Различни начини за доказване на питагоровата теорема: примери, описание и рецензии. Независимо решаване на проблеми

клас: 8

Цели на урока:

• Образователни:постигне усвояването на питагоровата теорема, внуши умения за изчисляване на неизвестната страна на правоъгълен триъгълник с помощта на два известни, научи как да прилага теоремата на Питагор при решаване на прости задачи
• Разработване:допринасят за развитието на способността за сравняване, наблюдение, внимание, развитието на способността за аналитично и синтетично мислене, разширяване на кръгозора
• Образователни:формиране на потребност от знания, интерес към математиката

Тип урок:урок за представяне на нов материал

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, презентация за урока ( Приложение 1)

План на урока:

1. Организиране на времето
2. устни упражнения
3. Изследователска работа, излагане на хипотеза и тестване в конкретни случаи
4. Обяснение на нов материал
   а) За Питагор
   б) Твърдение и доказателство на теоремата
5. Консолидиране на горното чрез решаване на проблеми
6. Домашна работа, обобщаване на урока.

По време на занятията

Слайд 2: Правете упражненията

1. Разширителни скоби: (3 + x) 2
2. Изчислете 3 2 + x 2 за x = 1, 2, 3, 4
   – Има ли естествено число, чийто квадрат е 10, 13, 18, 25?
3. Намерете площта на квадрат със страни 11 cm, 50 cm, 7 dm.
   Каква е формулата за площта на квадрат?
   Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник?

Слайд 3: Въпрос отговор

– Ъгъл, чиято мярка е 90°. (направо)

Страната срещу десния ъгъл на триъгълника. (хипотенуза)

- Триъгълник, квадрат, трапец, кръг - това са геометрични ... (форми)

- По-малката страна на правоъгълен триъгълник. (Катет)

- Фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка. (Ъгъл)

- Отсечка от перпендикуляр, изтеглен от върха на триъгълник към правата, съдържаща противоположната страна. (височина)

- Триъгълник с две равни страни . (равнобедрен)

Слайд 4: Задача

Построете правоъгълен триъгълник със страни 3 см, 4 см и 6 см.

Задачата е разделена на редове.

	1 ред	2 ред	3 ред
крак а	3	3
крак б	4		4
Хипотенуза С		6	6

въпроси:

- Някой получавал ли е триъгълник с дадени страни?

- Какъв може да бъде изводът? (Правоъгълният триъгълник не може да бъде дефиниран произволно. Между страните му има зависимост).

- Измерете получените страни. ( Приблизителният среден резултат от всеки ред се въвежда в таблицата)

	1 ред	2 ред	3 ред
крак а	3	3	~4,5
крак б	4	~5,2	4
Хипотенуза С	~5	6	6

- Опитайте се да установите връзка между катета и хипотенузата във всеки един от случаите.

(Предлага се да се припомнят устните упражнения и да се провери същата връзка между другите числа).

- Обръща се внимание на факта, че точният резултат няма да работи, т.к. измерванията не могат да се считат за точни.

Учителят пита за предположения (хипотези): учениците формулират.

- Да, наистина има връзка между хипотенузата и катета и първият, който го доказа, беше ученият, чието име ще се наречете. Тази теорема е кръстена на него.

Слайд 5: Дешифрирайте

Слайд 6: Питагор от Самос

Кой ще посочи темата на днешния урок?

Учениците записват в тетрадки темата на урока: „Питагоровата теорема“

Питагоровата теорема е една от основните теореми на геометрията. С негова помощ се доказват много други теореми и се решават задачи от различни области: физика, астрономия, строителство и т. н. То е било известно много преди Питагор да го докаже. Древните египтяни са го използвали при изграждането на правоъгълен триъгълник със страни от 3, 4 и 5 единици с помощта на въже за изграждане на прави ъгли при полагане на сгради, пирамиди. Следователно такъв триъгълник се нарича Египетски триъгълник.

