Integreerimine osade kaupa. Näited lahendustest

Tere jälle. Tänases tunnis õpime osade kaupa lõimima. Osade kaupa integreerimise meetod on integraalarvutuse üks alustalasid. Kontrolltööde või eksamite ajal palutakse õpilastel peaaegu alati lahendada järgmist tüüpi integraalid: kõige lihtsam integraal (vaata artiklit) või integraali, asendades muutuja (vaata artiklit) või integraal on just sees integreerimine osade meetodil.

Nagu alati, peaks teil käepärast olema: Integraalide tabel Ja Tuletisinstrumentide tabel. Kui teil neid veel pole, külastage palun minu veebisaidi laoruumi: Matemaatilised valemid ja tabelid. Ma ei väsi kordamast – parem on kõik välja printida. Püüan kogu materjali esitada järjepidevalt, lihtsalt ja selgelt, osade integreerimisel pole erilisi raskusi.

Millise probleemi lahendab osade kaupa integreerimise meetod? Osade kaupa integreerimise meetod lahendab väga olulise probleemi, see võimaldab teil integreerida mõningaid funktsioone, mida tabelis pole, tööd funktsioonid ja mõnel juhul isegi jagatised. Nagu mäletame, pole mugavat valemit: . Aga seal on selline: – osade kaupa isiklikult integreerimise valem. Ma tean, ma tean, sina oled ainuke – teeme temaga kogu õppetunni jooksul koostööd (nüüd on lihtsam).

Ja kohe nimekiri stuudiosse. Järgmist tüüpi integraalid võetakse osade kaupa:

1) , , – logaritm, logaritm korrutatuna mõne polünoomiga.

2) ,on eksponentsiaalfunktsioon, mis on korrutatud mõne polünoomiga. Siia kuuluvad ka integraalid nagu - eksponentsiaalfunktsioon, mis on korrutatud polünoomiga, kuid praktikas on see 97 protsenti, integraali all on ilus täht “e”. ... artikkel osutub kuidagi lüüriliseks, oh jah ... kevad on käes.

3) , , on trigonomeetrilised funktsioonid, mis on korrutatud mõne polünoomiga.

4) , – pöördtrigonomeetrilised funktsioonid (“kaared”), “kaared” korrutatuna mõne polünoomiga.

Mõned murrud võetakse ka osadena, käsitleme üksikasjalikult ka vastavaid näiteid.

Logaritmide integraalid

Näide 1

Klassikaline. Aeg-ajalt võib seda integraali tabelitest leida, kuid valmis vastust pole soovitatav kasutada, kuna õpetajal on kevadine vitamiinipuudus ja ta vannub kõvasti. Kuna vaadeldav integraal ei ole mingil juhul tabel - see võetakse osadena. Otsustame:

Vaheselgitusteks katkestame lahenduse.

Kasutame osade kaupa integreerimise valemit:

Valemit rakendatakse vasakult paremale

Vaatame vasakut külge: . Ilmselgelt tuleb meie näites (ja kõigis teistes, mida me käsitleme) midagi tähistada kui , ja midagi kui .

Vaadeldavat tüüpi integraalides märgitakse alati logaritm.

Tehniliselt realiseeritakse lahenduse kujundus järgmiselt, veergu kirjutame:

See tähendab, et me tähistasime logaritmi ja -ga - ülejäänud osa integrandi väljendus.

Järgmine etapp: leidke diferentsiaal:

Diferentsiaal on peaaegu sama, mis tuletis; selle leidmise kohta oleme juba eelmistes tundides arutanud.

Nüüd leiame funktsiooni. Funktsiooni leidmiseks peate integreerima parem pool madalam võrdsus:

Nüüd avame oma lahenduse ja konstrueerime valemi parema külje: .
Muide, siin on mõnede märkustega lõpplahenduse näidis:

Ainuke punkt töös on see, et vahetasin kohe ja , kuna tavaks on faktor kirjutada enne logaritmi.

Nagu näete, vähendas osade kaupa integreerimise rakendamine meie lahenduse sisuliselt kahele lihtsale integraalile.

Pange tähele, et mõnel juhul kohe pärast valemi rakendamisel tehakse ülejäänud integraali all tingimata lihtsustamine - vaadeldavas näites vähendasime integrandi väärtuseks “x”.

Kontrollime. Selleks peate võtma vastuse tuletise:

Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integraal on õigesti lahendatud.

Testi ajal kasutasime toodete eristamise reeglit: . Ja see pole juhus.

Osade kaupa integreerimise valem ja valem – need on kaks vastastikku vastupidist reeglit.

Näide 2

Leidke määramatu integraal.

Integrand on logaritmi ja polünoomi korrutis.
Otsustame.

Kirjeldan veel kord üksikasjalikult reegli rakendamise korda, edaspidi esitatakse näiteid lühidalt ja kui teil on raskusi selle iseseisva lahendamisega, peate minema tagasi õppetunni kahe esimese näite juurde. .

Nagu juba mainitud, on vaja tähistada logaritmi (see, et see on aste, ei oma tähtsust). Me tähistame ülejäänud osa integrandi väljendus.

