, एक 0, पर 4 एऔर क्रमिक रूप से हमारे पास है:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2एक्स)2 + 2 कुल्हाड़ी + बी2 ) - बी2 + 4ac= 0,

(2ax +बी)2 = में2- 4एसी,

2ax+ बी= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

सकारात्मक विवेचक के मामले में, अर्थात, के साथ v2 - 4ac > 0, समीकरण आह2+ में + s= 0 की दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यदि विवेचक शून्य है, अर्थात। v2 - 4ac = 0, फिर समीकरण आह2+ में+ साथ= 0 का एक ही मूल है, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> इसकी जड़ें वियत प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, जब एक= 1 का रूप है

x1 x2 = क्यू,

x1 + x2 = - आर।

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं (गुणांक द्वारा .) आरतथा क्यूमूल संकेतों की भविष्यवाणी की जा सकती है)।

क) यदि एक मुक्त सदस्य क्यूघटा हुआ समीकरण (1)
सकारात्मक (क्यू> 0), तो समीकरण में दो समान हैं
जड़ के चिन्ह से और यह दूसरे गुणांक पर निर्भर करता है आर
यदि एक आर> 0, तो दोनों मूल ऋणात्मक होंगे यदि आर< 0, फिर दोनों
जड़ें सकारात्मक हैं।

उदाहरण के लिए,

x2- 3एक्स + 2 = 0; x1= 2 और x2 = 1, क्योंकि क्यू = 2 > 0 तुम पी = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 और x2 \u003d - 1, तब से क्यू= 7 > 0 और आर = 8 > 0.

बी) यदि एक मुक्त सदस्य क्यूघटा हुआ समीकरण (1)
नकारात्मक (क्यू < 0), तो समीकरण के अलग-अलग चिह्न के दो मूल हैं, और निरपेक्ष मान में बड़ा मूल धनात्मक होगा यदि आर< 0, या नकारात्मक अगर पी > 0.

उदाहरण के लिए,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 और x2 \u003d 1, तब से क्यू = - 5 < 0 и आर= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 और x2= - 1 क्योंकि क्यू = - 9 < и आर= - 8 < 0.

5. "स्थानांतरण" की विधि द्वारा समीकरणों का समाधान

द्विघात समीकरण पर विचार करें कुल्हाड़ी 2 + इंच+ सी = 0, जहां एक 0. इसके दोनों भागों को से गुणा करना एक,हमें समीकरण मिलता है a2x2 +abx+ इक्का= 0.

होने देना आह = वाईकहाँ पे एक्स=; तब हम समीकरण पर आते हैं

y2+ द्वारा+ एसी = 0,

इस के बराबर। इसकी जड़ें y1तथा y2विएटा के प्रमेय की सहायता से ज्ञात कीजिए। अंत में हमें मिलता है x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">।

इस विधि के साथ, गुणांक एकमुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक दिया" जाता है, इसलिए इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

1. समीकरण 2x2 - 11x + 15 = 0 को हल करें।

समाधान।आइए गुणांक 2 को मुक्त अवधि में "स्थानांतरित करें", परिणामस्वरूप हमें समीकरण मिलता है

y2 - 11 पर+ 30 = 0.

विएटा प्रमेय के अनुसार, y1 = 5, y2 = 6, इसलिए x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, टी ई।

x1 = 2.5 x2 = 3।

उत्तर: 2,5; 3.

6. वर्ग के गुणांकों के गुणसमीकरण

A. मान लीजिए कि एक द्विघात समीकरण दिया गया है

ax2 + in + c= 0, जहां एक ≠ 0.

1. यदि एक + में + साथ= 0 (अर्थात, समीकरण के गुणांकों का योग शून्य के बराबर है), तो x1 = 1, x2 = .

2. अगर ए - बी + सी= 0, याबी = एक + ग, तो x1 = - 1, एक्स 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">।

उत्तर: 1; 184">

निम्नलिखित मामले संभव हैं:

एक सीधी रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज द्विघात समीकरण के मूल हैं;

एक सीधी रेखा और एक परवलय स्पर्श कर सकते हैं (केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु), यानी समीकरण का एक हल होता है;

सीधी रेखा और परवलय में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं, अर्थात द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है।

उदाहरण।

1. आइए समीकरण x2 - 3x - 4 = 0 (चित्र 2) को आलेखीय रूप से हल करें।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं x2 = 3x + 4।

आइए एक परवलय का निर्माण करें वाई = x2और प्रत्यक्ष वाई = 3x + 4. प्रत्यक्ष पर= 3x + 4 का निर्माण दो बिंदुओं M(0; 4) और N(3; 13) से किया जा सकता है। एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं क से खभुज के साथ x1= - 1 और x2 = 4।

उत्तर: x1= - 1, एक्स, = 4।

8. द्विघात समीकरणों को एक कम्पास और सीधा किनारे से हल करना

परवलय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने का चित्रमय तरीका असुविधाजनक है। यदि आप बिंदु से एक परवलय बिंदु बनाते हैं, तो इसमें बहुत समय लगता है, और प्राप्त परिणामों की सटीकता की डिग्री कम होती है।

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित विधि का प्रस्ताव करते हैं:

आह2+ में+ साथ= 0

एक कम्पास और शासक का उपयोग करना (चित्र।)

मान लीजिए कि वांछित वृत्त भुजिका अक्ष को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है बी(X1; 0) और डी(एक्स2 ; 0), जहां x1तथा x2- समीकरण की जड़ें कुल्हाड़ी 2 + इंच+साथ=0,
और y-अक्ष पर बिंदु A(0; 1) और C(0; ) से होकर गुजरता है..gif" width="197" height="123">

तो: 1) बिल्ड पॉइंट्स https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> सर्कल OX अक्ष को बिंदु B(x1;0) पर काटता है ), और डी (x1 .) ; 0), जहां x1 और x2 - द्विघात समीकरण की जड़ें ax2+bx+c = 0.

2) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि के बराबर होती है , वृत्त x-अक्ष को बिंदु B(x1; 0) पर स्पर्श करता है, जहाँ xxद्विघात समीकरण का मूल है।

3) वृत्त की त्रिज्या बाईं ओर के केंद्र की कोटि से कम है">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

जहां से प्रतिस्थापन के बाद और

सरलीकरण, समीकरण z2+pz+q=0 अनुसरण करता है, और अक्षर z का अर्थ वक्रता पैमाने के किसी भी बिंदु का लेबल है।

10. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय विधि

प्राचीन काल में, जब ज्यामिति बीजगणित की तुलना में अधिक विकसित थी, द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से नहीं, बल्कि ज्यामितीय रूप से हल किया जाता था। आइए एक उदाहरण देते हैं जो अल-ख्वारिज्मी द्वारा बीजगणित से प्रसिद्ध हो गया है।

और चार संलग्न वर्ग यानी S=x2+10x+25। x2+10x को 39 से बदलने पर, हमें S = 39 + 25 = 64 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि वर्ग की भुजा ए बी सी डी, यानी खंड अब= 8. अभीष्ट भुजा के लिए एक्समूल वर्ग हमें मिलता है

निष्कर्ष

हम सभी जानते हैं कि स्कूल से लेकर स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। लेकिन गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों के मूल सूत्रों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी सहायता से किसी भी द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है। हालाँकि, इस मुद्दे का अधिक गहराई से अध्ययन करने के बाद, मुझे विश्वास हो गया कि द्विघात समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके हैं जो आपको बहुत जल्दी और तर्कसंगत रूप से कई समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

