To'g'ri burchakli koordinatalarni tekislikda o'zgartirish. Dekart to'rtburchaklar koordinatalarini tekislikda va fazoda o'zgartirish. I. Privalov “Analitik geometriya”
I bob. Tekislik va fazodagi vektorlar
§ 13. Bir to'rtburchak dekart koordinatalar tizimidan boshqasiga o'tish
Ushbu mavzuni ikkita versiyada ko'rib chiqishingizni tavsiya qilamiz.
1) I.I.Privalovning “Analitik geometriya” darsligi asosida (Oliy texnika oʻquv yurtlari uchun darslik, 1966 y.)
I.I.Privalov "Analitik geometriya"
§ 1. Koordinatani o'zgartirish masalasi.
Nuqtaning tekislikdagi joylashuvi qandaydir koordinatalar tizimiga nisbatan ikkita koordinata bilan aniqlanadi. Agar boshqa koordinatalar tizimini tanlasak, nuqtaning koordinatalari o'zgaradi.
Koordinatalarni o'zgartirish vazifasi shunday qilib, bir koordinata sistemasidagi nuqtaning koordinatalarini bilib, uning boshqa sistemadagi koordinatalarini toping.
Agar ikkita tizimdagi ixtiyoriy nuqtaning koordinatalarini bog'lovchi formulalar o'rnatilsa, bu muammo hal qilinadi va bu formulalarning koeffitsientlari tizimlarning nisbiy holatini aniqlaydigan doimiy miqdorlarni o'z ichiga oladi.
Ikki kartezyen koordinatalar tizimi berilgan bo'lsin xOy Va XO 1 Y(68-rasm).
Yangi tizimning pozitsiyasi XO 1 Y eski tizimga nisbatan xOy koordinatalari ma'lum bo'lsa aniqlanadi A Va b yangi boshlanish O 1 eski tizim va burchakka ko'ra α eksa o'rtasida Oh Va O 1 X. bilan belgilaymiz X Va da ixtiyoriy M nuqtaning eski tizimga nisbatan koordinatalari, yangi tizimga nisbatan bir xil nuqtaning X va Y koordinatalari orqali. Bizning vazifamiz eski koordinatalarni ta'minlashdir X Va da yangi X va Y ko'rinishida ifodalangan. Olingan transformatsiya formulalari aniq konstantalarni o'z ichiga olishi kerak a, b Va α .
Ushbu umumiy muammoni hal qilish uchun ikkita maxsus holatni ko'rib chiqamiz.
1. Koordinatalarning kelib chiqishi o'zgaradi, lekin o'qlarning yo'nalishlari o'zgarishsiz qoladi ( α = 0).
2. O'qlarning yo'nalishlari o'zgaradi, lekin koordinatalarning kelib chiqishi o'zgarishsiz qoladi ( a = b = 0).
§ 2. Koordinatalarning kelib chiqishini uzatish.
Kelib chiqishi har xil bo'lgan ikkita Dekart koordinatalari tizimi berilsin O Va O 1 va o'qlarning bir xil yo'nalishlari (69-rasm).
bilan belgilaymiz A Va b yangi boshlanishning koordinatalari O 1 eski tizimda va orqali x, y Va X, Y-mos ravishda eski va yangi tizimlardagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalari. M nuqtasini o'qda proyeksiyalash O 1 X Va Oh, shuningdek, nuqta O 1 eksa boshiga Oh, biz o'qga tushamiz Oh uchta nuqta Oh, oh Va R. Segment o'lchamlari OA, AR Va YOKI quyidagi munosabatlar bilan bog'liq:
| O.A| + | AR | = | YOKI |. (1)
Shuni ta'kidlab | O.A| = A , | YOKI | = X , | AR | = | O 1 R 1 | = X, biz tenglikni (1) ko'rinishda qayta yozamiz:
A + X = x yoki x = X + A . (2)
Xuddi shunday, dizayn M va O 1 ordinat o'qi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:
y = Y + b (3)
Shunday qilib, eski koordinata yangisiga va eski tizimga ko'ra yangi kelib chiqishi koordinatasiga teng.
(2) va (3) formulalardan yangi koordinatalar eskilari orqali ifodalanishi mumkin:
X = x - a , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Koordinata o'qlarining aylanishi.
Boshlanishi bir xil bo'lgan ikkita dekart koordinata tizimi berilsin HAQIDA va o'qlarning turli yo'nalishlari (70-rasm).
Mayli α o'qlar orasida burchak mavjud Oh Va OH. bilan belgilaymiz x, y Va X, Y eski va yangi tizimlarda mos ravishda ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalari:
X = | YOKI | , da = | PM | ,
X= | YOKI 1 |, Y= | P 1 M |.
