Juhuslike nähtuste uurimise praktika näitab, et kuigi üksikute, isegi samades tingimustes tehtud vaatluste tulemused võivad oluliselt erineda, on samal ajal keskmised tulemused piisavalt suure hulga vaatluste puhul stabiilsed ja sõltuvad nõrgalt vaatlustulemustest. üksikute vaatluste tulemused.

Selle juhuslike nähtuste märkimisväärse omaduse teoreetiline alus on suurte arvude seadus. Nimetus "suurte arvude seadus" ühendab teoreemide rühma, mis määravad kindlaks suure hulga juhuslike nähtuste keskmiste tulemuste stabiilsuse ja selgitavad selle stabiilsuse põhjust.

Suurte arvude seaduse lihtsaim vorm ja ajalooliselt selle jaotise esimene teoreem on Bernoulli teoreem, mis ütleb, et kui sündmuse toimumise tõenäosus on kõigis katsetes sama, siis katsete arvu kasvades kaldub sündmuse sagedus sündmuse tõenäosusele ja lakkab olemast juhuslik.

Poissoni teoreem väidab, et sündmuse sagedus sõltumatute katsete seerias kaldub selle tõenäosuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Tõenäosusteooria piirteoreemid, teoreemid Moivre-Laplace selgitada sündmuse esinemissageduse stabiilsuse olemust. See olemus seisneb selles, et katsete arvu piiramatu kasvuga sündmuse esinemiste arvu piirav jaotus (kui sündmuse tõenäosus on kõigis katsetes sama) on normaaljaotus.

Keskpiiri teoreem selgitab laialt levinud tavaline seadus distributsioonid. Teoreem väidab, et kui juhuslik suurus moodustub suure hulga sõltumatute lõplike dispersioonidega juhuslike suuruste liitmise tulemusena, osutub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt normaalne seaduse järgi.

Allpool toodud teoreem pealkirjaga " Suurte arvude seadus" ütleb, et teatud, üsna üldistel tingimustel kaldub juhuslike suuruste arvu suurenedes nende aritmeetiline keskmine matemaatiliste ootuste aritmeetilisele keskmisele ja lakkab olemast juhuslik.

Ljapunovi teoreem selgitab laialt levinud tavaline seadus levikut ja selgitab selle tekkemehhanismi. Teoreem võimaldab väita, et kui suure hulga sõltumatute juhuslike suuruste liitmise tulemusena tekib juhuslik suurus, mille dispersioonid on summa dispersiooniga võrreldes väikesed, pöördub selle juhusliku suuruse jaotusseadus praktiliselt olema normaalne seaduse järgi. Ja kuna juhuslikke muutujaid genereerib alati lõpmatu arv põhjuseid ja enamasti pole ühelgi neist dispersioon võrreldav juhusliku suuruse enda dispersiooniga, alluvad enamik praktikas esinevaid juhuslikke muutujaid normaaljaotuse seadusele.

Suurte arvude seaduse kvalitatiivsed ja kvantitatiivsed väited põhinevad Tšebõševi ebavõrdsus. See määrab ülemise piiri tõenäosusele, et juhusliku suuruse kõrvalekalle selle matemaatilisest ootusest on suurem kui teatud arv. On tähelepanuväärne, et Tšebõševi ebavõrdsus annab hinnangu sündmuse tõenäosusele juhusliku muutuja puhul, mille jaotus on teadmata, on teada ainult selle matemaatiline ootus ja dispersioon.

Tšebõševi ebavõrdsus. Kui juhuslikul suurusel x on dispersioon, siis iga e > 0 korral kehtib järgmine ebavõrdsus: , Kus M x ja D x - juhusliku suuruse x matemaatiline ootus ja dispersioon.

Bernoulli teoreem. Olgu m n n Bernoulli katse õnnestumiste arv ja p üksikkatse õnnestumise tõenäosus. Siis iga e > 0 korral on see tõsi .

Keskpiiri teoreem. Kui juhuslikud suurused x 1 , x 2 , …, x n , … on paaride kaupa sõltumatud, identselt jaotunud ja neil on lõplik dispersioon, siis n ® korral ühtlaselt x (- ,)

Mis on edukate müügiinimeste saladus? Kui jälgite mis tahes ettevõtte parimaid müügimehi, märkate, et neil on üks ühine joon. Igaüks neist kohtub rohkemate inimestega ja teeb rohkem esitlusi kui vähem edukad müügiinimesed. Need inimesed mõistavad, et müük on numbrimäng ja mida rohkematele inimestele nad oma toodetest või teenustest räägivad, seda rohkem tehinguid nad sõlmivad – see on kõik. Nad mõistavad, et kui nad ei suhtle ainult nende vähestega, kes neile kindlasti jah-sõna ütlevad, vaid ka nendega, kelle huvi nende pakkumise vastu nii suur ei ole, siis töötab keskmiste seadus nende kasuks.

Teie sissetulek sõltub müükide arvust, kuid samal ajal on see otseselt võrdeline teie esitluste arvuga. Kui olete keskmiste seadustest aru saanud ja praktiseerite, hakkab uue ettevõtte asutamise või uues valdkonnas töötamisega seotud ärevus vähenema. Selle tulemusena hakkab kasvama kontrollitunne ja kindlustunne oma rahateenimisvõime suhtes. Kui teete lihtsalt esitlusi ja lihvite selle käigus oma oskusi, tulevad tehingud.

Selle asemel, et mõelda tehingute arvule, mõelge paremini esitluste arvule. Pole mõtet hommikul ärgata või õhtul koju tulles mõelda, kes su toote ostab. Selle asemel on kõige parem planeerida, mitu kõnet peate iga päev tegema. Ja siis, ükskõik mida – tehke kõik need kõned! Selline lähenemine muudab teie töö lihtsamaks – kuna see on lihtne ja konkreetne eesmärk. Kui tead, et sul on konkreetne ja saavutatav eesmärk, on sul lihtsam planeeritud arvu kõnesid teha. Kui kuulete selle protsessi jooksul paar korda "jah", siis seda parem!

Ja kui "ei", siis tunnete õhtul, et tegite ausalt kõik, mis suutsite, ja teid ei piina mõtted, kui palju raha teenisite või mitu kaaslast päeva jooksul hankisite.

Oletame, et teie ettevõttes või ettevõttes sõlmib keskmine müüja iga nelja esitluse järel ühe tehingu. Kujutage nüüd ette, et tõmbate kaardipakist kaarte. Iga kolme masti kaart – labidad, teemandid ja nuiad – on esitlus, milles esitlete professionaalselt toodet, teenust või võimalust. Teete seda nii hästi, kui suudate, kuid siiski ei sõlmi te tehingut. Ja iga südamekaart on diil, mis võimaldab saada raha või soetada uue kaaslase.

Kas sa ei tahaks sellises olukorras kaardipakist võimalikult palju kaarte välja tõmmata? Oletame, et teile pakutakse iga südamekaardi tõmbamise korral välja tõmmata nii palju kaarte, kui soovite, samal ajal teile makstes või teile uue kaaslase pakkumisel. Hakkate entusiastlikult kaarte joonistama, vaevu märkamata, mis sobib just väljatõmmatud kaardiga.

