الحل العام لنظام غير متجانس. الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية حل الأنظمة المتجانسة 0

تسمى المعادلة الخطية متجانسإذا كان حده الحر يساوي صفراً، وغير متجانس فيما عدا ذلك. يسمى النظام الذي يتكون من معادلات متجانسة متجانسة وله الشكل العام:

ومن الواضح أن كل نظام متجانس ثابت وله حل صفر (تافه). لذلك، عند تطبيقها على أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية، غالبًا ما يتعين على المرء البحث عن إجابة لسؤال وجود حلول غير صفرية. يمكن صياغة الإجابة على هذا السؤال على النحو التالي النظرية.

نظرية . نظام متجانس من المعادلات الخطية يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كانت رتبته أقل من عدد المجهولين .

دليل: لنفترض أن النظام الذي رتبته متساوية له حل غير الصفر. ومن الواضح أنه لا يتجاوز. في حالة أن النظام لديه حل فريد. بما أن نظام المعادلات الخطية المتجانسة دائمًا ما يكون حله صفرًا، فإن الحل الصفري سيكون هذا الحل الفريد. وبالتالي، فإن الحلول غير الصفرية ممكنة فقط لـ .

النتيجة الطبيعية 1 : نظام المعادلات المتجانس، الذي يكون فيه عدد المعادلات أقل من عدد المجهول، يكون حله دائمًا غير الصفر.

دليل: إذا كان هناك نظام من المعادلات فإن رتبة النظام لا تتجاوز عدد المعادلات، أي. . وبذلك يكون الشرط قد تحقق، وبالتالي يكون للنظام حل غير الصفر.

النتيجة الطبيعية 2 : نظام متجانس من المعادلات ذات المجهولات يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كان محدده صفرًا.

دليل: لنفترض أن نظام المعادلات الخطية المتجانسة، الذي تحتوي مصفوفته مع المحدد، على حل غير صفري. ثم حسب النظرية المثبتة، وهذا يعني أن المصفوفة مفردة، أي. .

نظرية كرونيكر-كابيلي: تكون SLU متسقة إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة النظام مساوية لرتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام. يسمى النظام الخاص بك متسقًا إذا كان لديه حل واحد على الأقل.

نظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية.

يسمى نظام المعادلات الخطية m مع المتغيرات n نظام المعادلات الخطية المتجانسة إذا كانت جميع الحدود الحرة تساوي 0. نظام المعادلات الخطية المتجانسة يكون دائمًا متسقًا، لأن دائمًا ما يكون لديه حل صفري على الأقل. نظام المعادلات الخطية المتجانسة يكون حله غير صفري إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة معاملاته للمتغيرات أقل من عدد المتغيرات، أي. للرتبة أ (ن. أي مجموعة خطية

حلول نظام لين متجانس. ur-ii هو أيضًا حل لهذا النظام.

نظام من الحلول الخطية المستقلة e1, e2,...,еk يسمى أساسي إذا كان كل حل في النظام عبارة عن مجموعة خطية من الحلول. النظرية: إذا كانت رتبة r لمصفوفة المعاملات لمتغيرات نظام المعادلات المتجانسة الخطية أقل من عدد المتغيرات n، فإن كل نظام أساسي من الحلول للنظام يتكون من حلول n-r. وبالتالي الحل العام للنظام الخطي. يوم واحد ur-th له الشكل: c1e1+c2e2+...+skek، حيث e1، e2،...، ek هو أي نظام أساسي للحلول، c1، c2،...،ck أرقام عشوائية و k=n-r. الحل العام لنظام المعادلات الخطية m مع المتغيرات n يساوي المجموع

الحل العام للنظام المقابل له متجانس. المعادلات الخطية والحل الخاص التعسفي لهذا النظام.

7. المساحات الخطية. الفضاءات الجزئية. الأساس، البعد. قذيفة خطية. يسمى الفضاء الخطي ن الأبعاد، إذا كان يحتوي على نظام من المتجهات المستقلة خطيًا، وأي نظام يحتوي على عدد أكبر من المتجهات يعتمد خطيًا. الرقم يسمى البعد (عدد الأبعاد)الفضاء الخطي ويشار إليه بـ . بمعنى آخر، بُعد الفضاء هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا لهذا الفضاء. إذا كان هذا الرقم موجودا، فإن الفضاء يسمى الفضاء محدود الأبعاد. إذا كان هناك، بالنسبة لأي عدد طبيعي n، نظام في الفضاء يتكون من نواقل مستقلة خطيًا، فإن هذا الفضاء يسمى لانهائي الأبعاد (مكتوب: ). في ما يلي، ما لم ينص على خلاف ذلك، سيتم النظر في المساحات محدودة الأبعاد.

أساس الفضاء الخطي ذو الأبعاد n هو مجموعة مرتبة من المتجهات المستقلة خطيًا ( ناقلات الأساس).

النظرية 8.1 حول توسيع المتجه من حيث الأساس. إذا كان هو أساس الفضاء الخطي ذو الأبعاد n، فيمكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
علاوة على ذلك، بالطريقة الوحيدة، أي. يتم تحديد المعاملات بشكل فريد.بمعنى آخر، يمكن توسيع أي متجه للفضاء إلى أساس، وعلاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها.

في الواقع، البعد المكاني هو . نظام المتجهات مستقل خطياً (وهذا هو الأساس). بعد إضافة أي متجه إلى الأساس، نحصل على نظام يعتمد خطيًا (نظرًا لأن هذا النظام يتكون من متجهات ذات أبعاد n). باستخدام خاصية 7 ناقلات تعتمد خطيا ومستقلة خطيا، نحصل على نتيجة النظرية.

فرع كالوغا للمؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي

"جامعة موسكو التقنية الحكومية التي تحمل اسم N.E. بومان"

(فرع خاركوف من جامعة موسكو التقنية الحكومية الذي سمي على اسم إن إي بومان)

فلايكوف ن.د.

حل SLAEs متجانسة

المبادئ التوجيهية لإجراء التمارين

في سياق الهندسة التحليلية

كالوغا 2011

أهداف الدرس صفحة 4

صفحة خطة الدرس 4

المعلومات النظرية اللازمة ص5

الجزء العملي ص10

مراقبة إتقان المادة المغطاة ص13

الواجب المنزلي ص14

عدد الساعات: 2

أهداف الدرس:

تنظيم المعرفة النظرية المكتسبة حول أنواع SLAEs وطرق حلها.

اكتساب المهارات في حل SLAEs المتجانسة.

خطة الدرس:

الخطوط العريضة للمواد النظرية.

حل SLAE متجانسة.

أوجد النظام الأساسي للحلول لـ SLAE المتجانس.

أوجد حلاً محددًا لـ SLAE متجانس.

صياغة خوارزمية لحل SLAE متجانسة.

تحقق من واجباتك المنزلية الحالية.

القيام بأعمال التحقق.

تقديم موضوع الندوة القادمة.

تقديم الواجبات المنزلية الحالية.

المعلومات النظرية اللازمة.

رتبة المصفوفة.

مواطنه.رتبة المصفوفة هي الرقم الذي يساوي الحد الأقصى للترتيب بين فروعها غير الصفرية. يتم الإشارة إلى رتبة المصفوفة بواسطة .

إذا كانت المصفوفة المربعة غير مفردة فإن رتبتها تساوي ترتيبها. إذا كانت المصفوفة المربعة مفردة فإن رتبتها أقل من رتبتها.

رتبة المصفوفة القطرية تساوي عدد عناصرها القطرية غير الصفرية.

النظرية.عندما يتم نقل المصفوفة، لا يتغير ترتيبها، أي.
.

النظرية.لا تتغير رتبة المصفوفة مع التحولات الأولية لصفوفها وأعمدتها.

نظرية على أساس طفيفة.

مواطنه.صغير
المصفوفات ويسمى أساسيا إذا تم استيفاء شرطين:

أ) لا يساوي الصفر؛

ب) ترتيبها يساوي رتبة المصفوفة .

مصفوفة قد يكون لها عدة قاصرين أساسيين.

صفوف وأعمدة المصفوفة ، حيث يوجد القاصر الأساسي المحدد، تسمى الأساسية.

النظرية.نظرية على أساس طفيفة. الصفوف (الأعمدة) الأساسية للمصفوفة ، المقابلة لأي من القاصرين أساسها
، مستقلة خطيا. أي صفوف (أعمدة) من المصفوفة ، غير متضمنة
، عبارة عن مجموعات خطية من الصفوف الأساسية (الأعمدة).

النظرية.بالنسبة لأي مصفوفة، فإن رتبتها تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها (الأعمدة) المستقلة خطيًا.

حساب رتبة المصفوفة. طريقة التحولات الأولية.

باستخدام تحويلات الصف الأولية، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى شكل الصف. رتبة مصفوفة الخطوة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية. الأساس فيه هو الصغير، الموجود عند تقاطع الصفوف غير الصفرية مع الأعمدة المقابلة للعناصر غير الصفرية الأولى من اليسار في كل صف من الصفوف.

SLAU. التعاريف الأساسية.

مواطنه.نظام

(15.1)

أعداد تسمى معاملات SLAE. أعداد
تسمى شروط المعادلات الحرة.

يسمى إدخال SLAE في النموذج (15.1) بالإحداثيات.

مواطنه.يسمى SLAE متجانسًا إذا
. وإلا فإنه يسمى غير متجانسة.

مواطنه.حل SLAE هو مجموعة من القيم غير المعروفة بحيث تتحول كل معادلة في النظام إلى هوية عند الاستبدال. يُطلق على أي حل محدد لـ SLAE أيضًا اسم الحل الخاص به.

حل SLAE يعني حل مشكلتين:

معرفة ما إذا كان SLAE لديه حلول؛

البحث عن كافة الحلول إذا كانت موجودة.

مواطنه.يُطلق على SLAE اسم مشترك إذا كان لديه حل واحد على الأقل. وإلا فإنه يسمى غير متوافق.

مواطنه.إذا كان SLAE (15.1) له حل، ووحيد، فيسمى محددًا، وإذا لم يكن الحل فريدًا، فيسمى غير محدد.

مواطنه.إذا كان في المعادلة (15.1)
، SLAE يسمى مربع.

نماذج تسجيل SLAU.

بالإضافة إلى النموذج الإحداثي (15.1)، غالبًا ما تُستخدم سجلات SLAE في تمثيلات أخرى له.

(15.2)

تسمى العلاقة بالشكل المتجه لتدوين SLAE.

إذا أخذنا منتج المصفوفات كأساس، فيمكن كتابة SLAE (15.1) على النحو التالي:

(15.3)

أو
.

يُسمى تدوين SLAE (15.1) بالشكل (15.3) بالمصفوفة.

SLAEs متجانسة.

نظام متجانس
المعادلات الجبرية الخطية مع المجهول هو نظام من النموذج

تكون SLAEs المتجانسة دائمًا متسقة، حيث يوجد دائمًا حل صفري.

معيار وجود الحل غير الصفري.لكي يوجد حل غير صفري لمربع متجانس SLAE، من الضروري والكافي أن تكون مصفوفته مفردة.

النظرية.إذا كانت الأعمدة
,
, …,
هي حلول لـ SLAE متجانسة، فإن أي مجموعة خطية منها هي أيضًا حل لهذا النظام.

عاقبة. إذا كان SLAE المتجانس يحتوي على حل غير صفري، فإنه يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

ومن الطبيعي أن نحاول إيجاد مثل هذه الحلول
,
, …,
الأنظمة بحيث يتم تمثيل أي حل آخر كمجموعة خطية منها، وعلاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها.

مواطنه.أي مجموعة من
أعمدة مستقلة خطيا
,
, …,
، وهي حلول SLAE متجانسة
، أين - عدد المجهولين، و - رتبة مصفوفتها ، يسمى النظام الأساسي للحلول لهذا SLAE المتجانس.

عند دراسة وحل الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية، سنقوم بتثبيت الأساس الصغير في مصفوفة النظام. سوف يتوافق الأساس الثانوي مع أعمدة الأساس، وبالتالي الأساس غير المعروف. سوف نطلق على المجهولين المتبقيين مجانًا.

النظرية.على هيكل الحل العام لSLAE متجانسة. لو
,
, …,
- النظام الأساسي التعسفي لحلول SLAE المتجانسة
، فيمكن تمثيل أي من حلولها في النموذج

أين , …,- بعضها دائم.

الذي - التي. الحل العام لـ SLAE المتجانس له الشكل

الجزء العملي.

فكر في مجموعات الحلول الممكنة للأنواع التالية من SLAEs وتفسيرها الرسومي.

;
;
.

النظر في إمكانية حل هذه الأنظمة باستخدام صيغ كرامر وطريقة المصفوفة.

اشرح جوهر طريقة غاوس.

حل المشاكل التالية.

مثال 1. حل SLAE متجانس. ابحث عن FSR.

.

دعونا نكتب مصفوفة النظام ونختصرها إلى شكل تدريجي.

.

سيكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول. سوف يتكون FSR من
أعمدة.

دعونا نتجاهل خطوط الصفر ونكتب النظام مرة أخرى:

.

سنعتبر أن القاصر الأساسي موجود في الزاوية اليسرى العليا. الذي - التي.
- المجهولة الأساسية، و
- حر. دعونا نعرب
من خلال الحرة
:

;

هيا نضع
.

وأخيراً لدينا:

- تنسيق شكل الإجابة، أو

- شكل مصفوفة الجواب، أو

- الشكل المتجه للإجابة (المتجه - الأعمدة هي أعمدة FSR).

خوارزمية لحل SLAE متجانسة.

أوجد FSR والحل العام للأنظمة التالية:

№2.225(4.39)

. إجابة:

№2.223(2.37)

. إجابة:

№2.227(2.41)

. إجابة:

حل SLAE متجانسة:

. إجابة:

حل SLAE متجانسة:

. إجابة:

عرض موضوع الندوة القادمة.

حل أنظمة المعادلات الخطية غير المتجانسة.

