Gjeni zonën midis rreshtave në internet. Gjetja e sipërfaqes së figurës së kufizuar nga drejtëzat y=f(x), x=g(y). Gjatësia e harkut të një kurbë të sheshtë
Le të jetë funksioni jo negativ dhe i vazhdueshëm në intervalin . Pastaj, sipas kuptimit gjeometrik të një integrali të caktuar, zona e një trapezi lakor të kufizuar nga lart me grafikun e këtij funksioni, nga poshtë me boshtin, nga e majta dhe djathtas me vija të drejta dhe (shih Fig. 2 ) llogaritet me formulë
Shembulli 9 Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga një vijë 
dhe boshti.
Zgjidhje. Grafiku i funksionit 
është një parabolë, degët e së cilës drejtohen nga poshtë. Le ta ndërtojmë (Fig. 3). Për të përcaktuar kufijtë e integrimit, gjejmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës (parabolës) me boshtin (vijë e drejtë). Për ta bërë këtë, ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve
Ne marrim: 
, ku , ; Rrjedhimisht, , .
Oriz. 3
Sipërfaqja e figurës gjendet me formulën (5):
Nëse funksioni është jopozitiv dhe i vazhdueshëm në segment, atëherë zona e trapezit kurvilinear, e kufizuar nga poshtë me grafikun e këtij funksioni, nga lart me boshtin, nga e majta dhe nga e djathta me vija të drejta dhe, llogaritur me formulë
. (6)
Nëse funksioni është i vazhdueshëm në një segment dhe ndryshon shenjën në një numër të fundëm pikash, atëherë sipërfaqja e figurës së hijezuar (Fig. 4) është e barabartë me shumën algjebrike të integraleve të përcaktuara përkatëse:
Oriz. katër
Shembulli 10 Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga boshti dhe grafiku i funksionit për .
Oriz. 5
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 5). Zona e dëshiruar është shuma e sipërfaqeve dhe . Le të gjejmë secilën nga këto zona. Së pari, ne përcaktojmë kufijtë e integrimit duke zgjidhur sistemin 
Ne marrim,. Rrjedhimisht:
;
.
Kështu, zona e figurës së hijezuar është
(njësi katrore).
Oriz. 6
Më në fund, le të kufizohet trapezi lakor nga lart dhe poshtë nga grafikët e funksioneve të vazhdueshme në segmentin dhe ,
dhe në të majtë dhe të djathtë - drejt dhe (Fig. 6). Pastaj sipërfaqja e saj llogaritet me formulë
. (8)
Shembulli 11. Gjeni sipërfaqen e figurës të mbyllur nga vijat dhe .
Zgjidhje. Kjo shifër është paraqitur në Fig. 7. Ne llogarisim sipërfaqen e saj duke përdorur formulën (8). Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve, gjejmë, ; Rrjedhimisht, , . Mbi segmentin kemi: . Prandaj, në formulën (8) marrim si x, dhe si - . Ne marrim:
(njësi katrore).
Problemet më komplekse të llogaritjes së sipërfaqeve zgjidhen duke e ndarë figurën në pjesë jo të kryqëzuara dhe duke llogaritur sipërfaqen e të gjithë figurës si shuma e sipërfaqeve të këtyre pjesëve.
Oriz. 7
Shembulli 12. Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat , , .
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 8). Kjo figurë mund të konsiderohet si një trapez lakor i kufizuar nga poshtë me boshtin , nga e majta dhe djathtas - me vija të drejta dhe , nga lart - me grafikët e funksioneve dhe . Meqenëse figura kufizohet nga lart me grafikët e dy funksioneve, për të llogaritur sipërfaqen e saj, e ndajmë këtë figurë të drejtë në dy pjesë (1 është abshisa e pikës së kryqëzimit të vijave dhe). Sipërfaqja e secilës prej këtyre pjesëve gjendet me formulën (4):
(njësi katrore); 
(njësi katrore). Rrjedhimisht:
(njësi katrore).
Oriz. tetë
|
Oriz. 9
Si përfundim, vërejmë se nëse një trapez lakor kufizohet me vija të drejta dhe , boshti dhe i vazhdueshëm në kurbë (Fig. 9), atëherë zona e tij gjendet me formulën
Vëllimi i një trupi revolucioni
Lëreni një trapez lakor të kufizuar nga një grafik i një funksioni të vazhdueshëm në një segment, një bosht, vija të drejta dhe të rrotullohet rreth boshtit (Fig. 10). Pastaj vëllimi i trupit që rezulton i rrotullimit llogaritet me formulën
. (9)
Shembulli 13 Llogaritni vëllimin e një trupi të përftuar duke rrotulluar rreth boshtit të një trapezi lakor të kufizuar nga hiperbola, vijat e drejta dhe boshti.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 11).
Nga gjendja e problemit rezulton se , . Me formulën (9) marrim
.
Oriz. dhjetë
Oriz. njëmbëdhjetë
Vëllimi i një trupi i marrë nga rrotullimi rreth një boshti OU trapezi lakor i kufizuar me vija të drejta y = c dhe y = d, boshti OU dhe një grafik i një funksioni të vazhdueshëm në një segment (Fig. 12), përcaktohet nga formula
. (10)
|
Oriz. 12
Shembulli 14. Llogaritni vëllimin e një trupi të marrë nga rrotullimi rreth një boshti OU trapezoid lakor i kufizuar me vija X 2 = 4në, y= 4, x = 0 (Fig. 13).
Zgjidhje. Në përputhje me gjendjen e problemit gjejmë kufijtë e integrimit: , . Me formulën (10) marrim:
Oriz. 13
Gjatësia e harkut të një kurbë të sheshtë
Lëreni kurbë dhënë nga ekuacioni, ku , shtrihet në rrafsh (Fig. 14).
Oriz. katërmbëdhjetë
Përkufizimi. Gjatësia e një harku kuptohet si kufiri në të cilin gjatësia e një polivije të gdhendur në këtë hark priret kur numri i lidhjeve të polivijës priret në pafundësi dhe gjatësia e lidhjes më të madhe tenton në zero.
Nëse funksioni dhe derivati i tij janë të vazhdueshëm në segment, atëherë gjatësia e harkut të lakores llogaritet me formulën
. (11)
Shembulli 15. Llogaritni gjatësinë e harkut të lakores së mbyllur ndërmjet pikave për të cilat 
.
Zgjidhje. Nga gjendja e problemit që kemi 
. Me formulën (11) marrim:
.
4. Integrale jo të duhura
me kufij të pafund integrimi
Gjatë prezantimit të konceptit të një integrali të caktuar, u supozua se plotësohen dy kushtet e mëposhtme:
a) kufijtë e integrimit a dhe janë të fundme;
b) integrandi është i kufizuar në segmentin .
Nëse të paktën një nga këto kushte nuk plotësohet, atëherë thirret integrali e pahijshme.
Le të shqyrtojmë së pari integrale të pahijshme me kufij të pafund integrimi.
Përkufizimi. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në intervalin, atëherë dhe pa kufi në të djathtë (Fig. 15).
Nëse integrali i papërshtatshëm konvergjon, atëherë kjo zonë është e fundme; nëse integrali i papërshtatshëm ndryshon, atëherë kjo zonë është e pafundme.
Oriz. pesëmbëdhjetë
Një integral i papërshtatshëm me një kufi të poshtëm të pafund të integrimit përcaktohet në mënyrë të ngjashme:
. (13)
Ky integral konvergon nëse kufiri në anën e djathtë të barazisë (13) ekziston dhe është i kufizuar; përndryshe integrali thuhet se është divergjent.
Një integral i papërshtatshëm me dy kufij të pafund të integrimit përcaktohet si më poshtë:
, (14)
ku c është çdo pikë e intervalit . Integrali konvergjon vetëm nëse të dy integralet konvergojnë në anën e djathtë të barazisë (14).
;G) 
= [zgjidhni katrorin e plotë në emërues: ] = 
[zëvendësim:
] = 
Prandaj, integrali i papërshtatshëm konvergon dhe vlera e tij është e barabartë me .
Futni funksionin për të cilin dëshironi të gjeni integralin
Llogaritësi ofron një zgjidhje TË DETAJSHME të integraleve të përcaktuara.
Ky kalkulator zgjidh integralin e caktuar të funksionit f(x) me kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të dhënë.
Shembuj
Me përdorimin e gradës
(katror dhe kub) dhe thyesa
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Rrenja katrore
Sqrt(x)/(x + 1)
rrënjë kubike
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Përdorimi i sinusit dhe kosinusit
2*sin(x)*cos(x)
Arksina
X*arcsin(x)
Kosinusi i harkut
x*arccos(x)
Zbatimi i logaritmit
X*log (x, 10)
Ekspozues
Tg(x)*sin(x)
Kotangjente
Ctg(x)*cos(x)
Thyesat irracionale
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Arktangjent
X*arctg(x)
Tangjent hark
X*arсctg(x)
Sinusi dhe kosinusi hiberbolik
2*sh(x)*ch(x)
Tangjente hiberbolike dhe kotangjente
ctgh(x)/tgh(x)
Arksina hiberbolike dhe arkozina
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Arktangjent hiberbolik dhe arkotangjent
X^2*arctgh(x)*arctgh(x)
Rregullat për futjen e shprehjeve dhe funksioneve
Shprehjet mund të përbëhen nga funksione (shënimet janë dhënë sipas rendit alfabetik): absolute (x) Vlere absolute x
(moduli x ose |x|)
arccos (x) Funksioni - kosinusi i harkut të x arccosh (x) Harku kosinus hiperbolik nga x hark (x) Arksina nga x hark (x) Arksina hiperbolike nga x arctg(x) Funksioni - tangjent hark nga x arctgh(x) Tangjentja e harkut është hiperbolike nga x e e një numër që është afërsisht i barabartë me 2.7 exp(x) Funksioni - eksponent nga x(që është e^x)
regjistri (x) ose regjistri (x) Logaritmi natyror i x
(Për të marrë log7(x), duhet të futni log(x)/log(7) (ose, për shembull, për log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numri është "Pi", i cili është afërsisht i barabartë me 3.14 mëkat (x) Funksioni - Sinus i x cos(x) Funksioni - Kosinusi i x sinh (x) Funksioni - Sinus hiperbolik i x para të gatshme (x) Funksioni - Kosinusi hiperbolik i x sqrt(x) Funksioni është rrënja katrore e x sqr(x) ose x^2 Funksioni - Sheshi x tg (x) Funksioni - Tangjent nga x tgh(x) Funksioni - Tangjentja hiperbolike e x cbrt (x) Funksioni është rrënja kubike e x
Ju mund të përdorni operacionet e mëposhtme në shprehje: Numrat realë futni në formular 7.5
, jo 7,5
2*x- shumëzimi 3/x- ndarje x^3- eksponencë x + 7- shtesë x - 6- zbritje
Karakteristika te tjera: kati (x) Funksioni - rrumbullakimi x poshtë (shembull kati (4.5)==4.0) tavani (x) Funksioni - rrumbullakimi x lart (shembull tavani (4.5)==5.0) shenja (x) Funksioni - Shenja x erf(x) Funksioni i gabimit (ose integrali i probabilitetit) laplace (x) Funksioni Laplace
Llogaritja e sipërfaqes së një figure Ky është ndoshta një nga problemet më të vështira në teorinë e zonës. Në gjeometrinë e shkollës, ata mësohen të gjejnë sipërfaqet e formave bazë gjeometrike si p.sh., trekëndëshi, rombi, drejtkëndëshi, trapezi, rrethi etj. Megjithatë, shpesh duhet të merret me llogaritjen e sipërfaqeve të figurave më komplekse. Pikërisht në zgjidhjen e problemeve të tilla është shumë i përshtatshëm përdorimi i llogaritjes integrale.
Përkufizimi.
Trapezoid lakor thirret një figurë G, e kufizuar nga drejtëzat y = f(x), y = 0, x = a dhe x = b, dhe funksioni f(x) është i vazhdueshëm në segmentin [a; b] dhe nuk e ndryshon shenjën në të (Fig. 1). Zona e një trapezi lakor mund të shënohet me S(G).
Integrali i caktuar ʃ a b f(x)dx për funksionin f(x), i cili është i vazhdueshëm dhe jo negativ në segmentin [a; b], dhe është zona e trapezoidit lakor përkatës.
Kjo do të thotë, për të gjetur sipërfaqen e figurës G, të kufizuar nga linjat y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a dhe x \u003d b, është e nevojshme të llogaritet integral i caktuar ʃ a b f (x) dx.
Në këtë mënyrë, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Nëse funksioni y = f(x) nuk është pozitiv në [a; b], atëherë zona e trapezit lakor mund të gjendet me formulën S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Shembulli 1
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Zgjidhje.
Vijat e dhëna formojnë figurën ABC, e cila tregohet duke u çelur oriz. 2.
Sipërfaqja e dëshiruar është e barabartë me diferencën midis zonave të trapezoidit lakor DACE dhe katrorit DABE.
Duke përdorur formulën S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), gjejmë kufijtë e integrimit. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim një sistem prej dy ekuacionesh:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Kështu, ne kemi x 1 \u003d 1 - kufiri i poshtëm dhe x \u003d 2 - kufiri i sipërm.
Pra, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (njësi katrore).
Përgjigje: 11/4 sq. njësive
Shembulli 2
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga rreshtat y \u003d √x; y = 2; x = 9.
Zgjidhje.
Vijat e dhëna formojnë figurën ABC, e cila kufizohet nga lart me grafikun e funksionit
y \u003d √x, dhe nga poshtë grafiku i funksionit y \u003d 2. Figura që rezulton tregohet duke u çelur në oriz. 3.
Zona e dëshiruar është e barabartë me S = ʃ a b (√x - 2). Le të gjejmë kufijtë e integrimit: b = 9, për të gjetur a, zgjidhim sistemin e dy ekuacioneve:
(y = √x,
(y = 2.
Kështu, kemi që x = 4 = a është kufiri i poshtëm.
Pra, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (njësi katrore).
Përgjigje: S = 2 2/3 sq. njësive
Shembulli 3
Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga linjat y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Zgjidhje.
Le të vizatojmë funksionin y \u003d x 3 - 4x për x ≥ 0. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 në х = ±2/√3 ≈ 1.1 janë pika kritike.
Nëse vizatojmë pikat kritike në boshtin real dhe vendosim shenjat e derivatit, marrim se funksioni zvogëlohet nga zero në 2/√3 dhe rritet nga 2/√3 në plus pafundësi. Atëherë x = 2/√3 është pika minimale, vlera minimale e funksionit y është min = -16/(3√3) ≈ -3.
Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të grafikut me boshtet e koordinatave:
nëse x \u003d 0, atëherë y \u003d 0, që do të thotë se A (0; 0) është pika e kryqëzimit me boshtin Oy;
nëse y \u003d 0, atëherë x 3 - 4x \u003d 0 ose x (x 2 - 4) \u003d 0, ose x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, nga ku x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (jo i përshtatshëm, sepse x ≥ 0).
Pikat A(0; 0) dhe B(2; 0) janë pikat e kryqëzimit të grafikut me boshtin Ox.
Vijat e dhëna formojnë figurën OAB, e cila tregohet duke u çelur oriz. katër.
Meqenëse funksioni y \u003d x 3 - 4x merr (0; 2) një vlerë negative, atëherë
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Kemi: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, nga ku S \u003d 4 metra katrorë. njësive
Përgjigje: S = 4 sq. njësive
Shembulli 4
Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, linjat e drejta x \u003d 0, y \u003d 0 dhe tangjentja me këtë parabolë në pikën me abshisën x 0 \u003d 2.
Zgjidhje.
Së pari, ne hartojmë ekuacionin e tangjentës me parabolën y \u003d 2x 2 - 2x + 1 në pikën me abshissa x₀ \u003d 2.
Meqenëse derivati y' = 4x - 2, atëherë për x 0 = 2 marrim k = y'(2) = 6.
Gjeni ordinatën e pikës së prekjes: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Prandaj, ekuacioni tangjent ka formën: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ose y \u003d 6x - 7.
Le të ndërtojmë një figurë të kufizuar me vija:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabolë. Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative: A(0; 1) - me boshtin Oy; me boshtin Ox - nuk ka pika kryqëzimi, sepse ekuacioni 2x 2 - 2x + 1 = 0 nuk ka zgjidhje (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, domethënë, kulmi i pikës së parabolës B ka koordinatat B (1/2; 1/2).
Pra, figura sipërfaqja e së cilës do të përcaktohet tregohet duke u çelur oriz. 5.
Ne kemi: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Gjeni koordinatat e pikës D nga kushti:
6x - 7 = 0, d.m.th. x \u003d 7/6, pastaj DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Ne gjejmë zonën e trekëndëshit DBC duke përdorur formulën S ADBC = 1/2 · DC · BC. Në këtë mënyrë,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 sq. njësive
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (njësi katrore).
Më në fund marrim: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (njësi katrore).
Përgjigje: S = 1 1/4 sq. njësive
Ne kemi shqyrtuar shembuj gjetja e sipërfaqeve të figurave të kufizuara me vija të dhëna. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni linja dhe grafikë funksionesh në një plan, të gjeni pikat e kryqëzimit të vijave, të aplikoni një formulë për të gjetur zonën, e cila nënkupton aftësinë dhe aftësitë për të llogaritur integrale të caktuara.
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
a)
Zgjidhje.
Momenti i parë dhe më i rëndësishëm i vendimit është ndërtimi i një vizatimi.
Le të bëjmë një vizatim:
Ekuacioni y=0 vendos boshtin x;
- x=-2 dhe x=1 - drejt, paralel me boshtin OU;
- y \u003d x 2 +2 - një parabolë degët e së cilës janë të drejtuara lart, me një kulm në pikën (0;2).
Koment. Për të ndërtuar një parabolë, mjafton të gjejmë pikat e kryqëzimit të saj me boshtet koordinative, d.m.th. duke vënë x=0 gjeni kryqëzimin me boshtin OU dhe vendosja e duhur ekuacioni kuadratik, gjeni kryqëzimin me boshtin Oh .
Kulmi i një parabole mund të gjendet duke përdorur formulat:
Mund të vizatoni vija dhe pikë për pikë.
Në intervalin [-2;1] grafiku i funksionit y=x 2 +2 e vendosur mbi bosht kau , kjo është arsyeja pse:
Përgjigje: S \u003d 9 njësi katrore
Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, "me sy" ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim - mirë, rreth 9 do të shtypen, duket të jetë e vërtetë. Është shumë e qartë se nëse do të kishim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë, padyshim, diku është bërë një gabim - 20 qeliza nuk përshtaten qartë në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja doli të jetë negative, atëherë detyra u zgjidh gjithashtu gabimisht.
Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi lakor nën bosht Oh?
b) Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y=-e x , x=1 dhe boshtet koordinative.
Zgjidhje.
Le të bëjmë një vizatim.
Nëse një trapez lakor plotësisht nën bosht Oh , atëherë zona e saj mund të gjendet me formulën:
Përgjigje: S=(e-1) njësi katrore" 1.72 njësi katrore
Kujdes! Mos i ngatërroni dy llojet e detyrave:
1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni vetëm një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.
2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo shqyrtuar.
Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur si në gjysmë-rrafshët e sipërm ashtu edhe në atë të poshtëm.
Me) Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Zgjidhje.
Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe drejtëzës.Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Mënyra e parë është analitike.
Ne zgjidhim ekuacionin:
Pra, kufiri i poshtëm i integrimit a=0 , kufiri i sipërm i integrimit b=3 .
|
Ndërtojmë vijat e dhëna: 1. Parabola - kulmi në pikën (1;1); kryqëzimi i akseve Oh - pikë (0;0) dhe (0;2). 2. Drejtëza - përgjysmuesja e këndeve të koordinatave 2 dhe 4. Dhe tani Kujdes! Nëse në segmentin [ a;b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë sipërfaqja e figurës përkatëse mund të gjendet me formulën: . Dhe nuk ka rëndësi se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por është e rëndësishme se cila tabelë është më e LARTË (në raport me një tabelë tjetër), dhe cila është MËPOSHT. Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga |
Është e mundur të ndërtohen linja pikë për pikë, ndërsa kufijtë e integrimit zbulohen sikur "vetë". Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve ende ndonjëherë duhet të përdoret nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i filetuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm).
Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë nga lart dhe një vijë e drejtë nga poshtë.
Në segmentin , sipas formulës përkatëse:
Përgjigje: S \u003d 4,5 njësi katrore
Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija.
Zgjidhje.
Gjejmë pikat e kryqëzimit të drejtëzave të dhëna. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim sistemin e ekuacioneve:
Për të gjetur abshisat e pikave të kryqëzimit të drejtëzave të dhëna, zgjidhim ekuacionin:
Ne gjejme: x 1 = -2, x 2 = 4.
Pra, këto drejtëza, të cilat janë një parabolë dhe një drejtëz, kryqëzohen në pika A(-2; 0), B(4; 6).
Këto rreshta formojnë një figurë të mbyllur, sipërfaqja e së cilës llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme:
Sipas formulës Njuton-Leibniz, gjejmë:
Gjeni zonën e një zone të kufizuar nga një elips.
Zgjidhje.
Nga ekuacioni i elipsit për kuadrantin I kemi . Nga këtu, sipas formulës, marrim
Le të aplikojmë zëvendësimin x = a mëkat t, dx = a cos t dt. Kufijtë e rinj të integrimit t = α dhe t = β përcaktohen nga ekuacionet 0 = a mëkat t, a = a mëkat t. Mund të vihet α = 0 dhe β = π /2.
Gjejmë një të katërtën e zonës së kërkuar
Nga këtu S = pab.
Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vijay = - x 2 + x + 4 dhey = - x + 1.
Zgjidhje.
Gjeni pikat e kryqëzimit të drejtëzave y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, duke barazuar ordinatat e rreshtave: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ose x 2 - 2x- 3 = 0. Gjeni rrënjët x 1 = -1, x 2 = 3 dhe ordinatat e tyre përkatëse y 1 = 2, y 2 = -2.
Duke përdorur formulën e sipërfaqes së figurës, marrim
Gjeni zonën e mbyllur nga parabolay = x 2 + 1 dhe direktx + y = 3.
Zgjidhje.
Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve
gjeni abshisat e pikave të kryqëzimit x 1 = -2 dhe x 2 = 1.
Duke supozuar y 2 = 3 - x dhe y 1 = x 2 + 1, bazuar në formulën që marrim
Llogaritni sipërfaqen që përmban lemniskati i Bernoullir 2 = a 2 cos 2 φ .
Zgjidhje.
Në sistemin e koordinatave polar, zona e figurës kufizohet nga harku i kurbës r = f(φ ) dhe dy rreze polare φ 1 = ʅ dhe φ 2 = ʆ , shprehet me integralin
Për shkak të simetrisë së kurbës, së pari përcaktojmë një të katërtën e zonës së dëshiruar
Prandaj, sipërfaqja e përgjithshme është S = a 2 .
Llogaritni gjatësinë e harkut të një astroidix 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .
Zgjidhje.
Ekuacionin e astroidit e shkruajmë në formë
(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .
Le të vendosim x 1/3 = a 1/3 kost t, y 1/3 = a 1/3 e mëkatit t.
Nga këtu marrim ekuacionet parametrike të astroidit
x = a cos 3 t, y = a mëkati 3 t, (*)
ku 0 ≤ t ≤ 2π .
Duke pasur parasysh simetrinë e kurbës (*), mjafton të gjejmë një të katërtën e gjatësisë së harkut L që korrespondon me ndryshimin e parametrit t nga 0 në π /2.
marrim
dx = -3a cos 2 t mëkat t dt, dy = 3a mëkat 2 t cos t dt.
Nga këtu gjejmë
Integrimi i shprehjes që rezulton në rangun nga 0 në π /2, marrim
Nga këtu L = 6a.
Gjeni zonën e kufizuar nga spiralja e Arkimeditr = aφ dhe dy vektorë me rreze që korrespondojnë me këndet polareφ 1 dheφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Zgjidhje.
Zona e kufizuar nga një kurbë r = f(φ ) llogaritet me formulën , ku α dhe β - kufijtë e ndryshimit të këndit polar.
Kështu, marrim
(*)
Nga (*) rrjedh se zona e kufizuar nga boshti polar dhe kthesa e parë e spirales së Arkimedit ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Në mënyrë të ngjashme, gjejmë zonën e kufizuar nga boshti polar dhe kthesa e dytë e spirales së Arkimedit ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Sipërfaqja e kërkuar është e barabartë me diferencën e këtyre zonave
Llogaritni vëllimin e një trupi të marrë nga rrotullimi rreth një boshtikau figura e kufizuar me parabolay = x 2 dhex = y 2 .
Zgjidhje.
Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve
dhe merrni x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, prej nga vijnë pikat e kryqëzimit të kthesave O(0; 0), B(njëmbëdhjetë). Siç shihet në figurë, vëllimi i dëshiruar i trupit të rrotullimit është i barabartë me diferencën midis dy vëllimeve të formuara nga rrotullimi rreth boshtit. kau trapezoide lakuar OCBA dhe ODBA:
Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga boshtikau dhe sinusoidy = mëkatx në segmente: a); b) .
Zgjidhje.
a) Në segment, funksioni sin x ruan shenjën, dhe për këtë arsye me formulën , duke supozuar y= mëkat x, ne gjejme
b) Në segmentin , funksioni sin x ndryshon shenjën. Për zgjidhjen e saktë të problemit, është e nevojshme të ndahet segmenti në dy dhe [ π , 2π ], në secilën prej të cilave funksioni ruan shenjën e tij.
Sipas rregullit të shenjave, në segmentin [ π , 2π Zona ] merret me shenjën minus.
Si rezultat, zona e dëshiruar është e barabartë me
Përcaktoni vëllimin e trupit të kufizuar nga sipërfaqja e përftuar nga rrotullimi i elipsësrreth boshtit kryesora .
Zgjidhje.
Duke qenë se elipsa është simetrike në lidhje me boshtet e koordinatave, mjafton të gjejmë vëllimin e formuar nga rrotullimi rreth boshtit. kau zonë OAB, e barabartë me një të katërtën e sipërfaqes së elipsës dhe dyfishoni rezultatin.
Le të shënojmë vëllimin e trupit të revolucionit përmes V x; atëherë, bazuar në formulën, kemi , ku 0 dhe a- abshisa pikash B dhe A. Nga ekuacioni i elipsës gjejmë . Nga këtu
Kështu, vëllimi i kërkuar është i barabartë me . (Kur elipsa rrotullohet rreth boshtit të vogël b, vëllimi i trupit është )
Gjeni zonën e kufizuar me parabolay 2 = 2 px dhex 2 = 2 py .
Zgjidhje.
Së pari, gjejmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të parabolave për të përcaktuar intervalin e integrimit. Duke transformuar ekuacionet origjinale, marrim dhe . Duke barazuar këto vlera, marrim ose x 4 - 8fq 3 x = 0.
x 4 - 8fq 3 x = x(x 3 - 8fq 3) = x(x - 2fq)(x 2 + 2px + 4fq 2) = 0.
Gjejmë rrënjët e ekuacioneve:
Duke pasur parasysh faktin se pika A kryqëzimi i parabolave është në tremujorin e parë, pastaj kufijtë e integrimit x= 0 dhe x = 2fq.
Zona e dëshiruar gjendet nga formula