Teate, et viiekümne kahe kaardi pakis on kolmteist südant. Ja kahes pakis on kakskümmend kuus südamekaarti jne. Kas olete pettunud, kui joonistate labidaid, teemante või nuppe? Muidugi mitte! Arvate vaid, et iga selline "miss" toob teid millele lähemale? Südamekaardile!

Aga tead mida? Teile on juba selline pakkumine tehtud. Teil on ainulaadne võimalus teenida nii palju kui soovite ja joonistada oma elus nii palju südameid, kui soovite. Ja kui lihtsalt kohusetundlikult "kaarte tõmbate", oma oskusi täiendate ja pisut labidaid, teemante ja nuppe talute, saate suurepäraseks müügimeheks ja saavutate edu.

Üks asi, mis teeb müügi nii lõbusaks, on see, et iga kord, kui pakki segate, segatakse kaarte erinevalt. Mõnikord satuvad kõik südamed paki algusesse ja pärast õnneseeriat (kui meile tundub, et me ei kaota kunagi!) ootab meid ees pikk rida erineva masti kaarte. Ja muul ajal tuleb esimese südameni jõudmiseks läbida lõputu hulk labidaid, nuppe ja teemante. Ja mõnikord ilmuvad erineva masti kaardid rangelt järjekorras. Kuid igal juhul on igas viiekümne kahe kaardi pakis mingis järjekorras alati kolmteist südant. Lihtsalt tõmmake kaardid välja, kuni leiate need.

Saatja: Leylya,  

Sõnad suurte arvude kohta viitavad testide arvule - võetakse arvesse juhusliku muutuja suurt hulka väärtusi või suure hulga juhuslike muutujate kumulatiivset mõju. Selle seaduse olemus on järgmine: kuigi on võimatu ennustada, millise väärtuse üksik juhuslik suurus ühes katses omandab, kaotab suure hulga sõltumatute juhuslike muutujate tegevuse kogutulemus oma juhuslikkuse ja võib ennustada peaaegu usaldusväärselt (st suure tõenäosusega). Näiteks on võimatu ennustada, mis suunas üks münt maandub. Kui aga visata 2 tonni münte, siis võib suure kindlusega väita, et vapiga üleval langenud müntide kaal võrdub 1 tonniga.

Suurte arvude seadus viitab eelkõige nn Tšebõševi ebavõrdsusele, mis hindab ühe testiga tõenäosust, et juhuslik suurus võtab vastu väärtuse, mis erineb keskmisest väärtusest mitte rohkem kui etteantud väärtuse võrra.

Tšebõševi ebavõrdsus. Lase X- suvaline juhuslik suurus, a=M(X) , A D(X) – selle dispersioon. Siis

Näide. Masina sisse lülitatud hülsi läbimõõdu nimiväärtus (st nõutav) on võrdne 5 mm, ja hajumist pole enam 0.01 (see on masina täpsustolerants). Hinnake tõenäosust, et ühe puksi valmistamisel on selle läbimõõdu kõrvalekalle nominaalsest väiksem kui 0,5 mm .

Lahendus. Lase r.v. X– valmistatud puksi läbimõõt. Vastavalt tingimusele on selle matemaatiline ootus võrdne nimiläbimõõduga (kui masina seadistustes pole süstemaatilist riket): a=M(X)=5 ja dispersioon D(X) ≤ 0,01. Rakendades Tšebõševi ebavõrdsust at ε = 0,5, saame:

Seega on sellise kõrvalekalde tõenäosus üsna suur ja seetõttu võime järeldada, et detaili ühekordsel valmistamisel on peaaegu kindel, et läbimõõdu hälve nominaalsest ei ületa 0,5 mm .

Selle tähenduses on standardhälve σ iseloomustab keskmine juhusliku suuruse kõrvalekalle oma keskpunktist (s.o. tema matemaatilisest ootusest). Sest see keskmine kõrvalekalle, siis on testimise ajal võimalikud suured (rõhuasetus o-l) kõrvalekalded. Kui suured kõrvalekalded on praktiliselt võimalikud? Normaalse jaotusega juhuslike muutujate uurimisel tuletasime "kolme sigma" reegli: normaalse jaotusega juhuslik muutuja X ühes testis praktiliselt ei erine oma keskmisest rohkem kui 3σ, Kus σ = σ(X)– r.v. standardhälve. X. Selle reegli tuletasime sellest, et saime ebavõrdsuse

.

Hindame nüüd tõenäosust meelevaldne juhuslik muutuja X aktsepteerida väärtust, mis erineb keskmisest mitte rohkem kui kolmekordse standardhälbe võrra. Rakendades Tšebõševi ebavõrdsust at ε = 3σ ja seda arvestades D(Х)= σ 2 , saame:

.

Seega üldiselt me saame hinnata tõenäosust, et juhuslik suurus kaldub oma keskmisest kõrvale mitte rohkem kui kolme standardhälbe võrra arvu järgi 0.89 , samas kui normaaljaotuse puhul saab seda garanteerida tõenäosusega 0.997 .

Tšebõševi ebavõrdsust saab üldistada sõltumatute identselt jaotatud juhuslike muutujate süsteemiks.

Tšebõševi üldistatud ebavõrdsus. Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ja dispersioone D(X i )= D, See

Kell n=1 see ebavõrdsus muundub ülalpool sõnastatud Tšebõševi ebavõrdsuseks.

Tšebõševi ebavõrdsust, millel on iseseisev tähendus vastavate ülesannete lahendamisel, kasutatakse nn Tšebõševi teoreemi tõestamiseks. Kõigepealt räägime selle teoreemi olemusest ja seejärel esitame selle formaalse sõnastuse.

Lase X 1 , X 2 , … , X n– suur hulk sõltumatuid matemaatiliste ootustega juhuslikke muutujaid M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Kuigi igaüks neist võib katse tulemusel võtta oma keskmisest (st matemaatilisest ootusest) kaugel oleva väärtuse, on juhuslik muutuja
, mis on võrdne nende aritmeetilise keskmisega, võtab suure tõenäosusega fikseeritud arvu lähedase väärtuse
(see on kõigi matemaatiliste ootuste keskmine). See tähendab järgmist. Olgu testi tulemusena sõltumatud juhuslikud suurused X 1 , X 2 , … , X n(neid on palju!) võtsid väärtused vastavalt X 1 , X 2 , … , X n vastavalt. Kui need väärtused võivad ise osutuda vastavate juhuslike suuruste keskmistest väärtustest kaugel, siis nende keskmine väärtus
on tõenäoliselt numbri lähedal
. Seega kaotab suure hulga juhuslike suuruste aritmeetiline keskmine juba oma juhuslikkuse ja on suure täpsusega ennustatav. Seda saab seletada asjaoluga, et väärtuste juhuslikud kõrvalekalded X i alates a i võivad olla erineva märgiga ja seetõttu kokkuvõttes need kõrvalekalded suure tõenäosusega kompenseeritakse.

Terema Tšebõšev (suurte arvude seadus Tšebõševi kujul). Lase X 1 , X 2 , … , X n … – paarikaupa sõltumatute juhuslike muutujate jada, mille dispersioon on piiratud sama arvuga. Siis, ükskõik kui väikese arvu ε me võtame, ebavõrdsuse tõenäosus

on nii lähedal ühele kui soovitakse n võtta juhuslikud muutujad piisavalt suured. Formaalselt tähendab see seda, et teoreemi tingimustel

Seda tüüpi lähenemist nimetatakse tõenäosuse lähenemiseks ja seda tähistatakse:

Seega ütleb Tšebõševi teoreem, et kui sõltumatuid juhuslikke muutujaid on piisavalt palju, omandab nende aritmeetiline keskmine ühes testis peaaegu usaldusväärselt nende matemaatiliste ootuste keskmisele lähedase väärtuse.

