Bod a okružnej trasy. Úlohy pre kruhový pohyb. I. Úlohy pre pohyb v kruhu
Sekcie: Matematika
Článok rozoberá úlohy, ktoré majú študentom pomôcť: rozvíjať zručnosti riešenia textových úloh v príprave na Jednotnú štátnu skúšku, pri učení sa riešiť úlohy na zostavenie matematického modelu reálnych situácií vo všetkých paralelách základnej a strednej školy. Uvádza úlohy: na pohyb v kruhu; nájsť dĺžku pohybujúceho sa objektu; nájsť priemernú rýchlosť.
I. Úlohy pre pohyb v kruhu.
Obvodové úlohy sa ukázali byť pre mnohých žiakov náročné. Riešia sa takmer rovnako ako bežné problémy na pohyb. Používajú aj vzorec . Ale je tu jeden bod, ktorému venujeme pozornosť.
Úloha 1. Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 30 minútach ho nasledoval motocyklista. 10 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 30 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 30 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Riešenie. Rýchlosti účastníkov budú brané ako X km/h a y km/h. Prvýkrát predbehol motocyklista cyklistu o 10 minút neskôr, teda hodinu po štarte. Do tohto bodu je cyklista na ceste 40 minút, teda hodín Účastníci pohybu prešli rovnakú vzdialenosť, teda y = x. Dáme údaje do tabuľky.
stôl 1
Motocyklista následne predbehol cyklistu druhýkrát. Stalo sa tak o 30 minút neskôr, teda hodinu po prvom predbiehaní. Aké vzdialenosti prešli? Motocyklista predbiehal cyklistu. A to znamená, že odjazdil o kolo viac. To je ten moment
ktorému je potrebné venovať pozornosť. Jeden kruh je dĺžka trate, rovná sa 30 km. Vytvoríme ďalšiu tabuľku.
tabuľka 2
Dostaneme druhú rovnicu: y - x = 30. Máme sústavu rovníc: 
V odpovedi uvádzame rýchlosť motorkára.
Odpoveď: 80 km/h.
Úlohy (nezávisle).
I.1.1. Cyklista opustil bod „A“ okružnej trate a po 40 minútach ho nasledoval motocyklista. 10 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 36 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 36 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
I.1. 2. Cyklista opustil bod „A“ okružnej trate a po 30 minútach ho nasledoval motocyklista. 8 minút po odjazde dobehol cyklistu prvýkrát a 12 minút na to ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 15 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
I.1. 3. Cyklista opustil bod „A“ okružnej trate a po 50 minútach ho nasledoval motocyklista. 10 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 18 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 15 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Dvaja motorkári štartujú súčasne v rovnakom smere z dvoch diametrálne odlišných bodov okružnej trate, ktorej dĺžka je 20 km. Za koľko minút dobehnú motocyklisti prvýkrát, ak rýchlosť jedného z nich je o 15 km/h vyššia ako rýchlosť druhého?
Riešenie.
Obrázok 1
Pri súčasnom štarte jazdec, ktorý štartoval z „A“ odjazdil o pol kola viac, ktorý štartoval z „B“. To je 10 km. Keď sa dvaja motocyklisti pohybujú rovnakým smerom, rýchlosť odstraňovania je v = -. Podľa stavu problému je rýchlosť odstraňovania v= 15 km/h = km/min = km/min. Nachádzame čas, po ktorom motorkári prvýkrát dobiehajú.
10:= 40 (min).
odpoveď: 40 min.
Úlohy (nezávisle).
I.2.1. Dvaja motorkári štartujú súčasne rovnakým smerom z dvoch diametrálne odlišných bodov okružnej trate, ktorej dĺžka je 27 km. Za koľko minút dobehnú motorkári prvýkrát, ak rýchlosť jedného z nich bude o 27 km/h vyššia ako rýchlosť druhého?
I.2.2. Dvaja motorkári štartujú súčasne rovnakým smerom z dvoch diametrálne odlišných bodov okružnej trate, ktorej dĺžka je 6 km. Za koľko minút dobehnú motocyklisti prvýkrát, ak rýchlosť jedného z nich je o 9 km/h vyššia ako rýchlosť druhého?
Z jedného bodu okružnej trate, ktorej dĺžka je 8 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 89 km/h a 16 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Riešenie.
x km/h je rýchlosť druhého auta.
(89 - x) km / h - rýchlosť odstraňovania.
8 km - dĺžka okružnej trate.
Rovnica.
(89 - x) = 8,
89 - x \u003d 2 15,
odpoveď: 59 km/h
Úlohy (nezávisle).
I.3.1. Z jedného bodu okružnej trate, ktorej dĺžka je 12 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 103 km/h a 48 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
I.3.2. Z jedného bodu okružnej trate, ktorej dĺžka je 6 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 114 km/h a 9 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
I.3.3. Z jedného bodu okružnej trate, ktorej dĺžka je 20 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 105 km/h a 48 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
I.3.4. Z jedného bodu okružnej trate, ktorej dĺžka je 9 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 93 km/h a 15 minút po štarte bolo o kolo pred druhým autom. Nájdite rýchlosť druhého auta. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Hodiny s ručičkami ukazujú 8:00. Po koľkých minútach sa minútová ručička štvrtýkrát zarovná s hodinovou?
Riešenie. Predpokladáme, že problém neriešime experimentálne.
Za jednu hodinu prejde minútová ručička jeden kruh a hodinová časť kruhu. Nech sú ich rýchlosti 1 (kolá za hodinu) a 
Začiatok - o 8.00 hod. Nájdite čas potrebný na to, aby minútová ručička prvýkrát predbehla hodinovú.
Minútová ručička pôjde ďalej, takže dostaneme rovnicu
Takže po prvýkrát sa šípky zoradia
Nechajte šípky zarovnať druhýkrát po čase z. Minútová ručička prejde vzdialenosť 1 z a hodinová prejde ešte jeden kruh. Napíšeme rovnicu:
Keď to vyriešime, dostaneme to.
Takže cez šípky sa zoradia druhýkrát, ďalší - na tretí a dokonca až - na štvrtýkrát.
Ak bol teda začiatok o 8.00, tak sa šípky po štvrtýkrát zoradia
4 hodiny = 60 x 4 minúty = 240 minút.
Odpoveď: 240 minút.
Úlohy (nezávisle).
I.4.1 Hodiny s ručičkami ukazujú 4 hodiny 45 minút. Po koľkých minútach sa minútová ručička po siedmy raz zarovná s hodinovou?
I.4.2 Hodiny s ručičkami ukazujú presne 2 hodiny. Za koľko minút sa minútová ručička desiaty raz zarovná s hodinovou?
I.4.3. Hodiny s ručičkami ukazujú 8 hodín 20 minút. Po koľkých minútach sa minútová ručička štvrtýkrát zarovná s hodinovou? štvrtý
II. Problémy pri hľadaní dĺžky pohybujúceho sa objektu.
Vlak idúci rovnomernou rýchlosťou 80 km/h prejde popri ceste za 36 sekúnd. Nájdite dĺžku vlaku v metroch.
Riešenie. Keďže rýchlosť vlaku je udávaná v hodinách, prevedieme sekundy na hodiny.
1) 36 sekúnd = 
2) nájdite dĺžku vlaku v kilometroch.
80 
Odpoveď: 800 m.
Úlohy (nezávisle).
II.2 Vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne rýchlosťou 60 km/h, prejde popri ceste za 69 s. Nájdite dĺžku vlaku v metroch. Odpoveď: 1150 m.
II.3. Vlak idúci rovnomerne rýchlosťou 60 km/h prejde lesný pás dlhý 200 m za 1 min 21 s. Nájdite dĺžku vlaku v metroch. Odpoveď: 1150 m.
III. Úlohy pre strednú rýchlosť.
Na skúške z matematiky môžete naraziť na problém nájsť priemernú rýchlosť. Treba mať na pamäti, že priemerná rýchlosť sa nerovná aritmetickému priemeru rýchlostí. Priemerná rýchlosť sa zistí podľa špeciálneho vzorca:
Ak by cesta mala dva úseky, tak 
.
Vzdialenosť medzi oboma obcami je 18 km. Cyklista cestoval z jednej obce do druhej 2 hodiny a vracal sa po tej istej ceste 3 hodiny. Aká je priemerná rýchlosť cyklistu počas celej cesty?
Riešenie:
2 hodiny + 3 hodiny = 5 hodín - strávených na celý pohyb,
.Turista išiel rýchlosťou 4 km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou 5 km/h. Aká je priemerná cestovná rýchlosť počas celej cesty?
Nechajte turistu kráčať t h rýchlosťou 4 km/h a t h rýchlosťou 5 km/h. Potom za 2t h precestoval 4t + 5t = 9t (km). Priemerná rýchlosť turistu je = 4,5 (km/h).
Odpoveď: 4,5 km/h.
Všimli sme si, že priemerná rýchlosť turistu sa rovná aritmetickému priemeru týchto dvoch rýchlostí. Je možné vidieť, že ak je čas pohybu na dvoch úsekoch dráhy rovnaký, potom sa priemerná rýchlosť pohybu rovná aritmetickému priemeru dvoch daných rýchlostí. Aby sme to dosiahli, riešime rovnaký problém vo všeobecnej forme.
Turista išiel rýchlosťou km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou km/h. Aká je priemerná cestovná rýchlosť počas celej cesty?
Nechajte turistu kráčať t h rýchlosťou km/h a t h rýchlosťou km/h. Potom za 2t hodiny precestoval t + t = t (km). Priemerná cestovná rýchlosť turistu je
= (km/h).Auto prešlo určitú vzdialenosť do kopca rýchlosťou 42 km/h a z kopca rýchlosťou 56 km/h.
.
Priemerná rýchlosť pohybu je 2 s: (km/h).
Odpoveď: 48 km/h.
Auto prešlo určitú vzdialenosť do kopca rýchlosťou km/h, z kopca rýchlosťou km/h.
Aká je priemerná rýchlosť auta počas celej cesty?
Nech je dĺžka úseku cesty rovná s km. Potom auto prešlo 2 s km v oboch smeroch a strávilo celú cestu 
.
Priemerná rýchlosť pohybu je 2 s: 
(km/h).
Odpoveď: km/h.
Zvážte problém, v ktorom je uvedená priemerná rýchlosť a je potrebné určiť jednu z rýchlostí. Vyžaduje sa rovnica.
Cyklista išiel do kopca rýchlosťou 10 km/h a z kopca inou konštantnou rýchlosťou. Ako vypočítal, priemerná rýchlosť pohybu sa rovnala 12 km/h.
.III.2. Polovicu času stráveného na ceste auto išlo rýchlosťou 60 km/h a druhú polovicu času - rýchlosťou 46 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta za celú cestu.
III.3.Po ceste z jednej obce do druhej išlo auto nejaký čas rýchlosťou 60 km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosťou 40 km/h, potom presne rovnaký čas rýchlosť rovnajúcu sa priemernej rýchlosti na prvých dvoch úsekoch cesty. Aká je priemerná rýchlosť počas celej cesty z jednej dediny do druhej?
III.4. Cyklista ide z domu do práce priemernou rýchlosťou 10 km/h a späť priemernou rýchlosťou 15 km/h, pretože cesta je mierne z kopca. Zistite priemernú rýchlosť cyklistu počas celej cesty z domu do práce a späť.
III.5. Auto išlo z bodu A do bodu B prázdne konštantnou rýchlosťou a po tej istej ceste sa s nákladom vracalo rýchlosťou 60 km/h. Akou rýchlosťou išiel naprázdno, ak priemerná rýchlosť bola 70 km/h?.
III.6. Prvých 100 km auto prešlo rýchlosťou 50 km/h, ďalších 120 km rýchlosťou 90 km/h a potom 120 km rýchlosťou 100 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta za celú cestu.
III.7. Prvých 100 km auto prešlo rýchlosťou 50 km/h, ďalších 140 km rýchlosťou 80 km/h a potom 150 km rýchlosťou 120 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta za celú cestu.
III.8. Prvých 150 km auto prešlo rýchlosťou 50 km/h, ďalších 130 km rýchlosťou 60 km/h a potom 120 km rýchlosťou 80 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta za celú cestu.
III. 9. Prvých 140 km auto prešlo rýchlosťou 70 km/h, ďalších 120 km rýchlosťou 80 km/h a potom 180 km rýchlosťou 120 km/h. Zistite priemernú rýchlosť auta za celú cestu.
Viac ako 80 000 reálnych úloh Jednotnej štátnej skúšky 2020
Nie ste prihlásený do systému "". Neprekáža pri prezeraní a riešení úloh Otvorená banka úloh USE v matematike, ale zapojiť sa do súťaže používateľov o riešenie týchto úloh.
Výsledok vyhľadávania USE úloh v matematike na vyžiadanie:
« Bicykel vľavo od bodu A kruhovej trate.» - nájdených 251 pracovných ponúk
(zobrazenia: 606 , odpovede: 13 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 10 minútach ho nasledoval motocyklista. 2 minúty po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 3 minúty nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 5 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Práca B14()(zobrazenia: 625 , odpovede: 11 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 20 minútach ho nasledoval motocyklista. 5 minút po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 10 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 10 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Správna odpoveď ešte nebola určená
Práca B14()(zobrazenia: 691 , odpovede: 11 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 10 minútach ho nasledoval motocyklista. 5 minút po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 15 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 10 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
odpoveď: 60
Práca B14()(zobrazenia: 613 , odpovede: 11 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 30 minútach ho nasledoval motocyklista. 5 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 47 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 47 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Správna odpoveď ešte nebola určená
Práca B14()(zobrazenia: 610 , odpovede: 9 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 20 minútach ho nasledoval motocyklista. 5 minút po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 19 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 19 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Správna odpoveď ešte nebola určená
Práca B14()(zobrazenia: 618 , odpovede: 9 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 20 minútach ho nasledoval motocyklista. 2 minúty po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 30 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 50 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Správna odpoveď ešte nebola určená
Práca B14()(zobrazenia: 613 , odpovede: 9 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 30 minútach ho nasledoval motocyklista. 5 minút po odjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 26 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 39 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Správna odpoveď ešte nebola určená
Práca B14()(zobrazenia: 622 , odpovede: 9 )
Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 50 minútach ho nasledoval motocyklista. 5 minút po výjazde prvýkrát dobehol cyklistu a 12 minút nato ho dobehol druhýkrát. Nájdite rýchlosť motocyklistu, ak je dĺžka trate 20 km. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
Správna odpoveď ešte nebola určená
Úloha B14 (Z bodu A okružnej trate, ktorej dĺžka je 75 km, vyštartovali súčasne dve autá rovnakým smerom. Rýchlosť prvého auta je 89 km/h, rýchlosť druhého auta je 59 km/h. O koľko minút po štarte bude prvé auto pred druhým presne o jedno kolo?
Riešenie problému
Táto lekcia ukazuje, ako pomocou fyzikálneho vzorca na určenie času v rovnomernom pohybe: vytvorte pomer na určenie času, keď jedno auto predbehne druhé v kruhu. Pri riešení problému je na vyriešenie takýchto problémov uvedená jasná postupnosť akcií: zavedieme konkrétne označenie toho, čo chceme nájsť, zapíšeme čas, ktorý potrebuje jedno a druhé auto na prekonanie určitého počtu kôl, vzhľadom na to, že tento čas je rovnaká hodnota - dávame rovnítko medzi výsledné rovnosti . Riešením je hľadanie neznámej veličiny v lineárnej rovnici. Ak chcete získať výsledky, nezabudnite nahradiť počet získaných kôl vo vzorci na určenie času.