हो सकता है कि गणित अन्य आयामों में कहीं और हो, आंखों को दिखाई न दे - सब कुछ लिखा हुआ है और हमें दुनिया के छेद से सभी नए तथ्य मिलते हैं? ... ईश्वर जानता है; लेकिन यह पता चला है कि यदि भौतिकविदों, रसायनज्ञों, अर्थशास्त्रियों या पुरातत्वविदों को दुनिया की संरचना के एक नए मॉडल की आवश्यकता है, तो यह मॉडल हमेशा उस शेल्फ से लिया जा सकता है जहां गणितज्ञों ने इसे तीन सौ साल पहले रखा था, या उसी पर पड़े हिस्सों से इकट्ठा किया गया था। दराज। शायद इन भागों को मोड़ना होगा, एक दूसरे के साथ समायोजित करना होगा, पॉलिश करना होगा, जल्दी से कुछ नए प्रमेय झाड़ियों को बनाना होगा; लेकिन परिणाम का सिद्धांत न केवल उस वास्तविक स्थिति का वर्णन करेगा जो उत्पन्न हुई है, बल्कि परिणामों की भविष्यवाणी भी करेगी! ...

अजीब सी बात है दिमाग का ये खेल, जो हमेशा सही होता है...

साहित्य

1. अलीमोव एसएचए।, इलिन वीए। एट अल बीजगणित, 6-8। हाई स्कूल के 6-8 ग्रेड के लिए परीक्षण पाठ्यपुस्तक। - एम।, शिक्षा, 1981।

2. हाई स्कूल के लिए ब्रैडिस गणित टेबल। ईडी। 57वां। - एम।, शिक्षा, 1990। एस। 83।

3. ज़्लॉट्स्की - गणित पढ़ाने में कार्य। शिक्षक के लिए पुस्तक। - एम।, शिक्षा, 1992।

4.एम।, गणित (समाचार पत्र "सितंबर का पहला" का पूरक), संख्या 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98।

5. ओकुनेव कार्य, समीकरण और असमानताएँ। शिक्षक के लिए एक गाइड। - एम।, शिक्षा, 1972।

6. सोलोमनिक बी.सी., गणित में मीठे प्रश्न और समस्याएं। ईडी। चौथा, जोड़ें। - एम।, हायर स्कूल, 1973।

7.एम।, गणित (समाचार पत्र "पहले सितंबर" का पूरक), नंबर 40, 2000।

समीक्षा

एमओयू "सर्गिएव्स्काया माध्यमिक" के 11 वीं कक्षा के छात्र के काम के लिए

समावेशी स्कूल"

कोपयेवस्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

सिर: पेट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

एस.कोपयेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-ख्वारिज्मी में द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XVII सदियों

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1 .1 वर्ग समीकरणप्राचीन बेबीलोन में संघर्ष

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण थी। गणित ही। द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियाई।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन को लागू करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अधूरे लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं:

एक्स 2 + एक्स = ѕ; एक्स 2 - एक्स = 14,5

बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए।

बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के सामान्य तरीकों का अभाव है।

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित का एक व्यवस्थित विवरण नहीं होता है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला होती है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों को बनाकर हल किया जाता है।

समीकरणों को संकलित करते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात को चुनता है।

यहाँ, उदाहरण के लिए, उनके कार्यों में से एक है।

टास्क 11."दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और उनका गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस इस प्रकार तर्क देता है: यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि वांछित संख्याएं समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान थे, तो उनका उत्पाद 96 नहीं, बल्कि 100 होगा। इस प्रकार, उनमें से एक उनके आधे से अधिक होगा योग, यानी। 10+x, दूसरा छोटा है, अर्थात्। 10's. उनके बीच का अंतर 2x.

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100's 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

यहाँ से एक्स = 2. वांछित संख्याओं में से एक है 12 , अन्य 8 . समाधान एक्स = -2डायोफैंटस के लिए मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्या जानता था।

यदि हम अज्ञात के रूप में वांछित संख्याओं में से किसी एक को चुनकर इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के समाधान पर आ जाएंगे

y(20 - y) = 96,

पर 2 - 20y + 96 = 0। (2)

यह स्पष्ट है कि डायोफैंटस वांछित संख्याओं के आधे-अंतर को अज्ञात के रूप में चुनकर समाधान को सरल बनाता है; वह एक अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने के लिए समस्या को कम करने का प्रबंधन करता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय पथ "आर्यभट्टम" में द्विघात समीकरणों की समस्याएं पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के सामान्य नियम को रेखांकित किया:

ओह 2 + बीएक्स = सी, ए> 0। (1)

समीकरण (1) में, गुणांक, को छोड़कर एक, नकारात्मक भी हो सकता है। ब्रह्मगुप्त का शासन अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।

प्राचीन भारत में, कठिन समस्याओं को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में कहा गया है: "जैसे सूरज अपनी चमक से सितारों को चमका देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक सभाओं में बीजगणितीय समस्याओं को प्रस्तावित और हल करने में दूसरे की महिमा को चमकाएगा।" कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में तैयार किया जाता था।

यहाँ बारहवीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर।

टास्क 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और लताओं में बारह ...

बिजली खाकर मजा आ गया। वे कूदने लगे, लटक गए ...

उनमें से आठ भाग एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मस्ती करते हुए। तुम बताओ, इस झुंड में?

भास्कर का हल इंगित करता है कि वह द्विघात समीकरणों के मूलों की दो-मूल्यवानता के बारे में जानता था (चित्र 3)।

समस्या 13 के संगत समीकरण है:

(एक्स/8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर की आड़ में लिखते हैं:

एक्स 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , तब प्राप्त करना:

एक्स 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स 1 = 16, एक्स 2 = 48.

1.4 वर्ग समीकरणअल-खोरेज़मी

अल-खोरेज़मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। ओह 2 + के साथ =बीएक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", अर्थात। ओह 2 = एस.

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह = एस।

4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात्। ओह 2 + के साथ =बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। ओह 2 + बीएक्स= एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात। बीएक्स+ सी = कुल्हाड़ी 2 .

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के प्रयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबाला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों की रूपरेखा तैयार करता है। उनके निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाते हैं। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय

अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि यह विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में कोई फर्क नहीं पड़ता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-खोरेज़मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करके हल करने के नियमों को निर्धारित करता है, और फिर ज्यामितीय प्रमाण।

कार्य 14."वर्ग और संख्या 21 10 जड़ों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x . का मूल मानकर 2 + 21 = 10x)।

ट्रीटीज़ अल-खोरेज़मी पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से बताया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें - XVIIसदियों

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले "अबेकस की पुस्तक" में निर्धारित किए गए थे, जिसे 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखा गया था। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम और प्राचीन ग्रीस के दोनों देशों में गणित के प्रभाव को दर्शाता है, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। "अबेकस की पुस्तक" से कई कार्य 16 वीं - 17 वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में पारित हो गए। और आंशिक रूप से XVIII।

द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम एकल विहित रूप में घटाया गया:

एक्स 2 + बीएक्स= साथ,

गुणांक के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों के लिए बी, साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टीफेल द्वारा तैयार किया गया था।

Vieta के पास द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की एक सामान्य व्युत्पत्ति है, लेकिन Vieta ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा, खाते में लें। केवल XVII सदी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और इसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाली प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, उनके द्वारा पहली बार 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डीसे गुणा ए - ए 2 , बराबर बीडी, फिर एबराबरी परऔर बराबर डी».

