Paskaita

Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma

Planuoti

1.Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

2. Trigonometrinis kompleksinių skaičių žymėjimas.

3. Veiksmai kompleksiniai skaičiai trigonometrine forma.

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

a) Sudėtiniai skaičiai vaizduojami plokštumos taškais pagal šią taisyklę: a + bi = M ( a ; b ) (1 pav.).

1 paveikslas

b) Kompleksinį skaičių galima pavaizduoti vektoriumi, kuris prasideda taškeO o galas šioje vietoje (2 pav.).

2 paveikslas

7 pavyzdys. Nubraižykite taškus, vaizduojančius kompleksinius skaičius:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (3 pav.).

3 pav

Trigonometrinis kompleksinių skaičių žymėjimas.

Sudėtingas skaičiusz = a + bi galima nustatyti naudojant spindulio vektorių su koordinatėmis( a ; b ) (4 pav.).

4 pav

Apibrėžimas . Vektoriaus ilgis reiškiantis kompleksinį skaičiųz , vadinamas šio skaičiaus moduliu ir žymimas arbar .

Bet kokiam kompleksiniam skaičiuiz jo modulisr = | z | yra vienareikšmiškai nustatoma pagal formulę .

Apibrėžimas . Kampo tarp teigiamos tikrosios ašies krypties ir vektoriaus dydis reprezentuojantis kompleksinį skaičių vadinamas šio kompleksinio skaičiaus argumentu ir žymimasA rg z arbaφ .

Kompleksinio skaičiaus argumentasz = 0 neapibrėžtas. Kompleksinio skaičiaus argumentasz≠ 0 yra daugiareikšmis dydis ir nustatomas iki termino2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , kurarg z - pagrindinė argumento reikšmė, įtraukta į intervalą(-π; π] , tai yra-π < arg z ≤ π (kartais pagrindinė argumento reikšmė laikoma intervalui priklausančia verte .

Ši formulė skirtar =1 dažnai vadinama Moivre formule:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

11 pavyzdys. Apskaičiuokite(1 + i ) 100 .

Parašykime kompleksinį skaičių1 + i trigonometrine forma.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + aš nusidedu )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i nuodėmė 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Kompleksinio skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimas.

Išskiriant kompleksinio skaičiaus kvadratinę šaknįa + bi turime du atvejus:

jeigub > apie , tada ;

KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI XI

§ 256. Sudėtinių skaičių trigonometrinė forma

Tegul kompleksinis skaičius a + bi atitinka vektorių OA> su koordinatėmis ( a, b ) (žr. 332 pav.).

Šio vektoriaus ilgį žymime r , ir kampą, kurį jis sudaro su ašimi NS , skersai φ ... Pagal sinuso ir kosinuso apibrėžimą:

a / r = cos φ , b / r = nuodėmė φ .

Štai kodėl a = r cos φ , b = r nuodėmė φ ... Bet šiuo atveju kompleksinis skaičius a + bi gali būti parašytas taip:

a + bi = r cos φ + ir nuodėmė φ = r (cos φ + i nuodėmė φ ).

Kaip žinote, bet kurio vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo koordinačių kvadratų sumai. Štai kodėl r 2 = a 2 + b 2, iš kur r = √a 2 + b 2

Taigi, bet koks kompleksinis skaičius a + bi gali būti pavaizduotas kaip :

a + bi = r (cos φ + i nuodėmė φ ), (1)

kur r = √a 2 + b 2, ir kampas φ nustatoma pagal sąlygą:

Ši kompleksinių skaičių žymėjimo forma vadinama trigonometrinis.

Skaičius r formulėje (1) vadinamas modulis ir kampas φ - argumentas, kompleksinis skaičius a + bi .

Jei kompleksinis skaičius a + bi nėra lygus nuliui, tada jo modulis yra teigiamas; jeigu a + bi = 0, tada a = b = 0 ir tada r = 0.

Bet kurio kompleksinio skaičiaus modulis nustatomas vienareikšmiškai.

