Loomine

Leidke rombi pindala valemiga logi sisse. Neli valemit, mida saab kasutada rombi pindala arvutamiseks. Rombi omadused. Trapetsi pindala valemid

Matemaatika on õppeaine, mida õpivad kõik, olenemata klassiprofiilist. Siiski pole ta kõigi lemmik. Mõnikord teenimatult. See teadus esitab õpilastele pidevalt väljakutseid, mis võimaldavad nende ajul areneda. Matemaatika teeb suurepärast tööd laste mõtlemisoskuste elushoidmisel. Selle üks sektsioon tuleb sellega eriti hästi toime - geomeetria.

Kõik selles uuritud teemad väärivad tähelepanu ja austust. Geomeetria on arenemisviis ruumiline kujutlusvõime. Näiteks on teema kujundite, eriti rombide alade kohta. Need mõistatused võivad viia ummikutesse, kui te üksikasjadest aru ei saa. Sest need on võimalikud erinevaid lähenemisviise vastuse leidmiseks. Mõnel on lihtsam meeles pidada erinevaid allpool kirjutatud valemite versioone, teised saavad need varem õpitud materjalist ise hankida. Igatahes lootusetuid olukordi ei saa olla. Kui veidi järele mõelda, siis kindlasti leiad lahenduse.

Sellele küsimusele on vaja vastata, et mõista valemite saamise põhimõtteid ja arutluskäiku ülesannetes. Lõppude lõpuks, selleks, et mõista, kuidas rombi pindala leida, peate selgelt aru saama, mis kujuga see on ja millised on selle omadused.

Rööpküliku, mis on paarikaupa paralleelsete külgedega nelinurk, käsitlemise mugavuse huvides võtame seda kui "vanemat". Tal on kaks “last”: ristkülik ja romb. Mõlemad on rööpkülikukujulised. Kui paralleele jätkata, on see "perekonnanimi". See tähendab, et rombi pindala leidmiseks võite kasutada rööpküliku jaoks juba uuritud valemit.

Kuid nagu kõigil lastel, on ka rombil midagi oma. See muudab selle pisut erinevaks "vanemast" ja võimaldab seda vaadelda kui eraldi kujundit. Lõppude lõpuks ei ole ristkülik romb. Paralleelide juurde tagasi tulles – nad on nagu vend ja õde. Neil on palju ühist, kuid nad on siiski erinevad. Need erinevused on nende eriomadused, mida tuleb kasutada. Imelik oleks neist teada ja probleemide lahendamisel mitte rakendada.

Kui jätkame analoogiat ja tuletame meelde teist kujundit - ruutu, siis on see rombi ja ristküliku jätk. See joonis ühendab mõlema omadused.

Rombi omadused

Neid on viis ja need on loetletud allpool. Veelgi enam, mõned neist kordavad rööpküliku omadusi, samas kui mõned on omased ainult kõnealusele joonisele.

Romb on rööpkülik, mis on võtnud erilise kuju. Sellest järeldub, et selle küljed on paarikaupa paralleelsed ja võrdsed. Pealegi pole nad paaris võrdsed, kuid see on ka kõik. Nagu see oleks ruudu jaoks.
Selle nelinurga diagonaalid lõikuvad 90º nurga all. See on mugav ja lihtsustab oluliselt arutluskäiku probleemide lahendamisel.
Teine diagonaalide omadus: igaüks neist on lõikepunktiga jagatud võrdseteks segmentideks.
Selle vastastikku asetseva kujundi nurgad on võrdsed.
Ja viimane omadus: rombi diagonaalid langevad kokku nurkade poolitajatega.

Vaadeldavates valemites vastu võetud tähistused

Matemaatikas lahendate ülesandeid tavaliste tähtväljendite, mida nimetatakse valemiteks, abil. Väljakute teema pole erand.

Et liikuda edasi märkmete juurde, mis ütlevad teile, kuidas rombi pindala leida, peate kokku leppima tähed, mis asendavad kõik joonise elementide arvväärtused.

