Poseban slučaj sinusa 0. Trigonometrijske jednadžbe. Uvođenje pomoćnog ugla
Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!
Jednakost koja sadrži nepoznato pod znakom trigonometrijska funkcija(`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.
Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.
1. Jednačina `sin x=a`.
Za `|a|>1` nema rješenja.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Jednačina `cos x=a`
Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, rješenja među realni brojevi nema.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima. 
3. Jednačina `tg x=a`
Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Jednačina `ctg x=a`
Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.
Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli
za sinus: 
za kosinus: 
Za tangentu i kotangens: 
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:
Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina
Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:
- uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
- riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.
Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.
Algebarska metoda.
Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.
Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,
nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizacija.
Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.
Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukcija na homogenu jednačinu
Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:
`a sin x+b cos x=0` ( homogena jednačina prvi stepen) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).
Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje je potrebno riješiti poznatim metodama.
Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Rješenje. Hajde da to zapišemo desna strana kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Prelazak na pola ugla
Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Primjenjujući gore navedeno algebarska metoda, dobijamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Uvođenje pomoćnog ugla
U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:
Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:
`grijeh (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe
To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.
Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.
Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!
Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednačine
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Jednačina cos(x) = a
Objašnjenje i obrazloženje
- Korijeni jednadžbe cosx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, budući da | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ili u a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Neka | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Na intervalu se funkcija y = cos x smanjuje sa 1 na -1. Ali opadajuća funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti samo u jednoj tački svoje domene definicije, stoga jednadžba cos x = a ima samo jedan korijen na ovom intervalu, koji je, po definiciji arkkosinusa, jednak: x 1 = arccos a (i za ovaj korijen cos x = A).
Kosinus je parna funkcija, tako da na intervalu [-n; 0] jednadžba cos x = i također ima samo jedan korijen - broj nasuprot x 1, tj.
x 2 = -arccos a.
Dakle, na intervalu [-n; p] (dužina 2p) jednačina cos x = a sa | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Funkcija y = cos x je periodična s periodom od 2n, stoga se svi ostali korijeni razlikuju od onih pronađenih za 2n (n € Z). Dobijamo sljedeću formulu za korijene jednadžbe cos x = a kada
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Posebni slučajevi rješavanja jednadžbe cosx = a.
Korisno je zapamtiti posebne oznake za korijene jednadžbe cos x = a kada
a = 0, a = -1, a = 1, što se lako može dobiti koristeći jedinični krug kao referencu.
Pošto je kosinus jednak apscisi odgovarajuće tačke jedinične kružnice, dobijamo da je cos x = 0 ako i samo ako je odgovarajuća tačka jedinične kružnice tačka A ili tačka B.
Slično, cos x = 1 ako i samo ako je odgovarajuća tačka jedinične kružnice tačka C, dakle,
x = 2πp, k € Z.
Također cos x = -1 ako i samo ako je odgovarajuća tačka jedinične kružnice tačka D, dakle x = n + 2n,
Jednačina sin(x) = a
Objašnjenje i obrazloženje
- Korijeni jednačine sinx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, budući da | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ili u a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (koristeći trigonometrijske formule), uvođenje novih varijabli i faktoring. Pogledajmo njihovu upotrebu na primjerima. Obratite pažnju na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednačina.
Neophodan uslov za uspešno rešavanje trigonometrijskih jednačina je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).
Primjeri.
1. Jednačine svedene na najjednostavnije.
1) Riješite jednačinu
Rješenje:
odgovor:
2) Pronađite korijene jednačine
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.
Rješenje:
odgovor:
2. Jednačine koje se svode na kvadratne.
1) Riješite jednačinu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Rješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobijamo
odgovor:
2) Riješite jednačinu cos 2x = 1 + 4 cosx.
Rješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobijamo
odgovor:
3) Riješite jednačinu tgx – 2ctgx + 1 = 0
Rješenje:
odgovor:
3. Homogene jednadžbe
1) Riješite jednačinu 2sinx – 3cosx = 0
Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cosx. Dobijamo
odgovor:
2) Riješite jednačinu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Rješenje:
Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobijamo
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cos 2 x .
Dobijamo
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
odgovor: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k,k
4. Jednačine oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Riješite jednačinu.
Rješenje:
odgovor:
5. Jednačine riješene faktorizacijom.
1) Riješite jednačinu sin2x – sinx = 0.
Korijen jednadžbe f (X) = φ ( X) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:
cos 0 = 0 + 1 – jednakost je tačna.
Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.
odgovor: 0.
Video kurs “Dobijte A” uključuje sve teme neophodne za uspjeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi problemi 1-13 Jedinstveni državni ispit profila matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti prvi dio za 30 minuta i bez greške!
Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.
Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.
Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.
Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Zamršena rješenja, korisne cheat sheets, razvoj prostorna imaginacija. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složeni koncepti. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.
