حكايات

إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر. ما هو وتر الدائرة في الهندسة وتعريفه وخصائصه جميع النظريات حول الدوائر

الوتر يعني "سلسلة" في اليونانية. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم - في الرياضيات وعلم الأحياء وغيرها.

في الهندسة، سيكون تعريف المصطلح كما يلي: هذا عبارة عن قطعة مستقيمة تربط نقطتين عشوائيتين على نفس الدائرة. إذا كان هذا الجزء يتقاطع مع المركزمنحنى، ويسمى قطر الدائرة المقيدة.

في تواصل مع

كيفية بناء وتر هندسي

لإنشاء هذا الجزء، عليك أولاً رسم دائرة. قم بتعيين نقطتين تعسفيتين يتم من خلالهما رسم خط قاطع. يسمى الجزء المستقيم الذي يقع بين نقاط التقاطع مع الدائرة بالوتر.

إذا قمت بتقسيم هذا المحور إلى نصفين ورسمت خطًا عموديًا من هذه النقطة، فسوف يمر عبر مركز الدائرة. يمكنك تنفيذ الإجراء المعاكس - من وسط الدائرة ارسم نصف قطر عموديًا على الوتر. في هذه الحالة، سيقسمه نصف القطر إلى نصفين متطابقين.

إذا أخذنا بعين الاعتبار أجزاء المنحنى المحدودة بقطعتين متوازيتين متساويتين، عندها ستكون هذه المنحنيات أيضًا متساوية مع بعضها البعض.

ملكيات

هناك عدد من الأنماط، ربط الأوتار ومركز الدائرة:

العلاقة مع نصف القطر والقطر

ترتبط المفاهيم الرياضية المذكورة أعلاه بالقوانين التالية:

الوتر ونصف القطر

توجد الروابط التالية بين هذه المفاهيم:

العلاقات مع الزوايا المحيطية

الزوايا المرسومة في الدائرة تخضع للقواعد التالية:

تفاعلات القوس

إذا كان هناك قطعان يقابلان أجزاء من المنحنى متساوية في الحجم، فإن هذه المحاور متساوية مع بعضها البعض. الأنماط التالية تتبع هذه القاعدة:

الوتر الذي يمتد إلى نصف دائرة بالضبط هو قطره. إذا كان هناك خطان في نفس الدائرة متوازيان، فإن الأقواس المحصورة بين هذه القطع ستكون متساوية أيضًا. ومع ذلك، لا ينبغي للمرء أن يخلط بين الأقواس المغلقة وتلك التي تقابلها نفس الخطوط.

الجزء 3. الدوائر

أنا. المواد المرجعية.

أنا. خصائص الظلال والأوتار والقاطع. الزوايا المنقوشة والمركزية.

الدائرة والدائرة

1. إذا رسمنا مماسين لها من نقطة تقع خارج الدائرة، إذن

أ) أطوال القطع من نقطة معينة إلى نقاط الاتصال متساوية؛

ب) الزوايا بين كل مماس وقاطع يمر بمركز الدائرة متساوية.

2. إذا قمنا برسم مماس وقاطع لها من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن مربع الظل يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي

3. إذا تقاطع وتران عند نقطة واحدة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.

4. محيط C = 2πR؛

5. طول القوس L =πRn/180˚

6. مساحة الدائرة S=πR 2

7. منطقة القطاع س ج=ط 2 ن/360

قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس درجة القوس الذي تقع عليه.

النظرية 1.قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر الذي له نقطة مشتركة على دائرة يساوي نصف درجة القوس المحصور بين ضلعيه

النظرية 2(حول الظل والقاطع). إذا تم رسم مماس وقاطع من النقطة M إلى دائرة، فإن مربع قطعة المماس من النقطة M إلى نقطة التماس يساوي حاصل ضرب أطوال القطع القاطعة من النقطة M إلى نقاط محيطها تقاطع مع الدائرة.

النظرية 3. إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب أطوال قطع الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب أطوال قطع الوتر الآخر، أي إذا تقاطع الوتران AB وCD عند النقطة M، ثم AB MV = CM MD.