Nüüd on aeg valemid kirjutada.

Ülesannete andmed sisaldavad ainult rombi diagonaale

Reegel ütleb, et teadmata suuruse leidmiseks tuleb diagonaalide pikkused korrutada ja seejärel korrutis pooleks jagada. Jagamise tulemuseks on rombi pindala läbi diagonaalide.

Selle juhtumi valem näeb välja selline:

Olgu see valem number 1.

Ülesanne annab rombi külje ja selle kõrguse

Pindala arvutamiseks peate leidma nende kahe koguse korrutise. See on võib-olla kõige lihtsam valem. Lisaks on teemast teada ka rööpküliku pindala. Sellist valemit on seal juba uuritud.

Matemaatiline tähistus:

Selle valemi number on 2.

Tuntud külg- ja teravnurk

Sel juhul peate rombi külje suuruse ruudu kandma. Seejärel leidke nurga siinus. Ja kolmanda toiminguga arvutage kahe saadud koguse korrutis. Vastus on rombi pindala.

Sõnasõnaline väljend:

Selle seerianumber on 3.

Antud suurused: sisse kirjutatud ringi raadius ja teravnurk

Rombi pindala arvutamiseks peate leidma raadiuse ruudu ja korrutama selle 4-ga. Määrake nurga siinuse väärtus. Seejärel jagage toode teise kogusega.

Valem on järgmisel kujul:

See saab olema numbriga 4.

Probleem hõlmab sisse kirjutatud ringi külge ja raadiust

Rombi pindala leidmise määramiseks peate arvutama nende koguste ja arvu 2 korrutise.

Selle probleemi valem näeb välja järgmine:

Selle seerianumber on 5.

Näited võimalikest ülesannetest

Probleem 1

Üks rombi diagonaalidest on 8 cm ja teine on 14 cm, peate leidma kujundi pindala ja selle külje pikkuse.

Lahendus

Esimese suuruse leidmiseks vajate valemit 1, milles D 1 = 8, D 2 = 14. Seejärel arvutatakse pindala järgmiselt: (8 * 14) / 2 = 56 (cm 2).

Diagonaalid jagavad rombi 4 kolmnurgaks. Igaüks neist on kindlasti ristkülikukujuline. Seda tuleb kasutada teise tundmatu väärtuse määramiseks. Rombi külg muutub kolmnurga hüpotenuusiks ja jalad on diagonaalide pooled.

Siis a 2 = (D 1 / 2) 2 + ( D 2 / 2) 2. Pärast kõigi väärtuste asendamist saame: a 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Kuid see on külje ruut. See tähendab, et peame võtma ruutjuure 65-st. Siis on külje pikkus ligikaudu 8,06 cm.

Vastus: pindala on 56 cm2 ja külg on 8,06 cm.

Probleem 2

Rombi külje väärtus on 5,5 dm ja selle kõrgus on 3,5 dm. Leidke joonise pindala.

Lahendus

Vastuse leidmiseks vajate valemit 2. Selles on a = 5,5, H = 3,5. Seejärel, asendades tähed valemis numbritega, leiame, et soovitud väärtus on 5,5 * 3,5 = 19,25 (dm 2).

Vastus: Rombi pindala on 19,25 dm2.

Probleem 3

Teatud rombi teravnurk on 60º ja selle väiksem diagonaal on 12 cm. Peate arvutama selle pindala.

Lahendus

Tulemuse saamiseks vajate valemit number 3. Selle asemel A on 60 ja väärtus A teadmata.

Rombi külje leidmiseks peate meeles pidama siinuste teoreemi. Täisnurkses kolmnurgas A on hüpotenuus, lühem jalg võrdub poolega diagonaalist ja nurk jagatakse pooleks (tuntud omaduse järgi, kus on mainitud poolitajat).

Siis külg A võrdub jala ja nurga siinuse korrutisega.

Jalg tuleb arvutada järgmiselt: D/2 = 12/2 = 6 (cm). Siinus (A/2) võrdub selle väärtusega 30º nurga korral, see tähendab 1/2.

Pärast lihtsate arvutuste tegemist saame rombi külje jaoks järgmise väärtuse: a = 3 (cm).

Nüüd on pindala 3 2 ja siinuse 60º korrutis, see tähendab 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (cm 2).

Vastus: nõutav väärtus on (9√3)/2 cm 2.

Tulemused: kõik on võimalik

Siin vaatasime mõningaid võimalusi rombi pindala leidmiseks. Kui ülesandes pole otseselt selge, millist valemit kasutada, siis tuleb veidi mõelda ja proovida eelnevalt uuritud teemasid omavahel siduda. Teistes teemades on kindlasti vihje, mis aitab seostada teadaolevaid koguseid valemites olevatega. Ja probleem laheneb. Peaasi on meeles pidada, et kõike varem õpitut saab ja tuleks kasutada.

Lisaks pakutud ülesannetele on võimalikud ka pöördprobleemid, kui joonise pindala kasutamisel peate arvutama rombi mõne elemendi väärtuse. Seejärel peate kasutama võrrandit, mis on tingimusele kõige lähemal. Ja seejärel teisendage valem, jättes võrdsuse vasakule poolele tundmatu suuruse.

Romb on geomeetrias eriline kujund. Tänu oma eriomadustele pole rombi pindala arvutamiseks võimalik kasutada mitte ühte, vaid mitut valemit. Millised on need omadused ja millised on kõige levinumad valemid selle joonise pindala leidmiseks? Selgitame välja.

Millist geomeetrilist kujundit nimetatakse rombiks?

Enne kui saate teada, mis on rombi pindala, tasub välja selgitada, mis kujuga see on.

Eukleidilise geomeetria ajast alates on romb sümmeetriline nelinurk, mille kõik neli külge on võrdse pikkusega ja paarikaupa paralleelsed.

Mõiste päritolu

Selle kuju nimi tuli enamusele kaasaegsed keeled kreeka keelest, ladina keele vahendusel. Sõna "romb" "eellane" oli kreeka nimisõna ῥόμβος (tamburiin). Kuigi ümmarguste tamburiinidega harjunud 20. sajandi elanikel on raske neid muul kujul ette kujutada, valmistati hellenite seas neid muusikariistu traditsiooniliselt mitte ümmargusteks, vaid rombikujulisteks.

Enamikus kaasaegsetes keeltes kasutatakse seda matemaatilist terminit nagu ladina keeles: rombus. Siiski sisse inglise keel Mõnikord nimetatakse rombe teemandiks (teemant või teemant). See kuju sai selle hüüdnime oma erilise kuju tõttu, mis meenutab vääriskivi. Reeglina ei kasutata sarnast terminit kõigi rombide jaoks, vaid ainult nende jaoks, mille kahe külje lõikenurk on võrdne kuuskümmend või nelikümmend viis kraadi.

Seda kuju mainiti esmakordselt uue ajastu esimesel sajandil elanud kreeka matemaatiku - Aleksandria Heroni töödes.

Millised omadused sellel geomeetrilisel kujundil on?

Rombi pindala leidmiseks peate kõigepealt teadma, millised omadused sellel alal on. geomeetriline kujund.

Millistel tingimustel on rööpkülik romb?

Nagu teate, on iga romb rööpkülik, kuid mitte iga rööpkülik pole romb. Täpseks väitmiseks, et esitatud joonis on tõepoolest romb, mitte lihtne rööpkülik, peab see vastama ühele kolmest põhitunnusest, mis rombi eristavad. Või kõik kolm korraga.