مراقبة إتقان المادة المغطاة.

اختبار العمل 3 - 5 دقائق. يشارك 4 طلاب بأعداد فردية في المجلة ابتداءً من الرقم 10

اتبع الخطوات التالية: ; ;	اتبع الخطوات التالية:
	احسب المحدد:

اتبع الخطوات التالية: غير معرف	اتبع الخطوات التالية:
أوجد المصفوفة العكسية لهذه:	احسب المحدد:

العمل في المنزل:

1. حل المشاكل:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2. العمل من خلال محاضرات في المواضيع التالية:

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAEs). تنسيق، مصفوفة وناقلات أشكال التسجيل. معيار كرونيكر-كابيلي لتوافق SLAEs. SLAEs غير المتجانسة. معيار لوجود محلول غير صفري لـ SLAE متجانس. خصائص حلول SLAE متجانسة. النظام الأساسي لحلول SLAE المتجانسة، نظرية وجودها. النظام الأساسي العادي للحلول. نظرية بنية الحل العام لـ SLAE المتجانسة. نظرية بنية الحل العام لـ SLAE غير المتجانسة.

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي تكون فيه جميع الحدود الحرة مساوية للصفر متجانس :

إن أي نظام متجانس دائمًا ما يكون متسقًا، لأنه كان دائمًا كذلك صفر (تافه ) حل. السؤال الذي يطرح نفسه هو تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يكون للنظام المتجانس حل غير بديهي إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الأساسية أقل من عدد مجاهيلها.

عاقبة. النظام المتجانس المربع له حل غير بديهي إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.تحديد قيم المعلمة l التي يوجد عندها النظام حلول غير بديهية، وإيجاد هذه الحلول:

حل. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي الصفر:

وبالتالي، فإن النظام يكون غير تافه عندما يكون l=3 أو l=2. بالنسبة لـ l=3، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم نترك معادلة واحدة فقط ونفترض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س=ب-أ، أي.

بالنسبة لـ l=2، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الثانوية كأساس:

نحصل على نظام مبسط

ومن هنا نجد ذلك س=ض/4، ص=ض/2. الاعتقاد ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة X 1 وX 2 - حلول لنظام متجانس AX = 0, ثم أي مجموعة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا حلاً لهذا النظام. بالفعل منذ ذلك الحين فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، الذي - التي أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = أ · 0 + ب · 0 = 0. وبسبب هذه الخاصية، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيا ه 1 , ه 2 , إي كتسمى حلول النظام المتجانس النظام الأساسي للحلول نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان من الممكن كتابة الحل العام لهذا النظام كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان هناك نظام متجانس نالمتغيرات، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، الذي - التي ك = ن-ر.

مثال 5.7.أوجد النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات الخطية التالي:

حل. لنجد رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي، فإن مجموعة الحلول لهذا النظام من المعادلات تشكل فضاء فرعي خطي ذو بعد ن-ر= 5 - 2 = 3. لنختار الأساس الصغير

بعد ذلك، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (سيكون الباقي مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (ننقل الباقي، ما يسمى بالمتغيرات الحرة إلى اليمين)، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

الاعتقاد س 3 = أ, س 4 = ب, س 5 = ج، نجد

الاعتقاد أ= 1, ب = ج= 0، نحصل على الحل الأساسي الأول؛ الاعتقاد ب= 1, أ = ج= 0، نحصل على الحل الأساسي الثاني؛ الاعتقاد ج= 1, أ = ب= 0، نحصل على الحل الأساسي الثالث. ونتيجة لذلك، فإن النظام الأساسي الطبيعي للحلول سوف يأخذ الشكل

باستخدام النظام الأساسي، يمكن كتابة الحل العام للنظام المتجانس على النحو التالي:

X = أ 1 + يكون 2 + م 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص الحلول لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية الفأس = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل الفأس = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل AX = 0 والحل الخاص التعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع، اسمحوا ي 0 هو حل خاص تعسفي لنظام غير متجانس، أي. AY 0 = ب، و ي- الحل العام لنظام غير متجانس، أي. AY = ب. بطرح مساواة واحدة من الأخرى، نحصل على
أ(ص-ص 0) = 0، أي ص-ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس=0. لذلك، ص-ص 0 = X، أو ص=ص 0 + X. Q.E.D.

دع النظام غير المتجانس يكون على الشكل AX = B 1 + ب 2 . ومن ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام على النحو X = X 1 + X 2 , حيث الفأس 1 = ب 1 و الفأس 2 = ب 2. تعبر هذه الخاصية عن خاصية عالمية لأي أنظمة خطية بشكل عام (جبرية، تفاضلية، وظيفية، إلخ). في الفيزياء تسمى هذه الخاصية مبدأ التراكب- في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال، في نظرية الدوائر الكهربائية الخطية، يمكن الحصول على التيار في أي دائرة كمجموع جبري للتيارات الناتجة عن كل مصدر طاقة على حدة.

نظام متجانس من المعادلات الخطية الفأس = 0دائما معا. لديها حلول غير تافهة (غير صفرية) إذا ص= رتبة أ< n .

بالنسبة للأنظمة المتجانسة، يتم التعبير عن المتغيرات الأساسية (التي تشكل معاملاتها الثانوية الأساسية) من خلال المتغيرات الحرة بعلاقات النموذج:

ثم ن-رحلول المتجهات المستقلة خطيًا ستكون:

وأي حل آخر هو مزيج خطي منهم. حلول المتجهات تشكيل نظام أساسي طبيعي.

في الفضاء الخطي، تشكل مجموعة الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية فضاء فرعي البعد ن-ر; - أساس هذا الفضاء الفرعي.

نظام مالمعادلات الخطية مع نمجهول(أو، النظام الخطي

هنا س 1 , س 2 , …, س ن أ 11 , أ 12 , …, دقيقة- معاملات النظام - و ب 1 , ب 2 , … بي ام آي جيأنا) وغير معروف ( ي

تم استدعاء النظام (1). متجانسب 1 = ب 2 = … = بي ام= 0)، وإلا - غير متجانسة.

تم استدعاء النظام (1). مربع، إذا كان الرقم ممعادلات تساوي العدد نمجهول.

حلالأنظمة (1) - مجموعة نأعداد ج 1 , ج 2 , …, ج ن، بحيث يتم استبدال كل منهما ج طبدلاً من × طفي النظام (1) يحول جميع معادلاته إلى هويات.

تم استدعاء النظام (1). مشترك غير مشترك

حلول ج 1 (1) , ج 2 (1) , …, ج ن(1) و ج 1 (2) , ج 2 (2) , …, ج ن متنوع

ج 1 (1) = ج 1 (2) , ج 2 (1) = ج 2 (2) , …, ج ن (1) = ج ن (2) .

تأكيد غير مؤكد. إذا كان هناك معادلات أكثر من المجهول، يطلق عليها إعادة تعريف.

حل أنظمة المعادلات الخطية

حل معادلات المصفوفات ~ طريقة غاوس

تنقسم طرق حل أنظمة المعادلات الخطية إلى مجموعتين:

1. طرق دقيقة، وهي خوارزميات محدودة لحساب جذور النظام (حل الأنظمة باستخدام مصفوفة معكوسة، قاعدة كرامر، طريقة غاوس، وما إلى ذلك)،

2. الأساليب التكرارية، والتي تجعل من الممكن الحصول على حل للنظام بدقة معينة من خلال العمليات التكرارية المتقاربة (طريقة التكرار، طريقة Seidel، وما إلى ذلك).

ونظرًا للتقريب الحتمي، فإن نتائج الطرق الدقيقة تقريبية. عند استخدام الطرق التكرارية، يتم إضافة خطأ الطريقة أيضًا.

يعتمد الاستخدام الفعال للطرق التكرارية بشكل كبير على الاختيار الناجح للتقريب الأولي وسرعة تقارب العملية.

حل المعادلات المصفوفية

النظر في النظام نالمعادلات الجبرية الخطية فيما يتعلق نمجهول X 1 , X 2 , …, س ن:

.

(15)

مصفوفة أ، التي تكون أعمدتها معاملات المجهولين المتناظرين، والصفوف هي معاملات المجهولين في المعادلة المقابلة، تسمى مصفوفة النظام; عمود المصفوفة بتسمى عناصرها الأطراف اليمنى لمعادلات النظام مصفوفة الجانب الأيمنأو ببساطة الجانب الأيمن من النظام. مصفوفة العمود X، الذي عناصره المجهول المجهول، يسمى حل النظام.

إذا مصفوفة أ- غير خاص، أي ديت ن e يساوي 0، فإن النظام (13)، أو معادلة المصفوفة (14) المكافئة له، له حل فريد.

في الواقع، بشرط ديت أ ليس متساويا 0 هناك مصفوفة معكوسة أ-1 . ضرب طرفي المعادلة (14) في المصفوفة أ-1 نحصل على:

(16)

الصيغة (16) تعطي حلاً للمعادلة (14) وهي فريدة من نوعها.

من السهل حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام الدالة lsolve.

حل( أ، ب)

يتم إرجاع ناقل الحل سمثل ذلك أوه= ب.

الحجج:

أ- مصفوفة مربعة غير مفردة.

ب- متجه له نفس عدد الصفوف الموجودة في المصفوفة أ .

يوضح الشكل 8 حل نظام من ثلاث معادلات خطية في ثلاثة مجاهيل.

طريقة غاوس

الطريقة الغوسية، وتسمى أيضًا طريقة الحذف الغوسية، تتكون من حقيقة أن النظام (13) يتم اختزاله عن طريق الحذف المتسلسل للمجاهول إلى نظام مكافئ بمصفوفة مثلثة:

في تدوين المصفوفة، هذا يعني أنه أولاً (النهج المباشر للطريقة الغوسية)، من خلال العمليات الأولية على الصفوف، يتم تقليل المصفوفة الموسعة للنظام إلى شكل تدريجي:

وبعد ذلك (عكس الطريقة الغوسية) يتم تحويل مصفوفة الخطوة هذه بحيث تكون في الأولى نالأعمدة نحصل على مصفوفة الوحدة:

.

آخر، ( ن+ 1) يحتوي عمود هذه المصفوفة على حل النظام (13).

في Mathcad، يتم تنفيذ التحركات الأمامية والخلفية للطريقة الغوسية بواسطة الدالة المرجع(أ).

ويبين الشكل 9 حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام الطريقة الغوسية، والتي تستخدم الدوال التالية:

المرجع( أ)

يتم إرجاع شكل خطوة المصفوفة أ.

زيادة( أ, في)

إرجاع مصفوفة مكونة من الموقع أ و في جنباألى جنب. المصفوفات أ و في يجب أن يكون لها نفس عدد الخطوط.

مصفوفة فرعية( أ، إير، جونيور، إيك، جي سي)

إرجاع مصفوفة فرعية تتكون من جميع العناصر ذات إيربواسطة الابنوالأعمدة مع جيمبواسطة jc.تأكد من أن إير الابنو

جيم جي سي,وإلا فسيتم عكس ترتيب الصفوف و/أو الأعمدة.

الشكل 9.

وصف الطريقة

لنظام المعادلات الخطية n مع المجهولين (عبر حقل عشوائي)

مع محدد مصفوفة النظام Δ مختلف عن الصفر، يتم كتابة الحل في النموذج

(يتم استبدال العمود الأول من مصفوفة النظام بعمود المصطلحات المجانية).
في شكل آخر، يتم صياغة قاعدة كرامر على النحو التالي: لأي معاملات c1، c2، ...، cn تحمل المساواة التالية:

في هذا النموذج، تكون صيغة كرامر صالحة دون افتراض أن Δ تختلف عن الصفر؛ وليس من الضروري حتى أن تكون معاملات النظام عبارة عن عناصر حلقة متكاملة (يمكن أن يكون محدد النظام مقسومًا على الصفر في حلقة معامل). يمكننا أيضًا أن نفترض أن المجموعات b1,b2,...,bn وx1,x2,...,xn أو المجموعة c1,c2,...,cn لا تتكون من عناصر حلقة المعامل للنظام، ولكن بعض الوحدات فوق هذه الحلقة. في هذا النموذج، يتم استخدام صيغة كرامر، على سبيل المثال، في إثبات صيغة محدد الجرام ومعادلة ناكاياما ليما.

35) نظرية كرونيكر كابيلي

لكي يكون نظام المعادلات الخطية غير المتجانسة في عدد n من المجهولات متسقًا، من الضروري والكافي إثبات الضرورة. وليكن النظام (1.13) متسقا، أي أن هناك مثل هذه الأرقام X 1 =α 1 , X 2 =α 2 , …, س ن = α ن ,ماذا (1.15) دعونا نطرح من العمود الأخير من المصفوفة الموسعة عمودها الأول مضروبًا في α 1، والثاني - في α 2، ...، nth - مضروبًا في α n، أي من العمود الأخير من المصفوفة (1.14) يجب أن نطرح الأطراف اليسرى من المتساويات (1.15). ثم نحصل على المصفوفة الذي لن تتغير رتبته نتيجة للتحولات الأولية و . لكنه واضح، وبالتالي دليل على الكفاية. دع ومن أجل التحديد دع قاصرًا غير صفري من الرتبة r يقع في الزاوية اليسرى العليا من المصفوفة: وهذا يعني أنه يمكن الحصول على الصفوف المتبقية من المصفوفة كمجموعات خطية من صفوف r الأولى، أي أنه يمكن تمثيل صفوف m-r من المصفوفة كمجموع صفوف r الأولى مضروبة في بعض الأرقام. ولكن بعد ذلك تكون معادلات r الأولى للنظام (1.13) مستقلة، والباقي نتائجها، أي أن حل نظام معادلات r الأولى هو حل تلقائي للمعادلات المتبقية. هناك نوعان من الحالات الممكنة. 1. ص = ن. ثم النظام المكون من معادلات r الأولى له نفس عدد المعادلات والمجهول وهو متسق وحله فريد. 2. ص (1.16) "مجاني" غير معروف سص +1، سص +2 ، …، سيمكن إعطاء n أي قيم. ثم يحصل المجهولون على القيم المقابلة س 1 , س 2 , …, سص. النظام (1.13) في هذه الحالة ثابت ولكنه غير مؤكد. تعليق. ثانوية غير صفرية من الرتبة r، حيث r X 1 , X 2 , …, Xيُطلق عليها أيضًا اسم الأساسية، والباقي مجاني. النظام (1.16) يسمى مختصرا. إذا تم الإشارة إلى المجهولين الحرة س ص +1 =ج 1 , س ص +2 =ج 2 , …, س ن = ج ن - ص، فإن المجهولات الأساسية ستعتمد عليها، أي أن حل نظام معادلات m مع مجهولين n سيكون له الشكل X = ( س 1 (ج 1 , …, ج ن - ص), س 2 (ج 1 , …, ج ن - ص), …, س ص(ج 1 , …, ج ن - ص), ج 1 , ج 2 , …, ج ن - ص) T حيث يعني رمز T النقل. هذا الحل للنظام يسمى عام.

36) اليقين وعدم اليقين
نظام مالمعادلات الخطية مع نمجهول(أو، النظام الخطي) في الجبر الخطي هو نظام من المعادلات من النموذج

هنا س 1 , س 2 , …, س ن- مجهولة تحتاج إلى تحديد. أ 11 , أ 12 , …, دقيقة- معاملات النظام - و ب 1 , ب 2 , … بي ام- الأعضاء الأحرار - يفترض أنهم معروفون. مؤشرات المعامل ( آي جي) الأنظمة تشير إلى أرقام المعادلة ( أنا) وغير معروف ( ي)، حيث يقف هذا المعامل، على التوالي.

تم استدعاء النظام (1). متجانس، إذا كانت جميع حدودها المجانية تساوي صفرًا ( ب 1 = ب 2 = … = بي ام= 0)، وإلا - غير متجانسة.

تم استدعاء النظام (1). مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير مشترك، إذا لم يكن لديها حل واحد.

قد يحتوي النظام المشترك من النوع (1) على حل واحد أو أكثر.

حلول ج 1 (1) , ج 2 (1) , …, ج ن(1) و ج 1 (2) , ج 2 (2) , …, ج ن(2) تسمى الأنظمة المشتركة من الشكل (1). متنوع، إذا تم انتهاك إحدى المساواة على الأقل:

ج 1 (1) = ج 1 (2) , ج 2 (1) = ج 2 (2) , …, ج ن (1) = ج ن (2) .

يسمى النظام المشترك على الشكل (1). تأكيد، إذا كان لديه حل فريد؛ إذا كان لديه حلين مختلفين على الأقل، فسيتم استدعاؤه غير مؤكد

37) حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس

دع النظام الأصلي يبدو هكذا

مصفوفة أتسمى المصفوفة الرئيسية للنظام، ب- عمود من الأعضاء الأحرار.

بعد ذلك، وفقًا لخاصية التحولات الأولية عبر الصفوف، يمكن اختزال المصفوفة الرئيسية لهذا النظام إلى شكل تدريجي (يجب تطبيق نفس التحولات على عمود المصطلحات الحرة):

ثم يتم استدعاء المتغيرات المتغيرات الرئيسية. يتم استدعاء جميع الآخرين حر.

[عدل]شروط التوافق

يمكن صياغة الشرط المذكور أعلاه للجميع كشرط ضروري وكاف للتوافق:

تذكر أن رتبة النظام المشترك هي رتبة مصفوفته الرئيسية (أو المصفوفة الموسعة، حيث أنهما متساويتان).

خوارزمية

وصف

تنقسم خوارزمية حل SLAEs باستخدام الطريقة الغوسية إلى مرحلتين.

§ في المرحلة الأولى، يتم تنفيذ ما يسمى بالحركة المباشرة، عندما يتم إحضار النظام إلى شكل متدرج أو ثلاثي من خلال التحولات الأولية فوق الصفوف، أو يثبت أن النظام غير متوافق. وهي، من بين عناصر العمود الأول من المصفوفة، حدد عنصرًا غير الصفر، وانقله إلى الموضع العلوي عن طريق إعادة ترتيب الصفوف، وطرح الصف الأول الناتج من الصفوف المتبقية بعد إعادة الترتيب، وضربه بقيمة تساوي نسبة العنصر الأول من كل صف من هذه الصفوف إلى العنصر الأول من الصف الأول، وبالتالي صفر العمود الذي تحته. بعد اكتمال التحويلات المشار إليها، يتم شطب الصف الأول والعمود الأول ذهنيًا والاستمرار حتى تبقى مصفوفة بحجم صفر. إذا لم يكن هناك أي عنصر غير صفري بين عناصر العمود الأول في أي تكرار، فانتقل إلى العمود التالي وقم بإجراء عملية مماثلة.

§ في المرحلة الثانية يتم تنفيذ ما يسمى بالحركة العكسية، وجوهرها هو التعبير عن جميع المتغيرات الأساسية الناتجة بدلالة غير أساسية وبناء نظام أساسي من الحلول، أو إذا كانت جميع المتغيرات الأساسية، ثم التعبير عدديا عن الحل الوحيد لنظام المعادلات الخطية. يبدأ هذا الإجراء بالمعادلة الأخيرة، والتي يتم التعبير عن المتغير الأساسي المقابل لها (وهناك واحد فقط) واستبداله في المعادلات السابقة، وهكذا، صعودًا إلى "الخطوات". يتوافق كل سطر مع متغير أساسي واحد بالضبط، لذلك في كل خطوة باستثناء الخطوة الأخيرة (الأعلى)، يكرر الموقف تمامًا حالة السطر الأخير.

تتطلب الطريقة الغوسية الترتيب يا(ن 3) الإجراءات.

تعتمد هذه الطريقة على:

38)نظرية كرونيكر كابيلي.
يكون النظام ثابتًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفته الرئيسية مساوية لرتبة مصفوفته الموسعة.

أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة- له الصيغة ∑a k i x i = 0. حيث m > n أو m يكون النظام المتجانس للمعادلات الخطية ثابتًا دائمًا، لأن rangA = rangB. ومن الواضح أن لديه حل يتكون من الأصفار، وهو ما يسمى تافه.

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لإيجاد حل أساسي وغير تافه لـ SLAE. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word (راجع مثال الحل).

تعليمات. حدد بُعد المصفوفة:

خصائص أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

لكي يكون النظام حلول غير تافهةفمن الضروري والكافي أن تكون رتبة مصفوفتها أقل من عدد المجهولات.

نظرية. النظام في الحالة m=n له حل غير بديهي إذا وفقط إذا كان محدد هذا النظام يساوي الصفر.

نظرية. أي مجموعة خطية من الحلول لنظام ما هي أيضًا حل لذلك النظام.
تعريف. تسمى مجموعة الحلول لنظام من المعادلات الخطية المتجانسة النظام الأساسي للحلول، إذا كانت هذه المجموعة تتكون من حلول مستقلة خطيًا وأي حل للنظام هو مزيج خطي من هذه الحلول.

نظرية. إذا كانت رتبة r لمصفوفة النظام أقل من عدد n من المجهولات، فعندئذ يوجد نظام أساسي من الحلول يتكون من حلول (n-r).

خوارزمية لحل أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

1. العثور على رتبة المصفوفة.
2. نختار القاصر الأساسي. نحن نميز بين المجهول التابع (الأساسي) والمجهول الحر.
3. نقوم بشطب معادلات النظام التي لم يتم تضمين معاملاتها في الأساس القاصر، لأنها نتائج للآخرين (وفقًا للنظرية على الأساس القاصر).
4. ننقل حدود المعادلات التي تحتوي على مجاهيل حرة إلى الجانب الأيمن. ونتيجة لذلك، نحصل على نظام من معادلات r مع مجهولات r، أي ما يعادل المعادلة المحددة، والتي يكون محددها غير صفر.
5. نحن نحل النظام الناتج عن طريق القضاء على المجهول. نجد العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة من خلال المتغيرات الحرة.
6. إذا كانت رتبة المصفوفة لا تساوي عدد المتغيرات، فإننا نجد الحل الأساسي للنظام.
7. في حالة رن = n لدينا حل تافه.

مثال. أوجد أساس نظام المتجهات (أ 1، أ 2،...،أ م)، رتب المتجهات وعبّر عنها بناءً على القاعدة. إذا كان 1 =(0,0,1,-1) و2 =(1,1,2,0) و3 =(1,1,1,1) و4 =(3,2,1 ،4)، و5 =(2،1،0،3).
لنكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

اضرب السطر الثالث بـ (-3). دعنا نضيف السطر الرابع إلى الثالث:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

اضرب السطر الرابع بـ (-2). دعونا نضرب السطر الخامس في (3). دعنا نضيف السطر الخامس إلى الرابع:
دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:
دعونا نجد رتبة المصفوفة.
النظام ذو معاملات هذه المصفوفة يعادل النظام الأصلي وله الشكل:
- س 3 = - س 4
- س 2 - 2س 3 = - س 4
2س 1 + س 2 = - 3س 4
وباستخدام طريقة حذف المجهولات نجد حلاً غير بديهي:
حصلنا على علاقات تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 , x 2 , x 3 من خلال المتغيرات الحرة x 4 أي أننا وجدنا حلاً عامًا:
× 3 = × 4
× 2 = - × 4
× 1 = - × 4