Funkcija analize podloge. Matematička analiza. Pogledajte šta je "matematička analiza" u drugim rječnicima
Sastavio Yu.V.Obrubov
Kaluga - 2012
Uvod u matematičku analizu.
Realni brojevi. Varijable i konstante.
Jedan od osnovnih pojmova matematike je broj.
Zovu se pozitivni brojevi 1,2,3, ... koji se dobiju prebrojavanjem prirodno.
Brojevi ... -3, -2, -1,0,1,2,3, ... nazivaju se cijeli brojevi. Brojevi koji se mogu predstaviti kao konačni omjer dva cijela broja ( 
) su pozvani racionalno.
To uključuje cijele i razlomke, pozitivne i negativne brojeve. Zovu se brojevi koji se mogu predstaviti kao beskonačni razlomci koji se ne ponavljaju iracionalno.
Primjeri iracionalnih brojeva su 
,
. U skupu iracionalnih brojeva razlikuju se transcendentalno
brojevi. To su brojevi koji su rezultat nealgebarskih operacija. Najpoznatiji od njih su broj 
i broj koji nije ravnopravan 
. Racionalni i iracionalni brojevi se nazivaju validan
. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj liniji. Svaka tačka na brojevnoj osi odgovara jednom realnom broju i, obrnuto, svakom realnom broju odgovara jedna tačka na brojevnoj osi. Tako je uspostavljena korespondencija jedan prema jedan između realnih brojeva i tačaka brojevne prave. Ovo omogućava da se termini “broj a” i “tačka a” koriste naizmjenično.
U procesu proučavanja različitih fizičkih, ekonomskih, društvenih procesa često se mora suočiti s veličinama koje predstavljaju numeričke vrijednosti parametara proučavanih pojava. Pritom se neki od njih mijenjaju, dok drugi zadržavaju svoje vrijednosti.
varijabla
Količina koja poprima različite numeričke vrijednosti naziva se. Poziva se veličina čija se brojčana vrijednost ne mijenja u datom problemu ili eksperimentu konstantan.
Varijable se obično označavaju latiničnim slovima 
i trajno 
.
varijabla 
smatra se datim ako je poznat skup vrijednosti koje može poprimiti. Ovaj skup se naziva opseg varijable.
Postoje različite vrste skupova vrijednosti numeričke varijable.
interval
je skup x vrijednosti zatvoren između brojeva a i b, dok brojevi a i b ne pripadaju skupu koji se razmatra. Interval je označen sa: (a,b);a segment
naziva se skup x vrijednosti zatvoren između brojeva a i b, dok brojevi a i b pripadaju skupu koji se razmatra. Segment je označen sa ,a≤x≤b. Skup svih realnih brojeva je otvoreni interval. Označeno: (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R. Susjedstvo tačke x
0
naziva se proizvoljni interval (a, b) koji sadrži tačku x 0, sve tačke ovog intervala zadovoljavaju nejednakost a ε
- susjedstvo tačke a
je interval sa centrom u tački a koji zadovoljava nejednakost a–ε Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Neka su X i Y proizvoljni skupovi realnih brojeva. Ako se svakom broju x X, prema nekom pravilu ili zakonu, dodijeli jedinstveni dobro definirani realni broj yY, onda kažu da funkcija
s domenom definicije X i skupom vrijednosti Y. Označite y = f (x). Varijabla x se poziva argument
funkcije. U definiciji funkcije bitne su dvije tačke: indikacija domena definicije i uspostavljanje zakona korespondencije. Obim definicije
ili područje postojanja
Funkcija je skup vrijednosti argumenata za koje funkcija postoji, odnosno ima smisla. Promijenite područje
Funkcija se naziva skup vrijednosti y koje uzima za dopuštene vrijednosti x. Načini postavljanja funkcije.