Kirjutame veergu:

Kõigepealt leiame diferentsiaali:

Siin kasutame keeruka funktsiooni eristamise reeglit . Pole juhus, et teema kõige esimeses tunnis Määramatu integraal. Näited lahendustest Keskendusin sellele, et integraalide valdamiseks on vaja tuletistele “kätte saada”. Tuletisinstrumentidega peate tegelema rohkem kui üks kord.

Nüüd leiame funktsiooni, mille jaoks me integreerime parem pool madalam võrdsus:

Integreerimiseks kasutasime lihtsaimat tabelivalemit

Nüüd on kõik valemi rakendamiseks valmis . Avage tärniga ja "konstrueerige" lahendus vastavalt paremale küljele:

Integraali all on meil jällegi logaritmi polünoom! Seetõttu katkestatakse lahendus taas ja osade kaupa integreerimise reeglit rakendatakse teist korda. Ärge unustage, et sarnastes olukordades tähistatakse alati logaritmi.

Hea oleks, kui nüüdseks oskaks suuliselt leida lihtsamaid integraale ja tuletisi.

(1) Ärge sattuge märkide pärast segadusse! Väga sageli kaob siin miinus, pange ka tähele, et miinus viitab kõigile sulg , ja neid sulgusid tuleb õigesti laiendada.

(2) Avage klambrid. Lihtsustame viimast integraali.

(3) Võtame viimase integraali.

(4) Vastuse “kammimine”.

Vajadus rakendada osade kaupa lõimimise reeglit kaks korda (või isegi kolm korda) ei teki väga harva.

Ja nüüd paar näidet teie enda lahenduseks:

Näide 3

Leidke määramatu integraal.

See näide on lahendatud muutuja muutmisega (või asendamisega diferentsiaalmärgi all)! Miks mitte – võid proovida osade kaupa võtta, tuleb naljakas asi.

Näide 4

Leidke määramatu integraal.

Kuid see integraal on integreeritud osade kaupa (lubatud murd).

Need on näited, mida saate ise lahendada, lahendused ja vastused tunni lõpus.

Näib, et näidetes 3 ja 4 on integrandid sarnased, kuid lahendusmeetodid on erinevad! See on integraalide valdamise peamine raskus - kui valite integraali lahendamiseks vale meetodi, saate sellega tunde nokitseda, nagu tõelise puslega. Seega, mida rohkem erinevaid integraale lahendad, seda parem, seda lihtsam on kontrolltöö ja eksam. Lisaks on teisel aastal diferentsiaalvõrrandid ja ilma integraalide ja tuletiste lahendamise kogemuseta pole seal midagi teha.

Logaritmides on see ilmselt enam kui piisav. Vahemärkusena mäletan ka seda, et inseneritudengid kasutavad naiste rindade nimetamiseks logaritme =). Muide, kasulik on peast teada peamiste elementaarfunktsioonide graafikud: siinus, koosinus, arktangent, eksponent, kolmanda, neljanda astme polünoomid jne. Ei, loomulikult kondoom maakeral
Ma ei venita seda, kuid nüüd mäletate jaotisest palju Diagrammid ja funktsioonid =).

Polünoomiga korrutatud eksponentsiaali integraalid

Üldreegel:

Näide 5

Leidke määramatu integraal.

Kasutades tuttavat algoritmi, integreerime osade kaupa:

Kui teil on integraaliga raskusi, peaksite naasma artikli juurde Muutuja muutmise meetod määramata integraalis.

Ainus asi, mida saate teha, on vastuse muutmine:

Kuid kui teie arvutustehnika pole väga hea, on kõige tulusam variant jätta see vastuseks või isegi

See tähendab, et näide loetakse lahendatuks, kui võetakse viimane integraal. See ei ole viga; teine ​​asi on see, et õpetaja võib paluda teil vastust lihtsustada.

Näide 6

Leidke määramatu integraal.

See on näide, mille saate ise lahendada. See integraal integreeritakse osade kaupa kaks korda. Erilist tähelepanu tuleks pöörata märkidele - nendes on lihtne segadusse sattuda, samuti peame meeles, et see on keeruline funktsioon.

Eksponendi kohta pole enam midagi öelda. Võin vaid lisada, et eksponentsiaal- ja naturaallogaritm on vastastikku pöördfunktsioonid, see on mina kõrgema matemaatika meelelahutuslike graafikute teemal =) Stop, stop, don't care, õppejõud on kaine.

Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid korrutatud polünoomiga

Üldreegel: for tähistab alati polünoomi

Näide 7

Leidke määramatu integraal.

Integreerime osade kaupa:

Hmm...ja pole midagi kommenteerida.

Näide 8

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada

Näide 9

Leidke määramatu integraal

Teine näide murdosaga. Nagu kahes eelmises näites, tähistab for polünoomi.

Integreerime osade kaupa:

Kui teil on raskusi või arusaamatusi integraali leidmisega, soovitan tunnis osaleda Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid.

Näide 10

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada.