विएटा को समझने के लिए यह याद रखना चाहिए कि लेकिन, किसी भी स्वर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारी .) एक्स), स्वरों पर,डी- अज्ञात के लिए गुणांक। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: if

(ए +बी) एक्स - एक्स 2 = अब,

एक्स 2 - (ए +बी)एक्स + एबी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी.

प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों के मूल और गुणांक के बीच संबंध व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। वहीं, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक रूप से दूर है। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी जड़ें सकारात्मक हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और अनुवांशिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (ग्रेड 8) से स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में द्विघात समीकरणों के मूल सूत्रों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी सहायता से आप किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। साथ ही, द्विघात समीकरणों को हल करने के अन्य तरीके भी हैं, जो आपको कई समीकरणों को बहुत जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की अनुमति देते हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के दस तरीके हैं। अपने काम में, मैंने उनमें से प्रत्येक का विस्तार से विश्लेषण किया।

1. विधि : समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन।

आइए समीकरण हल करें

एक्स 2 + 10x - 24 = 0.

आइए बाईं ओर का गुणनखंड करें:

एक्स 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2)।

इसलिए, समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12) (एक्स - 2) = 0

चूंकि गुणनफल शून्य है, तो इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है। इसलिए, समीकरण का बायां पक्ष गायब हो जाता है एक्स = 2, साथ ही at एक्स = - 12. इसका मतलब है कि संख्या 2 तथा - 12 समीकरण की जड़ें हैं एक्स 2 + 10x - 24 = 0.

2. विधि: : पूर्ण वर्ग चयन विधि।

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 + 6x - 7 = 0.

आइए बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें।

ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में व्यंजक x 2 + 6x लिखते हैं:

एक्स 2 + 6x = x 2 + 2 * एक्स * 3.

परिणामी व्यंजक में, पहला पद संख्या x का वर्ग है, और दूसरा x बटा 3 का दोहरा गुणनफल है। इसलिए, पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको 3 2 जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि

एक्स 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (एक्स + 3) 2 .

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करते हैं

एक्स 2 + 6x - 7 = 0,

इसमें जोड़ना और घटाना 3 2 . हमारे पास है:

एक्स 2 + 6x - 7 =एक्स 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (एक्स + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(एक्स + 3) 2 - 16 =0, (एक्स + 3) 2 = 16.

फलस्वरूप, एक्स + 3 - 4 = 0, एक्स 1 = 1, या x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. विधि :द्विघात समीकरणों का सूत्र द्वारा हल।

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0, हुह? 0

4a पर और क्रमिक रूप से हमारे पास है:

4 ए 2 एक्स 2 + 4aबीएक्स + 4एसी = 0,

((2ह) 2 + 2ax *बी + बी 2 ) - बी 2 + 4 एसी = 0,

(2ax+ख) 2 = बी 2 - 4एसी,

2ax + b = ± vb 2 - 4एसी,

2ax = - बी ± वी बी 2 - 4एसी,

उदाहरण.

एक)आइए समीकरण को हल करें: 4 एक्स 2 + 7x + 3 = 0.

ए = 4,बी= 7, सी = 3,डी = बी 2 - 4 एसी = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

डी > 0, दो अलग जड़ें;

इस प्रकार, एक सकारात्मक विवेचक के मामले में, अर्थात्। पर

बी 2 - 4 एसी >0 , समीकरण ओह 2 + बीएक्स + सी = 0दो अलग-अलग जड़ें हैं।

बी)आइए समीकरण को हल करें: 4 एक्स 2 - 4x + 1 = 0,

ए = 4,बी= - 4, सी = 1,डी = बी 2 - 4 एसी = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

डी = 0, एक जड़;

इसलिए, यदि विवेचक शून्य है, अर्थात। बी 2 - 4 एसी = 0 , फिर समीकरण

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0एक ही जड़ है

में)आइए समीकरण को हल करें: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

ए = 2,बी= 3, सी = 4,डी = बी 2 - 4 एसी = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , डी < 0.

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

इसलिए, यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात। बी 2 - 4 एसी < 0 ,

समीकरण ओह 2 + बीएक्स + सी = 0कोई जड़ नहीं है।

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र (1) ओह 2 + बीएक्स + सी = 0आपको जड़ों को खोजने की अनुमति देता है कोई द्विघात समीकरण (यदि कोई हो), कम और अपूर्ण सहित। सूत्र (1) मौखिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें एक अंश के बराबर होती हैं जिसका अंश दूसरे गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिन्ह के साथ लिया जाता है, साथ ही इस गुणांक के वर्ग के वर्गमूल को घटाकर पहले गुणांक के गुणनफल को मुक्त पद से घटाया जाता है, और हर पहले गुणांक का दोगुना है।

4. विधि: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

जैसा कि ज्ञात है, दिए गए द्विघात समीकरण का रूप है

एक्स 2 + पिक्सल + सी = 0. (1)

इसकी जड़ें वियत प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, जब ए = 1रूप है

एक्स 1 एक्स 2 = क्यू,

एक्स 1 + एक्स 2 = - पी

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं (मूलों के संकेतों का अनुमान गुणांक p और q से लगाया जा सकता है)।

ए) यदि सारांश शब्द क्यूघटे हुए समीकरण का (1) धनात्मक है ( क्यू > 0 ), तो समीकरण में एक ही चिन्ह की दो जड़ें होती हैं और यह दूसरे गुणांक की ईर्ष्या है पी. यदि एक आर< 0 , तो दोनों मूल ऋणात्मक हैं यदि आर< 0 , तो दोनों मूल धनात्मक हैं।

उदाहरण के लिए,

एक्स 2 - 3 एक्स + 2 = 0; एक्स 1 = 2 तथा एक्स 2 = 1, इसलिये क्यू = 2 > 0 तथा पी = - 3 < 0;

एक्स 2 + 8 एक्स + 7 = 0; एक्स 1 = - 7 तथा एक्स 2 = - 1, इसलिये क्यू = 7 > 0 तथा पी= 8 > 0.

बी) यदि एक मुक्त सदस्य क्यूघटे हुए समीकरण का (1) ऋणात्मक है ( क्यू < 0 ), तो समीकरण के अलग-अलग चिह्न के दो मूल हैं, और निरपेक्ष मान में बड़ा मूल धनात्मक होगा यदि पी < 0 , या नकारात्मक अगर पी > 0 .

उदाहरण के लिए,

एक्स 2 + 4 एक्स - 5 = 0; एक्स 1 = - 5 तथा एक्स 2 = 1, इसलिये क्यू= - 5 < 0 तथा पी = 4 > 0;

एक्स 2 - 8 एक्स - 9 = 0; एक्स 1 = 9 तथा एक्स 2 = - 1, इसलिये क्यू = - 9 < 0 तथा पी = - 8 < 0.

5. विधि: "स्थानांतरण" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरण पर विचार करें

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0,कहाँ पे एक? 0.

इसके दोनों भागों को a से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

एक 2 एक्स 2 + एबीएक्स + एसी = 0।

होने देना आह = वाई, कहाँ पे एक्स = वाई/ए; तब हम समीकरण पर आते हैं

पर 2 + द्वारा+ एसी = 0,

इस के बराबर। इसकी जड़ें पर 1 तथा पर 2 को Vieta के प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है।

अंत में हमें मिलता है

एक्स 1 = y 1 /एक तथा एक्स 1 = y 2 /एक.