خصائص الحبال الدائرة:

القطر العمودي على الوتر يقسمه إلى نصفين. والعكس: القطر المار بمنتصف الوتر يكون متعامداً عليه.

الأوتار المتساوية في الدائرة تقع على مسافات متساوية من مركز الدائرة. وعلى العكس من ذلك: تقع الأوتار المتساوية على مسافات متساوية من مركز الدائرة.

أقواس الدائرة المحصورة بين أوتار متوازية متساوية.

الدوائر التي لها نقطة مشتركة ومماس مشترك عند هذه النقطة تسمى مماس، فإذا كانت الدوائر تقع على أحد جانبي المماس المشترك تسمى مماس داخلي، وإذا كانت على طرفي متقابلين من المماس تسمى مماس داخلي الظل خارجيا.

ثانيا. مواد إضافية

خواص بعض الزوايا

نظرية.

1) الزاوية (ABC) التي يقع رأسها داخل الدائرة، هي نصف مجموع قوسين (AC و DE)، أحدهما بين ضلعيها، والآخر بين امتدادات الجانبين.

2) الزاوية (ABC) التي يقع رأسها خارج الدائرة ويتقاطع أضلاعها مع الدائرة، هي نصف الفارق بين قوسين (AC و ED) المحصورين بين ضلعيها

دليل .

رسم الوتر AD (في كلا الرسمين)، نحصل عليه ∆АВD،

نسبة إلى الزاوية قيد النظر اي بي سيويكون بمثابة خارجي عندما يقع رأسه داخل الدائرة، وداخلي عندما يقع رأسه خارج الدائرة. ولذلك ففي الحالة الأولى: ; في الحالة الثانية:

لكن الزوايا ADC و DAE، مثل الزوايا المنقوشة، تقاس بنصف قوس

التيار المتردد و دي. therefore, angle ABC is measured: in the first case by the sum: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, which is equal 1 / 2 (ﮟ ايه سي+ﮞ دي)، and in the second case, the difference is 1 / 2 ﬞ AC- 1 / 2 ﬞ DE, which is equal to 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

نظرية. يتم قياس الزاوية (ACD) التي يشكلها المماس والوتر بنصف القوس الموجود بداخله.

لنفترض أولاً أن القرص المضغوط للوتر يمر عبر المركز O، أي. أن الوتر هو القطر. ثم الزاوية تكييفد- مستقيم وبالتالي يساوي 90 درجة. لكن نصف القوس CmD يساوي أيضًا 90°، نظرًا لأن القوس بأكمله CmD، الذي يشكل نصف دائرة، يحتوي على 180°. وهذا يعني أن النظرية صحيحة في هذه الحالة بالذات.

لنأخذ الآن الحالة العامة عندما لا يمر قرص الوتر المضغوط عبر المركز. برسم القطر CE، سيكون لدينا:

ش يتم قياس الهدف ACE، المكون من المماس والقطر، بنصف القوس CDE؛ يتم قياس الزاوية DCE، باعتبارها زاوية منقوشة، بنصف القوس CnED: والفرق الوحيد في الدليل هو أن هذه الزاوية لا ينبغي اعتبارها فرقًا، ولكن كمجموع الزاوية القائمة ALL والزاوية الحادة ECD.

خطوط متناسبة في دائرة

نظرية.إذا تم رسم وتر (AB) وقطر (CD) من خلال نقطة (M) مأخوذة داخل دائرة، فإن منتج قطع الوتر (AM MB) يساوي منتج قطع القطر (MB MC).

دليل.

ص
من خلال رسم اثنين من الحبال المساعدة AC و BD، نحصل على مثلثين AMC و MBD (مغطاة في الشكل بشرطات)، متشابهة، لأن زواياها A و D متساوية، مثل المنقوشة، على أساس نفس القوس BC، الزوايا C وB متساويان، كما هو منقوش، بناءً على نفس القوس AD. ومن تشابه المثلثات نستنتج:

AM: MD=MS: MV، من حيث AM MV=MD MS.

عاقبة.إذا تم رسم أي عدد من الأوتار (AB، EF، KL،...) من خلال نقطة (M) مأخوذة داخل دائرة، فإن حاصل ضرب أجزاء كل وتر يكون رقمًا ثابتًا لجميع الأوتار، حيث أن هذا لكل وتر المنتج يساوي منتج المقاطع ذات القطر CD التي تمر عبر النقطة المأخوذة M.

نظرية.إذا تم رسم بعض القاطع (MA) والظل (MS) من نقطة (M) مأخوذة خارج الدائرة، فإن حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي يساوي مربع الظل (يفترض أن القاطع محدود بنقطة التقاطع الثانية، والظل - نقطة الاتصال).

دليل.

دعونا نرسم الحبال المساعدة AC وBC؛ ثم نحصل على مثلثين MAC وMVS (مغطيين بالشكل بالشرطات)، متشابهان لأن لديهما زاوية مشتركة M والزاويتان MCW وCAB متساويتان، حيث يتم قياس كل منهما بنصف القوس BC. دعونا نأخذ الجانبين MA وMC في ∆MAS؛ الأطراف المماثلة في ∆MVS ستكون MC وMV؛ ولذلك MA: MS = MS: MV، حيث MA MV = MS 2.

عاقبة.إذا تم سحب أي عدد من القاطعات (MA، MD، ME،...) من نقطة (M) مأخوذة خارج الدائرة، فإن حاصل ضرب كل قاطع وجزءه الخارجي هو عدد ثابت لجميع القاطعات، حيث أن حاصل الضرب لكل قاطع يساوي مربع المماس (MC 2) المرسوم من النقطة M.

ثالثا. المهام التمهيدية.

مهمة 1.

في شبه منحرف متساوي الساقين بزاوية حادة مقدارها 60 درجة، الجانب الجانبي يساوي ، والقاعدة الأصغر تساوي . أوجد نصف قطر الدائرة التي يحدها هذا شبه المنحرف.

حل

1) نصف قطر الدائرة المحيطة بشبه المنحرف هو نفس نصف قطر الدائرة المحيطة بمثلث تكون رؤوسه أي ثلاثة رؤوس لشبه المنحرف. أوجد نصف القطر R للدائرة المحيطة بالمثلث عبد.

2) ا ب ت ثهو شبه منحرف متساوي الساقين، لذلك أ.ك. = (دكتور في الطب), كم. =.

في ∆ البنك الأهلي الكويتي أ.ك. = أ.بكوس أ = · كوس ٦٠° = . وسائل،
إعلان = .

ك. = أ.بخطيئة أ = · = .

3) بواسطة نظرية جيب التمام في ∆ عبد دينار بحريني 2 = أ.ب 2 + إعلان 2 – 2أ.ب · إعلانكوس أ.

دينار بحريني 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21؛
دينار بحريني = .

4) ق(∆ عبد) = إعلان · ك.; س(∆ عبد) = · · 3 = .

المهمة 2.

في مثلث متساوي الأضلاع اي بي سييتم كتابة دائرة ورسم قطعة ن.م.,

م مكيف الهواء, ن قبل الميلادالذي يلامسه ويكون موازيا للجانب أ.ب.

تحديد محيط شبه المنحرف AMNB، إذا كان طول الجزء مينيسوتايساوي 6.

حل.

1) ∆اي بي سي- متساوي الأضلاع، نقطة يا- نقطة تقاطع المتوسطات (المنصفات، الارتفاعات)، مما يعني شركة : التطوير التنظيمي = 2 : 1.

2) مينيسوتا- مماس للدائرة، ص- نقطة الاتصال، وهو ما يعني التطوير التنظيمي =
= البروتوكول الاختياري، ثم قرص مضغوط= 3 · سي.بي..

3) ∆سي إم إن ∾ ∆ سيارة أجرة، وهو ما يعني ∆ سي إم إن- متساوي الاضلاع سم. = CN = مينيسوتا = = 6; ص.

3) بن = سي.بي. – CN = 18 – 6 = 12.

4) ف ( AMNB) = أكون. + مينيسوتا + بن + أ.ب = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

يوصف شبه منحرف متساوي الساقين حول دائرة، الخط الأوسط منها يساوي 5، وجيب الزاوية الحادة عند القاعدة يساوي 0.8. أوجد مساحة شبه المنحرف.

حل.بما أن الدائرة منقوشة في شكل رباعي، إذن قبل الميلاد + إعلان = أ.ب + قرص مضغوط. هذا الرباعي هو شبه منحرف متساوي الساقين، مما يعني قبل الميلاد + إعلان = 2أ.ب.

FP– خط الوسط شبه المنحرف مما يعني قبل الميلاد + إعلان = 2FP.

ثم أ.ب = قرص مضغوط = FP = 5.

∆البنك الأهلي الكويتي- مستطيلي، ك. = أ.بخطيئة أ; ك.= 5 · 0.8 = 4.

س ( ا ب ت ث) = FP · ك.= 5 · 4 = 20.

إجابة: 20.

الدائرة الدائرية للمثلث ABC تلامس الضلع BC عند النقطة K، والدائرة تلامس الضلع BC عند النقطة L. أثبت أن CK=BL=(a+b+c)/2

الدليل: اجعل M و N هما نقطتا الظل للدائرة المنقوشة ذات الضلعين AB و BC. ثم BK+AN=BM+AM=AB، لذا CK+CN= a+b-c.

دع P و Q هما نقطتا التماس للدائرة مع امتدادات الجانبين AB و BC. ثم AP=AB+BP=AB+BL وAQ=AC+CQ=AC+CL. وبالتالي AP+AQ=a+b+c. وبالتالي، BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

أ) استمرار منصف الزاوية B للمثلث ABC يتقاطع مع الدائرة المحصورة عند النقطة M. O هو مركز الدائرة المحيطية. O B هو مركز الدائرة المماس للجانب AC. أثبت أن النقاط A وC وO وO B تقع على دائرة مركزها M.

د
الدليل: لأنه

ب) النقطة O، الواقعة داخل المثلث ABC، لها خاصية أن الخطوط المستقيمة AO، BO، CO تمر عبر مراكز الدوائر المحددة للمثلثات BCO، ACO، ABO. أثبت أن O هو مركز الدائرة المنقوشة للمثلث ABC

الدليل: دع P يكون محيط المثلث ACO. ثم

رابعا. مهام إضافية

رقم 1. الدائرة المماسّة للوتر في مثلث قائم الزاوية وامتدادات أرجلها نصف قطرها R. أوجد محيط المثلث

ر الحل: HOGB - مربع ذو ضلع R

1) ∆OAH =∆OAF على طول الساق والوتر =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) ف ABC = AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

رقم 2. تقع النقطتان C وD على دائرة قطرها AB. AC ∩ BD = P، و AD ∩ BC = Q. أثبت أن الخطين AB وPQ متعامدان

إثبات: أ D - القطر => الزاوية المنقوشة ADB=90 o (حسب القطر)=> QD/QP=QN/QA؛ ∆QDP يشبه ∆QNA من الجانبين والزاوية بينهما => QN متعامدة مع AB.

رقم 3. في متوازي الأضلاع ABCD، يكون القطر AC أكبر من القطر BD؛ M هي نقطة على القطر AC، BDCM هو شكل رباعي دائري أثبت أن الخط BD هو مماس مشترك للدوائر المحيطة بالمثلثين ABM وADM

ص
الفم O هو نقطة تقاطع القطرين AC و ВD. ثم مو · أوك = بو · التطوير التنظيمي. في حين أن OS = OA وVO = ВD، ثم MO · الزراعة العضوية = VO 2 و MO · الزراعة العضوية = فعل 2. تعني هذه التساويات أن OB مماس للدائرة المحيطة بالمثلث ADM

رقم 4. ن عند قاعدة AB للمثلث المتساوي الساقين ABC، يتم أخذ النقطة E، ويتم تسجيل الدوائر التي تمس القطعة CE عند النقطتين M وN في المثلثين ACE وABE. أوجد طول القطعة MN إذا كان الطولان AE وBE معروفين.

وفقا للمسألة التمهيدية 4 سم=(AC+CE-AE)/2 و CN=(BC+CE-BE)/2. بالنظر إلى أن AC = BC، نحصل على MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

رقم 5. أطوال أضلاع المثلث ABC تشكل متوالية حسابية، و أ

لتكن M نقطة منتصف الضلع AC، وN نقطة مماس الدائرة المنقوشة مع الضلع BC. ثم BN = Р – b (المشكلة التمهيدية 4)، وبالتالي BN = AM، لأن ع = 3 ب / 2 حسب الحالة. بجانب،

الخامس .مهام الحل المستقل

رقم 1. يتميز الشكل الرباعي ABCD بوجود دائرة منقوشة بزاوية BAD ومماسة لامتدادات الجانبين BC وCD. أثبت أن AB+BC=AD+DC.

رقم 2. المماس الداخلي المشترك للدوائر ذات نصف القطر R و r يتقاطع مع مماساتها الخارجية المشتركة عند النقطتين A و B ويمس إحدى الدوائر عند النقطة C. أثبت أن AC∙CB=Rr

رقم 3. في المثلث ABC، الزاوية C هي زاوية قائمة. أثبت أن r =(a+b-c)/2 و r c =(a+b+c)/2

رقم 4. تتقاطع دائرتان عند النقطتين A وB؛ MN هو الظل المشترك لهم. أثبت أن الخط AB يقسم القطعة MN إلى نصفين.

رقم 5. استمرار منصفات زوايا المثلث ABC تتقاطع مع الدائرة المقيدة عند النقاط A 1، B 1، C 1. م - نقطة تقاطع المنصفات. اثبت ذلك:

أ) MA·MC/MB 1 =2r؛

ب) MA 1 ·MC 1 /MB=R

رقم 6. الزاوية التي يشكلها مماسين من نقطة واحدة على الدائرة تساوي 23°15`. حساب الأقواس بين نقاط الظل

رقم 7. احسب الزاوية التي يشكلها المماس والوتر إذا كان الوتر يقسم الدائرة إلى قسمين بنسبة 3:7.

السادس. مهام التحكم.

الخيار 1.

تقع النقطة M خارج الدائرة التي مركزها O. يتم رسم ثلاثة قاطعات من النقطة M: الأول يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين B و A (M-B-A)، والثاني عند النقطتين D و C (MD-C)، والثالث يقطع الدائرة عند النقطتين F و E (M-F-E) ويمر بمركز الدائرة، AB = 4، BM = 5، FM = 3.

أثبت أنه إذا كانت AB = CD، فإن الزاويتين AME وCME متساويتان.

العثور على نصف قطر الدائرة.

أوجد طول المماس المرسوم من النقطة M إلى الدائرة.

أوجد الزاوية AEB

الخيار 2.

AB هو قطر دائرة مركزها O. يتقاطع الوتر EF مع القطر عند النقطة K (A-K-O)، EK = 4، KF = 6، OK = 5.

العثور على نصف قطر الدائرة.

أوجد المسافة من مركز الدائرة إلى الوتر BF.

أوجد الزاوية الحادة بين القطر AB والوتر EF.

ما هو الوتر FM الذي يساوي إذا كانت EM موازية لـ AB؟

الخيار 3. في المثلث الأيمن ABC (

الخيار 4.

AB هو قطر دائرة مركزها O. نصف قطر هذه الدائرة هو 4، O 1 هو منتصف OA. يتم رسم دائرة مركزها عند النقطة O 1، مماس للدائرة الأكبر عند النقطة A. الوتر CD للدائرة الأكبر عمودي على AB ويتقاطع مع AB عند النقطة K. E وF هما نقطتا تقاطع CD مع الدائرة الأصغر (C-E-K-F-D)، AK=3.

العثور على الحبال AE وAC.

أوجد قياس درجة القوس AF وطوله.

أوجد مساحة جزء الدائرة الأصغر المقطوع بالوتر EF.

أوجد نصف قطر الدائرة التي يحدها المثلث ACE.

أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن، إذا كانت الدائرة تتكون أيضًا من مساحة داخلية، فهي لا تنتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.

بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).

القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.

الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو قطر الدائرةهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R

محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R

مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)

قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحمل القرص المضغوط الوتر قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.

الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .

طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R

القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.

إذا تقاطع الأوتار AB و CD للدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

مماس لدائرة

مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.

إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.

لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.

أس = سي بي

والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من نقطتنا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.

AC^(2) = CD \cdot BC

يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوايا في دائرة

إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.

\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.

ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.

\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB

بناءً على القطر، الزاوية المحيطية، الزاوية القائمة.

\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)

الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.

الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .

\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)

\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB

على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.

الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.

\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)

الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.

\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)

دائرة مكتوبة

دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.

عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.

لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.

تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:

س = العلاقات العامة،

p هو نصف محيط المضلع،

r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:

ص = \frac(S)(ع)

يكون مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متماثلاً إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.

أ ب + تيار مستمر = م + ق.م

من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات الزوايا الداخلية للشكل، يقع مركز هذه الدائرة المنقوشة.

يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:

ص = \frac(S)(ع) ,

حيث p = \frac(a + b + c)(2)

دائرة حولها

إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.

عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المحيطة.

يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.

هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .

\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)

حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،

S هي مساحة المثلث.

نظرية بطليموس

وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

مواد مرجعية نظرية في الهندسة لاستكمال المهام من مدرس الرياضيات. لمساعدة الطلاب على حل المشاكل .

1) موضوع عن الزاوية المحيطية في الدائرة.

نظرية: الزاوية المحيطية في الدائرة تساوي نصف درجة القوس الذي ترتكز عليه (أو نصف الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس)، أي .

2) النتائج الطبيعية من نظرية الزاوية المحيطية في الدائرة.

2.1) خاصية الزوايا التي يدعمها قوس واحد.

النظرية: إذا كانت الزوايا المحيطية مدعومة بقوس واحد، فهي متساوية (إذا كانت مدعومة بأقواس إضافية، فإن مجموعها يساوي

2.2) خاصية الزاوية المقابلة للقطر.

نظرية: الزاوية المحيطية في الدائرة يقابلها القطر إذا وفقط إذا كانت صحيحة.

قطر التيار المتردد

3) خاصية قطاعات الظل. دائرة مكتوبة بزاوية.

النظرية 1:فإذا رسم لها مماسين من نقطة واحدة غير واقعة على الدائرة فإن قطعتيهما متساويتان، أي بي بي = بي سي.

النظرية 2:إذا كانت الدائرة مدرجة في زاوية، فإن مركزها يقع على منصف هذه الزاوية، أي بو منصف.

4) خاصية قطع الأوتار عند التقاطع الداخلي للقاطعات.
النظرية 1:منتج أجزاء وتر واحد يساوي منتج شرائح وتر آخر، أي

النظرية 2: الزاوية بين الأوتار تساوي نصف مجموع الأقواس التي تشكلها هذه الأوتار على الدائرة، أي

معاينة:

درس حول الموضوع:

"نظرية حاصل ضرب قطع الأوتار المتقاطعة»

الموضوع: الهندسة

الدرجة: 8

مدرس ب: هرات ليودميلا فاسيليفنا

مدرسة : MOBU "مدرسة دروزبينسكايا الثانوية" في منطقة سول إليتسك بمنطقة أورينبورغ

نوع الدرس: درس في "اكتشاف" المعرفة الجديدة.

أشكال العمل: فردي، أمامي، جماعي.

طرق التدريس:لفظي، بصري، عملي، إشكالي.

معدات: فئة الكمبيوتر، وجهاز عرض الوسائط المتعددة،

النشرات (البطاقات)، العرض.

أهداف الدرس:

التعليمية- دراسة نظرية حاصل ضرب الأوتار المتقاطعة، وبيان تطبيقها في حل المسائل.

تحسين المهارات في حل المشكلات باستخدام نظرية الزاوية المنقوشة وعواقبها.

النامية - تطوير النشاط الإبداعي والعقلي للطلاب في الفصل الدراسي. لتنمية الصفات الفكرية لشخصيات أطفال المدارس، مثل الاستقلال والمرونة والقدرة على القيام بإجراءات تقييمية والتعميم؛ تعزيز تكوين العمل الجماعي ومهارات العمل المستقل؛ تطوير القدرة على التعبير عن أفكارك بشكل واضح وواضح.
التعليمية - غرس الاهتمام بالموضوع لدى الطلاب من خلال استخدام تكنولوجيا المعلومات (باستخدام الكمبيوتر)؛ تطوير القدرة على أداء الرموز الرياضية بدقة وكفاءة ورسم صورة للمشكلة.

تهدف الأنشطة التعليمية إلى زيادة فعالية وإنتاجية العمل التدريسي عن طريق نقل الطلاب من مناصبهمهدف أنشطة المعلم في الموقفموضوع التدريس ، يعزز تنمية إمكانات كل طفل، والكشف عن الإمكانيات الكامنة فيه.

تعليم (تطوير) الذاتية ممكن فقط في الأنشطةالذي يشارك فيه هذا الموضوع، والذي هونفسه: أ) يحدد الأهداف؛ ب) يركز الجهد الطوفي على تحقيق الهدف؛ ج) يعكس التقدم ونتائج عمله. التفكير هو أداة قوية لتطوير الذات الشخصية(بناء الذات الشخصية).

مشكلة تنمية ذاتية الطالبلا يمكن حل هذه المشكلة بأي حال من الأحوال من خلال تدابير لمرة واحدة. تتطور هذه الجودةباستمرار بسبب اندماج الطالب في العملية التعليمية والمعرفيةنشاط (مثالي - في كل درس)، الذي يؤديهنفسه، وتطبيق له الجهود الخاصة، والأداءهُم بمفردهم، مع الحد الأدنى من المساعدة الخارجية، جميع الإجراءات في تسلسلها المنطقي. يوفر الدرس تفكيرًا للطلاب في جميع مراحل العمل الأربع بالإضافة إلى النتائج، مما يلبي المتطلبات بالكاملنهج النشاطفي التعليم.

من خلال تصميم الدرس المقترح واستخدام تكنولوجيا الحاسوب يتم تحقيق الأهداف التطويرية التالية:

الثقافة الفكرية؛
ثقافة المعلومات؛
ثقافات التنظيم الذاتي؛
ثقافة البحث؛

ينبغي تنظيم أنشطة الطلاب بطريقة تزود الطلاب بالأهداف والدوافع الداخلية؛ الحاجة إلى البحث هي أهم مهمة للتدريب والتعليم، ولهذا من الضروري خلق مواقف النجاح، ومواقف البحث التي تثير المشاعر الإيجابية.

خطة الدرس

1. إثبات نظرية الزاوية المحيطية (3 حالات)؛ العمل مع البطاقات

حل المشكلات باستخدام الرسومات الجاهزة.

2. العمل في أزواج.

3. دراسة نظرية حاصل ضرب قطع الأوتار المتقاطعة.

4. حل المسائل لتوطيد النظرية.

خلال الفصول الدراسية.

- تحديث معارف الطلاب حول الموضوع الذي يتم دراسته.

يتم استدعاء ثلاثة طلاب إلى اللوحة لإثبات النظريات، ويتلقى طالبان بطاقات المهام، ويقوم الطلاب الباقون بحل المسائل على الرسومات الجاهزة. يتم سماع إثبات النظريات من قبل الفصل بأكمله بعد أن يقوم الطلاب بحل المسائل الموجودة على الرسومات النهائية.

البطاقة رقم 1..

1. أدخل الكلمات الناقصة "تسمى الزاوية زاوية محيطية إذا كان رأسها على ............... وأضلاع الزاوية ............................"

2. أوجد الزوايا المحيطية الموضحة في الشكل واكتبها:

3. أوجد قياس درجة الزاوية ABC المبينة في الشكل، إذا كان قياس درجة القوس ABC = 270.

البطاقة رقم 2.

1. أكمل الكلمات الناقصة: "تُقاس الزاوية المحيطية بـ ..............."