Kõige sagedamini rakendatakse Tšebõševi teoreemi olukordades, kus juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n … neil on sama jaotus (st sama jaotusseadus või sama tõenäosustihedus). Tegelikult on see lihtsalt sama juhusliku muutuja suur hulk juhtumeid.

Tagajärg(üldine Tšebõševi ebavõrdsus). Kui sõltumatud juhuslikud muutujad X 1 , X 2 , … , X n … on sama jaotus matemaatiliste ootustega M(X i )= a ja dispersioone D(X i )= D, See

, st.
.

Tõestus tuleneb üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusest, minnes piirini at n→∞ .

Märgime veel kord, et ülaltoodud võrdsused ei garanteeri koguse väärtust
poole püüdleb A juures n→∞. See suurus jääb endiselt juhuslikuks muutujaks ja selle individuaalsed väärtused võivad olla üsna kaugel A. Kuid sellise tõenäosus (kaugelt mitte A) väärtused kasvavad n kipub 0.

kommenteerida. Järeldus kehtib ilmselgelt ka üldisemal juhul, kui juhuslikud suurused on sõltumatud X 1 , X 2 , … , X n … neil on erinevad jaotused, kuid samad matemaatilised ootused (võrdne A) ja ühiselt piiratud dispersioonid. See võimaldab ennustada teatud suuruse mõõtmise täpsust, isegi kui need mõõtmised tehti erinevate instrumentidega.

Vaatleme üksikasjalikumalt selle järelduse rakendamist suuruste mõõtmisel. Kasutame mõnda seadet n sama suuruse mõõtmised, mille tegelik väärtus on võrdne A ja me ei tea. Selliste mõõtmiste tulemused X 1 , X 2 , … , X n võivad üksteisest (ja tegelikust väärtusest) oluliselt erineda A) erinevate juhuslike tegurite mõjul (rõhumuutused, temperatuur, juhuslik vibratsioon jne). Kaaluge r.v. X– mõõteriista näit suuruse ühekordseks mõõtmiseks, samuti kogum r.v. X 1 , X 2 , … , X n– instrumendi näit esimesel, teisel, ..., viimasel mõõtmisel. Seega iga kogus X 1 , X 2 , … , X n on vaid üks juhtudest s.v. X ja seetõttu on neil kõigil sama jaotus nagu r.v. X. Kuna mõõtmistulemused üksteisest ei sõltu, siis r.v. X 1 , X 2 , … , X n võib pidada iseseisvaks. Kui seade ei tekita süstemaatilist viga (näiteks skaala null ei ole “väljas”, vedru ei ole venitatud jne), siis võib eeldada, et matemaatiline ootus M(X) = a, ning seetõttu M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Seega on ülaltoodud järelduse tingimused täidetud ja seega koguse ligikaudse väärtusena A võime võtta juhusliku muutuja "teostuse".
meie katses (mis koosneb rea läbiviimisest n mõõdud), st.

.

Suure arvu mõõtmiste korral on selle valemi abil arvutamise hea täpsus praktiliselt kindel. Sellest lähtub praktiline põhimõte, et suure arvu mõõtmiste korral ei erine nende aritmeetiline keskmine praktiliselt kuigi palju mõõdetud väärtuse tegelikust väärtusest.

Matemaatilises statistikas laialdaselt kasutatav “valimise” meetod põhineb suurte arvude seadusel, mis võimaldab saada selle objektiivsed omadused vastuvõetava täpsusega suhteliselt väikesest juhusliku suuruse väärtuste valimi põhjal. Kuid sellest tuleb juttu järgmises osas.

Näide. Teatud suurust mõõdetakse mõõteseadmel, mis ei tekita süstemaatilisi moonutusi Aüks kord (saadud väärtus X 1 ) ja seejärel veel 99 korda (saadud väärtused X 2 , … , X 100 ). Tõelise mõõteväärtuse jaoks A esimesena võetakse esimese mõõtmise tulemus
ja seejärel kõigi mõõtmiste aritmeetiline keskmine
. Seadme mõõtmistäpsus on selline, et mõõtmise standardhälve σ ei ole suurem kui 1 (seetõttu dispersioon D=σ 2 samuti ei ületa 1). Hinnake iga mõõtmismeetodi puhul tõenäosust, et mõõtmisviga ei ületa 2.

Lahendus. Lase r.v. X– instrumendi näit ühe mõõtmise jaoks. Siis tingimuste järgi M(X)=a. Esitatud küsimustele vastamiseks rakendame üldistatud Tšebõševi ebavõrdsust

ε juures =2 kõigepealt jaoks n=1 ja siis eest n=100 . Esimesel juhul saame
, ja teises. Seega tagab teine ​​juhtum praktiliselt määratud mõõtmistäpsuse, esimene aga jätab selles mõttes suuri kahtlusi.

Rakendame ülaltoodud väiteid Bernoulli skeemis tekkivate juhuslike suuruste kohta. Tuletagem meelde selle skeemi olemust. Las toodetakse n sõltumatud katsed, millest igaüks sisaldab mõnda sündmust A võib ilmneda sama tõenäosusega R, A q=1–р(tähenduses on see vastupidise sündmuse tõenäosus - sündmust ei toimu A) . Kulutame mõne numbri n sellised testid. Vaatleme juhuslikke muutujaid: X 1 – sündmuse esinemiste arv A V 1 - test, ..., X n– sündmuse esinemiste arv A V n- test. Kõik sisestatud s.v. võib võtta väärtusi 0 või 1 (sündmus A võib testis ilmuda või mitte) ja väärtus 1 vastavalt tingimusele aktsepteeritakse igas katses tõenäosusega lk(sündmuse toimumise tõenäosus A igas katses) ja väärtus 0 tõenäosusega q= 1 – lk. Seetõttu on nendel suurustel samad jaotusseadused:

X 1

X n

Seetõttu on ka nende koguste ja nende dispersioonide keskmised väärtused samad: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p = p, …, M(X n )= lk ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ lk)− lk 2 = lk∙(1− lk)= lk ∙ q, … , D(X n )= lk ∙ q. Asendades need väärtused üldistatud Tšebõševi ebavõrdsusega, saame

.

On selge, et r.v. X=X 1 +…+X n on sündmuse esinemiste arv A kõik n testid (nagu öeldakse - "edumiste arv". n testid). Laske dirigeeritud sisse n testimisüritus A ilmus sisse k nendest. Siis saab eelmise võrratuse kirjutada kujul

.

Aga suurusjärk
, võrdub sündmuse esinemiste arvu suhtega A V n sõltumatuid katseid uuringute koguarvuni nimetati varem suhteliseks sündmuste sageduseks A V n testid. Seetõttu on ebavõrdsus

.