Rööpküliku diagonaalid lõikuvad üheksakümnekraadise nurga all.
Diagonaalid jagavad nurgad kaheks, toimides nende poolitajatena.
Mitte ainult paralleelsed, vaid ka külgnevad küljed on sama pikkusega. See, muide, on üks peamisi erinevusi rombi ja rööpküliku vahel, kuna teisel joonisel on ainult võrdse pikkusega paralleelsed küljed, kuid mitte külgnevad.

Millistel tingimustel on romb ruut?

Vastavalt oma omadustele võib romb mõnel juhul muutuda samaaegselt ruuduks. Selle väite selgeks kinnitamiseks lihtsalt pöörake ruutu suvalises suunas nelikümmend viis kraadi. Saadud joonis on romb, mille iga nurk on 90 kraadi.

Samuti saate kinnitada, et ruut on romb, võrrelda nende kujundite omadusi: mõlemal juhul on kõik küljed võrdsed ja diagonaalid on poolitajad ja ristuvad üheksakümnekraadise nurga all.

Kuidas teada saada rombi pindala selle diagonaalide abil

IN kaasaegne maailm Internetist leiate peaaegu kõik materjalid vajalike arvutuste tegemiseks. Seega on konkreetse kujundi pindala automaatseks arvutamiseks programmidega varustatud palju ressursse. Veelgi enam, kui (nagu rombi puhul) on selleks mitu valemit, siis on võimalik valida, millist neist on kõige mugavam kasutada. Kuid kõigepealt peate saama ise ilma arvuti abita välja arvutada rombi pindala ja navigeerida valemites. Rombi jaoks on neid palju, kuid kuulsaimad neist on neli.

Üks lihtsamaid ja levinumaid viise selle joonise pindala väljaselgitamiseks on see, kui teil on teavet selle diagonaalide pikkuse kohta. Kui probleemil on need andmed, saate pindala leidmiseks kasutada järgmist valemit: S = KM x LN/2 (KM ja LN on rombi KLMN diagonaalid).

Selle valemi usaldusväärsust saate praktikas kontrollida. Oletame, et rombi KLMN ühe diagonaali pikkus on KM - 10 cm ja teise LN - 8 cm. Seejärel asendame need andmed ülaltoodud valemiga ja saame järgmise tulemuse: S = 10 x 8/ 2 =. 40 cm 2.

Rööpküliku pindala arvutamise valem

On veel üks valem. Nagu ülalpool rombi määratluses öeldud, pole see mitte ainult nelinurk, vaid ka rööpkülik ja sellel on kõik selle joonise omadused. Sel juhul on selle pindala leidmiseks üsna soovitatav kasutada rööpküliku jaoks kasutatavat valemit: S = KL x Z. Sel juhul on KL rööpküliku külje pikkus (romb) ja Z on rööpküliku külje pikkus ja Z on rööpküliku külje pikkus. sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkus.

IN individuaalsed ülesanded Külje pikkust pole ette nähtud, kuid rombi ümbermõõt on teada. Kuna selle leidmise valem oli ülaltoodud, saate selle abil teada saada külje pikkust. Seega on joonise ümbermõõt 10 cm. Külje pikkuse saab leida ümbermõõtvalemi ümberpööramisel ja 10 jagamisel 4-ga. Tulemuseks on 2,5 cm - see on rombi külje soovitud pikkus.

Nüüd tasub proovida seda arvu valemis asendada, teades, et küljele tõmmatud kõrguse pikkus on samuti võrdne 2,5 cm Nüüd proovime panna need väärtused ülaltoodud valemisse a ala jaoks rööpkülik. Selgub, et rombi pindala on S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Muud võimalused rombi pindala arvutamiseks

Need, kes on siinused ja koosinused juba omandanud, saavad rombi pindala leidmiseks kasutada neid sisaldavaid valemeid. Klassikaline näide on järgmine valem: S = KM 2 x Sin KLM. Sel juhul võrdub joonise pindala rombi kahe külje korrutisega, mis on korrutatud nendevahelise nurga siinusega. Ja kuna rombis on kõik küljed ühesugused, on lihtsam üks külg kohe ruudukujuliseks teha, nagu valemis näidatud.

Kontrollime seda skeemi praktikas ja mitte ainult rombi, vaid ruudu jaoks, millel, nagu teate, on kõik täisnurgad, mis tähendab, et need on võrdsed üheksakümne kraadiga. Oletame, et üks külgedest on 15 cm. Samuti on teada, et 90° nurga siinus on võrdne ühega. Siis vastavalt valemile S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.

Lisaks ülaltoodule kasutatakse mõnel juhul teist valemit, kasutades siinuse abil rombi pindala: S = 4 x R 2 /Sin KLM. Selles teostuses kasutatakse rombi sisse kirjutatud ringi raadiust. See tõstetakse ruudu astmeni ja korrutatakse neljaga. Ja kogu tulemus jagatakse sisse kirjutatud joonisele lähima nurga siinusega.

Arvutuste lihtsuse huvides võtame näiteks uuesti ruudu (selle nurga siinus on alati võrdne ühega). Sellesse kirjutatud ringi raadius on 4,4 cm. Seejärel arvutatakse rombi pindala järgmiselt: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2.

Ülaltoodud valemid rombi raadiuse leidmiseks pole kaugeltki ainsad omataolised, kuid neid on kõige lihtsam mõista ja arvutusi teha.

on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed, siis kehtivad sellele kõik samad valemid nagu rööpküliku puhul, sealhulgas valem kõrguse ja külgede korrutist läbiva pindala leidmiseks.

Rombi pindala saab leida ka selle diagonaale teades. Diagonaalid jagavad rombi neljaks absoluutselt identseks täisnurkseks kolmnurgaks. Kui sorteerime need ristküliku saamiseks, võrdub selle pikkus ja laius ühe terve diagonaaliga ja poolega teisest diagonaalist. Seetõttu leitakse rombi pindala, korrutades rombi diagonaalid, mida vähendatakse kahega (saadud ristküliku pindalana).

Kui teie käsutuses on ainult nurk ja külg, saate diagonaali kasutada abimehena ja joonistada selle teadaoleva nurga vastas. Seejärel jagab see rombi kaheks ühtseks kolmnurgaks, mille pindalade liitmisel saame rombi pindala. Iga kolmnurga pindala võrdub poole külje ruudu ja teadaoleva nurga siinuse korrutisega, kui võrdhaarse kolmnurga pindala. Kuna selliseid kolmnurki on kaks, vähendatakse koefitsiente, jättes ainult teise astme ja siinuse külje:

Kui kirjutate rombi sisse ringi, on selle raadius seotud küljega 90° nurga all, mis tähendab, et kahekordne raadius võrdub rombi kõrgusega. Asendades kõrguse h=2r asemel eelmise valemi, saame pindala S=ha=2ra

Kui koos sisse kirjutatud ringi raadiusega on antud mitte külg, vaid nurk, siis tuleks kõigepealt leida külg, joonistades kõrguse nii, et täisnurkne kolmnurk etteantud nurgaga. Siis saab trigonomeetrilistest seostest valemi abil leida külje a . Asendades selle avaldise rombi pindala sama standardvalemiga, saame

Romb (vanakreeka keelest ῥόμβος ja ladina rombus "tamburiin") on rööpkülik, mida iseloomustab võrdse pikkusega külgede olemasolu. Kui nurgad on 90 kraadi (või täisnurk), nimetatakse sellist geomeetrilist kujundit ruuduks. Romb on geomeetriline kujund, teatud tüüpi nelinurk. See võib olla nii ruut kui ka rööpkülik.

Selle termini päritolu

Räägime veidi selle kuju ajaloost, mis aitab meil enda jaoks mõned salapärased saladused paljastada. iidne maailm. Meile tuttav sõna, mida sageli leidub koolikirjanduses, “romb” pärineb Vana-Kreeka sõna"tamburiin". IN Vana-Kreeka need muusikariistad toodeti rombi või ruudu kujul (erinevalt tänapäevastest seadmetest). Kindlasti märkasite, et kaardiülikonnal - teemantidel - on rombikujuline kuju. Selle ülikonna kujunemine ulatub aegadesse, mil ümmargusi teemante igapäevaelus ei kasutatud. Järelikult on romb vanim ajalooline kuju, mille inimkond leiutas ammu enne ratta tulekut.

Esimest korda kasutasid sellist sõna nagu "romb" sellised kuulsad isiksused nagu Heron ja Aleksandria paavst.

Rombi omadused

Kuna rombi küljed on üksteise vastas ja on paarikaupa paralleelsed, siis on romb kahtlemata rööpkülik (AB || CD, AD || BC).
Rombilised diagonaalid lõikuvad täisnurga all (AC ⊥ BD) ja on seetõttu risti. Seetõttu poolitab ristmik diagonaalid.
Rombiliste nurkade poolitajad on rombi diagonaalid (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD jne).
Rööpküliku identsusest järeldub, et rombi diagonaalide kõigi ruutude summa on külje ruudu arv, mis korrutatakse 4-ga.

Teemandi märgid

Romb on rööpkülik, kui see vastab järgmistele tingimustele:

Rööpküliku kõik küljed on võrdsed.
Rombi diagonaalid lõikuvad täisnurgaga, st on üksteisega risti (AC⊥BD). See tõestab kolme külje reeglit (küljed on võrdsed ja 90 kraadise nurga all).
Rööpküliku diagonaalid jagavad nurgad võrdselt, kuna küljed on võrdsed.

Rombi pindala

Rombi pindala on võrdne arvuga, mis on pool kõigi selle diagonaalide korrutisest.
Kuna romb on rööpkülik, on rombi pindala (S) rööpküliku külje ja selle kõrguse (h) korrutis.
Lisaks saab rombi pindala arvutada valemiga, mis on rombi ruudu külje ja nurga siinuse korrutis. Nurga siinus on alfa - nurk, mis asub algse rombi külgede vahel.
Valemit, mis on kahekordse nurga alfa ja sisse kirjutatud ringi raadiuse (r) korrutis, peetakse õige lahenduse jaoks üsna vastuvõetavaks.

Mis on romb? Romb on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

ROMB, kujund tasapinnal, võrdsete külgedega nelinurk. Teemant - erijuhtum PARALLELOGRAMM, mille kaks külgnevat külge on võrdsed või diagonaalid lõikuvad täisnurga all või poolitab diagonaal nurga. Täisnurgaga rombi nimetatakse ruuduks.

Rombi pindala klassikaline valem on väärtuse arvutamine kõrguse kaudu. Rombi pindala on võrdne külje ja sellele küljele tõmmatud kõrguse korrutisega.

1. Rombi pindala on võrdne külje ja sellele küljele tõmmatud kõrguse korrutisega:

\[ S = a \cdot h \]

2. Kui on teada rombi külg (rombi kõik küljed on võrdsed) ja külgedevaheline nurk, siis saab pindala leida järgmise valemi abil:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Rombi pindala on samuti võrdne diagonaalide poolkorrutisega, see tähendab:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Kui on teada rombi sisse kirjutatud ringi raadius r ja rombi a külg, siis arvutatakse selle pindala valemiga:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Rombi omadused

Ülaltoodud joonisel on \(ABCD\) romb, \(AC = DB = CD = AD\) . Kuna romb on rööpkülik, on sellel kõik rööpküliku omadused, kuid on ka ainult rombile omaseid omadusi.

Ringi saab sobitada igasse rombi. Rombi sisse kirjutatud ringi keskpunkt on selle diagonaalide lõikepunkt. Ringi raadius võrdne poolega rombi kõrgusest:

\[ r = \frac( AH )(2) \]