इस विधि के साथ, गुणांक एकमुक्त शब्द से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक दिया" जाता है, इसलिए इसे कहा जाता है स्थानांतरण विधि. इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ों को खोजना आसान होता है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 2x 2 - 11x + 15 = 0.

पर 2 - 11y + 30 = 0.

विएटा के प्रमेय के अनुसार

पर 1 = 5 एक्स 1 = 5/2 एक्स 1 = 2,5

पर 2 = 6 एक्स 2 = 6/2 एक्स 2 = 3.

उत्तर: 2.5; 3.

6. विधि: द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।

लेकिन।माना द्विघात समीकरण

ओह 2 + बीएक्स + सी = 0,कहाँ पे एक? 0.

1) यदि, a+बी+ c = 0 (अर्थात गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 = 1,

एक्स 2 = एस / ए।

सबूत।समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें? 0, हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण मिलता है

एक्स 2 + बी/ एक * एक्स + सी/ एक = 0.

विएटा के प्रमेय के अनुसार

एक्स 1 + एक्स 2 = - बी/ एक,

एक्स 1 एक्स 2 = 1* सी/ एक.

शर्त के अनुसार एक -बी + सी = 0,कहाँ पे बी= ए + सी।इस तरह,

एक्स 1 + एक्स 2 = - एक+ बी / ए \u003d -1 - सी / ए,

एक्स 1 एक्स 2 = - 1* (-सी/ए),

वे। एक्स 1 = -1 तथा एक्स 2 = सी/ एक, जिसे हमें साबित करना था।

उदाहरण।

1) समीकरण हल करें 345x 2 - 137x - 208 = 0.

समाधान।इसलिये ए +बी+ सी = 0 (345 - 137 - 208 = 0),फिर

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी/ एक = -208/345.

उत्तर 1; -208/345।

2) समीकरण हल करें 132x 2 - 247x + 115 = 0.

समाधान।इसलिये ए +बी+ सी = 0 (132 - 247 + 115 = 0),फिर

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी/ एक = 115/132.

उत्तर 1; 115/132.

बी।यदि दूसरा गुणांक बी = 2 क एक सम संख्या है, तो जड़ों का सूत्र

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 3x2 - 14x + 16 = 0.

समाधान. हमारे पास है: ए = 3,बी= - 14, सी = 16,क = -- 7 ;

डी = क 2 - एसी = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, डी > 0, दो अलग जड़ें;

उत्तर: 2; 8/3

पर।घटा हुआ समीकरण

एक्स 2 +px+क्यू= 0

सामान्य समीकरण के साथ मेल खाता है, जिसमें ए = 1, बी= पीतथा सी =क्यू. इसलिए, कम द्विघात समीकरण के लिए, जड़ों के लिए सूत्र

रूप लेता है:

फॉर्मूला (3) विशेष रूप से उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जब आर-- सम संख्या।

उदाहरण।आइए समीकरण हल करें एक्स 2 - 14x - 15 = 0.

समाधान।हमारे पास है: एक्स 1,2 =7±

उत्तर: x 1 = 15; एक्स 2 = -1.

7. विधि: द्विघात समीकरण का आलेखीय हल।

यदि समीकरण में

एक्स 2 + पिक्सल + क्यू = 0

दूसरे और तीसरे पदों को दाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है

एक्स 2 = - पिक्सल - क्यू.

आइए निर्भरता ग्राफ y \u003d x 2 और y \u003d - px - q का निर्माण करें।

पहली निर्भरता का ग्राफ मूल से गुजरने वाला एक परवलय है। दूसरी निर्भरता का ग्राफ -

सीधी रेखा (चित्र 1)। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

रेखा और परवलय स्पर्श कर सकते हैं (केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु), अर्थात। समीकरण का एक हल है;

सीधी रेखा और परवलय में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं, अर्थात। द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है।

उदाहरण।

1) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें एक्स 2 - 3x - 4 = 0(रेखा चित्र नम्बर 2)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स 2 = 3x + 4.

आइए एक परवलय का निर्माण करें वाई = एक्स 2 और प्रत्यक्ष वाई = 3x + 4. प्रत्यक्ष

वाई = 3x + 4दो बिंदुओं से बनाया जा सकता है एम (0; 4)तथा

एन (3; 13) . एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं

लेकिनतथा परभुज के साथ एक्स 1 = - 1 तथा एक्स 2 = 4 . उत्तर: एक्स 1 = - 1;

एक्स 2 = 4.

2) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें (चित्र 3) एक्स 2 - 2x + 1 = 0.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स 2 = 2x - 1.

आइए एक परवलय का निर्माण करें वाई = एक्स 2 और प्रत्यक्ष वाई = 2x - 1।

प्रत्यक्ष वाई = 2x - 1दो बिंदुओं पर निर्माण एम (0; - 1)

तथा एन(1/2; 0) . रेखा और परवलय एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं लेकिनसाथ

सूच्याकार आकृति का भुज एक्स = 1. उत्तर:एक्स = 1.

3) आइए समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें एक्स 2 - 2x + 5 = 0(चित्र 4)।

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं एक्स 2 = 5x - 5. आइए एक परवलय का निर्माण करें वाई = एक्स 2 और प्रत्यक्ष वाई = 2x - 5. प्रत्यक्ष वाई = 2x - 5दो बिंदुओं M(0; -5) और N(2.5; 0) द्वारा निर्मित करें। सीधी रेखा और परवलय का कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, अर्थात। इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर।समीकरण एक्स 2 - 2x + 5 = 0कोई जड़ नहीं है।

8. विधि: एक कंपास के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना और शासक

परवलय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने का चित्रमय तरीका असुविधाजनक है। यदि आप बिंदु से एक परवलय का निर्माण करते हैं, तो इसमें बहुत समय लगता है, और इस सब के साथ, प्राप्त परिणामों की सटीकता की डिग्री कम है।

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए मैं निम्नलिखित विधि का प्रस्ताव करता हूँ: ओह 2 + बीएक्स + सी = 0कम्पास और रूलर का उपयोग करना (चित्र 5)।

आइए मान लें कि वांछित वृत्त अक्ष को काटता है

एब्सिस्सा इन पॉइंट्स बी (एक्स 1 ; 0) तथा डी(एक्स 2 ; 0), कहाँ पे एक्स 1 तथा एक्स 2 - समीकरण की जड़ें ओह 2 + बीएक्स + सी = 0, और बिंदुओं से होकर गुजरता है

ए(0; 1)तथा सी(0;सी/ एक) y-अक्ष पर। फिर, सेकंडेंट प्रमेय से, हमारे पास है ओबी * आयुध डिपो = ओए * ओसी, कहाँ पे ओसी = ओबी * आयुध डिपो/ ओए= एक्स 1 एक्स 2 / 1 = सी/ एक.

वृत्त का केंद्र लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर है एस एफतथा एसके, जीवाओं के मध्य बिंदुओं पर पुनर्स्थापित किया गया एसीतथा बीडी, इसीलिए

1) बिंदुओं का निर्माण करें (वृत्त का केंद्र) और ए(0; 1) ;

2) त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए एसए;

3) अक्ष के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज ओहमूल द्विघात समीकरण के मूल हैं।

इस मामले में, तीन मामले संभव हैं।

1) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से अधिक होती है (जैसा > एसके, या आर > एक + सी/2 एक) , वृत्त x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है (चित्र 6,a) बी (एक्स 1 ; 0) तथा डी(एक्स 2 ; 0) , कहाँ पे एक्स 1 तथा एक्स 2 - द्विघात समीकरण की जड़ें ओह 2 + बीएक्स + सी = 0.

2) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि के बराबर होती है (जैसा = एसबी, याआर = एक + सी/2 एक) , वृत्त ऑक्स अक्ष को स्पर्श करता है (चित्र 6,b) बिंदु . पर बी (एक्स 1 ; 0) , जहां x 1 द्विघात समीकरण का मूल है।

3) वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से कम है, वृत्त का भुज अक्ष के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है (चित्र 6, c), इस मामले में समीकरण का कोई हल नहीं है।

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 - 2x - 3 = 0 (चित्र 7)।

समाधान।सूत्रों द्वारा वृत्त के केंद्र के बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें:

आइए त्रिज्या SA का एक वृत्त बनाएं, जहां A (0; 1)।

उत्तर: एक्स 1 = - 1; एक्स 2 = 3.

9. विधि: द्विघात समीकरणों को हल करना नामोग्राम।

यह द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक पुरानी और अवांछनीय रूप से भूली हुई विधि है, जिसे पृष्ठ 83 पर रखा गया है (देखें ब्रैडिस वी.एम. चार-मूल्यवान गणितीय तालिकाएँ। - एम।, ज्ञानोदय, 1990)।

तालिका XXII। समीकरण हल करने के लिए नामांकन जेड 2 + pz + क्यू = 0 . यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, इसके गुणांकों द्वारा समीकरण की जड़ों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्रीय पैमाना सूत्रों (चित्र 11) के अनुसार बनाया गया है:

यह मानते हुए ओएस = पी,ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), त्रिभुजों की समानता से सैनतथा सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जहां से, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण इस प्रकार है

जेड 2 + pz + क्यू = 0,

और पत्र जेडमतलब घुमावदार पैमाने पर किसी भी बिंदु का लेबल।

उदाहरण।

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9 जेड + 8 = 0 नोमोग्राम जड़ें देता है

जेड 1 = 8,0 तथा जेड 2 = 1,0 (चित्र 12)।

2) हम नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करते हैं

2 जेड 2 - 9 जेड + 2 = 0.

हम इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करते हैं, हमें समीकरण मिलता है

जेड 2 - 4,5 जेड + 1 = 0.

नोमोग्राम जड़ें देता है जेड 1 = 4 तथा जेड 2 = 0,5.

3) समीकरण के लिए

जेड 2 - 25 जेड + 66 = 0

गुणांक p और q पैमाने से बाहर हैं, हम प्रतिस्थापन करेंगे जेड = 5 टी, हमें समीकरण मिलता है

टी 2 - 5 टी + 2,64 = 0,

जिसे हम नॉमोग्राम के माध्यम से हल करते हैं और प्राप्त करते हैं टी 1 = 0,6 तथा टी 2 = 4,4, कहाँ पे जेड 1 = 5 टी 1 = 3,0 तथा जेड 2 = 5 टी 2 = 22,0.

10. विधि: वर्ग को हल करने का ज्यामितीय तरीका समीकरण

प्राचीन काल में, जब ज्यामिति बीजगणित की तुलना में अधिक विकसित थी, द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से नहीं, बल्कि ज्यामितीय रूप से हल किया जाता था। मैं एक उदाहरण दूंगा जो अल-ख्वारिज्मी के "बीजगणित" से प्रसिद्ध हुआ है।

उदाहरण।

1) समीकरण हल करें एक्स 2 + 10x = 39.

मूल में, इस समस्या को निम्नानुसार तैयार किया गया है: "वर्ग और दस जड़ें 39 के बराबर हैं" (चित्र 15)।

समाधान।पक्ष x के साथ एक वर्ग पर विचार करें, इसके किनारों पर आयतें बनाई गई हैं ताकि उनमें से प्रत्येक का दूसरा भाग 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। परिणामी आकृति फिर एक नए वर्ग ABCD के पूरक है, कोनों में चार बराबर वर्गों को पूरा करते हुए, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 है।

वर्ग एस वर्ग ए बी सी डीक्षेत्रों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: मूल वर्ग एक्स 2 , चार आयत (4* 2.5x = 10x)और चार संलग्न वर्ग (6,25* 4 = 25) , अर्थात। एस = एक्स 2 + 10x + 25।की जगह

एक्स 2 + 10xसंख्या 39 , हमें वह मिलता है एस = 39 + 25 = 64 , जहां से यह इस प्रकार है कि वर्ग की भुजा ए बी सी डी, अर्थात। रेखा खंड एबी = 8. वांछित पक्ष के लिए एक्समूल वर्ग हमें मिलता है

2) लेकिन, उदाहरण के लिए, प्राचीन यूनानियों ने समीकरण को कैसे हल किया? पर 2 + 6y - 16 = 0.

समाधानअंजीर में दिखाया गया है। 16, जहां

पर 2 + 6y = 16, या पर 2 + 6y + 9 = 16 + 9।

समाधान।भाव पर 2 + 6y + 9तथा 16 + 9 ज्यामितीय रूप से एक ही वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं, और मूल समीकरण पर 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0एक ही समीकरण है। हमें वो कहाँ से मिलता है वाई + 3 = ± 5,या पर 1 = 2, वाई 2 = - 8 (चित्र 16)।

3) ज्यामितीय समीकरण हल करें पर 2 - 6y - 16 = 0.

समीकरण को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

पर 2 - 6y = 16.

अंजीर पर। 17 अभिव्यक्ति की "छवियां" खोजें पर 2 - 6y,वे। भुजा y वाले वर्ग के क्षेत्रफल से बराबर भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल का दोगुना घटाएं 3 . तो, अगर अभिव्यक्ति पर 2 - 6 वर्ष जोड़ें 9 , तो हमें एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल प्राप्त होता है पर - 3 . अभिव्यक्ति की जगह पर 2 - 6 वर्ष इसकी बराबर संख्या 16,

हम पाते हैं: (वाई - 3) 2 = 16 + 9, वे। वाई - 3 = ± v25, या y - 3 = ± 5, जहां पर 1 = 8 तथा पर 2 = - 2.

निष्कर्ष

त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और अनुवांशिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

इसी समय, द्विघात समीकरणों का मूल्य न केवल समस्याओं को हल करने की सुंदरता और संक्षिप्तता में निहित है, हालांकि यह बहुत महत्वपूर्ण है। कोई कम महत्वपूर्ण तथ्य यह नहीं है कि समस्याओं को हल करने में द्विघात समीकरणों के उपयोग के परिणामस्वरूप, नए विवरण अक्सर खोजे जाते हैं, दिलचस्प सामान्यीकरण किए जा सकते हैं और शोधन किए जा सकते हैं, जो प्राप्त सूत्रों और संबंधों के विश्लेषण से प्रेरित होते हैं।

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि इस काम में प्रस्तुत विषय का अभी भी बहुत कम अध्ययन किया गया है, वे बस इससे निपटते नहीं हैं, इसलिए यह बहुत सारे छिपे और अज्ञात से भरा है, जो इस पर आगे काम करने का एक उत्कृष्ट अवसर प्रदान करता है। .

