Lectura

Forma trigonometrică a unui număr complex

Plan

1.Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

2. Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

3.Acțiuni terminate numere complexeîn formă trigonometrică.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

a) Numerele complexe sunt reprezentate prin puncte ale planului conform următoarei reguli: A + bi = M ( A ; b ) (Fig. 1).

Poza 1

b) Un număr complex poate fi reprezentat ca un vector care începe din punctO și se termină într-un punct dat (Fig. 2).

Figura 2

Exemplul 7. Trasează punctele reprezentând numere complexe:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Notarea trigonometrică a numerelor complexe.

Număr complexz = A + bi poate fi setat folosind raza - vector cu coordonate( A ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Definiție . Lungimea vectorului reprezentând numărul complexz , se numește modulul acestui număr și se notează saur .

Pentru orice număr complexz modulul acestuiar = | z | este determinată unic de formulă .

Definiție . Valoarea unghiului dintre direcția pozitivă a axei reale și vector reprezentarea unui număr complex se numește argumentul acestui număr complex și se noteazăA rg z sauφ .

Argumentul numărului complexz = 0 nedefinit. Argumentul numărului complexz≠ 0 este o mărime multivalorică și se determină până la termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , Undearg z - valoarea principală a argumentului, inclusă în interval(-π; π] , acesta este-π < arg z ≤ π (uneori valoarea care aparține intervalului este luată ca valoare principală a argumentului .

Această formulă pentrur =1 adesea denumită formula lui De Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Exemplul 11 ​​Calculați(1 + i ) 100 .

Să scriem un număr complex1 + i în formă trigonometrică.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + eu păcătuiesc )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i păcat 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complex.

La extragerea rădăcinii pătrate a unui număr complexA + bi avem doua cazuri:

dacăb > despre , atunci ;

NUMERE COMPLEXE XI

§ 256. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie numărul complex a + bi corespunde vectorului OA> cu coordonate ( a, b ) (vezi Fig. 332).

Se notează lungimea acestui vector cu r , și unghiul pe care îl face cu axa X , peste φ . Prin definiția sinusului și cosinusului:

A / r = cos φ , b / r = păcat φ .

Asa de A = r cos φ , b = r păcat φ . Dar în acest caz numărul complex a + bi poate fi scris ca:

a + bi = r cos φ + ir păcat φ = r (cos φ + i păcat φ ).

După cum știți, pătratul lungimii oricărui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale. Asa de r 2 = A 2 + b 2, de unde r = √a 2 + b 2

Asa de, orice număr complex a + bi poate fi reprezentat ca :

a + bi = r (cos φ + i păcat φ ), (1)

unde r = √a 2 + b 2 și unghiul φ determinată din condiția:

Această formă de scriere a numerelor complexe se numește trigonometric.

Număr r în formula (1) se numește modul, și unghiul φ - argument, număr complex a + bi .

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci modulul său este pozitiv; dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0 și apoi r = 0.

Modulul oricărui număr complex este determinat în mod unic.

Dacă un număr complex a + bi nu este egal cu zero, atunci argumentul său este determinat de formulele (2) categoric până la un unghi multiplu de 2 π . Dacă a + bi = 0, atunci a = b = 0. În acest caz r = 0. Din formula (1) este ușor de înțeles că ca argument φ în acest caz, puteți alege orice unghi: la urma urmei, pentru orice φ

0 (cos φ + i păcat φ ) = 0.

Prin urmare, argumentul zero nu este definit.

Modulul numărului complex r uneori denotă | z |, iar argumentul arg z . Să ne uităm la câteva exemple de reprezentare a numerelor complexe în formă trigonometrică.

Exemplu. unu. 1 + i .

Să găsim modulul r și argumentare φ acest număr.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Prin urmare păcatul φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , de unde φ = π / 4 + 2nπ .

În acest fel,

1 + i = √ 2 ,

Unde P - orice număr întreg. De obicei, dintr-un set infinit de valori ale argumentului unui număr complex, se alege unul care este între 0 și 2 π . În acest caz, această valoare este π / 4 . Asa de

1 + i = √ 2 (cos π / 4 + i păcat π / 4)

Exemplul 2 Scrieți în formă trigonometrică un număr complex √ 3 - i . Noi avem:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Prin urmare, până la un unghi divizibil cu 2 π , φ = 11 / 6 π ; prin urmare,

√ 3 - i = 2(cos 11 / 6 π + i păcatul 11/6 π ).

