توزيع السم. قانون الأحداث النادرة توزيع بواسون لمتغير عشوائي منفصل احتمالية توزيع بواسون

الحالة الأكثر شيوعًا للأنواع المختلفة من التوزيعات الاحتمالية هي التوزيع ذو الحدين. دعونا نستخدم تنوعها لتحديد أكثر أنواع التوزيعات شيوعًا التي نواجهها في الممارسة العملية.

توزيع ثنائي

يجب أن يكون هناك حدث ما أ. احتمال وقوع الحدث A يساوي ص، احتمال عدم وقوع الحدث A هو 1 ص، في بعض الأحيان يتم تعيينه على أنه س. يترك نعدد الاختبارات، متكرار حدوث الحدث A في هذه نالاختبارات.

من المعروف أن الاحتمال الإجمالي لجميع المجموعات الممكنة للنتائج يساوي واحدًا، أي:

1 = ص ن + ن · ص ن 1 (1 ص) + ج ن ن 2 · ص ن 2 (1 ص) 2 + + ج ن م · ص م· (1 ص) ن – م+ + (1 ص) ن .

ص ناحتمال أن في ننمرة واحدة؛ ن · ص ن 1 (1 ص) احتمال أن في نن 1) مرة واحدة ولن يحدث مرة واحدة؛ ج ن ن 2 · ص ن 2 (1 ص) 2 احتمال أن في نالاختبارات، سيحدث الحدث A ( ن 2) مرات ولن يحدث مرتين؛ ص م = ج ن م · ص م· (1 ص) ن – م احتمال أن في نالاختبارات، سيحدث الحدث A ملن يحدث ابدا ( ن – م) مرة واحدة؛ (1 ص) ناحتمال أن في نفي التجارب، لن يحدث الحدث (أ) ولو مرة واحدة؛ عدد مجموعات من نبواسطة م .

القيمة المتوقعة مالتوزيع ذو الحدين يساوي:

م = ن · ص ,

أين نعدد الاختبارات، صاحتمال وقوع الحدث أ.

الانحراف المعياري σ :

σ = sqrt( ن · ص· (1 ص)) .

مثال 1. احسب احتمال وقوع حدث له احتمال ص= 0.5 بوصة ن= 10 محاكمات ستحدث م= 1 مرة. لدينا: ج 10 1 = 10، وأكثر من ذلك: ص 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. وكما نرى، فإن احتمال حدوث هذا الحدث منخفض جدًا. ويفسر ذلك، أولاً، بحقيقة أنه ليس من الواضح على الإطلاق ما إذا كان الحدث سيحدث أم لا، حيث أن الاحتمال هو 0.5 والاحتمالات هنا هي "50 إلى 50"؛ وثانيًا، يجب حساب أن الحدث سيحدث بالضبط مرة واحدة (لا أكثر ولا أقل) من أصل عشرة.

مثال 2. احسب احتمال وقوع حدث له احتمال ص= 0.5 بوصة ن= 10 محاكمات ستحدث م= 2 مرات. لدينا: ج 10 2 = 45، وأكثر من ذلك: ص 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. لقد زادت احتمالية حدوث هذا الحدث!

مثال 3. دعونا نزيد من احتمالية وقوع الحدث نفسه. دعونا نجعل الأمر أكثر احتمالا. احسب احتمال وقوع حدث له احتمال ص= 0.8، في ن= 10 محاكمات ستحدث م= 1 مرة. لدينا: ج 10 1 = 10، وأكثر من ذلك: ص 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. أصبح الاحتمال أقل مما كان عليه في المثال الأول! تبدو الإجابة للوهلة الأولى غريبة، ولكن بما أن الحدث له احتمالية عالية إلى حد ما، فمن غير المرجح أن يحدث مرة واحدة فقط. ومن المرجح أن يحدث ذلك أكثر من مرة. في الواقع، العد ص 0 , ص 1 , ص 2 , ص 3،، ص 10 (احتمال وقوع حدث في ن= 10 تجارب ستتكرر 0، 1، 2، 3، ، 10 مرات)، سنرى:

ج 10 0 = 1 , ج 10 1 = 10 , ج 10 2 = 45 , ج 10 3 = 120 , ج 10 4 = 210 , ج 10 5 = 252 ,
ج 10 6 = 210 , ج 10 7 = 120 , ج 10 8 = 45 , ج 10 9 = 10 , ج 10 10 = 1 ;

ص 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
ص 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
ص 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
ص 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
ص 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
ص 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
ص 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
ص 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013;
ص 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(أعلى احتمال!) ؛
ص 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
ص 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

بالطبع ص 0 + ص 1 + ص 2 + ص 3 + ص 4 + ص 5 + ص 6 + ص 7 + ص 8 + ص 9 + ص 10 = 1 .