Riešenie tejto úlohy sa odporúča žiakom 7. ročníka pri štúdiu témy „Matematický jazyk. Matematický model "(Lineárna rovnica s jednou premennou"). Pri príprave na OGE sa odporúča lekcia pri opakovaní témy „Matematický jazyk. Matematický model“.
"Lekcia dotýkajúca sa kruhu" - Dokážte, že priamka AC je dotyčnicou daného kruhu. Úloha 1. Dané: okr.(O;OM), MR - dotyčnica, uhol KMR = 45?. Vypočítajte dĺžku slnka, ak OD=3cm. Všeobecná lekcia. Nakreslite dotyčnicu k danej kružnici. Téma: "Obvod". Riešenie: Riešenie problémov. Praktická práca. Robte si štítky a poznámky.
"Tečnica ku kružnici" - Vlastnosť dotyčnice. Nech d je vzdialenosť od stredu O k priamke KM. Segmenty AK a AM sa nazývajú segmenty dotyčníc nakreslených z A. dotyčnice ku kružnici. Potom. Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyčnice. Dôkaz. Dokážme, že ak AK a AM sú segmenty dotyčníc, potom AK = AM, ?OAK = ? OAM.
"Obvod a kruh" - Vypočítajte. Nájdite obvod. Nájdite polomer kruhu. Nájdite oblasť tieňovanej postavy. Kruh. kruhový sektor. Nakreslite kružnicu so stredom K a polomerom 2 cm Doplňte výrok. Samostatná práca. Obvod. Kruh. Oblasť kruhu. Vypočítajte dĺžku rovníka. Hra.
„Kruhová rovnica“ - Zostavte v notebooku kruhy dané rovnicami: Stred kruhu O (0; 0), (x - 0) 2 + (y - 0) 2 \u003d R 2, x2 + y2 \u003d R 2? rovnica kruhu so stredom v počiatku. . O(0; 0) - stred, R = 4, potom x2 + y2 = 42; x2 + y2 = 16. Nájdite súradnice stredu a polomeru, ak AB je priemer danej kružnice.
"Obvodový stupeň 6" - motto lekcie: História čísla ?. Priemer kolesa lokomotívy je 180 cm.Lambert našiel pre? prvých dvadsaťsedem bežných zlomkov. Hodina matematiky v 6. ročníku Učiteľka matematiky: Nikonorova Lyubov Arkadievna. Plán lekcie. Súťaž "Mozaika prezentácií". Ale môžete nájsť nekonečnú postupnosť konvergentov.
Toto dielo Cyklista opustil bod A okružnej trate a po 30 minútach ho nasledoval motocyklista. Po 10 minútach (Kontrola) na tému (Makroekonomika a verejná správa) bola odborníkmi našej spoločnosti vyrobená na mieru a úspešne prešla obhajobou. Práca - Cyklista opustil bod A okružnej trate a o 30 minút neskôr ho nasledoval motocyklista. Po 10 minútach na predmete Makroekonómia a verejná správa reflektuje svoju tému a logickú zložku jej zverejnenia, odhaľuje podstatu skúmanej problematiky, vyzdvihuje hlavné ustanovenia a hlavné myšlienky tejto témy.
Práca - Cyklista opustil bod A okružnej trate a o 30 minút neskôr ho nasledoval motocyklista. Za 10 minút obsahuje: tabuľky, nákresy, najnovšie literárne zdroje, rok odovzdania a obhajoby práce - 2017. V práci cyklista odišiel z bodu A okružnej trate a po 30 minútach za ním išiel motocyklista. . Po 10 minútach (Makroekonómia a verejná správa) sa odhalí relevantnosť výskumnej témy, stupeň rozpracovanosti problému sa premietne na základe hĺbkového posúdenia a rozboru vedeckej a metodologickej literatúry do práce na predmet Makroekonómia. a verejnej správy, predmet analýzy a jej otázky sú komplexne posúdené z teoretickej aj praktickej stránky, formulovaný je účel a konkrétne úlohy skúmanej témy, existuje logika prezentácie materiálu a jeho postupnosti.