Buzilgan chiziqni ko'rib chiqing YOKI 1 MP va uning o'qiga proyeksiyasini oling Oh. Singan chiziqning proyeksiyasi yopilish segmentining proyeksiyasiga teng ekanligini ta'kidlab, (I bob, § 8) biz:
YOKI 1 MP = | YOKI |. (4)
Boshqa tomondan, siniq chiziqning proyeksiyasi uning bo'g'inlari proyeksiyalari yig'indisiga teng (I bob, § 8); shuning uchun (4) tenglik quyidagicha yoziladi:
va boshqalar YOKI 1+ pr P 1 M+ pr deputat= | YOKI | (4")
Yo'naltirilgan segmentning proyeksiyasi uning kattaligiga proyeksiyalar o'qi va segment yotadigan o'q o'rtasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirilganiga teng bo'lganligi sababli (I bob, § 8), u holda
va boshqalar YOKI 1 = X cos α
va boshqalar P 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y gunoh α ,
pr deputat= 0.
Demak, tenglik (4") bizga beradi:
x = X cos α - Y gunoh α . (5)
Xuddi shunday, bir xil poliliniyani o'qga proyeksiya qilish OU, uchun ifodani olamiz da. Aslida, bizda:
va boshqalar YOKI 1+ pr P 1 M+ pr deputat= pp YOKI = 0.
Shuni payqab
va boshqalar YOKI 1 = X chunki( α - 90°) = X gunoh α ,
va boshqalar P 1 M = Y cos α ,
pr deputat = - y ,
ega bo'ladi:
X gunoh α + Y cos α - y = 0,
y = X gunoh α + Y cos α . (6)
(5) va (6) formulalardan biz yangi koordinatalarni olamiz X Va Y eski orqali ifodalangan X Va da , ga nisbatan (5) va (6) tenglamalarni yechsak X Va Y.
Izoh. Formulalar (5) va (6) boshqacha tarzda olinishi mumkin.
Rasmdan. 71 bizda:
X = OR = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - Ey gunoh α gunoh φ ,
da = RM = OM gunoh ( α + φ ) = OM gunoh α cos φ + OM cos α gunoh φ .
Buyon (I bob, § 11) OM cos φ = X, ey gunoh φ =Y, Bu
x = X cos α - Y gunoh α , (5)
y = X gunoh α + Y cos α . (6)
§ 4. Umumiy holat.
O'qlarning kelib chiqishi va yo'nalishi har xil bo'lgan ikkita Dekart koordinata tizimi berilsin (72-rasm).
bilan belgilaymiz A Va b yangi boshlanishning koordinatalari HAQIDA, eski tizimga ko'ra, orqali α - koordinata o'qlarining burilish burchagi va nihoyat, orqali x, y Va X, Y- mos ravishda eski va yangi tizimlar bo'yicha ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalari.
ifodalash uchun X Va da orqali X Va Y, yordamchi koordinatalar tizimini joriy qilaylik x 1 O 1 y 1, uning boshlanishi yangi boshlanishga joylashtiriladi HAQIDA 1 va eski o'qlarning yo'nalishlariga mos keladigan o'qlarning yo'nalishlarini oling. Mayli x 1 va y 1 M nuqtaning ushbu yordamchi tizimga nisbatan koordinatalarini ko'rsatadi. Eski koordinatalar tizimidan yordamchi tizimga o'tsak, bizda (§ 2):
X = X 1 + a , y = y 1 + b .
X 1 = X cos α - Y gunoh α , y 1 = X gunoh α + Y cos α .
O'zgartirish X 1 va y Oldingi formulalardagi 1-sonli formulalardagi ifodalari bilan biz nihoyat topamiz:
x = X cos α - Y gunoh α + a
y = X gunoh α + Y cos α + b (men)
Formulalar (I) maxsus holat sifatida §§ 2 va 3 formulalarini o'z ichiga oladi. Shunday qilib, qachon α = 0 formulalar (I) ga aylanadi
x = X + A , y = Y + b ,
va qachon a = b = 0 bizda:
x = X cos α - Y gunoh α , y = X gunoh α + Y cos α .
Formulalardan (I) biz yangi koordinatalarni olamiz X Va Y eski orqali ifodalangan X Va da , agar (I) tenglamalar ga nisbatan yechiladigan bo'lsa X Va Y.
Formulalarning (I) juda muhim xususiyatini qayd etamiz: ular ga nisbatan chiziqli X Va Y, ya'ni shaklda:
x = AX + BY + C, y = A 1 X+B 1 Y+C 1 .
Yangi koordinatalar mavjudligini tekshirish oson X Va Y eski orqali ifodalanadi X Va da ga nisbatan birinchi darajali formulalar bilan ham X Va u.
G.N.Yakovlev "Geometriya"
§ 13. Bir to'rtburchak dekart koordinatalar tizimidan boshqasiga o'tish
To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinata tizimini tanlab, tekislikdagi nuqtalar va real sonlarning tartiblangan juftlari o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatiladi. Demak, tekislikdagi har bir nuqta bitta juft songa, har bir tartiblangan juft haqiqiy son esa bitta nuqtaga mos keladi.
Bir yoki boshqa koordinatalar tizimini tanlash hech qanday tarzda cheklanmaydi va har bir aniq holatda faqat qulaylik nuqtai nazaridan aniqlanadi. Ko'pincha bir xil to'plam turli koordinata tizimlarida ko'rib chiqilishi kerak. Turli xil tizimlardagi bir xil nuqta, shubhasiz, turli koordinatalarga ega. Turli koordinatalar sistemasidagi nuqtalar to‘plami (xususan, aylana, parabola, to‘g‘ri chiziq) turli tenglamalar bilan berilgan.
Bir koordinata sistemasidan ikkinchisiga o‘tganda tekislikdagi nuqtalar koordinatalari qanday o‘zgarishini aniqlaymiz.
Tekislikda ikkita to'rtburchak koordinatalar tizimi berilgan bo'lsin: O, i, j va taxminan", i", j" (41-rasm).
Boshi O nuqtada va bazis vektorlari bo'lgan birinchi tizim i Va j Keling, uni eski deb atashga rozi bo'laylik, ikkinchisi - boshi O nuqtada va bazis vektorlari bilan men" Va j" - yangi.
Biz yangi tizimning ma'lum bo'lgan eskisiga nisbatan o'rnini ko'rib chiqamiz: eski tizimdagi O nuqtasi koordinatalariga ega bo'lsin ( a;b ), vektor men" vektorli shakllar i burchak α . Burchak α Biz soat yo'nalishi bo'yicha harakatga qarama-qarshi yo'nalishda hisoblaymiz.
Ixtiyoriy M nuqtani ko'rib chiqamiz. Uning eski sistemada koordinatalarini ( bilan belgilaymiz. x;y ), yangisida - orqali ( x";y" ). Bizning vazifamiz M nuqtasining eski va yangi koordinatalari o'rtasidagi munosabatni o'rnatishdir.
Keling, O va O", O" va M, O va M nuqtalarini juftlab bog'laymiz. Uchburchak qoidasidan foydalanib, biz qo'lga kiritamiz.
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Keling, vektorlarni kengaytiramiz OM> va OO"> bazis vektorlar bo'yicha i Va j , va vektor O"M> bazis vektorlar bo'yicha men" Va j" :
OM > = x i+ y j , OO" > = a i+ b j , O"M > = x" i"+ y" j "
Endi tenglikni (1) quyidagicha yozish mumkin:
x i+ y j = (a i+ b j ) + (x" i"+ y" j "). (2)
Yangi asosli vektorlar men" Va j" eski bazis vektorlariga ko'ra kengaytiriladi i Va j quyida bayon qilinganidek:
men" =cos α i + gunoh α j ,
j" =cos( π / 2 + α ) i +gunoh( π / 2 + α ) j = - gunoh α i +cos α j .
Topilgan iboralarni ga almashtirish men" Va j" (2) formulaga kirsak, vektor tengligini olamiz
x i+ y j = a i+ b j + X"(chunki α i + gunoh α j ) + y"(-gunoh α i +cos α j )
ikkita raqamli tenglikka ekvivalent:
|
x = a + X" cos α
- y" gunoh α
, |
Formulalar (3) eski koordinatalar uchun kerakli ifodalarni beradi X Va da uning yangi koordinatalari orqali ishora qiladi X" Va y". Yangi koordinatalar uchun eski koordinatalar bo'yicha ifodalarni topish uchun noma'lumlarga nisbatan (3) tenglama tizimini yechish kifoya. X" Va y".
Shunday qilib, koordinatalarning kelib chiqishi nuqtaga o'tkazilganda nuqtalarning koordinatalari ( A; b ) va o'qlarni burchak bilan burish α formulalar (3) bo'yicha o'zgartiriladi.
Agar faqat koordinatalarning kelib chiqishi o'zgarsa va o'qlarning yo'nalishlari bir xil bo'lib qolsa, formulalar (3) bo'yicha qabul qilinadi. α = 0, olamiz
Formulalar (5) deyiladi aylanish formulalari.
Vazifa 1. Eski tizimdagi yangi boshlanishning koordinatalari (2; 3), eski tizimdagi A nuqtaning koordinatalari (4; -1) bo'lsin. Agar o'qlarning yo'nalishlari bir xil bo'lsa, yangi tizimdagi A nuqtaning koordinatalarini toping.
Formulalarga ko'ra (4) bizda mavjud
Javob. A(2;-4)
Vazifa 2. Eski sistemada P nuqtaning koordinatalari (-2; 1), o‘qlari yo‘nalishlari bir xil bo‘lgan yangi sistemada esa bu nuqtaning koordinatalari (5; 3) bo‘lsin. Eski tizimdagi yangi boshlanishning koordinatalarini toping.
A (4) formulalardan olamiz
|
-
2= a + 5 |
qayerda A = - 7, b = - 2.
Javob. (-7; -2).
Vazifa 3. Yangi sistemada A nuqtaning koordinatalari (4; 2). Eski sistemada bu nuqtaning koordinatalarini toping, agar koordinata boshi o'zgarmasa va eski tizimning koordinata o'qlari burchak bilan aylantirilsa. α = 45°.
Formulalar yordamida (5) topamiz
Vazifa 4. Eski tizimdagi A nuqtaning koordinatalari (2 √3 ; - √3 ). Agar eski sistemaning boshi (-1;-2) nuqtaga ko‘chirilgan bo‘lsa va o‘qlar burchak bilan aylantirilsa, yangi sistemada bu nuqtaning koordinatalarini toping. α = 30°.
Formulalarga ko'ra (3) bizda mavjud
Ushbu tenglamalar tizimini yechish uchun X" Va y", topamiz: X" = 4, y" = -2.
Javob. A (4; -2).
Vazifa 5. Chiziqning tenglamasi berilgan da = 2X - 6. Yangi koordinatalar sistemasidagi o‘qlarni burchakka burish orqali eski sistemadan olingan bir xil chiziq tenglamasini toping. α = 45°.
Bu holatda aylanish formulalari shaklga ega
Tenglamadagi to'g'ri chiziqni almashtirish da = 2X - 6 ta eski o'zgaruvchilar X Va da yangi, biz tenglamani olamiz
√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,
soddalashtirilgandan keyin shaklni oladi y" = x" / 3 - 2√2
1-bob. Qo'shimcha. Dekart to'rtburchaklar koordinatalarini tekislikda va fazoda o'zgartirish. Tekislikda va fazoda maxsus koordinata tizimlari.
Tekislikda va fazoda koordinata tizimlarini qurish qoidalari 1-bobning asosiy qismida ko'rib chiqilgan. To'rtburchaklar koordinata tizimlaridan foydalanish qulayligi qayd etilgan. Analitik geometriya vositalarini amaliy qo'llashda ko'pincha qabul qilingan koordinatalar tizimini o'zgartirishga ehtiyoj bor. Bu odatda qulaylik nuqtai nazaridan belgilanadi: geometrik tasvirlar soddalashtiriladi, hisob-kitoblarda ishlatiladigan analitik modellar va algebraik ifodalar aniqroq bo'ladi.
Maxsus koordinata tizimlarini qurish va ulardan foydalanish: qutbli, silindrsimon va sferik echilayotgan muammoning geometrik ma'nosi bilan belgilanadi. Maxsus koordinata tizimlari yordamida modellashtirish ko'pincha amaliy muammolarni hal qilishda analitik modellarni ishlab chiqish va ulardan foydalanishni osonlashtiradi.
1-bobning Ilovasida olingan natijalar chiziqli algebrada, ularning aksariyati hisob va fizikada qo'llaniladi.
Dekart to'rtburchaklar koordinatalarini tekislikda va fazoda o'zgartirish.
Tekislikda va fazoda koordinatalar sistemasini qurish masalasini ko‘rib chiqishda koordinatalar sistemasi bir nuqtada kesishgan sonli o‘qlardan hosil bo‘lishi ta’kidlandi: tekislikda ikkita, fazoda uchta o‘q kerak. Vektorlarning analitik modellarini qurish, vektorlar ishlashining skalyar mahsulotini joriy etish va geometrik mazmundagi masalalarni yechish munosabati bilan to'rtburchaklar koordinata sistemalaridan foydalanish eng maqbul ekanligi ko'rsatildi.
Agar ma'lum bir koordinatalar tizimini o'zgartirish masalasini mavhum ko'rib chiqsak, u holda umumiy holatda o'qlarni o'zboshimchalik bilan qayta nomlash huquqi bilan berilgan fazoda koordinata o'qlarining o'zboshimchalik bilan harakatlanishiga ruxsat berish mumkin bo'ladi.
Biz asosiy tushunchadan boshlaymiz mos yozuvlar tizimlari , fizikada qabul qilingan. Jismlarning harakatini kuzatish orqali, ajratilgan jismning harakatini o'z-o'zidan aniqlash mumkin emasligi aniqlandi. Harakat kuzatiladigan, ya'ni uning o'zgarishiga nisbatan kamida bitta tanaga ega bo'lishingiz kerak qarindosh qoidalari. Analitik modellar, qonunlar va harakatni olish uchun koordinatalar tizimi ushbu ikkinchi jism bilan mos yozuvlar tizimi sifatida bog'langan va koordinatalar tizimi shunday bo'lganki qattiq !
Qattiq jismning kosmosdagi bir nuqtadan ikkinchisiga o'zboshimchalik bilan harakatlanishi ikkita mustaqil harakat bilan ifodalanishi mumkin: tarjima va aylanish, koordinata tizimini o'zgartirish variantlari ikkita harakat bilan cheklangan:
1). Parallel uzatish: biz faqat bitta nuqtaga amal qilamiz - nuqta.
2). Koordinata tizimi o'qlarining bir nuqtaga nisbatan aylanishi: qattiq jism sifatida.
Dekart to'rtburchaklar koordinatalarini tekislikda o'zgartirish.
Tekislikda koordinatalar sistemalariga ega bo'lsin: , va. Koordinatalar tizimi tizimning parallel tarjimasi bilan olinadi. Koordinata tizimi tizimni burchak orqali aylantirish orqali olinadi va aylanishning ijobiy yo'nalishi o'qning soat miliga teskari aylanishi sifatida qabul qilinadi.
Qabul qilingan koordinata tizimlari uchun bazis vektorlarini aniqlaylik. Tizim tizimni parallel o'tkazish yo'li bilan olinganligi sababli, bu ikkala tizim uchun biz asosiy vektorlarni qabul qilamiz: , va birlik birliklari va koordinata o'qlari yo'nalishi bo'yicha mos ravishda , . Tizim uchun bazis vektorlar sifatida biz o'qlar yo'nalishi bo'yicha mos keladigan birlik vektorlarini olamiz.
Koordinatalar sistemasi berilgan va unda = nuqta aniqlansin. Transformatsiyadan oldin bizda bir-biriga mos keladigan koordinata tizimlari va . Keling, vektor bilan aniqlangan koordinatalar tizimiga parallel tarjimani qo'llaylik. Nuqtaning koordinata o'zgarishini aniqlash talab qilinadi. Vektor tengligidan foydalanamiz: = + , yoki:
Parallel tarjimaning o'zgarishini elementar algebrada ma'lum bo'lgan misol bilan ko'rsatamiz.
Misol D–1 : Parabolaning tenglamasi berilgan: = = . Ushbu parabolaning tenglamasini eng oddiy ko'rinishga keltiring.
Yechim:
1). Keling, texnikadan foydalanaylik to'liq kvadratni ta'kidlash : = , uni quyidagicha oson ifodalash mumkin: –3 = .
2). Keling, koordinata o'zgarishini qo'llaymiz - parallel uzatish := . Shundan so'ng parabolaning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi. Algebrada bu o'zgarish quyidagicha ta'riflanadi: parabola = eng oddiy parabolani o'ngga 2 ga, yuqoriga esa 3 birlikka siljitish orqali olinadi.
Javob: Parabolaning eng oddiy shakli: .
Koordinatalar sistemasi berilgan va unda = nuqta aniqlansin. Transformatsiyadan oldin bizda bir-biriga mos keladigan koordinata tizimlari va . Keling, koordinatalar tizimiga aylanish transformatsiyasini qo'llaaylik, shunda uning dastlabki holatiga nisbatan, ya'ni tizimga nisbatan u burchak bilan aylantiriladi. = nuqtaning koordinata o'zgarishini aniqlash talab qilinadi. Koordinatalar sistemalarida vektorni yozamiz va : = . (2) =1. Ikkinchi tartibli chiziqlar nazariyasidan ellipsning eng oddiy (kanonik!) tenglamasi olinganligi kelib chiqadi.
Javob: berilgan chiziqning eng oddiy shakli: =1 - ellipsning kanonik tenglamasi.
Mavzu 5. Chiziqli transformatsiyalar.
Koordinatalar tizimiraqamlar yordamida nuqtaning qandaydir geometrik figuraga nisbatan o‘rnini aniq belgilash imkonini beruvchi usuldir. Toʻgʻri chiziqdagi koordinatalar sistemasi - koordinata oʻqi va tekislikdagi va fazodagi toʻgʻri burchakli Dekart koordinata tizimlari bunga misol boʻla oladi.
Keling, tekislikdagi bir xy koordinata tizimidan boshqa tizimga o'tamiz, ya'ni. Keling, ushbu ikki tizimdagi bir nuqtaning dekart koordinatalari bir-biri bilan qanday bog'liqligini bilib olaylik.
Avval ko'rib chiqaylik parallel uzatish to'rtburchaklar Dekart koordinata tizimi xy, ya'ni o'qlari va yangi tizim eski tizimning mos keladigan x va y o'qlariga parallel bo'lgan va ular bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lgan holat.
Agar xy sistemasidagi M (x; y) va (a; b) nuqtalarning koordinatalari ma lum bo lsa, (15-rasm) sistemadagi M nuqta koordinatalariga ega bo ladi: .
Uzunligi r bo'lgan OM segmenti va o'qi bilan burchak hosil qilsin. Keyin (16-rasm) OM segmenti x o'qi bilan burchak hosil qiladi va M nuqtaning xy sistemasidagi koordinatalari teng bo'ladi. 
, 
.
Tizimda M nuqtaning koordinatalari va ga teng ekanligini hisobga olib, hosil qilamiz
"Soat yo'nalishi bo'yicha" burchakka burilganda biz mos ravishda quyidagilarni olamiz: 
Muammo 0.54. Yangi koordinatalar sistemasidagi M(-3; 7) nuqtaning koordinatalarini aniqlang x / y /, uning kelib chiqishi 0 / (3; -4) nuqtada joylashgan va o'qlari eski o'qlarga parallel. koordinatalar tizimi va ular bilan bir xil yo'nalishlarga ega.
Yechim. M va O / nuqtalarning ma'lum koordinatalarini formulalarga almashtiramiz: x / = x-a, y / = y-b.
Biz olamiz: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Javob: M / (-6; 11).
§2. Chiziqli transformatsiya tushunchasi, uning matritsasi.
Agar X to‘plamning har bir x elementi qandaydir f qoidasiga ko‘ra Y to‘plamning bir va faqat bitta y elementiga mos kelsa, u holda berilgan deb aytamiz. ko'rsatish X to'plamining f Y to'plamiga va X to'plami chaqiriladi ta'rif sohasi ko'rsatish f . Agar, xususan, x 0 Î X elementi y 0 Î Y elementiga mos kelsa, u holda y 0 = f (x 0) yozing. Bunda y 0 elementi chaqiriladi yo'l element x 0 va element x 0 - prototip 0 dagi element. Y to'plamning barcha tasvirlardan iborat Y 0 kichik to'plami deyiladi ma'nolar to'plami ko'rsatish f.
Agar f xaritalashda X to‘plamning turli elementlari Y to‘plamning turli elementlariga to‘g‘ri kelsa, f xaritalash deyiladi. qaytariladigan.
Agar Y 0 = Y bo'lsa, f xaritalash X to'plamni xaritalash deb ataladi yoqilgan setY.
X to‘plamini Y to‘plamga teskari tasvirlash deyiladi birma-bir.
To‘plamni to‘plamga solish kontseptsiyasining alohida holatlari tushunchadir raqamli funktsiya va kontseptsiya geometrik xaritalash.
Agar X to'plamning har bir elementiga f ni solishtirish bir xil X to'plamning bitta elementini bog'lasa, bunday xaritalash deyiladi. transformatsiya X to'plami.
L n chiziqli fazoning n o‘lchovli vektorlari to‘plami berilgan bo‘lsin.
L n o'lchovli chiziqli fazoning f o'zgarishi deyiladi chiziqli transformatsiya agar
L n dan istalgan vektorlar va har qanday a va b haqiqiy sonlar uchun. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning chiziqli birikmasi ularning tasvirlarining chiziqli birikmasiga aylansa, transformatsiya chiziqli deb ataladi. xuddi shu bilan koeffitsientlar.
Agar vektor ma'lum bir asosda berilgan bo'lsa va f o'zgarishi chiziqli bo'lsa, u holda ta'rifga ko'ra , bu erda bazis vektorlarining tasvirlari.
Shuning uchun chiziqli transformatsiya to'liq belgilangan, agar ko'rib chiqilayotgan chiziqli fazoning bazis vektorlarining tasvirlari berilgan bo'lsa:
(12)
Matritsa 
bunda k-ustun vektorning koordinata ustuni 
asosda, deyiladi matritsa chiziqli transformatsiya f bu asosda.
Determinant det L ga f transformatsiyaning determinanti, Rg L esa f chiziqli transformatsiyaning darajasi deyiladi.
Agar chiziqli o'zgartirish matritsasi birlik bo'lmasa, u holda transformatsiyaning o'zi birlik emas. L n fazoni birma-bir o'ziga aylantiradi, ya'ni. L n dan har bir vektor uning yagona vektorining tasviridir.
Agar chiziqli transformatsiyaning matritsasi birlik bo'lsa, u holda transformatsiyaning o'zi birlikdir. L n chiziqli fazoni uning qaysidir qismiga aylantiradi.
Teorema.L matritsali f chiziqli transformatsiyani vektorga qo'llash natijasida 
vektor bo'lib chiqadi 
shu kabi .
Qavs ichida yozilgan raqamlar vektorning koordinatalari asosga ko'ra:
|
Matritsani ko'paytirish amalining ta'rifiga ko'ra tizim (13) matritsa bilan almashtirilishi mumkin.
tenglik 
, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa edi.
Misollarchiziqli transformatsiyalar.
1. X o'qi bo'ylab k 1 marta va y o'qi bo'ylab k 2 marta xy tekisligida matritsa bilan aniqlanadi va koordinatalarni o'zgartirish formulalari ko'rinishga ega: x / = k 1 x; y / = k 2 y.
2. Xy tekisligidagi y o'qiga nisbatan ko'zgu aksi matritsa bilan aniqlanadi va koordinatani o'zgartirish formulalari quyidagi ko'rinishga ega: x / = -x, y / = y.
Tekislikda ikkita ixtiyoriy Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi berilgan bo'lsin. Birinchisi O ning boshlanishi va bazis vektorlari bilan aniqlanadi i j , ikkinchisi - markaz HAQIDA' va bazis vektorlari i ’ j ’ .
Ayrim M nuqtaning xy koordinatalarini birinchi koordinatalar sistemasiga nisbatan ifodalash maqsadini belgilaymiz. x’ Va y’ – ikkinchi sistemaga nisbatan bir xil nuqtaning koordinatalari.
e'tibor bering, bu
Birinchi sistemaga nisbatan O’ nuqtaning koordinatalarini a va b bilan belgilaymiz:
Keling, vektorlarni kengaytiramiz i ’ Va j ’ asosida i j :
(*)
Bundan tashqari, bizda: 
. Bu erda vektorlarning bazisga nisbatan kengayishi bilan tanishamiz i
’
j
’
:
bu yerdan 
Xulosa qilishimiz mumkin: tekislikdagi ikkita ixtiyoriy Dekart tizimidan qat'i nazar, birinchi tizimga nisbatan tekislikdagi istalgan nuqtaning koordinatalari ikkinchi tizimga nisbatan bir xil nuqta koordinatalarining chiziqli funktsiyalari.
Avval (*) tenglamalarni skalyar ravishda ko'paytiramiz i , keyin yoqing j :
Vektorlar orasidagi burchakni bilan belgilaymiz i Va i ’ . Koordinatalar tizimi i j tizimi bilan birlashtirilishi mumkin i ’ j ’ parallel tarjima va burchak orqali keyingi aylanish orqali. Ammo bu erda yoy varianti ham mumkin: asosiy vektorlar orasidagi burchak i i ’ shuningdek , va bazis vektorlari orasidagi burchak j ’ j ’ - ga teng. Ushbu tizimlarni parallel tarjima va aylanish bilan birlashtirib bo'lmaydi. Bundan tashqari, eksa yo'nalishini o'zgartirish kerak da teskarisiga.
Formuladan (**) biz birinchi holatda olamiz:
Ikkinchi holatda
Konvertatsiya formulalari quyidagilardan iborat:
Biz ikkinchi ishni ko'rib chiqmaymiz. Keling, ikkala tizimni ham to'g'ri deb hisoblashga rozi bo'laylik.
Bular. Xulosa: ikkita to'g'ri koordinata tizimi qanday bo'lishidan qat'i nazar, ularning birinchisi ikkinchisi bilan parallel ko'chirish va keyinchalik koordinata atrofida ma'lum bir burchakka aylanish orqali birlashtirilishi mumkin.
Parallel uzatish formulalari: 
O'qlarni aylantirish formulalari: 
Teskari konversiyalar:
Dekart to'rtburchaklar koordinatalarini fazoda o'zgartirish.
Kosmosda shunga o'xshash tarzda fikr yuritib, biz yozishimiz mumkin:
(***)
Va koordinatalar uchun:
(****)
Demak, fazoda qanday ikkita ixtiyoriy koordinatalar tizimi bo‘lishidan qat’i nazar, birinchi sistemaga nisbatan qaysidir nuqtaning xy z koordinatalari koordinatalarning chiziqli funksiyalaridir. x’ y’ z’ ikkinchi koordinata tizimiga nisbatan bir xil nuqta.
Har bir tenglikni (***) skalar bo'yicha ko'paytirish i ’ j ’ k ’ olamiz:
IN 
O'zgartirish formulalarining (****) geometrik ma'nosini aniqlaylik. Buning uchun ikkala tizim ham umumiy boshlanishga ega deb hisoblang: a
=
b
=
c
= 0
.
Keling, ikkinchi tizim o'qlarining birinchisiga nisbatan joylashishini to'liq tavsiflovchi uchta burchakni ko'rib chiqaylik.
Birinchi burchak xOy va x’Oy’ tekisliklarining kesishishi boʻlgan x oʻqi va u oʻqi orqali hosil boʻladi. Burchakning yo'nalishi x dan y o'qiga eng qisqa burilishdir. Burchakni bilan belgilaymiz. Ikkinchi burchak Oz va Oz oʻqlari orasidagi dan oshmaydigan burchakdir. Nihoyat, uchinchi burchak - u o'qi va Ox' orasidagi burchak, u o'qdan Ox'dan Oy'ga eng qisqa burilish yo'nalishi bo'yicha o'lchanadi. Bu burchaklar Eyler burchaklari deyiladi.
Birinchi tizimning ikkinchisiga aylanishini uchta aylanish ketma-ketligi sifatida ifodalash mumkin: Oz o'qiga nisbatan burchak bilan; Ox o'qiga nisbatan burchak bo'yicha; va Oz o'qiga nisbatan burchak bilan.
ij sonlarini Eyler burchaklari bilan ifodalash mumkin. Biz bu formulalarni yozmaymiz, chunki ular og'ir.
Transformatsiyaning o'zi parallel tarjima va Eyler burchaklari bo'ylab uchta ketma-ket aylanishning superpozitsiyasidir.
Ushbu dalillarning barchasi ikkala tizim ham chap qanot yoki turli yo'nalishlarga ega bo'lgan holatlar uchun amalga oshirilishi mumkin.
Agar bizda ikkita ixtiyoriy tizim mavjud bo'lsa, unda, umuman olganda, biz ularni parallel ko'chirish va ma'lum bir o'q atrofida fazoda bitta aylanish orqali birlashtira olamiz. Biz uni qidirmaymiz.
1) Tekislikdagi bir dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimidan bir xil yo'nalish va bir xil kelib chiqishi bo'lgan boshqa dekart to'rtburchaklar tizimiga o'tish.
Faraz qilaylik, tekislikka ikkita dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi kiritilgan xOy va umumiy kelib chiqishi bilan HAQIDA, bir xil yo'nalishga ega (145-rasm). O'qlarning birlik vektorlarini belgilaymiz Oh Va OU mos ravishda orqali va , va o'qlarning birlik vektorlari va orqali va. Nihoyat, o'qdan burchak bo'lsin Oh o'qiga. Mayli X Va da– ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari M tizimda xOy, va va bir xil nuqtaning koordinatalari M tizimda.
O'qdan burchakdan boshlab Oh vektorga teng, keyin vektorning koordinatalari
O'qdan burchak Oh vektor ga teng; shuning uchun vektorning koordinatalari teng.
Formulalar (3) § 97 shaklni oladi
Bitta karteziandan o'tish matritsasi xOy to'rtburchaklar koordinatalar tizimi bir xil yo'naltirilgan boshqa to'rtburchaklar tizimga ega
Agar har bir ustunda joylashgan elementlarning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng bo'lsa va turli ustunlarning tegishli elementlarining ko'paytmalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, matritsa ortogonal deb ataladi, ya'ni. Agar
Shunday qilib, bir to'rtburchak koordinatalar sistemasidan boshqa bir xil yo'naltirilgan to'rtburchaklar sistemaga o'tish matritsasi (2) ortogonaldir. Shuni ham yodda tutingki, ushbu matritsaning determinanti +1:
Aksincha, agar determinanti +1 ga teng boʻlgan ortogonal matritsa (3) berilsa va tekislikka dekart toʻrtburchaklar koordinata tizimi kiritilsa. xOy, u holda (4) munosabatlari tufayli vektorlar ham birlik, ham o'zaro perpendikulyar, shuning uchun tizimdagi vektorning koordinatalari xOy ga teng va , bu yerda vektordan vektorga boʻlgan burchak va vektor birlik boʻlganligi uchun vektordan ga aylantirib, yaʼni, yoki ni olamiz.
Ikkinchi imkoniyat chiqarib tashlandi, chunki agar bizda mavjud bo'lsa, u bizga berilgan.
Bu degani , va matritsa A kabi ko'rinadi
bular. - bitta to'rtburchak koordinatalar tizimidan o'tish matritsasi xOy bir xil yo'nalish va burchakka ega bo'lgan boshqa to'rtburchaklar tizimga.
2. Tekislikdagi bir dekart to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidan yo‘nalishi teskari va kelib chiqishi bir xil bo‘lgan boshqa dekart to‘rtburchaklar sistemasiga o‘tish.
Tekislikka ikkita dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi kiritilsin xOy va umumiy kelib chiqishi bilan HAQIDA, lekin qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lib, o'qdan burchakni belgilaymiz Oh orqali o'qga (tekislikning yo'nalishi tizim tomonidan o'rnatiladi xOy).
O'qdan burchakdan boshlab Oh vektorga teng bo'lsa, vektorning koordinatalari teng bo'ladi:
Endi vektordan vektorga burchak teng (146-rasm), shuning uchun o'qdan burchak Oh vektorga teng (burchaklar uchun Chasles teoremasi bo'yicha) va shuning uchun vektorning koordinatalari teng:
Va formulalar (3) § 97 shaklni oladi
O'tish matritsasi
ortogonal, lekin uning determinanti -1 ga teng. (7)
Aksincha, determinanti –1 ga teng boʻlgan har qanday ortogonal matritsa tekislikdagi bir toʻrtburchaklar koordinatalar sistemasining kelib chiqishi bir xil, lekin yoʻnalishi qarama-qarshi boʻlgan boshqa toʻrtburchaklar sistemaga aylanishini belgilaydi. Demak, agar ikkita Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimi xOy va umumiy boshlanishi bor, keyin
Qayerda X, da– tizimdagi istalgan nuqtaning koordinatalari xOy; va tizimdagi bir xil nuqtaning koordinatalari, va
ortogonal matritsa.
Agar orqaga
ixtiyoriy ortogonal matritsa, keyin munosabatlar
Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimining dekart to'rtburchaklar tizimiga aylanishini ifodalaydi. tizimi bir xil kelib chiqishi bilan; - tizimdagi koordinatalar xOy o'qning ijobiy yo'nalishini beruvchi birlik vektor; - tizimdagi koordinatalar xOy o'qning ijobiy yo'nalishini beruvchi birlik vektor.
koordinata tizimlari xOy va bir xil yo'nalishga ega va bu holda, aksincha.
3. Tekislikdagi bir dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini boshqa to'rtburchaklar sistemaga umumiy o'zgartirish.
Ushbu bandning 1) va 2) bandlariga asoslanib, shuningdek, § 96 asosida, agar tekislikda to'rtburchaklar koordinata tizimlari kiritilgan bo'lsa, degan xulosaga kelamiz. xOy va , keyin koordinatalar X Va da ixtiyoriy nuqta M tizimdagi samolyotlar xOy bir xil nuqtaning koordinatalari bilan M sistemada munosabatlar - tizimdagi koordinatalar tizimining kelib chiqish koordinatalari bog'lanadi xOy.
E'tibor bering, eski va yangi koordinatalar X, da va , Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimining umumiy o'zgarishidagi vektorlar munosabatlari bilan bog'liq.
tizimlar bo'lsa xOy va bir xil yo'nalish va munosabatlarga ega
agar bu tizimlar qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lsa yoki shaklda
ortogonal matritsa. (10) va (11) transformatsiyalar ortogonal deyiladi.