التوزيع الطبيعي

إذا صورنا الكميات ص 0 , ص 1 , ص 2 , ص 3،، ص 10، الذي حسبناه في المثال 3، على الرسم البياني، اتضح أن توزيعها له شكل قريب من قانون التوزيع الطبيعي (انظر الشكل 27.1) (انظر المحاضرة 25. نمذجة المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي).

أرز. 27.1. نوع التوزيع ذو الحدين
احتمالات مختلفة لـ m عند p = 0.8، n = 10

يصبح قانون ذو الحدين طبيعيًا إذا كانت احتمالات حدوث الحدث A وعدم وقوعه متماثلة تقريبًا، أي أنه يمكننا الكتابة بشكل مشروط: ص≈ (1 ص) . على سبيل المثال، لنأخذ ن= 10 و ص= 0.5 (أي ص= 1 ص = 0.5 ).

سوف نصل إلى مثل هذه المشكلة بشكل مفيد إذا أردنا، على سبيل المثال، أن نحسب نظريًا عدد الأولاد وعدد الفتيات الذين سينجبون من بين كل 10 أطفال يولدون في مستشفى للولادة في نفس اليوم. بتعبير أدق، لن نحصي الأولاد والبنات، بل سنحسب احتمال ولادة الأولاد فقط، أو ولادة ولد واحد و9 فتيات، أو ولادة ولدين و8 فتيات، وما إلى ذلك. لنفترض للتبسيط أن احتمال إنجاب ولد وفتاة هو نفسه ويساوي 0.5 (ولكن في الواقع، بصراحة، هذا ليس هو الحال، راجع دورة "نمذجة أنظمة الذكاء الاصطناعي").

ومن الواضح أن التوزيع سيكون متماثلا، حيث أن احتمال وجود 3 أولاد و 7 بنات يساوي احتمال إنجاب 7 أولاد و 3 بنات. أكبر احتمال للولادة سيكون 5 أولاد و 5 بنات. هذا الاحتمال يساوي 0.25، بالمناسبة، ليس بهذه القيمة المطلقة. علاوة على ذلك، فإن احتمال ولادة 10 أو 9 أولاد في وقت واحد أقل بكثير من احتمال ولادة 5 ± 1 ولد من بين 10 أطفال. سيساعدنا التوزيع ذو الحدين في إجراء هذه العملية الحسابية. لذا.

ج 10 0 = 1 , ج 10 1 = 10 , ج 10 2 = 45 , ج 10 3 = 120 , ج 10 4 = 210 , ج 10 5 = 252 ,
ج 10 6 = 210 , ج 10 7 = 120 , ج 10 8 = 45 , ج 10 9 = 10 , ج 10 10 = 1 ;

ص 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
ص 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
ص 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
ص 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
ص 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
ص 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
ص 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
ص 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
ص 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
ص 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
ص 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977

بالطبع ص 0 + ص 1 + ص 2 + ص 3 + ص 4 + ص 5 + ص 6 + ص 7 + ص 8 + ص 9 + ص 10 = 1 .

دعونا نعرض الكميات على الرسم البياني ص 0 , ص 1 , ص 2 , ص 3،، ص 10 (انظر الشكل 27.2).

أرز. 27.2. رسم بياني للتوزيع ذي الحدين مع المعلمات
ع = 0.5 و ن = 10، مما يجعلها أقرب إلى القانون الطبيعي

لذلك، في ظل الظروف م ≈ ن/2 و ص≈ 1 صأو ص≈ 0.5 بدلاً من التوزيع ذي الحدين، يمكنك استخدام التوزيع العادي. للقيم الكبيرة نينتقل الرسم البياني إلى اليمين ويصبح مسطحًا أكثر فأكثر، مع زيادة التوقع الرياضي والتباين مع الزيادة ن : م = ن · ص , د = ن · ص· (1 ص) .

وبالمناسبة فإن قانون ذات الحدين يميل إلى الوضع الطبيعي ومع الزيادة نوهو أمر طبيعي تمامًا وفقًا لنظرية الحد المركزي (انظر المحاضرة 34. تسجيل ومعالجة النتائج الإحصائية).

