Igre

10 načina za rješavanje kvadrata. Metode rješavanja kvadratnih jednačina. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Sergievskaya Secondary School"

Završio: Sizikov Stanislav

Učitelj:

With. Sergievka, 2007

1. Uvod. Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu……………….3

2. Kvadratne jednadžbe u Diaphant-u…………………………………….4

3. Kvadratne jednadžbe u Indiji ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4. Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi ……………………………………………..6

5. Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XYII…………………………………7

6. O Vietinoj teoremi ……………………………………………………………………..9

7. Deset načina rješavanja kvadratnih jednadžbi……………………..10

8. Zaključak ………………………………………………………………………………20

9. Literatura …………………………………………………………………21

Uvod

Kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih jednadžbi. Svi znamo kako se rješavaju kvadratne jednadžbe, počevši od 8. razreda. Ali kako je nastala i kako se razvijala istorija rešavanja kvadratnih jednačina?

Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antici, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišta; zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. e. Babilonci. Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara piše pod maskom

x2- 64X = - 768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodaje 322 na obje strane, dobivajući tada: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Kvadratne jednadžbe u al - Khorezmiju

Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax2 = in.

2) „Kvadrati su jednaki broju“, tj. ah2= With.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ah2+ c = in.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ah2+ in = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. in+ c \u003d ax2. Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su zbrajanja, a ne oduzimanja. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulu rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Uzmimo primjer.

Zadatak 14. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (što znači korijen jednadžbe x2+ 21 = 10X).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, vi ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khwarizmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski prikazana klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

Kvadratne jednačine u EvropiXIII- XVIIvekovima

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Khwarizmija u Evropi prvi put su izložene u Knjizi Abacus (objavljena u Rimu sredinom prošlog stoljeća, Fibonacci knjiga Abacus sadrži 459 stranica), napisana u 1202. italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike i iz zemalja islama i iz antičke Grčke, odlikuje se potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi in Evropa se približila uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz Knjige Abakusa ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16.-17. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik x2+ u = s, za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata u, sa u Evropi je formulisan tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardaco, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. uzeti u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koji nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako AT+ D, pomnoženo sa ALI oduzeti A2, jednaki BD, onda ALI jednaki AT i jednaki D».

Da biste razumeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki
samoglasnik, namijenjen za njega nepoznato (naš X), samoglasnici
AT,D- koeficijenti za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako

(a+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) x + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete je još uvijek daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznavao negativne brojeve i stoga je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

Deset načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

U školskom kursu matematike proučavaju se formule korijena kvadratnih jednadžbi, uz pomoć kojih možete riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbinu. Međutim, postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi koji vam omogućavaju da mnoge jednadžbe riješite vrlo brzo i racionalno. Postoji deset načina za rješavanje kvadratnih jednačina. Hajde da razmotrimo svaku od njih.

1. Faktorizacija lijeve strane jednačine

Hajde da riješimo jednačinu x2+ 10X- 24 = 0. Faktorizirajmo lijevu stranu jednačine:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Dakle, jednačina se može prepisati kao:

( X + 12)(x - 2) = 0.

Pošto je proizvod jednak nuli, barem jedan od njegovih faktora je nula. Prema tome, lijeva strana jednačine nestaje kada x = 2, kao i X= - 12. To znači da su brojevi 2 i - 12 korijeni jednačine x2 + 10x - 24 = 0.

2. Metoda odabira punog kvadrata

Objasnimo ovu metodu na primjeru.

Rešimo jednačinu x2 + 6x - 7 = 0. Odaberite pun kvadrat na lijevoj strani. Da bismo to učinili, zapisujemo izraz x2 + 6x u sljedećem obliku:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

U rezultirajućem izrazu, prvi član je kvadrat broja x, a drugi je dvostruki proizvod x sa 3. Stoga, da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 32, jer

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Sada transformiramo lijevu stranu jednačine

x2 + 6x - 7 = 0,

dodajući tome i oduzimajući 32. Imamo:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Dakle, ova jednačina se može napisati na sljedeći način:

(x + = 0, tj. (x + 3)2 = 16.

shodno tome, X+ 3 = 4 x1 = 1, ili x + 3 = - 4, x2 = 7.

3. Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli

Pomnožite obje strane jednačine

ah2+ in+ c = 0, a ≠ 0, na 4a i sukcesivno imamo:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2ax +b)2 = in2- 4ac,

2ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

U slučaju pozitivnog diskriminanta, tj v2 - 4ac > 0, jednadžba ah2+ u + s= 0 ima dva različita korijena.

Ako je diskriminanta nula, tj. v2 - 4ac = 0, zatim jednadžba ah2+ in+ With= 0 ima jedan korijen, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Njegovi korijeni zadovoljavaju Vietinu teoremu, koja, kada a= 1 ima oblik

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Iz ovoga možemo izvući sljedeće zaključke (po koeficijentima R i q znakovi korijena mogu se predvidjeti).

a) Ako je slobodan član q redukovana jednadžba (1)
pozitivno (q> 0), tada jednačina ima dvije identične
predznakom korijena i zavisi od drugog koeficijenta R
Ako a R> 0, tada su oba korijena negativna ako R< 0, onda oboje
korijeni su pozitivni.

Na primjer,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 i x2 = 1, jer q = 2 > 0 u str = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 i x2 = - 1, pošto q= 7 > 0 i R = 8 > 0.

b) Ako je slobodan član q redukovana jednadžba (1)
negativan (q < 0), tada jednačina ima dva korijena različitog predznaka, a veći korijen u apsolutnoj vrijednosti će biti pozitivan ako R< 0, ili negativno ako p > 0.

Na primjer,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 = - 5 i x2 = 1, pošto q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 i x2= - 1 jer q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Rješenje jednadžbi metodom "transfera"

Razmotrimo kvadratnu jednačinu ax2 + in+ c = 0, gdje a ≠ 0. Množenje oba njegova dijela sa a, dobijamo jednačinu a2x2 +abx+ ac= 0.

Neka ah = y gdje X=; onda dolazimo do jednačine

y2+ by+ ac = 0,

ekvivalentno ovom. svojim korenima y1 i y2 naći uz pomoć Vietine teoreme. Konačno dobijamo x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Kod ove metode koeficijent a je pomnožen slobodnim terminom, kao da mu je „bačen“, zbog čega se i zove metod prenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

1. Riješite jednačinu 2x2 - 11x + 15 = 0.

Rješenje."Prebacimo" koeficijent 2 na slobodni član, kao rezultat dobijamo jednačinu

y2 - 11 at+ 30 = 0.

Prema Vietinoj teoremi, y1 = 5, y2 = 6, dakle x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

odgovor: 2,5; 3.

6. Svojstva koeficijenata kvadratajednačine

A. Neka je data kvadratna jednačina

ax2 + in + c= 0, gdje a ≠ 0.

1. Ako je + u + sa= 0 (tj. zbir koeficijenata jednačine jednak je nuli), tada je x1 = 1, x2 = .

2. Ako je a - b + c= 0, ilib = a + c, tada je x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

odgovor: 1; 184">

Mogući su sljedeći slučajevi:

Prava linija i parabola mogu se sijeći u dvije tačke, apscise presečnih tačaka su koreni kvadratne jednačine;

Prava linija i parabola se mogu dodirivati (samo jednu zajedničku tačku), odnosno jednačina ima jedno rješenje;

Prava i parabola nemaju zajedničkih tačaka, odnosno kvadratna jednadžba nema korijen.

Primjeri.

1. Rešimo grafički jednačinu x2 - 3x - 4 = 0 (slika 2).

Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku x2 = 3x + 4.

Hajde da napravimo parabolu y = x2 i direktno y= 3x + 4. Direktno at= 3x + 4 može se konstruisati iz dve tačke M(0; 4) i N(3; 13). Prava i parabola seku se u dve tačke A do B sa apscisom x1= - 1 i x2 = 4.

Odgovor: x1= - 1, x, = 4.

8. Rješavanje kvadratnih jednačina šestarom i ravnalom

Grafički način rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću parabole je nezgodan. Ako gradite parabolu tačku po tačku, tada je potrebno mnogo vremena, a stepen tačnosti dobijenih rezultata je nizak.

Predlažemo sljedeću metodu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe

ah2+ in+ With= 0

koristeći šestar i lenjir (sl.).

Pretpostavimo da željena kružnica siječe osu apscise u tačkama B(x1; 0) i D(x2 ; 0), gdje x1 i x2- korijeni jednadžbe ax2 + in+With=0,
i prolazi kroz tačke A(0; 1) i C(0; ) na y-osi..gif" width="197" height="123">

Dakle: 1) izgradite tačke https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> krug siječe os OX u tački B(x1;0 ), i D(x1 ; 0), gdje su x1 i x2 - korijeni kvadratne jednadžbe ax2+bx+c = 0.

2) Poluprečnik kružnice jednak je ordinati centra , kružnica dodiruje x-osu u tački B(x1; 0), gdje je xx je korijen kvadratne jednadžbe.

3) Polumjer kružnice je manji od ordinate lijevog centra">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Odakle nakon zamjena i

pojednostavljenja, slijedi jednačina z2+pz+q=0, a slovo z označava oznaku bilo koje tačke krivolinijske skale.

10. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi

U davna vremena, kada je geometrija bila razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu rješavane algebarski, već geometrijski. Navedimo primjer koji je postao poznat iz algebre od strane al-Khwarizmija.

I četiri spojena kvadrata, tj. S=x2+10x+25. Zamenivši x2+10x sa 39, dobijamo S = 39 + 25 = 64, što znači da je stranica kvadrata A B C D, odnosno segment AB= 8. Za željenu stranu X originalni kvadrat koji dobijemo

Zaključak

Svi znamo kako se rješavaju kvadratne jednadžbe, od škole do mature. Ali u školskom kursu matematike proučavaju se formule korijena kvadratnih jednadžbi, uz pomoć kojih se mogu riješiti bilo koje kvadratne jednadžbe. Međutim, nakon što sam dublje proučio ovo pitanje, bio sam uvjeren da postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi koji vam omogućavaju da mnoge jednadžbe riješite vrlo brzo i racionalno.

Možda je matematika negdje tamo u drugim dimenzijama, oku nije vidljiva - sve je zapisano i mi samo iz rupe sa svjetovima dobijamo sve nove činjenice? ... Bog zna; ali ispada da ako fizičarima, hemičarima, ekonomistima ili arheolozima treba novi model strukture svijeta, ovaj model se uvijek može uzeti s police na koju su ga matematičari stavili prije tri stotine godina, ili sastaviti od dijelova koji leže na istom polica. Možda će ovi dijelovi morati biti uvrnuti, prilagođeni jedan drugome, polirani, brzo mašinski obrađeni nekoliko novih čahura teorema; ali teorija rezultata neće samo opisati stvarnu situaciju koja je nastala, već će i predvidjeti posljedice! ...

Čudna stvar je ova igra uma, koja je uvek u pravu...

Književnost

1. Alimov SHA., Ilyin VA. i dr. Algebra, 6-8. Probni udžbenik za 6-8 razred srednje škole. - M., Prosveta, 1981.

2.Bradisove matematičke tabele za srednju školu. Ed. 57. - M., Prosveta, 1990. S. 83.

3. Zlotski - zadaci u nastavi matematike. Knjiga za nastavnika. - M., Prosveta, 1992.

4.M., Matematika (dodatak listu "Prvi septembar"), br. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Okunev funkcije, jednačine i nejednačine. Vodič za nastavnika. - M., Prosveta, 1972.

6. Solomnik B.C., Slatka pitanja i problemi iz matematike. Ed. 4., dodaj. - M., Viša škola, 1973.

7.M., Matematika (prilog listu "Prvi septembar"), br. 40, 2000.

Pregled

za rad učenika 11. razreda MOU "Sergievskaya srednja

sveobuhvatne škole"

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1 .1 Kvadratne jednačinesukobi u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednačine su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. e. Babilonci.

Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u vavilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih sastavljanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti više od polovine njihovog zbir, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x.

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-e 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, onda ćemo doći do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

at 2 - 20g + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine već se nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim za a, može biti i negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu drugoga na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme.“ Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razžureno jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se...

