Matematická analýza funkcií. Matematická analýza. Pozrite sa, čo je „matematická analýza“ v iných slovníkoch
Zostavil Yu.V. Obrubov
Kaluga - 2012
Úvod do matematickej analýzy.
Reálne čísla. Premenné a konštanty.
Jedným zo základných pojmov matematiky je číslo.
Volajú sa kladné čísla 1,2,3, ..., ktoré sa získajú pri počítaní prirodzené.
Čísla... -3,-2,-1,0,1,2,3,... sa nazývajú celé čísla. Čísla, ktoré možno vyjadriť ako konečný pomer dvoch celých čísel ( 
) sa volajú racionálny.
Patria sem celé čísla a zlomky, kladné a záporné čísla. Čísla, ktoré sú reprezentované nekonečnými neperiodickými zlomkami, sa nazývajú iracionálny.
Príklady iracionálnych čísel sú 
,
. V množine iracionálnych čísel sú transcendentálny
čísla. Sú to čísla, ktoré sú výsledkom nealgebraických operácií. Najznámejšie z nich sú číslo 
a Neperovo číslo 
. Nazývajú sa racionálne a iracionálne čísla platné
. Reálne čísla sú znázornené bodkami na číselnej osi. Každý bod na číselnej osi zodpovedá jednému reálnemu číslu a naopak, každému reálnemu číslu zodpovedá jeden bod na číselnej osi. Medzi reálnymi číslami a bodmi na číselnej osi sa teda vytvorí korešpondencia jedna k jednej. To umožňuje používať pojmy „číslo a“ a „bod a“ rovnako.
V procese štúdia rôznych fyzikálnych, ekonomických a sociálnych procesov sa často musíme zaoberať veličinami, ktoré predstavujú číselné hodnoty parametrov skúmaných javov. Niektoré z nich sa zároveň menia, iné si zachovávajú svoje hodnoty.
Variabilné
je veličina, ktorá nadobúda rôzne číselné hodnoty. Volá sa veličina, ktorej číselná hodnota sa v danom probléme alebo experimente nemení konštantný.
Variabilné množstvá sa zvyčajne označujú latinkou 
a konštanty 
.
Variabilná hodnota 
sa považuje za daný, ak je známy súbor hodnôt, ktoré môže nadobudnúť. Táto množina sa nazýva variačný rozsah premennej.
Existujú rôzne typy množín hodnôt číselnej premennej.
Interval
je množina hodnôt x obsiahnutá medzi číslami a a b, pričom čísla a a b nepatria do danej množiny. Interval je označený: (a,b);a Podľa segmentu
je množina hodnôt x obsiahnutých medzi číslami a a b, zatiaľ čo čísla a a b patria do príslušnej množiny. Segment je označený ,a≤x≤b. Množina všetkých reálnych čísel je otvorený interval. Označuje sa: (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R. Okolie bodu x
0
je ľubovoľný interval (a,b) obsahujúci bod x 0, všetky body tohto intervalu spĺňajú nerovnosťa ε
- okolie bodu a
je interval so stredom v bode a, ktorý spĺňa nerovnosť a–ε Funkcia je jedným zo základných pojmov matematickej analýzy. Nech X a Y sú ľubovoľné množiny reálnych čísel. Ak je každé číslo x X podľa nejakého pravidla alebo zákona spojené s jedným dobre definovaným reálnym číslom yU, potom hovoria, že dané funkciu
s doménou definície X a množinou hodnôt Y. Označuje sa y = f (x). Volá sa premenná x argument
funkcie. Pri definovaní funkcie sú podstatné dva body: označenie oblasti definície a stanovenie zákona korešpondencie. Doména definície
alebo oblasť existencie
Funkcia je množina hodnôt argumentov, pre ktoré funkcia existuje, to znamená, že má zmysel. Zmeniť oblasť
Funkcia je množina hodnôt y, ktoré má dané prijateľné hodnoty x. Metódy určenia funkcie.
Analytická metóda špecifikácie funkcie. Pri tejto metóde špecifikácie funkcie je zákon o korešpondencii zapísaný vo forme vzorca (analytického výrazu), ktorý naznačuje, akými matematickými transformáciami možno nájsť zodpovedajúcu hodnotu y zo známej hodnoty argumentu x. Funkcia môže byť špecifikovaná jedným analytickým výrazom v celej svojej doméne definície alebo môže predstavovať súbor niekoľkých analytických výrazov. Napríklad: y = hriech (x 2 + 1) 2. Tabuľkový spôsob určenia funkcie V dôsledku priameho pozorovania alebo experimentálneho štúdia akéhokoľvek javu alebo procesu sú hodnoty argumentu x a zodpovedajúce hodnoty y zapísané v určitom poradí. Táto tabuľka definuje funkciu y x. Príkladom tabuľkovej metódy určenia funkcie môžu byť tabuľky goniometrických funkcií, tabuľky logaritmov, dátumov a výmenných kurzov, teploty a vlhkosti vzduchu atď. 3. Grafický spôsob určenia funkcie. Grafický spôsob určenia funkcie spočíva v zobrazení bodov (x, y) na súradnicovej rovine pomocou technických prostriedkov. V matematickej analýze sa nepoužíva grafická metóda špecifikácie funkcie, ale vždy sa používa grafické znázornenie analyticky definovaných funkcií. Všetko by malo byť povedané čo najjednoduchšie, ale nie jednoduchšie. Naša cesta sa začne stretnutím s fiktívnou postavou, ktorú budeme volať John Doe. Je to priemerný robotník, ktorého možno ľahko nájsť v akomkoľvek meste na svete. Takmer každý deň sa John zobúdza na hlasný zvuk budíka a ide autom do práce. Výťahom sa dostane do svojej kancelárie, kde naloží počítač a zadá svoje používateľské meno a heslo. John robí všetky tieto veci bez najmenšej predstavy, ako fungujú. Možno by mal záujem dozvedieť sa, ako fungujú a fungujú prístroje a nástroje, ktoré každodenne používa, no nemá na to čas ani energiu. Autá, výťahy, počítače a budíky považuje za úplne odlišné a zložité mechanizmy, ktoré spolu nemajú nič spoločné. Podľa Johna trvá roky štúdia, aby ste pochopili, ako každý z nich funguje. Niektorí ľudia vidia veci trochu inak ako náš John Doe. Vedia, že elektromotory vo výťahových zariadeniach sú veľmi podobné automobilovým alternátorom. Vedia, že programovateľný logický ovládač, ktorý riadi elektromotor, ktorý pohybuje výťahom, je veľmi podobný pracovnému počítaču Johna Doea. Vedia, že na základnej úrovni je princíp činnosti programovateľných logických automatov, budíkov a počítačov založený na relatívne jednoduchej teórii tranzistorov. To, čo John Doe a bežný človek považujú za neuveriteľne zložité, je pre hackerov najbežnejšie použitie jednoduchých mechanických a elektrických princípov. Problém je v tom, ako sa tieto princípy uplatňujú. Abstrahovanie základných princípov od zložitých myšlienok nám umožňuje pochopiť a zjednodušiť ich spôsobom, ktorý vzdáva hold radám Alberta Einsteina, ktoré sme citovali vyššie. Mnohí z nás považujú kalkul za ťažký. (John Doe uvažuje o rovnakom princípe konštrukcie a fungovania rôznych mechanizmov.) Vidíte hromadu zložitých, mätúcich vecí. Aby ste im porozumeli, potrebujete veľa času a úsilia. Ale čo keby sme vám povedali, že matematická analýza (kalkul) nie je taká zložitá, ako sa na prvý pohľad zdá, ani väčšina mechanizmov? Že existuje niekoľko základných princípov, ktorým musí každý porozumieť, a keď to urobíte, budete mať nový pohľad na svet a jeho fungovanie? Typická učebnica počtu obsahuje asi tisíc strán. Typický John Doe v ňom uvidí tisíc vecí, ktoré je ťažké pochopiť a študovať, a hacker uvidí dva základné princípy (derivačný a integrálny) a 998 príkladov týchto princípov. Spoločne sa pokúsime zistiť, aké sú tieto princípy. Na základe práce, ktorú vykonal Michael Starbird, profesor na Texaskej univerzite v Austine, použijeme každodenné príklady, ktorým každý rozumie. Matematická analýza odhaľuje zvláštnu krásu nášho sveta – krásu, ktorá vzniká, keď ho dokážete pozorovať dynamicky, a nie staticky. Dúfame, že vám všetko vyjde. Skôr ako začneme, rád by som v krátkosti prešiel históriou vzniku matematickej analýzy, ktorej korene spočívajú vo veľmi starostlivej analýze zmien a pohybu. Zenónov paradox Zenón z Eley bol filozof, ktorý žil v 4. storočí pred Kristom. Predložil niekoľko jemných, ale hlbokých paradoxov, z ktorých dva nakoniec viedli k zrodu kalkulu. Ľudstvu trvalo viac ako dvetisíc rokov, kým vyriešilo Zenove paradoxy. Ako si viete predstaviť, nebolo to ľahké. Ťažkosti do značnej miery súviseli s myšlienkou nekonečna. Aký je problém nekonečna z matematického hľadiska? V 17. storočí sa Isaacovi Newtonovi a Gottfriedovi Leibnizovi podarilo vyriešiť Zenove paradoxy a vytvoriť matematickú analýzu. Pozrime sa bližšie na tieto paradoxy, aby sme pochopili, prečo bolo okolo nich toľko rozruchu. Šípka Predstavte si šíp lietajúci vo vzduchu. S veľkou istotou môžeme povedať, že šíp je v pohybe. Teraz sa pozrime na šípku v určitom časovom bode. Už sa nehýbe, ale zostáva v stave pokoja. Ale vieme určite, že šíp je v pohybe, ako potom môže byť v pokoji?! Toto je podstata tohto paradoxu. Môže sa to zdať hlúpe, ale v skutočnosti je to veľmi zložitý koncept, ktorý je potrebné zvážiť z matematického hľadiska. Neskôr zistíme, že máme do činenia s konceptom okamžitej rýchlosti zmeny, ktorý si spojíme s myšlienkou jedného z dvoch princípov matematickej analýzy (kalkulu) – derivácie. To nám umožní vypočítať rýchlosť šípu v určitom časovom bode – niečo, čo ľudstvo nedokázalo viac ako dve tisícročia. Dichotómia Pozrime sa znova na tú istú šípku. Tentokrát si predstavme, že letí naším smerom. Zeno tvrdil, že by sme sa nemali hýbať, pretože šíp nás nikdy nemôže zasiahnuť. Predstavte si, že keď je šíp vo vzduchu, potrebuje prejsť polovicu vzdialenosti medzi lukom a cieľom. Keď dosiahne určitý polovičný bod, bude musieť opäť prekonať polovicu vzdialenosti - tentoraz medzi týmto bodom a cieľom. Predstavte si, že v tom budeme pokračovať. Šípka tak neustále pokrýva polovicu vzdialenosti medzi referenčným bodom a cieľom. Vzhľadom na to môžeme konštatovať, že šíp nás nikdy nebude môcť zasiahnuť! V skutočnom živote šíp nakoniec dosiahne svoj cieľ, čo nás nechá hádať o význame paradoxu. Rovnako ako pri prvom paradoxe sa neskôr pozrieme na to, ako tento problém vyriešiť pomocou jedného z princípov matematickej analýzy – integrálu. Integrál nám umožňuje pozerať sa na pojem nekonečna ako na matematickú funkciu. Podľa vedcov a inžinierov ide o mimoriadne silný nástroj. Dva základné princípy matematickej analýzy Podstatu dvoch základných princípov matematickej analýzy možno demonštrovať ich aplikáciou na riešenie Zenónových paradoxov. Derivát. Derivácia je metóda, ktorá nám umožní vypočítať rýchlosť šípu v Arrow paradoxe. Urobíme to tak, že analyzujeme polohu šípky v postupne klesajúcich časových intervaloch. Presná rýchlosť šípky bude známa, keď je čas medzi meraniami nekonečne malý. Integrálne. Integrál je metóda, ktorá nám umožní vypočítať polohu šípky v Dichotomickom paradoxe. Urobíme to analýzou rýchlosti šípu v postupne sa znižujúcich časových intervaloch. Presná poloha šípky sa dozvieme, keď sa čas medzi meraniami ukáže ako nekonečne malý. Je ľahké si všimnúť určité podobnosti medzi deriváciou a integrálom. Obe veličiny sa vypočítavajú analýzou polohy alebo rýchlosti výložníka v postupne sa znižujúcich časových intervaloch. Neskôr zistíme, že integrál a derivácia sú v podstate dve strany toho istého keramického kondenzátora. Prečo by sme sa mali naučiť základy kalkulu? Všetci poznáme Ohmov zákon, ktorý spája prúd, napätie a odpor do jednej jednoduchej rovnice. Teraz sa pozrime na Ohmov zákon na príklade kondenzátora. Prúd kondenzátora závisí od napätia a času. Čas je v tomto prípade kritickou premennou a musí sa brať do úvahy pri každej dynamickej udalosti. Matematická analýza nám umožňuje pochopiť a oceniť, ako sa veci časom menia. V prípade kondenzátora sa prúd rovná kapacite vynásobenej voltami za sekundu alebo i = C(dv/dt), kde: i – sila prúdu (okamžitá); V tomto obvode nie je v kondenzátore elektrický prúd. Voltmeter ukáže napätie batérie, ale ampérmeter neukáže nič. Napätie sa nezmení, pokiaľ zostane potenciometer neporušený. V tomto prípade i = C(0/dt) = 0 amp. Čo sa však stane, ak začneme nastavovať potenciometer? Súdiac podľa rovnice, výsledný prúd sa objaví v kondenzátore. Tento prúd bude závisieť od zmeny napätia, ktorá súvisí s rýchlosťou pohybu potenciometra. Tieto grafy ukazujú vzťah medzi napätím v kondenzátore, prúdom a rýchlosťou otáčania potenciometra. Najprv to robíme pomaly. Zvýšenie rýchlosti vedie k zmene napätia, čo zase vyvoláva prudký nárast prúdu. Vo všetkých fázach je prúd v kondenzátore úmerný rýchlosti zmeny napätia v ňom. Matematická analýza, alebo presnejšie derivácia, nám umožňuje určiť rýchlosť zmeny tak, aby sme presne poznali hodnotu prúdu v kondenzátore v určitom časovom bode. Podobným spôsobom vieme vypočítať aj okamžitú rýchlosť Zenónovho šípu. Toto je neuveriteľne silný nástroj, ktorý by mal byť vo vašom arzenáli. Materiál bol pripravený špeciálne pre stránku – na základe článku z hackaday.com P.S. Volám sa Alexander. Toto je môj osobný, nezávislý projekt. Som veľmi rád, ak sa vám článok páčil. Chcete pomôcť stránke? Stačí sa pozrieť na inzerát nižšie, čo ste nedávno hľadali. Autorské právo © - Táto novinka patrí tejto stránke a je duševným vlastníctvom blogu, je chránená autorským zákonom a nemožno ju nikde použiť bez aktívneho odkazu na zdroj. Prečítajte si viac - "o autorstve" Toto ste hľadali? Možno je to niečo, čo ste tak dlho nemohli nájsť? MATEMATICKÁ ANALÝZA časť matematiky, v ktorej funkcie a ich zovšeobecnenia sú študované metódou limity. Pojem limita úzko súvisí s pojmom nekonečne malé množstvo, preto môžeme tiež povedať, že M. a. študuje funkcie a ich zovšeobecnenia pomocou infinitezimálnej metódy. Meno "M. a." - skrátená modifikácia starého názvu tejto časti matematiky - „Analýza infinitezimálov“; tá druhá prezrádza obsah plnšie, ale je aj skrátená (názov „Analýza pomocou infinitezimál“ by presnejšie charakterizoval predmet). V klasickej M. a. predmetom štúdia (analýzy) sú predovšetkým funkcie. „V prvom rade“, pretože vývoj M. a. viedla k možnosti študovať svojimi metódami zložitejšie útvary ako , - funkcionály, operátory a pod. V prírode a technike sa všade vyskytujú pohyby a procesy, ktoré sú opísané funkciami; zákonitosti prírodných javov sú zvyčajne opísané aj funkciami. Z toho vyplýva objektívny význam M. a. ako prostriedok na štúdium funkcií. M. a. v širšom zmysle slova pokrýva veľmi veľkú časť matematiky. Obsahuje diferenciál, integrálny počet, teória funkcií komplexnej premennej, teória obyčajné diferenciálne rovnice, teória parciálne diferenciálne rovnice, teória integrálne rovnice, variačný počet, funkčná analýza a nejaké ďalšie matematické disciplín. Moderné teória čísel A teória pravdepodobnosti aplikovať a rozvíjať metódy MA. Napriek tomu pojem M. a. často používané len na pomenovanie základov matematickej analýzy, ktoré spájajú teóriu Reálne číslo teória limitov, teória riadky, diferenciálny a integrálny počet a ich priame aplikácie, ako je teória maxím a miním, teória implicitné funkcie, Fourierove rady, Fourierove integrály. Funkcia. V M. a. vychádzať z definície funkcie podľa Lobačevského a Dirichleta. Ak každé číslo xy určitej množiny Fčísel, na základe k.-l. zákon je zahrnutý v počte y, potom to definuje funkciu z jednej premennej X. Funkcia je definovaná podobne z premenných, kde x=(x 1 , ..., x p) -
bod v n-rozmernom priestore; zvážiť aj funkcie z bodov x=(x 1 , X 2 ,
...) určitého nekonečne rozmerného priestoru, ktoré sa však častejšie nazývajú funkcionály. Elementárne funkcie. Zásadný význam v M. a. hrať elementárne funkcie. V praxi pracujú najmä s elementárnymi funkciami, používajú sa na aproximáciu funkcií zložitejšieho charakteru. Elementárne funkcie možno považovať nielen za skutočné, ale aj za komplexné x, potom sa predstavy o týchto funkciách stávajú v určitom zmysle úplnými. V súvislosti s tým vznikla dôležitá vetva M., tzv. teória funkcií komplexnej premennej alebo teória analytické funkcie. Reálne číslo. Pojem funkcie je v podstate založený na pojme reálneho (racionálneho a iracionálneho) čísla. Definitívne sa sformoval až koncom 19. storočia. Najmä medzi číslami a geometrickými bodmi sa vytvorilo logicky bezchybné spojenie. priamka, čo viedlo k formálnemu zdôvodneniu myšlienok R. Descartesa (R. Descartes, polovica 17. stor.), ktorý do matematiky zaviedol pravouhlé súradnicové systémy a reprezentáciu funkcií v nich pomocou grafov. Limit. V M. a. metóda štúdia funkcií je . Rozlišuje sa limita postupnosti a limita funkcie. Tieto pojmy sa napokon sformovali až v 19. storočí, hoci o nich mala predstavu starogréčtina. vedci. Stačí povedať, že Archimedes (3. storočie pred n. l.) dokázal vypočítať segment paraboly pomocou procesu, ktorý by sme nazvali prechodom k limitu (pozri. Metóda vyčerpania). Priebežné funkcie. Formujú sa dôležité funkcie študované v MA spojité funkcie. Jedna z možných definícií tohto pojmu: funkcia y=f(x).z jednej premennej X, uvedené na intervale ( a, b),
volal súvislý v bode X, Ak Funkcia je spojitá na intervale ( a, b),
ak je súvislá vo všetkých svojich bodoch; potom je to krivka, súvislá v každodennom chápaní slova. Derivát a . Spomedzi spojitých funkcií by sme mali vyzdvihnúť funkcie, ktoré majú derivát. Derivácia funkcie v bode je rýchlosť zmeny v tomto bode, t.j. limit Ak máte súradnicu bodu, ktorý sa pohybuje pozdĺž osi y v čase X, potom f" (x). je okamžitá rýchlosť bodu v danom čase X. Podľa znamienka derivácie f" (x) .
posúďte povahu zmeny v f(x): ak f"(z)>0 ( f"(X) <0
).
v intervale ( SD), potom funkcia / na tomto intervale rastie (klesá). Ak funkcia / v bode x dosiahne lokálny extrém (maximum alebo minimum) a má v tomto bode deriváciu, potom sa táto rovná nule v tomto bode f"(x 0) = 0. Rovnosť (1) môže byť nahradená ekvivalentnou rovnosťou kde je nekonečne malé, keď t.j. ak funkcia f má v bode deriváciu X, potom sa jeho prírastok v tomto bode rozloží na dva členy. Z nich prvý je od (proporcionálne), druhý - má tendenciu k nule rýchlejšie ako Hodnota (2) volaná. diferenciál funkcie zodpovedajúce prírastku Pri malom možno považovať za približne rovnaké D Y: Vyššie uvedené úvahy o diferenciáli sú typické pre MA. Rozširujú sa na funkcie mnohých premenných a na funkcionály. Napríklad, ak funkcia z premenných má spojité parciálne deriváty v bode x=(x 1 , ... , x n), potom jeho prírastok
zodpovedajúce prírastkom nezávislých premenných možno zapísať vo forme kde kedy to je ak všetko Tu je prvý člen na pravej strane (3) diferenciál dz funkcie f. Závisí to lineárne od a druhý člen má tendenciu k nule rýchlejšie ako Nechajte byť dané (pozri čl. Variačný počet) rozšírené na funkčné triedy x(t) ,
majúci spojitú deriváciu na segmente a spĺňajúci okrajové podmienky x( t 0)=x 0, X( t 1)=x l, Kde x 0, x 1 -čísla údajov; nech je ďalej trieda funkcie h(t) ,
majúci spojitú deriváciu a takú, že h( t 0)= h(t 1)=0. Je zrejmé, že ak Vo variačnom počte je dokázané, že za určitých podmienok na L možno prírastok funkcionálu J(x) zapísať v tvare kde a teda, druhý člen na pravej strane (4) má tendenciu k nule rýchlejšie ako ||h||, a prvý člen lineárne závisí od prvého člena vo volanom (4). variácia funkcionálu a označuje sa dJ( x, h). Integrálne. Spolu s deriváciou má zásadný význam v matematike. Existujú neurčité a určité integrály. Neurčitý integrál úzko súvisí s primitívnou funkciou. Volá sa funkcia F(x). primitívna derivácia funkcie f na intervale ( a, b), ak je v tomto intervale F"(X) =f(X). Určitý integrál (Riemannov) funkcie / na intervale [ a, b] existuje limit Ak je funkcia f kladná a spojitá na intervale [ a, b],
potom sa jeho integrál na tomto segmente rovná ploche obrázku ohraničenej krivkou y=f(x), os Oh a rovno x=a, x=b. Trieda Riemannových integrovateľných funkcií obsahuje všetky spojité funkcie na [ a, b]funkcie a určité nespojité funkcie. Ale všetky sú nevyhnutne obmedzené. Pre neohraničené funkcie, ktoré nerastú veľmi rýchlo, ako aj pre určité funkcie definované na nekonečných intervaloch, tzv. nesprávne integrály, vyžadujúce pre ich definíciu dvojitý prechod na limit. Pojem Riemannovho integrálu pre funkciu jednej premennej sa rozširuje na funkcie mnohých premenných (pozri Viacnásobný integrál). Na druhej strane potreby M. a. viedlo k zovšeobecneniu integrálu úplne iným smerom, význam Lebesgueov integrál alebo všeobecnejšie Lebesgueov-Stieltjesov integrál. Podstatné pri definícii týchto integrálov je zavedenie pre určité množiny, nazývané merateľné, pojem ich miery a na tomto základe aj pojem merateľnej funkcie. Pre merateľné funkcie sa zavádza Lebesgueov - Stieltjesov integrál. V tomto prípade sa uvažuje o širokej škále rôznych mier a zodpovedajúcich tried merateľných množín a funkcií. To umožňuje prispôsobiť jeden alebo druhý integrál konkrétnemu špecifickému problému. Newtonov-Leibnizov vzorec. Medzi deriváciou a integrálom existuje súvislosť vyjadrená Newton-Leibnizovou formulou (vetou) Tu f(x).súvislé na [ a, b]funkcia, a F(x) -
jeho prototyp. Formula a Taylor. Spolu s deriváciou a integrálom najdôležitejší pojem (výskumný nástroj) v matematickej matematike. sú Rad Taylor n Taylor. Ak funkcia f(x) , a volal svojim Taylorovým polynómom (stupeň n).mocnicami x-x 0: (Taylorov vzorec); v tomto prípade chyba aproximácie má tendenciu k nule pri Rýchlejší než Funkciu f(x).v okolí bodu x 0 je teda možné aproximovať s ľubovoľným stupňom presnosti veľmi jednoduchou funkciou (polynóm), ktorá na svoj výpočet vyžaduje iba aritmetiku. operácie - sčítanie, odčítanie a násobenie. Dôležité sú najmä tzv. funkcie, ktoré sú analytické v určitom okolí x 0 a majú nekonečný počet derivácií, takže pre ne v tomto okolí môžu byť reprezentované vo forme nekonečného Taylorovho mocninného radu: Za určitých podmienok sú Taylorove expanzie možné aj pre funkcie mnohých premenných, ako aj funkcionálov a operátorov. Historický odkaz. Až do 17. storočia M. a. bol súbor riešení izolovaných konkrétnych problémov; napríklad v integrálnom počte sú to problémy výpočtu plôch útvarov, objemov telies so zakrivenými hranicami, práce premenlivej sily atď. Každý problém alebo konkrétny problém sa riešil vlastnou metódou, niekedy zložitou a ťažkopádnou ( pre prehistóriu matematiky pozri článok Infinitezimálny počet),
M. a. ako jednotný a systematický celok sa sformoval v prácach I. Newtona, G. Leibniza, L. Eulera, J. Lagrangea a ďalších vedcov 17. -18. storočia a jeho teóriu limitov rozpracoval O. Komi (A. Cauchy) v r. začiatok. 19. storočie Hĺbková analýza počiatočných koncepcií MA. bol spojený s rozvojom v 19. a 20. storočí. teória množín, teória mier, teória funkcií reálnej premennej a viedli k rôznym zovšeobecneniam. Lit.: La Valle - P u s e n Sh.-J. d e, Priebeh rozboru infinitezimál, prekl. z francúzštiny, zväzok 1-2, M., 1933; Ilyin V.A., Poznyak E.G., Základy matematickej analýzy, 3. vydanie, časť 1, M., 1971; 2. vydanie, časť 2, M., 1980; Il a N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Mathematical Analysis, M., 1979; K u d r i v c e v L. D., Matematická analýza, 2. vydanie, zväzok 1-2, M., 1973; Nikolsky S.M., Kurz matematickej analýzy, 2. vydanie, zväzok 1-2, M., 1975; U i t e k e r E. T., V á t s o n D J. N., Kurz modernej analýzy, prekl. z angličtiny, diely 1-2, 2. vyd., M., 1962-63; F ikhtengolts G.M., Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu, 7. vydanie, zväzok 1-2, M., 1970; 5. vydanie, zväzok 3, M., 1970. S. M. Nikolsky. Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985. MATEMATICKÁ ANALÝZA, súbor odborov matematiky venovaných štúdiu funkcií metódami diferenciálneho počtu a integrálneho počtu... Moderná encyklopédia Súbor odborov matematiky venovaných štúdiu funkcií metódami diferenciálneho a integrálneho počtu. Termín je skôr pedagogický ako vedecký: kurzy matematickej analýzy sa vyučujú na univerzitách a technických školách... Veľký encyklopedický slovník Angličtina matematická analýza nemecký matematická analýza. Odvetvie matematiky venované štúdiu funkcií metódami diferenciálneho a integrálneho počtu. antinacistický. Encyklopédia sociológie, 2009 ... Encyklopédia sociológie Exist., počet synoným: 2 matan (2) matematická analýza (2) Slovník synoným ASIS. V.N. Trishin. 2013… Slovník synonym MATEMATICKÁ ANALÝZA- MATEMATICKÁ ANALÝZA. Súbor odborov matematiky venovaných štúdiu matematických funkcií metódami diferenciálneho a integrálneho počtu. Použitie metód M. a. je efektívnym prostriedkom na riešenie toho najdôležitejšieho...... Nový slovník metodických pojmov a pojmov (teória a prax vyučovania jazykov) matematická analýza- — SK matematická analýza Odvetvie matematiky, ktoré sa najviac zaoberá limitným procesom alebo konceptom konvergencie; zahŕňa teórie diferenciácie, ... ... Technická príručka prekladateľa Matematická analýza- MATEMATICKÁ ANALÝZA, súbor odborov matematiky venovaných štúdiu funkcií metódami diferenciálneho počtu a integrálneho počtu. ... Ilustrovaný encyklopedický slovník „...ak by som mal vytvoriť mechanizmus s jediným cieľom zničiť prirodzenú zvedavosť dieťaťa a jeho lásku k modelingu, je nepravdepodobné, že by som to urobil lepšie, ako sa to už zrealizovalo – jednoducho by som to neurobil. dostatok predstavivosti na to, aby mohla konkurovať takým necitlivým, otrepaným nápadom, ktoré sú stelesnené v moderných metódach štúdia matematiky." Predstavte si, že študujete výtvarné umenie takto: Deti, žiadne kreslenie v škôlke. Namiesto toho študujme chémiu produktov farieb, fyziku svetla a anatómiu oka. Po 12 rokoch štúdia týchto aspektov, ak deti (alebo skôr tínedžeri) stále neznášajú umenie, môžu začať kresliť sami. V konečnom dôsledku majú teraz úplný základ na to, aby začali rešpektovať umenie. Správny? To isté s poéziou. Predstavte si, že študujete tento citát (vzorec): „Ale hlavné je: buď verný sám sebe; Potom, rovnako ako noc nasleduje po dni, nezradíš iných." -William Shakespeare, Hamlet Je to elegantný spôsob, ako povedať „buď sám sebou“ (a ak to znamená písať o matematike neúctivo, tak áno). Ale keby sme na hodine matematiky študovali poéziu, namiesto hľadania významu by sme rátali počet slabík, analyzovali jambický pentameter, označovali by sme podstatné mená, slovesá a prídavné mená. Matematika a poézia sú ako rôzne spôsoby, ako vysvetliť a charakterizovať tú istú vec. Vzorce sú prostriedkom na dosiahnutie cieľa, spôsobom vyjadrenia matematickej pravdy. Zabudli sme, že matematika pracuje s myšlienkami, nie je to mechanická manipulácia so vzorcami, ktoré tieto myšlienky vyjadrujú. Tu je to, čo neurobím: Nebudem opakovať učebnice, ktoré už boli napísané. Ak potrebujete odpovede tu a teraz, existuje veľa webových stránok, video tutoriálov a 20 minút pomôcť. Namiesto toho sa naučme základné princípy matematickej analýzy. Rovnice nestačia – chcem heuréka momenty, aby ste skutočne videli ich význam a rozumeli jazyku matematiky. Formálny matematický jazyk je jednoducho spôsob komunikácie. Grafy, informatívne animované modely a jednoduchý jazyk môžu poskytnúť lepší prehľad ako stránka nejasných dôkazov. Myslím si, že každý môže pochopiť základné princípy matematickej analýzy. Nemusíme byť básnici, aby sme si užili Shakespearove diela. Bude to pre vás oveľa jednoduchšie, ak poznáte algebru a máte záujem o matematiku. Nie je to tak dávno, čo bolo čítanie a písanie prácou špeciálne vyškolených pisárov. A toto dnes dokáže každé 10-ročné dieťa. prečo? Pretože to očakávame. Očakávania zohrávajú obrovskú úlohu pri rozvoji schopností. Očakávajte teda, že kalkul bude len ďalším predmetom. Niektorí ľudia sa dostanú do najmenších detailov (spisovatelia/matematici). Ale my ostatní môžeme len obdivovať, čo sa deje a snažiť sa to pochopiť. Bol by som rád, keby si každý osvojil základné pojmy kalkulu a povedal „Wow!“ Toto bol jednoduchý príklad, ale rozumiete tomu? Zobrali sme disk, rozdelili sme ho a kúsky poskladali trochu iným spôsobom. Matematická analýza ukázala, že disk a krúžok spolu úzko súvisia: disk je v skutočnosti súbor krúžkov. Toto je veľmi populárna téma v kalkulácii: Veľké objekty sa skladajú z menších objektov. A niekedy je práca s týmito malými predmetmi jednoduchšia a prehľadnejšia. Mnohé príklady v počte sú založené na fyzike. To je, samozrejme, úžasné, ale môže byť ťažké ich vnímať: úprimne, nie vždy je možné mať na pamäti rôzne fyzikálne vzorce, ako napríklad vzorec pre rýchlosť objektu. Rád začínam jednoduchými vizuálnymi príkladmi, pretože tak funguje náš mozog. Krúžok/kruh, ktorý sme skúmali – môžete simulovať to isté pomocou niekoľkých kusov hadičiek rôznych priemerov: oddeľte ich, zarovnajte a rozložte do hrubého trojuholníka, aby ste zistili, či matematika skutočne funguje. S jednoduchým fyzikálnym vzorcom to pravdepodobne nebude možné. Mám pocit, že pedantskí matematici pália svoje klávesnice. Preto vložím len pár slov o „prísnosti“. Vedeli ste, že kalkul neučíme tak, ako ho objavili Newton alebo Leibniz? Používali intuitívne myšlienky „fluxion“ a „infinitezimals“, ktoré boli nahradené limitmi, pretože „Samozrejme, že to v praxi funguje. Funguje to však teoreticky? Vytvorili sme zložité mechanické modely na „presné“ dokazovanie počtu, ale v procese takýchto dôkazov sme stratili intuitívne pochopenie predmetu. Na sladkosť cukru sa pozeráme z hľadiska chémie mozgu, namiesto toho, aby sme to vysvetľovali vedecky: „Cukor má veľa energie. Zjedz to." Nechcem (a nemôžem) učiť študentov kalkul ani školiť vedcov. Bude však zlé, ak každý pochopí kalkul na „nepresnej“ úrovni, na ktorej ho chápal Newton? Žeby aj vám zmenil svet, ako sa kedysi zmenil jemu? Predčasné zameranie sa na presnosť študentov rozptyľuje a sťažuje učenie matematiky. Tu je dobrý príklad: číslo e je technicky definované ako limita, ale bolo objavené práve pomocou intuitívneho odhadu o raste . Prirodzený logaritmus môže vyzerať ako integrál alebo čas, ktorý potrebuje rásť. Ktoré vysvetlenia sú najlepšie pre začiatočníkov? Poďme kresliť trochu ručne a ponoríme sa do chémie. Veľa šťastia pri práci s počítačom. (P.S: Jeden láskavý čitateľ vytvoril animovanú prezentáciu v powerpointe, ktorá pomáha prezentovať túto myšlienku jasnejšie (najlepšie je to zobraziť v PowerPointe, uvidíte animácie). Vďaka!) Podľa ruského jazykového slovníka analýza je metóda vedeckého výskumu zvažovaním jednotlivých aspektov, vlastností a komponentov niečoho. Jedným z najdôležitejších odvetví matematiky je tzv matematická analýza a často dokonca len analýzu. Okamžite vyvstáva otázka: čo presne sa analyzuje matematickou analýzou? Odpoveď je jasná - funkcie sa