Perralla

Formula e gjatësisë së vektorit. Gjetja e gjatësisë së një vektori sipas koordinatave. Formula për përcaktimin e koordinatave të një vektori për problemet hapësinore

Le të gjejmë gjatësinë e vektorit me koordinatat e tij (në një sistem koordinativ drejtkëndor), me koordinatat e pikave të fillimit dhe të fundit të vektorit dhe me teoremën e kosinusit (janë dhënë 2 vektorë dhe këndi ndërmjet tyre).

Vektor është një segment i linjës së drejtuar. Gjatësia e këtij segmenti përcakton vlerën numerike të vektorit dhe quhet gjatësia vektoriale ose moduli vektorial.

1. Llogaritja e gjatësisë së një vektori nga koordinatat e tij

Nëse koordinatat vektoriale janë dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor të sheshtë (dydimensionale), d.m.th. njihen një x dhe një y, atëherë gjatësia e vektorit mund të gjendet me formulën

Në rastin e një vektori në hapësirë, shtohet një koordinatë e tretë

Në shprehjen MS EXCEL =ROOT(SUMSQ(B8:B9)) ju lejon të llogaritni modulin e vektorit (supozohet se koordinatorët e vektorit janë futur në qeliza B8:B9, shikoni skedarin e shembullit).

Funksioni SUMSQ() kthen shumën e katrorëve të argumenteve, d.m.th. në këtë rast, ekuivalente me formulën =B8*B8+B9*B9.

Skedari shembull llogarit gjithashtu gjatësinë e vektorit në hapësirë.

Një formulë alternative është shprehja =ROOT(SUMPRODUCT(B8:B9,B8:B9)).

2. Gjetja e gjatësisë së një vektori përmes koordinatave të pikave

Nëse vektori jepet përmes koordinatave të pikave të fillimit dhe përfundimit të tij, atëherë formula do të jetë e ndryshme =ROOT(SUMDIFF(C28:C29,B28:B29))

Formula supozon se koordinatat e pikave të fillimit dhe të fundit janë futur në intervale C28: C29 Dhe B28:B29 përkatësisht.

Funksioni SUMMQVAR() në Rikthen shumën e diferencave në katror të vlerave përkatëse në dy vargje.

Në fakt, formula fillimisht llogarit koordinatat e vektorit (diferenca midis koordinatave përkatëse të pikave), pastaj llogarit shumën e katrorëve të tyre.

3. Gjetja e gjatësisë së një vektori duke përdorur teoremën e kosinusit

Nëse dëshironi të gjeni gjatësinë e një vektori duke përdorur teoremën e kosinusit, atëherë zakonisht jepen 2 vektorë (modulet e tyre dhe këndi midis tyre).

Gjeni gjatësinë e vektorit duke përdorur formulën =ROOT(SUMQ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

Në qeliza B43:B43 përmban gjatësitë e vektorëve a dhe b, dhe qelizën B45 - këndi ndërmjet tyre në radianë (në fraksione të numrit PI() ).

Nëse këndi jepet në gradë, atëherë formula do të jetë paksa e ndryshme. =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

shënim: për qartësi, në një qelizë me një vlerë këndi në gradë, mund të përdorni , shihni, për shembull, artikullin

Oksi

RRETH A OA.

, ku OA .

Kështu, .

Konsideroni një shembull.

Shembull.

Zgjidhje.

Përgjigje:

Oxyz në hapësirë.

A OA do të jetë një diagonale.

Në këtë rast (sepse OA OA .

Kështu, gjatësi vektoriale .

Shembull.

Llogaritni gjatësinë e vektorit

Zgjidhje.

, prandaj,

Përgjigje:

Vijë e drejtë në një aeroplan

Ekuacioni i Përgjithshëm

Ax + By + C ( > 0).

Vektor = (A; B)është një vektor i vijës normale.

Në formë vektoriale: + C = 0, ku është vektori i rrezes së një pike arbitrare në një vijë të drejtë (Fig. 4.11).

Raste të veçanta:

1) Nga + C = 0- vijë e drejtë paralele me boshtin kau;

2) Ax+C=0- vijë e drejtë paralele me boshtin Oy;

3) Ax + By = 0- linja kalon nga origjina;

4) y=0- boshti kau;

5) x=0- boshti Oy.

Ekuacioni i një drejtëze në segmente

Ku a, b- madhësia e segmenteve të prera nga një vijë e drejtë në boshtet koordinative.

Ekuacioni normal i një drejtëze(Fig. 4.11)

ku është këndi i formuar normalisht me vijën dhe boshtin kau; fqështë distanca nga origjina e koordinatave në vijë.

Sjellja e ekuacionit të përgjithshëm të një drejtëze në formë normale:

Këtu është faktori i normalizuar i vijës së drejtpërdrejtë; shenja zgjidhet përballë shenjës C, nëse dhe në mënyrë arbitrare, nëse C=0.

Gjetja e gjatësisë së një vektori sipas koordinatave.

Gjatësia e vektorit do të shënohet me . Për shkak të këtij shënimi, gjatësia e një vektori shpesh referohet si moduli i vektorit.

Le të fillojmë duke gjetur gjatësinë e vektorit në plan sipas koordinatave.

Ne prezantojmë në aeroplan një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor Oksi. Le të jepet një vektor në të dhe ai ka koordinata . Le të marrim një formulë që ju lejon të gjeni gjatësinë e vektorit përmes koordinatave dhe .

Lini mënjanë origjinën e koordinatave (nga pika RRETH) vektor . Shënoni projeksionet e pikës A në boshtet e koordinatave si dhe përkatësisht dhe konsideroni një drejtkëndësh me diagonale OA.

Në bazë të teoremës së Pitagorës, barazia , ku . Nga përkufizimi i koordinatave të një vektori në një sistem koordinativ drejtkëndor, mund të pohojmë se dhe, dhe duke ndërtuar, gjatësinë OAështë e barabartë me gjatësinë e vektorit, pra, .

Kështu, formula për gjetjen e gjatësisë së një vektori në koordinatat e saj në rrafsh ka formën .

Nëse vektori paraqitet si zbërthim në vektorët koordinativ , atëherë gjatësia e tij llogaritet me të njëjtën formulë , pasi në këtë rast koeficientët dhe janë koordinatat e vektorit në sistemin e dhënë koordinativ.

Konsideroni një shembull.

Shembull.

Gjeni gjatësinë e vektorit të dhënë në koordinatat karteziane.

Zgjidhje.

Aplikoni menjëherë formulën për të gjetur gjatësinë e vektorit sipas koordinatave :

Përgjigje:

Tani marrim një formulë për gjetjen e gjatësisë së një vektori nga koordinatat e tij në një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz në hapësirë.

Lëre mënjanë vektorin nga origjina dhe shëno projeksionet e pikës A në akset koordinative si dhe . Më pas mund të ndërtojmë në anët dhe një paralelipiped drejtkëndor në të cilin OA do të jetë një diagonale.

Në këtë rast (sepse OAështë diagonalja e një paralelepipedi drejtkëndor), prej nga . Përcaktimi i koordinatave të vektorit na lejon të shkruajmë barazitë , dhe gjatësinë OAështë e barabartë me gjatësinë e dëshiruar të vektorit, prandaj, .

Kështu, gjatësi vektoriale në hapësirë është e barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të koordinatave të saj, domethënë, gjendet me formulë .

Shembull.

Llogaritni gjatësinë e vektorit , ku janë ortet e sistemit të koordinatave drejtkëndëshe.

Zgjidhje.

Na jepet zgjerimi i një vektori për sa i përket vektorëve koordinativ të formës , prandaj, . Pastaj, sipas formulës për gjetjen e gjatësisë së një vektori me koordinata, kemi .

Në abshisë dhe akset ordinate quhen koordinatat vektoriale. Koordinatat e vektorit zakonisht tregohen në formë (x, y), dhe vetë vektori si: = (x, y).

Formula për përcaktimin e koordinatave të një vektori për problemet dydimensionale.

Në rastin e një problemi dydimensional, një vektor me të njohur koordinatat e pikave A(x 1; y 1) Dhe B(x 2 ; y 2 ) mund të llogaritet:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula për përcaktimin e koordinatave të një vektori për problemet hapësinore.

