Perralla

Përcaktimi i një numri me logaritmin e tij. Vetitë e logaritmeve dhe shembuj të zgjidhjeve të tyre. Një udhëzues shterues (2020). Psikologjia dhe biologjia

Janë dhënë vetitë kryesore të logaritmit, grafiku i logaritmit, fusha e përkufizimit, bashkësia e vlerave, formulat bazë, rritja dhe zvogëlimi. Konsiderohet gjetja e derivatit të logaritmit. Si dhe zgjerimi dhe përfaqësimi integral i serive të fuqisë me anë të numrave kompleksë.

përmbajtja

Domeni, grup vlerash, ngjitës, zbritës

Logaritmi është një funksion monoton, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat kryesore të logaritmit janë paraqitur në tabelë.


Domeni	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Gama e vlerave	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	rritet në mënyrë monotone	zvogëlohet në mënyrë monotone
Zero, y= 0	x= 1	x= 1
Pikat e prerjes me boshtin y, x = 0	Nr	Nr
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Vlerat private

Logaritmi i bazës 10 quhet logaritmi dhjetor dhe shënohet si kjo:

logaritmi bazë e thirrur logaritmi natyror:

Formulat bazë të logaritmit

Vetitë e logaritmit që rrjedhin nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë:

Vetia kryesore e logaritmeve dhe pasojat e saj

Formula e zëvendësimit të bazës

Logaritmi është operacioni matematik i marrjes së një logaritmi. Kur merret një logaritëm, produktet e faktorëve konvertohen në shuma termash.
Potencimi është një veprim matematikor i kundërt me logaritmin. Gjatë fuqizimit, baza e dhënë ngrihet në fuqinë e shprehjes mbi të cilën kryhet fuqizimi. Në këtë rast, shumat e termave shndërrohen në produkte të faktorëve.

Vërtetimi i formulave bazë për logaritmet

Formulat e lidhura me logaritmet rrjedhin nga formulat për funksionet eksponenciale dhe nga përkufizimi i një funksioni të anasjelltë.

Merrni parasysh vetinë e funksionit eksponencial
.
Pastaj
.
Zbatoni vetinë e funksionit eksponencial
:
.

Le të vërtetojmë formulën e ndryshimit të bazës.
;
.
Duke vendosur c = b, kemi:

Funksioni i anasjelltë

Reciproku i bazës së një logaritmi është funksioni eksponencial me eksponent a.

Nese atehere

Derivat i logaritmit

Derivati i modulit të logaritmit x:
.
Derivati i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Për të gjetur derivatin e një logaritmi, ai duhet të reduktohet në bazë e.
;
.

Integrale

Integrali i logaritmit llogaritet duke integruar me pjesë : .
Kështu që,

Shprehjet në terma të numrave kompleks

Merrni parasysh funksionin e numrit kompleks z:
.
Le të shprehim një numër kompleks z nëpërmjet modulit r dhe argumenti φ :
.
Pastaj, duke përdorur vetitë e logaritmit, kemi:
.
Ose

Megjithatë, argumenti φ nuk është përcaktuar qartë. Nëse vendosim
, ku n është një numër i plotë,
atëherë do të jetë i njëjti numër për të ndryshme n.

Prandaj, logaritmi, si funksion i një ndryshoreje komplekse, nuk është një funksion me një vlerë të vetme.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Për , zgjerimi bëhet:

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve të Arsimit të Lartë, Lan, 2009.

Shiko gjithashtu:

Ne vazhdojmë të studiojmë logaritmet. Në këtë artikull do të flasim për llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Së pari, do të merremi me llogaritjen e logaritmeve sipas përkufizimit. Më pas, merrni parasysh se si gjenden vlerat e logaritmeve duke përdorur vetitë e tyre. Pas kësaj, ne do të ndalemi në llogaritjen e logaritmeve përmes vlerave të dhëna fillimisht të logaritmeve të tjera. Së fundi, le të mësojmë se si të përdorim tabelat e logaritmeve. E gjithë teoria jepet me shembuj me zgjidhje të detajuara.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit

Në rastet më të thjeshta, është e mundur të kryhet shpejt dhe lehtë gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le të hedhim një vështrim më të afërt se si zhvillohet ky proces.