Jei kompleksinis skaičius a + bi nėra lygus nuliui, tada jo argumentas nustatomas pagal formules (2) vienareikšmiškai tikslumas kampo kartotiniu 2 π ... Jeigu a + bi = 0, tada a = b = 0. Šiuo atveju r = 0. Iš (1) formulės nesunku suprasti, kad kaip argumentą φ šiuo atveju galite pasirinkti bet kokį kampą: juk bet kokį φ

0 (kai φ + i nuodėmė φ ) = 0.

Todėl nulinis argumentas yra neapibrėžtas.

Sudėtingų skaičių modulis r kartais reiškia | z | ir argumentas arg z ... Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kaip sudėtingus skaičius gali būti pavaizduotas trigonometrine forma.

Pavyzdys. 1. 1 + i .

Raskite modulį r ir argumentas φ šis skaičius.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Todėl nuodėmė φ = 1 / √ 2, kos φ = 1 / √ 2, iš kur φ = π / 4 + 2nπ .

Taigi,

1 + i = √ 2 ,

kur NS - bet koks sveikasis skaičius. Paprastai iš begalinės kompleksinio skaičiaus argumento reikšmių rinkinio pasirenkama viena, kuri yra tarp 0 ir 2 π ... Šiuo atveju ši vertė yra π / 4 . Štai kodėl

1 + i = √ 2 (kai π / 4 + i nuodėmė π / 4)

2 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma √ 3 - i ... Mes turime:

r = √ 3 + 1 = 2, kos φ = √ 3/2, nuodėmė φ = - 1 / 2

Todėl iki kampo kartotinio iš 2 π , φ = 11 / 6 π ; vadinasi,

√ 3 - i = 2 (kainuoja 11/6 π + i nuodėmė 11/6 π ).

3 pavyzdys Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma i.

Sudėtingas skaičius i atitinka vektorių OA> baigiasi ašies taške A adresu su 1 ordinate (333 pav.). Tokio vektoriaus ilgis yra 1, o kampas, kurį jis sudaro su abscisėmis, yra π / 2. Štai kodėl

i = cos π / 2 + i nuodėmė π / 2 .

4 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių 3 trigonometrine forma.

Kompleksinis skaičius 3 atitinka vektorių OA > NS abscisė 3 (334 pav.).

Tokio vektoriaus ilgis yra 3, o kampas, kurį jis sudaro su abscisėmis, yra 0. Todėl

3 = 3 (cos 0 + i nuodėmė 0),

5 pavyzdys. Užrašykite kompleksinį skaičių -5 trigonometrine forma.

Kompleksinis skaičius -5 atitinka vektorių OA> baigiasi ašies taške NS su abscise -5 (335 pav.). Tokio vektoriaus ilgis yra 5, o kampas, kurį jis sudaro su abscisėmis, yra π ... Štai kodėl

5 = 5 (kain π + i nuodėmė π ).

Pratimai

2047. Parašykite šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma, nurodydami jų modulius ir argumentus:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Plokštumoje nurodykite kompleksinius skaičius vaizduojančių taškų aibę, kurios moduliai r ir argumentai φ tenkina sąlygas:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ar kompleksinio skaičiaus modulis gali būti vienu metu skaičiai? r ir - r ?

2050. Ar kompleksinio skaičiaus argumentas vienu metu gali būti ir kampai? φ ir - φ ?

Norėdami pateikti šiuos kompleksinius skaičius trigonometrine forma, apibrėžiant jų modulius ir argumentus:

2051*. 1 + cos α + i nuodėmė α ... 2054*. 2 (cos 20 ° - i sin 20 °).

2052*. nuodėmė φ + i cos φ ... 2055*. 3 (- cos 15 °- i sin 15 °).

Norėdami nustatyti taško padėtį plokštumoje, galite naudoti polines koordinates [r, (p), kur G yra taško atstumas nuo pradžios ir (R- kampas, sudarantis spindulį - šio taško vektorius su teigiama ašies kryptimi Oi. Teigiama kampo kitimo kryptis (R atsižvelgiama į prieš laikrodžio rodyklę. Naudojant ryšį tarp Dekarto ir polinės koordinačių: x = r cos cf, y = r sin (p,

gauname kompleksinio skaičiaus užrašymo trigonometrinę formą

z - r (sin (p + i sin

kur G

Xі + y2, (p yra kompleksinio skaičiaus argumentas, kuris randamas iš

l X . adresu

formules cos (p --, nuodėmė ^ 9 = - arba dėl to, kad tg (p --, (p-arctg

Atkreipkite dėmesį, kad renkantis vertybes trečia iš paskutinės lygties būtina atsižvelgti į ženklus x ir y.

47 pavyzdys. Parašykite kompleksinį skaičių trigonometrine forma 2 = -1 + l / Z /.

Sprendimas. Raskite kompleksinio skaičiaus modulį ir argumentą:

= yj 1 + 3 = 2 . Injekcija trečia rasti iš santykių cos (p = -, nuodėmė (p = -. Tada

gauti cos (p = -, suup

u / z g ~

• - -. Akivaizdu, kad taškas z = -1 + V3- / yra
• 2 Į 3

antrajame ketvirtyje: (R= 120 °

Pakeičiant

2 r.... cos - h; nuodėmė

į formulę (1) rasta 27Г Л

komentuoti. Kompleksinio skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o iki termino, kuris yra kartotinis 2p. Tada per cn ^ ržymėti

viduje esanti argumento reikšmė (0 p %2 Tada

A) ^ r = + 2kk.

Naudojant gerai žinomą Eulerio formulę Tai yra, mes gauname kompleksinio skaičiaus eksponentinį žymėjimą.

Mes turime r = r (co ^ (p + i?, n (p) = r,

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais

• 1. Dviejų kompleksinių skaičių suma r, = X] + y x/ u r 2 - x 2 + y 2 / nustatomas pagal formulę r! +2 2 = (x, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'g
• 2. Kompleksinių skaičių atėmimo operacija apibrėžiama kaip atvirkštinė sudėjimo. Sudėtingas skaičius r = rx - r 2, jeigu z 2 + z = z x,

yra kompleksinių skaičių 2 skirtumas ir d 2. Tada r = (x, - x 2) + (y, - adresu 2) /.

• 3. Dviejų kompleksinių skaičių sandauga r x= x, + y, -z ir 2 2 = x 2+ U2„G nustatoma pagal formulę
• *1*2 =(* + U"0 (X 2+ T 2 -0 = X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + Turi1 Turi2 " ^ =

= (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

Visų pirma, m= (x + y-z) (x-y /) = x 2 + y 2.

Galite gauti kompleksinių skaičių daugybos formules eksponentinės ir trigonometrinės formos. Mes turime:

• 1^ 2 – Г х е 1 = ) Г 2 е> = Г] Г 2 cOs ((P + cf 2) + izin
• 4. Kompleksinių skaičių dalyba apibrėžiama kaip atvirkštinė operacija

daugyba, t.y. numerį G-- vadinamas dalybos koeficientu! ant r 2,

jeigu r x -1 2 ? 2 . Tada

NS + Ті _ (*і + TV 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^ Y 2) (2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + / y, x 2 - іх х у 2 - і 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2) + / (- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + U 2

1 e

i (p g

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї ((R -cr 1) + І- (R-,)] >2 >2
• 5. Kompleksinį skaičių padidinti iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio geriausia padaryti, jei skaičius parašytas eksponentine arba trigonometrine forma.

Tikrai, jei r = rt 1 tada

= (re,) = r n e t = G"(co8 psr + іт гкр).

G formulė = rn (cosn (p + yra n (p)) vadinama Moivre formule.