Në rastin e një problemi hapësinor, një vektor me të njohur koordinatat e pikave A (x 1; y 1;z 1 ) dhe B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) mund të llogaritet duke përdorur formulën:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinatat japin një përshkrim gjithëpërfshirës të vektorit, pasi është e mundur të ndërtohet vetë vektori nga koordinatat. Duke ditur koordinatat, është e lehtë të llogaritet dhe gjatësi vektoriale. (Prona 3 më poshtë).

Vetitë e koordinatave të vektorit.

1. Çdo vektorë të barabartë në një sistem të vetëm koordinativ kanë koordinata të barabarta.

2. Koordinatat vektorët kolinearë proporcionale. Me kusht që asnjë nga vektorët të mos jetë i barabartë me zero.

3. Katrori i gjatësisë së çdo vektori është i barabartë me shumën e katrorëve të tij koordinatat.

4.Kur operacioni shumëzimet vektoriale në numër real secila nga koordinatat e saj shumëzohet me këtë numër.

5. Gjatë veprimit të mbledhjes së vektorit llogarisim shumën e përkatësisë koordinatat vektoriale.

6. Produkt skalar e dy vektorëve është e barabartë me shumën e prodhimeve të koordinatave të tyre përkatëse.

Gjatësia e vektorit a → do të shënohet me një → . Ky shënim është i ngjashëm me modulin e një numri, kështu që gjatësia e një vektori quhet edhe moduli i një vektori.

Për të gjetur gjatësinë e një vektori në plan sipas koordinatave të tij, kërkohet të merret parasysh një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor O x y . Le të përmbajë disa vektorë a → me koordinata a x; një y. Prezantojmë një formulë për gjetjen e gjatësisë (modulit) të vektorit a → në terma të koordinatave a x dhe a y .

Lini mënjanë vektorin O A → = a → nga origjina. Le të përcaktojmë projeksionet përkatëse të pikës A në boshtet koordinative si A x dhe A y . Tani merrni parasysh një drejtkëndësh O A x A A y me diagonale O A .

Nga teorema e Pitagorës rrjedh barazia O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , prej nga O A = O A x 2 + O A y 2 . Nga përkufizimi i njohur tashmë i koordinatave të një vektori në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor, marrim se O A x 2 = a x 2 dhe O A y 2 = a y 2, dhe nga ndërtimi, gjatësia e O A është e barabartë me gjatësinë e vektori O A → , pra, O A → = O A x 2 + O A y 2.

Prandaj rezulton se formula për gjetjen e gjatësisë së një vektori a → = a x; a y ka formën përkatëse: a → = a x 2 + a y 2 .

Nëse vektori a → jepet si zgjerim në vektorët koordinativ a → = a x i → + a y j → , atëherë gjatësia e tij mund të llogaritet duke përdorur të njëjtën formulë a → = a x 2 + a y 2 , në këtë rast koeficientët a x dhe a y janë si koordinatat e vektorit a → në sistemin e dhënë të koordinatave.

Shembulli 1

Llogaritni gjatësinë e vektorit a → = 7 ; e , dhënë në një sistem koordinativ drejtkëndor.

Zgjidhje

Për të gjetur gjatësinë e një vektori, do të përdorim formulën për gjetjen e gjatësisë së një vektori me koordinatat a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Përgjigje: a → = 49 + e .

Formula për gjetjen e gjatësisë së një vektori a → = a x; a y; a z nga koordinatat e tij në sistemin koordinativ kartezian Oxyz në hapësirë, rrjedh në mënyrë të ngjashme me formulën për rastin në aeroplan (shih figurën më poshtë)

Në këtë rast, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (pasi OA është diagonalja e një paralelepipedi drejtkëndor), prandaj O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Nga përkufizimi i koordinatave të vektorit, mund të shkruajmë barazitë e mëposhtme O A x = a x; O A y = a y; O A z = a z; , dhe gjatësia e OA është e barabartë me gjatësinë e vektorit që kërkojmë, prandaj, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Nga kjo rrjedh se gjatësia e vektorit a → = a x; a y; a z është e barabartë me a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Shembulli 2

Njehsoni gjatësinë e vektorit a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , ku i → , j → , k → janë vektorët njësi të sistemit të koordinatave drejtkëndëshe.

Zgjidhje

Jepet zbërthimi i një vektori a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → , koordinatat e tij janë a → = 4 , - 3 , 5 . Duke përdorur formulën e mësipërme, marrim një → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Përgjigje: a → = 5 2 .

Gjatësia e një vektori për sa i përket koordinatave të pikave të tij fillestare dhe fundore

Më sipër, janë nxjerrë formula që ju lejojnë të gjeni gjatësinë e një vektori sipas koordinatave të tij. Ne kemi shqyrtuar raste në aeroplan dhe në hapësirën tredimensionale. Le t'i përdorim ato për të gjetur koordinatat e vektorit sipas koordinatave të pikave të fillimit dhe mbarimit të tij.

Pra, pikat e dhëna me koordinatat e dhëna A (a x; a y) dhe B (b x; b y), prandaj vektori A B → ka koordinata (b x - a x; b y - a y), që do të thotë se gjatësia e tij mund të përcaktohet me formulën: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Dhe nëse pikat janë dhënë me koordinatat e dhëna A (a x; a y; a z) dhe B (b x; b y; b z) në hapësirën tredimensionale, atëherë gjatësia e vektorit A B → mund të llogaritet me formulën

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Shembulli 3

Gjeni gjatësinë e vektorit A B → nëse në një sistem koordinativ drejtkëndor A 1 , 3 , B - 3 , 1 .

Zgjidhje

Duke përdorur formulën për gjetjen e gjatësisë së vektorit nga koordinatat e pikave fillestare dhe fundore në plan, marrim A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Zgjidhja e dytë nënkupton zbatimin e këtyre formulave me radhë: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Përgjigje: A B → = 20 - 2 3 .

Shembulli 4

Përcaktoni për cilat vlera gjatësia e vektorit A B → është e barabartë me 30 nëse A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Zgjidhje

Së pari, le të shkruajmë gjatësinë e vektorit A B → sipas formulës: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Pastaj e barazojmë shprehjen që rezulton me 30, nga këtu gjejmë λ e dëshiruar:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 dhe l dhe λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Përgjigje: λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0.

Gjetja e gjatësisë së një vektori duke përdorur ligjin e kosinusit

Mjerisht, koordinatat e një vektori nuk njihen gjithmonë në detyra, kështu që le të shqyrtojmë mënyra të tjera për të gjetur gjatësinë e një vektori.

Le të jepen gjatësitë e dy vektorëve A B → , A C → dhe këndi ndërmjet tyre (ose kosinusi i këndit) dhe kërkohet të gjendet gjatësia e vektorit B C → ose C B → . Në këtë rast, duhet të përdorni teoremën e kosinusit në trekëndëshin △ A B C , të llogarisni gjatësinë e brinjës B C , e cila është e barabartë me gjatësinë e dëshiruar të vektorit.

Le të shqyrtojmë një rast të tillë në shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 5

Gjatësitë e vektorëve A B → dhe A C → janë përkatësisht të barabarta me 3 dhe 7, dhe këndi ndërmjet tyre është i barabartë me π 3 . Njehsoni gjatësinë e vektorit B C → .

Zgjidhje

Gjatësia e vektorit B C → në këtë rast është e barabartë me gjatësinë e brinjës B C të trekëndëshit △ A B C . Gjatësitë e brinjëve A B dhe A C të trekëndëshit njihen nga kushti (janë të barabartë me gjatësitë e vektorëve përkatës), dihet edhe këndi ndërmjet tyre, kështu që mund të përdorim teoremën e kosinusit: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Kështu, B C → = 37 .

Përgjigje: B C → = 37 .

Pra, për të gjetur gjatësinë e një vektori sipas koordinatave, ekzistojnë formulat e mëposhtme a → = a x 2 + a y 2 ose a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, sipas koordinatave të pikave të fillimit dhe të fundit. i vektorit A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ose A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, në disa raste teorema e kosinusit duhet të përdoret.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

6.4. Disa aplikime të produktit me pika

11. Shprehja e prodhimit skalar të një vektori në terma të koordinatave të faktorëve. Teorema.

12. Gjatësia e vektorit, gjatësia e një segmenti, këndi ndërmjet vektorëve, kushti i pingulitetit të vektorëve.

13. Prodhimi vektorial i vektorëve, vetitë e tij. Sipërfaqja e një paralelogrami.

14. Produkti i përzier i vektorëve, vetitë e tij. Kushti i krahasueshmërisë së vektorit. Vëllimi i paralelopipedit. Vëllimi i piramidës.

15. Metodat për vendosjen e një vije të drejtë në një plan.

16. Ekuacioni normal i drejtëzës në rrafsh (derivimi). Kuptimi gjeometrik i koeficientëve.

17. Ekuacioni i drejtëzës në rrafsh në segmente (përfundim).

Reduktimi i ekuacionit të përgjithshëm të rrafshit në ekuacionin e rrafshit në segmente.

18. Ekuacioni i drejtëzës në rrafsh me pjerrësi (dalje).

19. Ekuacioni i drejtëzës në një rrafsh që kalon nga dy pika (përfundim).

20. Këndi ndërmjet drejtëzave në rrafsh (përfundim).

21. Largësia nga një pikë në një vijë të drejtë në një plan (dalje).

22. Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të drejtëzave në rrafsh (përfundim).

23. Ekuacioni i rrafshit. Ekuacioni normal i rrafshit (derivimi). Kuptimi gjeometrik i koeficientëve.

24. Ekuacioni i rrafshit në segmente (përfundim).

25. Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tri pika (dalje).

26. Këndi ndërmjet planeve (dalja).

27. Largësia nga një pikë në një plan (dalje).

28. Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të rrafsheve (përfundim).

29. Ekuacionet e drejtëzës në r3. Ekuacionet e një drejtëze që kalon nëpër dy pika fikse (derivimi).

30. Ekuacionet kanonike të drejtëzës në hapësirë (derivimi).

Përpilimi i ekuacioneve kanonike të një vije të drejtë në hapësirë.

Raste të veçanta të ekuacioneve kanonike të një vije të drejtë në hapësirë.

Ekuacionet kanonike të një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në hapësirë.

Kalimi nga ekuacionet kanonike të vijës së drejtë në hapësirë në llojet e tjera të ekuacioneve të drejtëzës.

31. Këndi ndërmjet vijave të drejta (dalja).

32. Largësia nga një pikë në një vijë të drejtë në një plan (dalje).

Distanca nga një pikë në një vijë të drejtë në një plan - teori, shembuj, zgjidhje.

Mënyra e parë për të gjetur distancën nga një pikë e caktuar në një vijë të drejtë të caktuar në një plan.

Metoda e dytë, e cila ju lejon të gjeni distancën nga një pikë e caktuar në një vijë të caktuar në aeroplan.

Zgjidhja e problemeve për gjetjen e distancës nga një pikë e caktuar në një drejtëz të caktuar në një plan.

Distanca nga një pikë në një vijë të drejtë në hapësirë - teori, shembuj, zgjidhje.

Mënyra e parë për të gjetur distancën nga një pikë në një vijë në hapësirë.

Metoda e dytë, e cila ju lejon të gjeni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë në hapësirë.

33. Kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të drejtëzave në hapësirë.

34. Rregullimi i ndërsjellë i drejtëzave në hapësirë dhe drejtëza me rrafsh.

35. Ekuacioni klasik i një elipse (derivimi) dhe ndërtimi i saj. Ekuacioni kanonik i një elipse ka formën, ku janë numrat realë pozitivë, për më tepër.Si të ndërtohet një elipsë?

36. Ekuacioni klasik i hiperbolës (derivimi) dhe ndërtimi i saj. Asimptota.

37. Ekuacioni kanonik i një parabole (derivimi) dhe ndërtimi.

38. Funksioni. Përkufizimet bazë. Grafikët e funksioneve themelore elementare.

39. Sekuencat e numrave. Kufiri i sekuencës numerike.

40. Sasi pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha. Teorema për lidhjen ndërmjet tyre, vetitë.

41. Teorema mbi veprimet mbi ndryshoret që kanë kufij të fundëm.

42. Numri e.

përmbajtja

Metodat për përcaktimin

Vetitë

Histori

Përafrimet

43. Përcaktimi i kufirit të një funksioni. Zbulimi i pasigurive.

44. Kufij të shquar, përfundimi i tyre. Madhësi të pafundme ekuivalente.

përmbajtja

Kufiri i parë i mrekullueshëm

Kufiri i dytë i mrekullueshëm

45. Kufijtë e njëanshëm. Vazhdimësia dhe ndërprerjet e funksionit. Kufijtë e njëanshëm

Kufijtë majtas dhe djathtas të një funksioni

Pika e ndërprerjes së llojit të parë

Pika e ndërprerjes së llojit të dytë

Pika e thyerjes

46. Përkufizimi i një derivati. Kuptimi gjeometrik, kuptimi mekanik i derivatit. Ekuacionet tangjente dhe normale për një kurbë dhe një pikë.

47. Teorema mbi derivatin e funksioneve të anasjellta, komplekse.

48. Derivatet e funksioneve më të thjeshta elementare.

49. Diferencimi i funksioneve parametrike, implicite dhe eksponenciale.

21. Diferencimi i funksioneve implicite dhe parametrikisht të përcaktuara

21.1. Funksioni i nënkuptuar

21.2. Funksioni i përcaktuar parametrikisht

50. Derivatet e urdhrave më të lartë. formula e Taylor.

51. Diferencial. Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta.

52. Teoremat e Rolle, Lagranzhit, Cauchy. Rregulli i L'Hopital.

53. Teorema mbi kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për monotoninë e një funksioni.

54. Përcaktimi i maksimumit, minimumit të një funksioni. Teorema mbi kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekzistencën e një ekstremi të një funksioni.

Teorema (kushti i domosdoshëm ekstrem)

55. Konveksiteti dhe konkaviteti i kthesave. Pikat e lakimit. Teorema mbi kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për ekzistimin e pikave të lakimit.

Dëshmi

57. Përcaktorët e rendit të n-të, vetitë e tyre.

58. Matricat dhe veprimet mbi to. Rangu i matricës.

Përkufizimi

Përkufizime të ngjashme

Vetitë

Transformimi linear dhe rangu i matricës

59. Matrica e anasjelltë. Teorema mbi ekzistencën e një matrice të anasjelltë.

60. Sistemet e ekuacioneve lineare. Zgjidhja matricore e sistemeve të ekuacioneve lineare. Rregulli i Kramerit. Metoda e Gausit. Teorema Kronecker-Capelli.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare, metodat e zgjidhjes, shembuj.

Përkufizime, koncepte, emërtime.

Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e Cramer-it.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare me metodën e matricës (duke përdorur matricën e kundërt).

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e Gausit.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Teorema Kronecker-Capelli.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Regjistrimi i zgjidhjes së përgjithshme të sistemeve algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve të reduktimit në llucë.

Shembuj të problemeve që reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare.

12. Gjatësia e vektorit, gjatësia e një segmenti, këndi ndërmjet vektorëve, kushti i pingulitetit të vektorëve.

vektor - është një segment i drejtuar që lidh dy pika në hapësirë ose në një rrafsh. Vektorët zakonisht shënohen ose me shkronja të vogla ose me pika fillimi dhe mbarimi. Më sipër është zakonisht një vizë.

Për shembull, një vektor i drejtuar nga një pikë A drejt e në temë B, mund të shënohet a ,

Vektor zero 0 ose 0 - është një vektor, pikat e fillimit dhe të fundit të të cilit janë të njëjta, d.m.th. A = B. Nga këtu, 0 = – 0 .

Gjatësia (moduli) i vektorita është gjatësia e segmentit që e përfaqëson atë AB, e shënuar me |a | . Në veçanti, | | 0 | = 0.

Vektorët quhen kolineare nëse segmentet e tyre të drejtuara shtrihen në drejtëza paralele. Vektorët kolinearë a Dhe b janë caktuar a || b .

Tre ose më shumë vektorë quhen koplanare nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Mbledhja e vektorëve. Meqenëse vektorët janë drejtuar segmente, atëherë mund të kryhet shtimi i tyre gjeometrikisht. (Shtoja algjebrike e vektorëve është përshkruar më poshtë, në paragrafin "Vektorët ortogonalë njësi"). Le të pretendojmë se

a = AB dhe b = CD,

atëherë vektori __ __

a + b = AB+ CD

është rezultat i dy operacioneve:

a)transferim paralel një nga vektorët në mënyrë që pika e tij e fillimit të përputhet me pikën e fundit të vektorit të dytë;

b)shtimi gjeometrik, d.m.th. duke ndërtuar vektorin që rezulton duke shkuar nga pika e fillimit të vektorit fiks në pikën fundore të vektorit të përkthyer.

Zbritja e vektorëve. Ky operacion reduktohet në atë të mëparshëm duke zëvendësuar vektorin e zbritur me atë të kundërt: a – b =a + (– b ) .

Ligjet e shtimit.

I. a + b = b + a (Ligji i vlefshëm).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Ligji i kombinuar).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Ligjet e shumëzimit të një vektori me një numër.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m(na ) = (m n)a . (Të kombinuara

ligji i shumëzimit).

IV. (m+n) a = ma +na , (Distributor

m(a + b ) = ma + mb . ligji i shumëzimit).

Produkt skalar i vektorëve. __ __

Këndi ndërmjet vektorëve jozero AB Dhe CDështë këndi i formuar nga vektorët gjatë transferimit të tyre paralel derisa pikat të rreshtohen A Dhe C. Prodhimi pikash i vektorëvea Dhe b quhet një numër i barabartë me prodhimi i gjatësisë së tyre me kosinusin e këndit ndërmjet tyre:

Nëse njëri prej vektorëve është zero, atëherë produkti i tyre skalar, në përputhje me përkufizimin, është zero:

(një, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Nëse të dy vektorët janë jo zero, atëherë kosinusi i këndit ndërmjet tyre llogaritet me formulën:

Produkt skalar ( a, a ) e barabartë me | a | 2 quhet katror skalar. Gjatësia e vektorit a dhe katrori i tij skalar lidhen me:

Produkti me pika i dy vektorëve:

- pozitivisht nëse këndi ndërmjet vektorëve pikante;

- negativ nëse këndi ndërmjet vektorëve topitur.

Produkti skalar i dy vektorëve jozero është zero atëherë dhe vetëm nëse këndi ndërmjet tyre është i drejtë, d.m.th. kur këta vektorë janë pingul (ortogonal):

Vetitë e produktit skalar. Për çdo vektor një, b, c dhe çdo numër m marrëdhëniet e mëposhtme janë të vlefshme:

I. (një, b ) = (b, a ) . (Ligji i vlefshëm)

II. (mnjë, b ) = m(një, b ) .

III.(a + b, c ) = (një, c ) + (b, c ). (Ligji shpërndarës)

Vektorë ortogonalë njësi. Në çdo sistem koordinativ drejtkëndor, mund të futni vektorë ortogonalë në çift njësii , j Dhe k lidhur me boshtet koordinative: i - me bosht X, j - me bosht Y Dhe k - me bosht Z. Sipas këtij përkufizimi:

(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,

| i | =| j | =| k | = 1.

Çdo vektor a mund të shprehet në terma të këtyre vektorëve në një mënyrë unike: a = xi + yj+ zk . Një formë tjetër e të shkruarit: a = (x, y, z). Këtu x, y, z-koordinatat vektoriale a në këtë sistem koordinativ. Në përputhje me relacionin e fundit dhe vetitë e vektorëve ortogonalë njësi i, j , k produkti skalar i dy vektorëve mund të shprehet ndryshe.

Le a = (x, y, z); b = (u, v, w). Pastaj ( një, b ) = xi +yv +zw.

Prodhimi skalar i dy vektorëve është i barabartë me shumën e prodhimeve të koordinatave përkatëse.

Gjatësia (moduli) i vektorit a = (x, y, z ) është e barabartë me:

Përveç kësaj, ne tani jemi në gjendje algjebrike Veprimet në vektorë, përkatësisht, mbledhja dhe zbritja e vektorëve mund të kryhen me koordinata:

një + b= (x + u, y + v, z + w) ;

a – b= (x–ju, y– v, z–w) .

Prodhimi vektorial i vektorëve. arti vektor [a, b ] vektorëta Dheb (në atë rend) quhet vektor:

Ekziston një formulë tjetër për gjatësinë e vektorit [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | mëkat ( a, b ) ,

d.m.th. gjatësia ( modul ) prodhimi kryq i vektorëvea Dheb është e barabartë me prodhimin e gjatësive (moduleve) të këtyre vektorëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre. Me fjale te tjera: gjatësia (moduli) i vektorit[ a, b ] numerikisht e barabartë me sipërfaqen e paralelogramit të ndërtuar mbi vektorët a Dheb .