الإعلان على البوابة

طريقة النمذجة الثابتة لصيغ مونت كارلو. كيف يتم تنفيذ محاكاة مونت كارلو. لا توجد مفاهيم في علاقة "الكائن بالنموذج".

يوتيوب الموسوعي

    1 / 5

    ✪ قاعدة الإبهام - طريقة مونت كارلو

    ✪ ديمتري كازاكوف - الكواركات

    ✪ [الندوة]: تألق وفقر الأساليب الرياضية في البحوث التطبيقية

    ✪ المحاضرة الأولى: الأخطاء الحسابية

    ✪ إيلينا براون - أسطورة ريتشارد الثالث

    ترجمات

قصة

خوارزمية بوفون لتحديد باي

عدد الرميات عدد التقاطعات طول الإبرة المسافة بين السطور دوران قيمة باي خطأ
أول محاولة 500 236 3 4 غائب 3.1780 +3,6⋅10 -2
محاولة ثانية 530 253 3 4 حاضر 3.1423 +7,0⋅10 -4
المحاولة الثالثة 590 939 5 2 حاضر 3.1416 +4,7⋅10 -5

تعليقات:

العلاقة بين العمليات العشوائية والمعادلات التفاضلية

بدأ إنشاء الجهاز الرياضي للأساليب العشوائية في نهاية القرن التاسع عشر. في عام 1899، أظهر اللورد رايلي أن السير العشوائي أحادي البعد على شبكة لا نهائية يمكن أن يعطي حلاً تقريبيًا لنوع من المعادلات التفاضلية المكافئة. أعطى أندريه نيكولايفيتش كولموغوروف في عام 1931 زخمًا كبيرًا لتطوير الأساليب العشوائية لحل المشكلات الرياضية المختلفة، لأنه كان قادرًا على إثبات أن سلاسل ماركوف مرتبطة بمعادلات تفاضلية تكاملية معينة. في عام 1933، أظهر إيفان جورجيفيتش بتروفسكي أن السير العشوائي الذي يشكل سلسلة ماركوف يرتبط بشكل مقارب بحل معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية. وبعد هذه الاكتشافات، أصبح من الواضح أنه يمكن وصف العمليات العشوائية بالمعادلات التفاضلية، وبالتالي دراستها باستخدام طرق رياضية متطورة لحل هذه المعادلات في ذلك الوقت.

ولادة طريقة مونت كارلو في لوس ألاموس

تم تطوير الفكرة من قبل أولام، الذي كان يتساءل أثناء لعب لعبة السوليتير أثناء تعافيه من المرض عن احتمالية نجاح لعبة السوليتير. بدلاً من استخدام الاعتبارات التوافقية المعتادة لمثل هذه المشكلات، اقترح أولام أنه يمكن للمرء ببساطة إجراء التجربة لعدد كبير من المرات، ومن خلال حساب عدد النتائج الناجحة، تقدير الاحتمالية. كما اقترح استخدام أجهزة الكمبيوتر لحسابات مونت كارلو.

أدى ظهور أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية الأولى، التي يمكنها توليد أرقام عشوائية زائفة بسرعة عالية، إلى توسيع نطاق المشكلات بشكل كبير والتي تبين أن النهج العشوائي أكثر فعالية في حلها من الأساليب الرياضية الأخرى. وبعد ذلك حدثت طفرة كبيرة، وتم استخدام طريقة مونت كارلو في العديد من المسائل، لكن استخدامها لم يكن مبرراً دائماً بسبب العدد الكبير من الحسابات المطلوبة للحصول على إجابة بدقة معينة.

تعتبر سنة ميلاد طريقة مونت كارلو هي عام 1949، عندما تم نشر مقال متروبوليس وأولام "طريقة مونت كارلو". يأتي اسم هذه الطريقة من اسم إحدى البلديات في إمارة موناكو، المعروفة على نطاق واسع بكازينوهاتها العديدة، حيث أن لعبة الروليت هي واحدة من أكثر مولدات الأرقام العشوائية شهرة. كتب ستانيسلاف أولام في سيرته الذاتية، مغامرات عالم رياضيات، أن الاسم اقترحه نيكولاس متروبوليس تكريمًا لعمه، الذي كان مقامرًا.

مزيد من التطور والحداثة

التكامل مونت كارلو

لنفترض أننا بحاجة إلى أخذ تكامل بعض الوظائف. دعونا نستخدم وصفًا هندسيًا غير رسمي للتكامل ونفهمه على أنه المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني لهذه الدالة.

لتحديد هذه المنطقة، يمكنك استخدام إحدى طرق التكامل العددي المعتادة: تقسيم الجزء إلى أجزاء فرعية، وحساب المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة على كل منها وإضافتها. لنفترض أنه بالنسبة للوظيفة المعروضة في الشكل 2، يكفي تقسيمها إلى 25 جزءًا، وبالتالي حساب 25 قيمة دالة. دعونا نتخيل الآن أننا نتعامل مع ن (\displaystyle n)- وظيفة الأبعاد. ثم نحتاج 25 ن (\displaystyle 25^(n))المقاطع ونفس عدد حسابات قيمة الوظيفة. عندما يكون بُعد الدالة أكبر من 10، تصبح المشكلة هائلة. وبما أن الفضاءات عالية الأبعاد تحدث، على وجه الخصوص، في مشاكل نظرية الأوتار، فضلا عن العديد من المشاكل الفيزيائية الأخرى حيث توجد أنظمة ذات درجات عديدة من الحرية، فمن الضروري أن يكون هناك طريقة حل لا يعتمد تعقيدها الحسابي بقوة على البعد. وهذه هي بالضبط الخاصية التي تتمتع بها طريقة مونت كارلو.

خوارزمية التكامل التقليدية مونت كارلو

لنفترض أننا بحاجة إلى حساب تكامل محدد ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

النظر في المتغير العشوائي ش (\displaystyle u)، موزعة بشكل موحد على فترة التكامل. ثم سيكون أيضًا متغيرًا عشوائيًا، ويتم التعبير عن توقعه الرياضي كـ
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \,دكس)، أين φ (x) (\displaystyle \varphi (x))- كثافة التوزيع متغير عشوائي ش (\displaystyle u)، متساوي 1 ب − أ (\displaystyle (\frac (1)(b-a)))الموقع على [ أ , ب ] (\displaystyle ).

وبالتالي، يتم التعبير عن التكامل المطلوب كما
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( ش)).

لكن التوقع الرياضي لمتغير عشوائي و (ش) (\displaystyle f(u))ويمكن تقديرها بسهولة عن طريق محاكاة هذا المتغير العشوائي وحساب متوسط ​​العينة.

لذا، دعونا نتوقف ن (\displaystyle N)النقاط موزعة بالتساوي [ أ , ب ] (\displaystyle )، لكل نقطة ش أنا (\displaystyle u_(i))احسب و (u i) (\displaystyle f(u_(i))). ثم نحسب متوسط ​​العينة : 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

ونتيجة لذلك، نحصل على تقدير للتكامل: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\approx (\frac (b-a) (N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i)))

دقة التقدير تعتمد فقط على عدد النقاط ن (\displaystyle N).

هذه الطريقة لها أيضًا تفسير هندسي. إنها تشبه إلى حد كبير الطريقة الحتمية الموصوفة أعلاه، مع الاختلاف في أنه بدلاً من تقسيم منطقة التكامل بشكل موحد إلى فترات صغيرة وجمع مساحات "الأعمدة" الناتجة، فإننا نرمي نقاطًا عشوائية على منطقة التكامل، والتي نحسب على كل منها بناء نفس "العمود"، وتحديد عرضه كيف ب − أ N (\displaystyle (\frac (b-a)(N)))، وتلخيص مناطقهم.

خوارزمية التكامل الهندسي مونت كارلو

لتحديد المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة، يمكنك استخدام الخوارزمية العشوائية التالية:

بالنسبة لعدد صغير من أبعاد الدالة القابلة للتكامل، يكون أداء تكامل مونت كارلو أقل بكثير من أداء الطرق الحتمية. ومع ذلك، في بعض الحالات، عندما يتم تحديد الدالة ضمنيًا، ومن الضروري تحديد المنطقة المحددة على شكل متباينات معقدة، قد تكون الطريقة العشوائية أكثر تفضيلاً.

استخدام العينات الدلالية

وبنفس عدد النقاط العشوائية، يمكن زيادة دقة الحسابات عن طريق تقريب المساحة المحددة للوظيفة المطلوبة من الوظيفة نفسها. للقيام بذلك، من الضروري استخدام متغيرات عشوائية ذات توزيع يكون شكله أقرب ما يكون إلى شكل الدالة التي يتم دمجها. وهذا هو أساس إحدى طرق تحسين التقارب في حسابات مونت كارلو: أخذ العينات الدلالية.

تحسين

يمكن استخدام أشكال مختلفة من طريقة مونت كارلو لحل مشاكل التحسين. على سبيل المثال، خوارزمية التلدين المحاكية.

التطبيق في الفيزياء

تلعب النمذجة الحاسوبية دورًا مهمًا في الفيزياء الحديثة وتعد طريقة مونت كارلو واحدة من أكثر الطرق شيوعًا في العديد من المجالات فيزياء الكمإلى فيزياء الحالة الصلبة، وفيزياء البلازما، والفيزياء الفلكية.

خوارزمية متروبوليس

تقليديا، تم استخدام طريقة مونت كارلو لتحديد المعلمات الفيزيائية المختلفة للأنظمة في حالة التوازن الديناميكي الحراري. لنفترض أن هناك مجموعة من الحالات المحتملة للنظام المادي س (\displaystyle S). لتحديد القيمة المتوسطة ا ¯ (\displaystyle (\overline (A)))بعض الحجم أ (\displaystyle A)يحتاج إلى حساب A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S))، حيث يتم تنفيذ الجمع على جميع الولايات س (\displaystyle S)من ث (س) (\displaystyle W(S)), ف (س) (\displaystyle P(S))- احتمال الدولة س (\displaystyle S).

الصيغة الديناميكية (الحركية).

محاكاة مونت كارلو المباشرة

تتضمن نمذجة مونت كارلو المباشرة لأي عملية فيزيائية نمذجة سلوك الأجزاء الأولية الفردية للنظام الفيزيائي. في جوهرها، هذه النمذجة المباشرة قريبة من حل المشكلة من المبادئ الأولى، ولكن عادة، لتسريع العمليات الحسابية، يُسمح باستخدام بعض التقديرات الفيزيائية. ومن الأمثلة على ذلك حساب العمليات المختلفة باستخدام طريقة الديناميكيات الجزيئية: من ناحية، يتم وصف النظام من خلال سلوك مكوناته الأولية، ومن ناحية أخرى، فإن إمكانات التفاعل المستخدمة غالبًا ما تكون تجريبية.

أمثلة لمحاكاة مونت كارلو المباشرة:

  • محاكاة التشعيع المواد الصلبةالأيونات في تقريب الاصطدام الثنائي.
  • محاكاة مونت كارلو المباشرة للغازات النادرة.
  • معظم نماذج مونت كارلو الحركية مباشرة (على وجه الخصوص، دراسة تنضيد الشعاع الجزيئي).

طريقة مونت كارلو الكمية

تُستخدم طريقة مونت كارلو الكمومية على نطاق واسع لدراسة الجزيئات والمواد الصلبة المعقدة. يجمع هذا الاسم بين عدة طرق مختلفة. أولها طريقة مونت كارلو التغايرية، وهي في الأساس التكامل العددي للتكاملات متعددة الأبعاد التي تنشأ عند حل معادلة شرودنغر. يتطلب حل مشكلة تتضمن 1000 إلكترون أخذ تكاملات ذات 3000 بعد، ولحل مثل هذه المشكلات تتمتع طريقة مونت كارلو بميزة أداء هائلة مقارنة بطرق التكامل العددي الأخرى. هناك اختلاف آخر في طريقة مونت كارلو وهي طريقة مونت كارلو الانتشارية.

محاضرة 5.

طريقة مونت كارلو

الموضوع 3. العمليات الطابورفي النظم الاقتصادية

1. ملاحظات تمهيدية. 1

2. المخطط العام لطريقة مونت كارلو. 2

3. مثال لحساب نظام الانتظار باستخدام طريقة مونت كارلو. 4

أسئلة الاختبار...5

1. ملاحظات تمهيدية

طريقة النمذجة الإحصائية على الكمبيوتر هي الطريقة الرئيسية للحصول على النتائج باستخدام نماذج محاكاة للأنظمة العشوائية، وذلك باستخدام نظريات الحد من نظرية الاحتمالات كأساس نظري. الأساس هو طريقة الاختبار الإحصائي مونت كارلو.

يمكن تعريف طريقة مونت كارلو بأنها طريقة لمحاكاة المتغيرات العشوائية لحساب خصائص توزيعاتها. كقاعدة عامة، من المفترض أن يتم تنفيذ النمذجة باستخدام أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية، على الرغم من أنه في بعض الحالات يمكن تحقيق النجاح باستخدام أجهزة مثل شريط القياس وقلم الرصاص والورق.

يشير مصطلح "طريقة مونت كارلو" (الذي صاغه ج. فون نيومان في أربعينيات القرن العشرين) إلى محاكاة العمليات باستخدام مولد أرقام عشوائي. مصطلح مونت كارلو (مدينة معروفة على نطاق واسع بكازينوهاتها) يأتي من حقيقة أن "عدد الاحتمالات" (تقنيات محاكاة مونت كارلو) تم استخدامه لغرض إيجاد تكاملات المعادلات المعقدة في تطوير الأول القنابل النووية(تكاملات ميكانيكا الكم). ومن خلال توليد عينات كبيرة من الأرقام العشوائية، على سبيل المثال، من عدة توزيعات، يمكن تقريب تكاملات هذه التوزيعات (المعقدة) من البيانات (التي تم إنشاؤها).


يعود ظهور فكرة استخدام الظواهر العشوائية في مجال الحسابات التقريبية عادة إلى عام 1878، عندما ظهر عمل هول على تحديد الأعداد p عن طريق رمي إبرة بشكل عشوائي على ورق مميز بخطوط متوازية. جوهر الأمر هو إعادة إنتاج حدث تجريبيًا، والذي يتم التعبير عن احتماله من خلال الرقم p، وتقدير هذا الاحتمال تقريبًا.

ظهرت الأعمال المحلية على طريقة مونت كارلو على مر السنين. على مدى عقدين من الزمن، تم تجميع ببليوغرافيا واسعة النطاق باستخدام طريقة مونت كارلو، والتي تشمل أكثر من 2000 عنوان. علاوة على ذلك، فإن مجرد إلقاء نظرة سريعة على عناوين الأعمال يسمح للمرء باستخلاص استنتاج حول إمكانية تطبيق طريقة مونت كارلو لحل المشكلة. المشاكل التطبيقيةمن عدد كبيرمجالات العلوم والتكنولوجيا.

في البداية، تم استخدام طريقة مونت كارلو بشكل أساسي لحل المشكلات في فيزياء النيوترونات، حيث تبين أن الطرق العددية التقليدية ليست ذات فائدة تذكر. علاوة على ذلك، انتشر تأثيره إلى فئة واسعة من المشاكل في الفيزياء الإحصائية، مختلفة جدًا في المحتوى. تشمل فروع العلوم التي يتم فيها استخدام طريقة مونت كارلو بشكل متزايد، مشاكل في نظرية الطابور، ومشاكل في نظرية الألعاب والاقتصاد الرياضي، ومشاكل في نظرية نقل الرسائل في ظل وجود تداخل، وعدد من الآخرين.

كان لطريقة مونت كارلو ولا تزال لها تأثير كبير على تطوير طريقة الرياضيات الحسابية (على سبيل المثال، تطوير طرق التكامل العددي)، وفي حل العديد من المشاكل، يتم دمجها بنجاح مع الطرق الحسابية الأخرى وتكملها . استخدامه له ما يبرره في المقام الأول في تلك المشاكل التي تسمح بالوصف النظري الاحتمالي. يتم تفسير ذلك من خلال طبيعية الحصول على إجابة باحتمالية معينة في المشكلات ذات المحتوى المحتمل، ومن خلال التبسيط الكبير لإجراءات الحل. تتحدد صعوبة حل مشكلة معينة على الكمبيوتر إلى حد كبير بصعوبة ترجمتها إلى "لغة" الآلة. لقد أدى إنشاء لغات البرمجة التلقائية إلى تبسيط إحدى مراحل هذا العمل بشكل كبير. ولذلك فإن أصعب المراحل في الوقت الحاضر هي: الوصف الرياضي للظاهرة قيد الدراسة، والتبسيط اللازم للمشكلة، واختيار الطريقة العددية المناسبة، ودراسة خطأها وتسجيل الخوارزمية. في الحالات التي يوجد فيها وصف احتمالي نظري للمشكلة، فإن استخدام طريقة مونت كارلو يمكن أن يبسط المراحل الوسيطة المذكورة بشكل كبير. ومع ذلك، كما سيتبع مما يلي، في كثير من الحالات يكون من المفيد أيضًا للمشكلات الحتمية الصارمة بناء نموذج احتمالي (ترتيب المشكلة الأصلية بشكل عشوائي) من أجل مواصلة استخدام طريقة مونت كارلو.

2. المخطط العام لطريقة مونت كارلو

لنفترض أننا بحاجة إلى حساب كمية غير معروفة m، ونريد القيام بذلك عن طريق النظر في متغير عشوائي بحيث يكون توقعه الرياضي M، = m. دع تباين هذا المتغير العشوائي يكون D = b.

لنفكر في N من المتغيرات العشوائية المستقلة،،...، التي تتزامن توزيعاتها مع توزيع المتغير العشوائي قيد النظر ξ..gif" width="247" height="48">

يمكن إعادة كتابة العلاقة الأخيرة كـ

تعطي الصيغة الناتجة طريقة لحساب m وتقديرًا لخطأ هذه الطريقة.

يتمثل جوهر استخدام طريقة مونت كارلو في تحديد النتائج بناءً على الإحصائيات التي تم الحصول عليها في وقت اتخاذ قرار معين.

على سبيل المثال.لنفترض أن E1 وE2 هما التطبيقان الوحيدان المحتملان لبعض العمليات العشوائية، وp1 هو احتمال النتيجة E1، وp2 = 1 – p1 هو احتمال النتيجة E2. لتحديد أي من الحدثين، e1 أو E2، سيحدث في هذه الحالة، نأخذ رقمًا عشوائيًا في الفترة بين 0 و 1، موزعًا بشكل موحد في الفترة (0، 1)، ونجري اختبارًا. سوف تحدث النتيجة E1 إذا، وستحدث النتيجة E2 بطريقة أخرى.

وبالتالي، فإن موثوقية النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام طريقة مونت كارلو يتم تحديدها بشكل حاسم من خلال جودة مولد الأرقام العشوائية.

للحصول على أرقام عشوائية على جهاز الكمبيوتر، يتم استخدام طرق التوليد، والتي تعتمد عادة على تكرار عملية معينة عدة مرات. يُطلق على التسلسل الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة بشكل أكثر ملاءمة اسم الأرقام العشوائية الزائفة، نظرًا لأن التسلسل الذي تم إنشاؤه يكون دوريًا، بدءًا من لحظة معينة، ستبدأ الأرقام في التكرار. وينبع هذا من حقيقة أنه لا يمكن كتابة سوى عدد محدود في كود الكمبيوتر أرقام مختلفة. وبالتالي، في النهاية، سيتطابق أحد الأرقام التي تم إنشاؤها γ1 مع أحد الأعضاء السابقين في التسلسل γL. وبما أن التوليد يتم وفق صيغة النموذج


γк+1 = F(γk)،

من هذه اللحظة فصاعدا، سيتم تكرار الأعضاء المتبقين في التسلسل.

يشكل استخدام الأرقام العشوائية الموزعة بشكل موحد أساس محاكاة مونت كارلو. يمكننا القول أنه إذا تم تحديد متغير عشوائي معين باستخدام طريقة مونت كارلو، فإنه تم استخدام سلسلة من الأرقام العشوائية الموزعة بشكل منتظم لحسابه.

تتراوح الأرقام العشوائية الموزعة بشكل موحد من 0 إلى 1 ويتم اختيارها عشوائيًا وفقًا لوظيفة التوزيع

F(س) = ص(Х< х} = х, .

ومع هذا التوزيع، فإن حدوث أي قيم للمتغير العشوائي في الفترة (0، 1) يكون معقولاً بنفس القدر. هنا العلاقات العامة (X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

الطريقة الرئيسية للحصول على أرقام عشوائية هي إنشاء وحداتها. دع m، a، c، x0 تكون أعدادًا صحيحة بحيث m > x0 و a، c، x0 > 0. يتم الحصول على الرقم العشوائي الزائف xi من التسلسل (xi) باستخدام علاقة التكرار

الحادي عشر = الحادي عشر -1 + ج (وزارة الدفاع م).