الآن فكر في كيفية تغير قانون ذي الحدين في الحالة متى ص ≠ س، إنه ص> 0 . في هذه الحالة، لا يمكن تطبيق فرضية التوزيع الطبيعي، ويصبح التوزيع ذو الحدين توزيع بواسون.

توزيع السم

توزيع بواسون هو حالة خاصة من التوزيع ذي الحدين (مع ن>> 0 وفي ص>0 (أحداث نادرة)).

تُعرف الصيغة من الرياضيات التي تسمح لك بحساب قيمة أي عضو في التوزيع ذي الحدين تقريبًا:

أين أ = ن · ص معلمة بواسون (التوقع الرياضي)، والتباين يساوي التوقع الرياضي. دعونا نقدم الحسابات الرياضية التي تفسر هذا التحول. قانون التوزيع ذو الحدين

ص م = ج ن م · ص م· (1 ص) ن – م

يمكن أن تكون مكتوبة إذا وضعت ص = أ/ن ، مثل

لأن صصغيرة جدًا، فيجب أخذ الأرقام فقط في الاعتبار مصغيرة مقارنة ب ن. عمل

قريب جدا من الوحدة. الأمر نفسه ينطبق على الحجم

ضخامة

قريبة جدا من ه – أ. ومن هنا نحصل على الصيغة:

مثال. يحتوي الصندوق على ن= 100 قطعة، عالية الجودة ومعيبة. احتمال الحصول على منتج معيب هو ص= 0.01 . لنفترض أننا أخرجنا منتجًا، وحددنا ما إذا كان معيبًا أم لا، ثم قمنا بإعادته. ومن خلال القيام بذلك، اتضح أنه من بين 100 منتج مررنا بها، تبين أن اثنين منها معيبان. ما هو احتمال هذا؟

ومن التوزيع ذي الحدين نحصل على:

ومن توزيع بواسون نحصل على:

كما ترون، فقد تبين أن القيم متقاربة، لذلك في حالة الأحداث النادرة فمن المقبول تمامًا تطبيق قانون بواسون، خاصة أنه يتطلب جهدًا حسابيًا أقل.

دعونا نبين بيانيا شكل قانون بواسون. لنأخذ المعلمات كمثال ص = 0.05 , ن= 10 . ثم:

ج 10 0 = 1 , ج 10 1 = 10 , ج 10 2 = 45 , ج 10 3 = 120 , ج 10 4 = 210 , ج 10 5 = 252 ,
ج 10 6 = 210 , ج 10 7 = 120 , ج 10 8 = 45 , ج 10 9 = 10 , ج 10 10 = 1 ;

ص 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
ص 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
ص 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
ص 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
ص 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
ص 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
ص 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
ص 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
ص 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
ص 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
ص 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

بالطبع ص 0 + ص 1 + ص 2 + ص 3 + ص 4 + ص 5 + ص 6 + ص 7 + ص 8 + ص 9 + ص 10 = 1 .

أرز. 27.3. مؤامرة توزيع بواسون عند p = 0.05 و n = 10

في ن> ∞ يتحول توزيع بواسون إلى قانون طبيعي طبقا لنظرية النهاية المركزية (انظر.

مقدمة

نظرية الاحتمالية هي علم رياضي يدرس أنماط الظواهر العشوائية. اليوم هو علم كامل ذو أهمية عملية كبيرة.

يعود تاريخ نظرية الاحتمالات إلى القرن السابع عشر، عندما جرت المحاولات الأولى لدراسة المشكلات المتعلقة بالظواهر العشوائية الجماعية بشكل منهجي، وظهر الجهاز الرياضي المقابل. ومنذ ذلك الحين، تم تطوير العديد من الأساسيات وتعميقها للمفاهيم الحالية، وتم اكتشاف قوانين وأنماط مهمة أخرى. لقد عمل العديد من العلماء ويعملون على حل مشاكل في نظرية الاحتمالات.

من بينها، لا يسع المرء إلا أن ينتبه إلى أعمال سيمون دينيس بواسون ((1781-1840) - عالم الرياضيات الفرنسي)، الذي أثبت شكلا أكثر عمومية لقانون الأعداد الكبيرة من جاكوب برنولي، وأيضا تطبيقه لأول مرة نظرية الاحتمالية لمشاكل التصوير. يرتبط اسم بواسون بأحد قوانين التوزيع، والذي يلعب دوراً هاماً في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها.

عدد مرات حدوث حدث عشوائي معين في وحدة زمنية، عندما لا تعتمد حقيقة حدوث هذا الحدث في تجربة معينة على عدد المرات وفي أي نقاط زمنية حدث في الماضي، ولا يؤثر المستقبل. ويتم إجراء الاختبارات في ظل ظروف ثابتة، وعادة ما يستخدم قانون بواسون لوصف توزيع مثل هذا المتغير العشوائي (تم اقتراح هذا التوزيع ونشره لأول مرة من قبل هذا العالم في عام 1837).

يمكن أيضًا وصف هذا القانون بأنه الحالة المقيدة للتوزيع ذي الحدين، عندما يكون الاحتمال p لحدوث الحدث الذي يهمنا في تجربة واحدة صغيرًا جدًا، ولكن عدد التجارب m التي يتم إجراؤها لكل وحدة زمنية كبير جدًا ، أي أنه في هذه العملية ص

0 وm، المنتج mp يميل إلى بعض القيمة الثابتة الإيجابية (أي mp).

لذلك، يُطلق على قانون بواسون غالبًا اسم قانون الأحداث النادرة.

توزيع بواسون في نظرية الاحتمالات

سلسلة الوظائف والتوزيع

توزيع بواسون هو حالة خاصة من التوزيع ذي الحدين (مع ن>> 0 وفي ص-> 0 (أحداث نادرة)).

تُعرف الصيغة من الرياضيات التي تسمح لك بحساب قيمة أي عضو في التوزيع ذي الحدين تقريبًا:

أين أ = ن · صهي معامل بواسون (التوقع الرياضي)، والتباين يساوي التوقع الرياضي. دعونا نقدم الحسابات الرياضية التي تفسر هذا التحول. قانون التوزيع ذو الحدين

مساءً = ج ن م · مساءً· (1 - ص)ن – م

يمكن أن تكون مكتوبة إذا وضعت ص = أ/ن، مثل

لأن صصغيرة جدًا، فيجب أخذ الأرقام فقط في الاعتبار مصغيرة مقارنة ب ن. عمل

قريب جدا من الوحدة. الأمر نفسه ينطبق على الحجم

قريبة جدا من ه –أ. ومن هنا نحصل على الصيغة:

رقم أويلر (2.71...). ,

لوظيفة التوليد

لدينا كميات:

دالة التوزيع الاحتمالي التراكمي تساوي

من الأمثلة الكلاسيكية للمتغير العشوائي الموزع وفقًا لبواسون هو عدد السيارات التي تمر عبر جزء معين من الطريق خلال فترة زمنية معينة. يمكنك أيضًا ملاحظة أمثلة مثل عدد النجوم في جزء من السماء بحجم معين، أو عدد الأخطاء في نص بطول معين، أو عدد المكالمات الهاتفية في مركز الاتصال، أو عدد المكالمات إلى خادم الويب خلال فترة زمنية معينة.

تبدو سلسلة توزيع المتغير العشوائي X، الموزعة وفقًا لقانون بواسون، كما يلي:

س م	0	1	2	…	م	…
مساءً	ه-أ			…		…

في التين. 1 يوضح مضلعات توزيع المتغير العشوائي Xوفقًا لقانون بواسون، الذي يتوافق مع قيم مختلفة للمعلمة أ.

أولاً، دعونا نتأكد من أن تسلسل الاحتمالات يمكن أن يكون سلسلة توزيع، أي. أن مجموع كل الاحتمالات رميساوي واحد.

نحن نستخدم توسيع الوظيفة السابقفي سلسلة ماكلورين:

ومن المعروف أن هذه المتسلسلة تتقارب لأي قيمة X، لذلك أخذ س=أ، نحن نحصل

لذلك

الخصائص العددية لموضع توزيع بواسون

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها.

بحكم التعريف، عندما يأخذ المتغير العشوائي المنفصل مجموعة من القيم المعدودة:

الحد الأول من المبلغ (الموافق م=0 ) يساوي صفرًا، وبالتالي يمكن أن يبدأ الجمع من م=1 :

لذلك المعلمة أليس أكثر من توقع رياضي لمتغير عشوائي X.

بالإضافة إلى التوقع الرياضي، يتميز موضع المتغير العشوائي بمنواله ووسيطه.

نمط المتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا.

بالنسبة للكمية المستمرة، يسمى الوضع نقطة الحد الأقصى المحلي لدالة الكثافة الاحتمالية. إذا كان لمنحنى المضلع أو التوزيع حد أقصى واحد (الشكل 2 أ)، فإن التوزيع يسمى أحادي الواسطة، وإذا كان هناك أكثر من حد أقصى واحد، فهو متعدد الوسائط (على وجه الخصوص، يسمى التوزيع ذو الوضعين ثنائي الواسطة). يسمى التوزيع الذي يحتوي على حد أدنى بمضاد الوسائط (الشكل 2 ب)

x mod x 0x1x2x3x4x

القيمة الأكثر احتمالاً للمتغير العشوائي هي الوضع الذي يوفر أقصى احتمال عالمي لمتغير عشوائي منفصل أو كثافة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر.

الوسيط هو قيمة x l التي تقسم المنطقة الواقعة تحت الرسم البياني للكثافة الاحتمالية إلى النصف، أي. الوسيط هو أي جذر للمعادلة. قد لا يكون التوقع الرياضي موجودًا، لكن الوسيط موجود دائمًا ويمكن تعريفه بشكل غامض.

متوسط ​​المتغير العشوائي

قيمتها = x med تسمى بحيث P (< x med) = Р ( >س ميد) = .

الخصائص العددية لل مبعثر

تباين المتغير العشوائي X هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.

حيث تساوي متوسط ​​عدد تكرارات الأحداث في تجارب مستقلة متطابقة، أي. λ = n × p، حيث p هو احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة، e = 2.71828.

سلسلة توزيع قانون بواسون لها الشكل:

الغرض من الخدمة. يتم استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لإنشاء توزيع بواسون وحساب جميع خصائص السلسلة: التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري. يتم إعداد التقرير بالقرار بتنسيق Word.

في الحالة التي تكون فيها n كبيرة و lect = p n > 10، فإن صيغة بواسون تعطي تقريبًا تقريبيًا للغاية ويتم استخدام النظريات المحلية والتكاملية لـ Moivre-Laplace لحساب P n (m).

الخصائص العددية للمتغير العشوائي X

توقع توزيع بواسون
م[س] = π

تباين توزيع بواسون
د[X] = π

المثال رقم 1. تحتوي البذور على 0.1% من الحشائش. ما هو احتمال العثور على 5 بذور حشائش إذا قمت باختيار 2000 بذرة بشكل عشوائي؟
حل.
الاحتمال p صغير، لكن العدد n كبير. np = 2 P(5) = 5 ه -5 /5! = 0.03609
القيمة المتوقعة: M[X] = lect = 2
تشتت: د[X] = روس = 2

المثال رقم 2. يوجد بين بذور الجاودار 0.4% من بذور الحشائش. وضع قانون توزيع لعدد الحشائش مع الاختيار العشوائي لعدد 5000 بذرة. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.
حل. التوقع الرياضي: M[X] = روس = 0.004*5000 = 20. التشتت: D[X] = lect = 20
قانون التوزيع:

X	0	1	2	…	م	…
ص	ه -20	20ه -20	200e -20	…	20 م ه -20 / م!	…

المثال رقم 3. في مقسم الهاتف، يحدث اتصال غير صحيح مع احتمال 1/200. أوجد احتمال حدوث ما يلي من بين 200 اتصال:
أ) اتصال واحد غير صحيح بالضبط؛
ب) أقل من ثلاث اتصالات غير صحيحة؛
ج) أكثر من اتصالين غير صحيحين.
حل.وحسب شروط المشكلة فإن احتمال الحدث منخفض، لذلك نستخدم صيغة بواسون (15).
أ) معطى: n = 200، p = 1/200، k = 1. لنجد P 200 (1).
نحن نحصل: . ثم ف 200 (1) ≈ ه -1 ≈ 0.3679.
ب) بالنظر إلى: n = 200، p = 1/200، k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
لدينا: أ=1.

ج) معطى: n = 200، p = 1/200، k > 2. أوجد P 200 (k > 2).
يمكن حل هذه المشكلة ببساطة أكبر: ابحث عن احتمال الحدث المعاكس، لأنه في هذه الحالة تحتاج إلى حساب عدد أقل من الحدود. مع الأخذ في الاعتبار الحالة السابقة، لدينا

خذ بعين الاعتبار الحالة التي تكون فيها n كبيرة بما فيه الكفاية وp صغيرة بما فيه الكفاية؛ لنضع np = a، حيث a هو رقم ما. في هذه الحالة، يتم تحديد الاحتمال المطلوب بواسطة صيغة بواسون:

يمكن أيضًا إيجاد احتمالية وقوع أحداث k خلال فترة زمنية t باستخدام صيغة بواسون:
حيث α هي شدة تدفق الأحداث، أي متوسط ​​عدد الأحداث التي تظهر لكل وحدة زمنية.

المثال رقم 4. احتمال أن يكون الجزء معيبًا هو 0.005. تم فحص 400 قطعة. توفير صيغة لحساب احتمال وجود أكثر من 3 أجزاء معيبة.

المثال رقم 5. احتمال ظهور الأجزاء المعيبة أثناء الإنتاج الضخم هو p. تحديد احتمال أن تحتوي مجموعة من الأجزاء N على أ) ثلاثة أجزاء بالضبط؛ ب) ما لا يزيد عن ثلاثة أجزاء معيبة.
ع = 0.001؛ ن = 4500
حل.
الاحتمال p صغير، لكن العدد n كبير. ن = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
المتغير العشوائي X له مدى من القيم (0,1,2,...,m). يمكن العثور على احتمالات هذه القيم باستخدام الصيغة:

دعونا نجد سلسلة توزيع X.
هنا α = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = ه - α = ه -4.5 = 0.01111
P(1) = lecte - lect = 4.5e -4.5 = 0.04999

فإن احتمال أن تحتوي مجموعة الأجزاء N على ثلاثة أجزاء بالضبط يساوي:

ثم احتمال أن مجموعة الأجزاء N لا تحتوي على أكثر من ثلاثة أجزاء معيبة:
ف (س<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

المثال رقم 6. يستقبل مقسم الهاتف الآلي مكالمات N في المتوسط ​​في الساعة. حدد احتمال تلقيها في دقيقة معينة: أ) مكالمتين بالضبط؛ ب) أكثر من مكالمتين.
ن = 18
حل.
وفي دقيقة واحدة، يستقبل مقسم الهاتف الآلي في المتوسط ​​18/60 = 18 دقيقة. = 0.3
على افتراض أن عدد عشوائي X من المكالمات الواردة في PBX في دقيقة واحدة،
يطيع قانون بواسون، باستخدام الصيغة سوف نجد الاحتمال المطلوب

دعونا نجد سلسلة توزيع X.
هنا π = 0.3
P(0) = ه - α = ه -0.3 = 0.7408
P(1) = lecte - lect = 0.3e -0.3 = 0.2222

احتمال أن تتلقى مكالمتين بالضبط في دقيقة معينة هو:
ف(2) = 0.03334
احتمال أن تتلقى أكثر من مكالمتين في دقيقة معينة هو:
ف(س>2) = 1 – 0.7408 – 0.2222 – 0.03334 = 0.00366

المثال رقم 7. يتم النظر في عنصرين يعملان بشكل مستقل عن بعضهما البعض. مدة التشغيل الخالي من الفشل لها توزيع أسي مع المعلمة lect1 = 0.02 للعنصر الأول و lect2 = 0.05 للعنصر الثاني. أوجد احتمال أنه خلال 10 ساعات: أ) سيعمل كلا العنصرين دون فشل؛ ب) فقط احتمال عدم فشل العنصر رقم 1 خلال 10 ساعات:
قرار.
ف 1 (0) = ه - α1 * ر = ه -0.02*10 = 0.8187

احتمال عدم فشل العنصر رقم 2 خلال 10 ساعات:
ف 2 (0) = ه - α2 * ر = ه -0.05*10 = 0.6065

أ) سيعمل كلا العنصرين بشكل لا تشوبه شائبة؛
ف(2) = ف 1 (0) * ف 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
ب) سوف يفشل عنصر واحد فقط.
ف(1) = ف 1 (0)*(1-ف 2 (0)) + (1-ف 1 (0))*ف 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

المثال رقم 7. ينتج الإنتاج عيوبًا بنسبة 1٪. ما هو احتمال أنه من بين 1100 منتج تم أخذها للبحث، لن يتم رفض أكثر من 17 منتجًا؟
ملحوظة: بما أن n*p =1100*0.01=11 > 10، فمن الضروري استخدامه

عند النظر في الأحداث ذات الاحتمالية المنخفضة التي تحدث في سلسلة كبيرة من التجارب المستقلة لعدد معين (محدود) من المرات، فإن احتمالات حدوث هذه الأحداث تخضع لقانون بواسون أو قانون الأحداث النادرة، حيث تساوي متوسط ​​عدد الأحداث النادرة. تكرار الأحداث في تجارب مستقلة متطابقة، أي λ = n × p، حيث p هو احتمال وقوع حدث خلال تجربة واحدة، e = 2.71828، m هو تكرار هذا الحدث، والتوقع الرياضي M[X] يساوي lect.

سلسلة توزيع قانون بواسون لها الشكل:

الخصائص العددية للمتغير العشوائي X

توقع توزيع بواسون
م[س] = π

تباين توزيع بواسون
د[X] = π

قانون بواسونيمكن استخدامها للتجمعات السكانية الكبيرة بدرجة كافية (ن> 100) ولديها نسبة صغيرة بما فيه الكفاية من الوحدات التي تمتلك هذه الخاصية (ع< 0,1).
في هذه الحالة، يمكن تطبيق توزيع بواسون عندما لا تكون قيمة n فقط - العدد الإجمالي للنتائج المحتملة - معروفة، ولكن أيضًا عندما يكون الرقم النهائي الذي يمكن أن يمثله n غير معروف. عندما يكون هناك متوسط ​​عدد مرات حدوث حدث ما، يتم وصف احتمال وقوع الحدث من خلال شروط التوسيع:
.
وبالتالي فإن الاحتمالات المقابلة هي:

لذلك، إذا كان متوسط ​​عدد الزلازل واحداً شهرياً، فإن m = 1 وسيكون احتمال حدوثها شهرياً كما يلي، محسوباً من القيمة التقريبية e - m = 0.3679:

مثال. ونتيجة فحص 1000 دفعة من المنتجات المتطابقة، تم الحصول على التوزيع التالي لعدد المنتجات المعيبة في الدفعة:

لنحدد متوسط ​​عدد المنتجات المعيبة في الدفعة:
.
نجد التكرارات النظرية لقانون بواسون:


تم العثور على توزيع بواسون تجريبيا ونظريا:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

تشير المقارنة إلى أن التوزيع التجريبي يتوافق مع توزيع بواسون.

المثال رقم 2. قام قسم الرقابة الفنية بفحص دفعات n من المنتجات المماثلة ووجد أن الرقم X من المنتجات غير القياسية في دفعة واحدة له توزيع تجريبي موضح في الجدول، حيث يشير سطر واحد منه إلى الرقم x i من المنتجات غير القياسية في دفعة واحدة، ويشير السطر الآخر إلى عدد دفعات n i التي تحتوي على منتجات x i غير القياسية. يشترط اختبار الفرضية عند مستوى الدلالة α=0.05 بأن المتغير العشوائي X (عدد المنتجات غير القياسية في الدفعة الواحدة) يتم توزيعها وفقا لقانون بواسون.

× ط	0	1	2	3	4	5
ن ط	370	360	190	63	14	3

دعونا نتحقق من الفرضية القائلة بأن X يتم توزيعها قانون بواسوناستخدام الخدمة، اختبار الفرضيات الإحصائية.


حيث p i هو احتمال توزيع المتغير العشوائي وفقًا لقانون افتراضي يقع في الفاصل الزمني i؛ lect = x متوسط.
ط = 0: ص 0 = 0.3679، نب 0 = 367.88
ط = 1: ص 1 = 0.3679، نب 1 = 367.88
ط = 2: ص 2 = 0.1839، نب 2 = 183.94
ط = 3: ص 3 = 0.0613، نب 3 = 61.31
ط = 4: ص 4 = 0.0153، نب 4 = 15.33
ط = 5: ص 5 = 0.0031، np 5 = 3.07
ط = 6: 17=14 + 3
ط = 6: 18.39=15.33 + 3.07

أنا	التردد المرصود n i	باي	التردد المتوقع np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

دعونا نحدد حدود المنطقة الحرجة. وبما أن إحصائية بيرسون تقيس الفرق بين التوزيعات التجريبية والنظرية، فكلما زادت قيمتها المرصودة K obs، أصبحت الحجة ضد الفرضية الرئيسية أقوى.
ولذلك، فإن المنطقة الحرجة لهذه الإحصائيات هي دائمًا اليد اليمنى :)