Esimene ja teine ​​tuletise määratlus. Mannekeenide tuletise lahendamine: definitsioon, kuidas leida, näiteid lahendustest. Hüperboolsete funktsioonide tuletised

ESIMENE DERIVAAT

ESIMENE DERIVAAT

(esimene tuletis) Funktsiooni väärtuse kasvukiirus, kui selle argument mingil hetkel kasvab, kui funktsioon ise on selles punktis defineeritud. Graafikul näitab funktsiooni esimene tuletis selle kaldenurka. Kui y=f(x), selle esimene tuletis punktis x0 on see piir, milleni f(x0+а)–f(x0)/а nagu A kaldub lõpmata väikesele väärtusele. Esimest tuletist võib tähistada dy/dx või y´(x). Funktsioon y(x) on punktis konstantse väärtusega x0, Kui dy/dx punktis x0 võrdub nulliga. Esimene nulliga võrdne tuletis on vajalik, kuid mitte piisav tingimus, et funktsioon saavutaks antud punktis maksimumi või miinimumi.

Majandus. Sõnastik. - M.: "INFRA-M", kirjastus "Ves Mir". J. Must. Peatoimetus: majandusdoktor Osadchaya I.M.. 2000 .

Majandussõnastik. 2000 .

Vaadake, mis on "FIRST DERIVATIVE" teistes sõnaraamatutes:

- (tuletis) Kiirus, millega funktsiooni väärtus suureneb, kui selle argumenti mingil hetkel suurendatakse, kui funktsioon ise on selles punktis defineeritud. Graafikul näitab funktsiooni esimene tuletis selle kaldenurka. Kui y \u003d f (x), siis selle esimene tuletis punktis ... ... Majandussõnastik

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Tuletis. Illustratsioon tuletise tuletise mõistest ... Wikipedia

Tuletis on diferentsiaalarvutuse põhimõiste, mis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust. See on määratletud kui funktsiooni juurdekasvu ja selle argumendi juurdekasvu suhte piir, kui argumendi juurdekasv kipub olema null, kui selline piir ... ... Wikipedia

eriliigi piirväärtusprobleem; seisneb domeenis D muutujate x=(x1,..., x n) leidmises. paarisjärgu 2m diferentsiaalvõrrandi (1) lahenduste leidmine kõigi piiril asuvate tuletistega, mis ei ole kõrgemad kui m S domeenist D (või osa sellest) ... Matemaatiline entsüklopeedia

- (teine ​​tuletis) Funktsiooni esimese tuletise esimene tuletis. Esimene tuletis mõõdab funktsiooni kallet; teine ​​tuletis mõõdab, kuidas kalle muutub argumentide suurenemisega. Y teine ​​tuletis = f(x)… … Majandussõnastik

See artikkel või jaotis vajab ülevaatamist. Palun täiustage artiklit vastavalt artiklite kirjutamise reeglitele. Fractional pro ... Wikipedia

- (risti osaline tuletis) Funktsiooni ühe argumendi muutmise mõju kahest või enamast muutujast selle funktsiooni tuletisele teise argumendi suhtes. Kui y \u003d f (x, z), siis on selle tuletis või funktsiooni y esimene tuletis argumendi x suhtes ... ... Majandussõnastik

punktkiiruse analoog- Punkti liikumise esimene tuletis piki mehhanismi üldistatud koordinaati ...

lüli nurkkiiruse analoog- Lingi pöördenurga esimene tuletis mehhanismi üldistatud koordinaadi suhtes ... Polütehniline terminoloogiline seletav sõnastik

mehhanismi üldine kiirus- Mehhanismi üldistatud koordinaadi esimene tuletis aja suhtes ... Polütehniline terminoloogiline seletav sõnastik

Raamatud

• Diferentsiaalgeomeetria ja topoloogia ülesannete kogu, Mishchenko A.S.
• Minu teaduslikud artiklid 3. raamat. Tihedusmaatriksi meetod laseri kvantteooriates, suvaline aatom, Bondarev Boriss Vladimirovitš. See raamat käsitleb avaldatud teadusartikleid, milles laseri, suvalise aatomi ja summutatud kvantostsillaatori uued kvantteooriad on esitatud tihedusmaatriksite meetodil.…

Siin on kokkuvõtlik tabel teema uurimise mugavuse ja selguse huvides.

Püsivy=C Võimsusfunktsioon y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponentfunktsioony = x (a x)" = a x ln a Eelkõige siis, kuia = emeil on y = e x (e x)" = e x
logaritmiline funktsioon (log a x) " = 1 x ln a Eelkõige siis, kuia = emeil on y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonomeetrilised funktsioonid (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Hüperboolsed funktsioonid (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analüüsime, kuidas saadud tabeli valemid saadi, ehk teisisõnu tõestame iga funktsioonitüübi tuletisvalemite tuletamist.

Konstandi tuletis

Tõestus 1

Selle valemi tuletamiseks võtame aluseks funktsiooni tuletise definitsiooni punktis. Kasutame x 0 = x, kus x omandab mis tahes reaalarvu väärtuse või teisisõnu x on suvaline arv funktsiooni f (x) = C domeenist. Kirjutame funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks ∆ x → 0:

piir ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = piir ∆ x → 0 C - C ∆ x = piir ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Pange tähele, et avaldis 0 ∆ x jääb piirmärgi alla. See ei ole "null jagatud nulliga" määramatus, kuna lugeja ei sisalda mitte lõpmata väikest väärtust, vaid nulli. Teisisõnu, konstantse funktsiooni juurdekasv on alati null.

Seega on konstantse funktsiooni f (x) = C tuletis võrdne nulliga kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

Näide 1

Arvestades püsivaid funktsioone:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Lahendus

Kirjeldame antud tingimusi. Esimeses funktsioonis näeme naturaalarvu 3 tuletist. Järgmises näites peate võtma tuletise A, Kus A- mis tahes reaalarv. Kolmas näide annab meile irratsionaalarvu 4 tuletise. 13 7 22 , neljas - nulli tuletis (null on täisarv). Lõpuks, viiendal juhul on meil ratsionaalse murru tuletis - 8 7 .

Vastus: antud funktsioonide tuletised on mistahes reaalarvude korral nullid x(kogu määratlusvaldkonnas)

f 1 " (x) = (3)" = 0, f 2 " (x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 " (x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5" (x) = -8 7" = 0

Võimsusfunktsiooni tuletis

Pöördume astmefunktsiooni ja selle tuletise valemi poole, mis on kujul: (x p) " = p x p - 1, kus eksponent lk on suvaline reaalarv.

Tõestus 2

Siin on valemi tõestus, kui eksponendiks on naturaalarv: p = 1 , 2 , 3 , …

Jällegi tugineme tuletise definitsioonile. Kirjutame võimsusfunktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Lugeja avaldise lihtsustamiseks kasutame Newtoni binoomvalemit:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Seega:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p ( ∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Niisiis tõestasime astmefunktsiooni tuletise valemit, kui eksponendiks on naturaalarv.

Tõestus 3

Et anda tõestust juhuks, kui p- mis tahes reaalarv peale nulli, kasutame logaritmilist tuletist (siin peaksime mõistma erinevust logaritmilise funktsiooni tuletisest). Täielikumaks arusaamiseks on soovitav uurida logaritmilise funktsiooni tuletist ning lisaks käsitleda kaudselt antud funktsiooni tuletist ja kompleksfunktsiooni tuletist.

Mõelge kahele juhtumile: millal x positiivne ja millal x on negatiivsed.

Seega x > 0. Siis: x p > 0 . Võtame võrdsuse y \u003d x p logaritmi alusele e ja rakendame logaritmi omadust:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Selles etapis on saadud kaudselt määratletud funktsioon. Defineerime selle tuletise:

(ln y) " = (p ln x) 1 a y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Nüüd käsitleme juhtumit, kui x- negatiivne arv.

Kui indikaator lk on paarisarv, siis on x jaoks defineeritud ka võimsusfunktsioon< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Siis xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Kui lk on paaritu arv, siis on x jaoks defineeritud võimsusfunktsioon< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x) ) p - 1 = p x p - 1

Viimane üleminek on võimalik, sest kui lk on siis paaritu arv p-1 kas paarisarv või null (p = 1 puhul), seega negatiivne x võrdus (- x) p - 1 = x p - 1 on tõene.

Niisiis, oleme tõestanud astmefunktsiooni tuletise valemit mis tahes reaalse p jaoks.

Näide 2

Antud funktsioonid:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Määrake nende tuletised.

Lahendus

Osa antud funktsioonidest teisendame astme omaduste põhjal tabelikujuliseks y = x p ja kasutame seejärel valemit:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Eksponentfunktsiooni tuletis

Tõestus 4

Tuletame tuletise valemi definitsiooni põhjal:

(a x) " = piir ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Meil tekkis ebakindlus. Selle laiendamiseks kirjutame uue muutuja z = a ∆ x - 1 (z → 0 kui ∆ x → 0). Sel juhul a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Viimase ülemineku jaoks kasutatakse logaritmi uuele alusele ülemineku valemit.

Tehkem asendus algses limiidis:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Tuletame meelde teist imelist piiri ja siis saame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemi:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Näide 3

Eksponentfunktsioonid on antud:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Peame leidma nende tuletised.

Lahendus

Kasutame eksponentsiaalfunktsiooni ja logaritmi omaduste tuletise valemit:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Tõestus 5

Esitame mis tahes logaritmilise funktsiooni tuletise valemi tõestuse x määratluspiirkonnas ja logaritmi aluse a kehtivad väärtused. Tuletise definitsiooni põhjal saame:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x ∆ x x ∆ ∆ x → 0 1 x log a x 1 + ∆ x x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Määratletud võrduste ahelast on näha, et teisendused ehitati üles logaritmi omaduse alusel. Võrdsuse piir ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e on tõene vastavalt teisele tähelepanuväärsele piirile.

Näide 4

Logaritmilised funktsioonid on antud:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Peame arvutama nende tuletised.

Lahendus

Rakendame tuletatud valemit:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Seega jagatakse naturaallogaritmi tuletis ühega x.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised

Tõestus 6

Trigonomeetrilise funktsiooni tuletise valemi tuletamiseks kasutame mõningaid trigonomeetrilisi valemeid ja esimest imelist piiri.

Siinusfunktsiooni tuletise definitsiooni kohaselt saame:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Siinuste erinevuse valem võimaldab meil teha järgmisi toiminguid:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Lõpuks kasutame esimest imelist piiri:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Seega funktsiooni tuletis sin x tahe cos x.

Samuti tõestame samamoodi koosinustuletise valemit:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Need. funktsiooni cos x tuletis on – sin x.

Tuletame puutuja ja kotangensi tuletiste valemid lähtudes diferentseerimisreeglitest:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide tuletised

Pöördfunktsioonide tuletise jaotises on põhjalik teave arsiini, arkosiini, arktangendi ja arkotangensi tuletiste valemite tõestamise kohta, mistõttu me materjali siin ei dubleeri.

Hüperboolsete funktsioonide tuletised

Tõestus 7

Diferentseerimisreegli ja eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemi abil saame tuletada valemeid hüperboolse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tuletistele:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Seda on väga lihtne meeles pidada.

Noh, me ei lähe kaugele, kaalume kohe pöördfunktsiooni. Mis on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (st baasiga logaritmi) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent ja naturaallogaritm on funktsioonid, mis on tuletise poolest ainulaadselt lihtsad. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, kui oleme läbinud diferentseerimisreeglid.

Eristamise reeglid

Mis reeglid? Jälle uus termin?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

Ainult ja kõike. Mis on selle protsessi teine ​​sõna? Mitte proizvodnovanie... Matemaatika diferentsiaali nimetatakse funktsiooni väga juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletise märgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las või lihtsam.

Näited.

Leia funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

1. (tuletis on kõigis punktides sama, kuna see on lineaarne funktsioon, mäletate?);

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponendit (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Kus on siis mingi number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, nii et proovime oma funktsiooni viia uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, see jääb, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leia funktsioonide tuletised:

Vastused:

See on lihtsalt arv, mida ei saa arvutada ilma kalkulaatorita, see tähendab, et seda ei saa kirjutada lihtsamal kujul. Seetõttu jäetakse see vastuses sellisele kujule.

Pange tähele, et siin on kahe funktsiooni jagatis, seega rakendame sobivat diferentseerimisreeglit:

Selles näites on kahe funktsiooni korrutis:

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi baasi viima. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetajaks osutus lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis on väga lihtne:

Eksponent- ja logaritmifunktsioonide tuletisi ei leia eksamil peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega kaartangens. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui logaritm tundub sulle keeruline, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik saab korda), kuid matemaatikas ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveierit: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Selgub selline komposiitobjekt: lindiga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidiseid toiminguid vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: esmalt leiame arvu koosinuse ja seejärel teeme saadud arvu ruudu. Niisiis, nad annavad meile numbri (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis sina ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks teeme esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise teise toimingu sellega, mis juhtus esimese tulemusel.

Teisisõnu, Kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Meie näiteks .

Võime teha samu toiminguid vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust:. Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teine näide: (sama). .

Viimane toiming, mida teeme, nimetatakse "väline" funktsioon ja vastavalt esimesena sooritatud toiming "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sisemiste ja välimiste funktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutumisele: näiteks funktsioonis

1. Milliseid meetmeid me kõigepealt võtame? Kõigepealt arvutame siinuse ja alles siis tõstame selle kuubiks. Seega on see sisemine, mitte väline funktsioon.
   Ja algne funktsioon on nende koostis: .
2. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
3. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
4. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .
5. Sisemine: ; väline: .
   Eksam: .

muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd ekstraheerime oma šokolaadi - otsige tuletist. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Algse näite puhul näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

See tundub olevat lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

Lahendused:

1) Sisemine: ;

Väline: ;

2) Sisemine: ;

(Ära proovi nüüdseks vähendada! Koosinuse alt ei võeta midagi välja, mäletad?)

3) Sisemine: ;

Väline: ;

Kohe on selge, et siin on kolmetasandiline kompleksfunktsioon: see on ju juba omaette keeruline funktsioon ja me võtame sealt ikkagi juure välja ehk sooritame kolmanda toimingu (paneme šokolaadi ümbrisesse ja lindiga portfellis). Kuid karta pole põhjust: igatahes “pakkime” selle funktsiooni lahti samas järjekorras nagu tavaliselt: lõpust.

See tähendab, et kõigepealt eristame juurt, seejärel koosinust ja alles seejärel sulgudes olevat avaldist. Ja siis me korrutame selle kõik.

Sellistel juhtudel on mugav toiminguid nummerdada. See tähendab, kujutame ette, mida me teame. Millises järjekorras teeme selle avaldise väärtuse arvutamiseks toiminguid? Vaatame näidet:

Mida hiljem toiming sooritatakse, seda "välisem" on vastav funktsioon. Toimingute jada - nagu varem:

Siin on pesitsus üldiselt 4-tasandiline. Määrame tegevussuuna.

1. Radikaalne väljendus. .

2. Juur. .

3. Sinus. .

4. Ruut. .

5. Pane kõik kokku:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmata väikese juurdekasvuga:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletise märgist välja:

Summa tuletis:

Tuletistoode:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni, leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni, leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.

Saab sildist välja võtta tuletis:

(af(x)"=af" (x).

Näiteks:

Algebralise summa tuletis mitu funktsiooni (võetuna konstantse arvuna) võrdub nende algebralise summaga derivaadid:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 "(x) + f 2 "(x) - f 3 "(x).

Näiteks:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( tuletis viimane tähtaeg võrrand on null).

Kui funktsiooni tuletis g on nullist erinev, siis on ka suhe f/g lõplik tuletis. Selle omaduse saab kirjutada järgmiselt:

.

Lase funktsioonid y = f(x) ja y = g(x) on lõplikud tuletised punktis x 0 . Siis funktsioonid f ± g ja f g on samuti olemas lõplikud tuletised sisse see punkt. Siis saame:

(f ± g) ′ = f ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Lase funktsiooni y = f(x) on lõplik tuletis punktis x 0, funktsioonil z = s(y) on punktis y 0 = f(x 0) lõplik tuletis.

Siis keeruline funktsioon z = s (f(x)) omab ka selles punktis lõplikku tuletist. Selle saab kirjutada kujul:

.

Pöördfunktsiooni tuletis.

Olgu funktsioonil y = f(x) olemas pöördfunktsioon x = g(y) mõnel intervall(a, b) ja on olemas nullist erinev lõplik tuletis see funktsioon punktis x 0 , mis kuulub domeenid, st. x 0 ∈ (a, b).

Siis pöördfunktsioon Sellel on tuletis punktis y 0 = f(x 0):

.

Implitsiitse funktsiooni tuletis.

Kui funktsiooni y = f(x) on kaudselt defineeritud võrrand F(x, y(x)) = 0, siis selle tuletis leitakse tingimusest:

.

Nad ütlevad seda funktsiooni y = f(x) vaikimisi seatud, Kui ta identselt rahuldab seost:

kus F(x, y) on mingi kahe argumendi funktsioon.

Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis.

Kui funktsiooni y = f(x) on antud parameetriliselt, kasutades vaadeldavat

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui ei teata tuletist ja selle arvutamise meetodeid. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid kaalume pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vahepealne argument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks käsitleme esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Püüdsime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega hoiatage: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.