Vihje: Enne osade kaupa integreerimise meetodi kasutamist peaksite rakendama trigonomeetrilist valemit, mis muudab kahe trigonomeetrilise funktsiooni korrutiseks üheks funktsiooniks. Valemit saab kasutada ka osade kaupa integreerimise meetodi rakendamisel, olenevalt sellest, kumb on teile mugavam.

See on selles lõigus ilmselt kõik. Millegipärast meenus mulle rida füüsika-matemaatika hümnist “Ja siinusgraafik jookseb laine järel mööda abstsisstelge”….

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide integraalid.
Pöördtrigonomeetriliste funktsioonide integraalid, mis on korrutatud polünoomiga

Üldreegel: tähistab alati pöördfunktsiooni trigonomeetrilist funktsiooni.

Lubage mul teile meelde tuletada, et pöördtrigonomeetrilised funktsioonid hõlmavad arksiinust, arkosiiniust, arktangenti ja arkotangensi. Kirje lühiduse huvides nimetan neid "kaaredeks"

Komplekssed integraalid

See artikkel lõpetab määramata integraalide teema ja sisaldab integraale, mis minu arvates on üsna keerulised. Tund loodi külastajate korduval palvel, kes avaldasid soovi, et saidil analüüsitaks ka keerulisemaid näiteid.

Eeldatakse, et selle teksti lugeja on hästi ette valmistatud ja teab, kuidas rakendada elementaarseid integreerimisvõtteid. Mannekeenid ja inimesed, kes ei ole integraalides väga kindlad, peaksid viidata kõige esimesele õppetunnile - Määramatu integraal. Näited lahendustest, kus saate teema peaaegu nullist hallata. Kogenumad õpilased saavad tutvuda lõimimise tehnikate ja meetoditega, mida minu artiklites pole veel kohatud.

Milliseid integraale võetakse arvesse?

Esmalt käsitleme juurtega integraale, mille lahendamiseks kasutame järjestikku muutuv asendus Ja integreerimine osade kaupa. See tähendab, et ühes näites kombineeritakse korraga kaks tehnikat. Ja veelgi enam.

Siis tutvume huvitava ja omapärasega meetod integraali taandamiseks iseendaks. Päris paljud integraalid on nii lahendatud.

Programmi kolmas number on kompleksmurdude integraalid, mis eelmistes artiklites kassast mööda lendasid.

Neljandaks analüüsitakse täiendavaid integraale trigonomeetrilistest funktsioonidest. Eelkõige on meetodeid, mis väldivad aeganõudvat universaalset trigonomeetrilist asendamist.

(2) Integrandi funktsioonis jagame lugeja liigendiga nimetajaga.

(3) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadust. Viimases integraalis kohe pane funktsioon diferentsiaalmärgi alla.

(4) Võtame ülejäänud integraalid. Pange tähele, et logaritmis saate mooduli asemel kasutada sulgusid, kuna .

(5) Viime läbi vastupidise asendamise, väljendades "te" otsesest asendamisest:

Masohhistlikud õpilased suudavad vastuseid eristada ja saada algse integrandi, nagu ma just tegin. Ei, ei, ma kontrollisin õiges mõttes =)

Nagu näha, tuli lahenduse käigus kasutada isegi rohkem kui kahte lahendusmeetodit, seega on selliste integraalidega toimetulemiseks vaja enesekindlaid integreerimisoskusi ja üsna vähe kogemusi.

Praktikas on ruutjuur muidugi tavalisem, siin on kolm näidet selle ise lahendamiseks:

Näide 2

Leidke määramatu integraal

Näide 3

Leidke määramatu integraal

Näide 4

Leidke määramatu integraal

Need näited on sama tüüpi, seega on täielik lahendus artikli lõpus ainult näite 2 jaoks; näidetel 3-4 on samad vastused. Millist asendust otsuste alguses kasutada, on minu arvates ilmne. Miks ma valisin sama tüüpi näited? Sageli leitakse nende rollis. Sagedamini võib-olla lihtsalt midagi sellist .

Kuid mitte alati, kui arctangensi, siinuse, koosinuse, eksponentsiaal- ja muude funktsioonide all on lineaarfunktsiooni juur, tuleb kasutada mitut meetodit korraga. Paljudel juhtudel on võimalik "lihtsalt maha saada", see tähendab, et kohe pärast asendamist saadakse lihtne integraal, mida saab hõlpsasti võtta. Ülal pakutud ülesannetest on kõige lihtsam näide 4, kus pärast asendamist saadakse suhteliselt lihtne integraal.

Vähendades integraali iseendaks

Vaimukas ja ilus meetod. Vaatame žanri klassikat:

Näide 5

Leidke määramatu integraal

Juure all on ruutbinoom ja selle näite integreerimine võib teekannule tundideks peavalu valmistada. Selline integraal võetakse osadena ja taandatakse iseendaks. Põhimõtteliselt pole see keeruline. Kui tead kuidas.

Tähistame vaadeldavat integraali ladina tähega ja alustame lahendust:

Integreerime osade kaupa:

(1) Valmistage integrandi funktsioon ette terminikaupa jagamiseks.

(2) Jagame integrandi funktsiooni termini kaupa. See ei pruugi kõigile selge olla, kuid kirjeldan seda üksikasjalikumalt:

(3) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadust.

(4) Võtke viimane integraal ("pikk" logaritm).

Vaatame nüüd lahenduse algust:

Ja lõpus:

Mis juhtus? Meie manipulatsioonide tulemusena taandus integraal iseendaks!

Võrdleme alguse ja lõpu:

Liikuge märgi muutmisega vasakule küljele:

Ja me liigutame need kaks paremale küljele. Tulemusena:

Konstant oleks rangelt võttes pidanud varem lisama, aga lisasin selle lõpus. Soovitan tungivalt lugeda, milline rangus siin on:

Märge: Täpsemalt näeb lahenduse viimane etapp välja selline:

Seega:

Konstandi saab ümber määrata . Miks saab selle ümber nimetada? Sest ta aktsepteerib seda endiselt ükskõik milline väärtused ja selles mõttes pole konstantide ja vahel vahet.
Tulemusena:

Sarnast nippi pideva renoteerimisega kasutatakse laialdaselt diferentsiaalvõrrandid. Ja seal olen ma range. Ja siin ma luban sellist vabadust ainult selleks, et mitte ajada teid segadusse mittevajalike asjadega ja suunata tähelepanu just integreerimismeetodile endale.

Näide 6

Leidke määramatu integraal

Teine tüüpiline sõltumatu lahenduse integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Eelmise näite vastusega võrreldes on erinevus!

Kui ruutjuure all on ruuttrinoom, taandub lahendus igal juhul kahele analüüsitud näitele.

Näiteks võtke arvesse integraali . Kõik, mida pead tegema, on kõigepealt vali terve ruut:
.
Järgmisena viiakse läbi lineaarne asendamine, mis teeb "ilma tagajärgedeta":
, mille tulemuseks on integraal . Midagi tuttavat, eks?

Või see näide ruutbinoomiga:
Valige terve ruut:
Ja pärast lineaarset asendamist saame integraali, mis on samuti lahendatud juba käsitletud algoritmi abil.

Vaatame kahte tüüpilisemat näidet integraali taandamiseks iseendaks:
– siinusega korrutatud eksponentsiaali integraal;
– eksponentsiaali integraal, mis on korrutatud koosinusega.

Loetletud integraalides osade kaupa peate integreerima kaks korda:

Näide 7

Leidke määramatu integraal

Integrand on eksponentsiaal, mis on korrutatud siinusega.

Integreerime osade kaupa kaks korda ja taandame integraali iseendaks:

Osade kaupa kahekordse integreerimise tulemusena taandus integraal iseendaks. Võrdleme lahenduse alguse ja lõpu:

Liigutame selle märgivahetusega vasakule ja väljendame oma integraali:

Valmis. Samal ajal on soovitav kammida parem pool, st. võta astendaja sulgudest välja ning aseta siinus ja koosinus sulgudesse “ilusas” järjekorras.

Läheme nüüd tagasi näite algusesse või täpsemalt osade kaupa integreerimise juurde:

Määrasime eksponendiks kui. Tekib küsimus: kas astendajat tuleks alati tähistada ? Ei ole vajalik. Tegelikult vaadeldavas integraalis põhimõtteliselt vahet pole, mida me selle all mõtleme, oleksime võinud minna teist teed:

Miks see võimalik on? Kuna eksponentsiaal muutub iseendaks (nii diferentseerumise kui integreerimise käigus), muutuvad siinus ja koosinus vastastikku üksteiseks (jällegi nii diferentseerumise kui integreerimise käigus).

See tähendab, et võime tähistada ka trigonomeetrilist funktsiooni. Kuid vaadeldavas näites on see vähem ratsionaalne, kuna ilmuvad murrud. Soovi korral võite proovida seda näidet lahendada teise meetodi abil, vastused peavad ühtima.

Näide 8

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada. Enne kui otsustate, mõelge, mida on antud juhul kasulikum nimetada eksponentsiaalseks või trigonomeetriliseks funktsiooniks? Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Ja muidugi ärge unustage, et enamikku selle õppetunni vastuseid on eristamise teel üsna lihtne kontrollida!

Vaadeldud näited ei olnud kõige keerulisemad. Praktikas on enam levinud integraalid, kus konstant on nii trigonomeetrilise funktsiooni eksponendis kui ka argumendis, näiteks: . Paljud inimesed lähevad sellises integraalis segadusse ja sageli satun ka ise segadusse. Tõsiasi on see, et lahusesse ilmub suure tõenäosusega murde ning hooletusest on väga lihtne midagi kaotada. Lisaks on märkides suur vigade tõenäosus; pange tähele, et eksponendil on miinusmärk ja see tekitab täiendavaid raskusi.

Viimases etapis on tulemus sageli midagi sellist:

Isegi lahenduse lõpus peaksite olema äärmiselt ettevaatlik ja murdudest õigesti aru saama:

Keeruliste murdude integreerimine

Läheneme aeglaselt õppetunni ekvaatorile ja hakkame arvestama murdude integraalidega. Jällegi, mitte kõik neist pole ülikeerulised, lihtsalt ühel või teisel põhjusel olid näited teistes artiklites pisut "teemavälised".

Juurte teema jätkamine

Näide 9

Leidke määramatu integraal

Nimetajas juure all on ruuttrinoom pluss "liide" X-i kujul väljaspool juurt. Seda tüüpi integraali saab lahendada standardse asendusega.

Otsustame:

Siin on asendus lihtne:

Vaatame elu pärast asendamist:

(1) Pärast asendamist taandame juure all olevad terminid ühiseks nimetajaks.
(2) Me võtame selle juure alt välja.
(3) Lugejat ja nimetajat vähendatakse võrra. Samas juure all sättisin terminid mugavas järjekorras ümber. Teatud kogemuse korral võib sammud (1), (2) vahele jätta, tehes kommenteeritud toiminguid suuliselt.
(4) Saadud integraal, nagu te õppetunnist mäletate Mõnede murdude integreerimine, on otsustamisel täielik ruudu ekstraheerimise meetod. Valige terve ruut.
(5) Integreerimisega saame tavalise “pika” logaritmi.
(6) Teostame vastupidise asendamise. Kui alguses , siis tagasi: .
(7) Lõplik tegevus on suunatud tulemuse õgvendamisele: juure all viime terminid taas ühisele nimetajale ja võtame juure alt välja.

Näide 10

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin lisatakse üksikule X-le konstant ja asendus on peaaegu sama:

Ainus asi, mida peate lisaks tegema, on väljendada "x" teostatavast asendamisest:

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Mõnikord võib sellises integraalis juure all olla ruutbinoom, see ei muuda lahendusmeetodit, see on veelgi lihtsam. Tundke erinevust:

Näide 11

Leidke määramatu integraal

Näide 12

Leidke määramatu integraal

Lühilahendused ja vastused tunni lõpus. Tuleb märkida, et näide 11 on täpselt selline binoomne integraal, mille lahendusviisist tunnis räägiti Irratsionaalsete funktsioonide integraalid.

2. astme lagunematu polünoomi integraal astmega

(polünoom nimetajas)

Haruldasem integraalitüüp, kuid praktilistes näidetes siiski kohatud.

Näide 13

Leidke määramatu integraal

Kuid pöördume tagasi näite juurde õnnenumbriga 13 (ausalt, ma ei arvanud õigesti). See integraal on ka üks neist, mis võib olla üsna masendav, kui te ei tea, kuidas seda lahendada.

Lahendus algab kunstliku teisendusega:

Ma arvan, et kõik saavad juba aru, kuidas jagada lugeja nimetajaga termini kaupa.

Saadud integraal võetakse osadeks:

Vormi ( – naturaalarv) integraali puhul tuletame korduv vähendamise valem:
, Kus – kraadi võrra madalam integraal.

Kontrollime selle valemi kehtivust lahendatud integraali puhul.
Sel juhul: , , kasutame valemit:

Nagu näete, on vastused samad.

Näide 14

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada. Proovilahuses kasutatakse ülaltoodud valemit kaks korda järjest.

Kui kraadi all on jagamatu ruutkolminoom, siis taandatakse lahendus binoomseks, eraldades täiusliku ruudu, näiteks:

Mis siis, kui lugejas on täiendav polünoom? Sel juhul kasutatakse määramatute koefitsientide meetodit ja integrandi funktsioon laiendatakse murdude summaks. Kuid minu praktikas on selline näide olemas pole kunagi kohtunud, seega jäi see juhtum artiklis kahe silma vahele Murd-ratsionaalfunktsioonide integraalid, jätan selle nüüd vahele. Kui kohtate endiselt sellist integraali, vaadake õpikut - seal on kõik lihtne. Ma arvan, et pole soovitatav kaasata materjali (isegi lihtsaid), mille kohtumise tõenäosus kipub olema null.

Keeruliste trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine

Omadussõna "keeruline" on enamiku näidete puhul taas suures osas tinglik. Alustame suurte astmetega puutujatest ja kotangentidest. Kasutatavate lahendusmeetodite seisukohalt on puutuja ja kotangens peaaegu sama asi, seega räägin lähemalt puutujast, mis tähendab, et näidatud integraali lahendamise meetod kehtib ka kotangensile.

Ülaltoodud õppetükis vaatlesime universaalne trigonomeetriline asendus trigonomeetriliste funktsioonide teatud tüüpi integraalide lahendamiseks. Universaalse trigonomeetrilise asendamise puuduseks on see, et selle kasutamise tulemuseks on sageli tülikad ja keeruliste arvutustega integraalid. Ja mõnel juhul saab universaalset trigonomeetrilist asendust vältida!

Vaatleme teist kanoonilist näidet, siinusega jagatud integraali:

Näide 17

Leidke määramatu integraal

Siin saate kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust ja saada vastuse, kuid on ka ratsionaalsem viis. Esitan iga sammu jaoks täieliku lahenduse koos kommentaaridega:

(1) Topeltnurga siinuse jaoks kasutame trigonomeetrilist valemit.
(2) Teostame kunstliku teisenduse: jagame nimetajaga ja korrutame .
(3) Kasutades nimetajas tuntud valemit, teisendame murdosa puutujaks.
(4) Toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla.
(5) Võtke integraal.

Paar lihtsat näidet, mida saate ise lahendada:

Näide 18

Leidke määramatu integraal

Märkus. Esimene samm peaks olema vähendamise valemi kasutamine ja tehke hoolikalt eelmise näitega sarnaseid toiminguid.

Näide 19

Leidke määramatu integraal

Noh, see on väga lihtne näide.

Terviklahendused ja vastused tunni lõpus.

Ma arvan, et nüüd pole integraalidega kellelgi probleeme:
ja nii edasi.

Mis on meetodi idee? Idee on kasutada teisendusi ja trigonomeetrilisi valemeid, et korraldada integrandi ainult puutujad ja puutuja tuletis. See tähendab, et me räägime asendamisest: . Näidetes 17-19 kasutasime tegelikult seda asendust, kuid integraalid olid nii lihtsad, et saime hakkama samaväärse toiminguga – funktsiooni liitmine diferentsiaalmärgi alla.

Sarnaseid arutlusi, nagu ma juba mainisin, saab läbi viia ka kotangensi puhul.

Ülaltoodud asendamise rakendamiseks on ka formaalne eeltingimus:

Koosinuse ja siinuse astmete summa on negatiivne täisarv PAARARV, Näiteks:

integraali puhul – negatiivne täisarv PAARARV.

! Märge : kui integrand sisaldab AINULT siinust või AINULT koosinust, siis võetakse integraal ka negatiivse paaritu astme jaoks (lihtsamad juhud on näidetes nr 17, 18).

Vaatame selle reegli alusel paari sisukamat ülesannet:

Näide 20

Leidke määramatu integraal

Siinuse ja koosinuse astmete summa: 2 – 6 = –4 on negatiivne täisarv PAARARV, mis tähendab, et integraali saab taandada puutujateks ja selle tuletiseks:

(1) Teisendame nimetaja.
(2) Kasutades üldtuntud valemit, saame .
(3) Teisendame nimetaja.
(4) Kasutame valemit .
(5) Toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla.
(6) Teostame asendamise. Kogenumad õpilased ei pruugi asendamist läbi viia, kuid parem on siiski asendada puutuja ühe tähega - on väiksem oht ​​segadusse sattuda.

Näide 21

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada.

Oodake, meistrivõistluste voorud on kohe algamas =)

Sageli sisaldab integrand "hodgepodge'i":

Näide 22

Leidke määramatu integraal

See integraal sisaldab algselt puutujat, mis viib kohe juba tuttava mõtteni:

Jätan kunstliku ümberkujundamise algusesse ja ülejäänud sammud kommentaarideta, kuna kõike on eespool juba käsitletud.

Paar loomingulist näidet teie enda lahenduse jaoks:

Näide 23

Leidke määramatu integraal

Näide 24

Leidke määramatu integraal

Jah, nendes saate muidugi siinuse ja koosinuse astmeid alandada ning kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust, kuid lahendus on palju tõhusam ja lühem, kui see viiakse läbi puutujate kaudu. Täislahendus ja vastused tunni lõpus

Antiderivaatide ("integraalide") tabel. Integraalide tabel. Tabelikujulised määramatud integraalid. (Kõige lihtsamad integraalid ja integraalid parameetriga). Osade kaupa integreerimise valemid. Newtoni-Leibnizi valem.

Antiderivaatide ("integraalide") tabel. Tabelikujulised määramatud integraalid. (Kõige lihtsamad integraalid ja integraalid parameetriga).
Toitefunktsiooni integraal.	Toitefunktsiooni integraal.
Integraal, mis taandub võimsusfunktsiooni integraaliks, kui x juhitakse diferentsiaalmärgi all.
	Eksponentsi integraal, kus a on konstantne arv.
Kompleksse eksponentsiaalfunktsiooni integraal.	Eksponentfunktsiooni integraal.
Naturaallogaritmiga võrdne integraal.	Integraal: "Pikk logaritm".
	Integraal: "Pikk logaritm".
Integraal: "Kõrge logaritm".	Integraal, kus x lugejas asetatakse diferentsiaalmärgi alla (märgi all oleva konstanti saab liita või lahutada), on lõppkokkuvõttes sarnane naturaallogaritmiga võrdse integraaliga.
Integraal: "Kõrge logaritm".
Koosinusintegraal.	Siinuse integraal.
Integraal võrdub puutujaga.	Integraal võrdub kotangensiga.
Integraal, mis on võrdne nii arkosiini kui ka arkosiiniga
Integraal, mis on võrdne nii arkosiini kui ka arkosiiniga.	Integraal, mis on võrdne nii arktangensiga kui ka arkotangensiga.
Integraal võrdne kosekantsiga.	Integraal võrdub sekantiga.
Integraal võrdub kaarekujulisega.	Integraal võrdne arccosecantiga.
Integraal võrdub kaarekujulisega.	Integraal võrdub kaarekujulisega.
Integraal võrdub hüperboolse siinusega.	Integraal võrdub hüperboolse koosinusega.
Integraal võrdub hüperboolse siinusega, kus sinhx on ingliskeelses versioonis hüperboolne siinus.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse koosinusega, kus sinhx on ingliskeelses versioonis hüperboolne siinus.
Integraal, mis on võrdne hüperboolse puutujaga.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse kotangensiga.
Integraal, mis on võrdne hüperboolse sekantiga.	Integraal, mis on võrdne hüperboolse kosekandiga.