Pöörates nüüd piiranguni kell n→∞, saame
, st.
(tõenäoliselt). See moodustab suurte arvude seaduse sisu Bernoulli kujul. Sellest järeldub, et piisavalt suure hulga testidega n suhtelise sageduse meelevaldselt väikesed kõrvalekalded
sündmusi selle tõenäosusest R- peaaegu usaldusväärsed sündmused ja suured kõrvalekalded - peaaegu võimatud. Sellest tulenev järeldus suhteliste sageduste sellise stabiilsuse kohta (millest me varem rääkisime kui eksperimentaalne fakt) põhjendab varem tutvustatud statistilist definitsiooni sündmuse tõenäosusest kui arvust, mille ümber sündmuse suhteline sagedus kõigub.

Arvestades, et väljend lk∙ q= lk∙(1− lk)= lk− lk 2 ei ületa muutuste intervalli
(seda on lihtne kontrollida, leides sellel segmendil selle funktsiooni miinimumi), ülaltoodud ebavõrdsusest
lihtne seda saada

,

mida kasutatakse asjakohaste probleemide lahendamisel (üks neist on toodud allpool).

Näide. Münti visati 1000 korda. Hinnake tõenäosust, et vapi välimuse suhtelise sageduse hälve selle tõenäosusest on väiksem kui 0,1.

Lahendus. Ebavõrdsuse rakendamine
juures lk= q=1/2 , n=1000 , ε = 0,1, me saame .

Näide. Hinnake tõenäosust, et eelmise näite tingimustes on arv k langenud embleemid jäävad vahemikku alates 400 enne 600 .

Lahendus. Seisund 400< k<600 tähendab seda 400/1000< k/ n<600/1000 , st. 0.4< W n (A)<0.6 või
. Nagu just eelmisest näitest nägime, pole sellise sündmuse tõenäosus väiksem 0.975 .

Näide. Mõne sündmuse tõenäosuse arvutamiseks A Viidi läbi 1000 katset, milles sündmus A ilmunud 300 korda. Hinnake tõenäosust, et suhteline sagedus (võrdne 300/1000 = 0,3) on tegelikust tõenäosusest eemal R mitte rohkem kui 0,1.

Lahendus. Ülaltoodud ebavõrdsuse rakendamine
kui n=1000, ε=0,1, saame .

Juhuslike sündmuste esinemissageduste stabiliseerumise nähtus, mis avastati suurel ja mitmekülgsel materjalil, ei omanud esialgu mingit õigustust ja seda tajuti puhtalt empiirilise faktina. Esimene teoreetiline tulemus selles vallas oli 1713. aastal avaldatud kuulus Bernoulli teoreem, mis pani aluse suurte arvude seadustele.

Bernoulli teoreem on oma sisult piirteoreem, st asümptootilise tähendusega väide, mis ütleb, mis juhtub tõenäosuslike parameetritega suure hulga vaatluste korral. Kõigi kaasaegsete arvukate seda tüüpi väidete esivanem on täpselt Bernoulli teoreem.

Tänapäeval tundub, et suurte arvude matemaatiline seadus peegeldab paljude reaalsete protsesside üldist omadust.

Omades soovi anda suurte arvude seadusele võimalikult suur ulatus, mis vastab kaugeltki ammendatud potentsiaalsetele võimalustele selle seaduse rakendamiseks, sõnastas meie sajandi üks suurimaid matemaatikuid A. N. Kolmogorov selle olemuse järgmiselt: suurte arvude seadus on "Üldprintsiip, mille kohaselt suure hulga juhuslike tegurite kogumõju viib juhusest peaaegu sõltumatu tulemuseni."

Seega on suurte arvude seadusel kaks tõlgendust. Üks on matemaatiline, mis on seotud konkreetsete matemaatiliste mudelite, formulatsioonide, teooriatega ja teine ​​on üldisem, väljudes sellest raamistikust. Teine tõlgendus on seotud enam-vähem suunatud tegevuse moodustumise nähtusega, mida praktikas sageli täheldatakse suure hulga peidetud või nähtavate toimimistegurite taustal, millel pole väliselt sellist järjepidevust. Teise tõlgendusega on seotud näiteks hinnakujundus vabal turul ja avaliku arvamuse kujundamine konkreetses küsimuses.

Olles tähele pannud seda suurte arvude seaduse üldist tõlgendust, pöördugem selle seaduse konkreetsete matemaatiliste formulatsioonide poole.

Nagu me eespool ütlesime, on tõenäosusteooria jaoks esimene ja põhimõtteliselt kõige olulisem Bernoulli teoreem. Selle ümbritseva maailma üht olulisemat seadust peegeldava matemaatilise fakti sisu taandub järgmisele.

Mõelge mitteseotud (st sõltumatute) testide jadale, mille tingimusi korratakse järjepidevalt testist testi. Iga testi tulemuseks on meid huvitava sündmuse ilmumine või mittetoimumine A.

Seda protseduuri (Bernoulli skeem) võib ilmselt pidada tüüpiliseks paljude praktiliste valdkondade jaoks: "poiss - tüdruk" vastsündinute järjestuses, igapäevased meteoroloogilised vaatlused ("sadas - ei sadanud"), toodetud toodete voolu kontroll ( "normaalne - defektne" jne.

Sündmuste esinemise sagedus A juures P testid ( t A -

sündmuste sagedus A V P testid) on kasvuga P kalduvus selle väärtust stabiliseerida on empiiriline fakt.

Bernoulli teoreem. Valime suvaliselt väikese positiivse arvu e

Rõhutame, et Bernoulli poolt teatud matemaatilises mudelis (Bernoulli skeemis) tuvastatud matemaatilist fakti ei tohiks segi ajada sageduse stabiilsuse empiiriliselt kindlaks määratud seaduspärasusega. Bernoulli ei rahuldunud pelgalt valemi (9.1) esitamisega, vaid andis praktika vajadusi arvesse võttes hinnangu selles valemis esinevale ebavõrdsusele. Selle tõlgenduse juurde pöördume allpool.

Bernoulli suurte arvude seadust on uurinud suur hulk matemaatikuid, kes on püüdnud seda täpsustada. Ühe neist täpsustustest sai inglise matemaatik Moivre ja seda nimetatakse praegu Moivre-Laplace'i teoreemiks. Bernoulli skeemis võtke arvesse normaliseeritud suuruste jada:

Moivre - Laplace'i integraalteoreem. Valime suvalise kaks numbrit X ( Ja x 2. Sel juhul x, x 7, siis kell P -» °°

Kui valemi (9.3) paremal küljel muutuja x x kipuvad lõpmatuseni, siis on saadud piir, olenevalt ainult x 2-st (indeksi 2 saab sel juhul eemaldada), jaotusfunktsioon, mida nimetatakse standardne normaaljaotus, või Gaussi seadus.

Valemi (9.3) parem pool on võrdne y = F(x 2) - F(x x). F(x 2)-> 1 kl x 2-> °° ja F(x,) -> 0 juures x, -> Piisavalt suure valiku tõttu

X] > 0 ja X]n on absoluutväärtuses piisavalt suur, saame järgmise võrratuse:

Võttes arvesse valemit (9.2), saame praktiliselt usaldusväärsed hinnangud:

Kui usaldusnivoo y = 0,95 (s.o vea tõenäosus 0,05) võib tunduda kellelegi ebapiisav, saate ülalmainitud kolme sigma reegli abil konstrueerida veidi laiema usaldusvahemiku:

See intervall vastab väga kõrgele usaldustasemele y = 0,997 (vt normaaljaotuse tabeleid).

Mõelge mündi viskamise näitele. Viskame mündi n = 100 korda. Kas võib juhtuda, et sagedus R on tõenäosusest väga erinev R= 0,5 (eeldusel, et münt on sümmeetriline), kas see on näiteks võrdne nulliga? Selleks on vaja, et vapp ei kukuks välja isegi üks kord. Selline sündmus on teoreetiliselt võimalik, kuid me oleme juba arvutanud selle sündmuse jaoks sarnased tõenäosused See väärtus

väga väike, selle järjekord on arv, mille koma on 30 nulli. Sellise tõenäosusega sündmust võib julgelt pidada praktiliselt võimatuks. Millised sageduse kõrvalekalded tõenäosusest on suure hulga katsete korral praktiliselt võimalikud? Moivre-Laplace'i teoreemi kasutades vastame sellele küsimusele järgmiselt: tõenäosusega juures= 0,95 vapi sagedus R mahub usaldusvahemikku:

Kui viga 0,05 ei tundu väike, tuleb katsete (mündiviskete) arvu suurendada. Kui suurendatakse P usaldusvahemiku laius väheneb (kahjuks mitte nii kiiresti kui tahaksime, vaid pöördvõrdeliselt -Jn). Näiteks millal P= 10 000 saame selle R asub usaldusvahemikus usalduse tõenäosusega juures= 0,95: 0,5 ±0,01.

Seega oleme kvantitatiivselt aru saanud sageduse ja tõenäosuse lähendamise probleemist.

Nüüd leiame sündmuse tõenäosuse selle sageduse alusel ja hindame selle lähenduse viga.

Teeme suure hulga katseid P(viska münti), leidke sündmuse sagedus A ja me tahame hinnata selle tõenäosust R.

Suurte arvude seadusest P sellest järgneb:

Nüüd hindame ligikaudse võrdsuse (9.7) praktiliselt võimalikku viga. Selleks kasutame ebavõrdsust (9.5) kujul:

Leidma R Kõrval R meil tuleb lahendada ebavõrdsus (9.8), selleks tuleb see ruudustada ja lahendada vastav ruutvõrrand. Selle tulemusena saame:

Kus

Ligikaudseks hinnanguks R Kõrval R võib olla valemis (9.8) R paremal asendada R või valemites (9.10), (9.11) eeldavad, et

Siis saame:

Laske sisse P= 400 katset saadi sageduse väärtus R= 0,25, siis usaldustasemega y = 0,95 leiame:

Mis siis, kui me peame teadma tõenäosust täpsemalt, näiteks veaga mitte rohkem kui 0,01? Selleks on vaja katsete arvu suurendada.

Eeldades valemis (9.12) tõenäosust R= 0,25, võrdsustame vea väärtuse antud väärtusega 0,01 ja saame võrrandi P:

Selle võrrandi lahendamisel saame n~ 7500.

Vaatleme nüüd teist küsimust: kas katsetes saadud sageduse hälvet tõenäosusest saab seletada juhuslike põhjustega või näitab see hälve, et tõenäosus pole see, mida me eeldasime? Teisisõnu, kas kogemus kinnitab aktsepteeritud statistilist hüpoteesi või, vastupidi, nõuab selle tagasilükkamist?

Lase näiteks visata münt P= 800 korda, saame vapi ilmumissageduse R= 0,52. Kahtlustasime, et münt on asümmeetriline. Kas see kahtlus on põhjendatud? Sellele küsimusele vastamiseks lähtume eeldusest, et münt on sümmeetriline (p = 0,5). Leiame usaldusvahemiku (usaldustõenäosusega juures= 0,95) vapi ilmumissageduse kohta. Kui katses saadud väärtus R= 0,52 sobib sellesse intervalli - kõik on normaalne, aktsepteeritud hüpotees mündi sümmeetria kohta ei ole vastuolus katseandmetega. Valem (9.12) kl R= 0,5 annab intervalliks 0,5 ± 0,035; saadud väärtus p = Sellesse intervalli mahub 0,52, mis tähendab, et münt tuleb asümmeetriakahtlustest "puhastada".

Sarnaseid meetodeid kasutatakse selleks, et hinnata, kas juhuslike nähtuste puhul täheldatud erinevad kõrvalekalded matemaatilisest ootusest on juhuslikud või „olulised”. Näiteks, kas alakaal leiti juhuslikult mõnes pakendatud kauba näidises või viitab see süstemaatilisele klientide petmisele? Kas uut ravimit kasutavatel patsientidel suurenes taastumise määr juhuslikult või on see tingitud ravimi toimest?

Tavaseadusel on tõenäosusteoorias ja selle praktilistes rakendustes eriti oluline roll. Eespool nägime juba, et juhuslik suurus - mõne sündmuse esinemiste arv Bernoulli skeemis - P-» °° on taandatud tavaseadusele. Siiski on palju üldisem tulemus.

Keskpiiri teoreem. Suure hulga sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate) juhuslike muutujate summa, mis on omavahel võrreldavad oma dispersioonide järjekorras, jaotatakse normaalseaduse järgi, sõltumata sellest, millised olid terminite jaotusseadused. Ülaltoodud väide on keskse piiriteooria umbkaudne kvalitatiivne sõnastus. Sellel teoreemil on palju vorme, mis erinevad üksteisest tingimuste poolest, millele juhuslikud suurused peavad vastama, et nende summa "normaliseeritaks" koos liikmete arvu suurenemisega.

Normaaljaotuse tihedus Dx) väljendatakse järgmise valemiga:

Kus A - juhusliku suuruse matemaatiline ootus X s= V7) on selle standardhälve.

Intervalli (x 1? x 2) sattumise tõenäosuse arvutamiseks kasutatakse integraali:

Kuna integraali (9.14) tiheduse (9.13) juures ei väljendata elementaarfunktsioonides (“ei võeta”), siis kasutatakse (9.14) arvutamiseks standardse normaaljaotuse integraaljaotuse funktsiooni tabeleid, kui a = 0, a = 1 (sellised tabelid on saadaval igas tõenäosusteooria õpikus):

Tõenäosus (9.14) võrrandit (10.15) kasutades väljendatakse valemiga:

Näide. Leidke tõenäosus, et juhuslik suurus X, millel on parameetritega normaaljaotus A, a, kaldub oma matemaatilisest ootusmoodulist kõrvale mitte rohkem kui 3 võrra.

Kasutades valemit (9.16) ja normaalseaduse jaotusfunktsiooni tabelit, saame:

Näide. Igas 700 sõltumatus katses sündmus A toimub pideva tõenäosusega R= 0,35. Leidke tõenäosus, et sündmus A juhtub:

• 1) täpselt 270 korda;
• 2) vähem kui 270 ja rohkem kui 230 korda;
• 3) rohkem kui 270 korda.

Matemaatilise ootuse leidmine A = jne ja standardhälve:

juhuslik muutuja – sündmuse esinemiste arv V:

Tsentreeritud ja normaliseeritud väärtuse leidmine X:

Normaaljaotuse tiheduse tabelitest leiame f(x):

Otsime selle nüüd üles R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) = = 1 - 0,97615 = 0,02385.

Tõsise sammu suurte arvude probleemide uurimisel tegi 1867. aastal P. L. Tšebõšev. Ta käsitles väga üldist juhtumit, kui sõltumatutelt juhuslikult muutujatelt ei nõuta midagi peale matemaatiliste ootuste ja dispersioonide olemasolu.

