Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javne pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.

V tem članku boste našli lastnosti simetrale in mediane trikotnika, ki so lahko uporabne pri reševanju problemov.

Simetrale.

1. Točka presečišča simetral trikotnika je središče včrtane krožnice trikotnika.

Dokaz.

Dejansko so točke, ki ležijo na simetrali kota, enako oddaljene od stranic kota. Posledično je presečišče simetral enako oddaljeno od vseh strani trikotnika, to je središče včrtanega kroga.

2. Simetrala trikotnika deli nasprotno stran na segmente, sorazmerne s sosednjimi stranicami:

Dokaz.

Naredimo dodatne konstrukcije. Narišimo premico, vzporedno s točko

Presečišče premice in premice:

∠1=∠2, saj - simetrala ∠

∠2=∠3 leži navzkrižno, kot po konstrukciji.

Zato je ∠1=∠3 in trikotnik je enakokrak in .

torej,

3. Dolžina simetrale se izračuna po naslednjih formulah:

Dokažimo drugo formulo.

Vstavimo naslednji zapis:

Izenačimo izraze za ploščino trikotnika:

4. Naj bo O središče vpisanega kroga in simetrala kota trikotnika:

Potem velja relacija:

Dokaz:

Razmislite o trikotniku:

Simetrala kota torej po lastnosti simetrale trikotnika

Naj bo potem

Izrazimo to. Glede na lastnost simetrale trikotnika:

Od tod

V nekaterih nalogah je priročno podaljšati simetralo trikotnika do presečišča z opisanim krogom.

Lema o trolistniku.

Podan trikotnik. Točka - točka presečišča simetrale kota z opisanim krogom trikotnika. Pustiti je središče kroga, vpisanega v trikotnik. Potem

Dokaz.

Včrtana kota, ki se sekata v enakih lokih, sta enaka. Upoštevajte enake včrtane kote:

Od tod.

Središče vpisanega kroga je torej simetrala kota .

Iz trikotnika

Nato iz trikotnika

dobil

To pomeni, da je trikotnik enakokrak.

Od tod.

To dokazal

Dokažimo formulo (1) iz točke 3:

Dokaz:

Nadaljujmo simetralo, dokler se ne preseka z opisano krožnico. Razmislite o trikotnikih in . Označimo enake kote:

Trikotnik je podoben trikotniku z dvema kotoma. Od tod:

Z lastnostjo segmentov sekajočih se tetiv

Zamenjajmo (3) v (2) in uporabimo (4):

Izrazimo dolžine odsekov, na katere simetrala deli stranico trikotnika, z dolžinami stranic trikotnika. Vstavimo naslednji zapis:

Dobimo sistem:

Mediane.

1. Srednjici trikotnika sta razdeljeni s presečiščem v razmerju 2:1, šteto od oglišča:

2. Naj bo točka znotraj trikotnika taka, da velja naslednja relacija: , potem je točka presečišča median trikotnika.

Dokaz.

Dokažimo pomožni izrek.

Lema.

Za poljubno točko znotraj trikotnika velja razmerje:

Spustimo se s točk in navpičnic na :

Iz podobnosti trikotnikov dobimo:

Če upoštevamo trikotnike s skupno osnovo , potem dobimo relacijo:

Podobno dobimo

Če seštejemo te enakosti, dobimo:

To lemo uporabimo za dokazovanje trditve 2.

Če enakost velja (1) , potem enakost (2) in iz leme sledi, da je v enačbi (2) vsak ulomek enak .

Dokažimo, da so v tem primeru segmenti so mediane.

če , potem dobimo . Narišimo črte, vzporedne s točko in skozi to točko, ter razmislimo o dveh parih podobnih trikotnikov: in :

Od tu naprej

Iz podobnosti trikotnikov dobimo, to je, da je točka sredina segmenta. Od tod.

Zato je mediana trikotnika.

3. Mediane trikotnika, ki se sekajo, ga delijo na 6 enakih trikotnikov.

Dokaz.

Dokažimo to

Ker ,

Ker ,

torej

Višine.

1. Črte, ki vsebujejo višine trikotnika, se sekajo v eni točki. V primeru ostrokotnega trikotnika se same višine sekajo v eni točki.

2. Presečišče višin trikotnika ima naslednjo lastnost: vsota kvadrata razdalje od vrha trikotnika in kvadrata nasprotne stranice je enaka za vsako vrh:

Dokaz.

Dokažimo prvi del enakosti:

Prepišimo ga v obliki:

Po Pitagorovem izreku: (iz trikotnikov in)

(iz trikotnika)

(iz trikotnika)

Če te izraze nadomestimo v (1), dobimo:

Odprimo oklepaje in dobimo:

Imamo identiteto. Drugi del enakosti dokažemo na podoben način.

3. Če okoli trikotnika opišemo krog in podaljšamo višine trikotnika, dokler se ne sekata s tem krogom,

potem je za katero koli višino trikotnika razdalja od osnove višine do presečišča nadaljevanja višine s krogom enaka razdalji od osnove višine do presečišča višin:

ali takole: Točke, ki so simetrične na točko presečišča višin trikotnika glede na stranice trikotnika, ležijo na opisanem krogu trikotnika.

Dokaz.

Dokažimo to.

Če želite to narediti, upoštevajte trikotnike in , In dokazati, da :

Uporabimo znak, da so trikotniki enaki vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov. - splošna stran. Dokažimo enakost dveh kotov.

Dokažimo, da je ∠ ∠

Pustimo ∠, potem iz trikotnika dobimo to

∠. Zato iz trikotnika dobimo to

Toda ∠ in ∠ počivata na istem loku, torej ∠ ∠ ∠

Podobno ugotovimo, da je ∠ ∠

4. V trikotniku sta točki in osnovici višin, ki potekata iz oglišč in. Dokaži, da je trikotnik podoben trikotniku in da je koeficient podobnosti enak .

Dokaz:

Središče opisanega kroga pravokotnega trikotnika leži na sredini hipotenuze . Točka leži na tem krogu, ker - hipotenuza pravokotnega trikotnika:

Kot včrtani koti, ki temeljijo na enem loku.

iz trikotnika:

Od tod. Kot je skupni kot trikotnikov in. Zato je trikotnik podoben trikotniku. Koeficient podobnosti je enak razmerju podobnih stranic, to je stranic, ki ležijo nasproti enakih kotov:

Cevin izrek

Spustite v trikotnik

Segmenti se sekajo v eni točki, če in samo če

Dokaz.

Dokažimo, da je razmerje (1) izpolnjeno, če se segmenta sekata v eni točki.

Enostavno preverimo, da če , potem velja

Uporabimo to lastnost sorazmerja:

Enako:

Cevin izrek lahko zapišemo takole:

Če se odseka sekata v eni točki, potem velja razmerje:

Dokazati Cevin izrek v obliki sinusov, je dovolj, da v drugem delu enakosti (2) namesto površin trikotnikov za ploščino vsakega trikotnika nadomestimo formulo .

Iz predavanj Agakhanov Nazar Khangeldyevich in Vladimir Viktorovich Trushkov, KPK MIPT.

Trikotnik je mnogokotnik s tremi stranicami ali zaprta lomljena črta s tremi členi ali figura, ki jo tvorijo trije segmenti, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti (glej sliko 1).

Osnovni elementi trikotnika abc

Vrhovi – točke A, B in C;

Stranke – odseke a = BC, b = AC in c = AB, ki povezujejo oglišča;

Koti – α, β, γ, ki jih tvorijo trije pari stranic. Koti so pogosto označeni na enak način kot oglišča, s črkami A, B in C.

Kot, ki ga tvorijo stranice trikotnika in leži v njegovem notranjem območju, imenujemo notranji kot, njemu priležni pa priležni kot trikotnika (2, str. 534).

Višine, mediane, simetrale in srednjice trikotnika

Poleg glavnih elementov v trikotniku se upoštevajo tudi drugi segmenti z zanimivimi lastnostmi: višine, mediane, simetrale in srednje črte.

Višina

Višine trikotnika- to so pravokotnice, spuščene iz oglišč trikotnika na nasprotne stranice.

Če želite narisati višino, morate izvesti naslednje korake:

1) narišite ravno črto, ki vsebuje eno od strani trikotnika (če je višina potegnjena iz vrha ostrega kota v tupokotnem trikotniku);

2) iz vrha, ki leži nasproti narisane črte, narišite segment od točke do te črte in z njim naredite kot 90 stopinj.

Točka, kjer višina seka stranico trikotnika, se imenuje višinska osnova (glej sliko 2).

Lastnosti višin trikotnika

V pravokotnem trikotniku nadmorska višina, potegnjena iz vrha pravega kota, razdeli na dva trikotnika, podobna prvotnemu trikotniku.

