Sirgjoon. Põhimõisted. Paralleelsed jooned. Visuaalne juhend (2020) Mis on paralleelsed jooned

See artikkel käsitleb paralleelseid sirgeid ja paralleelseid sirgeid. Esmalt esitatakse paralleelsete joonte definitsioon tasapinnal ja ruumis, tutvustatakse tähistusi, tuuakse paralleeljoonte näiteid ja graafilisi illustratsioone. Järgmisena käsitletakse sirgete paralleelsuse märke ja tingimusi. Kokkuvõttes on näidatud sirgete paralleelsuse tõestamise tüüpiliste probleemide lahendused, mis on antud sirge teatud võrranditega tasapinnal ja ruumilises ruumis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Leheküljel navigeerimine.

Rööpjooned – põhiteave.

Definitsioon.

Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui neil pole ühiseid punkte.

Definitsioon.

Nimetatakse kahte joont kolmemõõtmelises ruumis paralleelselt, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte.

Pange tähele, et klausel "kui need asuvad samal tasapinnal" ruumi paralleelsete joonte määratluses on väga oluline. Selgitame seda punkti: kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, millel ei ole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole paralleelsed, vaid lõikuvad.

Siin on mõned paralleelsete joonte näited. Märkmiku lehe vastasservad asuvad paralleelsetel joontel. Sirged jooned, mida mööda maja seina tasapind lõikub lae ja põranda tasapindadega, on paralleelsed. Paralleelsete joontena võib käsitleda ka raudteerööpaid tasasel maal.

Paralleelsete joonte tähistamiseks kasutage sümbolit "". See tähendab, et kui sirged a ja b on paralleelsed, saame lühidalt kirjutada a b.

Pange tähele: kui sirged a ja b on paralleelsed, siis võime öelda, et sirge a on paralleelne sirgega b ja ka sirge b paralleelne sirgega a.

Esitagem väide, mis mängib olulist rolli tasapinna paralleelsete sirgete uurimisel: punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib ainus antud sirgega paralleelne sirge. Seda väidet aktsepteeritakse faktina (seda ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide alusel) ja seda nimetatakse paralleelsete sirgete aksioomiks.

Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud paralleelsete sirgete aksioomi abil (selle tõestuse leiate 10.–11. klasside geomeetriaõpikust, mis on loetletud artikli lõpus kirjanduse loetelus).

Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi saab hõlpsasti tõestada ülaltoodud paralleelse joone aksioomi abil.

Sirgede paralleelsus – paralleelsuse märgid ja tingimused.

Märk sirgete paralleelsusest on joonte paralleelsuse piisav tingimus, st tingimus, mille täitmine tagab sirgete paralleelsuse. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on piisav joonte paralleelsuse tuvastamiseks.

Samuti on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnal ja ruumilises ruumis.

Selgitagem fraasi "vajalik ja piisav tingimus paralleelsete joonte jaoks" tähendust.

Paralleelsete joonte piisava tingimusega oleme juba tegelenud. Ja mis on" vajalik tingimus sirgete paralleelsus"? Nimetusest “vajalik” selgub, et paralleeljoonte puhul on selle tingimuse täitmine vajalik. Ehk kui joonte paralleelsuse vajalik tingimus ei ole täidetud, siis pole sirged paralleelsed. Seega paralleelsete joonte jaoks vajalik ja piisav tingimus on tingimus, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks nii vajalik kui ka piisav. See tähendab, et ühelt poolt on see joonte paralleelsuse märk ja teisest küljest on see omadus, mis paralleelsetel sirgel on.

Enne joonte paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamist on soovitav meelde tuletada mitmeid abidefinitsioone.

Sekantne joon on sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.

Kui kaks sirget ristuvad põikisuunaga, moodustub kaheksa väljakujunemata. Niinimetatud risti lamades, vastav Ja ühepoolsed nurgad. Näitame neid joonisel.

Teoreem.

Kui tasapinna kahte sirget lõikub põiki, siis nende paralleelsuse jaoks on vajalik ja piisav, et ristumisnurgad on võrdsed või vastavad nurgad on võrdsed või ühepoolsete nurkade summa on võrdne 180 kraadid.

Näitame selle tasapinna sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse graafilise illustratsiooni.

Tõestused nende sirgete paralleelsuse tingimuste kohta leiate 7.-9.klassi geomeetriaõpikutest.

Pange tähele, et neid tingimusi saab kasutada ka kolmemõõtmelises ruumis – peaasi, et kaks sirget ja sekant asetseksid samal tasapinnal.

Siin on veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.

Teoreem.

Kui tasapinna kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestus tuleneb paralleelsete sirgete aksioomist.

Sarnane tingimus on paralleelsete joonte jaoks kolmemõõtmelises ruumis.

Teoreem.

Kui kaks sirget ruumis on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestamisest räägitakse 10. klassi geomeetriatundides.

Illustreerime esitatud teoreeme.

Esitame veel ühe teoreemi, mis võimaldab tõestada sirgete paralleelsust tasapinnal.

Teoreem.

Kui tasapinna kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed.

Sarnane teoreem on ka ruumijoonte kohta.

Teoreem.

Kui kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis on sama tasapinnaga risti, siis on nad paralleelsed.

Joonistame nendele teoreemidele vastavad pildid.

Kõik ülalpool sõnastatud teoreemid, kriteeriumid ning vajalikud ja piisavad tingimused sobivad suurepäraselt sirgete paralleelsuse tõestamiseks geomeetria meetoditega. See tähendab, et kahe antud sirge paralleelsuse tõestamiseks peate näitama, et need on paralleelsed kolmanda sirgega, või näitama risti asetsevate nurkade võrdsust jne. Geomeetriatundides lahendatakse palju sarnaseid probleeme Keskkool. Samas tuleb tähele panna, et paljudel juhtudel on mugav kasutada koordinaatmeetodit sirgete paralleelsuse tõestamiseks tasapinnal või ruumilises ruumis. Sõnastame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratud sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused.

Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Artikli selles lõigus sõnastame paralleelsete joonte jaoks vajalikud ja piisavad tingimused ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, olenevalt neid sirgeid määratlevate võrrandite tüübist ning pakume ka üksikasjalikke lahendusi iseloomulikele probleemidele.

Alustame kahe sirge paralleelsuse tingimusega tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy. Tema tõestus põhineb sirge suunavektori definitsioonil ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonil.

Teoreem.

Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleksid tasapinnas paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid on kollineaarsed või nende sirgete normaalvektorid on kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on normaalsega risti teise rea vektor.

Ilmselgelt taandatakse tasapinna kahe sirge paralleelsuse tingimuseks (joonte suunavektorid või joonte normaalvektorid) või (ühe sirge suunavektor ja teise sirge normaalvektor). Seega, kui ja on sirge a ja b suunavektorid ja Ja on vastavalt sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutatakse sirgete a ja b paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus , või , või , kus t on mõni reaalarv. Sirgete a ja b juhikute ja (või) normaalvektorite koordinaadid omakorda leitakse teadaolevate sirge võrrandite abil.

Eelkõige siis, kui tasapinnal olev sirge a ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy määratleb üldise sirgjoone võrrandi kujul , ja sirgjoon b - , siis on nende sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus kirjutatakse kujul .

Kui sirgele a vastab kuju nurkkoefitsiendiga sirge võrrand ja sirgele b-, siis nende sirgete normaalvektoritel on koordinaadid ja ning nende sirgete paralleelsuse tingimus on kujul . Järelikult, kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevad sirged on paralleelsed ja neid saab määrata nurkkoefitsientidega sirgete võrranditega, siis on sirgete nurkkoefitsiendid võrdsed. Ja vastupidi: kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevaid mittekattuvad sirged saab määrata võrdsete nurkkoefitsientidega sirge võrranditega, siis on sellised sirged paralleelsed.

Kui sirge a ja sirge b ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratud vormi tasapinnal oleva sirge kanooniliste võrranditega Ja , või sirge parameetrilised võrrandid vormi tasapinnal Ja vastavalt on nende sirgete suunavektoritel koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus on kirjutatud kujul .

Vaatame mitme näite lahendusi.

Näide.

Kas jooned on paralleelsed? Ja ?

Lahendus.

Kirjutame sirgjoone võrrandi lõikude kaupa ümber kujul üldvõrrand otse: . Nüüd näeme, et see on joone normaalne vektor , a on sirge normaalvektor. Need vektorid ei ole kollineaarsed, kuna sellist pole olemas tegelik arv t mille puhul võrdsus ( ). Järelikult ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mistõttu antud sirged ei ole paralleelsed.

Vastus:

Ei, jooned ei ole paralleelsed.

Näide.

Kas sirged ja paralleelsed?

Lahendus.

Taandagem sirge kanooniline võrrand nurkkoefitsiendiga sirge võrrandiks: . Ilmselgelt ei ole sirgete ja võrrandid samad (sel juhul oleksid antud sirged samad) ja sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed, seega on algsed sirged paralleelsed.

Tasapinnal nimetatakse sirgeid paralleelseks, kui neil pole ühiseid punkte, see tähendab, et nad ei ristu. Paralleelsuse näitamiseks kasutage spetsiaalset ikooni || (rööpjooned a || b).

Ruumis paiknevate sirgete puhul ei piisa ühispunktide puudumise nõudest – et need oleksid ruumis paralleelsed, peavad nad kuuluma samale tasapinnale (muidu lõikuvad).

Paralleelsete joonte näidete saamiseks ei pea te kaugele minema, nad saadavad meid kõikjal, ruumis - need on seina ja lae ja põranda ristumisjooned, märkmikulehel - vastasservad jne.

On üsna ilmne, et kui kaks sirget on paralleelsed ja kolmas sirge paralleelne ühega kahest esimesest, on see paralleelne ka teisega.

Tasapinna paralleelsed sirged on seotud väitega, mida ei saa tõestada planimeetria aksioomide abil. Seda aktsepteeritakse kui fakti, kui aksioomi: iga punkti jaoks tasapinnal, mis ei asu sirgel, on ainulaadne sirge, mis läbib seda paralleelselt antud punktiga. Seda aksioomi teab iga kuues klass.

Selle ruumiline üldistus, st väide, et iga ruumipunkti jaoks, mis ei asu sirgel, on ainulaadne sirge, mis läbib seda paralleelselt antud punktiga, on hõlpsasti tõestatav, kasutades juba teadaolevat paralleelsuse aksioomi. lennuk.

Paralleelsete joonte omadused

• Kui mõni kahest paralleelsest sirgest on paralleelne kolmandaga, siis on need üksteisega paralleelsed.

Seda omadust omavad paralleelsed sirged nii tasapinnal kui ka ruumis.
Näiteks kaaluge selle põhjendust stereomeetrias.

Oletame, et sirged b ja sirged a on paralleelsed.

Juhtumi, kui kõik sirged asuvad samal tasapinnal, jätame planimeetriale.

Oletame, et a ja b kuuluvad beetatasandisse ning gamma on tasapind, kuhu kuuluvad a ja c (ruumis paralleelsuse definitsiooni järgi peavad sirged kuuluma samale tasapinnale).

Kui eeldame, et beeta- ja gammatasandid on erinevad ja märgime beetatasandist sirgel b teatud punkti B, siis läbi punkti B ja sirge c tõmmatud tasand peab ristuma beetatasandiga sirgjooneliselt (tähistagem seda b1) .

Kui saadud sirge b1 lõikaks gammatasandit, siis ühelt poolt peaks lõikepunkt asuma a-l, kuna b1 kuulub beetatasandile ja teisest küljest peaks see kuuluma ka tasandile c, kuna b1 kuulub kolmandale tasapinnale.
Kuid paralleelsed sirged a ja c ei tohiks ristuda.

Seega peab sirge b1 kuuluma betta-tasapinnale ja samal ajal ei tohi tal olla ühiseid punkte a-ga, seetõttu langeb see paralleelsuse aksioomi järgi kokku b-ga.
Saime sirgega b ühtiva sirge b1, mis kuulub sirgega c samale tasapinnale ja ei lõiku sellega, st b ja c on paralleelsed

• Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab antud sirgega paralleelselt läbida ainult üks sirge.

• Kaks sirget, mis asuvad tasapinnal, mis on risti kolmandaga, on paralleelsed.

• Kui tasapind lõikub ühega kahest paralleelsest sirgest, lõikub sama tasandiga ka teine ​​sirge.

• Kahe kolmandiku paralleelse sirge lõikumisel moodustatud vastavad ja risti asetsevad sisenurgad on võrdsed, moodustatud sisemiste ühekülgsete nurkade summa on 180°.

Tõsi on ka vastupidised väited, mida võib võtta kahe sirge paralleelsuse märkidena.

Tingimus paralleelsete joonte jaoks

Eelpool sõnastatud omadused ja karakteristikud esindavad sirgete paralleelsuse tingimusi ja neid saab tõestada geomeetria meetoditega. Teisisõnu, kahe olemasoleva sirge paralleelsuse tõestamiseks piisab, kui tõestada nende paralleelsust kolmanda sirgega või nurkade võrdsust, olgu need vastavad või risti jne.

Tõestamiseks kasutavad nad peamiselt meetodit "vastuolu", st eeldusel, et sirged ei ole paralleelsed. Selle eelduse põhjal saab kergesti näidata, et antud juhul rikutakse etteantud tingimusi, näiteks osutuvad omavahel risti asetsevad sisenurgad ebavõrdseks, mis tõendab tehtud eelduse ebaõigsust.

1. Kui kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed:

Kui a||c Ja b||c, See a||b.

2. Kui kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed:

Kui a⊥c Ja b⊥c, See a||b.

Ülejäänud sirgete paralleelsuse tunnused põhinevad nurkadel, mis moodustuvad kahe sirge lõikumisel kolmandaga.

3. Kui sisemiste ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis on sirged paralleelsed:

Kui ∠1 + ∠2 = 180°, siis a||b.

4. Kui vastavad nurgad on võrdsed, on sirged paralleelsed:

Kui ∠2 = ∠4, siis a||b.

5. Kui sisemised ristnurgad on võrdsed, on sirged paralleelsed:

Kui ∠1 = ∠3, siis a||b.

Paralleelsete joonte omadused

Paralleelsete sirgete omadustele vastupidised väited on nende omadused. Need põhinevad nurkade omadustel, mis on moodustatud kahe paralleelse sirge ja kolmanda sirge ristumiskohas.

1. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende poolt moodustatud sisemiste ühekülgsete nurkade summa 180°:

Kui a||b, siis ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende poolt moodustatud vastavad nurgad võrdsed:

Kui a||b, siis ∠2 = ∠4.

3. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmanda sirgega, on nende moodustatud ristnurgad võrdsed:

Kui a||b, siis ∠1 = ∠3.

Järgmine omadus on iga eelmise puhul erijuhtum:

4. Kui tasapinna sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on ta risti ka teisega:

Kui a||b Ja c⊥a, See c⊥b.

Viies omadus on paralleelsete sirgete aksioom:

5. Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tõmmata ainult ühe sirge paralleelselt antud sirgega.

Juhised

Enne tõestuse alustamist veendu, et jooned asetseksid samas tasapinnas ja oleksid sellele joonistatavad. Lihtsaim viis seda tõestada on joonlauaga mõõtmine. Selleks mõõdetakse joonlauaga sirgjoonte vaheline kaugus mitmes kohas üksteisest võimalikult kaugel. Kui kaugus jääb muutumatuks, on antud sirged paralleelsed. Kuid see meetod ei ole piisavalt täpne, seetõttu on parem kasutada muid meetodeid.

Joonistage kolmas sirge nii, et see lõikub mõlema paralleelse sirgega. See moodustab nendega neli välimist ja neli sisenurka. Mõelge sisenurkadele. Neid, mis asuvad läbi sekantsi joone, nimetatakse ristlamamiseks. Neid, mis asuvad ühel küljel, nimetatakse ühepoolseteks. Mõõtke nurgamõõturi abil kaks sisemist ristuvat nurka. Kui need on üksteisega võrdsed, on jooned paralleelsed. Kahtluse korral mõõtke ühepoolsed sisenurgad ja lisage saadud väärtused. Jooned on paralleelsed, kui ühepoolsete sisenurkade summa on 180º.

Kui teil pole kraadiklaasi, kasutage 90º ruutu. Kasutage seda ühe joonega risti konstrueerimiseks. Pärast seda jätkake seda risti nii, et see lõikub teise sirgega. Sama ruudu abil kontrollige, millise nurga all see risti sellega lõikub. Kui see nurk on samuti 90º, on jooned üksteisega paralleelsed.

Kui sirged on antud Descartes'i koordinaatsüsteemis, leidke nende suund või normaalvektorid. Kui need vektorid on vastavalt üksteisega kollineaarsed, siis on sirged paralleelsed. Taandage sirgete võrrand üldkujule ja leidke iga sirge normaalvektori koordinaadid. Selle koordinaadid on võrdsed koefitsientidega A ja B. Kui normaalvektorite vastavate koordinaatide suhe on sama, on need kollineaarsed ja sirged paralleelsed.

Näiteks sirgjooned on antud võrranditega 4x-2y+1=0 ja x/1=(y-4)/2. Esimene võrrand on üldine vaade, teine ​​– kanooniline. Viige teine ​​võrrand selle üldkujule. Kasutage selleks proportsioonide teisendamise reeglit, tulemuseks on 2x=y-4. Pärast taandamist üldvormile saad 2x-y+4=0. Kuna suvalise rea üldvõrrand on kirjutatud Ax+By+C=0, siis esimese rea jaoks: A=4, B=2 ja teise rea jaoks A=2, B=1. Normaalvektori esimese otsekoordinaadi jaoks (4;2) ja teise jaoks – (2;1). Leia normaalvektorite vastavate koordinaatide suhe 4/2=2 ja 2/1=2. Need arvud on võrdsed, mis tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Kuna vektorid on kollineaarsed, on sirged paralleelsed.

Need ei ristu, olenemata sellest, kui kaua neid jätkatakse. Sirgete paralleelsust kirjalikult tähistatakse järgmiselt: AB|| KOOSE

Selliste sirgete olemasolu võimalikkust tõestab teoreem.

Teoreem.

Läbi mis tahes punkti, mis on võetud antud sirgest väljapoole, saab tõmmata selle sirgega paralleelse punkti.

Lase AB see sirgjoon ja KOOS mingi punkt sellest väljapoole võetud. Seda tuleb läbi tõestada KOOS saate tõmmata sirge joone paralleelseltAB. Laseme selle alla AB punktist KOOS ristiKOOSD ja siis me dirigeerime KOOSE^ KOOSD, mis on võimalik. Otse C.E. paralleelselt AB.

Selle tõestamiseks oletagem vastupidist, st seda C.E. ristub AB mingil hetkel M. Siis punktist M sirgjoonele KOOSD meil oleks kaks erinevat risti MD Ja PRL, mis on võimatu. Tähendab, C.E. ei saa ületada AB, st. KOOSE paralleelselt AB.

Tagajärg.

Kaks risti (CEJaD.B.) ühele sirgele (CD) on paralleelsed.

Paralleelsete sirgete aksioom.

Sama punkti kaudu on võimatu tõmmata kahte erinevat joont paralleelselt sama joonega.

Niisiis, kui otse KOOSD, tõmmatud läbi punkti KOOS joonega paralleelne AB, siis igal teisel real KOOSE, tõmmatud läbi sama punkti KOOS, ei saa olla paralleelne AB, st. ta jätkab ristuvad Koos AB.

Selle mitte täiesti ilmse tõe tõestamine osutub võimatuks. Seda aktsepteeritakse ilma tõestuseta, kui vajalik eeldus (postulatum).

Tagajärjed.

1. Kui sirge(KOOSE) lõikub ühega paralleelselt(NE), siis lõikub teisega ( AB), sest muidu läbi sama punkti KOOS paralleelselt läbiks kaks erinevat sirget AB, mis on võimatu.

2. Kui kumbki kahest otsene (AJaB) on paralleelsed sama kolmanda reaga ( KOOS) , siis nad paralleelselt omavahel.

Tõepoolest, kui me seda eeldame A Ja B ristuvad mingil hetkel M, siis läbiksid selle punkti paralleelselt kaks erinevat sirget KOOS, mis on võimatu.

Teoreem.

Kui joon on ristiühele paralleelsetest sirgest, siis on see teisega risti paralleelselt.

Lase AB || KOOSD Ja EF ^ AB.Seda nõutakse tõestama EF ^ KOOSD.

PerpendikulaarneEF, ristuvad AB, kindlasti ületab ja KOOSD. Olgu ristumispunkt H.

Oletame nüüd seda KOOSD mitte risti E.H.. Siis mingi muu sirge näiteks H.K., on sellega risti E.H. ja seega läbi sama punkti H tuleb kaks sirge paralleel AB: üks KOOSD, tingimuse ja muu H.K. nagu varem tõestatud. Kuna see on võimatu, ei saa seda eeldada NE ei olnud sellega risti E.H..