Osade kaupa integreerimise valemid. Integratsioonireeglid.

Osade kaupa integreerimise valemid. Newtoni-Leibnizi valem.Integratsioonireeglid.
Toote (funktsiooni) integreerimine konstandiga:
Funktsioonide summa integreerimine:
määramata integraalid:
Osade kaupa integreerimise valem kindlad integraalid:
Newtoni-Leibnizi valem kindlad integraalid:	Kus F(a), F(b) on antiderivaatide väärtused vastavalt punktides b ja a.

Tuletisinstrumentide tabel. Tabelituletised. Toote tuletis. Jagatise tuletis. Kompleksfunktsiooni tuletis.

Kui x on sõltumatu muutuja, siis:

Tuletisinstrumentide tabel. Tabelituletised."tabelituletis" - jah, kahjuks just nii neid Internetist otsitakse
	Võimsusfunktsiooni tuletis
	Eksponent tuletis
Kompleksse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis	Eksponentfunktsiooni tuletis
Logaritmilise funktsiooni tuletis	Naturaallogaritmi tuletis
	Funktsiooni naturaallogaritmi tuletis
Siinuse tuletis	Koosinuse tuletis
Koossekandi tuletis	Sekanti tuletis
Arsiini tuletis	Kaarkoosinuse tuletis
Arsiini tuletis	Kaarkoosinuse tuletis
Tangentne tuletis	Kotangensi tuletis
Arktangensi tuletis	Kaare kotangensi tuletis
Arktangensi tuletis	Kaare kotangensi tuletis
Arcsekanti tuletis	Arccosecanti tuletis
Arcsekanti tuletis	Arccosecanti tuletis
Hüperboolse siinuse tuletis Hüperboolse siinuse tuletis ingliskeelses versioonis	Hüperboolse koosinuse tuletis Hüperboolse koosinuse tuletis ingliskeelses versioonis
Hüperboolse puutuja tuletis	Hüperboolse kotangensi tuletis
Hüperboolse sekandi tuletis	Hüperboolse kosekandi tuletis

Eristamise reeglid. Toote tuletis. Jagatise tuletis. Kompleksfunktsiooni tuletis.
Toote (funktsiooni) tuletis konstandi abil:
Summa tuletis (funktsioonid):
Toote tuletis (funktsioonid):
Jagatise (funktsioonide) tuletis:
Kompleksfunktsiooni tuletis:

Logaritmide omadused. Logaritmide põhivalemid. Kümnend (lg) ja naturaallogaritmid (ln).

Põhiline logaritmiline identiteet
Näitame, kuidas vormi a b mis tahes funktsiooni saab muuta eksponentsiaalseks. Kuna funktsiooni kujul e x nimetatakse eksponentsiaalseks, siis
Iga funktsiooni kujul a b võib esitada kümne astmena

Naturaallogaritm ln (logaritm alusele e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylori sari. Taylori seeria funktsiooni laiendus.

Selgub, et enamus praktiliselt kokku puutunud matemaatilisi funktsioone saab esitada mis tahes täpsusega teatud punkti läheduses astmeridade kujul, mis sisaldavad muutuja astmeid kasvavas järjekorras. Näiteks punkti x=1 läheduses:

Sarja kasutamisel nn Taylori read segafunktsioone, mis sisaldavad näiteks algebralisi, trigonomeetrilisi ja eksponentsiaalfunktsioone, saab väljendada puhtalt algebraliste funktsioonidena. Seeriaid kasutades saate sageli kiiresti eristada ja integreerida.

Taylori seeria punkti a naabruses on kujul:

1) , kus f(x) on funktsioon, millel on kõigi järkude tuletised x = a. R n - Taylori seeria ülejäänud liige määratakse avaldise järgi

2)

Rea k-s koefitsient (at x k) määratakse valemiga

3) Taylori seeria erijuhtum on Maclaurini (=McLareni) seeria (laienemine toimub punkti a=0 ümber)

juures a = 0

seeria liikmed määratakse valemiga

Taylori seeria kasutamise tingimused.

1. Funktsiooni f(x) laiendamiseks Taylori seeriaks intervallil (-R;R) on vajalik ja piisav, et ülejäänud liige Taylori (Maclaurin (=McLaren)) valemis. funktsioon kaldub nullini kui k →∞ määratud intervallil (-R;R).

2. On vaja, et antud funktsiooni jaoks oleks tuletised punktis, mille läheduses me konstrueerime Taylori seeria.

Taylori seeria omadused.

Kui f on analüütiline funktsioon, siis selle Taylori jada f definitsioonipiirkonna mis tahes punktis a koondub f-le mõnes a naabruses.

On lõpmatult diferentseeruvaid funktsioone, mille Taylori seeria koondub, kuid erineb samal ajal funktsioonist a mis tahes naabruses. Näiteks:

Taylori seeriaid kasutatakse funktsiooni lähendamiseks (lähendamine on teaduslik meetod, mis seisneb mõne objekti asendamises teistega, mis on ühes või teises mõttes originaalile lähedased, kuid lihtsamad) funktsiooni polünoomide abil. Eelkõige lineariseerimine ((sõnast linearis - lineaarne), üks suletud mittelineaarsete süsteemide ligikaudse kujutamise meetodeid, milles mittelineaarse süsteemi uurimine asendatakse lineaarse süsteemi analüüsiga, mis on mõnes mõttes samaväärne algse süsteemiga. .) võrrandid laienevad Taylori seeriaks ja lõigates ära kõik esimeses järjekorras olevad terminid.

Seega saab peaaegu iga funktsiooni etteantud täpsusega esitada polünoomina.

Näited mõnedest levinud võimsusfunktsioonide laiendustest Maclaurini seerias (=McLaren, Taylor punkti 0 läheduses) ja Taylor punkti 1 läheduses. Taylori ja McLareni seeria põhifunktsioonide laienduste esimesed liikmed.

Näited mõnedest Maclaurini seeria võimsusfunktsioonide laiendustest (= McLaren, Taylor punkti 0 läheduses)

Näited mõnest tavalisest Taylori seeria laiendusest punkti 1 läheduses

Antiderivaat ja integraal

1. Antiderivaat. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f (x) antituletiseks vahemikus X, kui mis tahes x-i korral X-st kehtib võrdus F"(x)=f(x).

T.7.13 (Kui F(x) on funktsiooni f(x) antituletis vahemikus X, siis funktsioonil f(x) on lõpmatult palju antituletisi ja kõik need antiderivaadid on kujul F (x) + C, kus C on suvaline konstant (antiderivaadi põhiomadus).

2. Antiderivaatide tabel. Arvestades, et antiderivaati leidmine on diferentseerimise pöördtehing ja tuletiste tabelist lähtudes saame järgmise antiderivaatide tabeli (lihtsuse huvides on tabelis toodud üks antiderivaat F(x), mitte aga antiderivatiivide üldvorm F( x) + C:

	Antiderivaat		Antiderivaat

Antiderivatiivne ja logaritmiline funktsioon

Logaritmiline funktsioon, eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon. L. f. tähistatud

selle väärtust y, mis vastab argumendi x väärtusele, nimetatakse arvu x naturaallogaritmiks. Definitsiooni järgi on seos (1) samaväärne

(e on Neperi arv). Kuna ey > 0 mis tahes tegeliku y korral, siis L.f. on defineeritud ainult x > 0 korral. Üldisemas mõttes on L. f. helistage funktsioonile

antiderivatiivne võimsusintegraallogaritm

kus a > 0 (a? 1) on suvaline logaritmide alus. Kuid matemaatilises analüüsis on InX funktsioon eriti oluline; funktsioon logaX taandatakse sellele järgmise valemi abil:

kus M = 1/In a. L. f. - üks peamisi elementaarseid funktsioone; selle graafikut (joonis 1) nimetatakse logaritmiks. L. f. põhiomadused. tuleneda eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmide vastavatest omadustest; näiteks L. f. rahuldab funktsionaalse võrrandi

Sest - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Paljud integraalid on väljendatud lineaarfunktsioonide kaudu; Näiteks

L. f. esineb pidevalt matemaatilises analüüsis ja selle rakendustes.

L. f. oli 17. sajandi matemaatikutele hästi teada. Esimest korda käsitles muutuvate suuruste vahelist sõltuvust, mida väljendas L. f., J. Napier (1614). Ta kujutas arvude ja nende logaritmide vahelist seost, kasutades kahte paralleelset sirget liikuvat punkti (joonis 2). Üks neist (Y) liigub ühtlaselt, alustades C-st ja teine ​​(X), alustades A-st, kiirusega, mis on võrdeline tema kaugusega B-st. Kui paneme SU = y, XB = x, siis vastavalt see määratlus,

dx/dy = - kx, kust.

L. f. kas komplekstasandil on mitme väärtusega (lõpmatu väärtusega) funktsioon defineeritud kõigi argumendi z väärtuste jaoks? 0 on tähistatud Lnz-ga. Selle funktsiooni ühe väärtusega haru, mis on määratletud kui

Inz = In?z?+ i arg z,

kus arg z on kompleksarvu z argument, mida nimetatakse lineaarfunktsiooni põhiväärtuseks. Meil on

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

Kõik L.f. tähendused. negatiivse jaoks: tegelikud z on kompleksarvud. Esimene rahuldav teooria L. f. komplekstasandil andis L. Euler (1749), kes lähtus definitsioonist