6. Šaknies ištraukimas NS- kompleksinio skaičiaus laipsnis apibrėžiamas kaip atvirkštinė didinimo į laipsnį operacija n, n- 1,2,3, ... t.y. kompleksinis skaičius = y [g vadinamas šaknimis NS- kompleksinio skaičiaus laipsnis

d jei G = r x... Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad g - g ", a r x= l / g. (p-psr x, a cf-cp / n, kuri išplaukia iš Moivre formulės, parašytos skaičiui = r / * + ilipn (p).

Kaip minėta pirmiau, kompleksinio skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o iki termino kartotinio iš 2 f.Štai kodėl = (p + 2pk, ir skaičiaus r argumentas, priklausomai nuo į,žymėti (p iki ir bu

dem apskaičiuokite pagal formulę (p iki= - +. Aišku, kad yra NS com-

kompleksiniai skaičiai, NS-kurios laipsnis lygus 2. Šie skaičiai turi vieną

ir tas pats modulis lygus y [r, o šių skaičių argumentai gaunami kai Į = 0, 1, NS - 1. Taigi, trigonometrine forma, šaknis i-asis laipsnis apskaičiuojamas pagal formulę:

(p + 2 kp . . Trečiadienis + 2kp

, Į = 0, 1, 77-1,

(p + 2ktg

o pavyzdine forma – pagal formulę l [z - y [ge n

48 pavyzdys. Atlikite operacijas su kompleksiniais skaičiais algebrine forma:

a) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / l / 2) 3 (s + /) = (1 - Zl / 2 / + 6/2 - 2 l / 2 /? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2l / 2 / DZ + /) = (- 5 - l / 2 / DZ + /) =

15-Zl / 2 / -5 / -l / 2/2 = -15 - Zl / 2 / -5 / + l / 2 = (-15 + l / 2) - (5 + Zl / 2) /;

49 pavyzdys. Sukonstruokite skaičių r = Uz - / iki penktojo laipsnio.

Sprendimas. Gauname skaičiaus r rašymo trigonometrinę formą.

Г = l / 3 + 1 = 2, C08 (p --, 5ІІ7 (R =

• (1–2 / X2 + /)
• (s-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З / 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-i) 's + /
• 9 + 1 s_ ±.
• 5 2 1 "

Iš čia O--, a r = 2

Moivre gauname: aš -2

/ ^ _ 7Г,. ?G

• -USH-- ІБІП -

• --B / -

= - (l / Z + z) = -2.

50 pavyzdys. Raskite visas reikšmes

Sprendimas, r = 2 ir trečia rasti iš lygties sojos (p = -, zt -.

Šis taškas 1 - / d / z yra ketvirtajame ketvirtyje, t.y. f =-. Tada

• 1 - 2
• ( ( UG L

Iš išraiškos randame šaknies reikšmes

V1 – / l / s = l / 2

• - + 2A: / g --- b 2 kk
• 3 . . 3

С08-1- і 81П-

At į - 0 turime 2 0 = l / 2

Skaičiaus 2 šaknies reikšmes galite rasti pateikę skaičių ekrane

-* Į/ 3 + 2 kl

At Į= 1 turime dar vieną šaknies reikšmę:

• 7G. 7G_
• --- b27g --- b2; g
• 3. ... s

7G ... ... 7G L-C05- + 181P - 6 6

• --Н -

bendrai? - 7G + / 5SH - Z "

l / 3__t_

tel forma. Nes r = 2, a trečia=, tada r = 2e 3 ir y [g = y / 2e 2

Veiksmai su kompleksiniais skaičiais, užrašytais algebrine forma

Kompleksinio skaičiaus z = algebrinė forma(a,b). vadinamas algebrine formos išraiška

z = a + bi.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais z 1 = a 1 + b 1 i ir z 2 = a 2 + b 2 i parašyti algebrine forma, atliekami taip.

1. Kompleksinių skaičių suma (skirtumas).

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ± b 2)∙ aš,

tie. sudėjimas (atimtis) atliekamas pagal daugianario sudėjimo taisyklę su panašių narių redukcija.

2. Kompleksinių skaičių sandauga

z 1 ∙ z 2 = (a 1 ∙ a 2 - b 1 ∙ b 2) + (a 1 ∙ b 2 + a 2 ∙ b 1)∙ aš,

tie. daugyba atliekama pagal įprastą daugianario daugybos taisyklę, atsižvelgiant į tai, kad i 2 = 1.

3. Dviejų kompleksinių skaičių dalyba atliekama pagal šią taisyklę:

, (z 2 ≠ 0),

tie. dalyba atliekama padauginus dividendą ir daliklį iš daliklio konjugato.

Kompleksinių skaičių didinimas apibrėžiamas taip:

Tai lengva parodyti

Pavyzdžiai.

1. Raskite kompleksinių skaičių sumą z 1 = 2 – i ir z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ aš)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Raskite kompleksinių skaičių sandaugą z 1 = 2 – 3i ir z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3aš ∙ 5aš = 7+22i.

3. Raskite privatų z nuo padalijimo z 1 = 3 - 2 na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Išspręskite lygtį:, x ir y Î R.

(2x + y) + (x + y)aš = 2 + 3i.

Dėl kompleksinių skaičių lygybės turime:

kur x =–1 , y= 4.

5. Apskaičiuokite: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 , i -2 .

6. Apskaičiuokite, jei.

.

7. Apskaičiuokite skaičiaus atvirkštinę vertę z=3-i.

Sudėtiniai skaičiai trigonometrine forma

Sudėtinga plokštuma vadinama plokštuma su Dekarto koordinatėmis ( x, y) jei kiekvienas taškas su koordinatėmis ( a, b) yra priskirtas kompleksinis skaičius z = a + bi... Šiuo atveju vadinama abscisių ašis tikroji ašis, o ordinačių ašis yra įsivaizduojamas... Tada kiekvienas kompleksinis skaičius a + bi yra geometriškai pavaizduotas plokštumoje kaip taškas A (a, b) arba vektorius.

Todėl taško padėtis A(ir todėl kompleksinis skaičius z) galima nurodyti pagal vektoriaus ilgį | | = r ir kampas j suformuotas vektoriumi | | su teigiama tikrosios ašies kryptimi. Vektoriaus ilgis vadinamas kompleksinio skaičiaus modulis ir žymimas | z | = r ir kampas j paskambino kompleksinio skaičiaus argumentas ir žymimas j = arg z.

Aišku, kad | z| ³ 0 ir | z | = 0 Û z = 0.

Iš pav. 2 tai rodo.

Kompleksinio skaičiaus argumentas nustatomas dviprasmiškai, bet 2 tikslumu pk, kÎ Z.

Iš pav. 2 taip pat matyti, kad jei z = a + bi ir j = arg z, tada

cos j =, nuodėmė j =, tg j =.

Jeigu zÎR ir z> 0, tada arg z = 0 +2pk;

jeigu z ÎR ir z< 0, tada arg z = p + 2pk;

jeigu z = 0,arg z neapibrėžtas.

Pagrindinė argumento reikšmė nustatoma atkarpoje 0 £ arg z£2 p,

arba -p£ arg z £ p.

Pavyzdžiai:

1. Raskite kompleksinių skaičių modulį z 1 = 4 – 3i ir z 2 = –2–2i.

2. Kompleksinėje plokštumoje nustatykite sritis, nurodytas sąlygomis:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 svarai sterlingų; 3) | z – (2+i) | 3 svarai sterlingų; 4) 6 £ | z – i| 7 svarai.

Sprendimai ir atsakymai:

1) | z| = 5 Û Û yra apskritimo, kurio spindulys 5 ir centras pradinėje vietoje, lygtis.

2) 6 spindulio apskritimas, kurio centras yra taške.

3) 3 spindulio apskritimas, kurio centras yra taškas z 0 = 2 + i.

4) Žiedas, apribotas apskritimų, kurių spindulys yra 6 ir 7, kurių centras yra taške z 0 = i.

3. Raskite skaičių modulį ir argumentą: 1); 2).

1) ; a = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Pastaba: Apibrėždami pagrindinį argumentą naudokite kompleksinę plokštumą.

Taigi: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

2.3. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

Tegul vektorius kompleksinėje plokštumoje nurodomas skaičiumi.

φ žymime kampą tarp teigiamos pusašios Ox ir vektoriaus (kampas φ laikomas teigiamu, jei skaičiuojamas prieš laikrodžio rodyklę, o neigiamas kitu atveju).

Vektoriaus ilgį pažymime r. Tada . Taip pat pažymime

Nenulinio kompleksinio skaičiaus z rašymas formoje

vadinamas kompleksinio skaičiaus z trigonometrine forma. Skaičius r vadinamas kompleksinio skaičiaus z moduliu, o skaičius φ – šio kompleksinio skaičiaus argumentu ir žymimas Arg z.

Trigonometrinis kompleksinio skaičiaus žymėjimas – (Eulerio formulė) – kompleksinio skaičiaus eksponentinis žymėjimas:

Kompleksinis skaičius z turi be galo daug argumentų: jei φ0 yra bet kuris skaičiaus z argumentas, tai visus kitus galima rasti pagal formulę

Kompleksiniam skaičiui argumentas ir trigonometrinė forma nėra apibrėžti.

Taigi nulinio kompleksinio skaičiaus argumentas yra bet koks lygčių sistemos sprendimas:

(3)

Nelygybes tenkinančio kompleksinio skaičiaus z argumento reikšmė φ vadinama pagrindine ir žymima arg z.

Arg z ir arg z yra susiję

, (4)

Formulė (5) yra sistemos (3) pasekmė, todėl visi kompleksinio skaičiaus argumentai tenkina lygybę (5), bet ne visi (5) lygties sprendiniai φ yra skaičiaus z argumentai.

Pagrindinę nenulinio kompleksinio skaičiaus argumento reikšmę galima rasti pagal formules:

Sudėtinių skaičių daugybos ir padalijimo trigonometrine forma formulės yra šios:

. (7)

Didinant kompleksinį skaičių iki natūralios laipsnio, naudojama Moivre formulė:

Išskiriant šaknį iš kompleksinio skaičiaus, naudojama formulė:

, (9)

kur k = 0, 1, 2, ..., n-1.

54 uždavinys. Apskaičiuokite kur.

Pavaizduokime šios išraiškos sprendimą kompleksinio skaičiaus eksponentiniu žymėjimu:.

Jei tada.

Tada, ... Todėl tada ir , kur.

Atsakymas: , adresu .

55 uždavinys. Užrašykite kompleksinius skaičius trigonometrine forma:

a) ; b); v) ; G); e); e) ; g).

Kadangi kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma yra:

a) Kompleksiniame skaičiuje:.

,

Štai kodėl

b) , kur,

G) , kur,

e) .

g) , a , tada.

Štai kodėl

Atsakymas: ; 4; ; ; ; ; .

56 uždavinys. Raskite kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą

.

Leisti būti , .

Tada, , .

Nuo ir ,, tada ir

Todėl, todėl

Atsakymas: , kur.

57 uždavinys. Naudodami kompleksinio skaičiaus trigonometrinę formą, atlikite nurodytus veiksmus:.

Pavaizduokime skaičius ir trigonometrine forma.

1), kur tada

Raskite pagrindinio argumento reikšmę:

Pakeiskite reikšmes ir į išraišką, gauname

2) kur tada

Tada

3) Raskite koeficientą

Nustačius k = 0, 1, 2, gauname tris skirtingas norimos šaknies reikšmes:

Jei tada

jei tada

jei tada .

Atsakymas: :

:

: .

58 uždavinys. Tegul,,, yra skirtingi kompleksiniai skaičiai ir ... Įrodyk tai

skaičius yra tikrasis teigiamas skaičius;

b) lygybė įvyksta:

a) Šiuos kompleksinius skaičius pavaizduojame trigonometrine forma:

Nes .

Apsimeskime tai. