vepra artizanale

Teorema e Vietës për ekuacionet kuadratike dhe të tjera. Teorema e Viet-it, formula e anasjelltë e viet-it dhe shembuj me zgjidhje për dummies Teorema e eliminimit të Vietës

Çdo ekuacion i plotë kuadratik ax2 + bx + c = 0 mund të sillen në mendje x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, nëse fillimisht pjesëtojmë çdo term me koeficientin a përpara x2. Dhe nëse prezantojmë shënimin e ri (b/a) = p dhe (c/a) = q, atëherë do të kemi ekuacionin x 2 + px + q = 0, që në matematikë quhet ekuacioni kuadratik i reduktuar.

Rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar dhe koeficientët fq dhe q të ndërlidhura. Është konfirmuar Teorema e Vietës, i quajtur sipas matematikanit francez Francois Vieta, i cili jetoi në fund të shekullit të 16-të.

Teorema. Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + px + q = 0 e barabartë me koeficientin e dytë fq, marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve - në termin e lirë q.

Ne i shkruajmë këto raporte në formën e mëposhtme:

Le x 1 dhe x2 rrënjë të ndryshme të ekuacionit të reduktuar x 2 + px + q = 0. Sipas teoremës së Vietës x1 + x2 = -p dhe x 1 x 2 = q.

Për ta vërtetuar këtë, le të zëvendësojmë secilën prej rrënjëve x 1 dhe x 2 në ekuacion. Ne marrim dy barazi të vërteta:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Zbrisni të dytën nga barazia e parë. Ne marrim:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Dy termat e parë i zgjerojmë sipas formulës së ndryshimit të katrorëve:

(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0

Sipas kushteve, rrënjët x 1 dhe x 2 janë të ndryshme. Prandaj, mund ta zvogëlojmë barazinë me (x 1 - x 2) ≠ 0 dhe të shprehim p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Barazia e parë vërtetohet.

Për të vërtetuar barazinë e dytë, ne e zëvendësojmë me ekuacionin e parë

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 në vend të koeficientit p, numri i tij i barabartë është (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Duke transformuar anën e majtë të ekuacionit, marrim:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, që duhej vërtetuar.

Teorema e Vieta është e mirë sepse, edhe pa i ditur rrënjët e ekuacionit kuadratik, ne mund të llogarisim shumën dhe prodhimin e tyre .

Teorema e Vietës ndihmon në përcaktimin e rrënjëve të plota të ekuacionit të dhënë kuadratik. Por për shumë studentë, kjo shkakton vështirësi për faktin se ata nuk njohin një algoritëm të qartë veprimi, veçanërisht nëse rrënjët e ekuacionit kanë shenja të ndryshme.

Pra, ekuacioni i dhënë kuadratik ka formën x 2 + px + q \u003d 0, ku x 1 dhe x 2 janë rrënjët e tij. Sipas teoremës Vieta x 1 + x 2 = -p dhe x 1 x 2 = q.

Mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm.

Nëse në ekuacion termit të fundit i paraprin një shenjë minus, atëherë rrënjët x 1 dhe x 2 kanë shenja të ndryshme. Përveç kësaj, shenja e rrënjës më të vogël është e njëjtë me shenjën e koeficientit të dytë në ekuacion.

Bazuar në faktin se kur mblidhni numra me shenja të ndryshme, modulet e tyre zbriten dhe shenja e numrit më të madh në modul vendoset para rezultatit, duhet të veproni si më poshtë:

të përcaktojë faktorë të tillë të numrit q në mënyrë që diferenca e tyre të jetë e barabartë me numrin p;
vendos shenjën e koeficientit të dytë të ekuacionit përpara më të voglit nga numrat e fituar; rrënja e dytë do të ketë shenjën e kundërt.

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin x 2 - 2x - 15 = 0.

Zgjidhje.

Le të përpiqemi ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur rregullat e propozuara më sipër. Atëherë mund të themi me siguri se ky ekuacion do të ketë dy rrënjë të ndryshme, sepse D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Tani, nga të gjithë faktorët e numrit 15 (1 dhe 15, 3 dhe 5), zgjedhim ata, ndryshimi i të cilëve është i barabartë me 2. Këta do të jenë numrat 3 dhe 5. Vendosim një shenjë minus përpara numrit më të vogël. , d.m.th. shenja e koeficientit të dytë të ekuacionit. Kështu, marrim rrënjët e ekuacionit x 1 \u003d -3 dhe x 2 \u003d 5.

Përgjigju. x 1 = -3 dhe x 2 = 5.

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin x 2 + 5x - 6 = 0.

Zgjidhje.

Le të kontrollojmë nëse ky ekuacion ka rrënjë. Për ta bërë këtë, gjejmë diskriminuesin:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme.

Faktorët e mundshëm të numrit 6 janë 2 dhe 3, 6 dhe 1. Ndryshimi është 5 për një çift 6 dhe 1. Në këtë shembull, koeficienti i termit të dytë ka një shenjë plus, kështu që numri më i vogël do të ketë e njëjta shenjë. Por para numrit të dytë do të ketë një shenjë minus.

Përgjigje: x 1 = -6 dhe x 2 = 1.

Teorema e Vietës mund të shkruhet edhe për një ekuacion të plotë kuadratik. Pra, nëse ekuacioni kuadratik ax2 + bx + c = 0 ka rrënjë x 1 dhe x 2 , atëherë ato plotësojnë barazitë

x 1 + x 2 = -(b/a) dhe x 1 x 2 = (c/a). Megjithatë, zbatimi i kësaj teoreme në ekuacionin e plotë kuadratik është mjaft problematik, pasi nëse ka rrënjë, të paktën njëra prej tyre është numër thyesor. Dhe puna me përzgjedhjen e fraksioneve është mjaft e vështirë. Por ende ka një rrugëdalje.

Shqyrtoni ekuacionin e plotë kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Shumëzoni anën e majtë dhe të djathtë të tij me koeficientin a. Ekuacioni do të marrë formën (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Tani le të prezantojmë një ndryshore të re, për shembull t = ax.

Në këtë rast, ekuacioni që rezulton do të kthehet në një ekuacion kuadratik të reduktuar të formës t 2 + bt + ac = 0, rrënjët e të cilit t 1 dhe t 2 (nëse ka) mund të përcaktohen nga teorema Vieta.

Në këtë rast, rrënjët e ekuacionit kuadratik origjinal do të jenë

x 1 = (t 1 / a) dhe x 2 = (t 2 / a).

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Zgjidhje.

Ne bëjmë një ekuacion ndihmës. Le të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Bëjmë ndryshimin t = 15x. Ne kemi:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Sipas teoremës Vieta, rrënjët e këtij ekuacioni do të jenë t 1 = 5 dhe t 2 = 6.

Ne kthehemi në zëvendësimin t = 15x:

5 = 15x ose 6 = 15x. Kështu x 1 = 5/15 dhe x 2 = 6/15. Zvogëlojmë dhe marrim përgjigjen përfundimtare: x 1 = 1/3 dhe x 2 = 2/5.

Përgjigju. x 1 = 1/3 dhe x 2 = 2/5.

Për të zotëruar zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën Vieta, nxënësit duhet të praktikojnë sa më shumë që të jetë e mundur. Ky është pikërisht sekreti i suksesit.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Teorema e Vietës (më saktë, teorema e kundërt me teoremën e Vietës) na lejon të zvogëlojmë kohën për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Thjesht duhet të dini se si ta përdorni. Si të mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës? Është e lehtë nëse mendoni pak.

Tani do të flasim vetëm për zgjidhjen e ekuacionit kuadratik të reduktuar duke përdorur teoremën Vieta.Ekuacioni i reduktuar kuadratik është një ekuacion në të cilin a, pra koeficienti përballë x², është i barabartë me një. Ekuacionet kuadratike jo të dhëna mund të zgjidhen gjithashtu duke përdorur teoremën Vieta, por tashmë të paktën një nga rrënjët nuk është një numër i plotë. Ata janë më të vështirë të hamendësohen.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës thotë: nëse numrat x1 dhe x2 janë të tillë që

atëherë x1 dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik

Kur zgjidhet një ekuacion kuadratik duke përdorur teoremën Vieta, janë të mundshme vetëm 4 opsione. Nëse e mbani mend rrjedhën e arsyetimit, mund të mësoni të gjeni rrënjë të tëra shumë shpejt.

I. Nëse q është një numër pozitiv,

kjo do të thotë se rrënjët x1 dhe x2 janë numra me të njëjtën shenjë (sepse vetëm kur shumëzohen numrat me shenja të njëjta, fitohet një numër pozitiv).

I.a. Nëse -p është një numër pozitiv, (përkatësisht, f<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Nëse -p është një numër negativ, (përkatësisht, p>0), atëherë të dy rrënjët janë numra negativë (kanë shtuar numra të së njëjtës shenjë, kanë marrë një numër negativ).

II. Nëse q është një numër negativ,

kjo do të thotë se rrënjët x1 dhe x2 kanë shenja të ndryshme (kur shumëzohen numrat, një numër negativ fitohet vetëm kur shenjat e faktorëve janë të ndryshëm). Në këtë rast, x1 + x2 nuk është më një shumë, por një ndryshim (në fund të fundit, kur mbledhim numra me shenja të ndryshme, ne zbresim më të voglin nga moduli më i madh). Prandaj, x1 + x2 tregon se sa ndryshojnë rrënjët x1 dhe x2, domethënë sa më shumë është njëra rrënjë se tjetra (modulo).

II.a. Nëse -p është një numër pozitiv, (dmth fq<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Nëse -p është një numër negativ, (p>0), atëherë rrënja më e madhe (modulo) është një numër negativ.

Shqyrtoni zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas teoremës së Vietës duke përdorur shembuj.

Zgjidheni ekuacionin e dhënë kuadratik duke përdorur teoremën e Vietës:

Këtu q=12>0, pra rrënjët x1 dhe x2 janë numra me të njëjtën shenjë. Shuma e tyre është -p=7>0, pra të dy rrënjët janë numra pozitivë. Ne zgjedhim numra të plotë prodhimi i të cilëve është i barabartë me 12. Këto janë 1 dhe 12, 2 dhe 6, 3 dhe 4. Shuma është 7 për çiftin 3 dhe 4. Prandaj, 3 dhe 4 janë rrënjët e ekuacionit.

Në këtë shembull, q=16>0, që do të thotë se rrënjët x1 dhe x2 janë numra të së njëjtës shenjë. Shuma e tyre -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Këtu q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, atëherë numri më i madh është pozitiv. Pra, rrënjët janë 5 dhe -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Pothuajse çdo ekuacion kuadratik \ mund të konvertohet në formën \ Megjithatë, kjo është e mundur nëse çdo term fillimisht ndahet me koeficientin \ përpara \ Për më tepër, mund të futet një shënim i ri:

\[(\frac (b)(a))= p\] dhe \[(\frac (c)(a)) = q\]

Falë kësaj, do të kemi një ekuacion \ i quajtur në matematikë një ekuacion kuadratik i reduktuar. Rrënjët e këtij ekuacioni dhe koeficientët \ janë të ndërlidhura, gjë që vërtetohet nga teorema Vieta.

Teorema e Vietës: Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar \ është e barabartë me koeficientin e dytë \ marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është termi i lirë \

Për qartësi, zgjidhim ekuacionin e formës së mëposhtme:

Ne e zgjidhim këtë ekuacion kuadratik duke përdorur rregullat e shkruara. Pas analizimit të të dhënave fillestare, mund të konkludojmë se ekuacioni do të ketë dy rrënjë të ndryshme, sepse:

Tani, nga të gjithë faktorët e numrit 15 (1 dhe 15, 3 dhe 5), zgjedhim ata, diferenca e të cilëve është e barabartë me 2. Në këtë kusht bien numrat 3 dhe 5. Vendosim një shenjë minus përpara më të voglit. numri. Kështu, marrim rrënjët e ekuacionit \

Përgjigje: \[ x_1= -3 dhe x_2 = 5\]

Ku mund ta zgjidh ekuacionin duke përdorur teoremën e Vietës në internet?

Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https: //. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni një ekuacion në internet të çdo kompleksiteti në sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzimet video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacionit kuadratik, përveç formulave të rrënjës, ekzistojnë edhe marrëdhënie të tjera të dobishme që jepen nga Teorema e Vietës. Në këtë artikull, ne do të japim një formulim dhe vërtetim të teoremës së Vietës për një ekuacion kuadratik. Më pas, ne konsiderojmë një teoremë të kundërt me teoremën e Vieta-s. Pas kësaj do të analizojmë zgjidhjet e shembujve më karakteristikë. Së fundi, ne shkruajmë formulat Vieta që përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale ekuacioni algjebrik shkalla n dhe koeficientët e saj.

Navigimi i faqes.

Teorema e Vietës, formulimi, prova

Nga formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0 të formës , ku D=b 2 −4 a c , marrëdhëniet x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Këto rezultate janë konfirmuar Teorema e Vietës:

Teorema.

Nese nje x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0, atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me raportin e koeficientëve b dhe a, të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjët janë të barabarta me raportin e koeficientëve c dhe a, pra .

Dëshmi.

Teoremën e Vieta-s do ta vërtetojmë sipas skemës së mëposhtme: do të përpilojmë shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duke përdorur formulat e njohura të rrënjës, pastaj do të transformojmë shprehjet që rezultojnë dhe do të sigurohemi që ato të jenë të barabarta me -b /a dhe c/a, respektivisht.

Le të fillojmë me shumën e rrënjëve, ta kompozojmë atë. Tani i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, kemi. Në numëruesin e thyesës që rezulton , pas së cilës : . Më në fund, pas 2, marrim . Kjo vërteton lidhjen e parë të teoremës së Vietës për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Le të kalojmë tek e dyta.

Përbëjmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik:. Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave, prodhimi i fundit mund të shkruhet si. Tani ne e shumëzojmë kllapin me kllapin në numërues, por është më e shpejtë të shembet ky produkt me formula e dallimit të katrorëve, Kështu që . Pastaj, duke kujtuar , ne kryejmë tranzicionin tjetër. Dhe meqenëse formula D=b 2 −4 a·c korrespondon me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik, atëherë b 2 −4·a·c mund të zëvendësohet në thyesën e fundit në vend të D, marrim . Pas hapjes së kllapave dhe reduktimit të termave të ngjashëm, arrijmë në thyesën , dhe reduktimi i saj me 4·a jep . Kjo dëshmon lidhjen e dytë të teoremës së Vietës për prodhimin e rrënjëve.

Nëse i lëmë shpjegimet, atëherë vërtetimi i teoremës Vieta do të marrë një formë koncize:
,
.

Mbetet vetëm të theksohet se kur diskriminuesi është i barabartë me zero, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë. Megjithatë, nëse supozojmë se ekuacioni në këtë rast ka dy rrënjë identike, atëherë barazimet nga teorema e Vietas gjithashtu vlejnë. Në të vërtetë, për D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është , atëherë dhe , dhe meqë D=0 , pra, b 2 −4·a·c=0 , prej nga b 2 =4·a·c , atëherë .

Në praktikë, teorema e Vietës përdoret më shpesh në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar (me koeficientin më të lartë a të barabartë me 1 ) të formës x 2 +p·x+q=0 . Ndonjëherë formulohet vetëm për ekuacione kuadratike të këtij lloji, gjë që nuk e kufizon përgjithësinë, pasi çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent duke i ndarë të dy pjesët e tij me një numër jo zero a. Këtu është formulimi përkatës i teoremës së Vieta:

Teorema.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q \u003d 0 është e barabartë me koeficientin në x, të marrë me shenjën e kundërt, dhe produkti i rrënjëve është termi i lirë, domethënë x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Formulimi i dytë i teoremës Vieta, i dhënë në paragrafin e mëparshëm, tregon se nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0, atëherë marrëdhëniet x 1 +x 2 = − p , x 1 x 2=q. Nga ana tjetër, nga relacionet e shkruara x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, del se x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 +p x+q=0. Me fjalë të tjera, pohimi i kundërt me teoremën e Vietës është i vërtetë. Ne e formulojmë atë në formën e një teoreme dhe e vërtetojmë atë.

Teorema.

Nëse numrat x 1 dhe x 2 janë të tillë që x 1 +x 2 =−p dhe x 1 x 2 =q, atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 .

Dëshmi.

Pas zëvendësimit të koeficientëve p dhe q në ekuacionin x 2 +p x+q=0 të shprehjes së tyre përmes x 1 dhe x 2, ai shndërrohet në një ekuacion ekuivalent.

Ne e zëvendësojmë numrin x 1 në vend të x në ekuacionin që rezulton, kemi barazinë x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, që për çdo x 1 dhe x 2 është barazia numerike e saktë 0=0, pasi x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prandaj, x 1 është rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, që do të thotë se x 1 është rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 +p x+q=0 .

Nëse në ekuacion x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 zëvendësojmë numrin x 2 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ky është ekuacioni i saktë sepse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prandaj, x 2 është gjithashtu rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 +p x+q=0 .

Kjo plotëson vërtetimin e teoremës së kundërt me teoremën e Vietës.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Është koha të flasim për zbatimin praktik të teoremës së Vietës dhe teoremës së saj të kundërt. Në këtë nënseksion, ne do të analizojmë zgjidhjet e disa prej shembujve më tipikë.

Fillojmë duke aplikuar një teoremë të kundërt me teoremën e Vietës. Është e përshtatshme për ta përdorur atë për të kontrolluar nëse dy numrat e dhënë janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Në këtë rast, llogaritet shuma dhe diferenca e tyre, pas së cilës kontrollohet vlefshmëria e marrëdhënieve. Nëse të dyja këto marrëdhënie janë të kënaqura, atëherë, në bazë të teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, arrihet në përfundimin se këta numra janë rrënjët e ekuacionit. Nëse të paktën një nga relacionet nuk është e kënaqur, atëherë këta numra nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Kjo qasje mund të përdoret kur zgjidhen ekuacionet kuadratike për të kontrolluar rrënjët e gjetura.

Shembull.

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 =−5, x 2 =3, ose 2), ose 3) është një çift rrënjësh i ekuacionit kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0?

Zgjidhje.

Koeficientët e ekuacionit kuadratik të dhënë 4 x 2 −16 x+9=0 janë a=4 , b=−16 , c=9 . Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duhet të jetë e barabartë me −b/a, pra 16/4=4, dhe prodhimi i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c/a, pra 9. /4.

Tani le të llogarisim shumën dhe produktin e numrave në secilën nga tre çiftet e dhëna dhe t'i krahasojmë ato me vlerat e marra sapo.

Në rastin e parë kemi x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Vlera që rezulton është e ndryshme nga 4, prandaj, verifikimi i mëtejshëm nuk mund të kryhet, por nga teorema, anasjellta e teoremës së Vieta, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk është një palë rrënjë të një ekuacioni kuadratik të caktuar. .

Le të kalojmë në rastin e dytë. Këtu, pra, plotësohet kushti i parë. Ne kontrollojmë kushtin e dytë: , vlera që rezulton është e ndryshme nga 9/4. Prandaj, çifti i dytë i numrave nuk është një çift i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Rasti i fundit ka mbetur. Këtu dhe. Të dy kushtet janë plotësuar, kështu që këta numra x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.

Përgjigje:

Teorema, e kundërta e teoremës së Vietës, mund të përdoret në praktikë për të zgjedhur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Zakonisht, zgjidhen rrënjët e plota të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë, pasi në raste të tjera kjo është mjaft e vështirë për t'u bërë. Në të njëjtën kohë, ata përdorin faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të ekuacionit kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe produkti i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik. Le ta trajtojmë këtë me një shembull.

Marrim ekuacionin kuadratik x 2 −5 x+6=0 . Që numrat x 1 dhe x 2 të jenë rrënjët e këtij ekuacioni, duhet të plotësohen dy barazi x 1 +x 2 \u003d 5 dhe x 1 x 2 \u003d 6. Mbetet për të zgjedhur numra të tillë. Në këtë rast, kjo është mjaft e thjeshtë për t'u bërë: numra të tillë janë 2 dhe 3, pasi 2+3=5 dhe 2 3=6 . Kështu, 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës është veçanërisht e përshtatshme për gjetjen e rrënjës së dytë të ekuacionit kuadratik të reduktuar kur njëra prej rrënjëve është tashmë e njohur ose e dukshme. Në këtë rast, rrënja e dytë gjendet nga ndonjë prej marrëdhënieve.

Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 512 x 2 −509 x−3=0 . Këtu është e lehtë të shihet se njësia është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Pra x 1 = 1 . Rrënja e dytë x 2 mund të gjendet, për shembull, nga relacioni x 1 x 2 =c/a. Kemi 1 x 2 =−3/512, prej nga x 2 =−3/512. Pra, ne kemi përcaktuar të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik: 1 dhe −3/512.

Është e qartë se zgjedhja e rrënjëve është e përshtatshme vetëm në rastet më të thjeshta. Në raste të tjera, për të gjetur rrënjët, mund të aplikoni formulat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik përmes diskriminuesit.

Një aplikim tjetër praktik i teoremës, anasjellta e teoremës së Vietës, është përpilimi i ekuacioneve kuadratike për rrënjët e dhëna x 1 dhe x 2. Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritet shuma e rrënjëve, e cila jep koeficientin e x me shenjën e kundërt të ekuacionit të dhënë kuadratik, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembull.

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numrat −11 dhe 23.

Zgjidhje.

Shënoni x 1 =−11 dhe x 2 =23 . Ne llogarisim shumën dhe produktin e këtyre numrave: x 1 + x 2 \u003d 12 dhe x 1 x 2 \u003d −253. Prandaj, këta numra janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik me koeficientin e dytë -12 dhe termin e lirë -253. Domethënë, x 2 −12·x−253=0 është ekuacioni i dëshiruar.

Përgjigje:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema e Vietës përdoret shumë shpesh në zgjidhjen e detyrave që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Si lidhet teorema e Vietës me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 ? Këtu janë dy deklarata përkatëse:

Nëse prerja q është një numër pozitiv dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë ose janë të dyja pozitive ose të dyja janë negative.
Nëse termi i lirë q është numër negativ dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë shenjat e tyre janë të ndryshme, me fjalë të tjera, njëra rrënjë është pozitive dhe tjetra negative.

Këto pohime rrjedhin nga formula x 1 x 2 =q, si dhe nga rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë, negativë dhe numrave me shenja të ndryshme. Konsideroni shembuj të aplikimit të tyre.

Shembull.

R është pozitiv. Sipas formulës diskriminuese gjejmë D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , vlerën e shprehjes r 2 +8 është pozitive për çdo r real, pra D>0 për çdo r real. Prandaj, ekuacioni kuadratik origjinal ka dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të zbulojmë se kur rrënjët kanë shenja të ndryshme. Nëse shenjat e rrënjëve janë të ndryshme, atëherë produkti i tyre është negativ, dhe sipas teoremës së Vieta, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit të caktuar kuadratik është i barabartë me termin e lirë. Prandaj, ne jemi të interesuar për ato vlera të r për të cilat termi i lirë r−1 është negativ. Kështu, për të gjetur vlerat e r-së që janë me interes për ne, duhet zgjidhni një pabarazi lineare r−1<0 , откуда находим r<1 .

Përgjigje:

në r<1 .

Formulat Vieta

Më sipër, folëm për teoremën e Vietës për një ekuacion kuadratik dhe analizuam marrëdhëniet që ajo pohon. Por ka formula që lidhin rrënjët reale dhe koeficientët jo vetëm të ekuacioneve kuadratike, por edhe të ekuacioneve kubike, ekuacioneve të katërfishta dhe në përgjithësi, ekuacionet algjebrike shkallë n. Ata quhen Formulat Vieta.

Ne shkruajmë formulat Vieta për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës, ndërsa supozojmë se ka n rrënjë reale x 1, x 2, ..., x n (midis tyre mund të ketë të njëjtat):

Merrni formulat Vieta lejon teorema e faktorizimit polinom, si dhe përcaktimi i polinomeve të barabarta nëpërmjet barazimit të të gjithë koeficientëve të tyre përkatës. Pra, polinomi dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës janë të barabartë. Duke hapur kllapat në produktin e fundit dhe duke barazuar koeficientët përkatës, marrim formulat Vieta.

Në veçanti, për n=2 kemi tashmë formula të njohura Vieta për ekuacionin kuadratik.

Për një ekuacion kub, formulat Vieta kanë formën

Mbetet vetëm të theksohet se në anën e majtë të formulave Vieta ka të ashtuquajturat elementare polinomet simetrike.

Bibliografi.

Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 8-të. Në orën 14:00 Pjesa 1. Një libër shkollor për studentët e institucioneve arsimore / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 10: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Iluminizmi, 2010.- 368 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Kur studioni mënyra për të zgjidhur ekuacionet e rendit të dytë në një kurs algjebër shkollore, merrni parasysh vetitë e rrënjëve të marra. Tani ato njihen si teoremat e Vieta-s. Shembuj të përdorimit të tij janë dhënë në këtë artikull.

Ekuacioni kuadratik

Ekuacioni i rendit të dytë është një barazi, e cila tregohet në foton më poshtë.

Këtu simbolet a, b, c janë disa numra që quhen koeficientë të ekuacionit në shqyrtim. Për të zgjidhur një barazi, duhet të gjeni vlerat x që e bëjnë atë të vërtetë.

Vini re se meqenëse vlera maksimale e fuqisë në të cilën rritet x është dy, atëherë numri i rrënjëve në rastin e përgjithshëm është gjithashtu dy.

Ka disa mënyra për të zgjidhur këtë lloj barazie. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë një prej tyre, i cili përfshin përdorimin e të ashtuquajturës teorema Vieta.

Deklarata e teoremës së Vietës

Në fund të shekullit të 16-të, matematikani i famshëm Francois Viet (francez) vuri re, duke analizuar vetitë e rrënjëve të ekuacioneve të ndryshme kuadratike, se disa kombinime të tyre plotësojnë marrëdhënie specifike. Në veçanti, këto kombinime janë produkti dhe shuma e tyre.

Teorema e Vieta-s përcakton si më poshtë: rrënjët e një ekuacioni kuadratik, kur përmblidhen, japin raportin e koeficientëve linearë me kuadratikë të marrë me shenjën e kundërt, dhe kur ato shumëzohen, ato çojnë në raportin e termit të lirë me koeficientin kuadratik. .

Nëse forma e përgjithshme e ekuacionit shkruhet siç tregohet në foto në pjesën e mëparshme të artikullit, atëherë matematikisht kjo teoremë mund të shkruhet si dy barazi:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c / a.

Ku r 1 , r 2 është vlera e rrënjëve të ekuacionit të konsideruar.

Këto dy barazi mund të përdoren për të zgjidhur një numër problemesh matematikore shumë të ndryshme. Përdorimi i teoremës Vieta në shembuj me zgjidhje është dhënë në seksionet vijuese të artikullit.