यहाँ मैंने द्विघात समीकरणों को हल करने के प्रश्न पर समझौता किया, और क्या,

अगर उन्हें हल करने के अन्य तरीके हैं ?! फिर से, सुंदर पैटर्न, कुछ तथ्य, स्पष्टीकरण खोजें, सामान्यीकरण करें, सब कुछ नया और नया खोजें। लेकिन ये भविष्य के कार्यों के लिए प्रश्न हैं।

संक्षेप में, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: द्विघात समीकरण गणित के विकास में बहुत बड़ी भूमिका निभाते हैं। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (ग्रेड 8) से स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। यह ज्ञान जीवन भर हमारे काम आ सकता है।

चूंकि द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए इन विधियों का उपयोग करना आसान है, वे निश्चित रूप से उन छात्रों के लिए रुचिकर होनी चाहिए जो गणित के शौकीन हैं। मेरा काम उन समस्याओं पर एक अलग नज़र डालना संभव बनाता है जो गणित हमारे सामने रखता है।

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समीकरणों का सिद्धांत सामान्य रूप से बीजगणित और गणित में अग्रणी स्थान रखता है। इसका महत्व न केवल प्राकृतिक नियमों के ज्ञान के लिए इसके सैद्धांतिक महत्व में है, बल्कि व्यावहारिक उद्देश्यों को भी पूरा करता है। जीवन की अधिकांश समस्याएं विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आती हैं, और अधिक बार ये द्विघात रूप के समीकरण होते हैं।

स्कूल पाठ्यक्रम उन्हें हल करने के लिए केवल 3 तरीकों पर विचार करता है। आगामी परीक्षाओं की तैयारी में, मुझे इन समीकरणों के अन्य तरीकों में दिलचस्पी हो गई। इसलिए, मैंने "द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके" विषय चुना।

इस विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि बीजगणित, ज्यामिति, भौतिकी के पाठों में, हम अक्सर द्विघात समीकरणों के समाधान के साथ मिलते हैं। इसलिए, प्रत्येक छात्र को द्विघात समीकरणों को सही ढंग से और तर्कसंगत रूप से हल करने में सक्षम होना चाहिए, जो परीक्षा उत्तीर्ण करने सहित अधिक जटिल समस्याओं को हल करने में भी उपयोगी है।

कार्य का उद्देश्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करना, द्विघात समीकरणों को हल करना सीखना।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए मानक और गैर-मानक विधियों पर विचार करें;

द्विघात समीकरणों को हल करने के सबसे सुविधाजनक तरीकों की पहचान करें;

द्विघात समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखें।

अध्ययन का उद्देश्य: द्विघात समीकरण।

अध्ययन का विषय: द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके।

अनुसंधान की विधियां:

सैद्धांतिक: शोध विषय पर साहित्य का अध्ययन, विषयगत इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन;

प्राप्त जानकारी का विश्लेषण;

सुविधा और तर्कसंगतता के लिए द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों की तुलना।

द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c \u003d 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, जबकि a? 0. ऐसे समीकरण का मूल उस चर का मान है जो वर्ग त्रिपद को शून्य में बदल देता है, अर्थात वह मान जो द्विघात समीकरण को एक पहचान में बदल देता है। द्विघात समीकरण के गुणांकों के अपने नाम होते हैं: गुणांक a को पहला या वरिष्ठ कहा जाता है, गुणांक b को दूसरा या गुणांक x कहा जाता है, c को इस समीकरण का मुक्त सदस्य कहा जाता है।

एक पूर्ण द्विघात समीकरण वह होता है जिसके गुणांक सभी गैर-शून्य (a, b, c - 0) होते हैं।

एक घटा हुआ द्विघात समीकरण कहलाता है, जिसमें अग्रणी गुणांक एक के बराबर होता है। इस तरह के समीकरण को संपूर्ण अभिव्यक्ति को प्रमुख गुणांक a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:

1) कुल्हाड़ी 2 + सी = 0, जहां सी 0 है;

2) कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स = 0, जहां बी - 0;

इस कार्य के ढांचे में, हम केवल पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

सामान्य सूत्र द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, विवेचक के माध्यम से मूल ज्ञात करने की विधि का उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित सूत्र का उपयोग विवेचक को खोजने के लिए किया जाता है: D = b 2 - 4ac। डी खोजने के बाद, हम समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं

यह ध्यान देने योग्य है कि यदि:

डी > 0 - समीकरण के दो मूल हैं;

डी \u003d 0 - समीकरण की एक जड़ है;

डी< 0 - уравнение не имеет корней.

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.1)।

चावल। 1. व्यावहारिक भाग

बाईं ओर फैक्टरिंग

इस विधि को प्रदर्शित करने के लिए, हम समीकरण x 2 + 10x - 24 = 0 को हल करते हैं।

आइए बाईं ओर का गुणनखंड करें:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2)।

इसलिए, समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12) (एक्स - 2) = 0

चूंकि गुणनफल शून्य है, तो इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है। इसलिए, समीकरण का बायां पक्ष x = 2 और x = -12 पर भी लुप्त हो जाता है।

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.2)।

पूर्ण वर्ग का चयन एक ऐसा पहचान परिवर्तन है जिसमें दिए गए ट्रिनोमियल को (ए ± बी) 2 द्विपद के वर्ग के योग या अंतर और कुछ संख्यात्मक या शाब्दिक अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जाता है।

आइए समीकरण x 2 + 14x + 40 = 0 को हल करें।

आइए हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके बहुपद को गुणनखंडों में विघटित करें।

पहला सूत्र लागू करने के लिए, आपको व्यंजक प्राप्त करने की आवश्यकता है

x2 + 14x + 49 = 0.

इसलिए, हम पूर्ण वर्ग का चयन करने के लिए बहुपद x 2 + 14x + 40 से संख्या 9 जोड़ते और घटाते हैं

एक्स 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(एक्स + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(एक्स + 14x + 49) - 9 = 0

(एक्स + 7) 2 - 9 = 0

आइए "वर्गों का अंतर" सूत्र लागू करें a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(एक्स + 7) 2 - 32 = 0

(एक्स + 7 - 3) (एक्स + 7 + 3) = 0

(एक्स + 4)(एक्स + 10) = 0

एक्स + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

उत्तर - 4; - दस।

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.3)।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

Vieta प्रमेय के अनुसार पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको पूरे समीकरण को गुणांक a से विभाजित करने की आवश्यकता है। समीकरण x 2 + px + q = 0 के लिए, यदि x1 और x2 इसके मूल हैं, तो सूत्र मान्य हैं:

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.4)।

गुणांक के गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: a + c = b, तो x1 = - 1; x2 = - एस/ए।

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

ए + बी + सी = 0, फिर x1 = 1; x2 = एस/ए.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

इस तरह से समीकरण को हल करने की असंभवता का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.5)।

"स्थानांतरण" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना

तथाकथित "स्थानांतरण" विधि पूर्णांक के साथ कम किए गए समीकरणों के समाधान के लिए समीकरणों के प्रमुख गुणांक द्वारा विभाजित करके पूर्णांक गुणांक वाले कम किए गए समीकरणों के समाधान को कम करना संभव बनाती है। गुणांक। यह इस प्रकार है: समीकरण ax 2 + bx + c = 0 को a से गुणा करें।

हमें प्राप्त होता है: a 2 x2 + abx + aс = 0। आइए एक नए चर y = ax का परिचय दें। हमें y 2 +by+ac = 0 मिलता है। इस समीकरण के मूल y1 और y2 हैं। इसलिए, x1 = y1/a; x2 = y2/a.

