Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – sprístupniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

V tomto článku nájdete vlastnosti osi a mediánu trojuholníka, ktoré môžu byť užitočné pri riešení problémov.

Bisectors.

1. Priesečník osi trojuholníka je stredom vpísanej kružnice trojuholníka.

Dôkaz.

Body ležiace na osi uhla sú skutočne rovnako vzdialené od strán uhla. V dôsledku toho je priesečník priesečníkov rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka, to znamená, že je stredom vpísanej kružnice.

2. Osa trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu na časti úmerné susedným stranám:

Dôkaz.

Urobme dodatočné konštrukcie. Nakreslíme priamku rovnobežnú s bodom

Priesečník priamky a priamky:

∠1=∠2, keďže - os ∠

∠2=∠3 ležiace priečne, ako podľa konštrukcie.

Preto ∠1=∠3 a trojuholník je rovnoramenný a .

teda,

3. Dĺžka osi sa vypočíta pomocou nasledujúcich vzorcov:

Dokážme druhý vzorec.

Predstavme si nasledujúci zápis:

Dajme rovnítko medzi výrazy pre oblasť trojuholníka:

4. Nech O je stred kružnice a je osou uhla trojuholníka:

Potom platí vzťah:

dôkaz:

Zvážte trojuholník:

Osa uhla teda vlastnosťou osi trojuholníka

Nech je to potom

Vyjadrime to. Podľa vlastnosti osy trojuholníka:

Odtiaľ

V niektorých problémoch je vhodné predĺžiť os trojuholníka až po priesečník s kružnicou opísanou.

Lema o trojlístku.

Daný trojuholník. Bod - priesečník osi uhla s kružnicou opísanou trojuholníkom. Dovoliť je stred kruhu vpísaného do trojuholníka. Potom

Dôkaz.

Vpísané uhly, ktoré tvoria rovnaké oblúky, sú rovnaké. Všimnite si rovnaké vpísané uhly:

Odtiaľ.

Stred kružnice je teda osou uhla .

Z trojuholníka

Potom z trojuholníka

Mám .

To znamená, že trojuholník je rovnoramenný.

Odtiaľ.

Dokázal to

Dokážme vzorec (1) z bodu 3:

dôkaz:

Pokračujme v osi, kým sa nepretína s kružnicou opísanou. Zvážte trojuholníky a . Označme rovnaké uhly:

Trojuholník je podobný trojuholníku v dvoch uhloch. Odtiaľ:

Vlastnosťou segmentov pretínajúcich sa akordov

Nahraďte (3) za (2) a použite (4):

Vyjadrime dĺžky úsečiek, na ktoré os rozdeľuje stranu trojuholníka, ako dĺžky strán trojuholníka. Predstavme si nasledujúci zápis:

Dostaneme systém:

Mediány.

1. Stredy trojuholníka sú rozdelené priesečníkom v pomere 2:1, počítané od vrcholu:

2. Nech je bod vo vnútri trojuholníka taký, že platí nasledujúci vzťah: , potom je priesečník stredníc trojuholníka.

Dôkaz.

Dokážme pomocnú vetu.

Lemma.

Pre ľubovoľný bod vo vnútri trojuholníka platí nasledujúci vzťah:

Pustime sa z bodov a od kolmice na :

Z podobnosti trojuholníkov dostaneme:

Ak vezmeme do úvahy trojuholníky so spoločnou základňou , potom dostaneme vzťah:

Podobne dostaneme

Pridaním týchto rovníc dostaneme:

Túto lemu používame na dôkaz tvrdenia 2.

Ak platí rovnosť (1), potom rovnosť (2) a z lemy vyplýva, že v rovnosti (2) sa každý zlomok rovná .

Ukážme, že v tomto prípade segmenty sú mediány.

Ak , potom dostaneme . Nakreslíme rovné čiary rovnobežné s bodom a cez bod a uvažujme dve dvojice podobných trojuholníkov: a :

Odtiaľto sa dostaneme

Z podobnosti trojuholníkov získame, to znamená, že bod je stredom úsečky. Odtiaľ.

Preto je stredná hodnota trojuholníka.

3. Strednice trojuholníka, ktoré sa pretínajú, ho rozdelia na 6 rovnakých trojuholníkov.

Dôkaz.

Dokážme to

pretože ,

pretože ,

teda

Výšky.

1. Čiary obsahujúce nadmorské výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. V prípade ostrého trojuholníka sa samotné nadmorské výšky pretínajú v jednom bode.

2. Priesečník výšok trojuholníka má nasledujúcu vlastnosť: súčet druhej mocniny vzdialenosti od vrcholu trojuholníka a druhej mocniny protiľahlej strany je rovnaký pre akýkoľvek vrchol:

Dôkaz.

Dokážme prvú časť rovnosti:

Prepíšme to do tvaru:

Podľa Pytagorovej vety: (z trojuholníkov a)

(z trojuholníka)

(z trojuholníka)

Nahradením týchto výrazov do (1) dostaneme:

Otvorme zátvorky a získame:

Máme identitu. Druhá časť rovnosti sa dokazuje podobným spôsobom.

3. Ak opíšeme kruh okolo trojuholníka a predĺžime výšky trojuholníka, kým sa nepretnú s týmto kruhom,

potom pre akúkoľvek výšku trojuholníka je vzdialenosť od základne výšky k priesečníku pokračovania výšky s kružnicou rovná vzdialenosti od základne výšky k priesečníku výšok:

Alebo takto: Body symetrické k priesečníku výšok trojuholníka vzhľadom na strany trojuholníka ležia na kružnici opísanej trojuholníku.

Dôkaz.

Dokážme to.

Ak to chcete urobiť, zvážte trojuholníky a a dokážte to :

Použime znamienko, že trojuholníky sú rovnaké pozdĺž jednej strany a dvoch susedných uhlov. - všeobecná stránka. Dokážme rovnosť dvoch uhlov.

Dokážme, že ∠ ∠

Nech ∠, potom z trojuholníka dostaneme to

∠. Preto z trojuholníka dostaneme, že

Ale ∠ a ∠ spočívajú na rovnakom oblúku, preto ∠ ∠ ∠

Podobne zistíme, že ∠ ∠

4. V trojuholníku sú body a základne nadmorských výšok nakreslených z vrcholov a. Dokážte, že trojuholník je podobný trojuholníku a koeficient podobnosti sa rovná .

dôkaz:

Stred kružnice opísanej pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony . Pointa leží na tomto kruhu, pretože - prepona pravouhlého trojuholníka:

Ako vpísané uhly založené na jednom oblúku.

z trojuholníka:

Odtiaľ. Uhol je spoločný uhol trojuholníkov a. Preto je trojuholník podobný trojuholníku. Koeficient podobnosti sa rovná pomeru podobných strán, to znamená strán, ktoré ležia oproti rovnakým uhlom:

Cevova veta

Vpustite trojuholník

Segmenty sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

Dôkaz.

Dokážme, že ak sa úsečky pretínajú v jednom bode, potom je vzťah (1) splnený.

Je ľahké skontrolovať, že ak , potom platí

Použime túto vlastnosť proporcie:

Podobne:

Cevovu vetu možno napísať takto:

Ak sa segmenty pretínajú v jednom bode, potom platí nasledujúci vzťah:

Dokázať Ceva veta vo forme sínusov, stačí nahradiť v druhej časti rovnosti (2) namiesto plôch trojuholníkov za plochu každého trojuholníka vzorec .

Z prednášok Nazara Khangeldyeviča Agakhanova a Vladimíra Viktoroviča Trushkova, KPK MIPT.

Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami alebo uzavretá prerušovaná čiara s tromi článkami alebo obrazec tvorený tromi segmentmi spájajúcimi tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke (pozri obr. 1).

Základné prvky trojuholníka abc

Vrcholy – body A, B a C;

strany – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spájajúce vrcholy;

Uhly – α, β, γ tvorené tromi pármi strán. Uhly sú často označené rovnakým spôsobom ako vrcholy s písmenami A, B a C.

Uhol, ktorý zvierajú strany trojuholníka a leží v jeho vnútornej oblasti, sa nazýva vnútorný uhol a ten, ktorý k nemu susedí, je priľahlý uhol trojuholníka (2, s. 534).

Výšky, stredy, osy a stredy trojuholníka

Okrem hlavných prvkov v trojuholníku sa berú do úvahy aj ďalšie segmenty so zaujímavými vlastnosťami: výšky, mediány, osy a stredové čiary.

Výška

Výšky trojuholníka- sú to kolmice spadnuté z vrcholov trojuholníka na opačné strany.

Ak chcete vykresliť výšku, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nakreslite priamku obsahujúcu jednu zo strán trojuholníka (ak je výška nakreslená od vrcholu ostrého uhla v tupom trojuholníku);

2) z vrcholu ležiaceho oproti nakreslenej čiare nakreslite úsečku od bodu k tejto čiare a zvierajte s ňou uhol 90 stupňov.

Bod, kde nadmorská výška pretína stranu trojuholníka, sa nazýva výškový základ (pozri obr. 2).

Vlastnosti výšok trojuholníkov

V pravouhlom trojuholníku nadmorská výška nakreslená od vrcholu pravého uhla ho rozdeľuje na dva trojuholníky podobné pôvodnému trojuholníku.

V ostrom trojuholníku jeho dve nadmorské výšky z neho odrežú podobné trojuholníky.

Ak je trojuholník ostrý, potom všetky základne výšok patria stranám trojuholníka a v tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na pokračovanie strán.

Tri výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholník.

Medián

Mediány(z lat. mediana – „stred“) – sú to segmenty spájajúce vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán (pozri obr. 3).

Ak chcete vytvoriť medián, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nájdite stred strany;

2) bod, ktorý je stredom strany trojuholníka s opačným vrcholom, spojte úsečkou.

Vlastnosti stredov trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej plochy.

Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

Bisectors(z latinského bis - dvakrát a seko - rez) sú úsečky priamej čiary uzavreté vo vnútri trojuholníka, ktoré rozdeľujú jeho uhly (pozri obr. 4).

Ak chcete vytvoriť os, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) zostrojte lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dve rovnaké časti (sektor uhla);

2) nájdite priesečník osi uhla trojuholníka s opačnou stranou;

3) vyberte segment spájajúci vrchol trojuholníka s priesečníkom na opačnej strane.

Vlastnosti osi trojuholníka

Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.

Osy vnútorného a vonkajšieho uhla sú kolmé.

Ak os vonkajšieho uhla trojuholníka pretína rozšírenie opačnej strany, potom ADBD=ACBC.

Osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jednej z troch kružníc tohto trojuholníka.

Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho uhla trojuholníka ležia na tej istej priamke, ak osi vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.

Ak osy vonkajších uhlov trojuholníka nie sú rovnobežné s opačnými stranami, potom ich základne ležia na rovnakej priamke.

Pri štúdiu akejkoľvek témy v školskom kurze si môžete vybrať určité minimum problémov a po zvládnutí metód ich riešenia budú študenti schopní vyriešiť akýkoľvek problém na úrovni programových požiadaviek na študovanú tému. Navrhujem zvážiť problémy, ktoré vám umožnia vidieť vzájomné súvislosti jednotlivých tém v kurze školskej matematiky. Preto je zostavený systém úloh účinným prostriedkom na opakovanie, zovšeobecňovanie a systematizáciu vzdelávacieho materiálu v priebehu prípravy študentov na skúšku.

Na úspešné absolvovanie skúšky bude užitočné získať ďalšie informácie o niektorých prvkoch trojuholníka. Uvažujme o vlastnostiach mediánu trojuholníka a problémoch, pri ktorých riešení možno tieto vlastnosti použiť. Navrhované úlohy implementujú princíp diferenciácie úrovní. Všetky úlohy sú podmienene rozdelené do úrovní (úroveň je uvedená v zátvorkách za každou úlohou).

Pripomeňme si niektoré vlastnosti mediánu trojuholníka

Nehnuteľnosť 1. Dokážte, že stredná hodnota trojuholníka ABC, nakreslený z vrcholu A, menej ako polovica súčtu strán AB A A.C..

Dôkaz

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Nehnuteľnosť 2. Medián rozdelí trojuholník na dve rovnaké oblasti.

Dôkaz

Nakreslime z vrcholu B trojuholníka ABC medián BD a výšku BE..gif" alt="Oblasť" width="82" height="46">!}

Keďže segment BD je medián, potom

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Nehnuteľnosť 4. Mediány trojuholníka rozdeľujú trojuholník na 6 rovnakých trojuholníkov.

Dôkaz

Dokážme, že plocha každého zo šiestich trojuholníkov, na ktoré mediány rozdeľujú trojuholník ABC, sa rovná ploche trojuholníka ABC. Ak to chcete urobiť, zvážte napríklad trojuholník AOF a pustite kolmicu AK z vrcholu A na čiaru BF.

Kvôli majetku 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Nehnuteľnosť 6. Medián v pravouhlom trojuholníku vytiahnutom z vrcholu pravého uhla sa rovná polovici prepony.

Dôkaz

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Dôsledky:1. Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku leží v strede prepony.

2. Ak sa v trojuholníku dĺžka mediánu rovná polovici dĺžky strany, na ktorú je nakreslený, potom je tento trojuholník pravouhlý.

ÚLOHY

Pri riešení každého nasledujúceho problému sa využívajú overené vlastnosti.

№1 Témy: Zdvojnásobenie mediánu. Náročnosť: 2+

Znaky a vlastnosti rovnobežníka Stupne: 8,9

Podmienka

Pri pokračovaní mediánu A.M. trojuholník ABC za bod M segment odložený M.D., rovné A.M.. Dokážte, že štvoruholník ABDC- rovnobežník.

Riešenie

Použime jeden zo znakov rovnobežníka. Uhlopriečky štvoruholníka ABDC pretínajú v bode M a rozdeľte ho na polovicu, teda na štvoruholník ABDC- rovnobežník.

Existuje teorém, že Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a tento bod rozdeľuje každý stred v pomere 2:1, kde 2 zodpovedá segmentu od vrcholu, z ktorého je nakreslený medián k priesečníku mediánov, a 1 zodpovedá segmentu od priesečníka mediánov do stredu strany, na ktorú je nakreslený medián.

Na dôkaz tejto vety uvažujme trojuholník ABC s mediánmi AE, BF, CD. To znamená, že body D, E, F pretínajú strany AB, BC, CA, resp.
Nevieme, či sa všetky mediány pretínajú v jednom bode (to treba ešte dokázať). Akékoľvek dva mediány sa však pretínajú v jednom bode, pretože nemôžu byť rovnobežné. Nech sa mediány AE a BF pretínajú v bode O.

Medián BF rozdeľuje medián AE na dva segmenty AO a EO. Nakreslite čiaru rovnobežnú s BF cez bod E. Táto priamka bude pretínať stranu AC v určitom bode L. Stredom segmentu AB (bod D) nakreslíme aj ďalšiu priamku rovnobežnú s BF. V bode K pretína AC.

Podľa Thalesovej vety, ak na jednej strane uhla od jeho vrcholu rozložíme postupne rovnaké úsečky a nakreslíme rovnobežné čiary cez konce týchto úsečiek, ktoré pretínajú druhú stranu uhla, potom tieto rovnobežné čiary tiež odrežú rovnaké úsečky. na druhej strane uhla.

Pozrime sa na uhol BCA tohto trojuholníka. Segmenty BE a EC sú si navzájom rovné, čiary BF a EL sú navzájom rovnobežné. Potom podľa Thalesovej vety CL = LF.
Ak sa pozrieme na uhol BAC, keďže AD ​​= BD a DK || BF, potom AK = KF.

Keďže segmenty AF a CF sú si navzájom rovné (keďže sú tvorené mediánom) a každý z nich je rozdelený na dva rovnaké segmenty, všetky štyri segmenty strany AC sú si navzájom rovné: AK = KF = FL = LC.

Zvážte uhol EAC. Cez konce troch rovnakých segmentov strany AC sú nakreslené paralelné čiary. V dôsledku toho odrežú rovnaké segmenty na strane AE. Segment AO obsahuje dva takéto segmenty a EO iba jeden. Dokázali sme teda, že aspoň jeden stred trojuholníka je v priesečníku s iným stredom rozdelený na dva segmenty, ktorých dĺžky sú vo vzťahu 2:1.

Teraz zvážte priesečník strednej AE so strednou CD. Nech sa pretínajú v bode P.

Podobne ako v predchádzajúcom je dokázané, že rovnobežné priamky FM, CD, EN rozdeľujú stranu AB na rovnaké úsečky. Na druhej strane rozdeľujú AE na tri rovnaké segmenty. Navyše od vrcholu A po priesečník mediánov existujú dva takéto segmenty a potom je tu jeden.

Jeden a ten istý segment nemožno rozdeliť na tri rovnaké časti, takže pri jednej možnosti rozdelenia majú rovnakú veľkosť a pri inej - inú. Preto sa body O a P musia zhodovať. To znamená, že všetky tri stredy trojuholníkov sa pretínajú v jednom bode.

Aby ste dokázali, že ďalšie dva mediány sú rozdelené priesečníkom v pomere 2: 1, môžete, podobne ako v predchádzajúcom, nakresliť rovnobežné čiary na strany AB a BC.