V ostrokotnem trikotniku njegovi dve nadmorski višini odrežeta od njega podobne trikotnike.

Če je trikotnik oster, potem vse osnove višin pripadajo stranicam trikotnika, v tupokotnem trikotniku pa dve višini padata na nadaljevanje stranic.

Tri višine v ostrem trikotniku se sekajo v eni točki in ta točka se imenuje ortocenter trikotnik.

Mediana

Mediane(iz latinščine mediana - "sredina") - to so segmenti, ki povezujejo oglišča trikotnika s središči nasprotnih strani (glej sliko 3).

Če želite sestaviti mediano, morate izvesti naslednje korake:

1) poiščite sredino stranice;

2) z odsekom povežite točko, ki je sredina stranice trikotnika, z nasprotnim vrhom.

Lastnosti median trikotnika

Mediana deli trikotnik na dva enaka ploščina trikotnika.

Srednjici trikotnika se sekata v eni točki, ki ju deli v razmerju 2:1, šteto od vrha. Ta točka se imenuje težišče trikotnik.

Celoten trikotnik je z medianami razdeljen na šest enakih trikotnikov.

Simetrala

Simetrale(iz latinščine bis - dvakrat in seko - rez) so ravni črti, zaprti znotraj trikotnika, ki delijo njegove kote (glej sliko 4).

Če želite zgraditi simetralo, morate izvesti naslednje korake:

1) zgradite žarek, ki izhaja iz vrha kota in ga deli na dva enaka dela (simetralo kota);

2) poiščite presečišče simetrale kota trikotnika z nasprotno stranjo;

3) izberite segment, ki povezuje oglišče trikotnika s presečiščem na nasprotni strani.

Lastnosti simetral trikotnika

Simetrala kota trikotnika deli nasprotno stranico v razmerju, ki je enako razmerju obeh sosednjih stranic.

Simetrali notranjih kotov trikotnika se sekata v eni točki. To točko imenujemo središče včrtanega kroga.

Simetrali notranjega in zunanjega kota sta pravokotni.

Če simetrala zunanjega kota trikotnika seka podaljšek nasprotne stranice, potem je ADBD=ACBC.

Simetrali enega notranjega in dveh zunanjih kotov trikotnika se sekata v eni točki. Ta točka je središče ene od treh zunanjih krožnic tega trikotnika.

Osnovice simetral dveh notranjih in enega zunanjega kota trikotnika ležijo na isti premici, če simetrala zunanjega kota ni vzporedna z nasprotno stranjo trikotnika.

Če simetrale zunanjih kotov trikotnika niso vzporedne z nasprotnimi stranicami, potem ležita njuni osnovici na isti premici.

Ko preučujete katero koli temo v šolskem tečaju, lahko izberete določeno minimalno število težav in ob obvladovanju metod za njihovo reševanje bodo učenci lahko rešili katero koli težavo na ravni programskih zahtev na temo, ki se preučuje. Predlagam, da razmislite o problemih, ki vam bodo omogočili vpogled v medsebojne povezave posameznih tem pri šolskem tečaju matematike. Zato je sestavljen sistem nalog učinkovito sredstvo za ponavljanje, posploševanje in sistematizacijo učnega gradiva med pripravo študentov na izpit.

Za opravljanje izpita bodo koristne dodatne informacije o nekaterih elementih trikotnika. Razmislimo o lastnostih mediane trikotnika in problemih, pri katerih lahko te lastnosti uporabimo. Predlagane naloge udejanjajo princip nivojske diferenciacije. Vse naloge so pogojno razdeljene na ravni (raven je navedena v oklepaju za vsako nalogo).

Spomnimo se nekaterih lastnosti mediane trikotnika

Lastnost 1. Dokaži, da je mediana trikotnika ABC, narisano iz vrha A, manj kot polovica vsote stranic AB in A.C..

Dokaz

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Lastnost 2. Mediana razreže trikotnik na dve enaki površini.

Dokaz

Iz oglišča B trikotnika ABC narišimo mediano BD in višino BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Ker je odsek BD mediana, potem

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Lastnina 4. Mediane trikotnika delijo trikotnik na 6 enakih trikotnikov.

Dokaz

Dokažimo, da je ploščina vsakega od šestih trikotnikov, na katere mediane delijo trikotnik ABC, enaka ploščini trikotnika ABC. Če želite to narediti, razmislite na primer o trikotniku AOF in spustite pravokotnik AK iz oglišča A na premico BF.

Zaradi lastnosti 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Lastnina 6. Mediana v pravokotnem trikotniku, ki je potegnjena iz vrha pravega kota, je enaka polovici hipotenuze.

Dokaz

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Posledice:1. Središče pravokotnemu trikotniku opisanega kroga leži na sredini hipotenuze.

2. Če je v trikotniku dolžina mediane enaka polovici dolžine stranice, na katero je narisana, potem je ta trikotnik pravokoten.

NALOGE

Pri reševanju vsakega naslednjega problema se uporabljajo preverjene lastnosti.

№1 Teme: Podvojitev mediane. Zahtevnost: 2+

Znaki in lastnosti paralelograma Ocene: 8,9

Pogoj

Na nadaljevanje mediane A.M. trikotnik ABC na točko M segment preložen M.D., enako A.M.. Dokaži, da je štirikotnik ABDC- paralelogram.

rešitev

Uporabimo enega od znakov paralelograma. Diagonale štirikotnika ABDC sekajo v točki M in ga razdeli na pol, torej štirikotnik ABDC- paralelogram.

Obstaja izrek, da Mediani trikotnika se sekata v eni točki in ta točka deli vsako mediano v razmerju 2:1, kjer 2 ustreza odseku od oglišča, iz katerega je narisana mediana, do presečišča median, 1 pa ustreza odseku od presečišča median do sredine stranice, na katero je narisana mediana.

Da bi dokazali ta izrek, razmislite o trikotniku ABC z medianami AE, BF, CD. To pomeni, da točke D, E, F razpolovijo stranice AB, BC, CA.
Ne vemo, ali se vse mediane sekajo v eni točki (to je treba še dokazati). Vendar se bosta katerikoli dve mediani sekali v eni točki, saj ne moreta biti vzporedni. Naj se mediani AE in BF sekata v točki O.

Mediana BF deli mediano AE na dva segmenta AO in EO. Skozi točko E narišimo premico, vzporedno z BF. Ta premica bo sekala stranico AC v določeni točki L. Potegnili bomo tudi drugo premico, vzporedno z BF, skozi sredino odseka AB (točka D). Sekal bo AC v točki K.

Po Thalesovem izreku, če na eni strani kota iz njegovega vrha zaporedoma položimo enake segmente in skozi konca teh segmentov narišemo vzporedne črte, ki sekajo drugo stran kota, potem bodo te vzporedne črte tudi odrezale enake segmente na drugi strani kota.

Poglejmo kot BCA tega trikotnika. Odseka BE in EC sta med seboj enaka, premici BF in EL sta med seboj vzporedni. Potem je po Thalesovem izreku CL = LF.
Če pogledamo kot BAC, je AD ​​= BD in DK || BF, potem je AK ​​= KF.

Ker sta segmenta AF in CF med seboj enaka (ker ju tvori mediana) in je vsak od njiju razdeljen na dva enaka segmenta, so vsi štirje segmenti stranice AC enaki med seboj: AK = KF = FL = LC.

Upoštevajte kot EAC. Skozi konce treh enakih odsekov stranice AC so narisane vzporedne črte. Posledično so na strani AE odrezali enake segmente. Segment AO vsebuje dva taka segmenta, EO pa samo enega. Tako smo dokazali, da je vsaj ena mediana trikotnika na presečišču z drugo mediano razdeljena na dva segmenta, katerih dolžini sta razmerju 2:1.

Zdaj razmislite o presečišču mediane AE z mediano CD. Naj se sekata v točki P.

Podobno kot prejšnji dokazujemo, da vzporednice FM, CD, EN delijo stranico AB na enake odseke. Po drugi strani AE razdelijo na tri enake segmente. Še več, od oglišča A do presečišča median obstajata dva taka segmenta, nato pa en.

Enega in istega segmenta ni mogoče razdeliti na tri enake dele, tako da so z eno možnostjo delitve enake velikosti, z drugo pa drugačne. Zato morata točki O in P sovpadati. To pomeni, da se vse tri mediane trikotnikov sekajo v eni točki.

Da dokažemo, da sta drugi dve mediani razdeljeni s presečiščem v razmerju 2 : 1, lahko podobno kot prejšnji narišemo vzporedni premici stranicama AB in BC.