Lojëra

10 mënyra për të zgjidhur katrorin. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Shkolla e Mesme Sergievskaya"

Plotësuar nga: Sizikov Stanislav

Mësues:

Me. Sergievka, 2007

1. Hyrje. Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë………………….3

2. Ekuacionet kuadratike në diafant…………..……………………………….4

3. Ekuacionet kuadratike në Indi ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

4. Ekuacionet kuadratike në el-Khorezmi ………………………………………..6

5. Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XYII………………………………...7

6. Rreth teoremës Vieta ………………………………………………………………..9

7. Dhjetë mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike………………………..10

8. Përfundimi ………………………………………………………………………………

9. Referencat ……………………………………………………………………………….

Prezantimi

Ekuacionet kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale. Të gjithë e dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike, duke filluar nga klasa 8. Por si lindi dhe u zhvillua historia e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike?

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, qysh në antikitet, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të tokës; punime tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike ishin në gjendje të zgjidhnin rreth 2000 para Krishtit. e. babilonasit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ka, për shembull, ekuacione të plota kuadratike: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara shkruan nën maskën

x2- 64X = - 768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në katror, ai shton 322 në të dy anët, duke marrë atëherë: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Ekuacionet kuadratike në al - Khorezmi

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori rendit 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. ax2 = in.

2) “Katroret janë të barabartë me numrin”, d.m.th. ah2= Me.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) “Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët”, d.m.th. ah2+ c = në.

5) “Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin”, d.m.th. ah2+ në = s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. në+ c \u003d ax2. Për el-Kuarizmin, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo zbritje. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori përcakton metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur faktin se është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, el-Kuarizmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk merr parasysh zeron. zgjidhje, ndoshta sepse në detyra specifike praktike, nuk ka rëndësi. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, al-Khwarizmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Le të marrim një shembull.

Detyra 14. “Katroshi dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën "(që nënkupton rrënjën e ekuacionit x2+ 21 = 10X).

Zgjidhja e autorit shkon diçka si kjo: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbritni 21 nga prodhimi, 4 mbeten. Merreni rrënjën e 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5, ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, e cila do të japë 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i el-Kuarizmit është libri i parë që na ka ardhur, në të cilin sistematikisht paraqitet klasifikimi i ekuacioneve kuadratike dhe jepen formulat për zgjidhjen e tyre.

Ekuacionet kuadratike në EvropëXIII- XVIIshekuj

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të el-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus (botuar në Romë në mesin e shekullit të kaluar, Libri Fibonacci i Abacus përmban 459 faqe), shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës si nga vendet e Islamit ashtu edhe nga Greqia e Lashtë, dallohet si nga plotësia ashtu edhe nga qartësia e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe i pari në Evropa iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë detyra nga Libri i Abacus kaluan pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16-17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x2+ në = s, për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve në, me u formulua në Evropë vetëm në 1544. M. Stiefel.

Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardaco, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. merrni parasysh, përveç rrënjëve pozitive, dhe negative. Vetëm në shekullin XVII. falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse AT+ D, shumëzuar me POR minus A2, barazohet BD, pastaj POR barazohet AT dhe të barabartë D».

Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend këtë POR, si çdo
zanore, e destinuar për të e panjohur (jonë X), zanoret
AT,D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i Vietës më sipër do të thotë: nëse

(a+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) x + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vieta është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.

Dhjetë mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Në kursin shkollor të matematikës studiohen formulat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike, me ndihmën e të cilave mund të zgjidhni çdo ekuacion kuadratik. Megjithatë, ka mënyra të tjera për të zgjidhur ekuacionet kuadratike që ju lejojnë të zgjidhni shumë ekuacione shumë shpejt dhe racionalisht. Ekzistojnë dhjetë mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Le të shqyrtojmë secilën prej tyre.

1. Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit

Le të zgjidhim ekuacionin x2+ 10X- 24 = 0. Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Prandaj, ekuacioni mund të rishkruhet si:

( X + 12) (x - 2) = 0.

Meqenëse produkti është zero, të paktën një nga faktorët e tij është zero. Prandaj, ana e majtë e ekuacionit zhduket kur x = 2, si dhe X= - 12. Kjo do të thotë se numrat 2 dhe - 12 janë rrënjët e ekuacionit x2 + 10x - 24 = 0.

2. Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë

Le ta shpjegojmë këtë metodë me një shembull.

Le të zgjidhim ekuacionin x2 + 6x - 7 = 0. Zgjidhni një katror të plotë në anën e majtë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë shprehjen x2 + 6x në formën e mëposhtme:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

Në shprehjen që rezulton, termi i parë është katrori i numrit x, dhe i dyti është prodhimi i dyfishtë i x me 3. Prandaj, për të marrë katrorin e plotë, duhet të shtoni 32, pasi

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Tani transformojmë anën e majtë të ekuacionit

x2 + 6x - 7 = 0,

duke i shtuar dhe duke zbritur 32. Kemi:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Kështu, ky ekuacion mund të shkruhet si më poshtë:

(x + = 0, d.m.th. (x + 3) 2 = 16.

Rrjedhimisht, X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1, ose x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me formulë

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit

ah2+ në+ c = 0, a ≠ 0, në 4a dhe radhazi kemi:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2ax +b)2 = in2- 4ac,

2 sëpatë+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

Në rastin e një diskriminuesi pozitiv, d.m.th., me v2 - 4ac > 0, ekuacioni ah2+ në + s= 0 ka dy rrënjë të ndryshme.

Nëse diskriminuesi është zero, d.m.th. v2 - 4ac = 0, pastaj ekuacioni ah2+ në+ Me= 0 ka një rrënjë të vetme, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Rrënjët e saj plotësojnë teoremën Vieta, e cila, kur a= 1 ka formën

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Nga kjo mund të nxjerrim përfundimet e mëposhtme (nga koeficientët R dhe q mund të parashikohen shenjat rrënjësore).

a) Nëse një anëtar i lirë q ekuacioni i reduktuar (1)
pozitive (q> 0), atëherë ekuacioni ka dy identikë
me shenjën e rrënjës dhe varet nga koeficienti i dytë R
Nese nje R> 0, atëherë të dyja rrënjët janë negative nëse R< 0, pastaj të dyja
rrënjët janë pozitive.

Për shembull,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 dhe x2 = 1, sepse q = 2 > 0 u fq = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 dhe x2 \u003d - 1, pasi q= 7 > 0 dhe R = 8 > 0.

b) Nëse një anëtar i lirë q ekuacioni i reduktuar (1)
negativ (q < 0), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë me shenjë të ndryshme, dhe rrënja më e madhe në vlerë absolute do të jetë pozitive nëse R< 0, ose negative nëse p > 0.

Për shembull,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 dhe x2 \u003d 1, pasi q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 dhe x2= - 1 sepse q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Zgjidhja e ekuacioneve me metodën e "transferimit"

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik ax2 + in+ c = 0, ku a ≠ 0. Shumëzimi i të dy pjesëve të tij me a, marrim ekuacionin a2x2 +abx+ ac= 0.

Le ah = y ku X=; atëherë vijmë te ekuacioni

y2+ nga+ ac = 0,

ekuivalente me këtë. rrënjët e saj y1 dhe y2 gjeni me ndihmën e teoremës së Vietës. Më në fund arrijmë x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Me këtë metodë, koeficienti a shumëzohet me termin e lirë, sikur “i hidhet” asaj, prandaj quhet mënyra e transferimit. Kjo metodë përdoret kur është e lehtë të gjesh rrënjët e një ekuacioni duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

1. Zgjidheni ekuacionin 2x2 - 11x + 15 = 0.

Zgjidhje. Le të "transferojmë" koeficientin 2 në termin e lirë, si rezultat marrim ekuacionin

y2 - 11 në+ 30 = 0.

Sipas teoremës Vieta, y1 = 5, y2 = 6, pra x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

Përgjigje: 2,5; 3.

6. Vetitë e koeficientëve të katroritekuacionet

A. Le të jepet një ekuacion kuadratik

ax2 + në + c= 0, ku a ≠ 0.

1. Nëse një + në + me= 0 (d.m.th., shuma e koeficientëve të ekuacionit është e barabartë me zero), atëherë x1 = 1, x2 = .

2. Nëse a - b + c= 0, oseb = a + c, pastaj x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Përgjigje: 1; 184">

Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

Një vijë e drejtë dhe një parabolë mund të kryqëzohen në dy pika, abshisat e pikave të kryqëzimit janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik;

Një vijë e drejtë dhe një parabolë mund të prekin (vetëm një pikë të përbashkët), domethënë, ekuacioni ka një zgjidhje;

Drejtëza dhe parabola nuk kanë pika të përbashkëta, domethënë ekuacioni kuadratik nuk ka rrënjë.

Shembuj.

1. Të zgjidhim grafikisht ekuacionin x2 - 3x - 4 = 0 (Fig. 2).

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë x2 = 3x + 4.

Le të ndërtojmë një parabolë y = x2 dhe të drejtpërdrejtë y= 3x + 4. Direkt në= 3x + 4 mund të ndërtohet nga dy pika M(0; 4) dhe N(3; 13). Një vijë dhe një parabolë kryqëzohen në dy pika A në B me abshisë x1= - 1 dhe x2 = 4.

Përgjigje: x1= - 1, x, = 4.

8. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me busull dhe kahje

Mënyra grafike për të zgjidhur ekuacionet kuadratike duke përdorur një parabolë është e papërshtatshme. Nëse ndërtoni një parabolë pikë për pikë, atëherë kërkon shumë kohë, dhe shkalla e saktësisë së rezultateve të marra është e ulët.

Ne propozojmë metodën e mëposhtme për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik

ah2+ në+ Me= 0

duke përdorur një busull dhe vizore (Fig.).

Le të supozojmë se rrethi i dëshiruar pret boshtin e abshisave në pika B(x1; 0) dhe D(x2 ; 0), ku x1 dhe x2- rrënjët e ekuacionit ax2 + in+Me=0,
dhe kalon nëpër pikat A(0; 1) dhe C(0; ) në boshtin y..gif" width="197" height="123">

Pra: 1) ndërtoni pika https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> rrethi kryqëzon boshtin OX në pikën B(x1;0 ), dhe D(x1 ; 0), ku x1 dhe x2 - rrënjët e ekuacionit kuadratik ax2+bx+c = 0.

2) Rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës , rrethi prek boshtin x në pikën B(x1; 0), ku xxështë rrënja e ekuacionit kuadratik.

3) Rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës së majtë">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Nga pas zëvendësimeve dhe

thjeshtëzimet, vijon ekuacioni z2+pz+q=0, dhe shkronja z nënkupton etiketën e çdo pike të shkallës kurvilineare.

10. Metoda gjeometrike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Në kohët e lashta, kur gjeometria ishte më e zhvilluar se algjebra, ekuacionet kuadratike zgjidheshin jo në mënyrë algjebrike, por gjeometrike. Le të japim një shembull që është bërë i famshëm nga Algjebra nga al-Khwarizmi.

Dhe katër katrorë të bashkangjitur, pra S=x2+10x+25. Duke zëvendësuar x2+10x me 39, marrim S = 39 + 25 = 64, që do të thotë se ana e katrorit ABCD, dmth segment AB= 8. Për anën e dëshiruar X katrorin origjinal që marrim

konkluzioni

Të gjithë dimë të zgjidhim ekuacionet kuadratike, nga shkolla deri në diplomim. Por në kursin shkollor të matematikës studiohen formulat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike, me ndihmën e të cilave mund të zgjidhet çdo ekuacion kuadratik. Sidoqoftë, duke e studiuar më thellë këtë çështje, u binda se ka mënyra të tjera për të zgjidhur ekuacionet kuadratike që ju lejojnë të zgjidhni shumë ekuacione shumë shpejt dhe racionalisht.

Ndoshta matematika është diku atje në dimensione të tjera, jo e dukshme për syrin - gjithçka është e shkruar dhe ne thjesht marrim të gjitha faktet e reja nga vrima me botët? ... Zoti e di; por rezulton se nëse fizikanët, kimistët, ekonomistët ose arkeologët kanë nevojë për një model të ri të strukturës së botës, ky model mund të merret gjithmonë nga rafti ku matematikanët e vendosën treqind vjet më parë, ose të montohet nga pjesët e shtrira në të njëjtën raft. Ndoshta këto pjesë do të duhet të përdredhen, të përshtaten me njëra-tjetrën, të lëmohen, të përpunohen shpejt disa tufa të reja teoremash; por teoria e rezultatit jo vetëm që do të përshkruajë situatën aktuale që është krijuar, por edhe do të parashikojë pasojat! ...

Një gjë e çuditshme është kjo lojë e mendjes, e cila ka gjithmonë të drejtë ...

Letërsia

1. Alimov SHA., Ilyin VA. et al.Algjebra, 6-8. Libër provues për klasat 6-8 të shkollës së mesme. - M., Edukimi, 1981.

2.Tabelat e matematikes Bradis per gjimnaz. Ed. 57-ta. - M., Edukimi, 1990. S. 83.

3. Zlotsky - detyra në mësimdhënien e matematikës. Libri për mësuesin. - M., Edukimi, 1992.

4.M., Matematika (suplement i gazetës “I Shtatori i Parë”), Nr. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Funksionet e Okunev, ekuacionet dhe pabarazitë. Një udhëzues për mësuesin. - M., Arsimi, 1972.

6. Solomnik B. C., Pyetje dhe probleme të ëmbla në matematikë. Ed. 4, shtoni. - M., Shkolla e Lartë, 1973.

7.M., Matematika (suplement i gazetës “I Shtatori”), Nr. 40, 2000.

Rishikimi

për punën e një studenti të klasës së 11-të të Memorandumit të Mesëm "Sergievskaya

shkollë gjithëpërfshirëse"

Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mësues i matematikës

s.Kopyevo, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë

1.2 Si përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike në el-Kuarizmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Letërsia

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1 .1 Ekuacionet katroregrindje në Babiloninë e lashtë

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave të tokës dhe punimeve tokësore të natyrës ushtarake, si dhe zhvillimin e astronomisë dhe astronomisë dhe vetë matematika. Ekuacionet kuadratike ishin në gjendje të zgjidhnin rreth 2000 para Krishtit. e. babilonasit.

Duke aplikuar shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ka, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i deklaruar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit erdhën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e deklaruara në formën e recetave, pa asnjë tregues se si janë gjetur.

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke hartuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Gjatë përpilimit të ekuacioneve, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Detyra 11."Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Diofanti argumenton si më poshtë: nga kushti i problemit del se numrat e dëshiruar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte 96, por 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e tyre. shuma, d.m.th. 10+x, tjetri është më i vogël, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x.

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100-ta 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Nga këtu x = 2. Një nga numrat e dëshiruar është 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e dëshiruar si të panjohur, atëherë do të vijmë në zgjidhjen e ekuacionit

y(20 - y) = 96,

në 2 - 20v + 96 = 0. (2)

Është e qartë se Diofanti e thjeshton zgjidhjen duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të dëshiruar si të panjohur; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet për ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktin astronomik "Aryabhattam", të përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç për a, gjithashtu mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta-s në thelb përkon me tonën.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Në një nga librat e vjetër indian, thuhet si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një person i ditur do të shkëlqejë më shumë se lavdia e tjetrit në mbledhjet publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Detyrat shpesh ishin të veshura në formë poetike.

Këtu është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit XII. Bhaskara.

Detyra 13.

"Një tufë e zjarrtë majmunësh dhe dymbëdhjetë në hardhi ...

Duke ngrënë pushtet, u argëtova. Ata filluan të kërcejnë, duke u varur ...

Pjesa e tetë e tyre në një shesh Sa majmunë ishin atje,

Duke u argëtuar në livadh. Më thua, në këtë tufë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai dinte për dyvlershmërinë e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike (Fig. 3).

Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën e:

X 2 - 64x = -768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ai i shton të dyja anët 32 2 , duke marrë atëherë:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Ekuacionet katroreal-Khorezmi

Traktati algjebrik i Al-Khorezmi jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori rendit 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. Oh 2 + me =bX.

2) "Katroret janë të barabartë me numrin", d.m.th. Oh 2 = s.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. Oh 2 + me =bX.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. Oh 2 + bx= s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx+ c = sëpatë 2 .

Për el-Kuarizmin, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo zbritje. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori përshkruan metodat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, duke përdorur metodat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur faktin që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë

al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse nuk ka rëndësi në probleme specifike praktike. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen, dhe më pas provat gjeometrike, duke përdorur shembuj të veçantë numerikë.

Detyra 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke supozuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Traktati el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, në të cilin në mënyrë sistematike thuhet klasifikimi i ekuacioneve kuadratike dhe jepen formulat për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në EvropëXIII - XVIIshekuj

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të al-Khorezmi në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si në vendet e Islamit, ashtu edhe në Greqinë e Lashtë, dallohet si për plotësinë, ashtu edhe për qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë detyra nga "Libri i Abacus" kaluan pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:

X 2 + bx= me,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b, Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Merrni parasysh, përveç rrënjëve pozitive, dhe negative. Vetëm në shekullin XVII. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike merr një pamje moderne.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, pastaj A barazohet AT dhe të barabartë D».

Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend këtë POR, si çdo zanore, nënkuptonte për të të panjohurën (tonë X), zanoret AT,D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i Vietës më sipër do të thotë: nëse

(a +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (a +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Në të njëjtën kohë, simbolika e Vieta është ende larg pamjes së saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë, dhe për këtë arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai konsideroi vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë e dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa 8) deri në diplomim.

Në kursin shkollor të matematikës studiohen formulat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike, me ndihmën e të cilave mund të zgjidhni çdo ekuacion kuadratik. Në të njëjtën kohë, ekzistojnë mënyra të tjera për të zgjidhur ekuacionet kuadratike, të cilat ju lejojnë të zgjidhni shumë ekuacione shumë shpejt dhe racionalisht. Ekzistojnë dhjetë mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike. Në punën time kam analizuar secilën prej tyre në detaje.

1. METODA : Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit.

Le të zgjidhim ekuacionin

X 2 + 10x - 24 = 0.

Le të faktorizojmë anën e majtë:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Prandaj, ekuacioni mund të rishkruhet si:

(x + 12) (x - 2) = 0

Meqenëse produkti është zero, atëherë të paktën një nga faktorët e tij është zero. Prandaj, ana e majtë e ekuacionit zhduket në x = 2, si dhe në x = - 12. Kjo do të thotë se numri 2 dhe - 12 janë rrënjët e ekuacionit X 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODA : Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë.

Le të zgjidhim ekuacionin X 2 + 6x - 7 = 0.

Le të zgjedhim një katror të plotë në anën e majtë.

Për ta bërë këtë, ne shkruajmë shprehjen x 2 + 6x në formën e mëposhtme:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

Në shprehjen që rezulton, termi i parë është katrori i numrit x, dhe i dyti është prodhimi i dyfishtë i x me 3. Prandaj, për të marrë katrorin e plotë, duhet të shtoni 3 2, pasi

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Tani transformojmë anën e majtë të ekuacionit

X 2 + 6x - 7 = 0,

duke i shtuar dhe duke zbritur 3 2 . Ne kemi:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Kështu, ky ekuacion mund të shkruhet si më poshtë:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Rrjedhimisht, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, ose x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODA :Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me formulë.

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit

Oh 2 + bx + c = 0, a? 0

në 4a dhe me radhë kemi:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2 ax *b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Shembuj.

a) Le të zgjidhim ekuacionin: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, dy rrënjë të ndryshme;

Kështu, në rastin e një diskriminuesi pozitiv, d.m.th. në

b 2 - 4 ac >0 , ekuacioni Oh 2 + bx + c = 0 ka dy rrënjë të ndryshme.

b) Le të zgjidhim ekuacionin: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, një rrënjë;

Pra, nëse diskriminuesi është zero, d.m.th. b 2 - 4 ac = 0 , pastaj ekuacioni

Oh 2 + bx + c = 0 ka një rrënjë të vetme

në) Le të zgjidhim ekuacionin: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Ky ekuacion nuk ka rrënjë.

Pra, nëse diskriminuesi është negativ, d.m.th. b 2 - 4 ac < 0 ,

ekuacionin Oh 2 + bx + c = 0 nuk ka rrënjë.

Formula (1) e rrënjëve të ekuacionit kuadratik Oh 2 + bx + c = 0 ju lejon të gjeni rrënjët ndonjë ekuacioni kuadratik (nëse ka), duke përfshirë të reduktuar dhe të paplotë. Formula (1) shprehet verbalisht si më poshtë: rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë të barabarta me një fraksion numëruesi i së cilës është i barabartë me koeficientin e dytë, marrë me shenjën e kundërt, plus minus rrënjën katrore të katrorit të këtij koeficienti pa katërfishuar prodhimin e koeficientit të parë me termin e lirë, dhe emëruesi është dyfishi i koeficientit të parë.

4. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës.

Siç dihet, ekuacioni i dhënë kuadratik ka formën

X 2 + px + c = 0. (1)

Rrënjët e saj kënaqin teoremën Vieta, e cila, kur a = 1 ka formën

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - fq

Nga kjo mund të nxjerrim përfundimet e mëposhtme (shenjat e rrënjëve mund të parashikohen nga koeficientët p dhe q).

a) Nëse termi përmbledhës q i ekuacionit të reduktuar (1) është pozitiv ( q > 0 ), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë të së njëjtës shenjë dhe kjo është zili e koeficientit të dytë fq. Nese nje R< 0 , atëherë të dyja rrënjët janë negative nëse R< 0 , atëherë të dyja rrënjët janë pozitive.

Për shembull,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 dhe x 2 = 1, sepse q = 2 > 0 dhe fq = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 dhe x 2 = - 1, sepse q = 7 > 0 dhe fq= 8 > 0.

b) Nëse një anëtar i lirë q i ekuacionit të reduktuar (1) është negativ ( q < 0 ), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë me shenjë të ndryshme, dhe rrënja më e madhe në vlerë absolute do të jetë pozitive nëse fq < 0 , ose negative nëse fq > 0 .

Për shembull,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 dhe x 2 = 1, sepse q= - 5 < 0 dhe fq = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 dhe x 2 = - 1, sepse q = - 9 < 0 dhe fq = - 8 < 0.

5. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "transferimit".

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik

Oh 2 + bx + c = 0, ku a? 0.

Duke shumëzuar të dy pjesët e tij me a, marrim ekuacionin

a 2 X 2 + abx + ac = 0.

Le ah = y, ku x = y/a; atëherë vijmë te ekuacioni

në 2 + nga+ ac = 0,

ekuivalente me këtë. rrënjët e saj në 1 dhe në 2 mund të gjendet duke përdorur teoremën e Vietës.

Më në fund arrijmë

X 1 = y 1 /a dhe X 1 = y 2 /a.

Me këtë metodë, koeficienti a shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" asaj, prandaj quhet mënyra e transferimit. Kjo metodë përdoret kur është e lehtë të gjesh rrënjët e një ekuacioni duke përdorur teoremën e Vieta-s dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Shembull.

Le të zgjidhim ekuacionin 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Zgjidhje. Le të "transferojmë" koeficientin 2 në termin e lirë, si rezultat marrim ekuacionin

në 2 - 11v + 30 = 0.

Sipas teoremës së Vietës

në 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

në 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Përgjigje: 2.5; 3.

6. METODA: Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik.

POR. Le të barazimin kuadratik

Oh 2 + bx + c = 0, ku a? 0.

1) Nëse, a+b+ c = 0 (d.m.th. shuma e koeficientëve është zero), pastaj x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dëshmi. Ndani të dyja anët e ekuacionit me a? 0, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Sipas teoremës së Vietës

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

Sipas kushteve a -b + c = 0, ku b= a + c. Në këtë mënyrë,

x 1 + x 2 = - a+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

ato. X 1 = -1 dhe X 2 = c/ a, të cilën na duhej ta vërtetonim.

Shembuj.

1) Zgjidhe ekuacionin 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Zgjidhje. Sepse një +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), pastaj

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Përgjigje: 1; -208/345.

2) Zgjidhe ekuacionin 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Zgjidhje. Sepse një +b+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), pastaj

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Përgjigje: 1; 115/132.

B. Nëse koeficienti i dytë b = 2 k është një numër çift, atëherë formula e rrënjëve

Shembull.

Le të zgjidhim ekuacionin 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Zgjidhje. Ne kemi: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, dy rrënjë të ndryshme;

Përgjigje: 2; 8/3

AT. Ekuacioni i reduktuar

X 2 +px+q= 0

përkon me ekuacionin e përgjithshëm, në të cilin a = 1, b= fq dhe c =q. Prandaj, për ekuacionin kuadratik të reduktuar, formula për rrënjët

merr formën:

Formula (3) është veçanërisht e përshtatshme për t'u përdorur kur R-- numër çift.

Shembull. Le të zgjidhim ekuacionin X 2 - 14x - 15 = 0.

Zgjidhje. Ne kemi: X 1,2 =7±

Përgjigje: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METODA: Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik.

Nëse në ekuacion

X 2 + px + q = 0

lëvizim termat e dytë dhe të tretë në anën e djathtë, marrim

X 2 = - px - q.

Le të ndërtojmë grafikët e varësisë y \u003d x 2 dhe y \u003d - px - q.

Grafiku i varësisë së parë është një parabolë që kalon përmes origjinës. Grafiku i varësisë së dytë -

vijë e drejtë (Fig. 1). Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

Një vijë e drejtë dhe një parabolë mund të kryqëzohen në dy pika, abshisat e pikave të kryqëzimit janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik;

Vija dhe parabola mund të prekin (vetëm një pikë të përbashkët), d.m.th. ekuacioni ka një zgjidhje;

Drejtëza dhe parabola nuk kanë pika të përbashkëta, d.m.th. një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë.

Shembuj.

1) Le ta zgjidhim ekuacionin grafikisht X 2 - 3x - 4 = 0(Fig. 2).

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë X 2 = 3x + 4.

Le të ndërtojmë një parabolë y = x 2 dhe të drejtpërdrejtë y = 3x + 4. e drejtpërdrejtë

y = 3x + 4 mund të ndërtohet nga dy pika M (0; 4) dhe

N (3; 13) . Një vijë dhe një parabolë kryqëzohen në dy pika

POR dhe AT me abshisë X 1 = - 1 dhe X 2 = 4 . Përgjigju: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Le ta zgjidhim ekuacionin grafikisht (Fig. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë X 2 = 2x - 1.

Le të ndërtojmë një parabolë y = x 2 dhe të drejtpërdrejtë y = 2x - 1.

e drejtpërdrejtë y = 2x - 1 ndërtohet në dy pika M (0; - 1)

dhe N(1/2; 0) . Drejtëza dhe parabola kryqëzohen në një pikë POR Me

abshissa x = 1. Përgjigje:x = 1.

3) Le ta zgjidhim ekuacionin grafikisht X 2 - 2x + 5 = 0(Fig. 4).

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë X 2 = 5x - 5. Le të ndërtojmë një parabolë y = x 2 dhe të drejtpërdrejtë y = 2x - 5. e drejtpërdrejtë y = 2x - 5 ndërto me dy pika M(0; - 5) dhe N(2.5; 0). Vija e drejtë dhe parabola nuk kanë pika kryqëzimi, d.m.th. Ky ekuacion nuk ka rrënjë.

Përgjigju. Ekuacioni X 2 - 2x + 5 = 0 nuk ka rrënjë.

8. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me busull dhe sundimtarët.

Mënyra grafike për të zgjidhur ekuacionet kuadratike duke përdorur një parabolë është e papërshtatshme. Nëse ndërtoni një parabolë pikë për pikë, atëherë duhet shumë kohë, dhe me gjithë këtë, shkalla e saktësisë së rezultateve të marra është e ulët.

Unë propozoj metodën e mëposhtme për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik Oh 2 + bx + c = 0 duke përdorur një busull dhe vizore (Fig. 5).

Le të supozojmë se rrethi i dëshiruar e pret boshtin

abshisa në pika B(x 1 ; 0) dhe D(X 2 ; 0), ku X 1 dhe X 2 - rrënjët e ekuacionit Oh 2 + bx + c = 0, dhe kalon nëpër pika

A(0; 1) dhe C(0;c/ a) në boshtin y. Pastaj, nga teorema sekante, kemi OB * OD = OA * OC, ku OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Qendra e rrethit është në pikën e prerjes së pinguleve SF dhe SK, restauruar në mesin e akordeve AC dhe BD, kjo është arsyeja pse

1) ndërtoni pika (qendra e rrethit) dhe A(0; 1) ;

2) vizatoni një rreth me rreze SA;

3) abshisat e pikave të kryqëzimit të këtij rrethi me boshtin Oh janë rrënjët e ekuacionit kuadratik origjinal.

Në këtë rast, tre raste janë të mundshme.

1) Rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës (AS > SK, ose R > a + c/2 a) , rrethi pret boshtin x në dy pika (Fig. 6,a) B(x 1 ; 0) dhe D(X 2 ; 0) , ku X 1 dhe X 2 - rrënjët e ekuacionit kuadratik Oh 2 + bx + c = 0.

2) Rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës (AS = SB, oseR = a + c/2 a) , rrethi prek boshtin Ox (Fig. 6,b) në pikë B(x 1 ; 0) , ku x 1 është rrënja e ekuacionit kuadratik.

3) Rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës, rrethi nuk ka pika të përbashkëta me boshtin e abshisave (Fig. 6, c), në këtë rast ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Shembull.

Le të zgjidhim ekuacionin X 2 - 2x - 3 = 0 (Fig. 7).

Zgjidhje. Përcaktoni koordinatat e pikës së qendrës së rrethit me formulat:

Le të vizatojmë një rreth me rreze SA, ku A (0; 1).

Përgjigje: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. METODA: Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me nomogramet.

Kjo është një metodë e vjetër dhe e pamerituar e harruar për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, e vendosur në f. 83 (shih Tabelat matematikore me katër vlera të Bradis V.M. - M., Iluminizmi, 1990).

Tabela XXII. Nomogram për zgjidhjen e ekuacioneve z 2 + pz + q = 0 . Ky nomogram lejon që, pa zgjidhur ekuacionin kuadratik, të përcaktohen rrënjët e ekuacionit me koeficientët e tij.

Shkalla curvilineare e nomogramit është ndërtuar sipas formulave (Fig. 11):

Duke supozuar OS = p,ED = q, OE = a(të gjitha në cm), nga ngjashmëria e trekëndëshave SAN dhe CDF marrim proporcionin

prej nga, pas zëvendësimeve dhe thjeshtimeve, vijon ekuacioni

z 2 + pz + q = 0,

dhe letrën z nënkupton etiketën e çdo pike në shkallën e lakuar.

Shembuj.

1) Për ekuacionin z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogrami jep rrënjë

z 1 = 8,0 dhe z 2 = 1,0 (Fig. 12).

2) E zgjidhim ekuacionin duke përdorur nomogramin

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Pjesëtojmë koeficientët e këtij ekuacioni me 2, marrim ekuacionin

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogrami jep rrënjë z 1 = 4 dhe z 2 = 0,5.

3) Për ekuacionin

z 2 - 25 z + 66 = 0

koeficientët p dhe q janë jashtë shkallës, ne do të kryejmë zëvendësimin z = 5 t, marrim ekuacionin

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

të cilin e zgjidhim me anë të nomogramit dhe e marrim t 1 = 0,6 dhe t 2 = 4,4, ku z 1 = 5 t 1 = 3,0 dhe z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODA: Mënyra gjeometrike e zgjidhjes së katrorit ekuacionet.

Në kohët e lashta, kur gjeometria ishte më e zhvilluar se algjebra, ekuacionet kuadratike zgjidheshin jo në mënyrë algjebrike, por gjeometrike. Do të jap një shembull që është bërë i famshëm nga "Algjebra" e el-Kuarizmit.

Shembuj.

1) Zgjidhe ekuacionin X 2 + 10x = 39.

Në origjinal, ky problem është formuluar si më poshtë: “Katrori dhe dhjetë rrënjët janë të barabarta me 39” (Fig. 15).

Zgjidhje. Konsideroni një katror me anën x, drejtkëndëshat janë ndërtuar në anët e tij në mënyrë që ana tjetër e secilës prej tyre të jetë 2.5, prandaj, sipërfaqja e secilës është 2.5x. Shifra që rezulton plotësohet më pas në një katror të ri ABCD, duke plotësuar katër katrorë të barabartë në qoshe, brinja e secilit prej tyre është 2.5 dhe sipërfaqja është 6.25.

Sheshi S katrore ABCD mund të paraqitet si shuma e sipërfaqeve: katrori origjinal X 2 , katër drejtkëndësha (4* 2,5x = 10x) dhe katër katrorë të bashkangjitur (6,25* 4 = 25) , d.m.th. S = X 2 + 10x + 25. Duke zëvendësuar

X 2 + 10x numri 39 , ne e kuptojmë atë S = 39 + 25 = 64 , prej nga rrjedh se ana e katrorit ABCD, d.m.th. segmenti i linjës AB = 8. Për anën e dëshiruar X katrorin origjinal që marrim

2) Por, për shembull, si e zgjidhën ekuacionin grekët e lashtë në 2 + 6v - 16 = 0.

Zgjidhje treguar në fig. 16, ku

në 2 + 6y = 16, ose në 2 + 6v + 9 = 16 + 9.

Zgjidhje. Shprehjet në 2 + 6v + 9 dhe 16 + 9 gjeometrikisht përfaqësojnë të njëjtin katror dhe ekuacionin origjinal në 2 + 6v - 16 + 9 - 9 = 0është i njëjti ekuacion. Nga e marrim këtë y + 3 = ± 5, ose në 1 = 2, y 2 = - 8 (Fig. 16).

3) Zgjidh ekuacionin gjeometrik në 2 - 6v - 16 = 0.

Duke transformuar ekuacionin, marrim

në 2 - 6y = 16.

Në fig. 17 gjeni "imazhet" e shprehjes në 2 - 6 vjec, ato. nga sipërfaqja e një katrori me brinjën y zbres dyfishi i sipërfaqes së një katrori me brinjë të barabartë me 3 . Pra, nëse shprehja në 2 - 6 vjec shtoni 9 , atëherë marrim sipërfaqen e një katrori me një anë në - 3 . Zëvendësimi i shprehjes në 2 - 6 vjec numri i tij i barabartë 16,

marrim: (y - 3) 2 = 16 + 9, ato. y - 3 = ± v25, ose y - 3 = ± 5, ku në 1 = 8 dhe në 2 = - 2.

konkluzioni

Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale.

Në të njëjtën kohë, vlera e ekuacioneve kuadratike nuk qëndron vetëm në elegancën dhe shkurtësinë e zgjidhjes së problemeve, megjithëse kjo është shumë domethënëse. Jo më pak i rëndësishëm është fakti se si rezultat i përdorimit të ekuacioneve kuadratike në zgjidhjen e problemeve, shpesh zbulohen detaje të reja, mund të bëhen përgjithësime interesante dhe të bëhen përsosje, të cilat nxiten nga një analizë e formulave dhe marrëdhënieve të marra.

Do të doja gjithashtu të theksoja se tema e paraqitur në këtë punë është ende pak e studiuar fare, ata thjesht nuk merren me të, prandaj është e mbushur me shumë gjëra të fshehura dhe të panjohura, gjë që ofron një mundësi të shkëlqyer për punë të mëtejshme mbi të .

Këtu u vendosa në çështjen e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, dhe çfarë,

nëse ka mënyra të tjera për t'i zgjidhur ato?! Përsëri, gjeni modele të bukura, disa fakte, sqarime, bëni përgjithësime, zbuloni gjithçka të re dhe të re. Por këto janë pyetje për punët e ardhshme.

Duke përmbledhur, mund të konkludojmë: ekuacionet kuadratike luajnë një rol të madh në zhvillimin e matematikës. Të gjithë e dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa 8) deri në diplomim. Kjo njohuri mund të jetë e dobishme për ne gjatë gjithë jetës.

Meqenëse këto metoda për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike janë të lehta për t'u përdorur, ato sigurisht që duhet të jenë me interes për studentët që janë të dhënë pas matematikës. Puna ime bën të mundur që t'i hedhim një vështrim tjetër problemave që na shtron matematika.

Literatura:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. et al.Algjebra, 6-8. Libër provues për shkollën e mesme 6-8-vjeçare. - M., Edukimi, 1981.

2. Bradis V.M. Tabelat matematikore katërshifrore për shkollën e mesme Ed. 57-ta. - M., Edukimi, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Libër problemash mbi algjebrën dhe funksionet elementare. Libër mësuesi për institucionet arsimore të mesme të specializuara. - M., shkolla e lartë, 1969.

4. Okunev A.K. Funksionet kuadratike, ekuacionet dhe pabarazitë. Një udhëzues për mësuesin. - M., Arsimi, 1972.

5. Presman A.A. Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik me një busull dhe një vijë të drejtë. - M., Kvant, nr 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Mbledhja e pyetjeve dhe detyrave në matematikë. Ed. - 4, shtoni. - M., Shkolla e Lartë, 1973.

7. Khudobin A.I. Mbledhja e problemave në algjebër dhe funksionet elementare. Një udhëzues për mësuesin. Ed. 2. - M., Arsimi, 1970.

Shapovalova L.A. (stacioni Egorlykskaya, MBOU ESOSH Nr. 11)

1. Mordkovich A.G. Algjebër.8 klasë. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. Nr 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr 8622 / 0790 - 260 f.

2. Mordkovich A.G. Algjebër.8 klasë. Libër detyrash për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. Nr 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr 8622 / 0790 - 270 f.

3. Glazer G.I. Historiku i matematikes ne shkollen nr 8622 / 0790 / G.I. Glaser. Nr 8622 / 0790 - M .: Arsimi, 1982. Nr 8622 / 0790 - 340 f.

4. Gusev V.A. Matematika. Materialet referuese / V.A. Gusev, A.G. Mordkoviç. Nr 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988. Nr 8622 / 0790 - 372 f.

5. Bradis V.M. Tabelat matematikore katërshifrore për shkollën e mesme / V.M. Bradis. Nr 8622 / 0790 - M .: Arsimi, 1990. Nr 8622 / 0790 - 83 f.

6. Teorema e Vietës. Nr. 8622 / 0790 - Mënyra e hyrjes: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Teorema e Vieta-s (burimet e aksesit në distancë (Internet) ) . 20.01.2016.

7. Ekuacionet kuadratike. Nr. 8622 / 0790 - Mënyra e hyrjes: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (burimet e aksesit në distancë (Internet)). 20.01.2016.

Teoria e ekuacioneve zë një vend kryesor në algjebër dhe matematikë në përgjithësi. Rëndësia e tij nuk qëndron vetëm në rëndësinë e tij teorike për njohjen e ligjeve natyrore, por shërben edhe për qëllime praktike. Shumica e problemeve të jetës vijnë në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve, dhe më shpesh këto janë ekuacione të formës kuadratike.

Kurrikula shkollore shqyrton vetëm 3 mënyra për t'i zgjidhur ato. Në përgatitje për provimet e ardhshme, u interesova për mënyra të tjera të këtyre ekuacioneve. Prandaj zgjodha temën “10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike”.

Rëndësia e kësaj teme qëndron në faktin se në mësimet e algjebrës, gjeometrisë, fizikës, shpesh takohemi me zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Prandaj, çdo student duhet të jetë në gjendje të zgjidhë saktë dhe racionalisht ekuacionet kuadratike, gjë që është gjithashtu e dobishme në zgjidhjen e problemeve më komplekse, duke përfshirë edhe dhënien e provimeve.

Qëllimi i punës: të studiojë mënyra të ndryshme të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, të mësojë se si të zgjidhë ekuacionet kuadratike.

Konsideroni metoda standarde dhe jo standarde për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike;

Identifikoni mënyrat më të përshtatshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike;

Mësoni të zgjidhni ekuacionet kuadratike në mënyra të ndryshme.

Objekti i studimit: ekuacionet kuadratike.

Lënda e studimit: mënyrat e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike.

Metodat e hulumtimit:

Teorik: studimi i literaturës për temën kërkimore, studimi i burimeve tematike të internetit;

Analiza e informacionit të marrë;

Krahasimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike për lehtësi dhe racionalitet.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c \u003d 0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra, ndërsa a? 0. Rrënja e një ekuacioni të tillë është vlera e ndryshores që e kthen trinomin katror në zero, pra vlera që e kthen ekuacionin kuadratik në identitet. Koeficientët e ekuacionit kuadratik kanë emrat e tyre: koeficienti a quhet i pari ose i lartë, koeficienti b quhet i dyti ose koeficienti në x, c quhet anëtar i lirë i këtij ekuacioni.

Një ekuacion i plotë kuadratik është ai koeficientët e të cilit janë të gjithë jo zero (a, b, c - 0).

Quhet një ekuacion kuadratik i reduktuar, në të cilin koeficienti kryesor është i barabartë me një. Një ekuacion i tillë mund të merret duke e ndarë të gjithë shprehjen me koeficientin kryesor a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Ekuacionet kuadratike jo të plota janë tre llojesh:

1) sëpatë 2 + c = 0, ku c është 0;

2) sëpatë 2 + bx = 0, ku b - 0;

Në kuadër të kësaj pune, ne do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen vetëm të ekuacioneve të plota kuadratike.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me formulën e përgjithshme

Për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përdoret metoda e gjetjes së rrënjëve përmes diskriminuesit. Për të gjetur diskriminuesin përdoret formula e mëposhtme: D = b 2 - 4ac. Pas gjetjes së D, ne përdorim formulën për të gjetur rrënjët e ekuacionit

Vlen të theksohet se nëse:

D > 0 - ekuacioni ka dy rrënjë;

D \u003d 0 - ekuacioni ka një rrënjë;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.1).

Oriz. 1. Pjesa praktike

Faktorimi i anës së majtë

Për të demonstruar metodën, ne zgjidhim ekuacionin x 2 + 10x - 24 = 0.

Le të faktorizojmë anën e majtë:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Prandaj, ekuacioni mund të rishkruhet si:

(x + 12) (x - 2) = 0

Meqenëse produkti është zero, atëherë të paktën një nga faktorët e tij është zero. Prandaj, ana e majtë e ekuacionit zhduket në x = 2, dhe gjithashtu në x = -12.

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.2).

Zgjedhja e katrorit të plotë është një transformim i tillë identiteti në të cilin trinomi i dhënë përfaqësohet si (a ± b) 2 shuma ose diferenca e katrorit të binomit dhe disa shprehje numerike ose fjalëpërfjalë.

Le të zgjidhim ekuacionin x 2 + 14x + 40 = 0.

Le ta zbërthejmë polinomin në faktorë duke përdorur metodën e katrorit të plotë.

Për të aplikuar formulën e parë, duhet të merrni shprehjen

x2 + 14x + 49 = 0.

Prandaj, ne mbledhim dhe zbresim numrin 9 nga polinomi x 2 + 14x + 40 për të zgjedhur katrorin e plotë

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Le të zbatojmë formulën "diferenca e katrorëve" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3) (x + 7 + 3) = 0

(x + 4) (x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Përgjigje: -4; - dhjetë.

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.3).

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës

Për të zgjidhur ekuacionin e plotë kuadratik sipas teoremës Vieta, duhet të pjesëtoni të gjithë ekuacionin me koeficientin a. Për ekuacionin x 2 + px + q = 0, nëse x1 dhe x2 janë rrënjët e tij, formulat janë të vlefshme:

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.4).

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur vetitë e koeficientëve

Nëse plotësohet kushti i mëposhtëm: a + c = b, atëherë x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Nëse plotësohet kushti i mëposhtëm:

a + b + c = 0, pastaj x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Një shembull i pamundësisë së zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.5).

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e "transferimit".

Metoda e ashtuquajtur "transferim" bën të mundur reduktimin e zgjidhjes së ekuacioneve jo të reduktuara dhe jo të transformueshme në formën e atyre të reduktuara me koeficientë të plotë duke i pjesëtuar ato me koeficientin kryesor të ekuacioneve në zgjidhjen e ekuacioneve të reduktuara me numër të plotë. koeficientët. Është si më poshtë: shumëzojeni ekuacionin ax 2 + bx + c = 0 me a.

Marrim: a 2 x2 + abx + as = 0. Le të prezantojmë një ndryshore të re y = ax. Marrim y 2 +nga+ac = 0. Rrënjët e këtij ekuacioni janë y1 dhe y2 Prandaj, x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.6).

Le të zgjidhim ekuacionin x 2 - 4x - 12 = 0.

Le ta paraqesim atë si x 2 - 4x = 12.

Në fig. 2 "përshkruan" shprehjen x - 4x, d.m.th. sipërfaqja e një katrori me anën x zbritet dy herë nga sipërfaqja e një katrori me brinjën 2. Pra, x 2 - 4x + 4 është sipërfaqja e një katrori me brinjën x - 2.

Pas zëvendësimit të x 2 - 4x = 12, marrim

(x - 2) 2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Përgjigje: x1 = 6, x1 = - 2.

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.7).

Në ekuacionin x 2 + px + q = 0, ne zhvendosim termat e dytë dhe të tretë në anën e djathtë të ekuacionit. Ne marrim: x 2 \u003d - px - q. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve

y = x 2 (parabolë);

y = - qx - p (vijë e drejtë).

Duhet theksuar se:

Nëse një drejtëz dhe një parabolë mund të kryqëzohen në dy pika, abshisat e pikave të kryqëzimit janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik;

Nëse vija prek parabolën (vetëm një pikë e përbashkët), atëherë ekuacioni ka një rrënjë;

Nëse drejtëza dhe parabola nuk kanë pika të përbashkëta, d.m.th. një ekuacion kuadratik nuk ka rrënjë.

Zgjidhja e një ekuacioni me busull dhe një vijë të drejtë

Le të zgjidhim ekuacionin ax 2 + bx + c = 0:

1) ndërtoni pika në planin koordinativ:

A(- b/2a; (a + c)/2a) është qendra e rrethit dhe B(0; 1)

2) Vizatoni një rreth r = AB

3) Abshisat e pikave të kryqëzimit me boshtin Ox janë rrënjët e ekuacionit origjinal

Duhet theksuar se:

Nëse rrezja e rrethit është më e madhe se ordinata e qendrës (AB > AC, ose R > (a + c) / 2a), rrethi.

Kalon boshtin x në dy pika K(x1; 0) dhe N(x2; 0), ku x1 dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x2 + bx + c = 0.

Nëse rrezja e rrethit është e barabartë me ordinatën e qendrës (AB \u003d AC, ose R \u003d (a + c) / 2a), rrethi prek boshtin e abshisës në pikën C (x; 0), ku x1 është rrënja e ekuacionit kuadratik.

Nëse rrezja e rrethit është më e vogël se ordinata e qendrës (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Një shembull i zgjidhjes së ekuacionit në këtë mënyrë është paraqitur në fig. 1 (1.9).

Kjo është një mënyrë e vjetër dhe tashmë e harruar për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Nomogrami jep vlerat e rrënjëve pozitive të ekuacionit z 2 + pz + q \u003d 0. Nëse ekuacioni ka rrënjë të shenjave të ndryshme, atëherë, pasi të keni gjetur një rrënjë pozitive nga nomogrami, një negative është gjetur duke zbritur pozitiven nga - p.

Oriz. 6. Lloji i monogramit për zgjidhjen e ekuacionit z 2 + pz + q = 0

Në rastin kur të dyja rrënjët janë negative, ato marrin z = - t dhe gjejnë dy rrënjë pozitive t1 nga nomogrami; t 2 ekuacionet t 2 + - pt + z = 0 dhe pastaj z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Nëse koeficientët p dhe q janë jashtë shkallës, kryeni zëvendësimin z = kt dhe zgjidhni ekuacionin duke përdorur nomogramin

ku k merret në atë mënyrë që pabarazitë

Forma e monogramit për zgjidhjen e ekuacionit z 2 + pz + q = 0 gjendet në fig. 6.

"Pro" dhe "kundër" zgjidhjesh të ndryshme

Emri i metodës për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me formulë	Mund të zbatohet për të gjitha ekuacionet kuadratike.	Ju duhet të mësoni formulat.
Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit	Kjo bën të mundur që menjëherë të shihen rrënjët e ekuacionit.	Është e nevojshme të llogariten saktë termat për grupim.
Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë	Për numrin minimal të veprimeve, mund të gjeni rrënjët e ekuacioneve	Është e nevojshme të gjenden saktë të gjitha termat për të zgjedhur katrorin e plotë.
Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës	Një mënyrë mjaft e thjeshtë, bën të mundur shikimin e menjëhershëm të rrënjëve të ekuacionit.	vetëm rrënjët e tëra gjenden lehtësisht.
Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik	Nuk kërkon shumë përpjekje	Përshtatet vetëm me disa ekuacione
Zgjidhja e ekuacioneve me metodën e transferimit	Për numrin minimal të veprimeve, mund të gjeni rrënjët e ekuacionit, ai përdoret në lidhje me metodën e teoremës së Vieta.	është e lehtë të gjesh vetëm rrënjë të tëra.
Mënyra gjeometrike e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike	Mënyra vizuale.	ngjashëm me mënyrën e zgjedhjes së një katrori të plotë
Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik	mënyrë vizuale	Mund të ketë pasaktësi në planifikim
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me një busull dhe një vijë të drejtë	mënyrë vizuale	Mund të mos jetë e saktë
Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një nomogram	Intuitive, e lehtë për t'u përdorur.	Jo gjithmonë në dorë ka një nomogram.

konkluzioni

Gjatë kësaj pune kërkimore, arrita të përgjithësoj dhe sistemoj materialin e studiuar për temën e zgjedhur, të studioj mënyra të ndryshme të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike, të mësoj se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike në 10 mënyra. Duhet të theksohet se jo të gjithë janë të përshtatshëm për t'u zgjidhur, por secila prej tyre është interesante në mënyrën e vet. Nga këndvështrimi im, metodat e studiuara në shkollë do të jenë më racionalet për përdorim: 1.1. (sipas formulës); 1.4. (sipas teoremës Vieta); si dhe metodën 1.5. (duke përdorur vetitë e koeficientëve).

Duke përmbledhur, mund të konkludojmë: ekuacionet kuadratike luajnë një rol të madh në matematikë. Kjo njohuri mund të jetë e dobishme për ne jo vetëm në shkollë dhe në universitet, por edhe gjatë gjithë jetës sonë.

Lidhje bibliografike

Ulevsky S.A. DHJETË MËNYRAT E ZGJIDHJES SË EKUACIONET KUADRATIKE // Filloni në shkencë. - 2016. - Nr. 1. - F. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (data e hyrjes: 12/30/2019).

rrëshqitje 1

rrëshqitje 2

Qëllimet e lëndës: Njohja me metodat e reja të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike Thellimi i njohurive në temën "Ekuacionet kuadratike" Zhvillimi i aftësive matematikore, intelektuale, aftësive kërkimore Krijimi i kushteve për vetërealizim të individit.

rrëshqitje 3

Qëllimet e kursit: Të njohë studentët me mënyra të reja të zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike Të përforcojë aftësinë për të zgjidhur ekuacionet duke përdorur metoda të njohura Të prezantojë teorema që lejojnë zgjidhjen e ekuacioneve në mënyra jo standarde Të vazhdojë formimin e aftësive të përgjithshme arsimore, kulturës matematikore Të nxisë formimin. me interes për aktivitetet kërkimore Të krijojë kushte që nxënësit të realizojnë dhe zhvillojnë interes për lëndën e matematikës Përgatitja e studentëve për zgjedhjen e duhur të drejtimit të profilit

rrëshqitje 4

Përmbajtja e programit Tema 1. Hyrje. 1 orë. Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik. Sq. i plotë dhe i paplotë. ekuacionet. Metodat për zgjidhjen e tyre. Në pyetje. Tema 2. Zgjidhja e sq. ekuacionet. Metoda e faktorizimit Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë Zgjidhje sq. ekuacionet sipas formulave Zgjidhje katrore. ekuacionet sipas metodës së transferimit Zgjidhja sq. ekuacionet duke përdorur t.Vieta Zgjidhja sq. ekuacionet duke përdorur koeficientin Zgjidhja sq. ekuacionet në mënyrë grafike Zgjidhje sq. ekuacionet duke përdorur një busull dhe vizore Zgjidhja sq. ekuacionet në mënyrë gjeometrike Zgjidhje sq. ekuacionet duke përdorur "nomograms"

rrëshqitje 5

Pak histori ... Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet godina madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë. Ekuacionet kuadratike në Indi. Ekuacionet kuadratike në al-Khorezmi. Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII.

rrëshqitje 6

Rrëshqitja 7

Rrëshqitja 8

Rrëshqitja 9

rrëshqitje 10

Shkencëtari i famshëm francez Francois Viet (1540-1603) ishte me profesion jurist. Kohën e lirë ia kushtoi astronomisë. Klasat e astronomisë kërkonin njohuri të trigonometrisë dhe algjebrës. Viet mori këto shkenca dhe shpejt arriti në përfundimin se ishte e nevojshme t'i përmirësonte ato, për të cilat ai punoi për disa vite. Falë punës së tij, algjebra bëhet shkenca e përgjithshme e ekuacioneve algjebrike bazuar në llogaritjen e mirëfilltë. Prandaj, u bë e mundur të shpreheshin vetitë e ekuacioneve dhe rrënjët e tyre me formula të përgjithshme.

rrëshqitje 11

Gjatë kryerjes së punës u vunë re: Metodat që do të përdor: Teorema e Vietës Vetitë e koeficientëve Metoda e "transferimit" Faktorizimi i anës së majtë në faktorë Metoda grafike Metodat janë interesante, por kërkojnë shumë kohë dhe nuk janë gjithmonë të përshtatshme. Metoda grafike Me ndihmën e një nomogrami vizore dhe busulla Përzgjedhja e një katrori të plotë Përkulem para shkencëtarëve që zbuluan këto metoda dhe i dhanë shkencës një shtysë për zhvillim në temën "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike"

rrëshqitje 12

Faktorizimi i anës së majtë të ekuacionit Të zgjidhim ekuacionin x2 + 10x - 24=0. Faktorizimi i anës së majtë: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 ose x - 2=0 x= -12 x= 2 Përgjigje: x1= -12, x2 = 2. Zgjidh ekuacionet: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

rrëshqitje 13

Metoda e përzgjedhjes së katrorit të plotë Zgjidhe ekuacionin x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 ose x-3=-4 x=1 x=-7 Përgjigje: x1=1, x2=-7. Zgjidh ekuacionet: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

rrëshqitje 14

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike sipas formulës Formulat themelore: Nëse b është tek, atëherë D= b2-4ac dhe x 1.2=, (nëse D> 0) Nëse b është çift, atëherë D1= dhe x1.2=, (nëse D >0) Zgjidh ekuacionet: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

rrëshqitje 15

Zgjidhja e ekuacioneve me metodën e transferimit Të zgjidhim ekuacionin ax2 +bx+c=0. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me a, marrim a2 x2 +abx+ac=0. Le të ax = y, prej nga x = y/a. Pastaj U2 +blej+ac=0. Rrënjët e tij janë y1 dhe y2. Së fundi x1 = y1/a, x1 = y2/a. Le të zgjidhim ekuacionin 2x2 -11x + 15=0. Le ta kalojmë koeficientin 2 në termin e lirë: Y2 -11y+30=0. Sipas teoremës Vieta, y1 =5 dhe y2 =6. x1 = 5/2 dhe x2 = 6/2 x1 = 2,5 dhe x2 = 3 Përgjigje: x1 = 2,5, x2 = 3 Zgjidhe ekuacionin: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

rrëshqitje 16

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur teoremën e Vietës Të zgjidhim ekuacionin x2 +10x-24=0. Meqenëse x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, pastaj 24 \u003d 2 * 12, por -10 \u003d -12 + 2, pastaj x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Përgjigje: x1 \u0 , x2 \u003d -12. Zgjidh ekuacionet: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

rrëshqitje 17

Vetitë e koeficientëve të një ekuacioni kuadratik Nëse a+b+c=0, atëherë x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Le të zgjidhim ekuacionin 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, pra x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, pra x1= - 1, x2 = -1/2 Përgjigje: x1=1, x2 = -7. Përgjigje: x1=-1, x2=-1/2. Zgjidh ekuacionet: 5x2 - 7x +2 =0 Zgjidh ekuacionet: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2 + 0 3x 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mësues i matematikës

s.Kopyevo, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë

1.2 Si përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike në el-Kuarizmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Letërsia

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e lashtë

Duke aplikuar shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme, përveç atyre jo të plota, ka, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si përpiloi dhe zgjidh Diofanti ekuacionet kuadratike.

Gjatë përpilimit të ekuacioneve, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Detyra 11."Gjeni dy numra duke e ditur se shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nga këtu x = 2. Një nga numrat e dëshiruar është 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e dëshiruar si të panjohur, atëherë do të vijmë në zgjidhjen e ekuacionit

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç për a, gjithashtu mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta-s në thelb përkon me tonën.

Këtu është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit XII. Bhaskara.

Detyra 13.

"Një tufë e zjarrtë majmunësh dhe dymbëdhjetë në hardhi ...

Duke ngrënë pushtet, u argëtova. Ata filluan të kërcejnë, duke u varur ...

Pjesa e tetë e tyre në një shesh Sa majmunë ishin atje,

Duke u argëtuar në livadh. Më thua, në këtë tufë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai dinte për dyvlershmërinë e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike (Fig. 3).

Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën e:

x 2 - 64x = -768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ai i shton të dyja anët 32 2 , duke marrë atëherë:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike në el-Khorezmi

Traktati algjebrik i Al-Khorezmi jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori rendit 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c =bX.

2) "Katroret janë të barabartë me numrin", d.m.th. sëpatë 2 = s.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c =bX.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah 2+bx= s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th.bx+ c \u003d sëpatë 2.

Detyra 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke supozuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Traktati el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, në të cilin në mënyrë sistematike thuhet klasifikimi i ekuacioneve kuadratike dhe jepen formulat për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në EvropëXIII - XVIIshekuj

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:

x 2+bx= me,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b, Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, pastaj A barazohet AT dhe të barabartë D».

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formula të përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vieta është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë, dhe për këtë arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai konsideroi vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike