Үлгэрүүд

Квадрат тэгшитгэлийн аман шийдэл ба Виетийн теорем. Квадрат болон бусад тэгшитгэлийн Виетийн теорем Виетийн теоремыг хэрэглэх

Энэ лекцээр бид квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон түүний коэффициентүүдийн хоорондох сонирхолтой хамааралтай танилцах болно. Эдгээр харилцааг Францын математикч Франсуа Виет (1540-1603) анх нээжээ.

Жишээлбэл, Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 тэгшитгэлийн хувьд үндсийг нь олохгүйгээр та Виета теоремыг ашиглан язгууруудын нийлбэр нь , язгуурын үржвэр нь нэн даруй хэлж болно.
өөрөөр хэлбэл - 2. x 2 - 6x + 8 \u003d 0 тэгшитгэлийн хувьд бид дүгнэж байна: язгуурын нийлбэр нь 6, үндэсийн үржвэр нь 8; дашрамд хэлэхэд 4 ба 2 гэсэн үндэс нь юутай тэнцүү болохыг таахад хэцүү биш юм.
Вьетагийн теоремын баталгаа. ax 2 + bx + c \u003d 0 квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 үндсийг томъёогоор олно.

Энд D \u003d b 2 - 4ac нь тэгшитгэлийн ялгаварлагч юм. Эдгээр үндсийг тавих
бид авдаг

Одоо бид x 1 ба x 2 үндэсүүдийн үржвэрийг тооцоолно

Хоёр дахь хамаарал нь батлагдсан:
Сэтгэгдэл. Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай тохиолдолд (жишээ нь, D \u003d 0 үед) хүчинтэй бөгөөд энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дээрх харилцааг ашигласан хоёр ижил үндэстэй гэж үздэг.
X 2 + px + q \u003d 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн батлагдсан хамаарал нь маш энгийн хэлбэртэй байна. Энэ тохиолдолд бид дараахийг авна.

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
тэдгээр. өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
Виета теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авч болно. Жишээлбэл, x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 гэсэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс байцгаая. Дараа нь

Гэхдээ Виетийн теоремын гол зорилго нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын тодорхой хамаарлыг илэрхийлэхэд оршдоггүй. Илүү чухал зүйл бол Виетийн теоремын тусламжтайгаар квадрат гурвалсан тоог хүчинжүүлэх томъёог гаргаж авсан бөгөөд үүнгүйгээр бид ирээдүйд хийхгүй.

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Жишээ 1. Гурвалсан дөрвөлжин 3х 2 - 10х + 3-ийг үржүүлэх.
Шийдэл. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид Zx 2 - 10x + 3 квадрат гурвалсан язгуурыг олно: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Теорем 2-ыг ашиглан бид олж авна

Zx - 1 гэж бичих нь утга учиртай. Дараа нь бид эцэст нь Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) болно.
Өгөгдсөн дөрвөлжин гурвалсан тоог теорем 2-ыг ашиглахгүйгээр бүлэглэх аргыг ашиглан хүчин зүйлээр ангилж болохыг анхаарна уу.

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Гэхдээ таны харж байгаагаар энэ аргын амжилт нь бид амжилттай бүлэглэл олж чадах эсэхээс хамаарна, харин эхний аргын амжилт нь баталгаатай байдаг.
Жишээ 1. Бутархай хэсгийг багасгах

Шийдэл. 2x 2 + 5x + 2 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = - 2-г олно.

x2 - 4x - 12 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = 6, x 2 = -2-ийг олно. Тийм ч учраас
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Одоо өгөгдсөн бутархайг бууруулъя:

Жишээ 3. Илэрхийллийг үржүүлэх:
a) x4 + 5x 2 +6; б) 2х+-3
Шийдэл а) Бид y = x 2 гэсэн шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж байна. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчтай харьцуулахад квадрат гурвалжин хэлбэрээр, тухайлбал y 2 + bу + 6 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно.
y 2 + bу + 6 \u003d 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид y 2 + 5y + 6 квадрат гурвалсан язгуурыг олно: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Одоо бид теорем 2-ыг ашиглаж байна; бид авдаг

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y \u003d x 2, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах нь зүйтэй. Тэгэхээр,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
б) y = шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчтай харьцуулахад дөрвөлжин гурвалсан хэлбэрээр, тухайлбал 2y 2 + y - 3 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
2y 2 + y - 3 \u003d 0, бид квадрат гурвалсан 2y 2 + y - 3-ийн үндсийг олно.
y 1 = 1, y 2 =. Цаашилбал, теорем 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

y \u003d, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах нь зүйтэй. Тэгэхээр,

Энэ хэсэг нь Вьетнамын теоремтой, эс тэгвээс эсрэг заалттай холбоотой зарим эргэцүүлэлээр төгсдөг.
хэрэв x 1, x 2 тоонууд нь x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q байвал эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
Энэхүү мэдэгдлийг ашигласнаар та язгуур томьёо ашиглахгүйгээр олон квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдэж, мөн өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэлийг зохиож болно. Жишээ хэлье.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Энд x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3 гэдгийг таахад хялбар байдаг.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Энд x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 гэдгийг таахад хялбар байдаг.
Анхаарна уу: хэрэв тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн эерэг тоо байвал хоёр үндэс нь эерэг эсвэл сөрөг байна; үндсийг сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

3) x 2 + x - 12 = 0. Энд x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12 байна. x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 гэдгийг таахад хялбар байдаг.
Анхаарна уу: хэрэв тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн нь сөрөг тоо бол үндэс нь тэмдгээр өөр байна; үндсийг сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг, өөрөөр хэлбэл. x 1 \u003d 1 - тэгшитгэлийн үндэс. x 1 x 2 \u003d - ба x 1 \u003d 1 тул бид x 2 \u003d -ийг авна.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Энд x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Хэрэв та 2830 = 283 гэдгийг анхаарч үзвэл. 10, ба 293 \u003d 283 + 10, тэгвэл x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 гэдэг нь тодорхой болно (одоо энэ квадрат тэгшитгэлийг стандарт томъёогоор шийдэхийн тулд ямар тооцоолол хийх ёстойг төсөөлөөд үз дээ).

6) Бид квадрат тэгшитгэлийг зохиодог бөгөөд ингэснээр x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 тоонууд нь түүний үндэс болдог.Ихэвчлэн ийм тохиолдолд тэд x 2 + px + q \u003d 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг бүрдүүлдэг.
Бидэнд x 1 + x 2 \u003d -p байгаа тул 8 - 4 \u003d -p, өөрөөр хэлбэл p \u003d -4 байна. Цаашилбал, x 1 x 2 = q, өөрөөр хэлбэл. 8"(-4) = q, эндээс бид q = -32 авна. Тиймээс p \u003d -4, q \u003d -32, энэ нь хүссэн квадрат тэгшитгэл нь x 2 -4x-32 \u003d 0 хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

Аливаа бүрэн квадрат тэгшитгэл ax2 + bx + c = 0санаанд оруулж болно x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, хэрэв бид эхлээд гишүүн бүрийг өмнөх a коэффициентээр хуваавал x2. Хэрэв бид шинэ тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх юм бол (б/а) = хболон (c/a) = q, тэгвэл бид тэгшитгэлтэй болно x 2 + px + q = 0, үүнийг математикт гэж нэрлэдэг багасгасан квадрат тэгшитгэл.

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүд хболон qхарилцан уялдаатай. Энэ нь батлагдсан Вьетагийн теорем, 16-р зууны төгсгөлд амьдарч байсан Францын математикч Франсуа Вьетагийн нэрээр нэрлэгдсэн.

Теорем. Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 + px + q = 0хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна х, эсрэг тэмдгээр авсан, үндэс бүтээгдэхүүн - чөлөөт нэр томъёо q.

Бид эдгээр харьцааг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Болъё x 1болон x2бууруулсан тэгшитгэлийн янз бүрийн үндэс x 2 + px + q = 0. Вьетагийн теоремын дагуу x1 + x2 = -pболон x 1 x 2 = q.

Үүнийг батлахын тулд тэгшитгэлд x 1 ба x 2 үндэс бүрийг орлъё. Бид хоёр жинхэнэ тэгш байдлыг олж авдаг:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хас. Бид авах:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Бид эхний хоёр нэр томъёог квадратуудын зөрүүний томъёоны дагуу өргөжүүлэв.

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Нөхцөлөөр x 1 ба x 2 үндэс өөр байна. Тиймээс бид тэгш байдлыг (x 1 - x 2) ≠ 0-ээр багасгаж, p-г илэрхийлж болно.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Эхний тэгш байдал батлагдсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг батлахын тулд бид эхний тэгшитгэлд орлуулна

p коэффициентийн оронд x 1 2 + px 1 + q \u003d 0, түүний тэнцүү тоо (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг авна.

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, үүнийг батлах ёстой байсан.

Виетийн теорем сайн, учир нь, Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэдэхгүй байсан ч бид тэдгээрийн нийлбэр ба үржвэрийг тооцоолж чадна .

Виетийн теорем нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг тодорхойлоход тусална. Гэхдээ олон оюутнуудын хувьд энэ нь үйл ажиллагааны тодорхой алгоритмыг мэддэггүй, ялангуяа тэгшитгэлийн үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй бол хүндрэл учруулдаг.

Тиймээс, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл нь x 2 + px + q \u003d 0 хэлбэртэй бөгөөд x 1 ба x 2 нь түүний үндэс юм. Виетийн теоремын дагуу x 1 + x 2 = -p ба x 1 x 2 = q.

Бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн сүүлчийн гишүүний өмнө хасах тэмдэг байгаа бол x 1 ба x 2 үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй байна. Үүнээс гадна жижиг язгуурын тэмдэг нь тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдэгтэй ижил байна.

Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэхдээ тэдгээрийн модулиудыг хасч, үр дүнгийн өмнө модулийн том тооны тэмдгийг байрлуулсан тул та дараах байдлаар ажиллах хэрэгтэй.

q тооны ийм хүчин зүйлсийг тэдгээрийн ялгаа p тоотой тэнцүү байхаар тодорхойлох;
тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдгийг олж авсан тоонуудын өмнө тавина; хоёр дахь үндэс нь эсрэг тэмдэгтэй байх болно.

Зарим жишээг харцгаая.

Жишээ 1.

x 2 - 2x - 15 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Дээр санал болгосон дүрмийг ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдэхийг хичээцгээе. Дараа нь бид энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй болно гэдгийг баттай хэлж чадна, учир нь D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Одоо 15-ын тооны бүх хүчин зүйлээс (1 ба 15, 3 ба 5) ялгаа нь 2-той тэнцүү байгаа хүмүүсийг сонгоно. Эдгээр нь 3 ба 5 тоо байх болно. Бид жижиг тооны өмнө хасах тэмдэг тавина. , өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдэг. Тиймээс бид x 1 \u003d -3 ба x 2 \u003d 5 тэгшитгэлийн үндсийг олж авна.

Хариулт. x 1 = -3 ба x 2 = 5.

Жишээ 2.

x 2 + 5x - 6 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэл үндэстэй эсэхийг шалгацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгагчийг олно:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй.

6-ийн тооны боломжит хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3, 6 ба 1. 6 ба 1-ийн хосын хувьд ялгаа нь 5 байна. Энэ жишээнд хоёр дахь гишүүний коэффициент нэмэх тэмдэгтэй тул бага тоо нь ижил тэмдэг. Гэхдээ хоёр дахь тооны өмнө хасах тэмдэг байх болно.

Хариулт: x 1 = -6 ба x 2 = 1.

Виетийн теоремыг бүрэн квадрат тэгшитгэлд зориулж бичиж болно. Тэгэхээр квадрат тэгшитгэл бол ax2 + bx + c = 0нь x 1 ба x 2 үндэстэй бол тэдгээр нь тэгш байдлыг хангана

x 1 + x 2 = -(b/a)болон x 1 x 2 = (c/a). Гэсэн хэдий ч энэ теоремыг бүрэн квадрат тэгшитгэлд хэрэглэх нь нэлээд асуудалтай байдаг Хэрэв үндэс байгаа бол тэдгээрийн ядаж нэг нь бутархай тоо байна. Мөн фракцын сонголттой ажиллах нь нэлээд хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнээс гарах гарц байсаар байна.

ax 2 + bx + c = 0 бүтэн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний зүүн ба баруун талыг a коэффициентээр үржүүл. Тэгшитгэл нь (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 хэлбэртэй болно. Одоо шинэ хувьсагчийг танилцуулъя, жишээ нь t = ax.

Энэ тохиолдолд үүссэн тэгшитгэл нь t 2 + bt + ac = 0 хэлбэрийн бууруулсан квадрат тэгшитгэл болж хувирах бөгөөд язгуурууд нь t 1 ба t 2 (хэрэв байгаа бол) Виетийн теоремоор тодорхойлогддог.

Энэ тохиолдолд анхны квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно

x 1 = (t 1 / a) ба x 2 = (t 2 / a).

Жишээ 3.

15x 2 - 11x + 2 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид туслах тэгшитгэлийг хийдэг. Тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг 15-аар үржүүлье.

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Бид өөрчлөлтийг t = 15x болгоно. Бидэнд байгаа:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Виетийн теоремын дагуу энэ тэгшитгэлийн үндэс нь t 1 = 5 ба t 2 = 6 болно.

Бид t = 15x орлуулалт руу буцна:

5 = 15x эсвэл 6 = 15x. Тиймээс x 1 = 5/15 ба x 2 = 6/15. Бид багасгаж, эцсийн хариултыг авна: x 1 = 1/3 ба x 2 = 2/5.

Хариулт. x 1 = 1/3 ба x 2 = 2/5.

Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг эзэмшихийн тулд оюутнууд аль болох их дадлага хийх хэрэгтэй. Энэ бол яг амжилтын нууц юм.

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хооронд язгуур томъёоноос гадна өөр ашигтай хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлнэ. Вьетагийн теорем. Энэ нийтлэлд бид квадрат тэгшитгэлийн хувьд Виетийн теоремын томъёолол, нотолгоог өгөх болно. Дараа нь бид Вьетагийн теоремын эсрэг теоремыг авч үзье. Үүний дараа бид хамгийн онцлог жишээнүүдийн шийдлүүдийг шинжлэх болно. Эцэст нь бид жинхэнэ язгуур хоорондын холбоог тодорхойлсон Виетийн томъёог бичнэ алгебрийн тэгшитгэл n зэрэг ба түүний коэффициентүүд.

Хуудасны навигаци.

Виетийн теорем, томъёолол, нотолгоо

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоноос , хэлбэрийн a x 2 +b x+c=0, энд D=b 2 −4 a c , хамаарал x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = в/а. Эдгээр үр дүн нь батлагдсан Вьетагийн теорем:

Теорем.

Хэрвээ x 1 ба x 2 нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд a x 2 +b x+c=0, тэгвэл язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан b ба a коэффициентүүдийн харьцаа, үржвэртэй тэнцүү байна. үндэс нь c ба a коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .

Баталгаа.

Бид дараахь схемийн дагуу Виета теоремыг нотлох болно: бид мэдэгдэж буй язгуур томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг зохиож, дараа нь үүссэн илэрхийллийг хувиргаж, тэдгээр нь −b-тэй тэнцүү эсэхийг шалгана. /a ба c/a тус тус.

Үндэсний нийлбэрээс эхэлье, үүнийг зохио. Одоо бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачлаа. Үүссэн бутархайн дугаарт , үүний дараа : . Эцэст нь 2-ын дараа бид . Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэрт зориулсан Вьета теоремын анхны хамаарлыг баталж байна. Хоёр дахь руугаа явцгаая.

Бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг байгуулна:. Бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу сүүлчийн үржвэрийг дараах байдлаар бичиж болно. Одоо бид тоологч дахь хаалтанд хаалтыг үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг, гэхдээ энэ бүтээгдэхүүнийг задлах нь илүү хурдан юм. квадратуудын зөрүүний томъёо, Тэгэхээр. Дараа нь санаж, бид дараагийн шилжилтийг хийдэг. Мөн D=b 2 −4 a·c томьёо нь квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай тохирч байгаа тул сүүлийн бутархайд D-ийн оронд b 2 −4·a·c-ийг орлуулж болно, бид . Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нөхцлүүдийг багасгасны дараа бид бутархай дээр хүрч, 4·a-аар багасгах нь . Энэ нь язгуурын үржвэрийн талаарх Вьета теоремын хоёр дахь хамаарлыг баталж байна.

Хэрэв бид тайлбарыг орхих юм бол Вьетнамын теоремын нотолгоо нь товч хэлбэртэй болно.
,
.

Дискриминант нь 0-тэй тэнцүү байх үед квадрат тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байдаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь хоёр ижил язгууртай гэж үзвэл Вьетнамын теоремын тэгшитгэлүүд бас биелнэ. Үнэхээр D=0-ийн хувьд квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь , тэгвэл ба , D=0 тул b 2 −4·a·c=0 , үүнээс b 2 =4·a·c , тэгвэл .

Практикт Виетийн теоремыг x 2 +p·x+q=0 хэлбэрийн бууруулсан квадрат тэгшитгэлтэй (хамгийн их коэффициент a 1-тэй тэнцүү) холбоотой ихэвчлэн ашигладаг. Заримдаа үүнийг зөвхөн ийм төрлийн квадрат тэгшитгэлд зориулж томъёолдог бөгөөд энэ нь ерөнхий байдлыг хязгаарладаггүй, учир нь аль ч квадрат тэгшитгэлийг хоёр хэсгийг нь тэгээс өөр тоогоор хуваах замаар тэнцүү тэгшитгэлээр сольж болно. Виетийн теоремын харгалзах томъёолол энд байна.

Теорем.

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 + p x + q \u003d 0 нь эсрэг тэмдгээр авсан x дээрх коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүн юм, өөрөөр хэлбэл x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q.

Вьетагийн теоремтой урвуу теорем

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн Виета теоремын хоёр дахь томьёолол нь хэрэв x 1 ба x 2 нь x 2 +p x+q=0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн язгуур бол x 1 +x 2 = − хамаарал болохыг харуулж байна. p , x 1 x 2=q. Нөгөөтэйгүүр x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q гэсэн бичмэл хамаарлаас x 1 ба x 2 нь x 2 +p x+q=0 квадрат тэгшитгэлийн язгуур юм. Өөрөөр хэлбэл, Вьетагийн теоремтой эсрэг заалт нь үнэн юм. Бид үүнийг теорем хэлбэрээр томъёолж, үүнийг нотолж байна.

Теорем.

Хэрэв x 1 ба x 2 тоонууд нь x 1 +x 2 =−p ба x 1 x 2 =q байвал x 1 ба x 2 нь x 2 +p x+q=0 бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно. .

Баталгаа.

Тэдний илэрхийллийн x 2 +p x+q=0 тэгшитгэлийн p ба q коэффициентүүдийг x 1 ба x 2-оор сольсны дараа тэнцүү тэгшитгэлд хөрвүүлнэ.

Үр дүнгийн тэгшитгэлд бид x-ийн оронд x 1-ийн тоог орлуулж, бид тэгшитгэлтэй болно x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, аль ч x 1 ба x 2-ын хувьд зөв тоон тэгшитгэл 0=0, учир нь x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Тиймээс x 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, энэ нь x 1 нь x 2 +p x+q=0 эквивалент тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм.

Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x-ийн оронд x 2 тоог орлуулж, тэгвэл бид тэнцүү болно x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Энэ бол зөв тэгшитгэл учраас x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Тиймээс x 2 нь мөн тэгшитгэлийн язгуур юм x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, тэгэхээр x 2 +p x+q=0 тэгшитгэлүүд гарна.

Энэ нь Вьетагийн теоремтой эсрэг тэсрэг теоремийн баталгааг гүйцээнэ.

Виетийн теоремыг ашиглах жишээ

Вьетагийн теорем ба түүний урвуу теоремыг практикт хэрэглэх тухай ярих цаг болжээ. Энэ дэд хэсэгт бид хамгийн энгийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг шинжлэх болно.

Бид Виетийн теоремтой эсрэгээр теоремыг хэрэглэж эхэлдэг. Өгөгдсөн хоёр тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгахын тулд үүнийг ашиглахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нийлбэр ба зөрүүг тооцоолж, дараа нь харилцааны хүчинтэй байдлыг шалгана. Хэрэв эдгээр харилцаа хоёулаа хангагдаж байвал Виетийн теоремтой урвуу теоремоор эдгээр тоонууд нь тэгшитгэлийн язгуур байна гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. Хэрэв харилцааны дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол эдгээр тоо нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс биш юм. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ олсон үндсийг шалгахдаа энэ аргыг ашиглаж болно.

Жишээ.

1) x 1 =−5, x 2 =3, эсвэл 2), эсвэл 3) хос тоонуудын аль нь 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс вэ?

Шийдэл.

Өгөгдсөн 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь a=4 , b=−16 , c=9 . Виетийн теоремоор квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь −b/a, өөрөөр хэлбэл 16/4=4, язгууруудын үржвэр нь c/a, өөрөөр хэлбэл 9-тэй тэнцүү байх ёстой. /4.

Одоо өгөгдсөн гурван хос тус бүрийн тоонуудын нийлбэр ба үржвэрийг тооцоолж, дөнгөж олж авсан утгатай харьцуулцгаая.

Эхний тохиолдолд бид x 1 +x 2 =−5+3=−2 байна. Үүссэн утга нь 4-ээс ялгаатай тул цаашдын шалгалтыг хийх боломжгүй, гэхдээ теоремын дагуу Виетийн теоремын урвуу тал нь эхний хос тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс биш гэж шууд дүгнэж болно. .

Хоёр дахь тохиолдол руугаа орцгооё. Энд, өөрөөр хэлбэл, эхний нөхцөл хангагдсан байна. Бид хоёр дахь нөхцлийг шалгана: , үр дүн нь 9/4-ээс өөр байна. Тиймээс хоёр дахь хос тоо нь квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс биш юм.

Сүүлийн тохиолдол хэвээр байна. Энд ба . Хоёр нөхцөл хангагдсан тул эдгээр x 1 ба x 2 тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

Виетийн теоремын урвуу теоремыг квадрат тэгшитгэлийн үндсийг сонгоход практикт ашиглаж болно. Ихэвчлэн бүхэл тоон коэффициент бүхий өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг сонгодог, учир нь бусад тохиолдолд үүнийг хийхэд нэлээд хэцүү байдаг. Үүний зэрэгцээ, хэрэв хоёр тооны нийлбэр нь хасах тэмдгээр авсан квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бол эдгээр тоонуудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү бол эдгээр тоонууд нь дараахь зүйлийг ашигладаг. Энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс. Үүнийг жишээгээр авч үзье.

x 2 −5 x+6=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. x 1 ба x 2 тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн үндэс байхын тулд x 1 + x 2 \u003d 5 ба x 1 x 2 \u003d 6 хоёр тэнцүү байх ёстой. Ийм тоог сонгоход л үлддэг. Энэ тохиолдолд үүнийг хийхэд маш энгийн: 2+3=5 ба 2 3=6 тул ийм тоонууд нь 2 ба 3 байна. Тиймээс 2 ба 3 нь энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Виетийн теоремын эсрэг теорем нь бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь язгуурын аль нэг нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа эсвэл илт байгаа үед олоход тохиромжтой. Энэ тохиолдолд хоёр дахь үндэс нь аль ч харилцаанаас олддог.

Жишээ нь 512 x 2 −509 x−3=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү тул нэгж нь тэгшитгэлийн үндэс гэдгийг эндээс харахад хялбар байдаг. Тэгэхээр x 1 = 1. Хоёрдахь язгуур x 2-г жишээ нь x 1 x 2 =c/a хамаарлаас олж болно. Бидэнд 1 x 2 =−3/512, үүнээс x 2 =−3/512 байна. Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн хоёр үндэсийг тодорхойлсон: 1 ба -3/512.

Үндэс сонгох нь зөвхөн хамгийн энгийн тохиолдолд л ашигтай байх нь ойлгомжтой. Бусад тохиолдолд язгуурыг олохын тулд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ялгаварлагчаар дамжуулан хэрэглэж болно.

Виетийн теоремын урвуу теоремын өөр нэг практик хэрэглээ бол өгөгдсөн x 1 ба x 2 язгууруудын квадрат тэгшитгэлийг эмхэтгэх явдал юм. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн эсрэг тэмдэг бүхий х коэффициентийг өгөх язгуурын нийлбэр, чөлөөт гишүүнийг өгөх язгуурын үржвэрийг тооцоолоход хангалттай.

Жишээ.

Үндэс нь −11 ба 23 тоонууд болох квадрат тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.

x 1 =−11 ба x 2 =23 гэж тэмдэглэнэ. Бид эдгээр тоонуудын нийлбэр ба үржвэрийг тооцоолно: x 1 + x 2 \u003d 12 ба x 1 x 2 \u003d −253. Иймд эдгээр тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь хоёр дахь коэффициент -12, чөлөөт гишүүн -253 байна. Өөрөөр хэлбэл x 2 −12·x−253=0 нь хүссэн тэгшитгэл юм.

Хариулт:

x 2 −12 x−253=0 .

Виетийн теоремыг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын шинж тэмдгүүдтэй холбоотой даалгавруудыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг. Вьетагийн теорем нь x 2 +p x+q=0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тэмдгүүдтэй ямар холбоотой вэ? Энд хоёр хамааралтай мэдэгдэл байна:

Хэрэв чөлөөт гишүүн q нь эерэг тоо бөгөөд квадрат тэгшитгэл нь бодит язгууртай бол аль аль нь эерэг эсвэл хоёулаа сөрөг байна.
Хэрэв q чөлөөт гишүүн сөрөг тоо бөгөөд квадрат тэгшитгэл нь бодит язгууртай бол тэдгээрийн тэмдгүүд нь өөр өөрөөр хэлбэл нэг язгуур эерэг, нөгөө нь сөрөг байна.

Эдгээр мэдэгдлүүд нь x 1 x 2 =q томьёо, түүнчлэн эерэг, сөрөг тоо, өөр өөр тэмдэгтэй тоог үржүүлэх дүрмээс хамаарна. Тэдний хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ.

R эерэг байна. Дискриминант томьёоны дагуу бид D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 илэрхийллийн утгыг олно. +8 нь аливаа бодит r-д эерэг, тиймээс аливаа бодит r-д D>0 байна. Тиймээс анхны квадрат тэгшитгэл нь r параметрийн аливаа бодит утгын хувьд хоёр үндэстэй байна.

Одоо үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх үед олж мэдье. Хэрэв язгуурын шинж тэмдгүүд өөр байвал тэдгээрийн үржвэр нь сөрөг байх ба Виетийн теоремоор өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид r-1 чөлөөт нэр томъёо сөрөг байх r утгуудыг сонирхож байна. Тиймээс, бидний сонирхож буй r-ийн утгыг олохын тулд бид үүнийг хийх хэрэгтэй шугаман тэгш бус байдлыг шийдэх r−1<0 , откуда находим r<1 .

Хариулт:

r<1 .

Виета томъёо

Дээр бид квадрат тэгшитгэлийн Виетийн теоремын талаар ярилцаж, түүний баталж буй хамаарлыг задлан шинжилсэн. Гэхдээ зөвхөн квадрат тэгшитгэлийн төдийгүй куб тэгшитгэл, дөрвөлсөн тэгшитгэл, ерөнхийдөө бодит язгуур, коэффициентийг холбосон томъёо байдаг. алгебрийн тэгшитгэлзэрэг n. Тэд гэж нэрлэдэг Виета томъёо.

Бид n хэлбэрийн алгебрийн тэгшитгэлд зориулж Виетийн томъёог бичдэг бөгөөд үүнийг x 1, x 2, ..., x n n бодит үндэстэй гэж үздэг (тэдгээрийн дунд ижил байж болно):

Vieta томъёог авахыг зөвшөөрдөг олон гишүүнт үржүүлэх теорем, түүнчлэн ижил олон гишүүнтүүдийг тэдгээрийн харгалзах бүх коэффициентүүдийн тэгшитгэлээр тодорхойлох. Тиймээс олон гишүүнт ба түүний хэлбэрийн шугаман хүчин зүйл рүү тэлэх нь тэнцүү байна. Сүүлчийн бүтээгдэхүүн дэх хаалтуудыг нээж, харгалзах коэффициентүүдийг тэгшитгэснээр бид Vieta томъёог олж авна.

Ялангуяа n=2-ийн хувьд бид квадрат тэгшитгэлийн Виетийн томъёог аль хэдийн мэддэг болсон.

Куб тэгшитгэлийн хувьд Виетийн томъёонууд нь хэлбэртэй байна

Виетийн томъёоны зүүн талд анхан шатны гэж нэрлэгддэг зүйл байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй тэгш хэмт олон гишүүнт.

Ном зүй.

Алгебр:сурах бичиг 8 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ed. С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 14 цагаас 1-р хэсэг. Боловсролын байгууллагын оюутнуудад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; ed. A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Гэгээрэл, 2010.- 368 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэг бол хэрэглээ юм VIETA томъёо, Франсуа Вьетегийн нэрээр нэрлэгдсэн.

Тэрээр алдартай хуульч байсан бөгөөд 16-р зуунд Францын хаантай хамт алба хааж байжээ. Чөлөөт цагаараа тэрээр одон орон, математикийн чиглэлээр суралцдаг байв. Тэрээр квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоосон.

Томъёоны давуу талууд:

1 . Томьёог хэрэглэснээр та шийдлийг хурдан олох боломжтой. Учир нь та хоёр дахь коэффициентийг квадрат руу оруулах шаардлагагүй, дараа нь түүнээс 4ac-ийг хасч, ялгаварлагчийг олж, үндсийг олох томъёонд түүний утгыг орлуулах хэрэгтэй.

2 . Шийдэлгүйгээр та үндэсийн шинж тэмдгийг тодорхойлж, үндсийг нь авах боломжтой.

3 . Хоёр бичлэгийн системийг шийдсэний дараа уг үндсийг өөрсдөө олоход хэцүү биш юм. Дээрх квадрат тэгшитгэлд язгууруудын нийлбэр нь хасах тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициентийн утгатай тэнцүү байна. Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын үржвэр нь гурав дахь коэффициентийн утгатай тэнцүү байна.

4 . Өгөгдсөн язгуурын дагуу квадрат тэгшитгэл бичих, өөрөөр хэлбэл урвуу бодлогыг шийд. Жишээлбэл, энэ аргыг онолын механикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

5 . Тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байх үед томъёог хэрэглэх нь тохиромжтой.

Алдаа:

1 . Томъёо нь бүх нийтийнх биш юм.

Вьетагийн теорем 8-р анги

Томъёо
Хэрэв x 1 ба x 2 нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс бол x 2 + px + q \u003d 0 бол:

Жишээ
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - тэгшитгэлийн үндэс x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Урвуу теорем

Томъёо
Хэрэв x 1 , x 2 , p, q тоонууд дараах нөхцлөөр холбогдсон бол:

Тэгвэл x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 тэгшитгэлийн үндэс болно.

Жишээ
Квадрат тэгшитгэлийг язгуураар нь хийцгээе.

X 1 \u003d 2 -? 3 ба x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Хүссэн тэгшитгэл нь: x 2 - 4x + 1 = 0 хэлбэртэй байна.

2.5 Өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт (тэгшитгэл)-ийн Виета томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн хувьд Виетаас гаргаж авсан томьёо нь өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтэд мөн үнэн юм.

Олон гишүүнтийг үзье

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

n ялгаатай үндэстэй x 1 , x 2 …, x n .

Энэ тохиолдолд энэ нь маягтын хүчин зүйлчлэлтэй байна:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Энэ тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг 0 ≠ 0-д хувааж, эхний хэсэгт байгаа хаалтыг өргөжүүлье. Бид тэгш байдлыг олж авдаг:

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n) -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Гэхдээ ижил түвшний коэффициентүүд тэнцүү байх тохиолдолд хоёр олон гишүүнт ижил тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд тэгш байдал

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Жишээлбэл, гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийн хувьд

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Бидэнд таних тэмдэг бий

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Квадрат тэгшитгэлийн хувьд энэ томьёог Виетийн томъёо гэж нэрлэдэг. Эдгээр томьёоны зүүн хэсгүүд нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн x 1 , x 2 ..., x n язгуураас тэгш хэмтэй олон гишүүнтүүд бөгөөд баруун хэсгүүд нь олон гишүүнтийн коэффициентээр илэрхийлэгдэнэ.

2.6 Квадрат болгон бууруулж болох тэгшитгэлүүд (биквадрат)

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.

сүх 4 + bx 2 + c = 0,

biquadratic гэж нэрлэдэг, үүнээс гадна, a ≠ 0.

Энэ тэгшитгэлд x 2 \u003d y-ийг тавихад хангалттай, тиймээс,

ay² + by + c = 0

үүссэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 үндсийг нэн даруй олохын тулд у-г х-ээр сольж, авна.

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэл нь x 1 байвал энэ нь бас x 2 \u003d -x 1 үндэстэй,

Хэрэв x 3 байвал x 4 \u003d - x 3 байна. Ийм тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэг байна.

2х 4 - 9х² + 4 = 0

Бид тэгшитгэлийг биквадрат тэгшитгэлийн үндэсийн томъёонд орлуулна.

x 1,2,3,4 = ,

x 1 \u003d -x 2, ба x 3 \u003d -x 4 гэдгийг мэдэж байвал:

x 3.4 =

Хариулт: x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 =

2.7 Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа

Биквадрат тэгшитгэлийг авч үзье

сүх 4 + bx 2 + c = 0,

a, b, c нь бодит тоо, a > 0. Туслах үл мэдэгдэх y = x²-г оруулснаар бид энэ тэгшитгэлийн үндсийг судалж, үр дүнг хүснэгтэд оруулна (Хавсралт No1-ийг үзнэ үү).

2.8 Кардано томъёо

Хэрэв бид орчин үеийн бэлгэдлийг ашигладаг бол Кардано томъёоны гарал үүсэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

x =

Энэ томъёо нь гуравдугаар зэргийн ерөнхий тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлно.

сүх 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Энэ томъёо нь маш төвөгтэй бөгөөд төвөгтэй (хэд хэдэн нарийн төвөгтэй радикалуудыг агуулдаг). Энэ нь үргэлж хамаарахгүй, учир нь. дуусгахад маш хэцүү.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

2-3 текстээс хамгийн сонирхолтой газруудыг жагсааж эсвэл сонгоно уу. Тиймээс бид 9-р ангийн "Дөрвөлжин тэгшитгэл ба параметртэй тэгш бус байдал" алгебрийн сонгон судлах хичээлийг боловсруулахдаа харгалзан үзэх сонгон суралцах хичээлийг бий болгох, явуулах ерөнхий заалтуудыг авч үзсэн. II бүлэг. "Үзүүлэлттэй квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал" сонгон судлах хичээл явуулах арга зүй 1.1. Ерөнхий...

Тоон тооцооны аргуудаас шийдлүүд. Тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлохын тулд Абел, Галуа, Ли бүлэг гэх мэт онолын талаархи мэдлэг шаардагдахгүй бөгөөд тусгай математикийн нэр томъёог ашиглах шаардлагагүй: цагираг, талбар, идеал, изоморфизм гэх мэт. n-р зэргийн алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, цогцолбор тооноос үндсийг гаргаж авах чадвар л хэрэгтэй. Үндэсийг тодорхойлох боломжтой ...

MathCAD систем дэх физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих нэгжээр? 11. Текст, график, математикийн блокуудыг дэлгэрэнгүй тайлбарла. Лекцийн дугаар 2. Шугаман алгебрийн бодлого, MathCAD орчинд дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд Шугаман алгебрийн бодлогод матрицтай янз бүрийн үйлдлүүдийг хийх бараг үргэлж шаардлагатай болдог. Матрицын операторын самбар нь Математикийн самбар дээр байрладаг. ...