Има над триста начина за доказване на тази теорема. Днес ще разгледаме един от тях.

Слайд 7: Питагорова теорема

теорема: В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катета.

дадено:

правоъгълен триъгълник,

а, б - крака, С- хипотенуза

Докажи:

Доказателство.

1. Продължаваме катетите на правоъгълен триъгълник: крак а- за дължина б, крак б- за дължина а.

В каква форма може да се построи триъгълник? Защо до квадрат? Каква ще бъде страната на квадрата?

2. Завършваме триъгълника до квадрат със страна a + b.

Как можете да намерите площта на този квадрат?

3. Площта на квадрата е

- Нека разбием квадрата на части: 4 триъгълника и квадрат със страна c.

Как иначе можете да намерите площта на оригиналния квадрат?

Защо получените правоъгълни триъгълници са равни?

4. От друга страна,

5. Приравнете получените равенства:

Теоремата е доказана.

Има комична формулировка на тази теорема: „Питагорейските панталони са равни във всички посоки“. Вероятно такава формулировка се дължи на факта, че тази теорема първоначално е установена за равнобедрен правоъгълен триъгълник. Освен това звучеше малко по-различно: „Площта на квадрат, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху неговите крака.

Слайд 8: Друга формулировка на Питагоровата теорема

И ще ви дам друга формулировка на тази теорема в стих:

Ако ни е даден триъгълник
И освен това с прав ъгъл,
Това е квадратът на хипотенузата
Винаги можем лесно да намерим:
Изграждаме краката в квадрат,
Намираме сбора от градуси
И то по толкова прост начин
Ще стигнем до резултата.

- И така, днес се запознахте с най-известната теорема на планиметрията - Питагоровата теорема. Как е формулирана питагоровата теорема? Как иначе може да се формулира?

Първично фиксиране на материала

Слайд 9: Решаване на задачи по готови чертежи.

Слайд 10: Решаване на задачи в тетрадка

Трима ученици са извикани на дъската едновременно, за да решават проблеми.

Слайд 11: Задача на индийския математик Бхаскара от 12 век

Обобщаване на урока:

Какво ново научихте на урока днес?

- Формулирайте теоремата на Питагор.

- Какво се научихте да правите в урока?

Домашна работа:

– Научете Питагоровата теорема с доказателство

- Задачи от учебник No 483 в, г; No 484 в, гр

– За по-напреднали ученици: намерете други доказателства на Питагоровата теорема, научете едно от тях.

Оценява се работата на класа като цяло, като се открояват отделни ученици.

Урок на тема: "Питагоровата теорема"

Вид на урока: урок за изучаване на нов материал. (според учебника „Геометрия, 7–9”, учебник за образователни институции; Л. С. Атанасян и др. - 12 изд. - М .: Образование, 2009).

Цел:

запознаване на учениците с питагоровата теорема и историческата информация, свързана с тази теорема; развиват интерес към изучаването на математиката, логическото мислене; внимание.

По време на часовете:

1. Организационен момент.

СЛАЙД 2 Приказка "Къща".

Темата на нашия урок е "Питагоровата теорема". Днес в урока ще се запознаем с биографията на Питагор, ще изучаваме една от най-известните геометрични теореми на древността, наречена Питагорова теорема, една от основните теореми на планиметрията.

2. Актуализация на знанията.(Подготовка за изучаване на нов материал, материалът, който ще е необходим при доказателството на теоремата се повтаря)

1) Въпроси:

Какъв четириъгълник се нарича квадрат?

Как да намерим площта на квадрат?

Кой триъгълник се нарича правоъгълен триъгълник?

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник?

Как да намерим площта на правоъгълен триъгълник?

3. Усвояване на нов материал.

1) Справка по история.

СЛАЙД 3 и 4.

Великият учен Питагор е роден около 570 г. пр.н.е. на остров Самос. Бащата на Питагор е Мнезарх, резбар на скъпоценни камъни. Името на майката на Питагор не е известно. Според много древни свидетелства, роденото момче беше страхотно красиво и скоро показа изключителните си способности. Като всеки баща Мнезарх мечтаеше синът му да продължи делото му – златарския занаят. Животът прецени друго. Бъдещият велик математик и философ още в детството показа големи способности за науките.

На Питагор се приписва изучаването на свойствата на цели числа и пропорции, доказване на питагоровата теорема и т. н. Питагор не е име, а прякор, който философът получава, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - "убедителна реч".)

С речите си той придобива 2000 ученици, които заедно със семействата си образуват училище-държава, където са в сила законите и правилата на Питагор. Школата на Питагор, или, както още я наричат, Питагорейският съюз, е била едновременно философска школа, политическа партия и религиозно братство.

Любимата геометрична фигура на питагорейците беше пентаграмът, наричан още питагорейската звезда. Питагорейците са използвали тази фигура, рисувайки я в пясъка, за да се поздравят и разпознаят. Пентаграмата им служи като парола и е символ на здраве и щастие.

Преданието казва, че когато Питагор стигна до теоремата, която носи неговото име, той донесе 100 бика на боговете. През 500 г. пр. н. е. Питагор е убит в уличен бой по време на народно въстание. В момента има около 200 доказателства на Питагоровата теорема.

Изявление на теоремата

2) Доказателство на теоремата.

Нека построим правоъгълник на квадрат със страна a + b.

Децата с помощта на учител доказват теоремата според чертежа, след което записват доказателството в тетрадка.

доказателство:

квадратна площ

- теоремата е доказана.

4. Първично затвърдяване на знанията.

Работа по учебника (Прилагане на Питагоровата теорема при решаване на задачи).

Задачите се решават на дъската и в тетрадките.

Заключение: с помощта на питагоровата теорема можете да решите два вида задачи:

1. Намерете хипотенузата на правоъгълен триъгълник, ако катетите са известни.

2. Намерете катета, ако хипотенузата и другият катет са известни.

.

5. Самостоятелно решаване на проблеми.

№ 483 (б), 484 (б)

6. Домашна работа: P 54, № 483 (d), 484 (d).

7. Резултатът от урока.

Какво ново научихте на урока днес?

За кои триъгълници се прилага питагоровата теорема?

Завършете урока със стихотворение.

Много хора знаят сонета на Шамисо:

Истината ще остане вечна, колко скоро

Слаб човек ще го разбере!

А сега питагоровата теорема

Верна, както в далечната му епоха.

Жертвата беше изобилна

Богове от Питагор. Сто бика

Той даде на клане и изгаряне

Зад светлината е лъч, дошъл от облаците.

Следователно оттогава

Малко истина се ражда в света,

Биковете реват, усещайки, че я следва.

Те не могат да спрат светлината

И могат само да затворят очите си, за да треперят

От страха, който им е внушил Питагор.

Въпрос - отговор Ъгъл, чиято мярка е 90° ДИРЕКТНО Страната, лежаща срещу правия ъгъл на триъгълника ХИПОТЕНУЗА Триъгълник, квадрат, трапец, окръжност са геометрични ... ФИГУРИ По-малката страна на правоъгълен триъгълник КАТЕТ Фигурата, образувана от два лъча, излизащи от една точка ЪГЪЛ Перпендикулярен сегмент, изтеглен от върха на триъгълник към правата, съдържаща противоположната страна ВИСОЧИНА Триъгълник, чиито две страни са равни равнобедрени

Питагор от Самос (ок. 580 - ок. 500 г. пр. н. е.) Древногръцки математик и философ. Роден на остров Самос. Той организира свое собствено училище – училището на Питагор (Питагорейският съюз), което е едновременно и философско училище, и политическа партия, и религиозно братство. Той е първият, който доказва връзката между хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник.

Задача на индийския математик от XII век Бхаскара На брега на реката расте самотна топола. Изведнъж порив на вятъра счупи ствола му. Горката топола падна. И ъгълът на права линия С течението на реката, нейният ствол беше. Спомнете си сега, че на това място река Б беше широка само четири фута. Главата се наведе на ръба на реката. Остават само три крачки от ствола, моля те, кажи ми скоро: Колко е висока тополата?

1

Шаповалова Л.А. (станция Egorlykskaya, MBOU ESOSH № 11)

1. Глейзър Г.И. История на математиката в училище VII - VIII клас, ръководство за учители, - М: Образование, 1982.

2. Демпан И.Я., Виленкин Н.Я. „Зад страниците на учебник по математика“ Помагало за ученици от 5-6 клас. – М.: Просвещение, 1989.

3. Зенкевич И.Г. „Естетика на урока по математика”. – М.: Просвещение, 1981.

4. Лицман В. Питагоровата теорема. - М., 1960 г.

5. Волошинов A.V. "Питагор". - М., 1993 г.

6. Пичурин Л.Ф. „Отвъд страниците на учебника по алгебра“. - М., 1990 г.

7. Земляков A.N. „Геометрия в 10 клас“. - М., 1986.

8. Вестник „Математика” 17/1996г.

9. Вестник „Математика” 3/1997г.

10. Антонов Н.П., Вигодски М.Я., Никитин В.В., Санкин А.И. „Сборник със задачи по елементарна математика”. - М., 1963 г.

11. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. „Наръчник по математика“. - М., 1973 г.

12. Shchetnikov A.I. "Питагоровата доктрина за числото и величината". - Новосибирск, 1997 г.

13. „Реални числа. Ирационални изрази» 8 клас. Tomsk University Press. – Томск, 1997.

14. Атанасян М.С. "Геометрия" 7-9 клас. – М.: Просвещение, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Тази академична година се запознах с една интересна теорема, известна, както се оказа, от древни времена:

"Квадратът, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, е равен на сбора от квадратите, построени върху катета."

Обикновено откритието на това твърдение се приписва на древногръцкия философ и математик Питагор (VI век пр. н. е.). Но изследването на древните ръкописи показа, че това твърдение е било известно много преди раждането на Питагор.

Чудех се защо в този случай то се свързва с името на Питагор.

Актуалност на темата: Питагоровата теорема е от голямо значение: тя се използва в геометрията буквално на всяка стъпка. Вярвам, че творбите на Питагор са все още актуални, защото където и да погледнем, навсякъде можем да видим плодовете на неговите велики идеи, въплътени в различни клонове на съвременния живот.

Целта на моето изследване беше: да разбера кой е бил Питагор и какво отношение има той към тази теорема.

Изучавайки историята на теоремата, реших да разбера:

Има ли други доказателства на тази теорема?

Какво е значението на тази теорема в живота на хората?

Каква роля е изиграл Питагор в развитието на математиката?

От биографията на Питагор

Питагор от Самос е велик гръцки учен. Славата му се свързва с името на питагоровата теорема. Въпреки че сега вече знаем, че тази теорема е била известна в древен Вавилон 1200 години преди Питагор, а в Египет 2000 години преди него е бил известен правоъгълен триъгълник със страни 3, 4, 5, ние все още я наричаме с името на този древен учен.

Почти нищо не се знае със сигурност за живота на Питагор, но голям брой легенди са свързани с неговото име.

Питагор е роден през 570 г. пр. н. е. на остров Самос.

Питагор имаше красив външен вид, носеше дълга брада и златна диадема на главата си. Питагор не е име, а прякор, който философът получава, защото винаги говори правилно и убедително, като гръцки оракул. (Питагор - "убедителна реч").

През 550 г. пр. н. е. Питагор взема решение и отива в Египет. И така, пред Питагор се открива непозната страна и непозната култура. Много удивен и изненадан Питагор в тази страна и след някои наблюдения върху живота на египтяните, Питагор разбра, че пътят към знанието, защитен от кастата на жреците, лежи чрез религията.

След единадесет години обучение в Египет, Питагор отива в родината си, където по пътя попада във вавилонски плен. Там той се запознава с вавилонската наука, която е била по-развита от египетската. Вавилонците знаеха как да решават линейни, квадратни и някои видове кубични уравнения. След като избяга от плен, той не можа да остане дълго в родината си поради атмосферата на насилие и тирания, която цареше там. Той решава да се премести в Кротон (гръцка колония в Северна Италия).

Именно в Кротон започва най-славният период от живота на Питагор. Там той създава нещо като религиозно-етично братство или таен монашески орден, чиито членове са длъжни да водят т. нар. питагорейски начин на живот.

Питагор и питагорейците

Питагор организира в гръцката колония в южната част на Апенинския полуостров религиозно и етично братство, като монашески орден, който по-късно ще бъде наречен Питагорейският съюз. Членовете на съюза трябваше да се придържат към определени принципи: първо, да се стремят към красивото и славното, второ, да бъдат полезни, и трето, да се стремят към високо удоволствие.

Системата от морални и етични правила, завещана от Питагор на своите ученици, е съставена в един вид морален кодекс на питагорейците „Златни стихове“, които са били много популярни в епохата на Античността, Средновековието и Ренесанса.

Питагорейската учебна система се състои от три раздела:

Учения за числата - аритметика,

Учения за фигури - геометрия,

Учения за устройството на Вселената - астрономия.

Образователната система, установена от Питагор, е продължила много векове.

Школата на Питагор направи много, за да даде на геометрията характер на наука. Основната характеристика на метода на Питагор беше комбинацията от геометрия с аритметика.

Питагор се занимаваше много с пропорциите и прогресията и вероятно със сходството на фигурите, тъй като на него се приписва решаването на проблема: „Постройте трета, равна по размер на една от данните и подобна на втората, въз основа на дадени две цифри."

Питагор и неговите ученици въвеждат концепцията за многоъгълни, приятелски, съвършени числа и изучават техните свойства. Аритметиката, като практика на изчисление, не е интересувала Питагор и той с гордост заявява, че „поставя аритметиката над интересите на търговеца“.

Членове на Питагорейския съюз са били жители на много градове в Гърция.

Питагорейците също приемат жените в своето общество. Съюзът процъфтява повече от двадесет години, а след това започва преследването на членовете му, много от студентите са убити.

Имаше много различни легенди за смъртта на самия Питагор. Но учението на Питагор и неговите ученици продължили да живеят.

От историята на създаването на питагоровата теорема

Понастоящем е известно, че тази теорема не е открита от Питагор. Някои обаче смятат, че Питагор е този, който пръв е дал пълното си доказателство, докато други му отричат ​​тази заслуга. Някои приписват на Питагор доказателството, което Евклид дава в първата книга на своите Елементи. От друга страна, Прокъл твърди, че доказателството в Елементите се дължи на самия Евклид. Както виждаме, историята на математиката няма почти никакви надеждни конкретни данни за живота на Питагор и неговата математическа дейност.

Нека започнем нашия исторически преглед на питагоровата теорема с древен Китай. Тук математическата книга на Чу-пей привлича специално внимание. Това есе казва това за Питагоровия триъгълник със страни 3, 4 и 5:

"Ако прав ъгъл се разложи на съставните му части, тогава линията, свързваща краищата на страните му, ще бъде 5, когато основата е 3, а височината е 4."

Много е лесно да се възпроизведе техния метод на изграждане. Вземете въже с дължина 12 m и го завържете към него по цветна лента на разстояние 3 m. от единия край и 4 метра от другия. Прав ъгъл ще бъде затворен между страни с дължина 3 и 4 метра.

Геометрията сред индусите е тясно свързана с култа. Много вероятно е теоремата за хипотенузата на квадрат вече да е била известна в Индия около 8-ми век пр.н.е. Наред с чисто ритуалните предписания се срещат произведения от геометрично богословски характер. В тези писания, датиращи от 4-ти или 5-ти век пр.н.е., се срещаме с изграждането на прав ъгъл с помощта на триъгълник със страни 15, 36, 39.

През Средновековието теоремата на Питагор определя границата, ако не на възможно най-голямото, то поне на доброто математически познания. Характерният чертеж на питагоровата теорема, който сега понякога се превръща от учениците, например, в цилиндър, облечен в роба на професор или мъж, често се използва в онези дни като символ на математиката.

В заключение представяме различни формулировки на Питагоровата теорема, преведени от гръцки, латински и немски.

Теоремата на Евклид гласи (буквален превод):

"В правоъгълен триъгълник квадратът на страната, обхващаща правия ъгъл, е равен на квадратите от страните, които ограждат правия ъгъл."

Както можете да видите, в различни страни и различни езици има различни версии на формулировката на познатата теорема. Създадени по различно време и на различни езици, те отразяват същността на един математически модел, чието доказателство също има няколко варианта.

Пет начина за доказване на питагоровата теорема

древни китайски доказателства

В древна китайска рисунка четири равни правоъгълни триъгълника с крака a, b и хипотенуза c са подредени така, че външният им контур образува квадрат със страна a + b, а вътрешният образува квадрат със страна c, построен върху хипотенуза

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Доказателство от Дж. Гардфийлд (1882)

Нека подредим два равни правоъгълни триъгълника, така че кракът на единия от тях да е продължение на другия.

Площта на разглеждания трапец се намира като произведение на половината от сбора на основите и височината

От друга страна, площта на трапеца е равна на сумата от площите на получените триъгълници:

Приравнявайки тези изрази, получаваме:

Доказателството е просто

Това доказателство се получава в най-простия случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Вероятно теоремата е започнала с него.

Наистина, достатъчно е само да погледнем плочките на равнобедрените правоъгълни триъгълници, за да видим, че теоремата е вярна.

Например за триъгълника ABC: квадратът, построен върху хипотенузата AC, съдържа 4 начални триъгълника, а квадратите, построени върху катета, съдържат два. Теоремата е доказана.

Доказателство за древните индуси

Квадрат със страна (a + b) може да бъде разделен на части както на фиг. 12. а, или както на фиг. 12б. Ясно е, че части 1, 2, 3, 4 са еднакви и на двете фигури. И ако равните се извадят от равни (площи), тогава равните ще останат, т.е. c2 = a2 + b2.

Доказателство на Евклид

В продължение на две хилядолетия най-разпространеното беше доказателството на питагоровата теорема, изобретена от Евклид. Поместено е в известната му книга "Начало".

Евклид понижи височината BH от върха на правия ъгъл до хипотенузата и доказа, че нейното продължение разделя квадрата, завършен върху хипотенузата, на два правоъгълника, чиито площи са равни на площите на съответните квадрати, построени върху катета.

Чертежът, използван при доказателството на тази теорема, се нарича шеговито "питагорей панталон". Дълго време той е смятан за един от символите на математическата наука.

Приложение на Питагоровата теорема

Значението на питагоровата теорема се крие във факта, че повечето от геометричните теореми могат да бъдат извлечени от нея или с нейна помощ и много проблеми могат да бъдат решени. Освен това практическото значение на Питагоровата теорема и нейната обратна теорема е, че те могат да се използват за намиране на дължините на отсечките, без да се измерват самите отсечки. Това сякаш отваря пътя от права линия към равнина, от равнина към обемно пространство и отвъд. Именно поради тази причина Питагоровата теорема е толкова важна за човечеството, което се стреми да открие повече измерения и да създаде технологии в тези измерения.

Заключение

Питагоровата теорема е толкова известна, че е трудно да си представим човек, който не е чувал за нея. Научих, че има няколко начина за доказване на питагоровата теорема. Проучих редица исторически и математически източници, включително информация в Интернет, и разбрах, че питагоровата теорема е интересна не само за своята история, но и защото заема важно място в живота и науката. Това се доказва от различните интерпретации на текста на тази теорема, дадени от мен в тази статия, и начините за нейното доказване.

И така, Питагоровата теорема е една от основните и, може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Неговото значение се крие във факта, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат изведени от него или с негова помощ. Питагоровата теорема е забележителна и с това, че сама по себе си тя изобщо не е очевидна. Например, свойствата на равнобедрен триъгълник могат да се видят директно на чертежа. Но колкото и да гледате правоъгълен триъгълник, никога няма да видите, че между страните му има проста връзка: c2 = a2 + b2. Следователно визуализацията често се използва за доказване. Заслугата на Питагор беше, че той даде пълно научно доказателство на тази теорема. Интересна е личността на самия учен, чиято памет неслучайно е запазена от тази теорема. Питагор е прекрасен оратор, учител и възпитател, организатор на своето училище, фокусиран върху хармонията на музиката и числата, доброто и справедливостта, знанието и здравословния начин на живот. Той може да служи за пример за нас, далечни потомци.

Библиографска връзка

Туманова С.В. НЯКОЛКО НАЧИНА ЗА ДОКАЗАНЕ НА ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА // Старт в науката. - 2016. - No 2. - С. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (дата на достъп: 10.01.2020 г.).

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката

между страните на правоъгълен триъгълник.

Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстен.

Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана, както следва:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,

изградени върху катетри.

Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на дължините на катета.

Това означава, че се обозначава дължината на хипотенузата на триъгълника ° С, и дължините на краката през аи б:

И двете формулировки питагорови теоремиса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така

изисква концепцията за площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и

чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратната питагорова теорема.

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава

триъгълникът е правоъгълен.

Или с други думи:

За всяка тройка положителни числа а, би ° С, такъв, че

има правоъгълен триъгълник с крака аи би хипотенуза ° С.

Питагоровата теорема за равнобедрен триъгълник.

Питагорова теорема за равностранен триъгълник.

Доказателства на питагоровата теорема.

Към момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата

Питагор е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие

може да се обясни само с основното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:

доказателство за метод на площ, аксиоматичени екзотични доказателства(например,

като се използва диференциални уравнения).

1. Доказателство на Питагоровата теорема по отношение на подобни триъгълници.

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от построените доказателства

директно от аксиомите. По-специално, той не използва концепцията за площта на фигура.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник ° С. Нека начертаем височина от ° Си обозначават

нейната основа чрез Х.

триъгълник ACHподобен на триъгълник АБ C на два ъгъла. По същия начин, триъгълникът CBHподобен ABC.

Чрез въвеждане на нотацията:

получаваме:

,

който съвпада -

Като сгъна а 2 и б 2, получаваме:

или , което трябваше да се докаже.

2. Доказателство на Питагоровата теорема чрез метода на площите.

Следващите доказателства, въпреки очевидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички тях

използвайте свойствата на областта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата питагорова теорема.

• Доказателство чрез равнодопълване.

Подредете четири равни правоъгълни

триъгълник, както е показано на снимката

на дясно.

Четириъгълник със страни ° С- квадрат,

тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, и

развитият ъгъл е 180°.

Площта на цялата фигура е, от една страна,

площ на квадрат със страна ( а+б), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и

Q.E.D.

3. Доказателство на питагоровата теорема чрез безкрайно малкия метод.

​

Като се има предвид чертежа, показан на фигурата, и

гледам как страната се променяа, ние можем

напишете следното отношение за безкрайност

малък странични нарастванияСи а(използвайки сходство

триъгълници):

Използвайки метода за разделяне на променливите, намираме:

По-общ израз за промяна на хипотенузата в случай на увеличение на двата крака:

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната

пропорционалност между страните на триъгълника и приращенията, докато сборът е свързан с независимата

принос от увеличаването на различни крака.

По-просто доказателство може да се получи, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение

(в този случай кракът б). Тогава за константата на интегриране получаваме: