Shkolla e mesme MBOU №17 Ivanov

« Ekuacionet e modulit »
Zhvillimi metodik

Përpiluar

mësues matematike

Lebedeva N.V.

20010

Shënim shpjegues

Kapitulli 1 Hyrje

Seksioni 2. Karakteristikat kryesore Seksioni 3. Interpretimi gjeometrik i konceptit të modulit të një numri Seksioni 4. Grafiku i funksionit y = |x| Seksioni 5 Konventat

Kapitulli 2

Seksioni 1. Ekuacionet e formës |F(х)| = m (protozoa) Seksioni 2. Ekuacionet e formës F(|х|) = m Seksioni 3. Ekuacionet e formës |F(х)| = G(x) Seksioni 4. Ekuacionet e formës |F(х)| = ± F(x) (e bukur) Seksioni 5. Ekuacionet e formës |F(х)| = |G(x)| Seksioni 6. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve jo standarde Seksioni 7. Ekuacionet e formës |F(х)| + |G(x)| = 0 Seksioni 8. Ekuacionet e formës |а 1 x ± 1 | ± |a 2 x ± në 2 | ± …|a n x ± në n | = m Seksioni 9. Ekuacionet që përmbajnë module të shumta

Kapitulli 3. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve të ndryshme me një modul.

Seksioni 1. Ekuacionet trigonometrike Seksioni 2. Ekuacionet eksponenciale Seksioni 3. Ekuacionet logaritmike Seksioni 4. Ekuacionet irracionale Seksioni 5. Detyrat me kompleksitet të avancuar Përgjigjet e ushtrimeve Bibliografi

Shënim shpjegues.

Koncepti i vlerës absolute (modulit) të një numri real është një nga karakteristikat thelbësore të tij. Ky koncept përdoret gjerësisht në degë të ndryshme të shkencave fizike, matematikore dhe teknike. Në praktikën e mësimdhënies së një kursi matematike në shkollën e mesme në përputhje me Programin e Ministrisë së Mbrojtjes së Federatës Ruse, koncepti i "vlerës absolute të një numri" haset në mënyrë të përsëritur: në klasën e 6-të, përkufizimi i një moduli. , futet kuptimi gjeometrik i tij; në klasën e 8-të formohet koncepti i gabimit absolut, merret parasysh zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive më të thjeshta që përmbajnë modulin, studiohen vetitë e rrënjës katrore aritmetike; në klasën e 11-të koncepti gjendet në rubrikën “Rrënja nshkalla e th." Përvoja e mësimdhënies tregon se nxënësit shpesh hasin në vështirësi në zgjidhjen e detyrave që kërkojnë njohuri të këtij materiali dhe shpesh i kalojnë pa filluar t'i kryejnë. Në tekstet e detyrave të provimit për kursin e klasave të 9-ta dhe të 11-ta përfshihen edhe detyra të ngjashme. Gjithashtu, kërkesat që universitetet u vendosin maturantëve janë të ndryshme, përkatësisht të një niveli më të lartë se kërkesat e kurrikulës shkollore. Për jetën në shoqërinë moderne, formimi i një stili matematikor të të menduarit, i cili manifestohet në aftësi të caktuara mendore, është shumë i rëndësishëm. Në procesin e zgjidhjes së problemeve me module, kërkohet aftësia për të aplikuar teknika të tilla si përgjithësimi dhe konkretizimi, analiza, klasifikimi dhe sistemimi, analogjia. Zgjidhja e detyrave të tilla ju lejon të kontrolloni njohuritë e seksioneve kryesore të kursit shkollor, nivelin e të menduarit logjik dhe aftësitë fillestare të kërkimit. Kjo punë i kushtohet njërit prej seksioneve - zgjidhjes së ekuacioneve që përmbajnë modulin. Ai përbëhet nga tre kapituj. Kapitulli i parë prezanton konceptet bazë dhe llogaritjet më të rëndësishme teorike. Kapitulli i dytë propozon nëntë lloje bazë të ekuacioneve që përmbajnë modulin, shqyrton metodat për zgjidhjen e tyre dhe analizon shembuj të niveleve të ndryshme të kompleksitetit. Kapitulli i tretë ofron ekuacione më komplekse dhe jo standarde (trigonometrike, eksponenciale, logaritmike dhe irracionale). Për çdo lloj ekuacioni ka ushtrime për zgjidhje të pavarur (përgjigjet dhe udhëzimet janë bashkangjitur). Qëllimi kryesor i kësaj pune është t'u ofrojë ndihmë metodologjike mësuesve në përgatitjen e mësimeve dhe në organizimin e kurseve fakultative. Materiali mund të përdoret edhe si mjet mësimor për nxënësit e shkollave të mesme. Detyrat e propozuara në vepër janë interesante dhe jo gjithmonë të lehta për t'u zgjidhur, gjë që bën të mundur që të bëhet më i ndërgjegjshëm motivimi i të nxënit të studentëve, të testohen aftësitë e tyre dhe të përmirësohet niveli i përgatitjes së maturantëve për hyrjen në universitete. Një përzgjedhje e diferencuar e ushtrimeve të propozuara nënkupton një kalim nga niveli riprodhues i asimilimit të materialit në atë krijues, si dhe mundësinë për të mësuar se si të zbatojnë njohuritë e tyre në zgjidhjen e problemeve jo standarde.

Kapitulli 1. Hyrje.

Seksioni 1. Përcaktimi i vlerës absolute .

Përkufizimi : Vlera absolute (moduli) e një numri real A quhet një numër jo negativ: A ose -A. Përcaktimi: │ A │ Hyrja lexohet si më poshtë: "moduli i numrit a" ose "vlera absolute e numrit a"

│ a nëse a > 0

│a│ = │ 0 nëse a = 0 (1)

│ - a, nëse a
Shembuj: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Zgjero modulin e shprehjes:

a) │x - 8│ nëse x > 12 b) │2x + 3│ nëse x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

Seksioni 2. Vetitë themelore.

Konsideroni vetitë themelore të vlerës absolute. Prona #1: Numrat e kundërt kanë module të barabarta, d.m.th. │а│=│-а│ Le të tregojmë korrektësinë e barazisë. Le të shkruajmë përkufizimin e numrit - A : │- a│= (2) Le të krahasojmë grupet (1) dhe (2). Natyrisht, përkufizimet e vlerave absolute të numrave A Dhe - A përputhen. Prandaj, │а│=│-а│
Kur shqyrtojmë veçoritë e mëposhtme, ne kufizohemi në formulimin e tyre, pasi prova e tyre është dhënë Prona #2: Vlera absolute e shumës së një numri të fundëm numrash realë nuk e kalon shumën e vlerave absolute të termave: Prona #3: Vlera absolute e diferencës ndërmjet dy numrave realë nuk e kalon shumën e vlerave të tyre absolute: │а - │ ≤│а│+│в│ Prona #4: Vlera absolute e prodhimit të një numri të fundëm numrash realë është e barabartë me produktin e vlerave absolute të faktorëve: │а · │=│а│·│в│ Prona #5: Vlera absolute e herësit të numrave realë është e barabartë me herësin e vlerave të tyre absolute:

Seksioni 3. Interpretimi gjeometrik i konceptit të modulit të një numri.

Çdo numër real mund të shoqërohet me një pikë në vijën numerike, e cila do të jetë një paraqitje gjeometrike e këtij numri real. Çdo pikë në vijën numerike i përgjigjet largësisë së saj nga origjina, d.m.th. gjatësia e segmentit nga origjina në pikën e dhënë. Kjo distancë konsiderohet gjithmonë si një vlerë jo negative. Prandaj, gjatësia e segmentit përkatës do të jetë interpretimi gjeometrik i vlerës absolute të numrit real të dhënë

Ilustrimi gjeometrik i paraqitur konfirmon qartë vetinë nr.1, d.m.th. modulet e numrave të kundërt janë të barabartë. Nga këtu, vlefshmëria e barazisë kuptohet lehtësisht: │x - a│= │a - x│. Gjithashtu bëhet më e qartë zgjidhja e ekuacionit │х│= m, ku m ≥ 0, përkatësisht x 1,2 = ± m. Shembuj: 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1,2 = 2; 4

Seksioni 4. Grafiku i funksionit y \u003d │х│

Domeni i këtij funksioni janë të gjithë numrat realë.

Seksioni 5. Simbolet.

Në të ardhmen, kur shqyrtohen shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve, do të përdoren konventat e mëposhtme: ( - shenja e sistemit [ - shenja e vendosjes Kur zgjidhet një sistem ekuacionesh (pabarazish), gjendet kryqëzimi i zgjidhjeve të ekuacioneve (pabarazive) të përfshira në sistem. Kur zgjidhet një grup ekuacionesh (pabarazish), gjendet një bashkim zgjidhjesh e ekuacioneve (pabarazive) të përfshira në bashkësi.

Kapitulli 2

Në këtë kapitull, ne do të shikojmë mënyrat algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë një ose më shumë module.

Seksioni 1. Ekuacionet e formës │F (х) │= m

Një ekuacion i këtij lloji quhet më i thjeshtë. Ai ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse m ≥ 0. Sipas përcaktimit të modulit, ekuacioni origjinal është i barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve: │ F(x)│=m
Shembuj:
№1. Zgjidheni ekuacionin: │7x - 2│= 9


Përgjigje: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x 2 = -3 Përgjigje: shuma e rrënjëve është - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 shënojmë x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - të dyja vlerat plotësojnë kushtin m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Përgjigje: numri i rrënjëve të ekuacionit 7. Ushtrime:
№1. Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni shumën e rrënjëve: │x - 5│= 3 №2 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të vogël: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . Zgjidheni ekuacionin dhe tregoni rrënjën më të madhe: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Zgjidhni ekuacionin dhe tregoni rrënjën e plotë: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .Zgjidhni ekuacionin dhe tregoni numrin e rrënjëve: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

Seksioni 2. Ekuacionet e formës F(│х│) = m

Argumenti i funksionit në anën e majtë është nën shenjën e modulit, ndërsa ana e djathtë është e pavarur nga ndryshorja. Le të shqyrtojmë dy mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji. 1 mënyrë: Sipas përcaktimit të vlerës absolute, ekuacioni origjinal është i barabartë me tërësinë e dy sistemeve. Në secilën prej të cilave një kusht vendoset në shprehjen e nënmodulit. F(│х│) =m
Meqenëse funksioni F(│х│) është çift në të gjithë domenin e përkufizimit, rrënjët e ekuacioneve F(х) = m dhe F(-х) = m janë çifte numrash të kundërt. Prandaj, mjafton të zgjidhet një nga sistemet (kur shqyrtohen shembujt në këtë mënyrë, do të jepet zgjidhja e një sistemi). 2 mënyra: Zbatimi i metodës së prezantimit të një ndryshoreje të re. Në këtë rast, futet emërtimi │х│= a, ku a ≥ 0. Kjo metodë është më pak voluminoze në dizajn.
Shembuj: №1 . Zgjidheni ekuacionin: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Le të përdorim prezantimin e një ndryshoreje të re. Shënojmë │x│= a, ku a ≥ 0. Marrim ekuacionin 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Kthehemi në ndryshoren origjinale: │x │ = 1 dhe │х│= 1/3. Çdo ekuacion ka dy rrënjë. Përgjigje: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Zgjidheni ekuacionin: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1 / 2 │x│ + 3x 2
Le të gjejmë zgjidhjen e sistemit të grupit të parë: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 Vini re se x 2 bën nuk e plotëson kushtin x ≥ 0. Me zgjidhje sistemi i dytë do të jetë numri i kundërt x 1 . Përgjigje: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Zgjidheni ekuacionin: x 4 - │х│= 0 Shënoni │х│= a, ku a ≥ 0. Marrim ekuacionin a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0 a 2 \u003d 1 Kthehemi në variablin origjinal: │х│=0 dhe │х│= 1 x = 0; ± 1 Përgjigje: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Ushtrime: №6. Zgjidhe ekuacionin: 2│х│ - 4.5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e rrënjëve: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni zgjidhjet e plota: x 4 + │х│ - 2 = 0

Seksioni 3. Ekuacionet e formës │F(х)│ = G(х)

Ana e djathtë e një ekuacioni të këtij lloji varet nga një ndryshore dhe, për rrjedhojë, ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse ana e djathtë është një funksion G(x) ≥ 0. Ekuacioni origjinal mund të zgjidhet në dy mënyra: 1 mënyrë: Standard, bazuar në zbulimin e modulit bazuar në përkufizimin e tij dhe konsiston në një kalim ekuivalent në kombinimin e dy sistemeve. │ F(x)│ =G(X)

Është racionale të përdoret kjo metodë në rastin e një shprehje komplekse për funksionin G(x) dhe një shprehje më pak komplekse për funksionin F(x), pasi supozohet të zgjidhë pabarazitë me funksionin F(x). 2 mënyra: Ai konsiston në kalimin në një sistem ekuivalent në të cilin një kusht vendoset në anën e djathtë. │ F(x)│= G(x)

Kjo metodë është më e përshtatshme për t'u përdorur nëse shprehja për funksionin G(x) është më pak e ndërlikuar sesa për funksionin F(x), pasi supozohet zgjidhja e pabarazisë G(x) ≥ 0. Përveç kësaj, në rastin nga disa module, kjo metodë rekomandohet të përdoret opsioni i dytë. Shembuj: №1. Zgjidheni ekuacionin: │x + 2│= 6 -2x
(1 mënyrë) Përgjigje: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2 mënyra) Përgjigje: Prodhimi i rrënjëve është 3.
№3. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje shkruani shumën e rrënjëve:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

Përgjigje: shuma e rrënjëve është 4.
Ushtrime: №9. │x + 4│= - 3x №10. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e zgjidhjeve: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni produktin e rrënjëve: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

Seksioni 4. Ekuacionet e formës │F(x)│= F(x) dhe │F(x)│= - F(x)

Ekuacionet e këtij lloji quhen ndonjëherë "të bukura". Meqenëse ana e djathtë e ekuacioneve varet nga ndryshorja, zgjidhjet ekzistojnë nëse dhe vetëm nëse ana e djathtë është jo negative. Prandaj, ekuacionet origjinale janë ekuivalente me pabarazitë:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 dhe │F(x)│= - F(x) F(x) Shembuj: №1 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën më të vogël të numrit të plotë: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Përgjigje: x = 1№2. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni gjatësinë e hendekut: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Përgjigje: gjatësia e hendekut është 6.№3 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e zgjidhjeve me numra të plotë: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Përgjigje: 4 zgjidhje të plota.№4 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën më të madhe:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Përgjigje: x = 3.

Ushtrime: №12. Zgjidhe ekuacionin, në përgjigje trego rrënjën e plotë: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e zgjidhjeve me numra të plotë: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni një numër të plotë që nuk është rrënja e ekuacionit:

Seksioni 5. Ekuacionet e formës │F(x)│= │G(x)│

Meqenëse të dyja anët e ekuacionit janë jonegative, zgjidhja përfshin marrjen në konsideratë të dy rasteve: shprehjet e nënmoduleve janë të barabarta ose të kundërta në shenjë. Prandaj, ekuacioni origjinal është i barabartë me kombinimin e dy ekuacioneve: │ F(x)│= │ G(x)│
Shembuj: №1. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën e plotë: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Përgjigje: rrënja e plotë x = 4.№2. Zgjidhe ekuacionin: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Përgjigje: x = 2.№3 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni produktin e rrënjëve:




Rrënjët e ekuacionit 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 Përgjigje: prodhimi i rrënjëve është 0,25. Ushtrime: №15 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni zgjidhjen e plotë: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën më të vogël: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje shkruani shumën e rrënjëve:

Seksioni 6. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve jo standarde

Në këtë seksion, ne shqyrtojmë shembuj të ekuacioneve jo standarde, në zgjidhjen e të cilave vlera absolute e shprehjes zbulohet me përkufizim. Shembuj:

№1. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni shumën e rrënjëve: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Përgjigje: shuma e rrënjëve është 1 №2. . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën më të vogël: x 2 - 4x
- 5 = 0
Përgjigje: rrënjë më e vogël x = - 5. №3. Zgjidhe ekuacionin:

Përgjigje: x = -1. Ushtrime: №18. Zgjidheni ekuacionin dhe shkruani shumën e rrënjëve: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Zgjidheni ekuacionin: x 2 - 3x \u003d

№20. Zgjidhe ekuacionin:

Seksioni 7. Ekuacionet e formës │F(x)│+│G(x)│=0

Është e lehtë të shihet se në anën e majtë të një ekuacioni të këtij lloji, shuma e sasive jo negative. Prandaj, ekuacioni origjinal ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse të dy termat janë njëkohësisht të barabartë me zero. Ekuacioni është i barabartë me sistemin e ekuacioneve: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Shembuj: №1 . Zgjidhe ekuacionin:
Përgjigje: x = 2. №2. Zgjidhe ekuacionin: Përgjigje: x = 1. Ushtrime: №21. Zgjidhe ekuacionin: №22 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje shkruani shumën e rrënjëve: №23 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e zgjidhjeve:

Seksioni 8. Ekuacionet e formës

Për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji përdoret metoda e intervaleve. Nëse zgjidhet me zgjerim sekuencial të moduleve, atëherë marrim n grupe sistemesh, gjë që është shumë e rëndë dhe e papërshtatshme. Konsideroni algoritmin e metodës së intervalit: 1). Gjeni vlera të ndryshueshme X, për të cilin çdo modul është i barabartë me zero (zero të shprehjeve të nënmodulit):
2). Vlerat e gjetura janë shënuar në një vijë numerike, e cila ndahet në intervale (numri i intervaleve, përkatësisht, është i barabartë me n+1 ) 3). Përcaktoni se me çfarë shenje zbulohet secili modul në secilën prej intervaleve të marra (kur bëni një zgjidhje, mund të përdorni një rresht numerik, duke shënuar shenjat në të) 4). Ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin n+1 sisteme, në secilën prej të cilave tregohet anëtarësia e ndryshores X një nga intervalet. Shembuj: №1 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën më të madhe:
1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve të nënmoduleve: x = 2; x = -3 2). Ne shënojmë vlerat e gjetura në vijën e numrave dhe përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet secili modul në intervalet e marra:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- nuk ka zgjidhje Ekuacioni ka dy rrënjë. Përgjigje: rrënja më e madhe është x = 2. №2. Zgjidheni ekuacionin, shkruani rrënjën e plotë në përgjigje:
1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve të nënmoduleve: x = 1,5; x = - 1 2). Ne shënojmë vlerat e gjetura në vijën numerike dhe përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet secili modul në intervalet e marra: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Sistemi i fundit nuk ka zgjidhje, prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë. Kur zgjidhni ekuacionin, duhet t'i kushtoni vëmendje shenjës "-" përpara modulit të dytë. Përgjigje: rrënja e plotë x = 7. №3. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni shumën e rrënjëve: 1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve të nënmoduleve: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Ne shënojmë vlerat e gjetura në vijën numerike dhe përcaktojmë se me çfarë shenje zbulohet secili modul në intervalet e marra: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Ekuacioni ka dy rrënjë x = 0 dhe 2. Përgjigje: shuma e rrënjëve është 2. №4 . Zgjidheni ekuacionin: 1). Le të gjejmë zerot e shprehjeve të nënmoduleve: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Le të përcaktojmë shenjën me të cilën zgjerohet çdo modul në intervalet e marra. 3).
Ne kombinojmë zgjidhjet e tre sistemeve të para. Përgjigje: ; x = 5.
Ushtrime: №24. Zgjidhe ekuacionin:
№25. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje shkruani shumën e rrënjëve: №26. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni rrënjën më të vogël: №27. Zgjidheni ekuacionin, jepni rrënjën më të madhe në përgjigjen tuaj:

Seksioni 9. Ekuacionet që përmbajnë module të shumta

Ekuacionet që përmbajnë module të shumta supozojnë praninë e vlerave absolute në shprehjet e nënmoduleve. Parimi themelor i zgjidhjes së ekuacioneve të këtij lloji është zbulimi sekuencial i moduleve, duke filluar me "të jashtëm". Gjatë zgjidhjes, përdoren teknikat e diskutuara në seksionet nr. 1, nr. 3.

Shembuj: №1. Zgjidhe ekuacionin:
Përgjigje: x = 1; - njëmbëdhjetë. №2. Zgjidhe ekuacionin:
Përgjigje: x = 0; 4; - 4. №3. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni produktin e rrënjëve:
Përgjigje: Prodhimi i rrënjëve është 8. №4. Zgjidhe ekuacionin:
Shënoni ekuacionet e popullsisë (1) Dhe (2) dhe merrni parasysh zgjidhjen e secilit prej tyre veç e veç për lehtësinë e dizajnit. Meqenëse të dy ekuacionet përmbajnë më shumë se një modul, është më e përshtatshme të kryhet një kalim ekuivalent në grupe sistemesh. (1)

(2)


Përgjigje:
Ushtrime: №36. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni shumën e rrënjëve: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Zgjidheni ekuacionin, nëse ka më shumë se një rrënjë, në përgjigje tregoni shumën e rrënjëve: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Zgjidheni ekuacionin: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e rrënjëve për: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni numrin e rrënjëve:

Seksioni 3. Ekuacionet logaritmike.

Para se të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme, është e nevojshme të rishikohen vetitë e logaritmeve dhe funksioni logaritmik. Shembuj: №1. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni produktin e rrënjëve: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Rasti 1: nëse x ≥ - 1, atëherë log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – plotëson kushtin x ≥ - 1 2 rasti: nëse x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 - plotëson kushtin x - 1
Përgjigje: Prodhimi i rrënjëve është 15.
№2. Zgjidheni ekuacionin, në përgjigje tregoni shumën e rrënjëve: lg
O.D.Z.

Përgjigje: shuma e rrënjëve është 0,5.
№3. Zgjidheni ekuacionin: log 5
O.D.Z.

Përgjigje: x = 9. №4. Zgjidheni ekuacionin: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Le të përdorim formulën për të kaluar në një bazë tjetër. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Le të gjejmë zerot e shprehjeve të nënmoduleve: x = 25; x \u003d Këta numra ndajnë zonën e vlerave të lejuara në tre intervale, kështu që ekuacioni është i barabartë me tërësinë e tre sistemeve.
Përgjigje :)