Thelbi i tij është të përfaqësojë numrin b në formën a c, nga ku, sipas përcaktimit të logaritmit, numri c është vlera e logaritmit. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, gjetja e logaritmit korrespondon me zinxhirin e mëposhtëm të barazive: log a b=log a a c =c .

Pra, llogaritja e logaritmit, sipas përkufizimit, zbret në gjetjen e një numri të tillë c që a c \u003d b, dhe vetë numri c është vlera e dëshiruar e logaritmit.

Duke pasur parasysh informacionin e paragrafëve të mëparshëm, kur numri nën shenjën e logaritmit jepet nga një shkallë e bazës së logaritmit, atëherë menjëherë mund të tregoni se me çfarë logaritmi është i barabartë - është i barabartë me eksponentin. Le të tregojmë shembuj.

Shembull.

Gjeni log 2 2 −3 , dhe llogaritni gjithashtu logaritmin natyror të e 5.3 .

Zgjidhje.

Përkufizimi i logaritmit na lejon të themi menjëherë se log 2 2 −3 = −3. Në të vërtetë, numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën 2 me fuqinë -3.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë logaritmin e dytë: lne 5.3 =5.3.

Përgjigje:

log 2 2 −3 = −3 dhe lne 5.3 =5.3 .

Nëse numri b nën shenjën e logaritmit nuk jepet si fuqia e bazës së logaritmit, atëherë duhet të konsideroni me kujdes nëse është e mundur të dilni me një paraqitje të numrit b në formën a c. Shpesh kjo paraqitje është mjaft e dukshme, veçanërisht kur numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën me fuqinë 1, ose 2, ose 3, ...

Shembull.

Llogarit login e logaritmeve 5 25 dhe .

Zgjidhje.

Është e lehtë të shihet se 25=5 2, kjo ju lejon të llogaritni logaritmin e parë: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Ne vazhdojmë me llogaritjen e logaritmit të dytë. Një numër mund të përfaqësohet si një fuqi prej 7: (shiko nëse është e nevojshme). Prandaj, .

Le të rishkruajmë logaritmin e tretë në formën e mëposhtme. Tani mund ta shihni atë , nga ku konkludojmë se . Prandaj, sipas përkufizimit të logaritmit .

Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë:

Përgjigje:

log 5 25=2 , Dhe .

Kur një numër mjaftueshëm i madh natyror është nën shenjën e logaritmit, atëherë nuk është e dëmshme ta zbërthejmë atë në faktorë të thjeshtë. Shpesh ndihmon për të përfaqësuar një numër të tillë si një fuqi e bazës së logaritmit, dhe për këtë arsye, për të llogaritur këtë logaritëm sipas përkufizimit.

Shembull.

Gjeni vlerën e logaritmit.

Zgjidhje.

Disa veti të logaritmeve ju lejojnë të specifikoni menjëherë vlerën e logaritmeve. Këto veti përfshijnë vetinë e logaritmit të njës dhe vetinë e logaritmit të një numri të barabartë me bazën: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1 . Pra, kur numri 1 ose numri a është nën shenjën e logaritmit, i barabartë me bazën e logaritmit, atëherë në këto raste logaritmet janë përkatësisht 0 dhe 1.

Shembull.

Cilat janë logaritmet dhe lg10?

Zgjidhje.

Meqenëse , rrjedh nga përkufizimi i logaritmit .

Në shembullin e dytë, numri 10 nën shenjën e logaritmit përkon me bazën e tij, pra logaritmi dhjetor i dhjetë është i barabartë me një, pra lg10=lg10 1 =1 .

Përgjigje:

DHE lg10=1.

Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit (të cilën e diskutuam në paragrafin e mëparshëm) nënkupton përdorimin e logit të barazisë a a p =p, që është një nga vetitë e logaritmeve.

Në praktikë, kur numri nën shenjën e logaritmit dhe baza e logaritmit përfaqësohen lehtësisht si një fuqi e disa numrave, është shumë e përshtatshme të përdoret formula , e cila korrespondon me një nga vetitë e logaritmeve. Konsideroni një shembull të gjetjes së logaritmit, duke ilustruar përdorimin e kësaj formule.

Shembull.

Njehsoni logaritmin e .

Zgjidhje.

Përgjigje:

Në llogaritje përdoren edhe vetitë e logaritmeve që nuk janë përmendur më lart, por për këtë do të flasim në paragrafët në vijim.

Gjetja e logaritmeve në terma të logaritmeve të tjera të njohura

Informacioni në këtë paragraf vazhdon temën e përdorimit të vetive të logaritmeve në llogaritjen e tyre. Por këtu ndryshimi kryesor është se vetitë e logaritmeve përdoren për të shprehur logaritmin origjinal në termat e një logaritmi tjetër, vlera e të cilit dihet. Le të marrim një shembull për sqarim. Le të themi se e dimë se log 2 3≈1.584963 , atëherë mund të gjejmë, për shembull, log 2 6 duke bërë një transformim të vogël duke përdorur vetitë e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Në shembullin e mësipërm, na mjaftoi të përdornim vetinë e logaritmit të produktit. Sidoqoftë, shumë më shpesh ju duhet të përdorni një arsenal më të gjerë të vetive të logaritmeve për të llogaritur logaritmin origjinal në lidhje me ato të dhëna.

Shembull.

Llogaritni logaritmin e 27 në bazën 60 nëse dihet se log 60 2=a dhe log 60 5=b .

Zgjidhje.

Pra, ne duhet të gjejmë log 60 27 . Është e lehtë të shihet se 27=3 3 , dhe logaritmi origjinal, për shkak të vetive të logaritmit të shkallës, mund të rishkruhet si 3·log 60 3 .

Tani le të shohim se si mund të shprehet log 60 3 në terma të logaritmeve të njohura. Vetia e logaritmit të një numri të barabartë me bazën ju lejon të shkruani login e barazisë 60 60=1 . Nga ana tjetër, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Kështu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Së fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Përgjigje:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Më vete, vlen të përmendet kuptimi i formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit të formës . Ju lejon të kaloni nga logaritmet me çdo bazë në logaritme me një bazë specifike, vlerat e të cilave dihen ose është e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, sipas formulës së tranzicionit, kalojnë në logaritme në njërën nga bazat 2, e ose 10, pasi për këto baza ekzistojnë tabela logaritmesh që lejojnë llogaritjen e tyre me një shkallë të caktuar saktësie. Në pjesën tjetër, ne do të tregojmë se si bëhet kjo.

Tabelat e logaritmeve, përdorimi i tyre

Për një llogaritje të përafërt të vlerave të logaritmeve, mund të përdoret tabelat e logaritmit. Më të përdorurat janë tabela e logaritmit bazë 2, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni në sistemin e numrave dhjetorë, është e përshtatshme të përdorni një tabelë logaritmesh për bazën e dhjetë. Me ndihmën e tij, ne do të mësojmë të gjejmë vlerat e logaritmeve.

Tabela e paraqitur ju lejon, me një saktësi prej një të dhjetëmijtë, të gjeni vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave nga 1.000 në 9.999 (me tre shifra dhjetore). Ne do të analizojmë parimin e gjetjes së vlerës së logaritmit duke përdorur një tabelë logaritmesh dhjetore duke përdorur një shembull specifik - është më e qartë. Le të gjejmë lg1,256.

Në kolonën e majtë të tabelës së logaritmeve dhjetore gjejmë dy shifrat e para të numrit 1.256, domethënë gjejmë 1.2 (ky numër është rrethuar me blu për qartësi). Shifra e tretë e numrit 1.256 (numri 5) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të majtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me të kuqe). Shifra e katërt e numrit origjinal 1.256 (numri 6) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të djathtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me të gjelbër). Tani i gjejmë numrat në qelizat e tabelës së logaritmeve në kryqëzimin e rreshtit të shënuar dhe kolonave të shënuara (këta numra janë të theksuar në portokalli). Shuma e numrave të shënuar jep vlerën e dëshiruar të logaritmit dhjetor deri në numrin e katërt dhjetor, d.m.th. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

A është e mundur, duke përdorur tabelën e mësipërme, për të gjetur vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave që kanë më shumë se tre shifra pas presjes dhjetore dhe gjithashtu shkojnë përtej kufijve nga 1 në 9.999? Po ti mundesh. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.

Le të llogarisim lg102.76332. Së pari ju duhet të shkruani numër në formë standarde: 102.76332=1.0276332 10 2 . Pas kësaj, mantisa duhet të rrumbullakoset deri në numrin e tretë dhjetor, kemi 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, ndërsa logaritmi dhjetor origjinal është përafërsisht i barabartë me logaritmin e numrit që rezulton, pra marrim lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Tani aplikoni vetitë e logaritmit: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Në fund, vlerën e logaritmit lg1.028 e gjejmë sipas tabelës së logaritmeve dhjetore lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjithë procesi i llogaritjes së logaritmit duket si ky: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Si përfundim, vlen të përmendet se duke përdorur tabelën e logaritmeve dhjetore, mund të llogaritni vlerën e përafërt të çdo logaritmi. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën e tranzicionit për të shkuar në logaritme dhjetore, për të gjetur vlerat e tyre në tabelë dhe për të kryer llogaritjet e mbetura.

Për shembull, le të llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejmë lg3≈0.4771 dhe lg2≈0.3010. Kështu,.

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat teknike).

Çfarë është një logaritëm?

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Çfarë është një logaritëm? Si të zgjidhni logaritmet? Këto pyetje ngatërrojnë shumë maturantë. Tradicionalisht, tema e logaritmeve konsiderohet komplekse, e pakuptueshme dhe e frikshme. Sidomos - ekuacionet me logaritme.

Kjo nuk është absolutisht e vërtetë. Absolutisht! Nuk besoj? Mirë. Tani, për rreth 10-20 minuta ju:

1. Kuptoni çfarë është një logaritëm.

2. Mësoni të zgjidhni një klasë të tërë ekuacionesh eksponenciale. Edhe nëse nuk keni dëgjuar për to.

3. Mësoni të llogaritni logaritme të thjeshta.

Për më tepër, për këtë do t'ju duhet vetëm të dini tabelën e shumëzimit dhe se si një numër ngrihet në një fuqi ...

Ndjej se dyshoni ... Epo, mbani kohë! Shkoni!

Së pari, zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm në mendjen tuaj:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Me zhvillimin e shoqërisë, kompleksitetin e prodhimit, u zhvillua edhe matematika. Lëvizja nga e thjeshta në komplekse. Nga metoda e zakonshme e kontabilitetit të mbledhjes dhe zbritjes, me përsëritjen e tyre të përsëritur, ata arritën në konceptin e shumëzimit dhe pjesëtimit. Reduktimi i operacionit të shumëfishuar u bë koncepti i fuqizimit. Tabelat e para të varësisë së numrave nga baza dhe numri i fuqisë u përpiluan në shekullin e 8-të nga matematikani indian Varasena. Prej tyre mund të numëroni kohën e shfaqjes së logaritmeve.

Skicë historike

Ringjallja e Evropës në shekullin e 16-të stimuloi gjithashtu zhvillimin e mekanikës. T kërkonte një sasi të madhe llogaritjeje lidhur me shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave shumëshifrorë. Tavolinat e lashta bënë një shërbim të madh. Ata bënë të mundur zëvendësimin e operacioneve komplekse me ato më të thjeshta - mbledhje dhe zbritje. Një hap i madh përpara ishte puna e matematikanit Michael Stiefel, e botuar në 1544, në të cilën ai realizoi idenë e shumë matematikanëve. Kjo bëri të mundur përdorimin e tabelave jo vetëm për shkallët në formën e numrave të thjeshtë, por edhe për ato racionale arbitrare.

Në 1614, skocezi John Napier, duke zhvilluar këto ide, prezantoi për herë të parë termin e ri "logaritmi i një numri". U përpiluan tabela të reja komplekse për llogaritjen e logaritmeve të sinuseve dhe kosinuseve, si dhe tangjentet. Kjo reduktoi shumë punën e astronomëve.

Filluan të shfaqen tabela të reja, të cilat u përdorën me sukses nga shkencëtarët për tre shekuj. Kaloi shumë kohë përpara se operacioni i ri në algjebër të merrte formën e tij të përfunduar. Është përcaktuar logaritmi dhe janë studiuar vetitë e tij.

Vetëm në shekullin e 20-të, me ardhjen e makinës llogaritëse dhe kompjuterit, njerëzimi braktisi tavolinat e lashta që kishin funksionuar me sukses gjatë shekujve të 13-të.

Sot e quajmë logaritmin e b për të bazuar a numrin x, që është fuqia e a, për të marrë numrin b. Kjo shkruhet si formulë: x = log a(b).

Për shembull, log 3(9) do të jetë i barabartë me 2. Kjo është e qartë nëse ndiqni përkufizimin. Nëse ngremë 3 në fuqinë e 2, marrim 9.

Kështu, përkufizimi i formuluar vendos vetëm një kufizim, numrat a dhe b duhet të jenë real.

Varietetet e logaritmeve

Përkufizimi klasik quhet logaritmi real dhe në fakt është një zgjidhje e ekuacionit a x = b. Opsioni a = 1 është kufitar dhe nuk është me interes. Shënim: 1 për çdo fuqi është 1.

Vlera reale e logaritmit definohet vetëm nëse baza dhe argumenti është më i madh se 0, dhe baza nuk duhet të jetë e barabartë me 1.

Vend të veçantë në fushën e matematikës luani logaritme, të cilat do të emërtohen në varësi të vlerës së bazës së tyre:

Rregullat dhe kufizimet

Vetia themelore e logaritmeve është rregulli: logaritmi i një produkti është i barabartë me shumën logaritmike. log abp = log a(b) + log a(p).

Si një variant i kësaj deklarate, do të jetë: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funksioni koeficient është i barabartë me ndryshimin e funksioneve.

Është e lehtë të shihet nga dy rregullat e mëparshme se: log a(b p) = p * log a(b).

Prona të tjera përfshijnë:

Koment. Mos bëni një gabim të zakonshëm - logaritmi i shumës nuk është i barabartë me shumën e logaritmeve.

Për shumë shekuj, operacioni i gjetjes së logaritmit ishte një detyrë mjaft e gjatë. Matematikanët përdorën formulën e njohur të teorisë logaritmike të zgjerimit në një polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), ku n është një numër natyror më i madh se 1, i cili përcakton saktësinë e llogaritjes.

Logaritmet me baza të tjera janë llogaritur duke përdorur teoremën mbi kalimin nga një bazë në tjetrën dhe vetinë e logaritmit të produktit.

Meqenëse kjo metodë është shumë e mundimshme dhe gjatë zgjidhjes së problemeve praktike vështirë për t'u zbatuar, ata përdorën tabela të përpiluara paraprakisht të logaritmeve, të cilat e përshpejtuan shumë të gjithë punën.

Në disa raste, u përdorën grafikë të përpiluar posaçërisht të logaritmeve, të cilat dhanë më pak saktësi, por shpejtuan ndjeshëm kërkimin për vlerën e dëshiruar. Kurba e funksionit y = log a(x), e ndërtuar në disa pika, lejon përdorimin e vizores së zakonshme për të gjetur vlerat e funksionit në çdo pikë tjetër. Për një kohë të gjatë, inxhinierët përdorën të ashtuquajturën letër grafike për këto qëllime.

Në shekullin e 17-të, u shfaqën kushtet e para ndihmëse të llogaritjes analoge, të cilat deri në shekullin e 19-të kishin marrë një formë të përfunduar. Pajisja më e suksesshme u quajt rregulli i rrëshqitjes. Megjithë thjeshtësinë e pajisjes, pamja e saj përshpejtoi ndjeshëm procesin e të gjitha llogaritjeve inxhinierike, dhe kjo është e vështirë të mbivlerësohet. Aktualisht, pak njerëz janë të njohur me këtë pajisje.

Ardhja e kalkulatorëve dhe kompjuterëve e bëri të pakuptimtë përdorimin e çdo pajisjeje tjetër.

Ekuacionet dhe pabarazitë

Formulat e mëposhtme përdoren për të zgjidhur ekuacione dhe pabarazi të ndryshme duke përdorur logaritme:

Kalimi nga një bazë në tjetrën: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Si pasojë e versionit të mëparshëm: log a(b) = 1 / log b(a).

Për të zgjidhur pabarazitë, është e dobishme të dini:

Vlera e logaritmit do të jetë pozitive vetëm nëse baza dhe argumenti janë të dyja më të mëdha ose më të vogla se një; nëse shkelet të paktën një kusht, vlera e logaritmit do të jetë negative.
Nëse funksioni i logaritmit zbatohet në anën e djathtë dhe të majtë të mosbarazimit, dhe baza e logaritmit është më e madhe se një, atëherë shenja e mosbarazimit ruhet; përndryshe, ndryshon.

Shembuj detyrash

Konsideroni disa opsione për përdorimin e logaritmeve dhe vetive të tyre. Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve:

Merrni parasysh opsionin e vendosjes së logaritmit në shkallë:

Detyra 3. Llogarit 25^log 5(3). Zgjidhja: në kushtet e problemit, shënimi është i ngjashëm me sa vijon (5^2)^log5(3) ose 5^(2 * log 5(3)). Le ta shkruajmë ndryshe: 5^log 5(3*2), ose katrori i një numri si argument funksioni mund të shkruhet si katrori i vetë funksionit (5^log 5(3))^2. Duke përdorur vetitë e logaritmeve, kjo shprehje është 3^2. Përgjigje: si rezultat i llogaritjes marrim 9.

Përdorimi praktik

Duke qenë një mjet thjesht matematikor, duket shumë larg jetës reale që logaritmi ka marrë befas një rëndësi të madhe në përshkrimin e objekteve në botën reale. Është e vështirë të gjesh një shkencë ku nuk përdoret. Kjo vlen plotësisht jo vetëm për fushat e dijes natyrore, por edhe për shkencat humane.

Varësitë logaritmike

Këtu janë disa shembuj të varësive numerike:

Mekanika dhe fizika

Historikisht, mekanika dhe fizika janë zhvilluar gjithmonë duke përdorur metoda kërkimore matematikore dhe në të njëjtën kohë kanë shërbyer si një nxitje për zhvillimin e matematikës, duke përfshirë logaritmet. Teoria e shumicës së ligjeve të fizikës është shkruar në gjuhën e matematikës. Ne japim vetëm dy shembuj të përshkrimit të ligjeve fizike duke përdorur logaritmin.

Është e mundur të zgjidhet problemi i llogaritjes së një sasie kaq komplekse si shpejtësia e një rakete duke përdorur formulën Tsiolkovsky, e cila hodhi themelet për teorinë e eksplorimit të hapësirës:

V = I * ln(M1/M2), ku

V është shpejtësia përfundimtare e avionit.
Unë jam impulsi specifik i motorit.
M 1 është masa fillestare e raketës.
M 2 - masa përfundimtare.

Një shembull tjetër i rëndësishëm- ky është përdorimi në formulën e një tjetër shkencëtari të madh, Max Planck, i cili shërben për të vlerësuar gjendjen e ekuilibrit në termodinamikë.

S = k * ln (Ω), ku

S është një veti termodinamike.
k është konstanta e Boltzmann-it.
Ω është pesha statistikore e gjendjeve të ndryshme.

Kimia

Më pak e dukshme do të ishte përdorimi i formulave në kimi që përmbajnë raportin e logaritmeve. Këtu janë vetëm dy shembuj:

Ekuacioni Nernst, gjendja e potencialit redoks të mediumit në lidhje me aktivitetin e substancave dhe konstanten e ekuilibrit.
Llogaritja e konstantave të tilla si indeksi i autoprolizës dhe aciditeti i tretësirës gjithashtu nuk është i plotë pa funksionin tonë.

Psikologjia dhe biologjia

Dhe është krejtësisht e pakuptueshme se çfarë ka të bëjë psikologjia me të. Rezulton se forca e ndjeshmërisë përshkruhet mirë nga ky funksion si raport i kundërt i vlerës së intensitetit të stimulit me vlerën e intensitetit më të ulët.

Pas shembujve të mësipërm, nuk është më për t'u habitur që tema e logaritmeve përdoret gjerësisht edhe në biologji. Vëllime të tëra mund të shkruhen për forma biologjike që korrespondojnë me spirale logaritmike.

Zonat e tjera

Duket se ekzistenca e botës është e pamundur pa lidhje me këtë funksion, dhe ajo rregullon të gjitha ligjet. Sidomos kur ligjet e natyrës lidhen me një progresion gjeometrik. Ia vlen t'i referohemi faqes së internetit MatProfi dhe ka shumë shembuj të tillë në fushat e mëposhtme të aktivitetit:

Lista mund të jetë e pafundme. Pasi të keni zotëruar ligjet themelore të këtij funksioni, mund të zhyteni në botën e mençurisë së pafund.

logaritmi numër pozitiv N në bazë(b> 0, b 1 ) quhet eksponent x , për të cilën ju duhet të ngrini b për të marrë N .

Shënimi i logaritmit:

Kjo hyrje është e barabartë me sa vijon:b x = N .

SHEMBUJ: regjistri 3 81 \u003d 4, që nga 3 4 \u003d 81;

Regjistri 1/3 27 = – 3 , pasi (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

Përkufizimi i mësipërm i logaritmit mund të shkruhet si një identitet:

Vetitë themelore të logaritmeve.

1) log b= 1 , sepse b 1 = b.

2) log 1 = 0 , sepse b 0 = 1 .

3) Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve:

log( ab) = log a+log b.

4) Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën midis logaritmeve të dividendit dhe pjesëtuesit:

log( a/b) = log a-log b.

5) Logaritmi i shkallës është i barabartë me produktin e eksponentit dhe logaritmin e bazës së tij:

log (b k ) = k log b.

Pasoja e kësaj prone është si më poshtë:rrënjë log është e barabartë me logaritmin e numrit të rrënjës pjesëtuar me fuqinë e rrënjës:

6) Nëse baza e logaritmit është një shkallë, atëherë vlera reciproku i eksponentit mund të hiqet nga shenja e logit rima:

Dy vetitë e fundit mund të kombinohen në një:

7) Formula e modulit të tranzicionit (dmth. e . kalimi nga një bazëlogaritmi në një bazë tjetër):

Në një rast të veçantë, kur N = a ne kemi:

Logaritmi dhjetor thirrur logaritmi bazë 10. Është caktuar lg, d.m.th. regjistri 10 N = lg N. Logaritmet e numrave 10, 100, 1000, ... fq janë përkatësisht 1, 2, 3, ...,ato. kanë kaq shumë pozitive

njësitë, sa zero janë në numrin logaritëm pas një. Logaritmet e numrave 0.1, 0.01, 0.001, ... fq avny përkatësisht –1, –2, –3, …, d.m.th. të ketë aq negative sa ka zero në numrin logaritëm para atij ( duke numëruar dhe zero numra të plotë). Logaritmet numrat e tjerë kanë një pjesë thyesore të quajtur mantisa. E tërëquhet një pjesë e logaritmit karakteristike. Për praktikelogaritmet dhjetore janë më të përshtatshmet.

logaritmi natyror thirrur logaritmi bazë e. Është shënuar ln, d.m.th. log eN = ln N. Numri eështë irracionale,vlera e përafërt është 2.718281828. Ajo është kufiri drejt të cilit priret numri(1 + 1 / n) n me rritje të pakufizuarn(cm. kufiri i parë i mrekullueshëm ).
Sado e çuditshme mund të duket, logaritmet natyrore doli të ishin shumë të përshtatshme kur kryenin operacione të ndryshme që lidhen me analizën e funksioneve.Llogaritja e logaritmeve bazëeshumë më shpejt se çdo bazë tjetër.