تعتمد الخصائص العشوائية للأرقام الناتجة بشكل حاسم على اختيار m وa وc. يؤدي اختيارهم السيئ إلى نتائج خاطئة في محاكاة مونت كارلو.

تتطلب عمليات المحاكاة العددية غالبًا عددًا كبيرًا من الأرقام العشوائية. لذلك، يجب أن تكون فترة تسلسل الأرقام العشوائية التي تم إنشاؤها، وبعدها يبدأ التسلسل في التكرار، كبيرة جدًا. ويجب أن يكون أكبر بكثير من عدد الأرقام العشوائية المطلوبة للنمذجة، وإلا سيتم تشويه النتائج التي تم الحصول عليها.

تحتوي معظم أجهزة الكمبيوتر وحزم البرامج على مولد أرقام عشوائي. ومع ذلك، فإن معظم الاختبارات الإحصائية تظهر الارتباط بين الأرقام العشوائية الناتجة.

هناك اختبار سريع يمكنك استخدامه للتحقق من كل مولد. يمكن إثبات جودة مولد الأرقام العشوائية من خلال ملء شبكة ثلاثية الأبعاد بالكامل (على سبيل المثال، ثنائية أو ثلاثية الأبعاد). يجب أن يملأ المولد الجيد كامل مساحة المكعب الفائق.

هناك طريقة تقريبية أخرى للتحقق من انتظام توزيع الأرقام العشوائية N xi وهي حساب توقعاتها الرياضية وتباينها. ووفقاً لهذا المعيار، يجب توافر الشروط التالية للتوزيع الموحد:

هناك العديد من الاختبارات الإحصائية التي يمكن استخدامها لاختبار ما إذا كان التسلسل عشوائيًا أم لا. يعتبر المعيار الطيفي هو الأكثر دقة. على سبيل المثال، معيار شائع جدًا يسمى معيار KS، أو معيار كولموجوروف-سميرنوف. يوضح الفحص، على سبيل المثال، أن منشئ الأرقام العشوائية في جداول بيانات Excel لا يلبي هذا المعيار.

من الناحية العملية، تكمن المشكلة الرئيسية في إنشاء منشئ أرقام عشوائية بسيط وموثوق يمكنك استخدامه في برامجك. للقيام بذلك، يقترح الإجراء التالي.

في بداية البرنامج، يتم تعيين قيمة معينة للمتغير X بأكمله X0. ثم يتم إنشاء أرقام عشوائية وفقا للقاعدة

X = (أكس + ج) مود م. (1)

يجب أن يتم اختيار المعلمات باستخدام المبادئ الأساسية التالية.

1. يمكن اختيار الرقم الأولي X0 بشكل تعسفي. إذا تم استخدام البرنامج عدة مرات وفي كل مرة يتطلب مصادر مختلفة للأرقام العشوائية، فيمكنك، على سبيل المثال، تعيين X0 قيمة X التي تم الحصول عليها آخر مرة في التشغيل السابق.

2. يجب أن يكون الرقم m كبيرًا، على سبيل المثال، 230 (نظرًا لأن هذا الرقم هو الذي يحدد فترة التسلسل العشوائي الزائف الذي تم إنشاؤه).

3.إذا كانت m قوة لاثنين، فاختر ذلك أ mod8 = 5. إذا كانت m قوة للعدد 10، فاختر ذلك أ mod10 = 21. يضمن هذا الاختيار أن مولد الأرقام العشوائية سينتج جميع القيم الممكنة قبل البدء في التكرار.

4. المضاعف أيكون الاختيار المفضل بين 0.01 م و0.99 م، ويجب ألا تحتوي أرقامه الثنائية أو العشرية على بنية منتظمة بسيطة. يجب أن يجتاز المضاعف المعيار الطيفي، ويفضل أن يجتاز عدة معايير أخرى.

5. إذا أيعد مضاعفًا جيدًا، وقيمة c ليست مهمة، باستثناء أنه لا ينبغي أن يكون لـ c مضاعف مشترك مع m إذا كان m هو حجم كلمة الكمبيوتر. يمكنك، على سبيل المثال، اختيار c = 1 أو c = a.

6. لا يمكنك توليد أكثر من م/1000 رقم عشوائي. بعد ذلك، يجب استخدام دائرة جديدة، على سبيل المثال مضاعف جديد أ.

تتعلق القواعد المدرجة بشكل أساسي بلغة برمجة الآلة. للغة البرمجة مستوى عالعلى سبيل المثال C++، غالبًا ما يتم استخدام خيار آخر (1): يتم تحديد عدد أولي m قريب من أكبر عدد صحيح يمكن حسابه بسهولة، ويتم تعيين قيمة a مساوية لجذر المشتق العكسي لـ m، ويتم أخذ c مساوية لـ صفر. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ أ= 48271 و ر =

3. مثال لحساب نظام الانتظار باستخدام طريقة مونت كارلو

دعونا نفكر أبسط نظامخدمة قائمة الانتظار (QS)، والتي تتكون من عدد n من الخطوط (وتسمى أيضًا القنوات أو نقاط الخدمة). في أوقات عشوائية، يتم تلقي الطلبات في النظام. يصل كل طلب على السطر رقم 1. إذا كان هذا الخط مجانيًا وقت استلام المظهر Tk، فستتم خدمة الطلب في الوقت t3 (وقت انشغال الخط). إذا كان الخط مشغولاً، فسيتم تحويل الطلب على الفور إلى السطر رقم 2، وما إلى ذلك. إذا كانت جميع الخطوط n مشغولة حاليًا، فسيصدر النظام رفضًا.

تتمثل المهمة الطبيعية في تحديد خصائص نظام معين يمكن من خلاله تقييم فعاليته: متوسط ​​وقت انتظار الخدمة، والنسبة المئوية لوقت توقف النظام، ومتوسط ​​طول قائمة الانتظار، وما إلى ذلك.

بالنسبة لمثل هذه الأنظمة، فإن طريقة الحساب الوحيدة عمليًا هي طريقة مونت كارلو.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

تُستخدم الخوارزميات للحصول على أرقام عشوائية على جهاز كمبيوتر، وبالتالي فإن مثل هذه التسلسلات، والتي هي في الأساس حتمية، تسمى عشوائية زائفة. يعمل الكمبيوتر بأرقام n بت، لذلك بدلاً من المجموعة المستمرة من الأرقام العشوائية المنتظمة للفاصل الزمني (0،1)، يتم استخدام تسلسل منفصل من 2n أرقام عشوائية لنفس الفاصل الزمني على الكمبيوتر - قانون التوزيع لـ يسمى هذا التسلسل المنفصل بالتوزيع شبه الموحد.

متطلبات مولد الأرقام العشوائية المثالي:

1. يجب أن يتكون التسلسل من أرقام موزعة بشكل شبه منتظم.

2. يجب أن تكون الأرقام مستقلة.

3. يجب أن تكون التسلسلات الرقمية العشوائية قابلة للتكرار.

4. يجب أن تحتوي التسلسلات على أرقام غير متكررة.

5. ينبغي الحصول على التسلسلات بأقل قدر ممكن من الموارد الحسابية.

تم العثور على أعظم تطبيق في ممارسة النمذجة الحاسوبية لتوليد تسلسلات من الأرقام العشوائية الزائفة في خوارزميات النموذج:

وهي علاقات متكررة من الدرجة الأولى.

على سبيل المثال. x0 = 0.2152، (x0)2=0، x1 = 0.6311، (x1)2=0، x2=0.8287، إلخ.

وعيب هذه الطرق هو وجود ارتباط بين الأرقام في التسلسل، وفي بعض الأحيان لا توجد عشوائية على الإطلاق، على سبيل المثال:

x0 = 0.4500، (x0)2=0، x1 = 0.2500، (x1)2=0، x2=0.2500، إلخ.

أصبحت الإجراءات المتطابقة لتوليد تسلسلات عشوائية زائفة مستخدمة على نطاق واسع.

عددان صحيحان a وb متطابقان (قابلان للمقارنة) modulo m، حيث m هو عدد صحيح، إذا وفقط إذا كان هناك عدد صحيح k بحيث a-b=km.

1984°4 (النموذج 10)، 5008°8 (النموذج 103).

تعتمد معظم إجراءات توليد الأرقام العشوائية المتطابقة على الصيغة التالية:

أين الأعداد الصحيحة غير السالبة.

باستخدام الأعداد الصحيحة للمتتابعة (Xi)، يمكننا بناء المتتابعة (xi)=(Xi/M) أرقام نسبيةمن فاصل الوحدة (0,1).

قبل النمذجة، يجب أن تخضع مولدات الأرقام العشوائية المستخدمة لاختبارات أولية شاملة للتوحيد والتصادفية واستقلالية التسلسل الناتج من الأرقام العشوائية.

طرق تحسين جودة التسلسلات الرقمية العشوائية:

1. استخدام الصيغ المتكررة من الترتيب r:

لكن استخدام هذه الطريقة يؤدي إلى زيادة تكلفة الموارد الحاسوبية للحصول على الأرقام.

2. طريقة الاضطراب:

.

5. نمذجة التأثيرات العشوائية على الأنظمة

1. يجب تنفيذها حدث عشوائي A، يحدث مع احتمال معين ص. دعونا نعرّف A على أنه الحدث الذي تكون فيه القيمة المحددة xi لمتغير عشوائي موزعة بشكل موحد على الفاصل الزمني (0،1) تلبي عدم المساواة:

إذن احتمال الحدث A سيكون https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25">،

يتكون إجراء محاكاة الاختبار في هذه الحالة من مقارنة تسلسلية للأرقام العشوائية xi مع قيم lr. فإذا تحقق الشرط تكون نتيجة الاختبار هي الحدث صباحا.

3. خذ بعين الاعتبار الحدثين المستقلين A وB مع احتمالات حدوثهما pA وpB. النتائج المحتملة للتجارب المشتركة في هذه الحالة ستكون الأحداث AB، مع احتمالات pArB، (1-pA)pB، pA(1-pB)، (1-pA)(1-pB). لمحاكاة الاختبارات المشتركة، يمكن استخدام نوعين مختلفين من الإجراء:

التنفيذ المتسق للإجراء الذي تمت مناقشته في الفقرة 1.

تحديد إحدى نتائج AB، بالقرعة مع الاحتمالات المقابلة، أي الإجراء الذي تمت مناقشته في الفقرة 2.