Analitički način definiranja funkcije. Ovom metodom postavljanja funkcije, zakon korespondencije se zapisuje kao formula (analitički izraz) koja pokazuje kojim matematičkim transformacijama, koristeći poznatu vrijednost argumenta x, možete pronaći odgovarajuću vrijednost y. Funkcija se može definirati jednim analitičkim izrazom u cijelom svom domenu definicije ili predstavljati kolekciju nekoliko analitičkih izraza. Na primjer: y \u003d sin (x 2 + 1) 2. Tabelarni način postavljanja funkcije Kao rezultat direktnog promatranja ili eksperimentalnog proučavanja fenomena ili procesa, vrijednosti argumenta x i odgovarajuće vrijednosti y ispisuju se određenim redoslijedom. Ova tablica definira funkciju y od x. Primjer tabelarnog načina specificiranja funkcije mogu biti tablice trigonometrijskih funkcija, tablice logaritama, datuma i tečaja, temperature i vlažnosti itd. 3. Grafički način postavljanja funkcije. Grafički način postavljanja funkcije je prikazivanje tačaka (x, y) na koordinatnoj ravni pomoću tehničkih uređaja. Grafička metoda specificiranja funkcije u matematičkoj analizi se ne koristi, ali se uvijek pribjegava grafičkoj ilustraciji analitički zadanih funkcija. Sve treba da bude rečeno što jednostavnije, ali ne i jednostavnije. Naše putovanje počinje s izmišljenim likom kojeg ćemo nazvati John Doe. On je prosječan radnik koji se lako može naći u bilo kojem gradu na svijetu. Skoro svaki dan, Džon se budi uz glasne alarme i vozi se na posao svojim automobilom. Odlazi liftom do svoje kancelarije, gde pokreće računar i unosi svoje korisničko ime i lozinku. John radi sve ove stvari bez imalo pojma kako funkcioniraju. Možda bi ga zanimalo da sazna kako su uređeni i funkcionišu uređaji i uređaji koje svakodnevno koristi, međutim, za to nema ni vremena ni snage. Automobile, liftove, kompjutere i budilice smatra potpuno različitim i složenim mehanizmima koji nemaju ništa zajedničko. Prema Džonu, potrebne su godine proučavanja da bi se razumelo kako svaki od njih funkcioniše. Neki ljudi vide stvari malo drugačije od našeg John Doea. Oni znaju da su električni motori u instalacijama liftova vrlo slični automobilskim alternatorima. Oni znaju da je programabilni logički kontroler koji upravlja električnim motorom koji je odgovoran za kretanje lifta vrlo sličan radnom kompjuteru John Doe. Oni znaju da su na fundamentalnom nivou PLC, budilnik i kompjuter zasnovani na relativno jednostavnoj teoriji tranzistora. Ono što John Doe i prosječna osoba smatraju nevjerovatno složenim je najčešća upotreba jednostavnih mehaničkih i električnih principa od strane hakera. Problem je kako se ovi principi primjenjuju. Apstrahovanje osnovnih principa iz složenih ideja omogućava nam da ih razumemo i pojednostavimo na način koji odgovara improvizovanim savetima Alberta Ajnštajna koji su gore citirani. Mnogi od nas na računicu gledaju kao na nešto složeno. (John Doe smatra da su principi uređaja i funkcionisanja različitih mehanizama isti.) Vidite gomilu složenih, zamršenih stvari. Da biste ih razumjeli, potrebno vam je mnogo vremena i truda. Ali šta ako vam kažemo da matematička analiza (račun) nije tako komplikovana kao što se čini na prvi pogled, kao ni većina mehanizama? Da postoji nekoliko osnovnih principa koje je svima dano da razume, i čim to uradite, imaćete novu perspektivu na svet i kako on funkcioniše? Tipičan udžbenik matematike sadrži oko hiljadu stranica. Tipičan John Doe će u njemu vidjeti hiljadu stvari koje je teško razumjeti i proučavati, a haker će vidjeti dva osnovna principa (derivacijski i integralni) i 998 primjera ovih principa. Zajedno ćemo pokušati otkriti koji su to principi. Na osnovu rada Michaela Starbirda, profesora na Teksaškom univerzitetu u Austinu, koristit ćemo svakodnevne primjere koje svako može razumjeti. Matematička analiza otkriva posebnu ljepotu našeg svijeta – ljepotu koja se javlja kada ste u mogućnosti da je promatrate dinamički, a ne statički. Nadamo se da će vam sve uspjeti. Pre nego što počnemo, želeo bih da ukratko prođem kroz istoriju nastanka računa, čiji koreni leže u veoma pažljivoj analizi promena i kretanja. Zenonov paradoks Zenon iz Eleje je filozof koji je živeo u 4. veku pre nove ere. On je pokrenuo nekoliko suptilnih, ali dubokih paradoksa, od kojih su dva na kraju dovela do rođenja računa. Da bi riješio Zenonove paradokse, čovječanstvu je trebalo više od dvije hiljade godina. Kao što možete zamisliti, nije bilo lako. Poteškoće su se uglavnom odnosile na ideju beskonačnosti. Šta je problem beskonačnosti sa matematičke tačke gledišta? U 17. veku Isak Njutn i Gotfrid Lajbnic su uspeli da reše Zenonove paradokse i stvore matematičku analizu. Pogledajmo pobliže ove paradokse da bismo razumjeli zašto je oko njih bilo toliko buke. Arrow Zamislite strijelu koja leti kroz zrak. Sa velikom sigurnošću možemo reći da je strijela u pokretu. Sada razmotrite strelicu u određenom trenutku. Više se ne kreće, već miruje. Ali znamo sigurno da je strijela u pokretu, kako onda može mirovati?! Ovo je suština ovog paradoksa. Možda izgleda glupo, ali u stvarnosti je to vrlo složen koncept koji bi trebalo razmotriti sa matematičke tačke gledišta. Kasnije ćemo saznati da se radi o konceptu trenutne brzine promjene, što ćemo povezati s idejom jednog od dva principa matematičke analize (račun) - derivata. Ovo će nam omogućiti da izračunamo brzinu strele u određenom trenutku - nešto što čovečanstvo nije bilo u stanju da uradi više od dva milenijuma. Dihotomija Pogledajmo ponovo tu istu strelicu. Ovaj put zamislite da leti u našem pravcu. Zenon je tvrdio da se ne treba kretati, jer nas strijela nikada ne bi mogla pogoditi. Zamislite da nakon što je strijela u zraku, treba preći pola udaljenosti između luka i mete. Kada dostigne određenu tačku na pola puta, ponovo će morati da pređe polovinu udaljenosti - ovaj put između ove tačke i mete. Zamislite da tako nastavimo. Strijela tako stalno prelazi polovinu udaljenosti između referentne točke i mete. S obzirom na ovo, možemo zaključiti da nas strijela nikada neće moći pogoditi! U stvarnom životu, strela će na kraju pogoditi svoju metu, ostavljajući nas da se pitamo šta znači paradoks. Kao iu slučaju prvog paradoksa, kasnije ćemo razmotriti kako riješiti ovaj problem koristeći jedan od principa matematičke analize – integral. Integral nam omogućava da koncept beskonačnosti posmatramo kao matematičku funkciju. To je izuzetno moćan alat, prema naučnicima i inženjerima. Dva osnovna principa računanja Suština dva fundamentalna principa matematičke analize može se pokazati primjenom na rješavanje Zenonovih paradoksa. Derivat. Izvod je metoda koja će nam omogućiti da izračunamo brzinu strelice u paradoksu strelice. To radimo analizom položaja strelice u sukcesivno opadajućim vremenskim intervalima. Tačna brzina strelice će postati poznata kada se pokaže da je vrijeme između mjerenja beskonačno malo. Integral. Integral je metoda koja će nam omogućiti da izračunamo poziciju strelice u paradoksu dihotomije. To ćemo učiniti analizom brzine strelice kroz sukcesivno opadajuće intervale vremena. Tačan položaj strelice znaćemo kada se pokaže da je vreme između merenja beskonačno malo. Lako je uočiti neke sličnosti između derivacije i integrala. Obje vrijednosti se izračunavaju tokom analize položaja ili brzine grane u postepeno opadajućim vremenskim intervalima. Kasnije ćemo saznati da su integral i derivacija, u stvari, dvije strane istog keramičkog kondenzatora. Zašto bismo trebali proučavati osnove računanja? Svi znamo Ohmov zakon, koji povezuje struju, napon i otpor u jednu jednostavnu jednačinu. Pogledajmo sada Ohmov zakon na primjeru kondenzatora. Jačina struje kondenzatora zavisi od napona i vremena. Vrijeme je u ovom slučaju kritična varijabla i mora se uzeti u obzir u svakom dinamičkom događaju. Matematička analiza nam omogućava da razumijemo i cijenimo kako se stvari mijenjaju tokom vremena. U slučaju kondenzatora, struja je jednaka kapacitetu puta volti u sekundi, ili i = C(dv/dt), gdje je: i - jačina struje (trenutna); U ovom krugu nema električne struje u kondenzatoru. Voltmetar će pokazati napon baterije, ali ampermetar neće pokazati ništa. Napon se neće mijenjati sve dok potenciometar ostane netaknut. U ovom slučaju, i = C(0/dt) = 0 amer. Ali šta se dešava ako počnemo da podešavamo potenciometar? Sudeći po jednadžbi, rezultirajuća jačina struje pojavit će se u kondenzatoru. Ova struja će ovisiti o promjeni napona, koja je povezana sa brzinom pomicanja potenciometra. Ovi grafikoni pokazuju odnos između napona u kondenzatoru, struje i brzine kojom okrećemo potenciometar. U početku to radimo polako. Povećanje brzine dovodi do promjene napona, što zauzvrat izaziva nagli porast struje. U svim fazama, struja u kondenzatoru je proporcionalna brzini promjene napona u njemu. Matematička analiza, tačnije derivacija, daje nam mogućnost da odredimo brzinu promjene, tako da tačno znamo vrijednost struje u kondenzatoru u određenom trenutku. Slično, možemo izračunati trenutnu brzinu Zenonove strele. Ovo je nevjerovatno moćan alat koji bi trebao biti u vašem arsenalu. Materijal je pripremljen posebno za stranicu - prema članku stranice hackaday.com P.S. Moje ime je Aleksandar. Ovo je moj lični, nezavisni