الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للمتجهات.
أساس المتجهات. نظام الإحداثيات الأفينية

توجد عربة بها شوكولاتة في القاعة، وسيحصل كل زائر اليوم على زوجين جميلين - الهندسة التحليلية مع الجبر الخطي. ستغطي هذه المقالة قسمين في وقت واحد. الرياضيات العليا، وسنرى كيف ينسجمون في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة، وتناول تويكس! ...اللعنة، يا لها من حفنة من الهراء. على الرغم من أنني لن أسجل، في النهاية، يجب أن يكون لديك موقف إيجابي تجاه الدراسة.

الاعتماد الخطي للمتجهات, استقلال المتجهات الخطية, أساس المتجهاتوغيرها من المصطلحات ليس فقط تفسير هندسيولكن قبل كل شيء المعنى الجبري. إن مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي ليس دائمًا المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على المستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن الدليل، حاول رسم متجه للفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس الذي ذهبت إليه للتو إلى Gismeteo من أجل: - درجة الحرارة و الضغط الجويعلى التوالى. المثال، بالطبع، غير صحيح من وجهة نظر خصائص مساحة المتجه، ولكن، مع ذلك، لا أحد يمنع إضفاء الطابع الرسمي على هذه المعلمات كمتجه. نسمة خريف...

لا، لن أزعجك بالنظرية، فالمساحات المتجهة الخطية هي المهمة يفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (الاعتماد الخطي، الاستقلال، التركيب الخطي، الأساس، وما إلى ذلك) على جميع المتجهات من وجهة نظر جبرية، ولكن سيتم تقديم أمثلة هندسية. وهكذا، كل شيء بسيط، ويمكن الوصول إليه وواضح. ما وراء المهام الهندسة التحليليةسننظر أيضًا في بعض مهام الجبر النموذجية. لإتقان المادة، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمىو كيفية حساب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلال ناقلات الطائرة.
أساس الطائرة ونظام الإحداثيات

دعونا نفكر في مستوى مكتب الكمبيوتر الخاص بك (مجرد طاولة، أو طاولة بجانب السرير، أو أرضية، أو سقف، أو أي شيء تريده). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي، سطح الطاولة له طول وعرض، لذا فمن البديهي أن تكون هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن ناقلًا واحدًا لا يكفي، وثلاثة ناقلات أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار تعيين نظام الإحداثيات(شبكة الإحداثيات) لتعيين الإحداثيات لجميع الكائنات الموجودة في الجدول.

لا تتفاجأ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. وعلاوة على ذلك، على لك. يرجى المكان السبابة اليسرىعلى حافة الطاولة حتى ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقلًا. مكان الآن الاصبع الصغير اليد اليمنى على حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها نحو شاشة المراقبة. سيكون هذا ناقلًا. ابتسم، أنت تبدو رائعا! ماذا يمكننا أن نقول عن المتجهات؟ نواقل البيانات على استطرادمما يعني خطييتم التعبير عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا، أو العكس: حيث يختلف الرقم عن الصفر.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الفصل. ناقلات للدمىحيث شرحت قاعدة ضرب المتجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على سطح مكتب الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. تنتقل المتجهات الخطية ذهابًا وإيابًا وحيدالاتجاه، والمستوى له طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

مرجع: تشير الكلمات "خطي" و"خطي" إلى حقيقة أنه في المعادلات والتعابير الرياضية لا توجد مربعات أو مكعبات أو قوى أخرى أو لوغاريتمات أو جيوب وما إلى ذلك. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (الدرجة الأولى).

اثنين من ناقلات الطائرة تعتمد خطياإذا وفقط إذا كانت على خط واحد.

اشبك أصابعك على الطاولة بحيث تكون هناك أي زاوية بينهما غير 0 أو 180 درجة. اثنين من ناقلات الطائرةخطي لاتعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على خط مستقيم. لذلك يتم الحصول على الأساس. لا داعي للشعور بالحرج من أن الأساس قد تبين أنه "منحرف" بمتجهات غير متعامدة ذات أطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أن الزاوية التي قياسها 90 درجة ليست فقط مناسبة لبناءها، وليس فقط ناقلات الوحدات ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةيتم توسيعها على أساس:
، أين الأعداد الحقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس.

ويقال ذلك أيضا المتجهقدمت كما تركيبة خطية ناقلات الأساس. أي أن التعبير يسمى تحلل ناقلاتعلى أساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس

على سبيل المثال، يمكننا القول إن المتجه متحلل على أساس متعامد للمستوى، أو يمكننا القول إنه ممثل كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا صياغة تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةيسمى زوج من المتجهات المستقلة خطياً (غير الخطية)، ، حيث أيالمتجه المستوي هو مزيج خطي من المتجهات الأساسية.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن المتجهات مأخوذة بترتيب معين. قواعد - هاتان قاعدتان مختلفتان تمامًا! كما يقولون، لا يمكنك استبدال إصبع يدك اليسرى بدلاً من إصبع يدك اليمنى.