سيتطلب الخيار الأول رقمين xi ومقارنتين. مع الخيار الثاني، يمكنك الحصول على رقم واحد xi، ولكن قد تكون هناك حاجة لمزيد من المقارنات. من وجهة نظر ملاءمة بناء خوارزمية النمذجة وحفظ عدد العمليات وذاكرة الكمبيوتر، فإن الخيار الأول هو الأفضل.

4. الحدثان A وB مستقلان ويحدثان باحتمالات pA وpB. دعونا نشير بالرمز pA(B) إلى الاحتمال المشروط لحدوث الحدث B، بشرط وقوع الحدث A.

أسئلة التحكم

1) كيف يمكنك تحديد طريقة مونت كارلو؟

2) الأهمية العملية لطريقة مونت كارلو.

3) المخطط العام لطريقة مونت كارلو.

4) مثال لحساب نظام الانتظار باستخدام طريقة مونت كارلو.

5) طرق توليد الأرقام العشوائية.

6) ما هي متطلبات مولد الأرقام العشوائية المثالي؟

7) طرق تحسين جودة التسلسلات الرقمية العشوائية.

جزء لا يتجزأ من أي قرار نتخذه. إننا نواجه باستمرار حالة من عدم اليقين والغموض والتقلب. وحتى مع الوصول غير المسبوق إلى المعلومات، لا يمكننا التنبؤ بالمستقبل بدقة. تسمح لك محاكاة مونت كارلو (المعروفة أيضًا باسم طريقة مونت كارلو) بالنظر في جميع العواقب المحتملة لقراراتك وتقييم تأثير المخاطر، مما يسمح لك باتخاذ قرارات أفضل في ظل ظروف عدم اليقين.

ما هي محاكاة مونت كارلو؟
محاكاة مونت كارلو هي تقنية رياضية آلية مصممة لدمج المخاطر في التحليل الكمي وعملية صنع القرار. يتم استخدام هذه المنهجية من قبل متخصصين في مجالات مختلفة مثل التمويل وإدارة المشاريع والطاقة والتصنيع والهندسة والبحث والتطوير والتأمين والنفط والغاز والنقل وحماية البيئة.

في كل مرة أثناء عملية اختيار مسار العمل الإضافي، تسمح محاكاة مونت كارلو لصانع القرار بالنظر في مجموعة كاملة من العواقب المحتملة وتقييم احتمالية حدوثها. توضح هذه الطريقة الاحتمالات التي تقع على طرفي نقيض من الطيف (نتائج التدخل الشامل واتخاذ التدابير الأكثر تحفظا)، فضلا عن العواقب المحتملة للقرارات المعتدلة.

تم استخدام هذه الطريقة لأول مرة من قبل العلماء المشاركين في تطوير القنبلة الذرية؛ تم تسميته على اسم منتجع مونتي كارلو في موناكو المشهور بالكازينوهات. وبعد أن انتشرت على نطاق واسع خلال الحرب العالمية الثانية، بدأ استخدام طريقة مونت كارلو لمحاكاة جميع أنواع الأنظمة الفيزيائية والنظرية.

عرض التقييمات
دوغلاس هوبارد
بحوث القرار هوبارد
الوقت: 00:35 ثانية

"إن محاكاة مونت كارلو هي الطريقة الوحيدة لتحليل القرارات الحاسمة في ظل ظروف عدم اليقين."

جون تشاو
شركة سنكور للطاقة
الوقت: 02:36 دقيقة

"لقد أصبح إجراء عمليات محاكاة مونت كارلو لتقدير التكاليف الرأسمالية [في شركة Suncor] أحد متطلبات أي مشروع كبير."

كيف يتم تنفيذ محاكاة مونت كارلو
ضمن طريقة مونت كارلو، يتم إجراء تحليل المخاطر باستخدام نماذج النتائج المحتملة. عند إنشاء مثل هذه النماذج، يتم استبدال أي عامل يتميز بعدم اليقين بمجموعة من القيم - التوزيع الاحتمالي. يتم بعد ذلك حساب النتائج عدة مرات، في كل مرة باستخدام مجموعة مختلفة من قيم دالة الاحتمال العشوائية. في بعض الأحيان، لإكمال المحاكاة، قد يكون من الضروري إجراء آلاف أو حتى عشرات الآلاف من عمليات إعادة الحساب، اعتمادًا على عدد حالات عدم اليقين والنطاقات المحددة لها. تسمح محاكاة مونت كارلو بالحصول على توزيعات لقيم العواقب المحتملة.

عند استخدام التوزيعات الاحتمالية، يمكن أن يكون للمتغيرات احتمالات مختلفة لحدوث عواقب مختلفة. تعد التوزيعات الاحتمالية طريقة أكثر واقعية لوصف عدم اليقين بشأن المتغيرات في عملية تحليل المخاطر. التوزيعات الاحتمالية الأكثر شيوعًا مذكورة أدناه.

التوزيع الطبيعي(أو "منحنى باوسي").لوصف الانحراف عن المتوسط، يحدد المستخدم القيمة المتوسطة أو المتوقعة والانحراف المعياري. تتميز القيم الموجودة في المنتصف بجوار المتوسط ​​بأعلى احتمالية. التوزيع الطبيعي متماثل ويصف العديد من الظواهر الشائعة - على سبيل المثال، ارتفاع الأشخاص. ومن أمثلة المتغيرات التي توصف بالتوزيعات الطبيعية معدلات التضخم وأسعار الطاقة.

التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي.القيم منحرفة بشكل إيجابي، وعلى عكس التوزيع الطبيعي، فهي غير متماثلة. ويستخدم هذا التوزيع ليعكس الكميات التي لا تقل عن الصفر، ولكنها يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة غير محدودة. تتضمن أمثلة المتغيرات الموصوفة بالتوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية قيم العقارات وأسعار الأسهم واحتياطيات النفط.

التوزيع الموحد.يمكن أن تأخذ جميع الكميات قيمة أو أخرى باحتمال متساو؛ ويحدد المستخدم ببساطة الحد الأدنى والحد الأقصى. تتضمن أمثلة المتغيرات التي يمكن توزيعها بشكل موحد تكاليف الإنتاج أو الإيرادات من المبيعات المستقبلية لمنتج جديد.

التوزيع الثلاثي.يحدد المستخدم القيم الدنيا والاحتمالية والحد الأقصى. القيم الواقعة بالقرب من نقطة الاحتمال الأقصى لها أعلى احتمال. تتضمن المتغيرات التي يمكن وصفها بالتوزيع الثلاثي المبيعات التاريخية لكل وحدة زمنية ومستويات المخزون.

توزيع بيرت.يحدد المستخدم القيم الدنيا والأكثر ترجيحًا والحد الأقصى - كما هو الحال مع التوزيع الثلاثي. القيم الواقعة بالقرب من نقطة الاحتمال الأقصى لها أعلى احتمال. ومع ذلك، فإن القيم الموجودة في النطاق بين القيم الأكثر احتمالية والقيم المتطرفة من المرجح أن تظهر أكثر من التوزيع الثلاثي، أي أنه لا يوجد تركيز على القيم المتطرفة. مثال على استخدام توزيع PERT هو وصف مدة المهمة ضمن نموذج إدارة المشروع.

توزيع منفصل.يقوم المستخدم بتحديد قيم محددة من بين القيم الممكنة، وكذلك احتمالية الحصول على كل منها. مثال سيكون النتيجة محاكمة: احتمال 20% قرار إيجابي، 30% احتمال قرار سلبي، 40% احتمال اتفاق بين الطرفين و 10% احتمال إلغاء المحاكمة.

في محاكاة مونت كارلو، يتم اختيار القيم بشكل عشوائي من التوزيعات الاحتمالية الأصلية. تسمى كل عينة من القيم بالتكرار؛ يتم تسجيل النتيجة التي تم الحصول عليها من العينة. أثناء عملية النمذجة، يتم تنفيذ هذا الإجراء مئات أو آلاف المرات، والنتيجة هي توزيع احتمالي للعواقب المحتملة. وبالتالي، توفر محاكاة مونت كارلو صورة أكثر اكتمالا للأحداث المحتملة. فهو يسمح لك بالحكم ليس فقط على ما يمكن أن يحدث، ولكن أيضًا على مدى احتمالية حدوث مثل هذه النتيجة.

تتمتع محاكاة مونت كارلو بعدد من المزايا مقارنة بالتحليل الحتمي أو تقدير النقاط:

  • النتائج الاحتمالية.تظهر النتائج ليس فقط الأحداث المحتملة، ولكن أيضا احتمال حدوثها.
  • التمثيل البياني للنتائج.تسمح طبيعة البيانات التي تم الحصول عليها باستخدام طريقة مونت كارلو بإنشاء رسوم بيانية للعواقب المختلفة، بالإضافة إلى احتمالات حدوثها. وهذا مهم عند توصيل النتائج إلى أصحاب المصلحة الآخرين.
  • تحليل الحساسية.مع استثناءات قليلة، يجعل التحليل الحتمي من الصعب تحديد التأثيرات المتغيرة التي تؤدي إلى أكبر قدر من النتائج. عند تشغيل محاكاة مونت كارلو، من السهل معرفة أي المدخلات لها التأثير الأكبر على النتائج النهائية.
  • تحليل السيناريو.في النماذج الحتمية، من الصعب جدًا محاكاة مجموعات مختلفة من الكميات لقيم مدخلات مختلفة، وبالتالي تقييم تأثير سيناريوهات مختلفة حقًا. وباستخدام طريقة مونت كارلو، يستطيع المحللون تحديد المدخلات التي تؤدي إلى قيم معينة بالضبط وتتبع حدوث عواقب معينة. وهذا مهم جدا لمزيد من التحليل.
  • الارتباط بين البيانات المصدر.تسمح لك طريقة مونت كارلو بتكوين علاقات مترابطة بين متغيرات الإدخال. للحصول على معلومات موثوقة، من الضروري أن نتخيل الحالات التي عندما تزيد بعض العوامل، تزيد أو تنقص عوامل أخرى في المقابل.

يمكنك أيضًا تحسين نتائج محاكاة مونت كارلو الخاصة بك عن طريق أخذ العينات باستخدام طريقة Hypercube اللاتينية، والتي تختار بشكل أكثر دقة من مجموعة وظائف التوزيع بأكملها.

منتجات النمذجة باليسيد
باستخدام طريقة مونت كارلو
لقد أتاح ظهور التطبيقات المصممة للعمل مع جداول البيانات على أجهزة الكمبيوتر الشخصية فرصًا واسعة للمتخصصين لاستخدام طريقة مونت كارلو عند إجراء التحليل في الأنشطة اليومية. يعد Microsoft Excel واحدًا من أكثر الأدوات التحليلية لجداول البيانات شيوعًا، ويعد البرنامج هو المكون الإضافي الرئيسي لـ Palisade لبرنامج Excel، والذي يسمح لك بإجراء عمليات محاكاة مونت كارلو. تم تقديم @RISK لأول مرة لـ Lotus 1-2-3 على نظام التشغيل DOS في عام 1987 واكتسب على الفور سمعة ممتازة لدقته ومرونة النمذجة وسهولة الاستخدام. أدى ظهور Microsoft Project إلى إنشاء تطبيق منطقي آخر لتطبيق طريقة مونت كارلو. وكانت مهمته الرئيسية هي تحليل الشكوك والمخاطر المرتبطة بإدارة المشاريع الكبيرة.

النمذجة الإحصائية هي طريقة نمذجة أساسية تتضمن اختبار نموذج بمجموعة من الإشارات العشوائية ذات كثافة احتمالية معينة. والهدف من ذلك هو التعريف الإحصائينتائج الإخراج. تعتمد النمذجة الإحصائية على طريقة مونتي كارلو. دعونا نتذكر أن التقليد يستخدم عندما لا يمكن استخدام طرق أخرى.

طريقة مونت كارلو

لنفكر في طريقة مونت كارلو باستخدام مثال حساب التكامل الذي لا يمكن العثور على قيمته تحليليًا.

المهمة 1. أوجد قيمة التكامل:

في التين. 1.1 يظهر الرسم البياني للوظيفة F (س). لحساب قيمة تكامل هذه الدالة يعني إيجاد المساحة تحت هذا الرسم البياني.

أرز. 1.1

نحدد المنحنى من الأعلى إلى اليمين وإلى اليسار. نقوم بتوزيع النقاط بشكل عشوائي في مستطيل البحث. دعونا نشير بواسطة ن 1 عدد النقاط المقبولة للاختبار (أي أنها تقع في مستطيل، وتظهر هذه النقاط في الشكل 1.1 باللونين الأحمر والأزرق)، ومن خلال ن 2- عدد النقاط الموجودة أسفل المنحنى أي التي تقع في المنطقة المظللة تحت الدالة (هذه النقاط موضحة باللون الأحمر في الشكل 1.1). فمن الطبيعي أن نفترض أن عدد النقاط التي تقع تحت المنحنى بالنسبة إلى إجمالي عدد النقاط يتناسب مع المساحة تحت المنحنى (قيمة التكامل) بالنسبة إلى مساحة مستطيل الاختبار. رياضيا يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

هذه الأسباب، بالطبع، إحصائية وهي الأصح عدد أكبرسوف نأخذ نقاط الاختبار.

يبدو جزء من خوارزمية طريقة مونت كارلو في شكل مخطط كتلة كما هو موضح في الشكل. 1.2

أرز. 1.2

قيم ص 1 و ص 2 في الشكل. 1.2 أرقام عشوائية موزعة بشكل موحد من الفترات ( س 1 ; س 2 و ( ج 1 ; ج 2) وفقا لذلك.

تعتبر طريقة مونت كارلو فعالة وبسيطة للغاية، ولكنها تتطلب مولد أرقام عشوائية "جيدًا". المشكلة الثانية في تطبيق الطريقة هي تحديد حجم العينة، أي عدد النقاط المطلوبة لتقديم حل بدقة معينة. وتظهر التجارب أنه لزيادة الدقة بمقدار 10 مرات، يجب زيادة حجم العينة بمقدار 100 مرة؛ أي أن الدقة تتناسب تقريبًا مع الجذر التربيعي لحجم العينة:

مخطط لاستخدام طريقة مونت كارلو في دراسة الأنظمة ذات المعلمات العشوائية

بعد بناء نموذج لنظام ذي معلمات عشوائية، يتم توفير إشارات الإدخال من مولد الأرقام العشوائية (RNG) إلى مدخلاته، كما هو موضح في الشكل. 1.3 تم تصميم RNG بطريقة تنتجها بالتساوي وزعتأرقام عشوائية صص من الفاصل الزمني. نظرًا لأن بعض الأحداث قد تكون أكثر احتمالًا، فإن البعض الآخر أقل احتمالًا، ويتم تغذية أرقام عشوائية موزعة بشكل موحد من المولد إلى محول قانون الأرقام العشوائي (RLC)، والذي يحولها إلى منحمستخدم قانون التوزيع الاحتمالي، على سبيل المثال، القانون العادي أو الأسي. هذه الأرقام العشوائية المحولة ستغذية لإدخال النموذج. يقوم النموذج بمعالجة إشارة الإدخال سوفقا لبعض القوانين ذ = نهاية الخبر (س) ويستقبل إشارة الإخراج ذ، وهو عشوائي أيضًا.

النمذجة الإحصائية متغير عشوائي


أرز. 1.3

يتم تثبيت عوامل التصفية والعدادات في كتلة تراكم الإحصائيات (BNStat). يتم تحديد عامل التصفية (بعض الشروط المنطقية) حسب القيمة ذما إذا كان حدث معين قد تحقق في تجربة معينة (تحقق الشرط، F= 1) أو لا (لم يتم استيفاء الشرط، F= 0). في حالة وقوع الحدث، تتم زيادة عداد الأحداث بمقدار واحد. إذا لم يتحقق الحدث، فإن قيمة العداد لا تتغير. إذا كنت بحاجة إلى مراقبة عدة أنواع مختلفة من الأحداث، فستحتاج إلى العديد من المرشحات والعدادات للنمذجة الإحصائية ن أنا. يتم الاحتفاظ دائمًا بعداد لعدد التجارب - ن.

مزيد من العلاقة ن أنال ن، محسوبة في كتلة الحساب الخصائص الإحصائية(BVSH) باستخدام طريقة مونت كارلو، يعطي تقديرًا للاحتمال ص أناوقوع حدث ما أناأي أنه يشير إلى تكرار حدوثه في سلسلة من نالتجارب. وهذا يسمح لنا باستخلاص استنتاجات حول الخصائص الإحصائية للكائن النموذجي.

على سبيل المثال، حدث الحدث (أ) نتيجة لإجراء 200 تجربة 50 مرة. وهذا يعني، وفقاً لطريقة مونت كارلو، أن احتمال وقوع حدث ما هو: صأ = 50/200 = 0.25. احتمال عدم وقوع الحدث هو، على التوالي، 1 - 0.25 = 0.75.

يرجى الملاحظة انتباه:عندما يتحدثون عن الاحتمال الذي تم الحصول عليه تجريبيا، فإنه يسمى التردد؛ يتم استخدام كلمة الاحتمال عندما يريدون التأكيد على أننا نتحدث عن مفهوم نظري.

مع عدد كبير من التجارب نيميل تكرار حدوث حدث ما، والذي تم الحصول عليه تجريبيًا، إلى قيمة الاحتمال النظري لحدوث الحدث.

في كتلة تقييم الموثوقية (RAB) يتم تحليل درجة موثوقية البيانات التجريبية الإحصائية المأخوذة من النموذج (مع مراعاة دقة النتيجة هالتي يحددها المستخدم) وتحديد عدد الاختبارات الإحصائية المطلوبة لذلك. إذا كانت التقلبات في قيم تكرار حدوث الأحداث نسبة إلى الاحتمال النظري أقل من الدقة المحددة، فيؤخذ التكرار التجريبي كإجابة، وإلا يستمر توليد تأثيرات المدخلات العشوائية، وتتم عملية النمذجة معاد. مع عدد قليل من الاختبارات، قد تكون النتيجة غير موثوقة. لكن كلما زادت الاختبارات، زادت دقة الإجابة، وفقًا لنظرية الحد المركزي.

لاحظ أن التقييم يتم باستخدام أسوأ تردد. وهذا يوفر نتائج موثوقة لجميع الخصائص المقاسة للنموذج مرة واحدة.

مثال 1. دعونا نحل مهمة بسيطة. ما هو احتمال سقوط العملة المعدنية رأسًا على عقب عند سقوطها عشوائيًا من ارتفاع؟

لنبدأ برمي قطعة نقود وتسجيل نتائج كل رمية (انظر الجدول 1.1).

الجدول 1.1.

نتائج اختبار رمي العملة


سوف نحسب تكرار الرؤوس كنسبة عدد حالات الرؤوس إلى العدد الإجمالي للملاحظات. انظر الى الطاولة. 1.1 حالات ل ن = 1, ن = 2, ن= 3 - في البداية لا يمكن اعتبار قيم التردد موثوقة. دعونا نحاول بناء رسم بياني للتبعية صيا من ن- ودعونا نرى كيف يتغير تواتر الرؤوس حسب عدد التجارب التي يتم إجراؤها. وبطبيعة الحال، فإن التجارب المختلفة ستنتج جداول مختلفة، وبالتالي رسوم بيانية مختلفة. في التين. 1.4 يظهر أحد الخيارات.


أرز. 1.4

دعونا نستخلص بعض الاستنتاجات.

  • 1. يمكن ملاحظة ذلك عند القيم الصغيرة ن، على سبيل المثال، ن = 1, ن = 2, ن= 3 لا يمكن الوثوق بالإجابة على الإطلاق. على سبيل المثال، صس = 0 في ن= 1، أي أن احتمال الحصول على الرأس برمية واحدة هو صفر! على الرغم من أن الجميع يعلم جيدًا أن الأمر ليس كذلك. أي أننا تلقينا حتى الآن إجابة وقحة للغاية. ومع ذلك، انظر إلى الرسم البياني: قيد التقدم مدخراتالمعلومات، فإن الإجابة تقترب ببطء ولكن بثبات من الإجابة الصحيحة (يتم تمييزها بخط منقط). لحسن الحظ، في هذه الحالة بالذات، نحن نعرف الإجابة الصحيحة: من الناحية المثالية، فإن احتمال الحصول على صور هو 0.5 (في المسائل الأخرى الأكثر تعقيدًا، ستكون الإجابة بالطبع غير معروفة لنا). لنفترض أننا بحاجة إلى معرفة الإجابة بدقة ه= 0.1. دعونا ننفق اثنين خطوط متوازية، مفصولة عن الإجابة الصحيحة 0.5 بمسافة 0.1 (انظر الشكل 1.4). سيكون عرض الممر الناتج مساوياً لـ 0.2. بمجرد المنحنى صيا ( ن) سوف يدخل هذا الممر بحيث لن يغادره أبدًا، يمكنك التوقف ومعرفة القيمة نلقد حدث. هذا ما هو عليه تجريبيا محسوب شديد الأهمية معنىالعدد المطلوب من التجارب ن kr e لتحديد الإجابة بدقة ه = 0.1; ه- يلعب الحي في تفكيرنا دور نوع من الأنبوب الدقيق. يرجى ملاحظة أن الإجابات صس (91)، ص o (92) وهكذا لم تعد تغير قيمها كثيرًا (انظر الشكل 1.4)؛ على الأقل لا يتغير الرقم الأول بعد العلامة العشرية، والذي يجب علينا الوثوق به حسب ظروف المشكلة.
  • 2. سبب سلوك المنحنى هذا هو الفعل وسط ذروة النظريات. في الوقت الحالي، سنقوم بصياغتها في أبسط نسخة: "مجموع المتغيرات العشوائية هو كمية غير عشوائية". استخدمنا المتوسط ص o، الذي يحمل معلومات حول مجموع التجارب، وبالتالي تصبح هذه القيمة موثوقة بشكل متزايد.
  • 3. إذا قمت بهذه التجربة مرة أخرى من البداية، فبالطبع ستكون نتيجتها منحنى عشوائيًا من نوع مختلف. وستكون الإجابة مختلفة، على الرغم من أنها هي نفسها تقريبا. لنجري سلسلة كاملة من هذه التجارب (انظر الشكل 1.5). تسمى هذه السلسلة مجموعة من الإنجازات. ما هي الإجابة التي يجب أن تصدقها في النهاية؟ بعد كل شيء، على الرغم من أنهم قريبون، إلا أنهم لا يزالون مختلفين. في الممارسة العملية، يتصرفون بشكل مختلف. الخيار الأول هو حساب متوسط ​​الاستجابات على عدة تطبيقات (انظر الجدول 1.2).

أرز. 1.5

لقد قمنا بإجراء العديد من التجارب، وفي كل مرة نحدد عدد التجارب التي يجب القيام بها نكر ه. تم إجراء 10 تجارب، تم تلخيص نتائجها في الجدول. 1.2 بناءً على نتائج 10 تجارب، تم حساب القيمة المتوسطة نكر ه.

الجدول 1.2.

بيانات تجريبية عن العدد المطلوب من رميات العملة لتحقيق الدقة ه

وهكذا، بعد تنفيذ 10 عمليات تنفيذ بأطوال مختلفة، قررنا أنها كافية الخامس متوسطكان من الممكن تحقيق عملية واحدة بطول 94 رمية عملة معدنية.

حقيقة أخرى مهمة. افحص الرسم البياني في الشكل 21.5 بعناية، فهو يظهر 100 إدراك - 100 خط أحمر. بمناسبة علامة الإحداثي على ذلك ن= 94 شريط عمودي. هناك نسبة معينة من الخطوط الحمراء التي لم يكن لديها الوقت الكافي لتجاوزها ه- الحي، أي ( صإكسب - ه ? صنظرية؟ صإكسب + ه)، وادخل الممر بالضبط حتى هذه اللحظة ن= 94. يرجى ملاحظة أن هناك 5 أسطر من هذا القبيل، وهذا يعني أن 95 من أصل 100، أي 95%، دخلت بشكل موثوق في الفاصل الزمني المحدد.

وهكذا، بعد إجراء 100 عملية تنفيذ، حققنا ما يقرب من 95٪ من الثقة في احتمالية الرؤوس التي تم الحصول عليها تجريبيًا، وتحديدها بدقة 0.1.

لمقارنة النتيجة التي تم الحصول عليها، دعونا نحسب القيمة النظرية نك ر ر من الناحية النظرية. ومع ذلك، لهذا سيتعين علينا تقديم مفهوم احتمال الثقة س Fمما يوضح مدى استعدادنا لتصديق الإجابة.

على سبيل المثال، متى س F= 0.95 نحن على استعداد لتصديق الإجابة في 95% من الحالات من أصل 100. يبدو الأمر كما يلي: نكر تي = ك (س F) · ص· (1 - ص) /ه 2 حيث ك (س F) - معامل لابلاس، ص- احتمال الحصول على رؤساء، ه- الدقة (فاصل الثقة). في الجدول 1.3 يوضح قيم القيمة النظرية لعدد التجارب اللازمة لمختلف س F(للدقة ه= 0.1 والاحتمال ص = 0.5).

الجدول 1.3.

الحساب النظري للعدد المطلوب من رميات العملة لتحقيق الدقة ه= 0.1 عند حساب احتمالية الرؤوس


كما ترون، فإن التقدير الذي حصلنا عليه لمدة التنفيذ، أي ما يعادل 94 تجربة، قريب جدًا من التقدير النظري، أي ما يعادل 96. ويفسر بعض التناقض بحقيقة أنه، على ما يبدو، 10 عمليات تنفيذ ليست كافية لـ عملية حسابية دقيقة نكر ه. إذا قررت أنك تريد نتيجة يجب أن تثق بها أكثر، فقم بتغيير قيمة الثقة. على سبيل المثال، تخبرنا النظرية أنه إذا كان هناك 167 تجربة، فلن يتم تضمين سوى 1-2 سطر من المجموعة في أنبوب الدقة المقترح. لكن ضع في اعتبارك أن عدد التجارب يتزايد بسرعة كبيرة مع زيادة الدقة والموثوقية.

الخيار الثاني المستخدم في الممارسة العملية هو التنفيذ واحدالتنفيذ و يزيد تلقى ل ها ن سجل تجاري أوه الخامس 2 مرات. ويعتبر هذا ضمانًا جيدًا لدقة الإجابة (انظر الشكل 1.6).


أرز. 1.6. شكل توضيحي للتحديد التجريبي لـ N cr e باستخدام قاعدة "الضرب في اثنين".

إذا نظرت عن كثب فرقة عشوائي التطبيقات، فيمكننا أن نجد أن تقارب التردد مع قيمة الاحتمال النظري يحدث على طول منحنى يتوافق مع الاعتماد التربيعي العكسي على عدد التجارب (انظر الشكل 1.7).


أرز. 1.7

وهذا في الواقع يعمل بهذه الطريقة من الناحية النظرية. إذا قمت بتغيير الدقة المحددة هوفحص عدد التجارب المطلوبة لتقديم كل منها، تحصل على الجدول. 1.4

الجدول 1.4.

الاعتماد النظري لعدد التجارب المطلوبة لضمان دقة معينة في س F = 0.95


دعونا نبني وفقا للجدول. 1.4 الرسم البياني التبعية ن crt ( ه) (انظر الشكل 1.8).

أرز. 1.8 اعتماد عدد التجارب المطلوبة لتحقيق دقة معينة e عند Q F ثابت = 0.95

لذا فإن الرسوم البيانية المدروسة تؤكد التقييم أعلاه:

لاحظ أنه يمكن أن يكون هناك العديد من تقديرات الدقة.

مثال 2. إيجاد مساحة الشكل باستخدام طريقة مونت كارلو. باستخدام طريقة مونت كارلو، تحديد مساحة الشكل الخماسي بإحداثيات الزوايا (0، 0)، (0.10)، (5، 20)، (10،10)، (7، 0).

لنرسم المضلع المعطى في إحداثيات ثنائية الأبعاد، ونسجله في مستطيل، مساحته، كما قد تتخيل، هي (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (انظر الشكل 1.9).

أرز. 1.9

استخدام جدول أرقام عشوائية لتوليد أزواج من الأرقام ر, ز، موزعة بشكل موحد في النطاق من 0 إلى 1. الرقم ر X (0 ? X؟ 10)، لذلك، X= 10 · ر. رقم زسوف محاكاة الإحداثيات ي (0 ? ي؟ 20)، لذلك، ي= 20 · ز. دعونا توليد 10 أرقام رو زوعرض 10 نقاط ( X; ي) في التين. 1.9 وفي الجدول. 1.5

الجدول 1.5.

حل المشكلة باستخدام طريقة مونت كارلو


الفرضية الإحصائية هي أن عدد النقاط المتضمنة في محيط الشكل يتناسب مع مساحة الشكل: 6: 10 = س: 200. أي أنه حسب صيغة طريقة مونت كارلو نجد أن المساحة سالخماسي يساوي: 200 · 6/10 = 120.

دعونا نرى كيف تغيرت القيمة سمن تجربة إلى أخرى (انظر الجدول 1.6).

الجدول 1.6.

تقييم دقة الاستجابة

وبما أن قيمة الرقم الثاني في الإجابة لا تزال تتغير، فإن عدم الدقة المحتملة لا تزال أكثر من 10%. يمكن زيادة دقة الحساب مع زيادة عدد الاختبارات (انظر الشكل 1.10).

أرز. 1.10 رسم توضيحي لعملية تقارب إجابة محددة تجريبياً لنتيجة نظرية

المحاضرة الثانية: مولدات الأرقام العشوائية

تعتمد طريقة مونت كارلو (انظر المحاضرة 1. النمذجة الإحصائية) على توليد أرقام عشوائية، والتي ينبغي توزيعها بشكل موحد في الفترة (0؛ 1).

إذا قام المولد بإنتاج أرقام يتم إزاحتها إلى جزء ما من الفاصل الزمني (تظهر بعض الأرقام أكثر من غيرها)، فقد يتبين أن نتيجة حل المشكلة التي تم حلها بالطريقة الإحصائية غير صحيحة. ولذلك، فإن مشكلة استخدام مولد جيد لأرقام عشوائية وموزعة بشكل موحد هي مشكلة حادة للغاية.

القيمة المتوقعة م صوالتباين د صمثل هذا التسلسل يتكون من نأرقام عشوائية ص أنا، يجب أن تكون كما يلي (إذا كانت هذه أرقام عشوائية موزعة بشكل موحد في النطاق من 0 إلى 1):

إذا كان المستخدم يحتاج إلى رقم عشوائي سكان في الفاصل ( أ; ب)، يختلف عن (0؛

  • 1) تحتاج إلى استخدام الصيغة س = أ + (ب - أ) · ص، أين ص- رقم عشوائي من الفاصل الزمني (0؛
  • 1). وتتضح شرعية هذا التحول في الشكل. 2.1

أرز. 2.1

1) في الفترة (أ، ب)

الآن س- رقم عشوائي موزع بشكل موحد في النطاق من أقبل ب.

خلف معيار مولد الأرقام العشوائية(RNG) تم اعتماد مولد يولد التبعيةأرقام عشوائية مع زي مُوحدقانون التوزيع في الفترة (0؛

  • 1). لمكالمة واحدة، يقوم هذا المولد بإرجاع رقم عشوائي واحد. إذا كانت مراقبة مثل هذا RNG كافية منذ وقت طويل، فيتبين أنه، على سبيل المثال، في كل فترة من الفواصل العشرة (0؛ 0.1)، (0.1؛ 0.2)، (0.2؛ 0.3)، ...، (0.9؛
  • 1) سيكون هناك تقريبًا نفس العدد من الأرقام العشوائية - أي أنه سيتم توزيعها بالتساوي على الفترة بأكملها (0؛
  • 1). إذا أظهرت على الرسم البياني ك= 10 فترات والترددات ن أناإذا ضربتهم، سوف تحصل على منحنى كثافة التوزيع التجريبي للأرقام العشوائية (انظر الشكل 2.2).

أرز. 2.2

لاحظ أنه من الناحية المثالية، سيبدو منحنى كثافة توزيع الأرقام العشوائية كما هو موضح في الشكل. 2.3. وهذا يعني، من الناحية المثالية، أن كل فاصل يحتوي على نفس عدد النقاط: ن أنا = ن/ك، أين ن - الرقم الإجمالينقاط، ك- عدد الفواصل الزمنية، أنا = 1, …, ك.


أرز. 2.3

يجب أن نتذكر أن توليد رقم عشوائي عشوائي يتكون من مرحلتين:

  • · توليد رقم عشوائي مقيس (أي موزع بشكل موحد من 0 إلى 1)؛
  • · تحويل الأرقام العشوائية الطبيعية ص أناإلى أرقام عشوائية س أناوالتي يتم توزيعها حسب قانون التوزيع (التعسفي) الذي يطلبه المستخدم أو في الفترة المطلوبة.

تنقسم مولدات الأرقام العشوائية حسب طريقة الحصول على الأرقام إلى:

  • · بدني؛
  • · جدولي
  • · خوارزمية.

منذ وقت ليس ببعيد قرأت كتابًا رائعًا لدوجلاس هوبارد. في الملخص الموجز للكتاب، وعدت بأن أخصص ملاحظة منفصلة لأحد الأقسام - تقييم المخاطر: مقدمة لمحاكاة مونت كارلو. نعم، كل شيء بطريقة أو بأخرى لم ينجح. ومؤخرًا بدأت في دراسة طرق إدارة مخاطر العملة بعناية أكبر. في المواد المخصصة لهذا الموضوع، غالبا ما يتم ذكر محاكاة مونت كارلو. إذن المادة الموعودة أمامك.

سأقدم مثالاً بسيطًا لمحاكاة مونت كارلو لأولئك الذين لم يسبق لهم العمل بها من قبل، ولكن لديهم بعض الفهم لاستخدام جداول بيانات Excel.

لنفترض أنك تريد استئجار آلة جديدة. تبلغ تكلفة الإيجار السنوي للآلة 400 ألف دولار، ويجب توقيع العقد لعدة سنوات. لذلك، حتى لو لم تصل إلى ، فلن تتمكن من إعادة الجهاز على الفور. أنت على وشك توقيع عقد، معتقدًا أن المعدات الحديثة ستوفر تكاليف العمالة وتكلفة المواد الخام والإمدادات، وتعتقد أيضًا أن الخدمات اللوجستية والصيانة الفنية للآلة الجديدة ستكون أرخص.

قم بتنزيل المذكرة بالتنسيق، والأمثلة بالتنسيق

لقد أعطت أدوات التقدير التي تمت معايرتها النطاقات التالية من التوفير المتوقع والإنتاج السنوي:

سيكون التوفير السنوي: (MS + LS + RMS) x PL

وبطبيعة الحال، هذا المثال بسيط للغاية ليكون واقعيا. يتغير حجم الإنتاج كل عام، وستنخفض بعض التكاليف عندما يتقن العمال أخيرًا الآلة الجديدة، وما إلى ذلك. لكن في هذا المثال ضحينا عمدا بالواقعية من أجل البساطة.

إذا أخذنا الوسيط (المتوسط) لكل فترة قيمة، فسنحصل على التوفير السنوي: (15 + 3 + 6) × 25000 = 600000 (دولار)

يبدو أننا لم نحقق التعادل فحسب، بل حققنا أيضًا بعض الأرباح، ولكن تذكر أن هناك بعض الشكوك. كيف يمكن تقييم مدى خطورة هذه الاستثمارات؟ دعونا أولا نحدد ما هي المخاطر في هذا السياق. لاستخلاص المخاطر، يتعين علينا أن نحدد النتائج المستقبلية مع الشكوك المتأصلة فيها، والتي ينطوي بعضها على احتمال التعرض لضرر قابل للقياس. إحدى الطرق للنظر إلى المخاطر هي أن نتخيل احتمالية عدم تحقيق التعادل، أي أن مدخراتنا ستكون أقل من التكلفة السنوية لاستئجار الآلة. كلما فشلنا في تغطية تكاليف الإيجار، كلما خسرنا أكثر. المبلغ 600.000 دولار. هو متوسط ​​الفاصل الزمني. كيف نحدد النطاق الحقيقي للقيم ونحسب منه احتمالية عدم وصولنا إلى نقطة التعادل؟

وبما أنه لا تتوفر بيانات دقيقة، فلا يمكن إجراء حسابات بسيطة للإجابة على سؤال ما إذا كان بإمكاننا تحقيق الوفورات المطلوبة. هناك طرق تسمح، في ظل ظروف معينة، بالعثور على نطاق قيم المعلمة الناتجة من نطاقات قيم البيانات الأولية، ولكن بالنسبة لمعظم مشاكل الحياة الواقعية، فإن مثل هذه الظروف، كقاعدة عامة، تفعل ذلك لا يوجد. بمجرد أن نبدأ في جمع وضرب أنواع مختلفة من التوزيعات، عادة ما تصبح المشكلة ما يسميه علماء الرياضيات مستعصية على الحل أو غير قابلة للحل بالطريقة العادية الأساليب الرياضيةمشكلة. ولذلك، فإننا بدلاً من ذلك نستخدم طريقة الاختيار المباشر للخيارات الممكنة، والتي أصبحت ممكنة بفضل ظهور أجهزة الكمبيوتر. من الفواصل الزمنية المتاحة، نختار بشكل عشوائي مجموعة (الآلاف) من القيم الدقيقة للمعلمات الأولية ونحسب مجموعة القيم الدقيقة للمؤشر المطلوب.

تعد محاكاة مونت كارلو طريقة ممتازة لحل مثل هذه المشكلات. كل ما علينا فعله هو اختيار القيم بشكل عشوائي في الفترات الزمنية المحددة، واستبدالها في الصيغة لحساب المدخرات السنوية وحساب الإجمالي. ستكون بعض النتائج أعلى من متوسطنا المحسوب البالغ 600000 دولار، بينما ستكون نتائج أخرى أقل من ذلك. سيكون بعضها أقل من مبلغ 400000 دولار المطلوب لتحقيق التعادل.

يمكنك بسهولة تشغيل محاكاة مونت كارلو على جهاز كمبيوتر شخصي باستخدام برنامج Excel، ولكنها تتطلب معلومات أكثر بقليل من فترة ثقة تبلغ 90%. من الضروري معرفة شكل منحنى التوزيع. بالنسبة للكميات المختلفة، تكون المنحنيات ذات الشكل الواحد أكثر ملاءمة من غيرها. في حالة فاصل الثقة 90%، عادة ما يتم استخدام منحنى التوزيع الطبيعي (الغاوسي). هذا هو المنحنى المألوف على شكل جرس، حيث يتم تجميع معظم قيم النتائج المحتملة في الجزء الأوسط من الرسم البياني ويتم توزيع عدد قليل منها فقط، وهو أقل احتمالًا، ويتناقص نحو حوافه (الشكل 1).

وهذا ما يبدو عليه التوزيع الطبيعي:

رسم بياني 1. التوزيع الطبيعي. محور الإحداثي هو عدد سيجما.

الخصائص:

  • القيم الموجودة في الجزء الأوسط من الرسم البياني أكثر احتمالا من القيم الموجودة عند حوافه؛
  • التوزيع متماثل. يقع الوسيط تمامًا في منتصف المسافة بين الحدود العليا والسفلى لفاصل الثقة 90% (CI)؛
  • "ذيول" الرسم البياني لا نهاية لها؛ القيم خارج فترة الثقة 90٪ غير محتملة، ولكنها لا تزال ممكنة.

لإنشاء توزيع عادي في Excel، يمكنك استخدام الدالة =NORMIDIST(X; Average; Standard_deviation; Integral)، حيث
X - القيمة التي تم إنشاء التوزيع الطبيعي لها؛
يعني – الوسط الحسابي للتوزيع. في حالتنا = 0؛
الانحراف المعياري – الانحراف المعياري للتوزيع؛ في حالتنا = 1؛
التكامل – قيمة منطقية تحدد شكل الدالة؛ إذا كانت القيمة التراكمية تساوي TRUE، فتُرجع NORMDIST دالة التوزيع التراكمي؛ إذا كانت هذه الوسيطة FALSE، فسيتم إرجاع دالة الكثافة؛ في حالتنا = خطأ.

عند الحديث عن التوزيع الطبيعي، من الضروري أن نذكر مفهومًا ذا صلة مثل الانحراف المعياري. من الواضح أنه ليس لدى الجميع فهم بديهي لما هو هذا، ولكن بما أنه يمكن استبدال الانحراف المعياري برقم محسوب من فاصل ثقة 90٪ (وهو ما يفهمه كثير من الناس بشكل حدسي)، فلن أخوض في التفاصيل حول هذا الموضوع هنا. يوضح الشكل 1 أن هناك 3.29 انحرافات معيارية في فاصل ثقة واحد بنسبة 90%، لذا سنحتاج فقط إلى إجراء التحويل.

في حالتنا، يجب علينا إنشاء مولد أرقام عشوائي في جدول بيانات لكل فترة زمنية. لنبدأ، على سبيل المثال، مع MS - وفورات في الخدمات المادية والتقنية. دعونا نستفيد صيغة اكسل: =NORMBR(الاحتمالية،المتوسط،الانحراف المعياري)،حيث
الاحتمالية – الاحتمالية المقابلة للتوزيع الطبيعي.
يعني – الوسط الحسابي للتوزيع.
الانحراف المعياري – الانحراف المعياري للتوزيع.

في حالتنا هذه:
المتوسط ​​(الوسيط) = (الحد الأعلى 90% CI + الحد الأدنى 90% CI)/2؛
الانحراف المعياري = (الحد الأعلى 90% CI – الحد الأدنى 90% CI)/3.29.

بالنسبة للمعلمة MS، تحتوي الصيغة على النموذج: =NORMIN(RAND();15,(20-10)/3.29)، حيث
RAND - دالة تولد أرقامًا عشوائية في النطاق من 0 إلى 1؛
15 – المتوسط ​​الحسابي لنطاق MS؛
(20-10)/3.29 = 3.04 – الانحراف المعياري؛ اسمحوا لي أن أذكرك أن معنى الانحراف المعياري هو كما يلي: 90٪ من جميع قيم المتغير العشوائي (في حالتنا MS) تقع في الفاصل الزمني 3.29*الانحراف المعياري، الموجود بشكل متماثل مع المتوسط ​​النسبي.

توزيع المدخرات على الخدمات اللوجستية لـ 100 قيمة عشوائية موزعة بشكل طبيعي:

أرز. 2. احتمال توزيع مرض التصلب العصبي المتعدد على نطاقات من القيم؛ للحصول على معلومات حول كيفية إنشاء مثل هذا التوزيع باستخدام جدول محوري، راجع

وبما أننا استخدمنا "فقط" 100 قيمة عشوائية، فإن التوزيع لم يكن متماثلاً. ومع ذلك، فإن حوالي 90% من القيم تقع ضمن نطاق توفير MS الذي يتراوح بين 10 إلى 20 دولارًا (91% على وجه الدقة).

لنقم ببناء جدول بناءً على فترات الثقة للمعلمات MS وLS وRMS وPL (الشكل 3). يعرض العمودان الأخيران نتائج العمليات الحسابية بناءً على البيانات الموجودة في الأعمدة الأخرى. يعرض عمود إجمالي المدخرات المدخرات السنوية المحسوبة لكل صف. على سبيل المثال، إذا تم تنفيذ السيناريو 1، فسيكون إجمالي المدخرات (14.3 + 5.8 + 4.3) × 23,471 = 570,834 دولارًا أمريكيًا. أنت لا تحتاج إليها حقا. لقد أدرجتها فقط لأغراض إعلامية. لنقم بإنشاء 10000 سطر نصي في Excel.

أرز. 3. حساب السيناريوهات باستخدام طريقة مونت كارلو في برنامج Excel

لتقييم النتائج التي تم الحصول عليها، يمكنك استخدام، على سبيل المثال، جدول محوري يسمح لك بحساب عدد السيناريوهات في كل 100 ألف نطاق. ثم تقوم بإنشاء رسم بياني يعرض نتائج الحساب (الشكل 4). يوضح هذا الرسم البياني نسبة الـ 10000 سيناريو التي ستحقق وفورات سنوية في نطاق قيمة معين. على سبيل المثال، سيوفر حوالي 3% من السيناريوهات وفورات سنوية تزيد عن مليون دولار.

أرز. 4. توزيع إجمالي المدخرات عبر نطاقات القيمة. يعرض المحور س نطاقات التوفير البالغة 100 ألف، ويعرض المحور ص حصة السيناريوهات التي تقع ضمن النطاق المحدد.

من بين جميع المدخرات السنوية التي تم الحصول عليها، سيكون ما يقرب من 15٪ أقل من 400 ألف دولار. وهذا يعني أن هناك فرصة للضرر بنسبة 15%. يمثل هذا الرقم تقييماً ذا مغزى للمخاطر. لكن المخاطرة لا تتلخص دائما في إمكانية تحقيق عوائد استثمارية سلبية. عند تقييم حجم شيء ما، نحدد ارتفاعه وكتلته ومقاسه وما إلى ذلك. وبالمثل، هناك العديد من مؤشرات المخاطر المفيدة. يُظهر التحليل الإضافي: هناك احتمال بنسبة 4٪ أن يخسر المصنع 100 ألف دولار سنويًا بدلاً من الادخار. ومع ذلك، فإن النقص الكامل في الدخل أمر مستحيل عمليا. هذا هو المقصود بتحليل المخاطر - يجب أن نكون قادرين على حساب احتمالات الضرر بمقاييس مختلفة. إذا كنت تقيس المخاطر حقًا، فهذا ما يجب عليك فعله.

في بعض الحالات، يمكنك أن تسلك طريقًا أقصر. إذا كانت جميع توزيعات القيم التي نعمل بها طبيعية ونحتاج فقط إلى إضافة فترات هذه القيم (على سبيل المثال، فترات التكاليف والفوائد) أو طرحها من بعضها البعض، فيمكننا الاستغناء عن مونتي محاكاة كارلو. عندما يتعلق الأمر بجمع المدخرات الثلاثة من مثالنا، يجب إجراء عملية حسابية بسيطة. للحصول على الفاصل الزمني الذي تبحث عنه، استخدم الخطوات الست المذكورة أدناه:

1) طرح القيمة المتوسطة لكل فترة زمنية من الحد الأعلى لها؛ لتوفير الخدمات اللوجستية 20 – 15 = 5 (دولار)، لتوفير تكاليف العمالة – ​​5 دولارات. وتوفير المواد الخام والمواد – 3 دولارات؛

2) تربيع نتائج الخطوة الأولى 5 2 = 25 (دولار)، إلخ؛

3) تلخيص نتائج الخطوة الثانية 25 + 25 + 9 = 59 (دولار)؛

4) خذ الجذر التربيعي للمبلغ الناتج: اتضح أنه 7.7 دولار؛

5) اجمع كل القيم المتوسطة: 15 + 3 + 6 = 24 (دولار)؛

6) أضف نتيجة الخطوة 4 إلى مجموع القيم المتوسطة واحصل على الحد الأعلى للنطاق: 24 + 7.7 = 31.7 دولارًا؛ اطرح نتيجة الخطوة 4 من مجموع القيم المتوسطة واحصل على الحد الأدنى للنطاق 24 - 7.7 = 16.3 دولارًا.

ومن ثم، فإن فترة الثقة 90% لمجموع فترات الثقة الثلاثة 90% لكل نوع من أنواع المدخرات هي 16.3 إلى 31.7 دولارًا.

استخدمنا الخاصية التالية: مدى الفترة الإجمالية يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات نطاقات الفترات الفردية.

في بعض الأحيان يتم القيام بشيء مماثل من خلال جمع كل القيم "المتفائلة" للحد الأعلى والقيم "المتشائمة" للحد الأدنى للفاصل الزمني. في هذه الحالة، استنادًا إلى فواصل الثقة الثلاثة بنسبة 90%، سنحصل على فترة إجمالية تتراوح بين 11 دولارًا و37 دولارًا. هذا الفاصل الزمني أوسع إلى حد ما من 16.3 إلى 31.7 دولارًا. عندما يتم إجراء مثل هذه الحسابات لتبرير تصميم يحتوي على عشرات المتغيرات، يصبح توسيع الفاصل الزمني أمرًا لا يمكن تجاهله. إن أخذ القيم الأكثر "تفاؤلاً" للحد الأعلى والقيم "المتشائمة" للحد الأدنى يشبه التفكير: إذا ألقينا عدة نرد، فسنحصل في جميع الحالات على "1" فقط أو "6" فقط. في الواقع، ستظهر مجموعة من القيم المنخفضة والعالية. يعد التوسع المفرط في الفاصل الزمني خطأً شائعًا يؤدي بالطبع إلى اتخاذ قرارات غير مدروسة. وفي الوقت نفسه، فإن الطريقة البسيطة التي وصفتها تعمل بشكل رائع عندما يكون لدينا عدة فترات ثقة تبلغ 90% تحتاج إلى جمعها.

ومع ذلك، هدفنا ليس فقط جمع الفواصل الزمنية، ولكن أيضًا ضربها بحجم الإنتاج، والتي يتم تقديم قيمها أيضًا في شكل نطاق. طريقة الجمع البسيطة مناسبة فقط لطرح أو إضافة فترات من القيم.

محاكاة مونت كارلو مطلوبة أيضًا عندما لا تكون جميع التوزيعات طبيعية. وعلى الرغم من عدم شمول أنواع أخرى من التوزيعات في موضوع هذا الكتاب، إلا أننا سنذكر اثنين منها - موحدة وثنائية (الشكل 5، 6).

أرز. 5. التوزيع الموحد (ليس مثاليًا، ولكنه تم إنشاؤه باستخدام دالة RAND في Excel)

الخصائص:

  • احتمال جميع القيم هو نفسه؛
  • التوزيع متماثل، دون تشوهات. الوسيط يقع بالضبط في منتصف المسافة بين الحدين العلوي والسفلي للفاصل الزمني؛
  • القيم خارج الفاصل الزمني غير ممكنة.

لإنشاء هذا التوزيع في Excel، تم استخدام الصيغة: RAND()*(UB - LB) + LB، حيث UB هو الحد الأعلى؛ LB - الحد الأدنى؛ متبوعًا بتقسيم جميع القيم إلى نطاقات باستخدام جدول محوري.

أرز. 6. التوزيع الثنائي (توزيع برنولي)

الخصائص:

  • هناك قيمتان فقط ممكنتان؛
  • هناك احتمال واحد لقيمة واحدة (في هذه الحالة 60%)؛ احتمال القيمة الأخرى يساوي واحدًا ناقص احتمال القيمة الأولى

لإنشاء توزيع عشوائي من هذا النوع في Excel، تم استخدام الدالة: =IF(RAND())<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

تم استخدام هذه الطريقة لأول مرة من قبل عالم الرياضيات ستانيسلاف أولام (انظر).

يواصل دوجلاس هوبارد سرد العديد من البرامج المصممة لمحاكاة مونت كارلو. ومن بينها الكرة البلورية من شركة Decisioneering, Inc.، دنفر، كولورادو. نُشر الكتاب باللغة الإنجليزية عام 2007. والآن ينتمي هذا البرنامج إلى شركة Oracle. النسخة التجريبية من البرنامج متاحة للتحميل من موقع الشركة. سنتحدث عن قدراتها.

انظر الفصل الخامس من الكتاب الذي ذكره دوغلاس هوبارد

هنا، يعرف دوجلاس هوبارد النطاق على أنه الفرق بين الحد الأعلى لفترة الثقة 90٪ والقيمة المتوسطة لهذا الفاصل (أو بين القيمة المتوسطة والحد الأدنى، حيث أن التوزيع متماثل). عادة، يُفهم النطاق على أنه الفرق بين الحدود العلوية والسفلية.