projekat. Jako mi je drago ako vam se dopao članak. Želite li pomoći stranici? Samo u nastavku potražite oglas za ono što ste nedavno tražili. Autorska stranica © - Ova vijest pripada stranici, i intelektualno je vlasništvo bloga, zaštićeno je zakonom o autorskim pravima i ne može se koristiti bilo gdje bez aktivne veze na izvor. Pročitajte više - "O autorstvu" Da li tražite ovo? Možda je to ono što niste mogli naći tako dugo? MATEMATIČKA ANALIZA dio matematike, u kojem funkcije a njihove generalizacije se proučavaju metodom granice. Koncept granice je usko povezan sa konceptom beskonačno male veličine, stoga se takođe može reći da je M. a. proučava funkcije i njihove generalizacije infinitezimalnom metodom. Ime "M. a." - skraćena izmjena starog naziva ovog dijela matematike - "Infinitezimalna analiza"; potonji potpunije otkriva sadržaj, ali je i skraćen (naslov "Analiza pomoću infinitezimala" preciznije bi karakterizirao predmet). U klasičnom M. i. objekti proučavanja (analize) su prvenstveno funkcije. „Prije svega“ jer je razvoj M. a. dovelo je do mogućnosti proučavanja njegovim metodama složenijih formacija od - funkcionala, operatora itd. U prirodi i tehnologiji, kretanja i procesi se nalaze posvuda, to-rye su opisani funkcijama; zakoni prirodnih pojava se također obično opisuju funkcijama. Otuda objektivna važnost M. a. kao sredstvo učenja funkcija. M. a. u širem smislu pojma, pokriva veoma veliki deo matematike. To uključuje diferencijalni, integralni račun, funkcije teorije kompleksnih varijabli, teorija obične diferencijalne jednadžbe, teorija parcijalne diferencijalne jednadžbe, teorija integralne jednadžbe, varijacijski račun, funkcionalna analiza i neke druge matematičke discipline. Moderna teorija brojeva I teorija vjerovatnoće primjenjuju i razvijaju metode M. i. Ipak, termin M. a. često se koristi da imenuje samo osnove matematičke analize koje kombinuju teoriju pravi broj, teorija granica, teorija redovi, diferencijalni i integralni račun i njihove neposredne primjene, kao što su teorija maksimuma i minimuma, teorija implicitne funkcije, Fourierovi redovi, Fourierovi integrali. Funkcija. U M. a. polaziti od definicije funkcije prema Lobačevskom i Dirichletu. Ako za svaki broj xz određenog skupa Fbrojeva, na osnovu k.-l. zakon je naveden među y, onda ovo definira funkciju iz jedne varijable X. Funkcija je definirana slično iz varijabli, gdje x=(x 1 , ..., x n) -
tačka n-dimenzionalnog prostora; razmotrite i funkcije od bodova x=(x 1 , X 2 ,
...) nekog beskonačno-dimenzionalnog prostora, koji se, međutim, češće nazivaju funkcionalima. elementarne funkcije. Osnovna vrijednost u M. i. igrati elementarne funkcije. U praksi uglavnom rade sa elementarnim funkcijama, aproksimiraju funkcije složenije prirode. Elementarne funkcije se mogu razmatrati ne samo za realne, već i za kompleksne x; tada ideje o tim funkcijama postaju potpune u određenom smislu. S tim u vezi, važna grana M. a., tzv. teorija funkcija kompleksne varijable, ili teorija analitičke funkcije. Realni broj. Koncept funkcije je u suštini zasnovan na konceptu realnog (racionalnog i iracionalnog) broja. Konačno se uobličio tek krajem 19. vijeka. Konkretno, uspostavljena je logički besprijekorna veza između brojeva i geometrijskih tačaka. prava linija, što je dovelo do formalne potkrepljenja ideja R. Descartesa (R. Descartes, sredina 17. vijeka), koji je u matematiku uveo pravougaone koordinatne sisteme i prikaz funkcija u njima grafovima. Limit. U M. a. metoda proučavanja funkcija je . Razlikovati granicu niza i granicu funkcije. Ovi koncepti su konačno formirani tek u 19. veku, iako su drugi Grci imali ideju o njima. naučnici. Dovoljno je reći da je Arhimed (3. vek pne) bio u stanju da izračuna segment parabole pomoću procesa koji bismo nazvali prelazom do granice (up. metoda iscrpljivanja). Kontinuirane funkcije. Važna funkcija proučavana u M. a., form kontinuirane funkcije. Jedna od mogućih definicija ovog koncepta: funkcija y=f(x).od jedne varijable X, dati na intervalu ( a, b),
pozvao kontinuirano u jednoj tački X, Ako Funkcija je kontinuirana na intervalu ( a, b),
ako je kontinuirano u svim svojim tačkama; onda je to kriva, kontinuirana u svakodnevnom smislu te riječi. Derivat i . Među kontinuiranim funkcijama treba izdvojiti funkcije koje imaju derivat. Izvod funkcije u tački ima brzinu svoje promjene u ovoj tački, tj. granicu Ako imamo koordinatu tačke koja se kreće duž y-ose u vremenu X, onda je f "(x). trenutna brzina jedne tačke u datom trenutku X. Predznakom derivacije f "(x) .
prosudite prirodu promjene u f (x): ako je f "(z)> 0 ( f"(x) <0
).
na intervalu ( c, d), tada funkcija / raste (smanjuje) na ovom intervalu. Ako funkcija / u tački x dosegne lokalni ekstrem (maksimum ili minimum) i ima derivaciju u ovoj tački, tada je potonji jednak nuli u ovoj tački f "(x 0) = 0. Jednakost (1) može se zamijeniti ekvivalentnom jednakošću gdje je infinitezimalna kada, tj. ako funkcija f ima izvod u tački X, onda se njegov prirast u ovoj tački razlaže na dva člana. Od ovih, prvi je od (proporcionalno), drugi - teži nuli brže od Vrijednost (2) ref. diferencijal funkcije koje odgovaraju prirastu At small mogu se smatrati približno jednakim dy: Gornje razmišljanje o diferencijalu je karakteristično za M. a. Proširuju se na funkcije mnogih varijabli i na funkcionalnosti. Na primjer, ako je funkcija od varijabli ima kontinuirano parcijalni derivati u tački x=(x 1 , ... , x n), zatim njegov prirast
koji odgovaraju inkrementima nezavisnih varijabli mogu se zapisati kao gdje, tj. ako sve Ovdje je prvi član na desnoj strani (3) diferencijal dz funkcije f. Zavisi linearno od i drugi član teži nuli brže od Neka se da (vidi čl. Račun varijacija) prošireno na funkcionalne klase x(t) ,
ima kontinuirani izvod na intervalu i zadovoljava granične uslove x( t0)\u003d x 0, x( t1)=x l , Gdje x 0, x 1 - dati brojevi; neka je, dalje, klasa funkcije h(t) ,
ima kontinuirani izvod na i takav da je h( t0)=h(t1)=0. Očigledno ako U varijacionom računu dokazano je da se, pod određenim uslovima na L, prirast funkcionala J(x) može zapisati kao gde i stoga drugi član na desnoj strani (4) teži nuli brže od ||h||, a prvi član linearno zavisi od Prvi član u (4) se zove. varijacija funkcionala i označava se sa dJ( x, h). Integral. Uz izvedenicu je od fundamentalnog značaja u M. a. Postoje neodređeni i određeni integrali. Neodređeni integral je usko povezan sa antiderivativnom funkcijom. Funkcija F(x). antiderivat funkcije f na intervalu ( a, b) ako na ovom intervalu F"(x) =f(x). Definitivni integral (Riemann) funkcije / na segmentu [ a, b] postoji granica Ako je funkcija f pozitivna i kontinuirana na segmentu [ a, b],
tada je njegov integral na ovom segmentu jednak površini figure ograničene krivuljom y=f(x), os Oh i direktno x=a, x=b. Klasa Riemannovih integrabilnih funkcija sadrži sve kontinuirane na [ a, b] funkcije i neke diskontinuirane funkcije. Ali svi su oni nužno ograničeni. Za neograničene funkcije koje ne rastu vrlo brzo, kao i za određene funkcije date u beskonačnim intervalima, uvodi se tzv. nepravilni integrali, zahtijevajući dvostruki prolaz do granice za njihovu definiciju. Koncept Riemanovog integrala za funkciju jedne varijable proširuje se na funkcije mnogih varijabli (vidi Višestruki integral). S druge strane, M. potrebe i. dovelo do generalizacije integrala u sasvim drugom pravcu, značenju Lebesgueov integral ili opštije Lebesgue-Stieltjes integral. Suštinski u definiciji ovih integrala je uvođenje za određene skupove, koji se nazivaju mjerljivi, pojma njihove mjere i, na osnovu toga, koncepta mjerljive funkcije. Za mjerljive funkcije uvodi se Lebesgue-Stieltjesov integral. U ovom slučaju se razmatra širok raspon različitih mjera i odgovarajućih klasa mjerljivih skupova i funkcija. To omogućava prilagođavanje ovog ili onog integrala određenom specifičnom problemu. Newton-Leibnizova formula. Postoji veza između derivacije i integrala, izražena formulom (teorem) Newton - Leibniz Ovdje je f(x) kontinuirano na [ a, b] funkcija, a F(x) -
njen prototip. Formula i Taylor. Uz izvod i integral, najvažniji pojam (instrument za istraživanje) u matematičkoj analizi. su Taylor p Taylor serija. Ako je funkcija f(x) , a pozvao njegov Taylorov polinom (stepeni n). x-x 0: (Taylor formula); dok je greška aproksimacije teži nuli na brži od Dakle, funkcija f (x) u blizini tačke x 0 može se aproksimirati sa bilo kojim stepenom tačnosti vrlo jednostavnom funkcijom (polinomom), koja zahteva samo aritmetiku za njeno izračunavanje. operacije - sabiranje, oduzimanje i množenje. Od posebnog značaja su tzv funkcije koje su analitičke u određenom susjedstvu x 0 i imaju beskonačan broj izvoda, tako da se za njih u ovom susjedstvu at mogu predstaviti kao beskonačni Taylorov red potenciranja: Tejlorova proširenja pod određenim uslovima moguća su i za funkcije mnogih varijabli, kao i za funkcionale i operatore. Istorijska referenca. Sve do 17. veka M. a. bio je skup rješenja za različite posebne probleme; na primjer, u integralnom računu, to su zadaci za izračunavanje površina figura, zapremine tijela sa zakrivljenim granicama, rad promjenljive sile itd. Svaki zadatak ili određeni problem rješavan je svojom metodom, ponekad složenom i glomaznom (za praistoriju M. a. vidi članak Infinitezimalni račun),
M. a. kao jedinstven i sistematičan. cjelina je nastala u radovima I. Newtona (I. Newton), G. Leibniza (G. Leibniz), L. Eulera (L. Euler), J. Lagrangea (J. Lagrange) i drugih naučnika 17.- 18. vijeka, a njegovu - teoriju granica - u početku je razvio O. Komi (A. Cauchy). 19. vijek Dubinska analiza početnih koncepata M. a. bila povezana sa razvojem u 19. i 20. veku. teorija skupova, teorija mjera, teorija funkcija realne varijable i dovela do raznih generalizacija. Lit.: La V a l l e - P u s s e n S.-J. e, Kurs analize infinitezimala, prev. sa francuskog, tom 1-2, Moskva, 1933; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Osnove matematičke analize, 3. izdanje, 1. dio, M., 1971; 2. izd., 2. dio, M., 1980; I l i N V. A., Sadovnichiy V. A., Seidov B. Kh., Matematička analiza, M., 1979; K u d r i v e in L. D., Matematička analiza, 2. izdanje, tom 1-2, M., 1973; Nikolsky S. M., Kurs matematičke analize, 2. izdanje, tom 1-2, M., 1975; Uitteker E. T., W a t s o n J. N., Kurs savremene analize, prev. s engleskog, dio 1-2, 2. izd., M., 1962-63; F i kht n o l ts G. M., Kurs diferencijalnog i integralnog računa, 7. izdanje, tom 1-2, M., 1970; 5. izdanje, tom 3, M., 1970. S. M. Nikolsky. Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985. MATEMATIČKA ANALIZA, skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa... Moderna enciklopedija Skup grana matematike posvećenih proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Termin je više pedagoški nego naučni: predmeti matematičke analize se predaju na univerzitetima i tehničkim školama... Veliki enciklopedijski rječnik engleski matematička analiza; njemački matematička analiza. Grana matematike posvećena proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Antinazi. Enciklopedija sociologije, 2009 ... Enciklopedija sociologije Postoji, broj sinonima: 2 matan (2) matematička analiza (2) ASIS rečnik sinonima. V.N. Trishin. 2013 ... Rečnik sinonima MATEMATIČKA ANALIZA- MATEMATIČKA ANALIZA. Skup grana matematike posvećenih proučavanju matematičkih funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. Upotreba metoda M. i. je efikasno sredstvo za rješavanje najvažnijih ... ... Novi rječnik metodičkih pojmova i pojmova (teorija i praksa nastave jezika) matematička analiza- — EN matematička analiza Grana matematike koja se najeksplicitnije bavi graničnim procesom ili konceptom konvergencije; uključuje teorije diferencijacije,…… Priručnik tehničkog prevodioca Matematička analiza- MATEMATIČKA ANALIZA, skup sekcija matematike posvećenih proučavanju funkcija metodama diferencijalnog i integralnog računa. … Ilustrovani enciklopedijski rječnik „...da sam morao da kreiram mehanizam sa jedinom svrhom da uništim prirodnu radoznalost deteta i njegovu ljubav prema modelingu, teško da bih uradio bolje nego što je već implementiran – jednostavno ne bih imao dovoljno mašte da takmičiti se sa tako bezosjećajnim, dosadnim idejama koje su oličene u modernim metodama proučavanja matematike. Razmislite o učenju likovne umjetnosti ovako: Djeca, bez crtanja u vrtiću. Umjesto toga, proučavajmo hemiju boja, fiziku svjetlosti i anatomiju oka. Nakon 12 godina proučavanja ovih aspekata, ako djeca (tačnije već tinejdžeri) još uvijek ne mrze umjetnost, mogu sama početi crtati. Na kraju krajeva, sada imaju čvrstu osnovu kako bi počeli da poštuju umetnost. zar ne? Takođe sa poezijom. Zamislite da proučavate ovaj citat (formulu): „Ali glavna stvar: budite vjerni sebi; Tada, kao što noć slijedi dan, nećeš izdati druge.” -William Shakespeare, Hamlet To je elegantan način da se kaže "budi ono što si" (a ako to znači pisati o matematici bez poštovanja, neka bude). Ali ako bismo na času matematike razmatrali poeziju, umjesto da tražimo značenje, brojali bismo slogove, analizirali jambski pentametar, označavali imenice, glagole i pridjeve. Matematika i poezija su kao različiti načini objašnjenja, karakterizacije iste stvari. Formule su sredstvo za postizanje cilja, način izražavanja matematičke istine. Zaboravili smo da matematika operiše idejama, nije mehanička manipulacija formulama koje izražavaju ove ideje. Evo šta neću: neću prepričavati udžbenike koje sam već napisao. Ako trebate odgovore ovdje i sada, postoji mnoštvo web stranica, video tutorijala i 20 minuta pomoći. Umjesto toga, savladajmo osnove računanja. Jednačine nisu dovoljne – želim trenutke uvida kako biste zaista uvidjeli njihovo značenje i razumjeli jezik matematike. Formalni matematički jezik je jednostavno način komunikacije. Grafikoni, informativne animacije i jednostavan jezik mogu pružiti više uvida nego stranica sa nejasnim dokazima. Mislim da svako može razumjeti osnovne principe računanja. Ne moramo biti pjesnici da bismo uživali u Šekspirovim djelima. Biće vam mnogo lakše ako znate algebru i zanima vas matematika. Ne tako davno, čitanje i pisanje su bili delo posebno obučenih pisara. A danas to može svako dete od 10 godina. Zašto? Jer mi to očekujemo. Očekivanja igraju veliku ulogu u razvijanju mogućnosti. Stoga očekujte da računica bude samo još jedan predmet. Neki ljudi se svode na najsitnije detalje (pisci/matematičari). Ali mi ostali možemo se samo diviti onome što se dešava i pokušati to razumjeti. Želio bih da svi savladaju osnovne koncepte matematičke analize i kažu “Wow!”. Ovo je bio jednostavan primjer, ali jeste li shvatili glavnu ideju? Uzeli smo disk, podijelili ga i spojili dijelove na malo drugačiji način. Matematička analiza je pokazala da su disk i prsten usko povezani jedan s drugim: disk je zapravo skup prstenova. Ovo je veoma popularna tema u računici: Velike stvari se sastoje od manjih stvari. A ponekad je s tim malim predmetima lakše i jasnije raditi. Mnogi primjeri u računanju zasnovani su na fizici. Ovo je, naravno, divno, ali može biti teško uočiti ih: iskreno, daleko je od uvijek moguće imati na umu različite fizičke formule, poput formule za brzinu objekta. Volim početi s jednostavnim vizualnim primjerima jer tako funkcionira naš mozak. Prsten/krug koji smo istraživali - mogli biste modelirati istu stvar s nekoliko komada cijevi različitih promjera: podijeliti ih, poravnati i složiti u grubi trokut kako biste bili sigurni da matematika zaista funkcionira. Uz jednostavnu fizičku formulu, malo je vjerovatno da će to biti učinjeno. Osećam kako pedantni matematičari pale svoje tastature. Stoga ću ubaciti samo nekoliko riječi o "strogosti". Znate li da mi ne podučavamo račun na način na koji su ga otkrili Newton ili Leibniz? Koristili su intuitivne ideje "fluksa" i "beskonačno malog" koje su zamijenjene granicama jer "Naravno da funkcionira u praksi. Ali funkcionira li u teoriji? Napravili smo složene mehaničke modele kako bismo "precizno" dokazali račun, ali smo izgubili intuiciju u procesu takvih dokaza. Na slatkoću šećera gledamo u smislu hemije mozga, umjesto da to objašnjavamo jezikom nauke „Šećer ima puno energije. Pojedi to." Ne želim (i ne mogu) da predajem studentima račune niti obučavam naučnike. Ali da li bi bilo loše kada bi svi mogli razumjeti računicu na "nepreciznom" nivou na kojem ga je Njutn razumio? Da i vama promijeni svijet, kao nekada za njega? Prerano fokusiranje na preciznost raspršuje učenike i otežava učenje matematike. Evo dobrog primjera: broj e je tehnički definiran granicom, ali je otkriven upravo uz pomoć intuitivnog nagađanja o rastu. Prirodni logaritam može izgledati kao integral ili kao vrijeme rasta. Koja su objašnjenja najbolja za početnike? Crtajmo malo ručno, a usput uronimo u hemiju. Sretno računanje. (P.S: Jedan ljubazan čitalac je napravio animirani PowerPoint slajd šou koji pomaže da se ova ideja više vizuelno predstavi (bolje je pogledati u PowerPointu, animacije će biti vidljive tamo). Hvala!) Prema rečniku ruskog jezika analiza- ovo je metod naučnog istraživanja sagledavanjem pojedinačnih aspekata, svojstava, komponenti nečega. Jedna od najvažnijih grana matematike tzv matematička analiza a često čak i samo analize. Odmah se postavlja pitanje: šta se tačno analizira matematičkom analizom? Odgovor je jasan - funkcije se analiziraju. Funkcija(od latinskog "funkcija" - implementacija) predstavlja odnos između varijabilnih numeričkih vrijednosti. Budući da je analiza istraživačka metoda, postavlja se drugo pitanje: šta je ovo metoda? Odgovor daje drugo ime matematičke analize - diferencijalni i integralni račun. Računanje je grana matematike koja postavlja pravila za računanje. riječ " diferencijal“ dolazi od latinske riječi “diferencijacija”, tj. razlika. riječ " integral” nema tako jasno porijeklo („integrator” – cjelina; „integro” – vraćanje), ali ima značenje spajanja dijelova u cjelinu, obnavljanja razbijenih razlika. Ovaj oporavak se postiže sa sumiranje. Sumiramo prve rezultate: · glavni objekti studirao u matematičkoj analizi su funkcije. · Funkcije su zavisnosti različitih tipova između varijabilnih numeričkih vrijednosti. · Metoda matematičke analize je diferencijacija– rad s razlikama vrijednosti funkcija, i integracija- obračun iznosa. Dakle, da biste savladali matematičku analizu, prije svega morate razumjeti koncept funkcije. Funkcija je bitan matematički koncept jer su funkcije matematički način opisivanja kretanja i promjene. Funkcija je proces. Najvažnija vrsta kretanja je mehaničko pravolinijsko kretanje. Prilikom kretanja mjere se udaljenosti koje je predmet prešao, ali to očito nije dovoljno da se u potpunosti opiše kretanje. I Ahil i kornjača mogu se kretati na istu udaljenost od početne tačke, ali njihovo kretanje se razlikuje po brzini, a brzina se ne može mjeriti bez mjerenja vremena. Već iz razmatranja ovog primjera postaje jasno da jedna varijabla nije dovoljna da opiše kretanje i promjenu. Intuitivno je jasno da se vrijeme ravnomjerno mijenja, dok se udaljenost može mijenjati brže ili sporije. Kretanje je potpuno opisano ako se u svakom trenutku zna koliko se objekt udaljio od početne tačke. Dakle, tokom mehaničkog kretanja postoji korespondencija između vrijednosti dvije varijable - vremena, koje se mijenja nezavisno od bilo čega, i udaljenosti, koja zavisi od vremena. Ova činjenica je osnova za definiciju funkcije. Dvije varijable se više ne zovu vrijeme i udaljenost. Definicija funkcije: funkcija – da li je to pravilo ili zakon, stavljajući svaku vrijednost nezavisne varijable X
određenu vrijednost zavisne varijable at
. Nezavisna varijabla X
naziva se argument, a zavisni at
- funkcija. Ponekad se kaže da je funkcija odnos između dvije varijable. Kako vizualizirati šta je varijabla? Varijabla je brojevna linija (ravnalo ili skala) duž koje se kreće tačka (termometar ili igla sa perlom). Funkcija je mehanizam zupčanika sa dva prozora x i y. Ovaj mehanizam vam omogućava ugradnju u prozor X
bilo koje vrijednosti, osim u kutiji at
vrijednost funkcije će se automatski pojaviti uz pomoć zupčanika. Zadatak 1. Temperatura pacijenta se mjeri svakih sat vremena. Postoji funkcija - ovisnost temperature o vremenu. Kako predstaviti ovu funkciju? Odgovori: tabela i grafikon. Funkcija je kontinuirana, kao što je kretanje kontinuirano, ali u praksi je nemoguće popraviti taj kontinuitet. Možete uhvatiti samo jedan argument i vrijednosti funkcije. Međutim, još uvijek je moguće teorijski opisati kontinuitet. Zadatak 2. Galileo Galilei je otkrio da slobodno padajuće tijelo prijeđe jedinicu udaljenosti u prvoj sekundi, 3 jedinice u drugoj, 5 jedinica u trećoj, itd. Odrediti ovisnost vremena o udaljenosti. indikacija: Izvedite opću formulu za odnos između prijeđene udaljenosti i broja udaljenosti. Načini postavljanja funkcija. Problemi matematičke analize. Prijelaz s jednog prikaza funkcije na drugi (proračun vrijednosti funkcije, konstrukcija približnih analitičkih funkcija iz eksperimentalnih numeričkih i grafičkih podataka, istraživanje funkcija i crtanje). Matematičko proučavanje svojstava funkcije kao procesa. Primjer 1: traženje brzine iz poznate funkcije putanje vremena (diferencijacija). Primjer 2: Pronalaženje putanje pomoću poznate funkcije brzine u odnosu na vrijeme (integracija).Funkcija. Osnovne definicije i koncepti.
Albert Einstein
C - kapacitivnost, koja se mjeri u faradima;
dv - promjena napona;
dt je promjena u vremenu. 
Pogledajte šta je "MATEMATIČKA ANALIZA" u drugim rječnicima:
Pa, sve je jasno, pa koja je tvoja sjajna ideja?
Ali matematika je teška!
Dakle, o čemu je matematička analiza?
Nekoliko primjera
Malo o matematičkoj strogosti (za fanatike ove nauke)
|
sljedeće predavanje ==>
Kreativnost: Sveske provjerava x (ko?) nastavnik |