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.6)।

आइए समीकरण x 2 - 4x - 12 = 0 को हल करें।

आइए इसे x 2 - 4x = 12 के रूप में निरूपित करें।

अंजीर पर। 2 व्यंजक x-4x को "चित्रित" करता है, अर्थात्। भुजा x वाले वर्ग का क्षेत्रफल 2 भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल से दो बार घटाया जाता है। तो x 2 - 4x + 4 भुजा x - 2 वाले वर्ग का क्षेत्रफल है।

x 2 - 4x = 12 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(एक्स - 2)2 = 12 + 4

एक्स - 2 = 4x - 2 = - 4

उत्तर: x1 = 6, x1 = - 2।

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.7)।

समीकरण x 2 + px + q = 0 में, हम दूसरे और तीसरे पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाते हैं। हमें मिलता है: x 2 \u003d - px - q। आइए कार्यों के रेखांकन बनाएं

वाई = एक्स 2 (परवलय);

y = - qx - p (सीधी रेखा)।

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि:

यदि एक रेखा और एक परवलय दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज द्विघात समीकरण के मूल होते हैं;

यदि रेखा परवलय (केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु) को स्पर्श करती है, तो समीकरण का एक मूल होता है;

यदि रेखा और परवलय में उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं, अर्थात। द्विघात समीकरण की कोई जड़ नहीं होती है।

एक कंपास और सीधा किनारे के साथ समीकरण हल करना

आइए समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 हल करें:

1) निर्देशांक तल पर बिंदुओं का निर्माण करें:

A(- b/2a; (a + c)/2a) वृत्त का केंद्र है और B(0; 1)

2) एक वृत्त खींचिए r = AB

3) ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज मूल समीकरण के मूल हैं

इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि:

यदि वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि (AB > AC, या R > (a + c)/2a) से अधिक है, तो वृत्त।

x-अक्ष को दो बिंदुओं K(x1; 0) और N(x2; 0) पर काटता है, जहां x1 और x2 द्विघात समीकरण x2 + bx + c = 0 के मूल हैं।

यदि वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि (AB \u003d AC, या R \u003d (a + c) / 2a) के बराबर है, तो वृत्त बिंदु C (x; 0) पर भुज अक्ष को स्पर्श करता है, जहाँ x1 द्विघात समीकरण का मूल है।

यदि वृत्त की त्रिज्या केंद्र की कोटि से कम है (AB .)< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

इस तरह से समीकरण को हल करने का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 1 (1.9)।

यह द्विघात समीकरणों को हल करने का एक पुराना और अब भुला दिया गया तरीका है।

नॉमोग्राम समीकरण z 2 + pz + q \u003d 0 की सकारात्मक जड़ों का मान देता है। यदि समीकरण में विभिन्न संकेतों की जड़ें हैं, तो, नॉमोग्राम से एक सकारात्मक जड़ मिलने पर, एक नकारात्मक है - p से धनात्मक घटाकर पाया जाता है।

चावल। 6. समीकरण z 2 + pz + q = 0 . को हल करने के लिए मोनोग्राम का प्रकार

उस स्थिति में जब दोनों मूल ऋणात्मक हों, वे z = - t लेते हैं और दो धनात्मक मूल t1 नामोग्राम से ज्ञात करते हैं; t 2 समीकरण t 2 + - pt + z = 0 और फिर z1 = - t1; जेड 2 \u003d - टी 2।

यदि गुणांक p और q पैमाने से बाहर हैं, तो प्रतिस्थापन z = kt करें और नॉमोग्राम का उपयोग करके समीकरण को हल करें

जहां k को इस तरह से लिया जाता है कि असमानताएं

समीकरण z 2 + pz + q = 0 को हल करने के लिए मोनोग्राम का रूप अंजीर में पाया जा सकता है। 6.

विभिन्न समाधानों के "पेशेवरों" और "विपक्ष"

द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि का नाम
द्विघात समीकरणों को सूत्र द्वारा हल करना	सभी द्विघात समीकरणों पर लागू किया जा सकता है।	आपको सूत्र सीखने की जरूरत है।
समीकरण के बाईं ओर फैक्टरिंग	यह समीकरण की जड़ों को तुरंत देखना संभव बनाता है।	समूहीकरण के लिए शर्तों की सही गणना करना आवश्यक है।
पूर्ण वर्ग चयन विधि	क्रियाओं की न्यूनतम संख्या के लिए, आप समीकरणों के मूल ज्ञात कर सकते हैं	पूर्ण वर्ग का चयन करने के लिए सभी पदों को सही ढंग से खोजना आवश्यक है।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना	काफी आसान तरीका, समीकरण की जड़ों को तुरंत देखना संभव बनाता है।	केवल पूरी जड़ें आसानी से मिल जाती हैं।
द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण	अधिक प्रयास की आवश्यकता नहीं है	केवल कुछ समीकरण फिट बैठता है
स्थानांतरण विधि द्वारा समीकरणों का समाधान	क्रियाओं की न्यूनतम संख्या के लिए, आप समीकरण की जड़ें पा सकते हैं, इसका उपयोग विएटा के प्रमेय की विधि के संयोजन में किया जाता है।	केवल संपूर्ण जड़ों को खोजना आसान है।
द्विघात समीकरणों को हल करने का ज्यामितीय तरीका	दृश्य मार्ग।	एक पूर्ण वर्ग का चयन करने के तरीके के समान
द्विघात समीकरण का आलेखीय हल	दृश्य तरीका	शेड्यूलिंग में त्रुटियां हो सकती हैं
एक कंपास और सीधा किनारे के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना	दृश्य तरीका	सटीक नहीं हो सकता
नोमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना	सहज, प्रयोग करने में आसान।	हमेशा हाथ में नहीं एक नॉमोग्राम होता है।

निष्कर्ष

इस शोध कार्य के दौरान, मैंने चुने हुए विषय पर अध्ययन की गई सामग्री को सामान्य और व्यवस्थित करने, द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने, द्विघात समीकरणों को 10 तरीकों से हल करने का तरीका जानने में कामयाबी हासिल की। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उनमें से सभी हल करने के लिए सुविधाजनक नहीं हैं, लेकिन उनमें से प्रत्येक अपने तरीके से दिलचस्प है। मेरे दृष्टिकोण से, स्कूल में अध्ययन की जाने वाली विधियाँ उपयोग के लिए सबसे तर्कसंगत होंगी: 1.1। (सूत्र के अनुसार); 1.4. (विएटा प्रमेय के अनुसार); साथ ही विधि 1.5. (गुणकों के गुणों का उपयोग करके)।

संक्षेप में, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: द्विघात समीकरण गणित में बहुत बड़ी भूमिका निभाते हैं। यह ज्ञान न केवल स्कूल और विश्वविद्यालय में, बल्कि जीवन भर हमारे लिए उपयोगी हो सकता है।

ग्रंथ सूची लिंक

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URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (पहुंच की तिथि: 12/30/2019)।

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पाठ्यक्रम के उद्देश्य: द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए नए तरीकों से परिचित होना "क्वाड्रिक समीकरण" विषय पर ज्ञान को गहरा करना गणितीय, बौद्धिक क्षमताओं, अनुसंधान कौशल का विकास व्यक्ति के आत्म-साक्षात्कार के लिए स्थितियां बनाना

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पाठ्यक्रम के उद्देश्य: छात्रों को द्विघात समीकरणों को हल करने के नए तरीकों से परिचित कराना ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने की क्षमता को सुदृढ़ करना उन प्रमेयों को पेश करना जो गैर-मानक तरीकों से समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं सामान्य शैक्षिक कौशल के गठन को जारी रखने के लिए, गणितीय संस्कृति गठन को बढ़ावा देने के लिए शोध गतिविधियों में रुचि छात्रों के लिए गणित के विषय में रुचि को महसूस करने और विकसित करने के लिए परिस्थितियों का निर्माण करने के लिए छात्रों को प्रोफाइल दिशा के सही विकल्प के लिए तैयार करना

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कार्यक्रम की सामग्री विषय 1. परिचय। 1 घंटा। द्विघात समीकरण की परिभाषा। पूर्ण और अपूर्ण वर्ग। समीकरण उनके समाधान के तरीके। पूछताछ। विषय 2. वर्ग का समाधान। समीकरण गुणनखंड विधि पूर्ण वर्ग चयन विधि हल वर्ग। सूत्रों द्वारा समीकरण हल वर्ग। स्थानांतरण विधि द्वारा समीकरण हल sq. टी का उपयोग कर समीकरण Vieta समाधान sq. गुणांक का उपयोग कर समीकरण हल sq. चित्रमय तरीके से समीकरण हल sq. कम्पास और रूलर का उपयोग कर समीकरण हल sq. ज्यामितीय तरीके से समीकरण हल sq. "नामांकन" का उपयोग कर समीकरण

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थोड़ा सा इतिहास ... द्विघात समीकरण वह नींव है जिस पर बीजगणित की राजसी इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और अनुवांशिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण। भारत में द्विघात समीकरण। अल-खोरेज़मी में द्विघात समीकरण। यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XVII सदियों।

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प्रसिद्ध फ्रांसीसी वैज्ञानिक फ्रेंकोइस वियत (1540-1603) पेशे से वकील थे। उन्होंने अपना खाली समय खगोल विज्ञान के लिए समर्पित किया। खगोल विज्ञान की कक्षाओं को त्रिकोणमिति और बीजगणित के ज्ञान की आवश्यकता होती है। वियत ने इन विज्ञानों को अपनाया और जल्द ही इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि उन्हें सुधारना आवश्यक है, जिस पर उन्होंने कई वर्षों तक काम किया। उनके काम के लिए धन्यवाद, बीजगणित शाब्दिक कलन पर आधारित बीजगणितीय समीकरणों का सामान्य विज्ञान बन जाता है। इसलिए, समीकरणों के गुणों और उनके मूलों को सामान्य सूत्रों द्वारा व्यक्त करना संभव हो गया।

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काम करते समय, निम्नलिखित पर ध्यान दिया गया था: जिन विधियों का मैं उपयोग करूंगा: विएटा की प्रमेय गुणांक के गुण "स्थानांतरण" विधि बाईं ओर के कारक को कारकों में कारक बनाना ग्राफिकल विधि विधियाँ दिलचस्प हैं, लेकिन उनमें बहुत समय लगता है और हमेशा सुविधाजनक नहीं होते हैं। चित्रमय विधि एक नॉमोग्राम शासकों और परकार की मदद से एक पूर्ण वर्ग का चयन मैं उन वैज्ञानिकों को नमन करता हूं जिन्होंने इन विधियों की खोज की और विज्ञान को "द्विघात समीकरणों को हल करना" विषय में विकास के लिए प्रोत्साहन दिया।

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समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन आइए समीकरण x2 + 10x - 24=0 को हल करें। बाईं ओर फैक्टरिंग: x2 + 10x - 24 = x2 + 12x -2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2)। (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 या x - 2=0 x= -12 x= 2 उत्तर: x1= -12, x2 = 2. समीकरणों को हल करें: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

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पूर्ण वर्ग चयन विधि समीकरण को हल करें x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 या x-3=-4 x=1 x=-7 उत्तर: x1=1, x2=-7. समीकरण हल करें: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

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सूत्र के अनुसार द्विघात समीकरणों का हल मूल सूत्र: यदि b विषम है, तो D= b2-4ac और x 1.2=, (यदि D> 0) यदि b सम है, तो D1= और x1.2=, (यदि D >0) समीकरणों को हल करें: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

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स्थानांतरण विधि द्वारा समीकरणों का समाधान आइए समीकरण ax2 +bx+c=0 को हल करें। समीकरण के दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर हमें a2 x2 +abx+ac=0 प्राप्त होता है। मान लीजिए कुल्हाड़ी = y, जहां से x = y/a है। फिर U2 +buy+ac=0. इसकी जड़ें y1 और y2 हैं। अंत में x1 = y1/a, x1 = y2/a। आइए समीकरण 2x2 -11x + 15=0 हल करें। आइए गुणांक 2 को मुक्त अवधि में स्थानांतरित करें: Y2 -11y+30=0. वियत प्रमेय के अनुसार, y1 =5 और y2 =6। x1 = 5/2 और x2 = 6/2 x1 = 2.5 और x2 = 3 उत्तर: x1 = 2.5, x2 = 3 समीकरण को हल करें: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

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विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना आइए समीकरण x2 +10x-24=0 को हल करें। चूंकि X1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, फिर 24 \u003d 2 * 12, और -10 \u003d -12 + 2, फिर X1 \u003d -12 x2 \u003d 2 उत्तर: X1 \u003d 2 , x2 \u003d -12। समीकरण हल करें: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

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द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण यदि a+b+c=0, तो x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 आइए समीकरण 2x2 + 3x +1 = 0 1 + 6 - 7 = 0 को हल करें, इसलिए x1 = 1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, तो x1= - 1, x2 = -1/2 उत्तर: x1=1, x2 = -7। उत्तर: x1=-1, x2=-1/2. समीकरण हल करें: 5x2 - 7x +2 =0 समीकरण हल करें: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2=0 3x2 + 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

कोपयेवस्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

सिर: पेट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

एस.कोपयेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-ख्वारिज्मी में द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XVII सदियों

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

यहाँ, उदाहरण के लिए, उनके कार्यों में से एक है।

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 - x 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

y(20 - y) = 96,

वाई 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

आह 2+बीएक्स = सी, ए > 0. (1)

टास्क 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और लताओं में बारह ...

बिजली खाकर मजा आ गया। वे कूदने लगे, लटक गए ...

उनमें से आठ भाग एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मस्ती करते हुए। तुम बताओ, इस झुंड में?

समस्या 13 के संगत समीकरण है:

(एक्स/8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर की आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , तब प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स 1 = 16, एक्स 2 = 48।

1.4 अल-खोरेज़मी . में द्विघात समीकरण

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी =बीएक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 = एस।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह = एस।

4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 + सी =बीएक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह 2+बीएक्स= एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात।बीएक्स+ ग \u003d कुल्हाड़ी 2।

कार्य 14."वर्ग और संख्या 21 10 जड़ों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x 2 + 21 = 10x का मूल मानते हुए)।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरणतेरहवें - XVIIसदियों

द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम एकल विहित रूप में घटाया गया:

एक्स 2+बीएक्स= साथ,

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

(ए +बी) एक्स - एक्स 2 =अब,

एक्स 2 - (ए +बी)एक्स + एबी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 =बी.

प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखे गए सामान्य सूत्रों द्वारा समीकरणों के मूल और गुणांक के बीच संबंध व्यक्त करते हुए, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी अपने आधुनिक रूप से दूर है। उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी जड़ें सकारात्मक हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