توصل إلى حدثين عشوائيين ومستحلين مقبولين. ابتكر حدثين موثوقين وعشوائيين ومستحيلا. تعلم مواد جديدة

موضوع الدرس: "أحداث عشوائية وموثوقة ومستحيلة"

مكان الدرس في المنهج: "التوافقية. أحداث عشوائية ”الدرس 5/8

نوع الدرس: درس في تكوين المعرفة الجديدة

أهداف الدرس:

التعليمية:

o تقديم تعريف لحدث عشوائي ، مؤكد ومستحيل ؛

o التدريس في عملية وضع حقيقي لتحديد شروط نظرية الاحتمالات: أحداث موثوقة ، مستحيلة ، قابلة للتزود ؛

النامية:

o تعزيز تنمية التفكير المنطقي ،

o الاهتمام المعرفي للطلاب ،

o القدرة على المقارنة والتحليل ،

التعليمية:

o تعزيز الاهتمام بدراسة الرياضيات ،

o تنمية النظرة العالمية للطلاب.

o امتلاك المهارات الفكرية والعمليات العقلية.

طرق التدريس:الإملاء التوضيحي التوضيحي ، الإنجابي ، الرياضي.

UMC:الرياضيات: كتاب مدرسي لست خلايا. تحت التحرير ، إلخ ، دار النشر "التنوير" ، 2008 ، الرياضيات ، 5-6: كتاب. للمعلم / [، [ ،]. - م: التربية والتعليم 2006.

المواد التعليمية: ملصقات المجلس.

المؤلفات:

1. الرياضيات: كتاب مدرسي. لـ 6 خلايا. تعليم عام مؤسسات / ، إلخ.] ؛ إد. و؛ روس. أكاد. العلوم ، روس. أكاد. التعليم ، دار النشر "التنوير". - الطبعة العاشرة. - م: التنوير ، 2008. - 302 ص: مريض. - (كتاب مدرسي أكاديمي).

2. الرياضيات ، 5-ب: كتاب. للمعلم / [،]. - م: التربية والتعليم 2006. - 191 ص. : سوف.

4. حل المشكلات في الإحصاء والتوافقية ونظرية الاحتمالات. 7-9 درجات. / المصادقة. - شركات. . إد. الثاني ، مراجعة. - فولجوجراد: مدرس ، 2006. - 428 ص.

5. دروس الرياضيات باستخدام تقنية المعلومات. 5-10 درجات. منهجي - دليل مع تطبيق إلكتروني / وغيرها الطبعة الثانية ، الصورة النمطية. - م: دار جلوبس للنشر ، 2010. - 266 ص. (المدرسة الحديثة).

6. تدريس الرياضيات في مدرسة حديثة. القواعد الارشادية. فلاديفوستوك: دار نشر PIPPCRO ، 2003.

خطة الدرس

I. لحظة تنظيمية.

ثانيًا. العمل الشفوي.

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

رابعا. تكوين المهارات والقدرات.

خامسا نتائج الدرس.

V. الواجب المنزلي.

أثناء الفصول

1. تنظيم لحظة

2. تحديث المعرفة

15*(-100)

العمل الشفوي:

3. شرح المواد الجديدة

المعلم: حياتنا تتكون إلى حد كبير من الحوادث. هناك مثل هذا العلم "نظرية الاحتمالات". باستخدام لغتها ، من الممكن وصف العديد من الظواهر والمواقف.

اعتمد القادة القدامى مثل الإسكندر الأكبر أو ديمتري دونسكوي ، الذين كانوا يستعدون للمعركة ، ليس فقط على شجاعة ومهارة المحاربين ، ولكن أيضًا على الصدفة.

كثير من الناس يحبون الرياضيات حقائق أبديةاثنان في اثنين يساوي أربعة دائمًا ، ومجموع الأعداد الزوجية يساوي عددًا زوجيًا ، ومساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب أضلاعه المجاورة ، وهكذا. لا داعي لارتكاب أخطاء في الحل.

الحياة الحقيقية ليست بهذه البساطة ولا لبس فيها. لا يمكن التنبؤ بنتائج العديد من الأحداث مسبقًا. من المستحيل ، على سبيل المثال ، أن نقول على وجه اليقين إلى أي جانب ستسقط قطعة نقود معدنية ، أو متى ستسقط الثلوج الأولى العام المقبل ، أو عدد الأشخاص في المدينة الذين سيرغبون في إجراء مكالمة هاتفية في غضون الساعة التالية. يتم استدعاء مثل هذه الأحداث التي لا يمكن التنبؤ بها عشوائي .

ومع ذلك ، فإن للقضية أيضًا قوانينها الخاصة ، والتي تبدأ في الظهور مع التكرار المتكرر للظواهر العشوائية. إذا رميت قطعة نقود معدنية 1000 مرة ، فإن "النسر" سوف يسقط حوالي نصف الوقت ، وهو ما لا يمكن أن يقال عن رميتين أو حتى عشر مرات. "تقريبا" لا تعني النصف. هذا ، كقاعدة عامة ، قد يكون أو لا يكون كذلك. لا ينص القانون بشكل عام على أي شيء مؤكد ، ولكنه يعطي درجة معينة من اليقين بحدوث حدث عشوائي.

تتم دراسة هذه الانتظام من قبل فرع خاص من الرياضيات - نظرية الاحتمالات . بفضل مساعدتها ، يمكنك التنبؤ بدرجة أكبر من الثقة (ولكن لا تزال غير متأكد) من تاريخ أول تساقط للثلوج وعدد المكالمات الهاتفية.

ترتبط نظرية الاحتمالية ارتباطًا وثيقًا بنا الحياة اليومية. يمنحنا هذا فرصة رائعة لوضع العديد من القوانين الاحتمالية تجريبيابتكرار التجارب العشوائية عدة مرات. غالبًا ما تكون المواد المستخدمة في هذه التجارب عبارة عن عملة عادية أو نرد أو مجموعة من الدومينو أو لعبة الطاولة أو الروليت أو حتى مجموعة أوراق اللعب. كل عنصر من هذه العناصر ، بطريقة أو بأخرى ، متصل بالألعاب. الحقيقة هي أن القضية هنا تظهر في الشكل الأكثر شيوعًا. وارتبطت المهام الاحتمالية الأولى بتقييم فرص فوز اللاعبين.

لقد ابتعدت نظرية الاحتمالات الحديثة عن المقامرة ، لكن دعائمها لا تزال هي المصدر الأبسط والأكثر موثوقية للصدفة. من خلال التدرب على عجلة الروليت ونرد ، ستتعلم كيفية حساب احتمالية الأحداث العشوائية في مواقف الحياة الواقعية ، مما سيسمح لك بتقييم فرصك في النجاح واختبار الفرضيات واتخاذ القرارات المثلى ليس فقط في الألعاب واليانصيب .

عند حل المشكلات الاحتمالية ، كن حذرًا للغاية ، وحاول تبرير كل خطوة ، لأنه لا توجد منطقة أخرى في الرياضيات تحتوي على مثل هذا العدد من المفارقات. مثل نظرية الاحتمالات. وربما يكون التفسير الرئيسي لذلك هو ارتباطه بالعالم الحقيقي الذي نعيش فيه.

في العديد من الألعاب ، يتم استخدام النرد ، والذي يحتوي على عدد مختلف من النقاط من 1 إلى 6 على كل جانب. يقوم اللاعب برمي النرد ، والنظر في عدد النقاط التي سقطت (على الجانب الموجود في الأعلى) ، ويجعل العدد المناسب من الحركات: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، أو 6. يمكن اعتبار إلقاء النرد تجربة ، وتجربة ، واختبار ، والنتيجة التي تم الحصول عليها يمكن اعتبارها حدثًا. عادة ما يكون الناس مهتمين جدًا بتخمين بداية حدث ما ، والتنبؤ بنتائجه. ما هي التوقعات التي يمكنهم القيام بها عند رمي النرد؟

التنبؤ الأول: أحد الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، أو 6. هل تعتقد أن الحدث المتوقع سيأتي أم لا؟ بالطبع سيأتي بالتأكيد.

يسمى الحدث الذي من المؤكد حدوثه في تجربة معينة أصليحدث.

التنبؤ الثاني : الرقم 7. هل تعتقد أن الحدث المتوقع سيأتي أم لا؟ بالطبع لن يحدث ذلك ، إنه مستحيل.

يسمى الحدث الذي لا يمكن أن يحدث في تجربة معينة غير ممكنحدث.

التنبؤ الثالث : سوف يسقط الرقم 1. هل تعتقد أن الحدث المتوقع سيأتي أم لا؟ لا يمكننا الإجابة على هذا السؤال بيقين تام ، لأن الحدث المتوقع قد يحدث أو لا يحدث.

يتم استدعاء الأحداث التي قد تحدث أو لا تحدث في ظل نفس الظروف عشوائي.

مثال. تحتوي العلبة على 5 شوكولاتة بغلاف أزرق وواحدة بيضاء. دون النظر إلى الصندوق ، يأخذون قطعة حلوى واحدة بشكل عشوائي. هل من الممكن معرفة اللون الذي سيكون عليه مسبقًا؟

المهمة : صف الأحداث التي تمت مناقشتها في المهام أدناه. مؤكد ، مستحيل أو عشوائي.

1. اقلب قطعة نقود. ظهر شعار النبالة. (عشوائي)

2. أطلق الصياد النار على الذئب وضرب. (عشوائي)

3. يذهب تلميذ في نزهة على الأقدام كل مساء. والتقى خلال نزهة يوم الإثنين ثلاثة من معارفه. (عشوائي)

4. دعونا نجري التجربة التالية عقليًا: نقلب كوبًا من الماء رأسًا على عقب. إذا لم يتم تنفيذ هذه التجربة في الفضاء ، ولكن في المنزل أو في فصل دراسي ، فسوف يتدفق الماء. (أصلي)

5. أطلقت ثلاث طلقات على الهدف ". كانت هناك خمس إصابات ". (غير ممكن)

6. رمي الحجر. يظل الحجر معلقًا في الهواء. (غير ممكن)

مثالتصور بيتيا عدد طبيعي. الحدث على النحو التالي:

أ) يتم تكوين رقم زوجي ؛ (عشوائي)

ب) يتم تكوين رقم فردي ؛ (عشوائي)

ج) تم تصور رقم ليس زوجيًا ولا فرديًا ؛ (غير ممكن)

د) يتم تكوين رقم زوجي أو فردي. (أصلي)

يتم استدعاء الأحداث التي لها فرص متساوية في ظل ظروف معينة متكافئ.

يتم استدعاء الأحداث العشوائية التي لها فرص متساوية ممكن بالتساوي أو متكافئ .

ضع الملصق على السبورة.

في الامتحان الشفوي يأخذ الطالب إحدى البطاقات الموضوعة أمامه. فرص الحصول على أي من تذاكر الامتحان متساوية. ومن المحتمل أيضًا خسارة أي عدد من النقاط من 1 إلى 6 عند رمي النرد ، وكذلك فقدان الرؤوس أو ذيول عند رمي عملة معدنية.

لكن ليست كل الأحداث ممكن بالتساوي. قد لا يرن المنبه ، المصباح يحترق ، الحافلة تتعطل ، لكن في ظل الظروف العادية ، مثل هذه الأحداث من غير المرجح. من المرجح أن يرن المنبه ، وسوف يضيء الضوء ، وسوف تذهب الحافلة.

بعض الأحداث الفرصتحدث أكثر ، مما يعني أنها أكثر احتمالية - أقرب إلى الموثوقية. والبعض الآخر لديهم فرص أقل ، وهم أقل احتمالا - أقرب إلى المستحيل.

الأحداث المستحيلة ليس لها فرصة للوقوع ، وبعض الأحداث لها كل فرصة للوقوع ، في ظل ظروف معينة ستحدث بالتأكيد.

مثاليقارن بيتيا وكوليا بين أعياد ميلادهما. الحدث على النحو التالي:

أ) أعياد ميلادهم غير متطابقة ؛ (عشوائي)

ب) أعياد ميلادهم هي نفسها ؛ (عشوائي)

د) يقع كلا أعياد الميلاد في أيام العطلات - السنة الجديدة(1 يناير) وعيد الاستقلال الروسي (12 يونيو). (عشوائي)

3. تكوين المهارات والقدرات

مهمة من الكتاب المدرسي رقم 000. أي من الأحداث العشوائية التالية يمكن الاعتماد عليها ، ممكن:

أ) ستتعلم السلحفاة الكلام ؛

ب) الماء في الغلاية على الموقد يغلي ؛

د) فزت بالمشاركة في اليانصيب ؛

هـ) لن تفوز بالمشاركة في يانصيب مربح للجانبين ؛

و) ستخسر لعبة الشطرنج.

ز) ستقابل أجنبيًا غدًا ؛

ح) سيتدهور الطقس الأسبوع المقبل. ط) ضغطت على الجرس ، لكنه لم يرن ؛ ي) اليوم - الخميس ؛

ك) بعد يوم الخميس يكون هناك يوم الجمعة ؛ م) هل سيكون هناك خميس بعد الجمعة؟

تحتوي العلب على 2 كرات حمراء و 1 صفراء و 4 كرات خضراء. يتم سحب ثلاث كرات عشوائيًا من الصندوق. أي من الأحداث التالية مستحيل ، عشوائي ، مؤكد:

ج: سيتم رسم ثلاث كرات خضراء ؛

ب: سيتم سحب ثلاث كرات حمراء ؛

ج: سيتم رسم كرات من لونين ؛

D: سيتم رسم كرات من نفس اللون ؛

ه: من بين الكرات المسحوبة هناك كرة زرقاء ؛

F: من بين الكرات المرسومة ، توجد كرات من ثلاثة ألوان ؛

G: هل هناك كرتان أصفر بين الكرات المسحوبة؟

اختبر نفسك. (إملاء الرياضيات)

1) حدد أيًا من الأحداث التالية مستحيل ، وهو أمر مؤكد ، ويكون عشوائيًا:

مباراة كرة القدم "سبارتاك" - "دينامو" ستنتهي بالتعادل (عشوائي)

ستفوز بالمشاركة في اليانصيب المربح للجانبين ( أصلي)

عند منتصف الليل ستثلج الشمس وبعد 24 ساعة ستشرق الشمس (غير ممكن)

· سيكون هناك اختبار رياضيات غدًا. (عشوائي)

· سيتم انتخابك رئيسًا للولايات المتحدة. (غير ممكن)

· سيتم انتخابك رئيسًا لروسيا. (عشوائي)

2) اشتريت جهاز تلفزيون من متجر ، حيث تمنح الشركة المصنعة ضمانًا لمدة عامين. أي من الأحداث التالية مستحيل ، وهو عشوائي ، وهو مؤكد:

· لن ينكسر التلفاز خلال عام. (عشوائي)

لن ينكسر التلفزيون في غضون عامين . (عشوائي)

· في غضون عامين لن تضطر إلى الدفع مقابل إصلاح التلفاز. (أصلي)

التلفزيون سوف ينكسر في السنة الثالثة. (عشوائي)

3) حافلة تقل 15 راكبا لديها 10 محطات توقف. أي من الأحداث التالية مستحيل ، وهو عشوائي ، وهو مؤكد:

· سينزل جميع الركاب من الحافلة في محطات مختلفة. (غير ممكن)

سينزل جميع الركاب في نفس المحطة. (عشوائي)

في كل محطة ، سوف ينزل شخص ما على الأقل. (عشوائي)

سيكون هناك توقف لن ينزل عنده أحد. (عشوائي)

سينزل عدد زوجي من الركاب في جميع المحطات. (غير ممكن)

سينزل عدد فردي من الركاب في جميع المحطات. (غير ممكن)

ملخص الدرس

أسئلة للطلاب:

ما تسمى الأحداث العشوائية؟

ما هي الأحداث التي تسمى Equiprobable؟

ما الأحداث التي تعتبر موثوقة؟ غير ممكن؟

ما هي الأحداث التي تعتبر أكثر احتمالا؟ أقل احتمالا؟

واجب منزلي : البند 9.3

رقم 000. فكر في ثلاثة أمثلة لكل من الأحداث المستحيلة المؤكدة ، وكذلك الأحداث التي لا يمكن القول إنها تحدث بالضرورة.

902. هناك 10 أقلام حمراء ، و 1 خضراء ، و 2 زرقاء في علبة. يتم إخراج قلمين بشكل عشوائي من الصندوق. أي من الأحداث التالية مستحيل ، أكيد:

ج: سيتم إزالة مقابض حمراء ؛ ب: سيتم سحب مقابض خضراء ؛ ج: سيتم سحب مقابض زرقاء ؛ D: سيتم إخراج مقابض بألوان مختلفة ؛

إنتربرايز: هل سيتم إخراج قلمين؟ 03. اتفق إيجور ودانيلا: إذا توقف سهم القرص الدوار (الشكل 205) على حقل أبيض ، فسيقوم إيجور برسم السياج ، وإذا كان على حقل أزرق ، فإن دانيلا. أي فتى من المرجح أن يرسم السياج؟

الغرض من الدرس:

1. قدم مفهوم الأحداث المعينة والمستحيلة والعشوائية.
2. لتكوين المعرفة والمهارات لتحديد نوع الأحداث.
3. تطوير: مهارة حسابية ؛ انتباه؛ القدرة على التحليل والعقل واستخلاص النتائج ؛ مهارات العمل الجماعي.

خلال الفصول

1) لحظة تنظيمية.

تمرين تفاعلي: يجب على الأطفال حل الأمثلة وفك رموز الكلمات حسب النتائج يتم تقسيمهم إلى مجموعات (موثوقة ومستحيلة وعشوائية) وتحديد موضوع الدرس.

بطاقة واحدة.

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 بطاقة

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 بطاقة

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) تفعيل المعرفة المدروسة.

لعبة "التصفيق": رقم زوجي - تصفيق ، رقم فردي - قف.

المهمة: من سلسلة معينة من الأرقام 42 ، 35 ، 8 ، 9 ، 7 ، 10 ، 543 ، 88 ، 56 ، 13 ، 31 ، 77 ... حدد زوجيًا وفرديًا.

3) تعلم موضوع جديد.

لديك مكعبات على الطاولات. دعونا نلقي نظرة فاحصة عليهم. ماذا ترى؟

أين تستخدم النرد؟ كيف؟

مجموعة عمل.

إجراء تجربة.

ما هي التوقعات التي يمكنك القيام بها عند رمي النرد؟

التنبؤ الأول: سوف يسقط أحد الأرقام 1،2،3،4،5 أو 6.

يسمى الحدث الذي من المؤكد حدوثه في تجربة معينة أصلي.

التنبؤ الثاني: سيظهر الرقم 7.

هل تعتقد أن الحدث المتوقع سيحدث أم لا؟

هذا مستحيل!

يسمى الحدث الذي لا يمكن أن يحدث في تجربة معينة غير ممكن.

التنبؤ الثالث: سيظهر الرقم 1.

هل سيحدث هذا الحدث؟

يسمى الحدث الذي قد يحدث أو لا يحدث في تجربة معينة عشوائي.

4) توحيد المادة المدروسة.

I. تحديد نوع الحدث

-غدا سوف تثلج حمراء.

سوف تتساقط الثلوج بغزارة غدا.

غدا ، على الرغم من أنه يوليو ، سوف تتساقط الثلوج.

غدا ، على الرغم من أنه يوليو ، لن يكون هناك ثلج.

غدا سوف تثلج وستكون هناك عاصفة ثلجية.

ثانيًا. أضف كلمة إلى هذه الجملة بطريقة تجعل الحدث مستحيلاً.

حصلت كوليا على درجة A في التاريخ.

لم تكمل ساشا مهمة واحدة في الاختبار.

سوف يشرح Oksana Mikhailovna (مدرس التاريخ) الموضوع الجديد.

ثالثا. أعط أمثلة لأحداث مستحيلة وعشوائية ومحددة.

رابعا. العمل وفق الكتاب المدرسي (في مجموعات).

صِف الأحداث التي تمت مناقشتها في المهام أدناه على أنها مؤكدة أو مستحيلة أو عشوائية.

رقم 959. أنجب بيتيا عددًا طبيعيًا. الحدث على النحو التالي:

أ) يتم تكوين رقم زوجي ؛

ب) يتم تكوين رقم فردي ؛

ج) تم تصور رقم ليس زوجيًا ولا فرديًا ؛

د) يتم تكوين رقم زوجي أو فردي.

رقم 960. فتحت هذا الكتاب المدرسي على أي صفحة واخترت الاسم الأول الذي يظهر. الحدث على النحو التالي:

أ) يوجد حرف علة في تهجئة الكلمة المختارة ؛

ب) في تهجئة الكلمة المختارة يوجد حرف "o" ؛

ج) لا توجد أحرف متحركة في تهجئة الكلمة المختارة ؛

د) هناك علامة ناعمة في هجاء الكلمة المختارة.

حل # 961 ، # 964.

مناقشة المهام التي تم حلها.

5) انعكاس.

1. ما الأحداث التي قابلتها في الدرس؟

2. وضح أي الأحداث التالية مؤكد وأيها مستحيل وأيها عشوائي:

أ) لن تكون هناك عطلة صيفية ؛

ب) ستسقط الشطيرة جانب الزبدة لأسفل ؛

ج) سينتهي العام الدراسي يومًا ما.

6) الواجب المنزلي:

ابتكر حدثين موثوقين وعشوائيين ومستحيلا.

ارسم واحد منهم.

تعمل نظرية الاحتمالات ، مثل أي فرع من فروع الرياضيات ، مع مجموعة معينة من المفاهيم. يتم تعريف معظم مفاهيم نظرية الاحتمالات ، لكن بعضها يؤخذ على أنه أساسي ، وليس معرّفًا ، كما هو الحال في الهندسة ، نقطة ، خط ، مستوى. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو حدث. الحدث هو شيء يمكن أن يقال عنه ، بعد فترة زمنية معينة ، واحد فقط من الاثنين:

• · نعم ، لقد حدث ذلك.
• · لا ، لم يحدث ذلك.

على سبيل المثال ، لدي تذكرة يانصيب. بعد نشر نتائج سحب اليانصيب ، فإن الحدث الذي يثير اهتمامي - الفوز بألف روبل إما يحدث أو لا يحدث. أي حدث يقع نتيجة اختبار (أو تجربة). في ظل الاختبار (أو التجربة) ، فهم تلك الظروف التي أدت إلى وقوع الحدث. على سبيل المثال ، يعتبر رمي العملة المعدنية بمثابة اختبار ، وظهور "شعار النبالة" عليها يعد حدثًا. يُشار إلى الحدث عادةً بأحرف لاتينية كبيرة: A ، B ، C ، .... يمكن تقسيم الأحداث في العالم المادي إلى ثلاث فئات - معينة ومستحيلة وعشوائية.

حدث معين هو حدث معروف مسبقًا بحدوثه. يُشار إليها بالحرف W. وبالتالي ، لا يمكن الاعتماد على أكثر من ست نقاط عند رمي نرد عادي ، وظهور كرة بيضاء عند سحبها من جرة تحتوي على كرات بيضاء فقط ، إلخ.

الحدث المستحيل هو حدث معروف مسبقًا بأنه لن يحدث. يُشار إليه بالحرف E. ومن الأمثلة على الأحداث المستحيلة سحب أكثر من أربعة آسات من مجموعة أوراق عادية ، وظهور كرة حمراء من جرة تحتوي فقط على كرات بيضاء وسوداء ، إلخ.

الحدث العشوائي هو حدث قد يحدث أو لا يحدث نتيجة للاختبار. يُطلق على الحدثين A و B اسم غير متوافقين إذا كان حدوث أحدهما يستبعد إمكانية حدوث الآخر. لذا فإن ظهور أي عدد ممكن من النقاط عند رمي النرد (الحدث أ) يتعارض مع ظهور رقم آخر (الحدث ب). دحرجة عدد زوجي من النقاط لا يتوافق مع تدحرج رقم فردي. على العكس من ذلك ، لن يكون عدد النقاط الزوجي (الحدث أ) وعدد النقاط القابلة للقسمة على ثلاث (الحدث ب) غير متوافقين ، لأن فقدان ست نقاط يعني حدوث كلا الحدثين أ والحدث ب ، وبالتالي فإن حدوث واحد منهم لا يستبعد حدوث الآخر. يمكن إجراء العمليات على الأحداث. اتحاد حدثين C = AUB هو حدث C يحدث فقط في حالة حدوث أحد هذين الحدثين A و B. تقاطع حدثين D = A ؟؟ B هو حدث يقع فقط في حالة حدوث كلا الحدثين A و B.

يمكن تقسيم الأحداث (الظواهر) التي لاحظناها إلى الأنواع الثلاثة التالية: موثوقة ومستحيلة وعشوائية.

معقولاستدعاء حدث سيحدث بالتأكيد إذا تم تنفيذ مجموعة معينة من الشروط S. على سبيل المثال ، إذا كان وعاء يحتوي على ماء عند الضغط الجوي العادي ودرجة حرارة 20 درجة ، فعندئذ يكون الحدث "الماء في الوعاء في حالة سائلة " هو مؤكد. في هذا المثال ، يشكل الضغط الجوي المحدد ودرجة حرارة الماء مجموعة الشروط S.

غير ممكناستدعاء حدث لن يحدث بالتأكيد إذا تم تنفيذ مجموعة الشروط S. على سبيل المثال ، لن يحدث بالتأكيد حدث "الماء في الوعاء في حالة صلبة" إذا تم تنفيذ مجموعة شروط المثال السابق.

عشوائييسمى الحدث حدثًا يمكن أن يحدث أو لا يحدث في ظل تنفيذ مجموعة من الشروط. على سبيل المثال ، إذا تم إلقاء عملة معدنية ، فيمكن أن تسقط بحيث يكون إما شعار النبالة أو نقش في الأعلى. لذلك ، فإن الحدث "عند إلقاء عملة معدنية ، سقط" شعار النبالة "هو حدث عشوائي. كل حدث عشوائي ، ولا سيما سقوط "شعار النبالة" ، هو نتيجة عمل العديد من الأسباب العشوائية (في مثالنا: القوة التي يتم بها رمي العملة المعدنية ، وشكل العملة ، وغير ذلك الكثير ). من المستحيل مراعاة تأثير كل هذه الأسباب على النتيجة ، لأن عددها كبير جدًا وقوانين عملها غير معروفة. لذلك ، فإن نظرية الاحتمال لا تحدد لنفسها مهمة التنبؤ بما إذا كان حدث واحد سيحدث أم لا - فهي ببساطة لا تستطيع القيام بذلك.

يختلف الموقف إذا أخذنا في الاعتبار الأحداث العشوائية التي يمكن ملاحظتها بشكل متكرر في نفس الظروف S ، أي إذا كنا نتحدث عن أحداث عشوائية ضخمة ومتجانسة. اتضح أن عددًا كبيرًا بدرجة كافية من الأحداث العشوائية المتجانسة ، بغض النظر عن طبيعتها الخاصة ، تخضع لقوانين معينة ، وهي القوانين الاحتمالية. إنها نظرية الاحتمال التي تتعامل مع إنشاء هذه الانتظامات.

وبالتالي ، فإن موضوع نظرية الاحتمالات هو دراسة الانتظامات الاحتمالية للأحداث العشوائية الضخمة المتجانسة.

تستخدم طرق نظرية الاحتمالات على نطاق واسع في مختلف فروع العلوم الطبيعية والتكنولوجيا. تعمل نظرية الاحتمال أيضًا على إثبات الإحصاء الرياضي والتطبيقي.

أنواع الأحداث العشوائية. تسمى الأحداث غير متوافقإذا كان وقوع أحدهما يمنع وقوع أحداث أخرى في نفس المحاكمة.

مثال. ألقيت عملة معدنية. ظهور "شعار النبالة" يستثني ظهور النقش. حدثا "ظهر شعار النبالة" و "ظهر نقش" غير متوافقين.

عدة أحداث تتشكل مجموعة كاملة، إذا ظهر واحد منهم على الأقل نتيجة للاختبار. على وجه الخصوص ، إذا كانت الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة غير متوافقة مع الزوج ، فسيظهر حدث واحد فقط نتيجة للاختبار. هذه الحالة بالذات هي ذات أهمية كبيرة لنا ، حيث سيتم استخدامها أدناه.

مثال 2. تم شراء تذكرتين ليانصيب النقود والملابس. سيحدث بالضرورة حدث واحد فقط من الأحداث التالية: "سقطت المكاسب على التذكرة الأولى ولم تقع في الثانية" ، "لم تسقط المكاسب على التذكرة الأولى وسقطت في الثانية" ، "سقطت المكاسب على كلتا التذكرتين "،" لم تفز المكاسب على كلتا التذكرتين ". تشكل هذه الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية.

مثال 3. أطلق مطلق النار النار على الهدف. لا بد أن يحدث أحد الحدثين التاليين: ضرب ، ملكة جمال. يشكل هذان الحدثان المنفصلان مجموعة كاملة.

تسمى الأحداث ممكن بالتساويإذا كان هناك سبب للاعتقاد بأن أيًا منهما ليس ممكنًا أكثر من الآخر.

مثال 4. ظهور "شعار النبالة" وظهور نقش عند رمي عملة من الأحداث المحتملة بنفس القدر. في الواقع ، من المفترض أن العملة مصنوعة من مادة متجانسة ، ولها شكل أسطواني منتظم ، ولا يؤثر وجود العملة المعدنية على فقدان جانب أو آخر من وجه العملة.

التسمية الذاتية بالأحرف الكبيرة للأبجدية اللاتينية: أ ، ب ، ج ، .. أ 1 ، أ 2 ..

تسمى الأضداد 2 ممكن بشكل فريد لذلك-أنا ، لتشكيل مجموعة كاملة. إذا كان أحدهما معاكسًا يتم الإشارة إلى الأحداث بالرمز "أ" ، ثم تكون التعيينات الأخرى "أ".

مثال 5. اضرب وأخطئ عند إطلاق النار على هدف - الجنس الآخر. ملك.

1.1 بعض المعلومات من التوافقية

1.1.1. أماكن الإقامة

ضع في اعتبارك أبسط المفاهيم المتعلقة بتحديد وموقع مجموعة معينة من الكائنات.
غالبًا ما يتم حساب عدد الطرق التي يمكن بها تنفيذ هذه الإجراءات عند حل المشكلات الاحتمالية.
تعريف. السكن من نعناصر بواسطة ك (ك ≤ن) هي أي مجموعة فرعية مرتبة من كعناصر مجموعة تتكون من نعناصر مختلفة.
مثال.تسلسل الأرقام التالي عبارة عن ترتيبات من عنصرين من 3 عناصر من المجموعة (1 ؛ 2 ؛ 3): 12 ، 13 ، 23 ، 21 ، 31 ، 32.
لاحظ أن المواضع تختلف في ترتيب العناصر المكونة لها وتكوينها. الموضعان 12 و 21 يحتويان على نفس الأرقام ، لكن ترتيبهما مختلف. لذلك ، تعتبر هذه المواضع مختلفة.
عدد المواضع المختلفة من نعناصر بواسطة كيرمز ويحسب بالصيغة:
,
أين ن! = 1∙2∙...∙(ن - 1)∙ن(اقرأ " نعاملي).
رقم أرقام من رقمين، والتي يمكن أن تتكون من الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، بشرط ألا يتكرر رقم واحد يساوي:.

1.1.2. التباديل

تعريف. تباديل من نالعناصر تسمى مثل هذه المواضع من نالعناصر التي تختلف فقط في ترتيب العناصر.
عدد التباديل من نعناصر ص نمحسوبة بالصيغة: ص ن=ن!
مثال.كم عدد الطرق التي يمكن أن يصطف بها 5 أشخاص؟ عدد الطرق يساوي عدد التباديل من 5 عناصر ، أي
ص 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
تعريف. إذا كان بين نعناصر كمتطابقة ، ثم التقليب من هذه نالعناصر تسمى التقليب مع التكرار.
مثال.افترض أنه من بين 6 كتب 2 هي نفسها. أي ترتيب لجميع الكتب على الرف هو تبديل مع التكرار.
عدد التباديل المختلفة مع التكرار (من نمن بينها كمتطابقة) بواسطة الصيغة:.
في مثالنا ، عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الكتب على الرف هو:.

1.1.3. مجموعات

تعريف. مجموعات من نعناصر بواسطة كتسمى هذه المواضع نعناصر بواسطة ك، والتي تختلف عن بعضها البعض من خلال عنصر واحد على الأقل.
عدد التوليفات المختلفة من نعناصر بواسطة كيرمز ويحسب بواسطة الصيغة:.
بحكم التعريف ، 0! = 1.
المجموعات لها الخصائص التالية:
1.
2.
3.
4.
مثال.يوجد 5 زهور بألوان مختلفة. للباقة ، يتم اختيار 3 أزهار. عدد الباقات المختلفة المكونة من 3 زهور من 5 هو:.

1.2 الأحداث العشوائية

1.2.1. التطورات

يحدث إدراك الواقع في العلوم الطبيعية نتيجة الاختبارات (التجربة ، الملاحظة ، الخبرة).
اختبار أو التجربة هي تنفيذ مجموعة معينة من الشروط التي يمكن إعادة إنتاجها بشكل تعسفي لعدد كبير من المرات.
عشوائي يسمى حدثًا قد يحدث أو لا يحدث نتيجة لبعض الاختبارات (التجربة).
وبالتالي ، يعتبر الحدث نتيجة اختبار.
مثال.رمي قطعة نقود هو اختبار. ظهور النسر عند رميها هو حدث.
تختلف الأحداث التي نلاحظها في درجة احتمالية حدوثها وفي طبيعة علاقتها.
يسمى الحدث أصلي إذا كان من المؤكد حدوثه نتيجة للاختبار.
مثال.يعتبر حصول الطالب على علامة إيجابية أو سلبية في الاختبار حدثًا معينًا إذا استمر الاختبار وفقًا للقواعد المعتادة.
يسمى الحدث غير ممكن إذا كان لا يمكن أن يحدث نتيجة لهذا الاختبار.
مثال.يعتبر استخراج كرة بيضاء من جرة تحتوي على كرات ملونة فقط (غير بيضاء) حدثًا مستحيلًا. لاحظ أنه في ظل الظروف الأخرى للتجربة ، لا يتم استبعاد ظهور الكرة البيضاء ؛ وبالتالي ، فإن هذا الحدث مستحيل فقط في ظروف تجربتنا.
علاوة على ذلك ، سيتم الإشارة إلى الأحداث العشوائية باللاتينية الكبيرة الحروف أ ، ب ، ج... سيتم الإشارة إلى حدث مؤكد بالحرف Ω ، وهو حدث مستحيل بواسطة Ø.
يتم استدعاء حدثين أو أكثر ممكن بالتساوي في اختبار معين ، إذا كان هناك سبب للاعتقاد بأن أيًا من هذه الأحداث ليس أكثر احتمالية أو أقل احتمالية من غيرها.
مثال.برمية واحدة للنرد ، فإن ظهور 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 نقاط كلها أحداث محتملة متساوية. من المفترض ، بالطبع ، أن القالب مصنوع من مادة متجانسة وله شكل منتظم.
يتم استدعاء الحدثين غير متوافق في تجربة معينة ، إذا كان حدوث أحدهما يمنع حدوث الآخر ، و مشترك غير ذلك.
مثال.يحتوي الصندوق على أجزاء قياسية وغير قياسية. لنأخذ تفصيلاً واحداً. يستثني مظهر الجزء القياسي مظهر الجزء غير القياسي. هذه الأحداث غير متوافقة.
عدة أحداث تتشكل مجموعة كاملة من الأحداث في هذا الاختبار ، إذا حدث نتيجة لهذا الاختبار بالضرورة واحد منهم على الأقل.
مثال.تشكل الأحداث من المثال مجموعة كاملة من الأحداث المتكافئة الممكنة وغير المتوافقة.
يتم استدعاء حدثين منفصلين يشكلان مجموعة كاملة من الأحداث في تجربة معينة أحداث معاكسة.
إذا تم الإشارة إلى أحدهم بواسطة أ، ثم يتم الإشارة إلى الآخر عادةً من خلال (يقرأ "لا أ»).
مثال.الضرب والفقدان بطلقة واحدة على هدف هما حدثان متعاكسان.

1.2.2. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

احتمالية الحدث هو مقياس رقمي لإمكانية حدوثه.
هدف لكنمسمى ملائم حدث فيإذا وقع حدث ما لكنيحدث هذا الحدث في.
التطورات لكن 1 , لكن 2 , ..., لكننشكل مخطط الحالة ، اذا هم:
1) ممكنة بالتساوي ؛
2) غير متوافقة مع الزوج ؛
3) تشكيل مجموعة كاملة.
في مخطط الحالات (وفقط في هذا المخطط) يتم التعريف الكلاسيكي للاحتمال ص(أ) التطورات لكن. هنا ، يُطلق على كل حدث ينتمي إلى المجموعة الكاملة المحددة للأحداث المتساوية الممكنة وغير المتوافقة الزوجية حالة.
إذا نهو عدد جميع الحالات في المخطط ، و م- عدد القضايا المؤاتية للحدث لكن، ومن بعد احتمالية الحدث لكنيتم تعريفه من خلال المساواة:

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمال:
1. الاحتمال حدث أكيديساوي واحد.
في الواقع ، إذا كان حدث ما مؤكدًا ، فإن كل حدث في مخطط الأحداث يفضل الحدث. في هذه الحالة م = نوبالتالي

2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.
في الواقع ، إذا كان الحدث مستحيلًا ، فلن تفضل أي حالة من الحالات الواردة في مخطط القضايا الحدث. لهذا السبب م= 0 وبالتالي

احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد.
في الواقع ، يتم تفضيل الحدث العشوائي بجزء بسيط فقط من العدد الإجمالي للحالات في مخطط القضايا. لذلك 0<م<ن، وهو ما يعني 0<م/ن<1 и, следовательно, 0 < ف (أ) < 1.
لذا ، فإن احتمال حدوث أي حدث يرضي المتباينات
0 ≤ ف (أ) ≤ 1.
في الوقت الحاضر ، يتم تحديد خصائص الاحتمال في شكل بديهيات صاغها A.N. كولموغوروف.
تتمثل إحدى المزايا الرئيسية للتعريف الكلاسيكي للاحتمالية في القدرة على حساب احتمالية حدث ما مباشرة ، أي دون اللجوء إلى التجارب التي يتم استبدالها بالتفكير المنطقي.

مشاكل الحساب المباشر للاحتمالات

المهمة 1.1. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي من النقاط (الحدث أ) في رمية واحدة لنرد؟
المحلول. ضع في اعتبارك الأحداث لكنأنا- ترك الدراسة أنانقاط، أنا= 1 ، 2 ، ... ، 6. من الواضح أن هذه الأحداث تشكل نمطًا من الحالات. ثم عدد جميع الحالات ن= 6. عدد زوجي من النقاط يفضله الحالات لكن 2 , لكن 4 , لكن 6 ، أي م= 3. ثم .
المهمة 1.2. تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء. يتم خلط الكرات جيدًا ثم يتم إخراج كرة واحدة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون الكرة المرسومة بيضاء؟
المحلول. هناك 15 حالة في المجموع ، والتي تشكل نمط الحالات. والحدث المنتظر لكن- يفضل 5 منهم ظهور الكرة البيضاء .
المهمة 1.3. يلعب الطفل بستة أحرف من الأبجدية: A ، A ، E ، K ، R ، T. ابحث عن احتمال أن يتمكن من إضافة كلمة CARRIAGE (الحدث A) بشكل عشوائي.
المحلول. القرار معقد بسبب حقيقة أن هناك نفس الحرف من بين الحروف - حرفان "A". لذلك ، فإن عدد جميع القضايا الممكنة في هذه المحاكمة يساوي عدد التباديل مع التكرار 6 أحرف:
.
هذه الحالات ممكنة بنفس القدر ، غير متوافقة مع الزوج ، وتشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، أي شكل مخطط حالة. فرصة واحدة فقط تفضل الحدث لكن. لهذا السبب
.
المهمة 1.4. وافق تانيا وفانيا على الاحتفال بالعام الجديد في شركة مكونة من 10 أشخاص. كلاهما يريد حقًا الجلوس بجانب بعضهما البعض. ما هو احتمال أن تتحقق رغبتهم إذا كان من المعتاد توزيع الأماكن بين أصدقائهم بالقرعة؟
المحلول. للدلالة به لكنحدث "تحقيق رغبة تانيا وفانيا." 10 أشخاص يمكنهم الجلوس على طاولة من 10 أشخاص! طرق مختلفة. كم عدد هؤلاء ن= 10! هل الطرق الممكنة بنفس القدر مواتية لتانيا وفانيا؟ يمكن لتانيا وفانيا ، اللذان يجلسان جنبًا إلى جنب ، شغل 20 منصبًا مختلفًا. في نفس الوقت ، يمكن لثمانية من أصدقائهم الجلوس على الطاولة 8! بطرق مختلفة ، لذلك م= 20 8 !. بالتالي،
.
المهمة 1.5. تختار مجموعة من 5 نساء و 20 رجلاً ثلاثة مندوبين. بافتراض أن كل واحد من الحاضرين من المرجح أن يتم اختياره بالتساوي ، ابحث عن احتمال اختيار امرأتين ورجل واحد.
المحلول. العدد الإجمالي للنتائج المحتملة المتساوية للاختبار يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار ثلاثة مندوبين من بين 25 شخصًا ، أي . دعونا الآن نحسب عدد الحالات المواتية ، أي عدد مرات وقوع الحدث محل الاهتمام. يمكن اختيار المندوب الذكر بعشرين طريقة. في الوقت نفسه ، يجب أن يكون المندوبان المتبقيان من النساء ، ويمكنك اختيار امرأتين من بين خمسة. بالتالي، . لهذا السبب
.
المشكلة 1.6.تتناثر أربع كرات بشكل عشوائي على أربعة ثقوب ، حيث تسقط كل كرة في حفرة واحدة أو أخرى بنفس الاحتمال وبشكل مستقل عن الكرات الأخرى (لا توجد عوائق أمام إدخال عدة كرات في نفس الحفرة). أوجد احتمال وجود ثلاث كرات في إحدى الثقوب ، واحدة في الأخرى ، وعدم وجود كرات في الفتحتين الأخريين.
المحلول. العدد الإجمالي للحالات ن= 4 4. عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار ثقب واحد ، حيث سيكون هناك ثلاث كرات ،. عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار الثقب حيث توجد كرة واحدة ،. عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار ثلاث كرات من أربع كرات لوضعها في الفتحة الأولى ،. العدد الإجمالي للحالات المؤاتية. احتمالية الحدث:
مشكلة 1.7.هناك 10 كرات متطابقة في الصندوق ، موضحة بالأرقام 1 ، 2 ، ... ، 10. يتم رسم ست كرات من أجل الحظ. أوجد احتمال أن يكون هناك من بين الكرات المستخلصة: أ) الكرة رقم 1 ؛ ب) الكرات رقم 1 ورقم 2.
المحلول. أ) العدد الإجمالي للنتائج الأولية المحتملة للاختبار يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها استخلاص ست كرات من عشرة ، أي
لنجد عدد النتائج التي تفضل الحدث الذي نهتم به: من بين الكرات الست المختارة ، توجد الكرة رقم 1 ، وبالتالي ، فإن الكرات الخمس المتبقية لها أرقام مختلفة. من الواضح أن عدد هذه النتائج يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار خمس كرات من التسعة المتبقية ، أي
الاحتمال المرغوب فيه يساوي نسبة عدد النتائج التي تفضل الحدث قيد النظر إلى العدد الإجمالي للنتائج الأولية المحتملة:
ب) عدد النتائج التي تفضل الحدث الذي يهمنا (من بين الكرات المختارة هناك كرات رقم 1 ورقم 2 ، وبالتالي ، فإن أربع كرات لها أرقام مختلفة) يساوي عدد الطرق التي يمكن أن تكون بها أربع كرات المستخرجة من الثمانية المتبقية ، أي الاحتمال المطلوب

1.2.3. الاحتمال الإحصائي

يتم استخدام التعريف الإحصائي للاحتمال عندما لا تكون نتائج التجربة متساوية في الاحتمال.
تردد الحدث النسبي لكنيتم تعريفه من خلال المساواة:
,
أين مهو عدد المحاكمات التي حدث فيها لكنهو جاء نهو العدد الإجمالي للاختبارات التي تم إجراؤها.
أثبت J. Bernoulli أنه مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب ، فإن التكرار النسبي لحدوث حدث ما سيختلف عمليا بشكل تعسفي عن بعض الأرقام الثابتة. اتضح أن هذا الرقم الثابت هو احتمال وقوع حدث. لذلك ، بطبيعة الحال ، فإن التكرار النسبي لحدوث حدث مع عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب يسمى الاحتمال الإحصائي ، على عكس الاحتمال المقدم سابقًا.
مثال 1.8. كيف يمكنك تقريب عدد الأسماك في البحيرة؟
دعوا البحيرة Xسمك. نرمي الشبكة ، دعنا نقول ، نجدها نسمك. نحتفل بكل واحد منهم ونطلق سراحه مرة أخرى. بعد بضعة أيام ، في نفس الطقس وفي نفس المكان ، ألقينا نفس الشبكة. لنفترض أننا وجدنا م الأسماك فيه ، من بينها كالمسمى. دع الحدث لكن- "يتم وضع علامة على الأسماك التي يتم اصطيادها". ثم من خلال تعريف التردد النسبي.
ولكن إذا كان في البحيرة Xسمكة وأطلقناها نالمسمى ، إذن.
لأن ص * (لكن) » ص(لكن)، ومن بعد .

1.2.4. عمليات الأحداث. نظرية الجمع

مجموعأو اتحاد عدة أحداث هو حدث يتكون من وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث (في نفس الاختبار).
مجموع لكن 1 + لكن 2 + … + لكننيرمز إلى مثل هذا:
أو .
مثال. رمي نردان. دع الحدث لكنيتكون من دحرجة 4 نقاط على نرد واحد ، والحدث في- في لفة من 5 نقاط على نرد آخر. التطورات لكنو فيمشترك. لذلك الحدث لكن +فييتكون من دحرجة 4 نقاط على النرد الأول ، أو 5 نقاط على النرد الثاني ، أو 4 نقاط على النرد الأول و 5 نقاط على النرد الثاني في نفس الوقت.
مثال.هدف لكن- اربح على قرض واحد ، حدث في- اربح على قرضين. ثم الحدث أ + ب- الفوز بقرض واحد على الأقل (ربما اثنان في وقت واحد).
الشغلأو تقاطع عدة أحداث هو حدث يتكون من التواجد المشترك لكل هذه الأحداث (في نفس الاختبار).
الشغل فيالأحداث لكن 1 , لكن 2 , …, لكننيرمز إلى مثل هذا:
.
مثال.التطورات لكنو فيتتكون في المرور الناجح من الجولتين الأولى والثانية ، على التوالي ، عند القبول في المعهد. ثم الحدث لكن× بيتكون من الانتهاء بنجاح من كلتا الجولتين.
مفاهيم مجموع ومنتج الأحداث لها تفسير هندسي واضح. دع الحدث لكنضرب نقطة في المنطقة لكنوالحدث في- ضرب نقطة في المنطقة في. ثم الحدث أ + بهناك إصابة لنقطة في اتحاد هذه المناطق (الشكل 2.1) ، والحدث لكنفيهناك إصابة لنقطة في تقاطع هذه المناطق (الشكل 2.2).

أرز. 2.1 الشكل. 2.2
نظرية. إذا الأحداث عاي(أنا = 1, 2, …, ن) غير متوافقة مع الزوج ، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:
.
اسمحوا ان لكنو Ā - أحداث معاكسة ، أي أ + أ= Ω ، حيث Ω حدث معين. من نظرية الإضافة يتبع ذلك
الفوسفور (Ω) = ص(لكن) + ص(Ā ) = 1 إذن
ص(Ā ) = 1 – ص(لكن).
إذا الأحداث لكن 1 و لكن 2 مشتركة ، فإن احتمال مجموع حدثين مشتركين يساوي:
ص(لكن 1 + لكن 2) = ص(لكن 1) + ص(لكن 2) - ف ( لكن 1 × لكن 2).
تتيح نظريات الإضافة الاحتمالية إمكانية الانتقال من الحساب المباشر للاحتمالات إلى تحديد احتمالات وقوع الأحداث المعقدة.
المهمة 1.8. مطلق النار يطلق رصاصة واحدة على الهدف. احتمال خروج 10 نقاط (حدث لكن) ، 9 نقاط (حدث في) و 8 نقاط (حدث من) تساوي 0.11 على التوالي ؛ 0.23 ؛ 0.17. أوجد احتمال أن يسجل مطلق النار أقل من 8 نقاط بضربة واحدة (حدث د).
المحلول. دعنا ننتقل إلى الحدث المعاكس - بطلقة واحدة ، سيخرج مطلق النار ما لا يقل عن 8 نقاط. يقع الحدث إذا لكنأو في، أو من، بمعنى آخر. . منذ الأحداث أ ، ب, منغير متسقة في الزوجين ، إذن ، من خلال نظرية الجمع ،
، أين .
المهمة 1.9. من فريق اللواء المكون من 6 رجال و 4 سيدات ، تم اختيار شخصين للمؤتمر النقابي. ما هو احتمال أن تكون امرأة واحدة على الأقل من بين المختارين (حدث لكن).
المحلول. إذا حدث حدث لكن، إذن سيحدث بالضرورة أحد الأحداث غير المتوافقة التالية: في- "يتم اختيار الرجل والمرأة" ؛ من"تم اختيار امرأتين". لذلك يمكننا أن نكتب: أ = ب + ج. أوجد احتمالية الأحداث فيو من. يمكن اختيار شخصين من كل 10 بطرق. يمكن اختيار امرأتين من أصل 4 بطرق. يمكن اختيار الذكور والإناث بطرق 6 × 4. ثم . منذ الأحداث فيو منغير متسقة ، إذن ، من خلال نظرية الجمع ،
الفوسفور (أ) = الفوسفور (ب + ج) = الفوسفور (ب) + الفوسفور (ج) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
المشكلة 1.10.يوجد 15 كتابًا مدرسيًا مرتبة عشوائيًا على رف في المكتبة ، خمسة منها مُجلدة. يأخذ أمين المكتبة ثلاثة كتب مدرسية بشكل عشوائي. أوجد احتمال ارتباط أحد الكتب المدرسية المأخوذة على الأقل (حدث لكن).
المحلول. اول طريق. سيتم استيفاء المطلب - واحد على الأقل من الكتب المدرسية الثلاثة المُلزمة - في حالة حدوث أي من الأحداث الثلاثة غير المتوافقة التالية: في- 1 كتاب مدرسي مجلّد من- كتابان مدرسيان مجلدين د- ثلاثة كتب مدرسية مجلدة.
حدث نحن مهتمون به لكنيمكن تمثيلها كمجموع الأحداث: أ = ب + ج + د. من خلال نظرية الجمع ،
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
أوجد احتمالية الأحداث ب ، جو د(انظر المخططات التوافقية):

تمثيل هذه الاحتمالات في المساواة (2.1) ، نحصل عليها أخيرًا
ف (أ)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
الطريقة الثانية. هدف لكن(واحد على الأقل من الكتب الثلاثة المأخوذة به رابط) و Ā (لا يوجد رابط في أي من الكتب المدرسية التي تم أخذها) عكس ذلك ف (أ) + ف (Ā) = 1 (مجموع احتمالات حدثين متقابلين يساوي 1). من هنا ص (أ) = 1 – ص (أ).احتمال وقوع حدث Ā (لا يلزم أي من الكتب المدرسية المأخوذة)
الاحتمال المطلوب
ص (أ) = 1 - ف (Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. احتمال مشروط. نظرية الضرب الاحتمالية

احتمال مشروط ص (ب/لكن) هو احتمال الحدث B ، محسوبًا على افتراض أن الحدث A قد وقع بالفعل.
نظرية. إن احتمال التواجد المشترك لحدثين يساوي ناتج احتمالات أحدهما من خلال الاحتمال الشرطي للآخر ، محسوبًا على افتراض أن الحدث الأول قد حدث بالفعل:
ص (ا∙ب) = ف (أ) ∙ ف ( في/لكن). (2.2)
يتم استدعاء حدثين مستقلين إذا كان حدوث أي منهما لا يغير احتمال حدوث الآخر ، أي
الفوسفور (أ) = الفوسفور (أ / ب) أو ص (ب) = ص (ب/لكن). (2.3)
إذا الأحداث لكنو فيمستقلة ، فإن الصيغتين (2.2) و (2.3) تعنيان
ص (ا∙ب) = ف (أ)∙ص (ب). (2.4)
العبارة العكسية صحيحة أيضًا ، أي إذا كانت المساواة (2.4) تنطبق على حدثين ، فإن هذه الأحداث تكون مستقلة. في الواقع ، تشير الصيغتان (2.4) و (2.2) إلى ذلك
ص (ا∙ب) = ف (أ)∙ص (ب) = ص (ا) × ص (ب/لكن)، أين ص (ا) = ص (ب/لكن).
يمكن تعميم الصيغة (2.2) على حالة عدد محدود من الأحداث لكن 1 , لكن 2 ,…,ا ن:
ص (ا 1 ∙لكن 2 ∙…∙ا ن)=ص (ا 1)∙ص (ا 2 /لكن 1)∙ص (ا 3 /لكن 1 لكن 2)∙…∙حرمان/لكن 1 لكن 2 …ا ن -1).
المهمة 1.11. من جرة تحتوي على 5 كرات بيضاء و 10 كرات سوداء ، يتم رسم كرتين على التوالي. أوجد احتمال أن تكون كلتا الكرتين أبيضتين (حدث لكن).
المحلول. ضع في اعتبارك الأحداث: في- الكرة الأولى بيضاء ؛ من- الكرة الثانية بيضاء. ثم أ = ق.
يمكن إجراء التجربة بطريقتين:
1) مع الإرجاع: بعد تثبيت اللون ، تعاد الكرة المسحوبة إلى الجرة. في هذه الحالة ، الأحداث فيو منمستقل:
الفوسفور (أ) = الفوسفور (ب)∙الكمبيوتر) = 5/15 × 5/15 = 1/9 ؛
2) بدون استبدال: توضع الكرة المسحوبة جانباً. في هذه الحالة ، الأحداث فيو منيعتمد:
الفوسفور (أ) = الفوسفور (ب)∙الكمبيوتر/في).
لحدث فيالشروط هي نفسها ، ول منلقد تغير الوضع. حدث في، لذلك بقيت 14 كرة في الجرة ، 4 منها بيضاء.
وبالتالي، .
المهمة 1.12. من بين 50 مصباحًا كهربائيًا ، 3 منها غير قياسية. أوجد احتمال أن المصباحين المأخوذين في نفس الوقت غير قياسيين.
المحلول. ضع في اعتبارك الأحداث: لكن- المصباح الأول غير قياسي ، في- المصباح الثاني غير قياسي ، من- كلا المصباحين غير قياسيين. انه واضح ج = أ∙في. حدث لكنتفضل 3 حالات من أصل 50 ممكنًا ، أي ص (ا) = 3/50. إذا كان الحدث لكنحدث بالفعل ، الحدث فيتفضل حالتين من أصل 49 ممكنًا ، أي ص (ب/لكن) = 2/49. بالتالي،
.
المهمة 1.13. يقوم لاعبان بإطلاق النار بشكل مستقل على نفس الهدف. احتمال إصابة اللاعب الأول هو 0.7 ، والثاني 0.8. ما هو احتمال إصابة الهدف؟
المحلول. سيتم إصابة الهدف إذا أصابته إما أول أو ثاني أو كلاهما ، أي. سيحدث حدث أ + بحيث الحدث لكنيتكون في ضرب الهدف من قبل الرياضي الأول ، والحدث في- ثانيا. ثم
ص (ا+في)=ص (ا)+ص (ب)–ص (ا∙في)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
المشكلة 1.14.هناك ستة كتب عن نظرية الاحتمال في غرفة القراءة ، ثلاثة منها ملزمة. أخذ أمين المكتبة كتابين دراسيين بشكل عشوائي. أوجد احتمال ربط كتابين دراسيين.
المحلول. دعونا نقدم تدوين الأحداث :أ- أول كتاب مدرسي مأخوذ ملزم ، في- الكتاب المدرسي الثاني ملزم. احتمال أن يكون الكتاب المدرسي الأول ملزمًا ،
ص (أ) = 3/6 = 1/2.
احتمالية أن يكون الكتاب المدرسي الثاني ملزماً ، بالنظر إلى أن الكتاب الأول المأخوذ كان مقيدًا ، أي الاحتمال الشرطي لحدث في، هذا هو: ص (ب/لكن) = 2/5.
الاحتمال المطلوب أن كلا الكتابين المدرسيين لهما ارتباط ، وفقًا لنظرية الضرب لاحتمالات الأحداث ، يساوي
ف (أب) = ص (أ) ∙ ص (ب/لكن)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2.
المشكلة 1.15.يعمل في المحل 7 رجال و 3 سيدات. تم اختيار ثلاثة أشخاص بشكل عشوائي وفقًا لأعداد الأفراد. أوجد احتمال أن يكون جميع الأشخاص المختارين من الرجال.
المحلول. دعنا نقدم تدوين الأحداث: أ- ذكر تم اختياره أولا في- الرجل الثاني المختار ، من -الرجل الثالث المختار. احتمالية اختيار الذكر أولاً ص (أ) = 7/10.
احتمالية اختيار الرجل ثانية بشرط أن يكون الرجل قد تم اختياره أولاً ، أي الاحتمال الشرطي لحدث فيالتالي : ف (ب / أ) = 6/9 = 2/3.
احتمال اختيار رجل ثالثًا بشرط أن يكون قد تم اختيار رجلين بالفعل ، أي الاحتمال الشرطي لحدث منيكون: الكمبيوتر/AB) = 5/8.
الاحتمال المنشود أن الأشخاص الثلاثة المختارين هم من الرجال ، الفوسفور (ABC) = الفوسفور (أ) ص (ب/لكن) الكمبيوتر/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. صيغة الاحتمال الكلي وصيغة بايز

اسمحوا ان ب 1 , ب 2 ,…, ب نهي أحداث غير متوافقة (فرضيات) و لكن- حدث لا يمكن أن يحدث إلا بالتزامن مع أحدهما.
اسمحوا لنا أن نعرف أيضا Р (B i) و ص (ا/ب ط) (أنا = 1, 2, …, ن).
في ظل هذه الظروف ، تكون الصيغ صالحة:
(2.5)
(2.6)
الصيغة (2.5) تسمى صيغة الاحتمال الكلي . يحسب احتمال وقوع حدث لكن(الاحتمال الكامل).
الصيغة (2.6) تسمى صيغة بايز . يسمح لك بإعادة حساب احتمالات الفرضيات في حالة وقوع الحدث لكنحدث.
عند تجميع الأمثلة ، من المناسب اعتبار أن الفرضيات تشكل مجموعة كاملة.
المهمة 1.16. تحتوي السلة على تفاح من أربع أشجار من نفس الصنف. من الأول - 15٪ من جميع التفاح ، من الثاني - 35٪ ، من الثالث - 20٪ ، من الرابع - 30٪. التفاح الناضج 99٪ ، 97٪ ، 98٪ ، 95٪ على التوالي.
أ) ما هو احتمال نضج تفاحة تم اختيارها عشوائيًا؟ لكن).
ب) بشرط أن تكون التفاحة المأخوذة عشوائيًا قد نضجت ، احسب احتمال أنها من الشجرة الأولى.
المحلول. أ) لدينا 4 فرضيات:
ب 1 - تؤخذ تفاحة عشوائية من الشجرة الأولى ؛
ب 2 - تؤخذ تفاحة عشوائية من الشجرة الثانية ؛
ب 3 - تفاحة مأخوذة عشوائيًا من الشجرة الثالثة ؛
ب 4 - تفاحة مأخوذة عشوائياً من الشجرة الرابعة.
احتمالاتهم حسب الشرط: ص (ب 1) = 0,15; ص (ب 2) = 0,35; ص (ب 3) = 0,2; ص (ب 4) = 0,3.
احتمالات الحدث الشرطي لكن:
ص (ا/ب 1) = 0,99; ص (ا/ب 2) = 0,97; ص (ا/ب 3) = 0,98; ص (ا/ب 4) = 0,95.
تم العثور على احتمالية نضج تفاحة تم اختيارها عشوائيًا من خلال صيغة الاحتمال الإجمالية:
ص (ا)=ص (ب 1)∙ص (ا/ب 1)+ص (ب 2)∙ص (ا/ب 2)+ص (ب 3)∙ص (ا/ب 3)+ص (ب 4)∙ص (ا/ب 4)=0,969.
ب) صيغة بايز لحالتنا لها الشكل:
.
المشكلة 1.17.يتم إسقاط كرة بيضاء في جرة تحتوي على كرتين ، وبعد ذلك يتم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء إذا كانت جميع الافتراضات الممكنة حول التكوين الأولي للكرات (حسب اللون) ممكنة بشكل متساوٍ.
المحلول. للدلالة به لكنحدث - يتم رسم كرة بيضاء. الافتراضات (الفرضيات) التالية حول التكوين الأولي للكرات ممكنة: ب 1لا كرات بيضاء في 2- كرة بيضاء في 3- كرتان بيضاء.
نظرًا لوجود ثلاث فرضيات في المجموع ، ومجموع احتمالات الفرضيات هو 1 (نظرًا لأنها تشكل مجموعة كاملة من الأحداث) ، فإن احتمال كل من الفرضيات هو 1/3 ، أي
ص (ب 1) = ص (ب 2)= ف (ب 3) = 1/3.
الاحتمال الشرطي لسحب كرة بيضاء ، بالنظر إلى عدم وجود كرات بيضاء في الجرة في البداية ، ص (ا/ب 1) = 1/3. الاحتمال الشرطي لسحب كرة بيضاء ، بالنظر إلى أن الجرة كانت تحتوي في الأصل على كرة بيضاء واحدة ، ص (ا/ب 2) = 2/3. الاحتمال الشرطي لسحب كرة بيضاء ، بالنظر إلى أن الجرة كانت تحتوي في الأصل على كرتين بيضاء. ص (ا/ب 3)=3/ 3=1.
يتم العثور على الاحتمال المطلوب لسحب كرة بيضاء من خلال صيغة الاحتمال الإجمالية:
ص(لكن)=ص (ب 1)∙ص (ا/ب 1)+ص (ب 2)∙ص (ا/ب 2)+ص (ب 3)∙ص (ا/ب 3) = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3 .
المهمة 1.18. تنتج آلتان نفس الأجزاء التي يتم تغذيتها في ناقل مشترك. أداء الآلة الأولى ضعف أداء الثانية. تنتج الآلة الأولى ما معدله 60٪ من الأجزاء ذات الجودة الممتازة ، والثانية - 84٪. اتضح أن الجزء المأخوذ عشوائيًا من خط التجميع ذو جودة ممتازة. أوجد احتمال أن يكون الجهاز الأول قد أنتج هذا العنصر.
المحلول. للدلالة به لكنالحدث عنصر ذو جودة ممتازة. يمكن عمل افتراضين: ب 1- يتم إنتاج الجزء بواسطة الآلة الأولى ، و (بما أن الآلة الأولى تنتج ضعف عدد الأجزاء التي تنتجها الثانية) ص (ا/ب 1) = 2/3; ب 2 - الجزء تم إنتاجه بآلة ثانية ، و ص (ب 2) = 1/3.
الاحتمال الشرطي بأن يكون الجزء بجودة ممتازة إذا تم إنتاجه بواسطة الجهاز الأول ، ص (ا/ب 1)=0,6.
الاحتمال الشرطي أن يكون الجزء بجودة ممتازة إذا تم إنتاجه بواسطة الجهاز الثاني ، ص (ا/ب 1)=0,84.
تساوي احتمالية أن يكون الجزء المختار عشوائيًا بجودة ممتازة ، وفقًا لمعادلة الاحتمال الإجمالية
ص (ا)=ص (ب 1) ∙ص (ا/ب 1)+ص (ب 2) ∙ص (ا/ب 2) = 2/3 0.6 + 1/3 0.84 = 0.68.
الاحتمال المطلوب أن الجزء الممتاز المأخوذ يتم إنتاجه بواسطة الإنسان الآلي الأول ، وفقًا لصيغة بايز ، يساوي

المهمة 1.19. هناك ثلاث مجموعات من الأجزاء تحتوي كل منها على 20 جزءًا. عدد الأجزاء القياسية في الدُفعة الأولى والثانية والثالثة هو 20 و 15 و 10. على التوالي ، الجزء الذي تبين أنه قياسي تم استخراجه عشوائيًا من الدُفعة المحددة. يتم إرجاع الأجزاء إلى الدُفعة ويتم إزالة جزء عشوائيًا من نفس الدُفعة للمرة الثانية ، والذي يتضح أيضًا أنه قياسي. أوجد احتمال أن الأجزاء مأخوذة من الدفعة الثالثة.
المحلول. للدلالة به لكنحدث - في كل من الاختبارين (مع العودة) ، تم استرداد جزء قياسي. يمكن عمل ثلاث فرضيات: ب 1 - يتم إزالة الأجزاء من الدفعة الأولى ، في 2 - تؤخذ الأجزاء من الدفعة الثانية ، في 3 - يتم ازالة الاجزاء من الدفعة الثالثة.
تم أخذ التفاصيل عشوائيًا من الدفعة المأخوذة ، وبالتالي فإن احتمالات الفرضيات هي نفسها: ص (ب 1) = ص (ب 2) = ص (ب 3) = 1/3.
أوجد الاحتمال الشرطي ص (ا/ب 1) ، أي احتمال سحب جزأين قياسيين على التوالي من الدفعة الأولى. هذا الحدث موثوق ، لأن. في الدفعة الأولى ، جميع الأجزاء قياسية ، لذلك ص (ا/ب 1) = 1.
أوجد الاحتمال الشرطي ص (ا/ب 2) ، أي احتمال استخراج جزأين قياسيين بالتتابع (مع الإرجاع) من الدفعة الثانية: ص (ا/ب 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
أوجد الاحتمال الشرطي ص (ا/ب 3) ، أي احتمال إزالة جزأين قياسيين على التوالي (مع الإرجاع) من الدفعة الثالثة: ص (ا/ب 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
الاحتمال المطلوب أن كلا الجزأين المعياريين المستخرجين من الدفعة الثالثة ، وفقًا لمعادلة Bayes ، يساوي

1.2.7. يعيد الاختبارات

إذا تم إجراء عدة اختبارات ، واحتمال وقوع حدث لكنفي كل تجربة لا تعتمد على نتائج التجارب الأخرى ، ثم يتم استدعاء مثل هذه التجارب مستقل فيما يتعلق بالحدث أ.في تجارب مستقلة مختلفة ، الحدث لكنقد يكون لها احتمالات مختلفة أو نفس الاحتمال. سننظر كذلك فقط في مثل هذه المحاكمات المستقلة التي حدث فيها لكنله نفس الاحتمال.
دعها تنتج صمحاكمات مستقلة ، في كل منها حدث لكنقد تظهر أو لا تظهر. دعونا نفترض أن احتمال وقوع حدث لكنفي كل اختبار هو نفسه ، أي يساوي تم العثور على R.لذلك ، فإن احتمالية عدم وقوع الحدث لكنفي كل اختبار هو أيضًا ثابت ويساوي 1– تم العثور على R.يسمى هذا المخطط الاحتمالي مخطط برنولي. دعونا نضع لأنفسنا مهمة حساب احتمال ذلك صمحاكمات حدث برنولي لكنسوف يتحقق بالضبط كبمجرد ( ك- عدد النجاحات) وبالتالي لن تتحقق P-بمجرد. من المهم التأكيد على أنه لا يشترط أن يكون الحدث لكنكرر بالضبط كمرات في تسلسل معين. دلالة على الاحتمال المطلوب ص ص (ك). على سبيل المثال ، الرمز ص 5 (3) تعني احتمال ظهور الحدث 3 مرات بالضبط في خمس تجارب ، وبالتالي لن يحدث مرتين.
يمكن حل المشكلة باستخدام ما يسمى ب صيغ برنولي ،الذي يشبه:
.
المشكلة 1.20.احتمال ألا يتجاوز استهلاك الكهرباء خلال يوم واحد المعيار المعمول به يساوي ص= 0.75. أوجد احتمال ألا يتجاوز استهلاك الكهرباء لمدة 4 أيام القاعدة في الـ 6 أيام القادمة.
المحلول.احتمالية الاستهلاك العادي للكهرباء خلال كل يوم من الأيام الستة ثابتة ومتساوية ص= 0.75. لذلك ، فإن احتمال زيادة الإنفاق على الكهرباء كل يوم هو أيضًا احتمال ثابت ومتساوٍ ف = 1–ص=1–0,75=0,25.
الاحتمال المطلوب وفقًا لمعادلة برنولي يساوي
.
المهمة 1.21. لاعبان متساويان في الشطرنج يلعبان الشطرنج. أيهما أكثر احتمالا: الفوز بمباراتين من أصل أربع أو ثلاث مباريات من أصل ست (لا تؤخذ التعادلات في الاعتبار)؟
المحلول. يلعب لاعبو الشطرنج على قدم المساواة ، وبالتالي فإن احتمالية الفوز ص= 1/2 ، ومن هنا يأتي احتمال الخسارة فيساوي أيضًا 1/2. لأن في جميع الألعاب ، يكون احتمال الفوز ثابتًا ولا يهم في أي تسلسل يتم الفوز في الألعاب ، فإن صيغة برنولي قابلة للتطبيق.
أوجد احتمال الفوز بمباراتين من أصل أربعة:

أوجد احتمال الفوز بثلاث من أصل ست مباريات:

لأن ص 4 (2) > ص 6 (3) ، من المرجح أن تفوز بمباراتين من أصل أربعة من ثلاثة من ستة.
ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يرى ذلك باستخدام صيغة برنولي للقيم الكبيرة نإنه صعب إلى حد ما ، لأن الصيغة تتطلب إجراء عمليات بأعداد ضخمة وبالتالي تتراكم الأخطاء في عملية الحسابات ؛ نتيجة لذلك ، قد تختلف النتيجة النهائية بشكل كبير عن النتيجة الحقيقية.
لحل هذه المشكلة ، هناك العديد من نظريات الحدود المستخدمة في حالة عدد كبير من التجارب.
1. نظرية بواسون
عند إجراء عدد كبير من الاختبارات وفقًا لمخطط برنولي (مع ن=> ∞) مع عدد قليل من النتائج الإيجابية ك(بافتراض أن احتمالية النجاح صصغير) ، تقترب صيغة برنولي من صيغة بواسون
.
مثال 1.22.يساوي احتمال الزواج في إنتاج وحدة إنتاج من قبل المؤسسة ص= 0.001. ما هو احتمال أنه في إنتاج 5000 وحدة من المنتجات سيكون هناك أقل من 4 وحدات معيبة (حدث لكن المحلول. لأن نكبير ، نستخدم نظرية لابلاس المحلية:

إحصاء - عد x:
دور زوجي ، إذن φ (–1.67) = φ (1.67).
طبقًا لجدول الملحق أ 1 ، نجد φ (1.67) = 0.0989.
الاحتمال المطلوب ص 2400 (1400) = 0,0989.
3. نظرية لابلاس التكاملية
إذا كان الاحتمال صوقوع حدث أفي كل تجربة وفقًا لمخطط برنولي يكون ثابتًا ومختلفًا عن صفر وواحد ، ثم مع عدد كبير من التجارب ن، احتمالا ص ص (ك 1 ، ك 2) وقوع الحدث أفي هذه التجارب ك 1 ل ك 2 مرات متساوية تقريبا
ص(ك 1 ، ك 2) = Φ ( x "") – Φ ( x ")، أين
هي وظيفة لابلاس ،

لا يتم حساب التكامل المحدد في دالة لابلاس على فئة الوظائف التحليلية ، لذلك يتم استخدام الجدول 1 لحسابه. البند 2 الواردة في الملحق.
مثال 1.24.احتمالية وقوع حدث في كل مائة تجربة مستقلة ثابتة ومتساوية ص= 0.8. أوجد احتمال وقوع الحدث: أ) 75 مرة على الأقل و 90 مرة على الأكثر ؛ ب) 75 مرة على الأقل ؛ ج) لا يزيد عن 74 مرة.
المحلول. دعنا نستخدم نظرية التكامل لابلاس:
ص(ك 1 ، ك 2) = Φ ( x "") – Φ( x ") حيث Ф ( x) هي وظيفة لابلاس ،

أ) حسب الشرط ن = 100, ص = 0,8, ف = 0,2, ك 1 = 75, ك 2 = 90. احسب x ""و x " :


بالنظر إلى أن وظيفة لابلاس غريبة ، أي F(- x) = - F ( x)، نحن نحصل
ص 100 (75 ؛ 90) \ u003d F (2.5) - F (-1.25) \ u003d F (2.5) + F (1.25).
حسب الجدول ص 2. البحث عن تطبيقات:
ف (2.5) = 0.4938 ؛ Ф (1.25) = 0.3944.
الاحتمال المطلوب
ص 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
ب) شرط أن يقع الحدث 75 مرة على الأقل يعني أن عدد مرات وقوع الحدث يمكن أن يساوي 75 ، أو 76 ، ... ، أو 100. وهكذا ، في الحالة قيد النظر ، ينبغي للمرء أن يأخذ ك 1 = 75، ك 2 = 100. ثم

.
حسب الجدول ص 2. التطبيقات ، نجد Ф (1.25) = 0.3944 ؛ Ф (5) = 0.5.
الاحتمال المطلوب
ص 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
ج) الحدث - " لكنظهر 75 مرة على الأقل "و" لكنظهرت ما لا يزيد عن 74 مرة "عكس ذلك ، وبالتالي فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث هو 1. وبالتالي ، فإن الاحتمال المطلوب
ص 100 (0;74) = 1 – ص 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.