analyzujú. Funkcia(z latinského „functionio“ - implementácia) predstavuje vzťah medzi premennými číselnými hodnotami. Keďže analýza je výskumná metóda, vyvstáva druhá otázka: čo je táto metóda? Odpoveď je daná druhým názvom matematickej analýzy - diferenciálny a integrálny počet. Počet je odvetvie matematiky, ktoré stanovuje pravidlá výpočtu. slovo " diferenciál“ pochádza z latinského slova „diferenciácia“, t.j. rozdiel. slovo " integrálne„nemá taký jasný pôvod („celé číslo“ - celok; „integra“ - obnovenie), ale má význam spájať časti do celku a obnoviť to, čo bolo rozdelené na rozdiely. Toto zotavenie sa dosiahne pomocou zhrnutie. Zhrňme si prvé výsledky: · Hlavné objekty, študoval v matematickej analýze sú funkcie. · Funkcie sú závislosti rôznych typov medzi premennými číselnými hodnotami. · Metódou matematickej analýzy je diferenciácia– práca s rozdielmi funkčných hodnôt a integrácia– výpočet súm. Aby ste teda zvládli matematickú analýzu, musíte najprv pochopiť pojem funkcie. Funkcia je dôležitým matematickým konceptom, pretože funkcie sú matematickým spôsobom opisu pohybu a zmeny. Funkcia je proces. Najdôležitejším typom pohybu je mechanický pohyb v priamke. Pri pohybe sa merajú vzdialenosti prejdené objektom, ale to zjavne nestačí na úplný opis pohybu. Achilles aj korytnačka sa môžu pohybovať na rovnakú vzdialenosť od východiskového bodu, ale ich pohyb sa líši rýchlosťou a rýchlosť sa nedá merať bez merania času. Už pri zvažovaní tohto príkladu je jasné, že jedna premenná nestačí na opis pohybu a zmeny. Je intuitívne jasné, že čas sa mení rovnomerne, ale vzdialenosť sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie. Pohyb je úplne opísaný, ak je v každom okamihu známe, ako ďaleko sa objekt posunul od počiatočného bodu. Pri mechanickom pohybe teda vzniká súlad medzi hodnotami dvoch premenných veličín - času, ktorý sa mení bez ohľadu na čokoľvek, a vzdialenosti, ktorá závisí od času. Táto skutočnosť tvorí základ pre definíciu funkcie. V tomto prípade sa tieto dve premenné už nenazývajú čas a vzdialenosť. Definícia funkcie: funkciu – je to pravidlo alebo zákon, priradenie každej hodnoty nezávislej premennej X
špecifická hodnota závislej premennej pri
. Nezávislá premenná X
sa nazýva argument a závislý pri
– funkcia. Niekedy sa hovorí, že funkcia je vzťah medzi dvoma premennými. Ako si predstaviť, čo je premenná? Premenná je číselná os (pravítko alebo stupnica), po ktorej sa pohybuje bod (teplomer alebo ihlica na pletenie s korálkou). Funkcia je mechanizmus ozubených kolies s dvomi oknami x a y. Tento mechanizmus umožňuje inštaláciu do okna X
ľubovoľnú hodnotu a v okne pri
Hodnota funkcie sa automaticky zobrazí pomocou ozubených kolies. Problém 1. Teplota pacienta sa meria každú hodinu. Existuje funkcia - závislosť teploty od času. Ako prezentovať túto funkciu? Odpoveď: tabuľka a graf. Funkcia je spojitá, rovnako ako pohyb je spojitý, ale v praxi nie je možné túto spojitosť zafixovať. Môžete zachytiť iba jednotlivé hodnoty argumentov a funkcií. Teoreticky je však stále možné popísať kontinuitu. Problém 2. Galileo Galilei zistil, že voľne padajúce teleso prekoná jednu jednotku vzdialenosti v prvej sekunde, 3 jednotky v druhej, 5 jednotiek v tretej atď. Určte závislosť času od vzdialenosti. Poznámka: odvodiť všeobecný vzorec pre závislosť prejdenej vzdialenosti od čísla vzdialenosti. Metódy špecifikovania funkcií. Problémy matematickej analýzy. Prechod z jednej reprezentácie funkcie do druhej (výpočet funkčných hodnôt, zostrojenie približných analytických funkcií z experimentálnych numerických a grafických údajov, štúdium funkcií a zostavenie grafov). Matematické štúdium vlastností funkcie ako procesu. Príklad 1: hľadanie rýchlosti pomocou známej funkcie dráha versus čas (diferenciácia). Príklad 2: nájdenie cesty pomocou známej funkcie rýchlosti versus čas (integrácia).Funkcia. Základné definície a pojmy.
Albert Einstein
C – kapacita, ktorá sa meria vo faradoch;
dv – zmena napätia;
dt – zmena času. 
Pozrite sa, čo je "MATHEMATICKÁ ANALÝZA" v iných slovníkoch:
No, toto je všetko jasné, tak aký je váš skvelý nápad?
Ale matematická analýza je ťažká!
O čom je teda kalkul?
Trochu o príkladoch
Trochu o matematickej prísnosti (pre fanatikov tejto vedy)
|
ďalšia prednáška ==>
Kreatívna položka: Zošity kontroluje X (kto?) učiteľ |