Tšebõševi ebavõrdsus. Suvaliselt väikese positiivse arvu e korral kehtib järgmine ebavõrdsus:

Tšebõševi teoreem. Kui x x, x 2, ..., x p - paarikaupa sõltumatud juhuslikud muutujad, millest igaühel on matemaatiline ootus E(Xj) = ci ja dispersioon D(x,) =), ja dispersioonid on ühtlaselt piiratud, st. 1,2 ..., siis mis tahes suvaliselt väikese positiivse arvu korral e kehtib järgmine seos:

Tagajärg. Kui a,= aio, -о 2, i= 1,2 ..., siis

Ülesanne. Mitu korda tuleb münti visata, et tõenäosus ei oleks väiksem kui y - 0,997, võiks väita, et vapi väljakukkumise sagedus jääb vahemikku (0,499; 0,501)?

Oletame, et münt on sümmeetriline, p - q - 0.5. Rakendame juhuslikule suurusele Tšebõševi teoreemi valemis (9.19). X- aastal vapi ilmumise sagedus P mündivisked. Oleme seda juba eespool näidanud X = X x + X 2 + ... +X„, Kus X t - juhuslik muutuja, mis võtab väärtuse 1, kui münt on pea, ja väärtuse 0, kui see on saba. Niisiis:

Kirjutame tõenäosusmärgi all märgitud sündmusele vastupidise sündmuse jaoks võrratuse (9.19):

Meie puhul [e = 0,001, cj 2 = /?-p)]t on vapi esinemiste arv aastal P viskamine. Asendades need suurused viimase võrratusega ja võttes arvesse, et vastavalt ülesande tingimustele peab ebavõrdsus olema täidetud, saame:

Antud näide illustreerib võimalust kasutada Tšebõševi ebavõrdsust juhuslike suuruste teatud hälvete tõenäosuste hindamiseks (nagu ka selliseid probleeme nagu see näide, mis on seotud nende tõenäosuste arvutamisega). Tšebõševi ebavõrdsuse eeliseks on see, et see ei nõua juhuslike suuruste jaotusseaduste tundmist. Muidugi, kui selline seadus on teada, annab Tšebõševi ebavõrdsus liiga umbkaudsed hinnangud.

Vaatame sama näidet, kuid kasutades seda, et mündi viskamine on Bernoulli skeemi erijuhtum. Õnnestuste arv (näites - vappide arv) järgib binoomseadust ja suure P seda seadust saab esitada tavalise seadusega matemaatilise ootusega Moivre-Laplace'i integraalteoreemi tõttu a = pr = n? 0,5 ja standardhälbega a = yfnpq - 25=0,5l/l. Juhusliku suuruse - vapi väljakukkumise sagedus - matemaatiline ootus = 0,5 ja standardhälve

Siis on meil:

Viimasest ebavõrdsusest saame:

Normaaljaotuse tabelitest leiame:

Näeme, et normaallähendus annab mündiviskamiste arvu, mis annab vapi tõenäosuse hindamisel antud vea, mis on 37 korda väiksem võrreldes Tšebõševi võrratuse abil saadud hinnanguga (aga Tšebõševi ebavõrdsus võimaldab teha sarnased arvutused juhul, kui meil pole teavet uuritava juhusliku suuruse jaotusseaduse kohta).

Vaatleme nüüd valemi (9.16) abil lahendatud rakenduslikku ülesannet.

Konkurentsi probleem. Kahel konkureerival raudtee-ettevõttel on mõlemal üks rong, mis sõidab Moskva ja Peterburi vahel. Need rongid on varustatud ligikaudu ühesuguse varustusega ning väljuvad ja saabuvad ligikaudu samal ajal. Teeskleme seda P= 1000 reisijat valivad iseseisvalt ja juhuslikult oma rongi, seetõttu kasutame reisijate rongivaliku matemaatilise mudelina Bernoulli skeemi koos P väljakutseid ja edu tõenäosust R= 0,5. Ettevõte peab otsustama, kui palju istekohti rongis pakkuda, võttes arvesse kahte teineteisele vastandlikku tingimust: ühelt poolt ei taheta, et istekohad oleksid tühjad, teiselt poolt ei taha, et inimesed ei oleks rahul kohtade puudumine (järgmisel korral eelistavad nad konkureerivaid ettevõtteid). Muidugi saab seda pakkuda rongis P= 1000 kohta, aga siis jäävad ilmselgelt tühjad kohad. Juhuslik suurus - reisijate arv rongis - vastuvõetud matemaatilise mudeli raames, kasutades Moivre'i integraalteooriat - Laplace järgib tavaseadust matemaatilise ootusega a = pr = n/2 ja dispersioon a 2 = npq = p/4 järjestikku. Tõenäosus, et rohkem kui s reisijad, määratakse suhtega:

Määrake riskitase A, st tõenäosus, et tuleb juurde s reisijad:

Siit:

Kui A on viimase võrrandi riski juur, mis leitakse normaalseaduse jaotusfunktsiooni tabelitest, siis saame:

Kui näiteks P = 1000, A= 0,01 (see riskitase tähendab, et kohtade arv s piisab 99 juhul 100-st), siis x a ~ 2.33 ja s = 537 kohta. Veelgi enam, kui mõlemad ettevõtted aktsepteerivad sama riskitaset A= 0,01, siis on kahes rongis kokku 1074 istekohta, millest 74 on tühjad. Samamoodi võib välja arvutada, et 514 istekohast piisaks 80% juhtudest ja 549 istekohast 999 juhul 1000-st.

Sarnased kaalutlused kehtivad ka teiste konkureerivate teenuseprobleemide puhul. Näiteks kui T kinod võistlevad sama eest P pealtvaatajad, siis tuleks sellega leppida R= -. Saame,

mis on kohtade arv s kinos tuleks määrata suhtega:

Tühjade kohtade koguarv on võrdne:

Sest A = 0,01, P= 1000 ja T= 2, 3, 4 on selle arvu väärtused ligikaudu võrdsed vastavalt 74, 126, 147.

Vaatame teist näidet. Las rong koosneb P - 100 vankrit. Iga auto kaal on matemaatilise ootusega juhuslik suurus A - 65 tonni ja keskmine eeldus o = 9 tonni Vedur võib vedada rongi, kui selle kaal ei ületa 6600 tonni. vastasel juhul peate ühendama teise veduri. Peate leidma tõenäosuse, et te ei pea seda tegema.

üksikute autode kaalud: , millel on samad matemaatilised ootused A - 65 ja sama dispersioon d- o 2 = 81. Matemaatiliste ootuste reegli järgi: E(x) – 100 * 65 = 6500. Vastavalt dispersioonide liitmise reeglile: D(x) = 100 x 81 = 8100. Juure eraldamisel leiame standardhälbe. Selleks, et üks vedur rongi tõmbaks, peab rongi kaal olema X osutus piiravaks, s.t langes intervalli (0; 6600) sisse. Juhuslikku suurust x – 100 liikme summat – võib pidada normaaljaotuseks. Kasutades valemit (9.16) saame:

Sellest järeldub, et vedur "tuleb rongiga toime" umbes tõenäosusega 0,864. Vähendame nüüd vagunite arvu rongis kahe võrra, s.o võtame P= 98. Arvutades nüüd tõenäosuse, et vedur rongiga “hakkab”, saame väärtuseks suurusjärgus 0,99, st peaaegu kindel sündmus, kuigi selleks tuli eemaldada vaid kaks vagunit.

Seega, kui tegemist on suure hulga juhuslike muutujate summadega, saame kasutada tavaseadust. See tõstatab loomulikult küsimuse: mitu juhuslikku suurust tuleb lisada, et summa jaotusseadus oleks juba “normaliseeritud”? See sõltub sellest, millised on terminite jaotuse seadused. Seal on nii keerulised seadused, et normaliseerimine toimub ainult väga paljude terminite puhul. Kuid need seadused on matemaatikute väljamõeldud, reeglina ei tekita loodus selliseid probleeme tahtlikult. Tavaliselt piisab praktikas tavaseaduse kasutamiseks viiest-kuuest terminist.

Kiirust, millega identse jaotusega juhuslike muutujate summa jaotusseadus "normaliseerub", saab illustreerida intervallil (0, 1) ühtlase jaotusega juhuslike suuruste näitega. Sellise jaotuse kõver on ristküliku kujuga, mis ei sarnane enam tavaseadusega. Lisame kaks sellist sõltumatut muutujat – saame nn Simpsoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse, mille graafiline esitus on võrdhaarse kolmnurga kujuline. Samuti ei tundu see tavalise seadusena, kuid see on parem. Ja kui liidate kolm sellist ühtlaselt jaotatud juhuslikku muutujat, saate kõvera, mis koosneb kolmest parabooli segmendist, mis on väga sarnane tavalise kõveraga. Kui liidate kokku kuus sellist juhuslikku muutujat, saate kõvera, mis ei erine tavalisest. See on aluseks laialdaselt kasutatavale meetodile normaalse jaotusega juhusliku suuruse saamiseks ja kõik kaasaegsed arvutid on varustatud anduritega ühtlaselt jaotatud (0, 1) juhuslike arvude jaoks.

Selle kontrollimiseks on soovitatav kasutada järgmist meetodit. Konstrueerime tasemega sündmuse sageduse usaldusvahemiku juures= 0,997 kolme sigma reegli järgi:

ja kui selle mõlemad otsad ei ulatu lõigust (0, 1) kaugemale, võib kasutada tavaseadust. Kui mõni usaldusvahemiku piir on väljaspool lõiku (0, 1), siis tavaseadust kasutada ei saa. Kuid teatud tingimustel võib mõne juhusliku sündmuse sageduse binoomseadus, kui see ei kaldu normaalsele, võib see kalduda mõnele teisele seadusele.

Paljudes rakendustes kasutatakse Bernoulli skeemi juhusliku katse matemaatilise mudelina, milles katsete arv P on suur, juhuslik sündmus on üsna haruldane, s.t. R = jne mitte väike, aga mitte ka suur (kõikub O -5-20 piires). Sel juhul kehtib piirav seos:

Valemit (9.20) nimetatakse binoomseaduse Poissoni lähenduseks, kuna selle parempoolset tõenäosusjaotust nimetatakse Poissoni seaduseks. Poissoni jaotus on haruldaste sündmuste tõenäosusjaotus, kuna see ilmneb siis, kui piirid on täidetud: P -»°°, R-»0, aga X = pro oo.

Näide. Sünnipäevad. Mis on tõenäosus Rt (k) et 500 inimesega ühiskonnas To inimesed on sündinud uusaastapäeval? Kui need 500 inimest valitakse juhuslikult, saab Bernoulli skeemi rakendada edu tõenäosusega P = 1/365. Siis

Tõenäosusarvutused erinevatele To andke järgmised väärtused: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Vastavad lähendused, kasutades Poissoni valemit X = 500 1/365 = 1,37

andke järgmised väärtused: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; R ъ = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Kõik vead on ainult neljandas kümnendkohas.

Siin on näited olukordadest, kus saate kasutada haruldaste sündmuste Poissoni seadust.

Telefonijaamas tekib vale ühendus väikese tõenäosusega R, tavaliselt R~0,005. Siis Poissoni valem võimaldab meil leida valede ühenduste tõenäosuse antud ühenduste koguarvu korral n~ 1000 kui X = pr =1000 0,005 = 5.

Kuklite küpsetamisel lisa tainale rosinad. Segamise tõttu peaks rosinakuklite sagedus järgima ligikaudu Poissoni jaotust R p (k, X), Kus X- rosinate tihedus tainas.

Radioaktiivne aine eraldab i-osakesi. Sündmus, milleni d-osakeste arv aja jooksul jõuab t antud ruumi pindala, võtab fikseeritud väärtuse Kellele, järgib Poissoni seadust.

Röntgenkiirgusega kokkupuutel muutunud kromosoomidega elusrakkude arv järgib Poissoni jaotust.

Niisiis võimaldavad suurte arvude seadused lahendada matemaatilise statistika probleemi, mis on seotud juhusliku katse elementaarsete tulemuste tundmatute tõenäosuste hindamisega. Tänu neile teadmistele muudame tõenäosusteooria meetodid praktiliselt sisukaks ja kasulikuks. Suurte arvude seadused võimaldavad lahendada ka tundmatute elementaartõenäosuste kohta teabe hankimise probleemi teisel kujul - statistiliste hüpoteeside kontrollimise vormis.

Vaatleme üksikasjalikumalt statistiliste hüpoteeside kontrollimise ülesannete sõnastust ja tõenäosuslikku mehhanismi.

Suurte arvude seadus tõenäosusteoorias väidab, et fikseeritud jaotusest pärineva piisavalt suure lõpliku valimi empiiriline keskmine (aritmeetiline keskmine) on lähedane selle jaotuse teoreetilisele keskmisele (matemaatilisele ootusele). Sõltuvalt konvergentsi tüübist eristatakse suurte arvude nõrka seadust, kui lähenemine toimub tõenäosusega, ja suurte arvude tugevat seadust, kui lähenemine toimub peaaegu kõikjal.

Alati on piiratud arv katseid, mida iga etteantud tõenäosuse korral on vähem 1 mõne sündmuse suhteline esinemissagedus erineb võimalikult vähe selle tõenäosusest.

Suurte arvude seaduse üldine tähendus: suure hulga identsete ja sõltumatute juhuslike tegurite koosmõju viib tulemuseni, mis piirides ei sõltu juhusest.

Lõpliku valimi analüüsil põhinevad tõenäosuse hindamise meetodid põhinevad sellel omadusel. Ilmekas näide on valimistulemuste prognoos valijate valimi uuringu põhjal.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

✪ Suurte arvude seadus

✪ 07 – Tõenäosusteooria. Suurte arvude seadus

✪ 42 suurte arvude seadus

✪ 1 - Tšebõševi suurte arvude seadus

✪ 11. klass, 25. tund, Gaussi kõver. Suurte arvude seadus

Subtiitrid

Vaatame suurte arvude seadust, mis on ehk kõige intuitiivsem seadus matemaatikas ja tõenäosusteoorias. Ja kuna see kehtib väga paljude asjade kohta, kasutatakse seda mõnikord ja mõistetakse valesti. Lubage mul kõigepealt see täpsuse huvides määratleda ja seejärel räägime intuitsioonist. Võtame juhusliku suuruse, näiteks X. Oletame, et teame selle matemaatilist ootust või üldkogumi keskmist. Suurte arvude seadus ütleb lihtsalt, et kui me võtame juhusliku suuruse n-nda arvu vaatluste näite ja võtame kõigi nende vaatluste keskmise... Võtame muutuja. Nimetagem seda X-ks, mille ülaosas on alaindeksi n ja riba. See on meie juhusliku suuruse n-nda vaatluste arvu aritmeetiline keskmine. Siin on minu esimene tähelepanek. Ma teen katse üks kord ja teen selle vaatluse, siis teen seda uuesti ja teen selle vaatluse ja teen seda uuesti ja saan selle. Teostan selle katse n-ndat korda ja jagan seejärel oma vaatluste arvuga. Siin on minu näidiskeskmine. Siin on kõigi minu tehtud tähelepanekute keskmine. Suurte arvude seadus ütleb meile, et minu valimi keskmine läheneb juhusliku suuruse eeldatavale väärtusele. Või võin ka kirjutada, et minu valimi keskmine läheneb lõpmatuseni kalduva n-nda suuruse populatsiooni keskmisele. Ma ei hakka selgelt eristama "lähendamist" ja "konvergentsi", kuid loodan, et saate intuitiivselt aru, et kui ma võtan siin üsna suure valimi, siis saan eeldatava väärtuse kogu üldkogumi kohta. Ma arvan, et enamik teist mõistab intuitiivselt, et kui ma teen piisavalt teste suure hulga näidetega, siis lõpuks annavad testid mulle väärtused, mida ootan, võttes arvesse eeldatavat väärtust ja tõenäosust ja kogu seda jazzi. Kuid ma arvan, et sageli jääb arusaamatuks, miks see nii juhtub. Ja enne kui hakkan selgitama, miks see nii on, lubage mul tuua konkreetne näide. Suurte arvude seadus ütleb meile, et... Oletame, et meil on juhuslik suurus X. See on võrdne peade arvuga 100 õiglase mündi viskamisel. Esiteks teame selle juhusliku muutuja matemaatilist ootust. See on mündiviskamiste või katsete arv, mis on korrutatud mis tahes katse õnnestumise tõenäosusega. Seega on see võrdne 50-ga. See tähendab, et suurte arvude seadus ütleb, et kui me võtame proovi või kui ma arvutan nende katsete keskmise, siis ma saan. .. Kui ma esimest korda testi teen, viskan münti 100 korda või võtan saja mündiga karbi, raputan seda ja siis loendan, mitu pead ma saan, ja ma saan, ütleme , number 55. See oleks X1. Seejärel raputan kasti uuesti ja saan numbri 65. Siis jälle ja saan 45. Ja ma teen seda n arv kordi ja jagan siis katsete arvuga. Suurte arvude seadus ütleb meile, et see keskmine (kõikide minu vaatluste keskmine) läheneb 50-le, kui n läheneb lõpmatusele. Nüüd tahaksin veidi rääkida, miks see nii juhtub. Paljud usuvad, et kui pärast 100 katset on mu tulemus üle keskmise, siis tõenäosusseaduste järgi peaksin saama rohkem või vähem päid, et nii-öelda vahet kompenseerida. Päris nii see ei juhtu. Seda nimetatakse sageli "mänguri eksimuseks". Las ma näitan teile erinevust. Kasutan järgmist näidet. Las ma joonistan graafiku. Muudame värvi. See on n, minu x-telg on n. See on testide arv, mida ma teen. Ja minu Y-telg on valimi keskmine. Teame, et selle suvalise muutuja matemaatiline ootus on 50. Las ma joonistan selle. See on 50. Tuleme tagasi oma näite juurde. Kui n on... Esimesel testil sain 55, see on minu keskmine. Mul on ainult üks andmesisestuspunkt. Siis pärast kahte testi saan 65. Minu keskmine oleks siis 65+55 jagatud 2-ga. See on 60. Ja mu keskmine on veidi tõusnud. Siis sain 45, mis jällegi langetas mu aritmeetilist keskmist. Ma ei kavatse joonistada 45. Nüüd pean selle kõige keskmise arvutama. Millega võrdub 45+65? Las ma arvutan selle väärtuse punkti esindamiseks. See on 165 jagatud 3-ga. See on 53. Ei, 55. Nii et keskmine langeb tagasi 55-ni. Võime neid katseid jätkata. Pärast seda, kui oleme teinud kolm katset ja saanud selle keskmise, arvavad paljud, et tõenäosusjumalad hoolitsevad selle eest, et me saaksime tulevikus vähem päid ja et paari järgmise katse puhul on keskmise alandamiseks madalamad tulemused. Kuid see ei ole alati nii. See, et saad ebaproportsionaalselt palju päid, ei tähenda, et ühel hetkel hakkab sul ebaproportsionaalselt palju sabasid saama. See pole täiesti tõsi. Suurte arvude seadus ütleb meile, et sellel pole tähtsust. Oletame, et pärast teatud lõplikku arvu teste on teie keskmine... Selle tõenäosus on üsna väike, kuid sellegipoolest... Oletame, et teie keskmine on jõudnud selle märgini - 70. Arvate: "Vau, me oleme oodatud väärtusest kaugenenud." Kuid suurte arvude seadus ütleb, et pole vahet, kui palju teste me teeme. Meil on veel ees lõputu hulk väljakutseid. Selle lõpmatu arvu katsete matemaatiline ootus, eriti sellises olukorras, oleks järgmine. Kui jõuate lõpliku arvuni, mis väljendab mingit suurt väärtust, viib sellega koonduv lõpmatu arv taas eeldatava väärtuseni. See on muidugi väga lõtv tõlgendus, kuid seda ütleb meile suurte arvude seadus. See on tähtis. See ei ütle meile, et kui me saame palju päid, siis kuidagi suureneb tõenäosus, et saame sabad, et kompenseerida. See seadus ütleb meile, et pole vahet, milline on lõpptulemus piiratud arvu katsete puhul, kui teil on veel lõpmatu arv katseid. Ja kui teete neid piisavalt, jõuate taas oodatud väärtuse juurde. See on oluline punkt. Mõtle selle üle. Kohtumiseni järgmises videos!

Suurte arvude nõrk seadus

Suurte arvude nõrka seadust nimetatakse ka Bernoulli teoreemiks Jacob Bernoulli järgi, kes tõestas seda 1713. aastal.

Olgu identselt jaotunud ja korreleerimata juhuslike muutujate lõpmatu jada (järjestikune loendus). See tähendab nende kovariatsiooni c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\kõik i\not =j). Laske . Tähistame esimese valimi keskmisega n (\displaystyle n) liikmed:

.

Siis X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

See tähendab iga positiivse jaoks ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Tugevdatud suurte arvude seadus

Olgu sõltumatute identse jaotusega juhuslike muutujate lõpmatu jada ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), mis on määratletud ühel tõenäosusruumil (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Lase E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\all i\in \mathbb (N) ). Tähistagem poolt X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) valimi keskmine n (\displaystyle n) liikmed:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\mathbb (N) ).

Siis X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) peaaegu alati.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ paremal)=1.) .

Nagu iga matemaatiline seadus, saab suurte arvude seadust reaalses maailmas rakendada ainult teatud eeldustel, mida saab täita ainult teatud täpsusega. Näiteks järjestikuste testide tingimusi ei saa sageli lõputult ja absoluutse täpsusega säilitada. Lisaks räägib suurte arvude seadus ainult sellest ebatõenäolisus keskmise väärtuse oluline kõrvalekalle matemaatilisest ootusest.