Exemplul 3 Scrieți în formă trigonometrică un număr complex eu .

număr complex i corespunde vectorului OA> se termină în punctul A al axei la cu ordonata 1 (Fig. 333). Lungimea unui astfel de vector este egală cu 1, iar unghiul pe care îl formează cu axa absciselor este egal cu π / 2. Asa de

i = cos π / 2 + i păcat π / 2 .

Exemplul 4 Scrieți numărul complex 3 în formă trigonometrică.

Numărul complex 3 corespunde vectorului OA > X abscisa 3 (Fig. 334).

Lungimea unui astfel de vector este 3, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este 0. Prin urmare

3 = 3 (cos 0 + i păcat 0),

Exemplul 5 Scrieți în formă trigonometrică numărul complex -5.

Numărul complex -5 corespunde vectorului OA> se termină în punctul axei X cu abscisă -5 (Fig. 335). Lungimea unui astfel de vector este 5, iar unghiul pe care îl formează cu axa x este π . Asa de

5 = 5(cos π + i păcat π ).

Exerciții

2047. Scrieți aceste numere complexe în formă trigonometrică, definindu-și modulele și argumentele:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Indicați în plan mulțimile de puncte reprezentând numere complexe ale căror module r și argumente φ îndeplinesc condițiile:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Pot numerele să fie în același timp modulul unui număr complex? r și - r ?

2050. Argumentul unui număr complex poate fi unghiuri în același timp φ și - φ ?

Prezentați aceste numere complexe în formă trigonometrică prin definirea modulelor și argumentelor lor:

2051*. 1 + cos α + i păcat α . 2054*. 2(cos 20° - i păcat 20°).

2052*. păcat φ + i cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - i păcatul 15°).

Pentru a determina poziția unui punct pe un plan, puteți utiliza coordonatele polare [g, (p), Unde G este distanța punctului de la origine și (R- unghiul pe care il face raza - vectorul acestui punct cu directia pozitiva a axei Oh. Direcția pozitivă a schimbării unghiului (R se ia în considerare sensul invers acelor de ceasornic. Folosind relația dintre coordonatele carteziene și polare: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (pag,

obţinem forma trigonometrică a numărului complex

z - r(sin (p + i sin

Unde G

Xi + y2, (p este argumentul unui număr complex, care se găsește din

l X . y y

formule cos(p --, sin^9 ​​= - sau datorită faptului că tg(p --, (p-arctg

Rețineți că atunci când alegeți valorile mier din ultima ecuație, este necesar să se țină cont de semne x și y.

Exemplul 47. Scrieți un număr complex sub formă trigonometrică 2 \u003d -1 + l / Z / .

Soluţie. Găsiți modulul și argumentul numărului complex:

= yj 1 + 3 = 2 . Injecţie mier afla din relatii cos(p = -, sin(p = - . Atunci

primim cos(p = -, suup

u/z g~

• - -. Evident, punctul z = -1 + V3-/ este
• 2 La 3

in al doilea trimestru: (R= 120°

Înlocuind

2 k.. cos-h; păcat

în formula (1) a găsit 27G L

Cometariu. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu al 2p. Apoi prin cn^r desemna

valoarea argumentului inclusă în (p 0 %2 Atunci

A) ^ r = + 2kk.

Folosind binecunoscuta formulă Euler e, obținem forma exponențială a numărului complex.

Noi avem r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Operații pe numere complexe

• 1. Suma a două numere complexe r, = X] + y x/ și r 2 - x 2 + y 2 / se determină după formula r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. Operația de scădere a numerelor complexe este definită ca operația inversă adunării. Număr complex g \u003d g x - g 2, dacă g 2 + g \u003d g x,

este diferența numerelor complexe 2 și g 2 . Atunci r = (x, - x 2) + (y, - la 2) /.

• 3. Produsul a două numere complexe g x= x, +y, -z și 2 2 = x 2+ U2‘g este determinat de formula
• *1*2 =(* +U„0(X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + La1 La2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

În special, a-a\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Puteți obține formulele de înmulțire pentru numere complexe în forme exponențiale și trigonometrice. Noi avem:

• 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. Împărțirea numerelor complexe este definită ca operație inversă

înmulțire, adică număr G-- se numește câtul împărțirii lui r! pe g 2,

dacă r x -1 2 ? 2 . Atunci

X + Ті _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 e

i(r g

• - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (R-,)] >2 >2
• 5. Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă se face cel mai bine dacă numărul este scris în forme exponențiale sau trigonometrice.

Într-adevăr, dacă z = ge 1 atunci

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + it gcr).

Formula g" =r n (cosn(p+este n(p) se numeşte formula lui De Moivre.

6. Extragerea rădăcinii P- Puterea-a a unui număr complex este definită ca operația inversă de exponențiere p, p- 1,2,3,... adică. număr complex = y[g numită rădăcină P- gradul al unui număr complex

d dacă G = g x. Din această definiţie rezultă că g - g ", A g x= l/g. (p-psr x, A sr^-sr/n, care rezultă din formula Moivre scrisă pentru numărul = r/*+ ippp(p).

După cum sa menționat mai sus, argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic, ci până la un termen care este un multiplu de 2 bine. Asa de = (p + 2 buc, iar argumentul numărului r, în funcție de La, denota (p lași hui

dem se calculează prin formulă (p la= - + . Este clar că există P com-

numere plex, P a cărei putere este egală cu numărul 2. Aceste numere au unul

și același modul, egal cu y[r, iar argumentele acestor numere se obţin prin La = 0, 1, P - 1. Astfel, în formă trigonometrică, rădăcina gradul I calculat prin formula:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, La = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

iar în formă exponenţială – conform formulei l[r - y[ge n

Exemplul 48. Efectuați operații pe numere complexe în formă algebrică:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Exemplul 49. Ridicați numărul r \u003d Uz - / la a cincea putere.

Soluţie. Obținem forma trigonometrică de scriere a numărului r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1 - 2/X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-x2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (asa si asa

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) „з+/
• 9 + 1 s_±.
• 5 2 1 "

De aici O--, A r = 2

Moivre obținem: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

• -S.U.A-- IBIP -

• --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Exemplul 50 Găsiți toate valorile

Soluție, r = 2, a mier afla din ecuatie coy(p = -, zt--.

Acest punct 1 - /d/z este în al patrulea trimestru, adică. f =--. Atunci

• 1 - 2
• ( ( UG L

Valorile rădăcinii se găsesc din expresie

V1 - /l/s = l/2

• --+ 2A:/g ---b 2 kk
• 3 . . 3

С08--1- și 81П-

La La - 0 avem 2 0 = l/2

Puteți găsi valorile rădăcinii numărului 2 prezentând numărul pe afișaj

-* LA/ 3 + 2 clasă

La La= 1 mai avem o valoare rădăcină:

• 7G. 7G_
• ---b27g ---b2;g
• 3 . . h

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --N-

cu? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

forma corpului. pentru că r= 2, a mier= , atunci r = 2е 3 , și y[g = y/2e 2

Acțiuni asupra numerelor complexe scrise în formă algebrică

Forma algebrică a numărului complex z =(A,b).se numeşte expresie algebrică a formei

z = A + bi.

Operatii aritmetice pe numere complexe z 1 = a 1 +b 1 iși z 2 = a 2 +b 2 i, scrise sub formă algebrică, se realizează după cum urmează.

1. Suma (diferența) numerelor complexe

z 1 ±z 2 = (A 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

acestea. adunarea (scăderea) se efectuează după regula adunării polinoamelor cu reducerea termenilor similari.

2. Produsul numerelor complexe

z 1 ∙z 2 = (A 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (A 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i,

acestea. înmulţirea se face după regula uzuală de înmulţire a polinoamelor, ţinând cont de faptul că i 2 = 1.

3. Împărțirea a două numere complexe se face după următoarea regulă:

, (z 2 ≠ 0),

acestea. împărțirea se realizează prin înmulțirea dividendului și a divizorului cu conjugatul divizorului.

Exponentiația numerelor complexe este definită după cum urmează:

Este ușor să arăți asta

Exemple.

1. Aflați suma numerelor complexe z 1 = 2 – iși z 2 = – 4 + 3i.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Aflați produsul numerelor complexe z 1 = 2 – 3iși z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3eu∙ 5i = 7+22i.

3. Găsiți privat z din diviziune z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – i.

z= .

4. Rezolvați ecuația:, Xși y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

În virtutea egalității numerelor complexe, avem:

Unde x=–1 , y= 4.

5. Calculați: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Calculați dacă .

.

7. Calculați reciproca unui număr z=3-i.

Numere complexe în formă trigonometrică

plan complex se numeste plan cu coordonate carteziene ( X y), dacă fiecare punct cu coordonate ( a, b) i se atribuie un număr complex z = a + bi. În acest caz, se numește axa absciselor axa reală, iar axa y este imaginar. Apoi fiecare număr complex a+bi reprezentat geometric pe un plan ca punct A (a, b) sau vector .

Prin urmare, poziția punctului A(și de aici numărul complex z) poate fi stabilit de lungimea vectorului | | = rși unghi j format din vectorul | | cu direcția pozitivă a axei reale. Lungimea unui vector se numește modulul numerelor complexeși se notează cu | z|=r, și unghiul j numit argument de număr complexși notat j = argz.

Este clar că | z| ³ 0 și | z | = 0 Û z= 0.

Din fig. 2 arată că.

Argumentul unui număr complex este definit ambiguu și până la 2 pk,kÎ Z.

Din fig. 2 mai arată că dacă z=a+biși j=argz, atunci

cos j =, păcat j =, tg j = .

Dacă zОRși z > 0 atunci argz = 0 +2pk;

dacă z ОRși z< 0 atunci argz = p + 2pk;

dacă z= 0,argz nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată pe intervalul 0 £argz£2 p,

sau -p£ arg z £ p.

Exemple:

1. Aflați modulul numerelor complexe z 1 = 4 – 3iși z 2 = –2–2i.

2. Determinați pe planul complex ariile specificate de condițiile:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 GBP; 3) | z – (2+i) | 3 lire sterline; 4) 6 GBP | z – i| £7.

Solutii si raspunsuri:

1) | z| = 5 Û Û este ecuația unui cerc cu raza 5 și centrat la origine.

2) Cerc cu raza 6 centrat la origine.

3) Cerc cu raza 3 centrată într-un punct z0 = 2 + i.

4) Un inel delimitat de cercuri cu razele 6 și 7 centrate într-un punct z 0 = i.

3. Găsiți modulul și argumentul numerelor: 1) ; 2).

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b=-2 Þ ,

.

Notă: Când definiți argumentul principal, utilizați planul complex.

În acest fel: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

Fie vectorul dat pe plan complex prin numărul .

Notați cu φ unghiul dintre semiaxa pozitivă Ox și vector (unghiul φ este considerat pozitiv dacă este numărat în sens invers acelor de ceasornic, iar negativ în caz contrar).

Se notează lungimea vectorului cu r. Atunci . Notăm și noi

Scrierea unui număr complex diferit de zero z ca

se numește forma trigonometrică a numărului complex z. Numărul r se numește modulul numărului complex z, iar numărul φ se numește argumentul acestui număr complex și se notează cu Arg z.

Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex - (formula lui Euler) - o formă exponențială de scriere a unui număr complex:

Numărul complex z are infinit de argumente: dacă φ0 este orice argument al numărului z, atunci toate celelalte pot fi găsite prin formula

Pentru un număr complex, argumentul și forma trigonometrică nu sunt definite.

Astfel, argumentul unui număr complex diferit de zero este orice soluție a sistemului de ecuații:

(3)

Valoarea φ a argumentului unui număr complex z care satisface inegalitățile se numește valoare principală și se notează cu arg z.

Argumentele Arg z și arg z sunt legate prin egalitate

, (4)

Formula (5) este o consecință a sistemului (3), deci toate argumentele numărului complex satisfac egalitatea (5), dar nu toate soluțiile φ ale ecuației (5) sunt argumente ale numărului z.

Valoarea principală a argumentului unui număr complex diferit de zero se găsește prin formulele:

Formulele de înmulțire și împărțire a numerelor complexe în formă trigonometrică sunt următoarele:

. (7)

Când se ridică un număr complex la o putere naturală, se folosește formula lui de Moivre:

La extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex, se utilizează formula:

, (9)

unde k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calculați , unde .

Să reprezentăm soluția acestei expresii în forma exponențială a scrierii unui număr complex: .

Daca atunci .

Atunci , . Prin urmare, atunci și , Unde .

Răspuns: , la .

Problema 55. Scrieți numere complexe în formă trigonometrică:

A) ; b) ; v) ; G) ; e) ; e) ; g).

Deoarece forma trigonometrică a unui număr complex este , atunci:

a) Într-un număr complex: .

,

Asa de

b) , Unde ,

G) , Unde ,

e) .

g) , A , atunci .

Asa de

Răspuns: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Aflați forma trigonometrică a unui număr complex

.

Lăsa , .

Atunci , , .

Pentru că și , , apoi , și

Prin urmare, deci

Răspuns: , Unde .

Problema 57. Folosind forma trigonometrică a unui număr complex, efectuați următoarele acțiuni: .

Imaginează-ți numere și în formă trigonometrică.

1), unde atunci

Găsirea valorii argumentului principal:

Înlocuiți valorile și în expresia , obținem

2) atunci unde

Atunci

3) Aflați coeficientul

Presupunând k=0, 1, 2, obținem trei valori diferite ale rădăcinii dorite:

Daca atunci

daca atunci

daca atunci .

Răspuns: :

:

: .

Problema 58. Fie , , , numere complexe diferite și . Demonstrează asta

un număr este un număr real pozitiv;

b) egalitatea are loc:

a) Să reprezentăm aceste numere complexe în formă trigonometrică:

Pentru că .

Să ne prefacem că. Atunci

.

Ultima expresie este un număr pozitiv, deoarece există numere din intervalul sub semnele sinusului.

deoarece numărul reale și pozitive. Într-adevăr, dacă a și b sunt numere complexe și sunt reale și mai mari decât zero, atunci .

În plus,

deci se dovedeşte egalitatea cerută.

Problema 59. Notează numărul în formă algebrică .

Reprezentăm numărul în formă trigonometrică, apoi găsim forma sa algebrică. Noi avem . Pentru obținem sistemul:

De aici rezultă egalitatea: .

Aplicând formula lui De Moivre:

primim

Se găsește forma trigonometrică a numărului dat.

Acum scriem acest număr în formă algebrică:

.

Răspuns: .

Problema 60. Aflați suma , ,

Luați în considerare suma

Aplicând formula De Moivre, găsim

Această sumă este suma a n termeni ai unei progresii geometrice cu numitor și primul membru .

Aplicând formula pentru suma termenilor unei astfel de progresii, avem

Separând partea imaginară în ultima expresie, găsim

Separând partea reală, obținem și următoarea formulă: , , .

Problema 61. Aflați suma:

A) ; b) .

Conform formulei lui Newton pentru ridicarea la putere, avem

Conform formulei lui De Moivre, găsim:

Echivalând părțile reale și imaginare ale expresiilor obținute pentru , avem:

și .

Aceste formule pot fi scrise într-o formă compactă după cum urmează:

,

, unde este partea întreagă a numărului a.

Problema 62. Găsiți toate pentru care .

În măsura în care , apoi, aplicând formula

, Pentru a extrage rădăcinile, obținem ,

Prin urmare, , ,

, .

Punctele corespunzătoare numerelor sunt situate la vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc de rază 2 centrat în punctul (0;0) (Fig. 30).

Răspuns: , ,

, .

Problema 63. Rezolvați ecuația , .

După condiție; prin urmare, această ecuație nu are rădăcină și, prin urmare, este echivalentă cu ecuația.

Pentru ca numărul z să fie rădăcina acestei ecuații, este necesar ca numărul să fie rădăcina gradul al n-lea de la numarul 1.

Prin urmare, concluzionăm că ecuația originală are rădăcini determinate din egalități

,

În acest fel,

,

adică ,

Răspuns: .

Problema 64. Rezolvați ecuația din mulțimea numerelor complexe.

Deoarece numărul nu este rădăcina acestei ecuații, atunci pentru această ecuație este echivalentă cu ecuația

Adică ecuația.

Toate rădăcinile acestei ecuații sunt obținute din formula (vezi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Desenați pe planul complex o mulțime de puncte care satisfac inegalitățile: . (a doua modalitate de a rezolva problema 45)

Lăsa .

Numerele complexe cu aceleași module corespund punctelor planului situate pe un cerc centrat la origine, deci inegalitatea satisface toate punctele unui inel deschis delimitate de cercuri cu un centru comun la origine și razele și (Fig. 31). Fie ca un punct al planului complex să corespundă numărului w0. Număr , are un modul de ori mai mic decât modulul w0, un argument care este mai mare decât argumentul w0. Din punct de vedere geometric, punctul corespunzător lui w1 poate fi obținut folosind o homotezie centrată la origine și coeficient, precum și o rotație în sens invers acelor de ceasornic față de origine. Ca urmare a aplicării acestor două transformări la punctele inelului (Fig. 31), acesta din urmă se va transforma într-un inel delimitat de cercuri cu același centru și raze 1 și 2 (Fig. 32).

transformare este implementat folosind translația paralelă pe vector. Transferând inelul centrat într-un punct către vectorul indicat, obținem un inel de aceeași dimensiune centrat într-un punct (Fig. 22).

Metoda propusă, care folosește ideea transformărilor geometrice ale planului, este probabil mai puțin convenabilă în descriere, dar este foarte elegantă și eficientă.

Problema 66. Aflați dacă .

Să , atunci și . Egalitatea originală va lua forma . Din condiția de egalitate a două numere complexe se obține , , de unde , . În acest fel, .

Să scriem numărul z în formă trigonometrică:

, Unde , . Conform formulei lui De Moivre, găsim .

Răspuns: - 64.

Problema 67. Pentru un număr complex, găsiți toate numerele complexe astfel încât , și .

Să reprezentăm numărul în formă trigonometrică:

. Prin urmare, . Pentru un număr pe care îl obținem, poate fi egal cu oricare.

În primul caz , in secunda

.

Răspuns: , .

Problema 68. Aflați suma numerelor astfel încât . Specificați unul dintre aceste numere.

Rețineți că deja din formularea problemei se poate înțelege că suma rădăcinilor ecuației poate fi găsită fără a calcula rădăcinile în sine. Într-adevăr, suma rădăcinilor ecuației este coeficientul lui , luat cu semnul opus (teorema Vieta generalizată), adică.

Elevii, documentația școlară, trag concluzii despre gradul de asimilare a acestui concept. Rezumați studiul trăsăturilor gândirii matematice și procesul de formare a conceptului de număr complex. Descrierea metodelor. Diagnostic: I stadiu. Interviul a fost realizat cu un profesor de matematică care predă algebră și geometrie în clasa a X-a. Conversația a avut loc după ce a trecut ceva timp...

Rezonanță” (!)), care include și devizul propriul comportament. 4. Evaluarea critică a înțelegerii dumneavoastră a situației (îndoieli). 5. În fine, utilizarea recomandărilor psihologiei juridice (luând în considerare de către avocat aspectele psihologice ale acțiunilor profesionale efectuate - pregătire psihologică profesională). Luați în considerare acum analiza psihologică a faptelor juridice. ...

Matematica substituirii trigonometrice si verificarea eficacitatii metodologiei de predare elaborate. Etapele lucrării: 1. Elaborarea unui curs opțional pe tema: „Aplicarea substituției trigonometrice la rezolvarea problemelor algebrice” cu elevii din clasele cu studiul aprofundat al matematicii. 2. Desfășurarea unui curs opțional dezvoltat. 3. Efectuarea unui control de diagnosticare...

Sarcinile cognitive sunt destinate doar să completeze mijloacele didactice existente și ar trebui să fie într-o combinație adecvată cu toate mijloacele și elementele tradiționale ale procesului educațional. Diferența dintre problemele educaționale în predarea științelor umaniste din probleme exacte, matematice constă doar în faptul că nu există formule, algoritmi rigizi etc. în problemele istorice, ceea ce complică rezolvarea acestora. ...