لقد اكتشفنا الأساس، ولكن لا يكفي تعيين شبكة إحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ النواقل حرة وتتجول في جميع أنحاء الطائرة بأكملها. إذًا كيف يمكنك تعيين إحداثيات لتلك البقع الصغيرة القذرة على الطاولة المتبقية من عطلة نهاية الأسبوع الجامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. ومثل هذا المعلم هو نقطة مألوفة لدى الجميع - أصل الإحداثيات. دعونا نفهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمىلقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام الإحداثيات المستطيل والأساس المتعامد. وهذه هي الصورة القياسية:

عندما يتحدثون عن نظام الإحداثيات المستطيلة، فغالبًا ما يقصدون الأصل وتنسيق المحاور والقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام الإحداثيات المستطيل" في محرك البحث، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على المستوى.

من ناحية أخرى، يبدو أنه يمكن تعريف نظام الإحداثيات المستطيل بشكل كامل من حيث الأساس المتعامد. وهذا صحيح تقريبا. الصياغة هي كما يلي:

أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات المستطيلة الديكارتية . وهذا هو، نظام الإحداثيات المستطيلة قطعاًيتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهين متعامدين للوحدة. ولهذا السبب ترى الرسم الذي قدمته أعلاه مشاكل هندسيةفي كثير من الأحيان (ولكن ليس دائمًا) يتم رسم المتجهات ومحاور الإحداثيات.

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك باستخدام نقطة (الأصل) وأساس متعامد أي نقطة على الطائرة وأي ناقل على متن الطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. بالمعنى المجازي، "كل شيء على متن الطائرة يمكن ترقيمه."

هل المتجهات الإحداثية مطلوبة لتكون وحدة؟ لا، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير الصفر. خذ بعين الاعتبار نقطة ومتجهين متعامدين بطول عشوائي غير صفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يتم تحديد أصل الإحداثيات مع المتجهات بواسطة شبكة إحداثيات، وأي نقطة على المستوى، أي متجه له إحداثياته ​​على أساس معين. على سبيل المثال، أو. الإزعاج الواضح هو أن المتجهات الإحداثية على العموملها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي الوحدة، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد، وكذلك أدناه في القواعد المتقاربة للمستوى والفضاء، يتم اعتبار الوحدات على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال، وحدة واحدة على طول المحور السيني تحتوي على 4 سم، ووحدة واحدة على طول المحور الإحداثي تحتوي على 2 سم. هذه المعلومات كافية، إذا لزم الأمر، لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة".

والسؤال الثاني، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل، هو هل قياس الزاوية بين متجهات الأساس يساوي 90 درجة؟ لا! وكما ينص التعريف، يجب أن تكون المتجهات الأساسية فقط غير خطية. وفقا لذلك، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء ما عدا 0 و 180 درجة.

نقطة على الطائرة تسمى أصل، و غير خطيةثلاثة أبعاد، ، تعيين نظام إحداثيات الطائرة :

في بعض الأحيان يتم استدعاء نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلنظام. كأمثلة، يظهر الرسم النقاط والمتجهات:

كما تفهم، فإن نظام الإحداثيات المتقاربة هو أقل ملاءمة؛ ولا تعمل فيه صيغ أطوال المتجهات والقطاعات، التي ناقشناها في الجزء الثاني من الدرس؛ ناقلات للدمى، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة المنتج العددي للمتجهات. لكن قواعد إضافة المتجهات وضرب المتجه برقم، وصيغ تقسيم القطعة في هذه العلاقة، بالإضافة إلى بعض أنواع المشكلات الأخرى التي سننظر فيها قريبًا، هي قواعد صالحة.

والاستنتاج هو أن الحالة الخاصة الأكثر ملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة هي النظام الديكارتي المستطيل. لهذا السبب عليك في أغلب الأحيان رؤيتها يا عزيزتي. ...ومع ذلك، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي تكون فيها الزاوية المائلة (أو زاوية أخرى، على سبيل المثال) القطبية) نظام الإحداثيات. وقد يحب البشر مثل هذه الأنظمة =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. جميع المسائل في هذا الدرس صالحة لكل من نظام الإحداثيات المستطيل والحالة العامة. لا يوجد شيء معقد هنا؛ جميع المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من ناقلات الطائرة؟

شيء نموذجي. من أجل اثنين من ناقلات الطائرة إذا كانت على خط واحد، فمن الضروري والكافي أن تكون إحداثياتها المقابلة متناسبةفي الأساس، هذا عبارة عن تفصيل تنسيقي تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل تشكل المتجهات أساسًا؟ ?

حل:
أ) دعونا نعرف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب، بحيث يتم استيفاء المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "المرنة" من تطبيق هذه القاعدة، والتي تعمل بشكل جيد في الممارسة العملية. الفكرة هي تكوين النسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

لنقم بعمل نسبة من نسب الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

دعونا نختصر:
وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة، وبالتالي،

يمكن إجراء العلاقة بالعكس، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي، يمكنك استخدام حقيقة أن المتجهات الخطية المتداخلة يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في هذه الحالة، تحدث المساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). نحن نفحص المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك، ومن المعادلة الثانية يتبع ذلك، مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي، فإن الإحداثيات المقابلة للمتجهات ليست متناسبة.

خاتمة: المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو النسخة المبسطة من الحل كما يلي:

لنقم بعمل نسبة من الإحداثيات المقابلة للمتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة لا يتم رفض هذا الخيار من قبل المراجعين، ولكن تنشأ مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات تساوي الصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيفية العمل من خلال التناسب هنا؟ (في الواقع، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

مثال إبداعي صغير ل قرار مستقل:

مثال 2

عند أي قيمة للمعلمة توجد المتجهات هل سيكونون على خط واحد؟

في حل العينة، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة للتحقق من وجود علاقة خطية متداخلة بين المتجهات، فلننظم معرفتنا ونضيفها كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهين مستويين، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست على خط مستقيم؛

+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات غير صفر.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) المتجهات تعتمد خطيا؛
2) المتجهات لا تشكل الأساس؛
3) المتجهات على خط واحد.
4) يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي صفر.

أتمنى حقًا أن تكون قد فهمت بالفعل جميع المصطلحات والبيانات التي واجهتها.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون على خطية واحدة فقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر:. لتطبيق هذه الميزة، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المحددات.

دعونا نقررمثال 1 بالطريقة الثانية:

أ) دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد.

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل ذو النسب.

وبمساعدة المادة التي تم دراستها، من الممكن ليس فقط إثبات العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات، ولكن أيضًا إثبات توازي المقاطع والخطوط المستقيمة. دعونا نفكر في بعض المشاكل المتعلقة بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل: ليست هناك حاجة لإنشاء رسم في المشكلة، حيث أن الحل سيكون تحليليًا بحتًا. لنتذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي الذي تكون أضالعه المتقابلة متوازية في أزواج .

ولذلك لا بد من إثبات:
1) التوازي بين الجانبين المتقابلين و؛
2) التوازي بين الجانبين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("حسب المدرسة" - ناقلات متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا، ولكن من الأفضل إضفاء الطابع الرسمي على القرار بشكل واضح، مع الترتيب. لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، وهو ما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد، و.

خاتمة: الضلعان المتقابلان في الشكل الرباعي متوازيان في أزواج، مما يعني أنه متوازي أضلاع بحكم التعريف. Q.E.D.

المزيد من الشخصيات الجيدة والمختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

للحصول على صياغة أكثر صرامة للدليل، من الأفضل، بالطبع، الحصول على تعريف شبه منحرف، ولكن يكفي أن نتذكر ببساطة كيف يبدو.

هذه مهمة عليك حلها بنفسك. الحل الكاملفي نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات الفضائية؟

القاعدة مشابهة جدا. لكي يكون متجهان فضائيان على خط واحد، من الضروري والكافي أن تكون إحداثياتهما المقابلة متناسبة.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:

أ) ؛
ب)
الخامس)

حل:
أ) دعونا نتحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

ليس لدى النظام حل، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

يتم إضفاء الطابع الرسمي على "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المتناظرة غير متناسبة، مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم.

إجابة:المتجهات ليست على خط واحد.

ب-ج) هذه نقاط للقرار المستقل. جربه بطريقتين.

توجد طريقة للتحقق من العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات المكانية من خلال محدد من الدرجة الثالثة؛ وقد تم تناول هذه الطريقة في المقالة منتج متجه من المتجهات.

وكما هو الحال في الحالة المستوية، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة توازي الأجزاء المكانية والخطوط المستقيمة.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات التقاربي

العديد من الأنماط التي درسناها على المستوى ستكون صالحة للفضاء. حاولت التقليل من الملاحظات النظرية، حيث أن حصة الأسد من المعلومات قد تم مضغها بالفعل. لكن أنصحك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن، بدلًا من سطح مكتب الكمبيوتر، نستكشف الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولا، دعونا ننشئ أساسها. شخص ما الآن في الداخل، وآخر في الخارج، ولكن على أي حال، لا يمكننا الهروب من ثلاثة أبعاد: العرض والطول والارتفاع. لذلك، لبناء الأساس سوف يستغرق ثلاثة المتجهات المكانية. واحد أو اثنين من المتجهات لا يكفي، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالإحماء على أصابعنا. من فضلك ارفع يدك وانشرها جوانب مختلفة الإبهام والسبابة والإصبع الأوسط. ستكون هذه متجهات، وتبدو في اتجاهات مختلفة، ولها أطوال مختلفة، ولها زوايا مختلفة فيما بينها. تهانينا، أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد جاهز! بالمناسبة، ليست هناك حاجة لإثبات ذلك للمعلمين، مهما لويت أصابعك بقوة، لكن لا مفر من التعريفات =)

وبعد ذلك دعونا نسأل أنفسنا سؤالاً مهماً: هل تشكل أي ناقلات ثلاثة أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد؟؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع بقوة على الجزء العلوي من مكتب الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة نواقل في نفس المستوى، وبشكل تقريبي، فقدنا أحد الأبعاد - الارتفاع. هذه النواقل هي متحد المستوىومن الواضح تمامًا أنه لم يتم إنشاء أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تجدر الإشارة إلى أن المتجهات المستوية ليس من الضروري أن تقع في نفس المستوى، بل يمكن أن تكون في مستويات متوازية (فقط لا تفعل هذا بأصابعك، فقط سلفادور دالي هو من فعل هذا =)).

تعريف: تسمى المتجهات متحد المستوى، إذا كان هناك مستوى موازٍ له. ومن المنطقي أن نضيف هنا أنه إذا لم يكن هذا المستوى موجودًا، فلن تكون المتجهات متحدة المستوى.

ثلاثة نواقل مستوية تعتمد دائمًا خطيًاأي أنه يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. للتبسيط، دعونا نتخيل مرة أخرى أنهما يقعان في نفس المستوى. أولاً، المتجهات ليست مستوية فحسب، بل يمكن أيضًا أن تكون على خط واحد، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية، على سبيل المثال، إذا لم تكن المتجهات على خط واحد، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من المواد الموجودة في القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًاأي أنه لا يتم التعبير عنهما بأي شكل من الأشكال من خلال بعضهما البعض. ومن الواضح أن هذه المتجهات فقط هي التي يمكنها تشكيل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعادتسمى ثلاثية من المتجهات المستقلة خطياً (غير متحدة المستوى)، اتخذت في ترتيب معينوأي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةمتحللة على أساس معين، أين هي إحداثيات المتجه في هذا الأساس

دعني أذكرك أنه يمكننا أيضًا القول إن المتجه ممثل في الصورة تركيبة خطيةناقلات الأساس

يتم تقديم مفهوم نظام الإحداثيات بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال في الحالة المستوية؛ ويكفي وجود نقطة واحدة وأي ثلاثة نواقل مستقلة خطيًا:

أصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت في ترتيب معين، تعيين نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالطبع، شبكة الإحداثيات "مائلة" وغير مريحة، ولكن مع ذلك، فإن نظام الإحداثيات المبني يسمح لنا بذلك قطعاًتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. كما هو الحال مع المستوى، فإن بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل لن تعمل في نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة، كما يخمن الجميع، هي نظام إحداثيات الفضاء المستطيل:

نقطة في الفضاء تسمى أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات الفضائية المستطيلة الديكارتية . صورة مألوفة:

قبل الانتقال إلى المهام العملية، دعونا ننظم المعلومات مرة أخرى:

بالنسبة لثلاثة متجهات فضائية، تكون العبارات التالية متكافئة:
1) المتجهات مستقلة خطياً؛
2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست مستوية؛
4) لا يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يختلف عن الصفر.

أعتقد أن التصريحات المعاكسة مفهومة.

يتم التحقق تقليديًا من الاعتماد الخطي/استقلال المتجهات الفضائية باستخدام المحدد (النقطة 5). ستكون المهام العملية المتبقية ذات طبيعة جبرية واضحة. لقد حان الوقت لتعليق عصا الهندسة وممارسة مضرب البيسبول للجبر الخطي:

ثلاثة ناقلات للفضاءتكون مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر: .

أود أن ألفت انتباهكم إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة، ولكن أيضًا في الصفوف (لن تتغير قيمة المحدد بسبب هذا - راجع خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا قليلاً طرق حساب المحددات، أو ربما ليس لديهم فهم يذكر لها على الإطلاق، أوصي بأحد أقدم دروسي: كيفية حساب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد:

حل: في الواقع، الحل بأكمله يكمن في حساب المحدد.

أ) لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات (يتم الكشف عن المحدد في السطر الأول):

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (وليست متحدة المستوى) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابة: هذه المتجهات تشكل الأساس

ب) هذه نقطة للقرار المستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

هناك أيضًا مهام إبداعية:

مثال 7

عند أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات مستوية؟

حل: تكون المتجهات مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي الصفر:

في الأساس، تحتاج إلى حل معادلة ذات محدد. نحن ننقض على الأصفار مثل الطائرات الورقية على الجربوع - من الأفضل فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

نقوم بإجراء مزيد من التبسيط ونقلل الأمر إلى أبسط الأمور معادلة خط مستقيم:

إجابة: في

من السهل التحقق من ذلك؛ للقيام بذلك، عليك التعويض بالقيمة الناتجة في المحدد الأصلي والتأكد من ذلك ، فتحه مرة أخرى.

في الختام، سننظر في مشكلة نموذجية أخرى، وهي ذات طبيعة جبرية ويتم تضمينها تقليديًا في مقرر الجبر الخطي. إنه أمر شائع جدًا لدرجة أنه يستحق موضوعًا خاصًا به:

أثبت أن 3 نواقل تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد
وأوجد إحداثيات المتجه الرابع على هذا الأساس

مثال 8

يتم إعطاء المتجهات. بيّن أن المتجهات تشكل أساسًا في فضاء ثلاثي الأبعاد وأوجد إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

حل: أولا، دعونا نتعامل مع هذه الحالة. حسب الشرط، يتم إعطاء أربعة متجهات، وكما ترون، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو هذا الأساس لا يهمنا. والشيء التالي مثير للاهتمام: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. وتتوافق المرحلة الأولى تمامًا مع حل المثال 6، ومن الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا حقًا:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

! مهم : إحداثيات المتجهات بالضرورةاكتب إلى أعمدةالمحدد، وليس في السلاسل. خلاف ذلك، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافية.

يسمى نظام المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك أرقام يختلف واحد منها على الأقل عن الصفر، بحيث تكون المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

إذا تم استيفاء هذه المساواة فقط في حالة الكل، فسيتم استدعاء نظام المتجهات مستقل خطيا.

نظرية.سوف يقوم نظام المتجهات تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد متجهاته على الأقل عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى.

مثال 1.متعدد الحدود عبارة عن مزيج خطي من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلاً خطيًا، نظرًا لأن https متعدد الحدود: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

مثال 2.نظام المصفوفة، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> مستقل خطيًا، نظرًا لأن المجموعة الخطية تساوي مصفوفة صفرية فقط في حالة https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> يعتمد خطياً.

حل.

لنقم بعمل مزيج خطي من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" الارتفاع = "22">.

وبمساواة نفس الإحداثيات للمتجهات المتساوية، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

أخيرا وصلنا

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد من نوعه، لذا فإن المجموعة الخطية من هذه المتجهات تساوي الصفر فقط في الحالة التي تكون فيها جميع المعاملات مساوية للصفر. لذلك، فإن نظام المتجهات هذا مستقل خطيًا.

مثال 4.المتجهات مستقلة خطياً. كيف ستكون أنظمة المتجهات؟

أ).;

ب).?

حل.

أ).لنقم بعمل تركيبة خطية ونساويها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في الفضاء الخطي، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا، فإن المعاملات عند يجب أن تكون مساوية للصفر، على سبيل المثال..gif" width="12" height="23 src=">

نظام المعادلات الناتج لديه حل تافه فريد من نوعه .

منذ المساواة (*) يتم تنفيذه فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - مستقل خطياً؛

ب).دعونا نجعل المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

وبتطبيق المنطق نفسه نحصل على

حل نظام المعادلات بطريقة غاوس نحصل عليه

أو

النظام الأخير لديه عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. وبالتالي، لا يوجد مجموعة صفر من المعاملات التي تحمل المساواة (**) . وبالتالي فإن نظام المتجهات - تعتمد خطيا.

مثال 5نظام المتجهات مستقل خطيًا، ونظام المتجهات مستقل خطيًا..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع، عند ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دعونا نشير .

نحن نحصل

مشاكل للحل المستقل (في الفصول الدراسية)

1. النظام الذي يحتوي على ناقل صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام يتكون من ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا، أ = 0.

3. يعتمد النظام الذي يتكون من متجهين خطيًا فقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي يتم الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق الضرب برقم).

4. إذا قمت بإضافة متجه إلى نظام يعتمد خطيا، فستحصل على نظام يعتمد خطيا.

5. إذا تمت إزالة متجه من نظام مستقل خطيا، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلا خطيا.

6. إذا كان النظام سمستقلة خطيًا، ولكنها تصبح معتمدة خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بيتم التعبير عنها خطيًا من خلال ناقلات النظام س.

ج).نظام المصفوفات في فضاء المصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام المتجهات أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيا. إثبات الاستقلال الخطي لأنظمة المتجهات التالية:

أ).أ+ب، ب، ج.

ب).أ+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–عدد التعسفي

ج).أ+ب، أ+ج، ب+ج.

11. يترك أ،ب،ج– ثلاثة نواقل على المستوى يمكن أن يتكون منها المثلث . هل ستكون هذه المتجهات معتمدة خطيًا؟

12. يتم إعطاء ناقلين أ1=(1، 2، 3، 4)،أ2=(0، 0، 0، 1). أوجد متجهين آخرين رباعيي الأبعاد a3 وa4حتى يتمكن النظام أ1,أ2,a3,a4كانت مستقلة خطيا .

التعريف 1. يسمى نظام المتجهات معتمدًا خطيًا إذا كان من الممكن تمثيل أحد ناقلات النظام كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية للنظام، ومستقل خطيًا - خلاف ذلك.

تعريف 1. يسمى نظام المتجهات معتمدًا خطيًا إذا كان هناك أرقام مع 1 , مع 2 , …, مع k، لا تساوي كلها الصفر، بحيث يكون الجمع الخطي للمتجهات ذات المعاملات المعطاة مساويًا للمتجه الصفري: =، وإلا فإن النظام يسمى مستقل خطيًا.

دعونا نبين أن هذه التعريفات متكافئة.

دع التعريف 1 يكون راضيا، أي. أحد متجهات النظام يساوي مجموعة خطية من المتجهات الأخرى:

إن المجموعة الخطية لنظام من المتجهات تساوي المتجه الصفري، وليس كل معاملات هذه المجموعة تساوي الصفر، أي. التعريف 1´ راضٍ.

دع التعريف 1' يصمد. مجموعة خطية من نظام من المتجهات تساوي ، وليس كل معاملات المجموعة تساوي الصفر، على سبيل المثال، معاملات المتجه.

لقد قدمنا ​​أحد متجهات النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى، أي. التعريف 1 راضي.

التعريف 2. يسمى ناقل الوحدة، أو ناقل الوحدة ن ناقلات الأبعاد، أيها أناالإحداثي -th يساوي واحدًا، والباقي صفر.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

النظرية 1. ناقلات وحدة مختلفة نالفضاء الأبعاد مستقلة خطيا.

دليل.دع المجموعة الخطية لهذه المتجهات ذات المعاملات العشوائية تساوي المتجه الصفري.

ويترتب على هذه المساواة أن جميع المعاملات تساوي الصفر. حصلنا على التناقض.

كل ناقل ن-مساحة الأبعاد ā (أ 1 , أ 2 , ..., أ n) يمكن تمثيلها كمجموعة خطية من ناقلات الوحدة مع معاملات تساوي إحداثيات المتجهات

النظرية 2. إذا كان نظام المتجهات يحتوي على متجه صفر، فهو يعتمد خطيا.

دليل.لنفترض وجود نظام من المتجهات وأحد المتجهات هو صفر، على سبيل المثال = . بعد ذلك، باستخدام متجهات هذا النظام، يمكنك إنشاء مجموعة خطية تساوي المتجه الصفري، ولن تكون جميع المعاملات صفرًا:

ولذلك، فإن النظام يعتمد خطيا.

النظرية 3. إذا كان هناك نظام فرعي من نظام المتجهات يعتمد خطيا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيا.

دليل.يتم إعطاء نظام من المتجهات. لنفترض أن النظام يعتمد خطيا، أي. هناك أرقام مع 1 , مع 2 , …, مع ص ، لا تساوي كلها صفرًا، بحيث = .ثم

اتضح أن المجموعة الخطية لمتجهات النظام بأكمله تساوي وليس كل معاملات هذه المجموعة تساوي الصفر. وبالتالي، فإن نظام المتجهات يعتمد خطيا.

عاقبة.إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا، فإن أيًا من أنظمته الفرعية يكون أيضًا مستقلاً خطيًا.

دليل.

لنفترض العكس، أي. بعض الأنظمة الفرعية تعتمد خطيا. ويترتب على النظرية أن النظام بأكمله يعتمد خطيا. لقد وصلنا إلى التناقض.

النظرية 4 (نظرية شتاينتز).إذا كان كل من المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات و م>ن، فإن نظام المتجهات يعتمد خطيًا.

عاقبة.في أي نظام من المتجهات ذات الأبعاد n، لا يمكن أن يكون هناك أكثر من n من المتجهات المستقلة خطيًا.

دليل.كل نيتم التعبير عن المتجه ذو الأبعاد كمجموعة خطية من نواقل الوحدات n. لذلك، إذا كان النظام يحتوي على مناقلات و م>نإذن، وفقًا للنظرية، هذا النظام يعتمد خطيًا.

التعبير عن النموذج مُسَمًّى مزيج خطي من المتجهات أ 1 , أ 2 ,...,أ نمع احتمالات π 1, π 2 ,...,π ن.

تحديد الاعتماد الخطي لنظام المتجهات

نظام المتجهات أ 1 , أ 2 ,...,أ نمُسَمًّى تعتمد خطيا, إذا كانت هناك مجموعة أرقام غير صفرية π 1, π 2 ,...,π ن, حيث الجمع الخطي من المتجهات روس 1 *أ 1 + 2 *أ 2 +...+ ﷼ ن *أ نيساوي المتجه الصفريأي نظام المعادلات: لديه حل غير الصفر.
مجموعة من الأرقام π 1, π 2 ,...,π ن يكون غير صفر إذا كان واحدًا على الأقل من الأرقام π 1, π 2 ,...,π ن مختلفة عن الصفر .

تحديد الاستقلال الخطي لنظام المتجهات

نظام المتجهات أ 1 , أ 2 ,...,أ نمُسَمًّى مستقل خطيا، إذا كان الجمع الخطي لهذه المتجهات روس 1 *أ 1 + 2 *أ 2 +...+ ﷼ ن *أ نيساوي المتجه الصفري فقط لمجموعة صفرية من الأرقام π 1, π 2 ,...,π ن أي نظام المعادلات: أ 1 × 1 + أ 2 × 2 +...+ أ ن × ن =Θلديه حل صفر فريد.

مثال 29.1

تحقق مما إذا كان نظام المتجهات يعتمد خطيًا

حل:

1. نحن نؤلف نظام المعادلات:

2. نحن نحلها باستخدام طريقة غاوس. وترد تحويلات جوردانو للنظام في الجدول 29.1. عند الحساب لا يتم تدوين الأطراف اليمنى من النظام لأنها تساوي صفراً ولا تتغير أثناء تحويلات الأردن.

3. من الصفوف الثلاثة الأخيرة من الجدول اكتب نظامًا تم حله يعادل النظام الأصلينظام:

4. نحن نحصل قرار مشتركأنظمة:

5. بعد أن قمت بتعيين قيمة المتغير الحر x 3 =1 حسب تقديرك، نحصل على حل معين غير الصفرس = (-3،2،1).

الإجابة: وبالتالي، بالنسبة لمجموعة أرقام غير صفرية (-3,2,1)، فإن المجموعة الخطية للمتجهات تساوي المتجه الصفري -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. لذلك، نظام ناقلات يعتمد خطيا.

خصائص أنظمة المتجهات

عقار (1)
إذا كان نظام من المتجهات يعتمد خطيًا، فسيتم توسيع أحد المتجهات على الأقل بدلالة المتجهات الأخرى، وعلى العكس من ذلك، إذا تم توسيع أحد المتجهات على الأقل من ناقلات النظام بدلالة المتجهات الأخرى، فسيتم توسيع نظام المتجهات يعتمد خطيا.

عقار (2)
إذا كان أي نظام فرعي من المتجهات يعتمد خطيًا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

عقار (3)
إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا، فإن أيًا من أنظمته الفرعية يكون مستقلاً خطيًا.

عقار (4)
أي نظام من المتجهات يحتوي على ناقل صفري يعتمد خطيًا.

عقار (5)
يعتمد نظام المتجهات ذات الأبعاد m دائمًا خطيًا إذا كان عدد المتجهات n أكبر من أبعادها (n>m)

أساس نظام المتجهات

أساس نظام المتجهات A 1 , A 2 ,..., A n مثل هذا النظام الفرعي B 1 , B 2 ,...,B r يسمى(كل من المتجهات B 1,B 2,...,B r هو أحد المتجهات A 1, A 2,..., A n)، والذي يحقق الشروط التالية:
1. ب 1 ,ب 2 ,...,ب صنظام مستقل خطيا من المتجهات؛
2. أي ناقلأ ي النظام A 1 , A 2 ,..., يتم التعبير عن A n خطيًا من خلال المتجهات B 1 , B 2 ,..., B r

ص— عدد المتجهات المدرجة في الأساس.

نظرية 29.1 على أساس الوحدة لنظام المتجهات.

إذا كان نظام من المتجهات ذات الأبعاد m يحتوي على m ناقلات وحدات مختلفة E 1 E 2 ,..., E m ، فإنها تشكل أساس النظام.

خوارزمية لإيجاد أساس نظام المتجهات

من أجل العثور على أساس نظام المتجهات A 1 ,A 2 ,...,A n من الضروري:

• إنشاء نظام ناقلات المقابلة نظام متجانسالمعادلات أ 1 × 1 + أ 2 × 2 +...+ أ ن × ن =Θ
• جلب هذا النظام

الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات

تعريفات أنظمة المتجهات المستقلة والمعتمدة خطياً

التعريف 22

دعونا نحصل على نظام من المتجهات n ومجموعة من الأرقام
، ثم

(11)

يسمى مزيج خطي من نظام معين من المتجهات مع مجموعة معينة من المعاملات.

التعريف 23

نظام المتجهات
يسمى تابعًا خطيًا إذا كان هناك مجموعة من المعاملات
، والتي لا يساوي واحد منها على الأقل الصفر، وأن المجموعة الخطية لنظام معين من المتجهات مع مجموعة المعاملات هذه تساوي المتجه الصفري:

يترك
، ثم

التعريف 24 (من خلال تمثيل أحد ناقلات النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى)

نظام المتجهات
يسمى معتمدًا خطيًا إذا كان من الممكن تمثيل واحد على الأقل من متجهات هذا النظام كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية لهذا النظام.

البيان 3

التعريفان 23 و24 متساويان.

التعريف 25(عبر تركيبة خطية صفرية)

نظام المتجهات
يسمى مستقلاً خطيًا إذا كان الجمع الخطي الصفري لهذا النظام ممكنًا للجميع فقط
يساوي الصفر.

التعريف 26(نظرًا لاستحالة تمثيل أحد متجهات النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى)

نظام المتجهات
يُسمى مستقلاً خطيًا إذا لم يكن من الممكن تمثيل أحد متجهات هذا النظام كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى لهذا النظام.

خصائص أنظمة المتجهات المستقلة والمعتمدة خطياً

نظرية 2 (ناقل صفر في نظام المتجهات)

إذا كان نظام المتجهات يحتوي على ناقل صفر، فإن النظام يعتمد خطيًا.

 دع
، ثم .

نحن نحصل
وبالتالي، من خلال تعريف نظام المتجهات المعتمد خطيًا من خلال مجموعة خطية صفرية (12) النظام يعتمد خطيا. 

نظرية 3 (نظام فرعي تابع في نظام متجه)

إذا كان نظام المتجهات يحتوي على نظام فرعي يعتمد خطيًا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

 دع
- النظام الفرعي المعتمد خطيا
، ومن بينها واحد على الأقل لا يساوي الصفر:

وهذا يعني، حسب التعريف 23، أن النظام يعتمد خطيًا. 

النظرية 4

أي نظام فرعي لنظام مستقل خطيًا يكون مستقلاً خطيًا.

 من العكس. دع النظام يكون مستقلاً خطيًا وله نظام فرعي يعتمد خطيًا. ولكن بعد ذلك، وفقًا للنظرية 3، سيكون النظام بأكمله أيضًا معتمدًا خطيًا. تناقض. وبالتالي، لا يمكن للنظام الفرعي لنظام مستقل خطيًا أن يعتمد خطيًا. 

المعنى الهندسي للاعتماد الخطي واستقلال نظام المتجهات

النظرية 5

اثنين من المتجهات و تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا
.

 ضروري.

و - تعتمد خطيا
أن الشرط مستوفي
. ثم
، أي.
.

قدرة.

تعتمد خطيا. 

النتيجة الطبيعية 5.1

المتجه الصفري على خط واحد مع أي متجه

النتيجة الطبيعية 5.2

لكي يكون المتجهان مستقلين خطيًا، فمن الضروري والكافي أن يكونا لم يكن على خط مستقيم .

النظرية 6

لكي يعتمد نظام مكون من ثلاثة نواقل خطيًا، من الضروري والكافي أن تكون هذه النواقل مستوية .

 ضروري.

- يعتمدان خطيًا، لذلك يمكن تمثيل أحد المتجهات كمجموعة خطية من المتجهين الآخرين.

, (13)

أين
و
. وفقا لقاعدة متوازي الأضلاع هناك قطري متوازي الأضلاع مع الجوانب
لكن متوازي الأضلاع هو شكل مسطح
متحد المستوى
- هي أيضا مستوية.

قدرة.

- متحد المستوى. دعونا نطبق ثلاثة متجهات على النقطة O:

ج

ب`

- تعتمد خطيا 

النتيجة الطبيعية 6.1

المتجه الصفري متحد المستوى لأي زوج من المتجهات.

النتيجة الطبيعية 6.2

من أجل المتجهات
كانت مستقلة خطيًا، فمن الضروري والكافي ألا تكون متحدة المستوى.

النتيجة الطبيعية 6.3

يمكن تمثيل أي متجه للمستوى كمجموعة خطية من أي متجهين غير خطيين على نفس المستوى.

النظرية 7

أي أربعة نواقل في الفضاء تعتمد خطيا .

 دعونا ننظر في 4 حالات:

دعونا نرسم مستوى من خلال المتجهات، ثم مستوى من خلال المتجهات ومستوى من خلال المتجهات. ثم نرسم مستويات تمر بالنقطة D، موازية لأزواج المتجهات؛ ; على التوالى. نحن نبني متوازي السطوح على طول خطوط تقاطع المستويات أو.ب. 1 د 1 ج 1 اي بي دي سي.

دعونا نفكر أو.ب. 1 د 1 ج 1 – متوازي الأضلاع بالبناء وفق قاعدة متوازي الأضلاع
.

خذ بعين الاعتبار OADD 1 – متوازي الأضلاع (من خاصية متوازي السطوح)
، ثم

معادلة EMBED.3 .

بواسطة النظرية 1
مثل ذلك . ثم
، وبحكم التعريف 24 فإن نظام المتجهات يعتمد خطيًا. 

النتيجة الطبيعية 7.1

مجموع ثلاثة نواقل غير مستوية في الفضاء هو متجه يتطابق مع قطري متوازي السطوح المبني على هذه المتجهات الثلاثة المطبقة على أصل مشترك، وأصل مجموع المتجه يتطابق مع الأصل المشترك لهذه المتجهات الثلاثة.

النتيجة الطبيعية 7.2

إذا أخذنا 3 متجهات غير متحدة المستوى في الفضاء، فيمكن تحليل أي متجه لهذا الفضاء إلى مجموعة خطية من هذه المتجهات الثلاثة.