Osmi dio njih u kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabavljati se na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

X 2 - 64x = -768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, on sabira obje strane 32 2 , uzimajući tada:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednačineal-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. Oh 2 + sa =bX.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. Oh 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. Oh 2 + sa =bX.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. Oh 2 + bx= s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx+ c = ax 2 .

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su zbrajanja, a ne oduzimanja. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što ono nije bitno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze, koristeći određene numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pretpostavljajući korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski navedena klasifikacija kvadratnih jednačina i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednačine u EvropiXIII - XVIIvekovima

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Horezmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abakusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i u antičkoj Grčkoj, odlikuje se i potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abakusa" ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

X 2 + bx= sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b, With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, način rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koji nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki AT i jednaki D».

Da biste razumeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš X), samoglasnici AT,D- koeficijenti za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako

(a +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (a +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Istovremeno, simbolika Viete je još uvijek daleko od njenog modernog izgleda. Nije prepoznao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

U školskom kursu matematike proučavaju se formule korijena kvadratnih jednadžbi, uz pomoć kojih možete riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbinu. U isto vrijeme, postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi, koji vam omogućavaju da mnoge jednadžbe riješite vrlo brzo i racionalno. Postoji deset načina za rješavanje kvadratnih jednačina. U svom radu sam svaku od njih detaljno analizirao.

1. METODA : Faktorizacija lijeve strane jednačine.

Hajde da riješimo jednačinu

X 2 + 10x - 24 = 0.

Faktorizujmo lijevu stranu:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Dakle, jednačina se može prepisati kao:

(x + 12)(x - 2) = 0

Pošto je proizvod nula, onda je barem jedan njegov faktor jednak nuli. Prema tome, lijeva strana jednačine nestaje na x = 2, kao i na x = - 12. To znači da je broj 2 i - 12 su korijeni jednadžbe X 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODA : Metoda odabira punog kvadrata.

Hajde da riješimo jednačinu X 2 + 6x - 7 = 0.

Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani.

Da bismo to učinili, zapisujemo izraz x 2 + 6x u sljedećem obliku:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

U rezultirajućem izrazu, prvi član je kvadrat broja x, a drugi je dvostruki proizvod x sa 3. Stoga, da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 3 2, jer

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Sada transformiramo lijevu stranu jednačine

X 2 + 6x - 7 = 0,

dodajući tome i oduzimajući 3 2 . Imamo:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Dakle, ova jednačina se može napisati na sljedeći način:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

shodno tome, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ili x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODA :Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli.

Pomnožite obje strane jednačine

Oh 2 + bx + c = 0, ha? 0

na 4a i sukcesivno imamo:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2ax *b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Primjeri.

a) Rešimo jednačinu: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dva različita korijena;

Dakle, u slučaju pozitivnog diskriminanta, tj. at

b 2 - 4 ac >0 , jednadžba Oh 2 + bx + c = 0 ima dva različita korijena.

b) Rešimo jednačinu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b 2 - 4 ac = 0 , zatim jednačina

Oh 2 + bx + c = 0 ima jedan korijen

u) Rešimo jednačinu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Ova jednadžba nema korijen.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b 2 - 4 ac < 0 ,

jednačina Oh 2 + bx + c = 0 nema korena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe Oh 2 + bx + c = 0 omogućava vam da pronađete korijene bilo koji kvadratna jednačina (ako postoji), uključujući redukovanu i nepotpunu. Formula (1) se izražava verbalno na sljedeći način: korijeni kvadratne jednadžbe jednaki su razlomku čiji je brojilac jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, plus minus kvadratni korijen kvadrata ovog koeficijenta bez četverostrukog umnoška prvog koeficijenta slobodnim članom, a imenilac je dvostruki prvi koeficijent.

4. METODA: Rješenje jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Kao što je poznato, data kvadratna jednačina ima oblik

X 2 + px + c = 0. (1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju Vietinu teoremu, koja, kada a =1 ima oblik

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - str

Iz ovoga možemo izvući sljedeće zaključke (predznaci korijena mogu se predvidjeti iz koeficijenata p i q).

a) Ako je sažeti termin q redukovane jednadžbe (1) je pozitivan ( q > 0 ), tada jednadžba ima dva korijena istog predznaka i to je zavist drugog koeficijenta str. Ako a R< 0 , tada su oba korijena negativna ako R< 0 , tada su oba korijena pozitivna.

Na primjer,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 i x 2 = 1, jer q = 2 > 0 i str = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 i x 2 = - 1, jer q = 7 > 0 i str= 8 > 0.

b) Ako je slobodan član q redukovane jednadžbe (1) je negativna ( q < 0 ), tada jednačina ima dva korijena različitog predznaka, a veći korijen u apsolutnoj vrijednosti će biti pozitivan ako str < 0 , ili negativan if str > 0 .

Na primjer,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 i x 2 = 1, jer q= - 5 < 0 i str = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 i x 2 = - 1, jer q = - 9 < 0 i str = - 8 < 0.

5. METODA: Rješavanje jednadžbi metodom "transfer".

Razmotrimo kvadratnu jednačinu

Oh 2 + bx + c = 0, gdje a? 0.

Množenjem oba njegova dijela sa a, dobijamo jednačinu

a 2 X 2 + abx + ac = 0.

Neka ah = y, gdje x = y/a; onda dolazimo do jednačine

at 2 + by+ ac = 0,

ekvivalentno ovom. svojim korenima at 1 i at 2 se može naći korištenjem Vietine teoreme.

Konačno dobijamo

X 1 = y 1 /a i X 1 = y 2 /a.

Kod ove metode koeficijent a je pomnožen slobodnim terminom, kao da je „bačen“ na njega, stoga se zove metod prenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Primjer.

Hajde da riješimo jednačinu 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Rješenje."Prebacimo" koeficijent 2 na slobodni član, kao rezultat dobijamo jednačinu

at 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinoj teoremi

at 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

at 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odgovor: 2,5; 3.

6. METODA: Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine.

ALI. Neka je kvadratna jednačina

Oh 2 + bx + c = 0, gdje a? 0.

1) Ako, a+b+ c = 0 (tj. zbir koeficijenata je nula), tada je x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dokaz. Podijelite obje strane jednačine sa a? 0, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Prema Vietinoj teoremi

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

Po stanju a -b + c = 0, gdje b= a + c. Na ovaj način,

x 1 + x 2 = - a+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

one. X 1 = -1 i X 2 = c/ a, što smo trebali dokazati.

Primjeri.

1) Riješite jednačinu 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Rješenje. Jer a +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), onda

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) Riješite jednačinu 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Rješenje. Jer a +b+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), onda

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b = 2 k je paran broj, a zatim formula korijena

Primjer.

Hajde da riješimo jednačinu 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Rješenje. Imamo: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dva različita korijena;

Odgovor: 2; 8/3

AT. Redukovana jednačina

X 2 +px+q= 0

poklapa se sa opštom jednačinom, u kojoj a = 1, b= str i c =q. Dakle, za redukovanu kvadratnu jednadžbu, formula za korijene

ima oblik:

Formula (3) je posebno pogodna za upotrebu kada R-- čak broj.

Primjer. Hajde da riješimo jednačinu X 2 - 14x - 15 = 0.

Rješenje. Imamo: X 1,2 =7±

Odgovor: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METODA: Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe.

Ako je u jednadžbi

X 2 + px + q = 0

pomerimo drugi i treći član na desnu stranu, dobijamo

X 2 = - px - q.

Napravimo grafove zavisnosti y = x 2 i y = - px - q.

Graf prve zavisnosti je parabola koja prolazi kroz ishodište. Grafikon druge zavisnosti -

prava linija (slika 1). Mogući su sljedeći slučajevi:

Prava linija i parabola mogu se sijeći u dvije tačke, apscise presečnih tačaka su koreni kvadratne jednačine;

Prava i parabola se mogu dodirivati (samo jedna zajednička tačka), tj. jednačina ima jedno rješenje;

Prava i parabola nemaju zajedničkih tačaka, tj. kvadratna jednadžba nema korijena.

Primjeri.

1) Rešimo jednačinu grafički X 2 - 3x - 4 = 0(Sl. 2).

Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku X 2 = 3x + 4.

Hajde da napravimo parabolu y = x 2 i direktno y = 3x + 4. direktno

y = 3x + 4 može se graditi iz dvije tačke M (0; 4) i

N (3; 13) . Prava i parabola seku se u dve tačke

ALI i AT sa apscisom X 1 = - 1 i X 2 = 4 . Odgovori: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Rešimo jednačinu grafički (slika 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku X 2 = 2x - 1.

Hajde da napravimo parabolu y = x 2 i direktno y = 2x - 1.

direktno y = 2x - 1 graditi na dvije tačke M (0; - 1)

i N(1/2; 0) . Prava i parabola se seku u tački ALI With

apscisa x = 1. odgovor:x = 1.

3) Rešimo jednačinu grafički X 2 - 2x + 5 = 0(Sl. 4).

Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku X 2 = 5x - 5. Hajde da napravimo parabolu y = x 2 i direktno y = 2x - 5. direktno y = 2x - 5 konstruisati po dve tačke M(0; - 5) i N(2.5; 0). Prava i parabola nemaju presečne tačke, tj. Ova jednadžba nema korijen.

Odgovori. Jednačina X 2 - 2x + 5 = 0 nema korena.

8. METODA: Rješavanje kvadratnih jednadžbi sa šestarom i vladari.

Grafički način rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću parabole je nezgodan. Ako gradite parabolu tačku po tačku, onda je potrebno mnogo vremena, a uz sve to, stepen tačnosti dobijenih rezultata je nizak.

Predlažem sljedeću metodu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe Oh 2 + bx + c = 0 koristeći šestar i lenjir (slika 5).

Pretpostavimo da željeni krug siječe osu

apscisa u bodovima B(x 1 ; 0) i D(X 2 ; 0), gdje X 1 i X 2 - korijeni jednadžbe Oh 2 + bx + c = 0, i prolazi kroz tačke

A(0; 1) i C(0;c/ a) na y-osi. Zatim, prema teoremi o sekanti, imamo OB * OD = OA * OC, gdje OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Središte kružnice je u tački presjeka okomica SF i SK, obnovljena na sredini akorda AC i BD, zbog toga

1) konstruisati tačke (središte kružnice) i A(0; 1) ;

2) nacrtati krug poluprečnika SA;

3) apscisa tačaka preseka ove kružnice sa osom Oh su korijeni originalne kvadratne jednadžbe.

U ovom slučaju moguća su tri slučaja.

1) Polumjer kružnice je veći od ordinate centra (AS > SK, ili R > a + c/2 a) , kružnica siječe x-osu u dvije tačke (slika 6,a) B(x 1 ; 0) i D(X 2 ; 0) , gdje X 1 i X 2 - korijeni kvadratne jednadžbe Oh 2 + bx + c = 0.

2) Poluprečnik kružnice jednak je ordinati centra (AS = SB, iliR = a + c/2 a) , krug dodiruje os Ox (slika 6,b) u tački B(x 1 ; 0) , gdje je x 1 korijen kvadratne jednadžbe.

3) Poluprečnik kružnice je manji od ordinate centra, krug nema zajedničkih tačaka sa osom apscisa (slika 6, c), u ovom slučaju jednačina nema rješenja.

Primjer.

Hajde da riješimo jednačinu X 2 - 2x - 3 = 0 (Sl. 7).

Rješenje. Odredite koordinate tačke središta kružnice po formulama:

Nacrtajmo krug radijusa SA, gdje je A (0; 1).

odgovor: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. METODA: Rješavanje kvadratnih jednadžbi sa nomogrami.

Ovo je stara i nezasluženo zaboravljena metoda za rješavanje kvadratnih jednačina, stavljena na str. 83 (vidi Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri vrijednosti. - M., Prosvjeta, 1990).

Tabela XXII. Nomogram za rješavanje jednačina z 2 + pz + q = 0 . Ovaj nomogram omogućava, bez rješavanja kvadratne jednačine, određivanje korijena jednadžbe prema njenim koeficijentima.

Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama (slika 11):

Pretpostavljam OS = p,ED = q, OE = a(sve u cm), iz sličnosti trouglova SAN i CDF dobijamo proporciju

odakle, nakon zamjena i pojednostavljenja, slijedi jednadžba

z 2 + pz + q = 0,

i pismo z označava oznaku bilo koje tačke na zakrivljenoj skali.

Primjeri.

1) Za jednačinu z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram daje korijene

z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0 (Sl. 12).

2) Jednačinu rješavamo pomoću nomograma

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Podijelimo koeficijente ove jednačine sa 2 i dobijemo jednačinu

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

3) Za jednačinu

z 2 - 25 z + 66 = 0

koeficijenti p i q su van skale, izvršićemo zamenu z = 5 t, dobijamo jednačinu

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

koje rješavamo pomoću nomograma i dobijamo t 1 = 0,6 i t 2 = 4,4, gdje z 1 = 5 t 1 = 3,0 i z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODA: Geometrijski način rješavanja kvadrata jednačine.

U davna vremena, kada je geometrija bila razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu rješavane algebarski, već geometrijski. Navest ću primjer koji je postao poznat iz al-Khwarizmijeve "Algebre".

Primjeri.

1) Riješite jednačinu X 2 + 10x = 39.

U originalu, ovaj problem je formulisan na sledeći način: „Kvadrat i deset korena su jednaki 39“ (slika 15).

Rješenje. Razmislite o kvadratu sa stranicom x, na njegovim stranicama su izgrađeni pravokutnici tako da je druga strana svake od njih 2,5, dakle, površina svake je 2,5x. Rezultirajuća figura se zatim dodaje novom kvadratu ABCD, popunjavajući četiri jednaka kvadrata u uglovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina 6,25.

Square S kvadrat A B C D može se predstaviti kao zbir površina: originalni kvadrat X 2 , četiri pravougaonika (4* 2,5x = 10x) i četiri pričvršćena kvadrata (6,25* 4 = 25) , tj. S = X 2 + 10x + 25. Zamjena

X 2 + 10x broj 39 , razumemo S = 39 + 25 = 64 , odakle slijedi da je strana kvadrata A B C D, tj. linijski segment AB = 8. Za željenu stranu X originalni kvadrat koji dobijemo

2) Ali, na primjer, kako su stari Grci riješili jednačinu at 2 + 6y - 16 = 0.

Rješenje prikazano na sl. 16, gdje

at 2 + 6y = 16, ili at 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Rješenje. Izrazi at 2 + 6y + 9 i 16 + 9 geometrijski predstavljaju isti kvadrat i originalnu jednačinu at 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0 je ista jednadžba. Odakle to dobijamo y + 3 = ± 5, ili at 1 = 2, y 2 = - 8 (Sl. 16).

3) Riješiti geometrijsku jednačinu at 2 - 6y - 16 = 0.

Transformisanjem jednačine dobijamo

at 2 - 6y = 16.

Na sl. 17 pronađite "slike" izraza at 2 - 6g, one. od površine kvadrata sa stranicom y oduzmite dvostruku površinu kvadrata sa stranicom jednakom 3 . Dakle, ako izraz at 2 - 6g dodati 9 , tada dobivamo površinu kvadrata sa stranicom at - 3 . Zamjena izraza at 2 - 6g jednak je broju 16,

dobijamo: (y - 3) 2 = 16 + 9, one. y - 3 = ± v25, ili y - 3 = ± 5, gdje je at 1 = 8 i at 2 = - 2.

Zaključak

Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina.

Istovremeno, vrijednost kvadratnih jednačina nije samo u eleganciji i kratkoći rješavanja problema, iako je to vrlo značajno. Ništa manje važna je činjenica da se kao rezultat upotrebe kvadratnih jednadžbi u rješavanju problema često otkrivaju novi detalji, mogu se napraviti zanimljive generalizacije i dorade, koje su podstaknute analizom dobijenih formula i relacija.

Također bih želio napomenuti da je tema predstavljena u ovom radu još uvijek malo proučavana, jednostavno se njome ne bave, pa je prepuna puno skrivenog i nepoznatog, što pruža odličnu priliku za daljnji rad na njoj. .

Ovdje sam se zaustavio na pitanju rješavanja kvadratnih jednačina, i šta,

ako postoje drugi načini za njihovo rješavanje?! Opet pronađite lijepe obrasce, neke činjenice, pojašnjenja, napravite generalizacije, otkrijte sve novo i novo. Ali to su pitanja za buduće radove.

Sumirajući, možemo zaključiti: kvadratne jednačine igraju veliku ulogu u razvoju matematike. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature. Ovo znanje može nam biti korisno tokom cijelog života.

Budući da su ove metode za rješavanje kvadratnih jednačina jednostavne za korištenje, svakako bi trebale biti interesantne učenicima koji su zaljubljenici u matematiku. Moj rad omogućava da se drugačije sagledaju problemi koje matematika postavlja pred nas.

književnost:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. i dr. Algebra, 6-8. Probni udžbenik za 6-8 razred srednje škole. - M., Prosveta, 1981.

2. Bradis V.M. Četverocifrene matematičke tablice za srednju školu.Ed. 57. - M., Prosveta, 1990. S. 83.

3. Kružepov A.K., Rubanov A.T. Knjiga zadataka o algebri i elementarnim funkcijama. Udžbenik za srednje specijalizovane obrazovne ustanove. - M., viša škola, 1969.

4. Okunev A.K. Kvadratne funkcije, jednadžbe i nejednačine. Vodič za nastavnika. - M., Prosveta, 1972.

5. Presman A.A. Rješavanje kvadratne jednadžbe šestarom i ravnalom. - M., Kvant, br. 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Zbirka pitanja i zadataka iz matematike. Ed. - 4., dodaj. - M., Viša škola, 1973.

7. Khudobin A.I. Zbirka zadataka iz algebre i elementarnih funkcija. Vodič za nastavnika. Ed. 2nd. - M., Prosveta, 1970.

Shapovalova L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH br. 11)

1. Mordkovich A.G. Algebra.8 čas. Udžbenik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. br. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. br. 8622 / 0790 - 260 str.

2. Mordkovich A.G. Algebra.8 čas. Priručnik za obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich. br. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. br. 8622 / 0790 - 270 str.

3. Glazer G.I. Istorija matematike u školi br. 8622 / 0790 / G.I. Glaser. br. 8622 / 0790 - M.: Prosvjeta, 1982. br. 8622 / 0790 - 340 str.

4. Gusev V.A. Matematika. Referentni materijali / V.A. Gusev, A.G. Mordkovich. br. 8622 / 0790 - M.: Prosveščenie, 1988. br. 8622 / 0790 - 372 str.

5. Bradis V.M. Četvorocifrene matematičke tabele za srednju školu / V.M. Bradis. br. 8622 / 0790 - M.: Prosvjeta, 1990. br. 8622 / 0790 - 83 str.

6. Vietin teorem. br. 8622 / 0790 - Način pristupa: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Vietina teorema (resursi za daljinski pristup (Internet) ) . 20.01.2016.

7. Kvadratne jednadžbe. br. 8622 / 0790 - Način pristupa: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (resursi za daljinski pristup (Internet)). 20.01.2016.

Teorija jednačina zauzima vodeće mjesto u algebri i matematici općenito. Njegov značaj nije samo u njegovom teorijskom značaju za poznavanje prirodnih zakona, već služi i u praktične svrhe. Većina životnih problema svodi se na rješavanje raznih vrsta jednačina, a češće su to jednačine kvadratnog oblika.

Školski plan i program razmatra samo 3 načina za njihovo rješavanje. Pripremajući se za predstojeće ispite, zainteresovao sam se za druge načine ovih jednačina. Stoga sam odabrao temu "10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi".

Aktuelnost ove teme leži u činjenici da se na časovima algebre, geometrije, fizike vrlo često susrećemo sa rješavanjem kvadratnih jednadžbi. Stoga bi svaki student trebao biti sposoban da pravilno i racionalno rješava kvadratne jednačine, što je korisno i za rješavanje složenijih zadataka, uključujući i polaganje ispita.

Svrha rada: proučiti različite načine rješavanja kvadratnih jednačina, naučiti rješavati kvadratne jednačine.

Razmotriti standardne i nestandardne metode za rješavanje kvadratnih jednačina;

Identifikovati najprikladnije načine za rješavanje kvadratnih jednačina;

Naučite rješavati kvadratne jednadžbe na različite načine.

Predmet proučavanja: kvadratne jednadžbe.

Predmet proučavanja: načini rješavanja kvadratnih jednačina.

Metode istraživanja:

Teorijski: proučavanje literature na temu istraživanja, proučavanje tematskih internet izvora;

Analiza primljenih informacija;

Poređenje metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi radi pogodnosti i racionalnosti.

Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c \u003d 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, dok a? 0. Korijen takve jednačine je vrijednost varijable koja kvadratni trinom pretvara u nulu, odnosno vrijednost koja pretvara kvadratnu jednačinu u identitet. Koeficijenti kvadratne jednadžbe imaju svoja imena: koeficijent a se naziva prvi ili stariji, koeficijent b se naziva drugi ili koeficijent na x, c se naziva slobodnim članom ove jednačine.

Potpuna kvadratna jednačina je ona čiji su koeficijenti svi različiti od nule (a, b, c - 0).

Poziva se redukovana kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent jednak jedan. Takva se jednadžba može dobiti dijeljenjem cijelog izraza vodećim koeficijentom a: x 2 + px + q \u003d 0, p = b / a, q = c / a.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri tipa:

1) ax 2 + c = 0, gdje je c 0;

2) ax 2 + bx = 0, gde je b - 0;

U okviru ovog rada razmotrićemo metode za rešavanje samo potpunih kvadratnih jednačina.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi po općoj formuli

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se metoda pronalaženja korijena preko diskriminanta. Za pronalaženje diskriminanta koristi se sljedeća formula: D = b 2 - 4ac. Nakon pronalaženja D, koristimo formulu da pronađemo korijene jednadžbe

Vrijedi napomenuti da ako:

D > 0 - jednačina ima dva korijena;

D \u003d 0 - jednadžba ima jedan korijen;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.1).

Rice. 1. Praktični dio

Faktoriranje lijeve strane

Da bismo demonstrirali metodu, rješavamo jednačinu x 2 + 10x - 24 = 0.

Faktorizujmo lijevu stranu:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Dakle, jednačina se može prepisati kao:

(x + 12) (x - 2) = 0

Pošto je proizvod nula, onda je barem jedan njegov faktor jednak nuli. Prema tome, lijeva strana jednačine nestaje pri x = 2, kao i na x = -12.

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.2).

Odabir punog kvadrata je takva transformacija identiteta u kojoj je dati trinom predstavljen kao (a ± b) 2 zbir ili razlika kvadrata binoma i nekog numeričkog ili literalnog izraza.

Rešimo jednačinu x 2 + 14x + 40 = 0.

Razložimo polinom na faktore koristeći metodu punog kvadrata.

Da biste primijenili prvu formulu, trebate dobiti izraz

x2 + 14x + 49 = 0.

Stoga, dodajemo i oduzimamo broj 9 od polinoma x 2 + 14x + 40 da bismo odabrali cijeli kvadrat

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Primijenimo formulu "razlika kvadrata" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3)(x + 7 + 3) = 0

(x + 4)(x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Odgovor: -4; - deset.

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.3).

Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme

Da biste riješili kompletnu kvadratnu jednadžbu prema Vietinom teoremu, trebate cijelu jednadžbu podijeliti koeficijentom a. Za jednačinu x 2 + px + q = 0, ako su x1 i x2 njeni korijeni, vrijede formule:

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.4).

Rješavanje jednadžbi korištenjem svojstava koeficijenata

Ako je ispunjen sljedeći uvjet: a + c = b, tada je x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Ako je ispunjen sljedeći uslov:

a + b + c = 0, tada je x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Primjer nemogućnosti rješavanja jednačine na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.5).

Rješavanje jednadžbi metodom "transfer".

Metoda tzv. "transfera" omogućava da se rješenja nereduciranih i netransformabilnih jednadžbi svedu na oblik redukovanih s cijelim koeficijentima tako što se dijele vodećim koeficijentom jednadžbi na rješenje jednačina redukovanih cijelim brojem. koeficijenti. To je kako slijedi: pomnožite jednačinu ax 2 + bx + c = 0 sa a.

Dobijamo: a 2 x2 + abx + as = 0. Hajde da uvedemo novu varijablu y = ax. Dobijamo y 2 +by+ac = 0. Korijeni ove jednadžbe su y1 i y2. Dakle, x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.6).

Rešimo jednačinu x 2 - 4x - 12 = 0.

Predstavimo to kao x 2 - 4x = 12.

Na sl. 2 "oslikava" izraz x - 4x, tj. površina kvadrata sa stranicom x oduzima se dva puta od površine kvadrata sa stranicom 2. Dakle, x 2 - 4x + 4 je površina kvadrata sa stranicom x - 2.

Nakon zamjene x 2 - 4x = 12, dobijamo

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Odgovor: x1 = 6, x1 = - 2.

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.7).

U jednačini x 2 + px + q = 0, pomjeramo drugi i treći član na desnu stranu jednačine. Dobijamo: x 2 \u003d - px - q. Napravimo grafove funkcija

y = x 2 (parabola);

y = - qx - p (prava).

Treba napomenuti da:

Ako se prava i parabola mogu seći u dve tačke, apscise tačaka preseka su koreni kvadratne jednačine;

Ako prava dodiruje parabolu (samo jedna zajednička tačka), onda jednačina ima jedan korijen;

Ako prava i parabola nemaju zajedničkih tačaka, tj. kvadratna jednadžba nema korijena.

Rješavanje jednadžbe šestarom i ravnalom

Rešimo jednačinu ax 2 + bx + c = 0:

1) konstruisati tačke na koordinatnoj ravni:

A(- b/2a; (a + c)/2a) je centar kruga i B(0; 1)

2) Nacrtaj kružnicu r = AB

3) Apscise točaka presjeka sa Ox osom su korijeni originalne jednadžbe

Treba napomenuti da:

Ako je polumjer kružnice veći od ordinate centra (AB > AC, ili R > (a + c) / 2a), krug.

Prelazi x-osu u dve tačke K(x1; 0) i N(x2; 0), gde su x1 i x2 koreni kvadratne jednačine x2 + bx + c = 0.

Ako je polumjer kružnice jednak ordinati centra (AB = AC, ili R = (a + c) / 2a), kružnica dodiruje os apscise u tački C (x; 0), gdje je x1 je korijen kvadratne jednadžbe.

Ako je polumjer kružnice manji od ordinate centra (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Primjer rješavanja jednadžbe na ovaj način prikazan je na sl. 1(1.9).

Ovo je stari i sada zaboravljeni način rješavanja kvadratnih jednačina.

Nomogram daje vrijednosti pozitivnih korijena jednadžbe z 2 + pz + q \u003d 0. Ako jednadžba ima korijene različitih predznaka, tada, nakon što je pronađen pozitivan korijen iz nomograma, negativan je nalazi se oduzimanjem pozitivnog od - str.

Rice. 6. Vrsta monograma za rješavanje jednačine z 2 + pz + q = 0

U slučaju kada su oba korijena negativna, uzimaju z = - t i nađu dva pozitivna korijena t1 iz nomograma; t 2 jednadžbe t 2 + - pt + z = 0 i tada z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Ako su koeficijenti p i q izvan skale, izvršite zamjenu z = kt i riješite jednačinu koristeći nomogram

gdje je k uzeto na takav način da su nejednakosti

Oblik monograma za rješavanje jednačine z 2 + pz + q = 0 nalazi se na sl. 6.

"Za" i "protiv" raznih rješenja

Naziv metode za rješavanje kvadratnih jednačina
Rješavanje kvadratnih jednadžbi po formuli	Može se primijeniti na sve kvadratne jednadžbe.	Morate naučiti formule.
Faktoriranje lijeve strane jednačine	Omogućava da se odmah vide korijeni jednačine.	Potrebno je pravilno izračunati termine za grupisanje.
Metoda odabira punog kvadrata	Za minimalni broj radnji možete pronaći korijene jednadžbi	Za odabir cijelog kvadrata potrebno je ispravno pronaći sve pojmove.
Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme	Prilično jednostavan način, omogućava da se odmah vide korijeni jednadžbe.	lako se pronalaze samo cijeli korijeni.
Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine	Ne zahtijeva puno truda	Odgovara samo nekim jednadžbama
Rješenje jednadžbi metodom prijenosa	Za minimalni broj radnji možete pronaći korijene jednadžbe, koristi se u kombinaciji s metodom Vietine teoreme.	lako je pronaći samo cijele korijene.
Geometrijski način rješavanja kvadratnih jednačina	Vizuelni način.	slično načinu odabira punog kvadrata
Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe	vizuelni način	Može doći do netačnosti u rasporedu
Rješavanje kvadratnih jednadžbi šestarom i ravnalom	vizuelni način	Možda nije tačno
Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma	Intuitivan, jednostavan za korištenje.	Nije uvijek pri ruci nomogram.

Zaključak

U toku ovog istraživačkog rada uspio sam da generalizujem i sistematizujem proučeno gradivo na izabranu temu, da proučim različite načine rješavanja kvadratnih jednačina, naučim rješavati kvadratne jednačine na 10 načina. Treba napomenuti da nisu svi pogodni za rješavanje, ali je svaki od njih zanimljiv na svoj način. Sa moje tačke gledišta, metode koje se izučavaju u školi biće najracionalnije za upotrebu: 1.1. (prema formuli); 1.4. (prema Vietinoj teoremi); kao i metod 1.5. (koristeći svojstva koeficijenata).

Sumirajući, možemo zaključiti: kvadratne jednačine igraju veliku ulogu u matematici. Ovo znanje može nam biti od koristi ne samo u školi i na fakultetu, već i tokom cijelog života.

Bibliografska veza

Ulevsky S.A. DESET NAČINA RJEŠAVANJA KVADRATNIH JEDNAČINA // Početak u znanosti. - 2016. - br. 1. - str. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (datum pristupa: 30.12.2019.).

slajd 1

slajd 2

Ciljevi predmeta: Upoznavanje sa novim metodama rješavanja kvadratnih jednačina Produbljivanje znanja na temu "Kvadrične jednačine" Razvijanje matematičkih, intelektualnih sposobnosti, istraživačkih vještina Stvaranje uslova za samoostvarenje pojedinca

slajd 3

Ciljevi predmeta: Upoznati studente sa novim načinima rješavanja kvadratnih jednačina Učvrstiti sposobnost rješavanja jednadžbi poznatim metodama Uvesti teoreme koje omogućavaju rješavanje jednačina na nestandardne načine Nastaviti formiranje općeobrazovnih vještina, matematičke kulture Promovirati formiranje interesovanja za istraživačku delatnost Stvoriti uslove da učenici ostvare i razviju interesovanje za predmet matematika Pripremiti učenike za pravi izbor smera profila

slajd 4

Sadržaj programa Tema 1. Uvod. 1 sat. Definicija kvadratne jednadžbe. Puna i nepotpuna kv. jednačine. Metode za njihovo rješavanje. Ispitivanje. Tema 2. Rješenje kv. jednačine. Metoda faktoringa Metoda odabira punog kvadrata Rješenje sq. jednadžbe po formulama Kvadrat rješenja. jednadžbe metodom prijenosa Rješenje sq. jednadžbe koje koriste t. Vieta Solution sq. jednadžbe koristeći koeficijent Rješenje sq. jednadžbe na grafički način Rješenje sq. jednadžbe pomoću šestara i ravnala Rješenje sq. jednadžbe na geometrijski način Rješenje sq. jednadžbe koje koriste "nomograme"

slajd 5

Malo istorije... Kvadratne jednačine su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu. Kvadratne jednadžbe u Indiji. Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju. Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII veka.

slajd 6

Slajd 7

Slajd 8

Slajd 9

slajd 10

Čuveni francuski naučnik Francois Viet (1540-1603) bio je po zanimanju pravnik. Svoje slobodno vrijeme posvetio je astronomiji. Časovi astronomije zahtijevali su poznavanje trigonometrije i algebre. Viet se bavio ovim naukama i ubrzo je došao do zaključka da ih je potrebno poboljšati, na čemu je radio niz godina. Zahvaljujući njegovom radu, algebra postaje opšta nauka o algebarskim jednačinama zasnovana na literalnom računu. Stoga je postalo moguće izraziti svojstva jednačina i njihovih korijena općim formulama.

slajd 11

Prilikom izvođenja rada uočeno je sljedeće: Metode koje ću koristiti: Vietina teorema Svojstva koeficijenata Metoda "transfera" Faktorizacija lijeve strane u faktore Grafička metoda Metode su zanimljive, ali oduzimaju dosta vremena i nisu uvek zgodne. Grafička metoda Uz pomoć nomograma Lenjira i šestara Odabir punog kvadrata Klanjam se naučnicima koji su otkrili ove metode i dali nauci poticaj za razvoj u temi “Rješavanje kvadratnih jednačina”

slajd 12

Faktorizacija leve strane jednačine Rešimo jednačinu x2 + 10x - 24=0. Faktoriranje lijeve strane: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 ili x - 2=0 x= -12 x= 2 Odgovor: x1= -12, x2 = 2. Riješi jednačine: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

slajd 13

Metoda odabira punog kvadrata Riješite jednačinu x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 ili x-3=-4 x=1 x=-7 Odgovor: x1=1, x2=-7. Riješite jednačine: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

slajd 14

Rješenje kvadratnih jednadžbi prema formuli Osnovne formule: Ako je b neparan, onda je D= b2-4ac i x 1.2=, (ako je D> 0) Ako je b paran, onda je D1= i x1.2=, (ako je D >0) Riješite jednačine: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

slajd 15

Rješenje jednadžbi metodom prijenosa Rešimo jednačinu ax2 +bx+c=0. Pomnožimo obje strane jednačine sa a, dobićemo a2 x2 +abx+ac=0. Neka je ax = y, odakle je x = y/a. Tada je U2 +kupovina+ac=0. Njegovi korijeni su y1 i y2. Konačno x1 = y1/a, x1 = y2/a. Rešimo jednačinu 2x2 -11x + 15=0. Prenesimo koeficijent 2 u slobodni član: Y2 -11y+30=0. Prema Vietinoj teoremi, y1 =5 i y2 =6. x1 = 5/2 i x2 = 6/2 x1 = 2,5 i x2 = 3 Odgovor: x1 = 2,5, x2 = 3 Riješi jednačinu: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

slajd 16

Rješavanje jednadžbi korištenjem Vietine teoreme Rešimo jednačinu x2 +10x-24=0. Budući da je x1 * x2 = -24 x1 + x2 = -10, zatim 24 = 2 * 12, ali -10 = -12 + 2, zatim x1 = -12 x2 = 2 Odgovor: x1 \u003d , x2 \u003d -12. Riješite jednačine: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

slajd 17

Osobine koeficijenata kvadratne jednadžbe Ako je a+b+c=0, tada je x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Riješimo jednačinu 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, pa je x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, dakle x1= - 1, x2 = -1/2 Odgovor: x1=1, x2 = -7. Odgovor: x1=-1, x2=-1/2. Riješite jednačine: 5x2 - 7x +2 =0 Riješi jednačine: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +3x +2 +=0 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz zadataka, praćenih objašnjenjima i rešavanih sastavljanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96"

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, onda ćemo doći do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim za a, može biti i negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razžureno jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se...

Osmi dio njih u kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabavljati se na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, on sabira obje strane 32 2 , uzimajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c =bX.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c =bX.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+bx= s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj.bx+ c \u003d sjekira 2.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski navedena klasifikacija kvadratnih jednačina i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u EvropiXIII - XVIIvekovima

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+bx= sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b, With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

1.6 O Vietinoj teoremi

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Izražavajući odnos između korijena i koeficijenata jednačina općim formulama ispisanim pomoću simbola, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete je još uvijek daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.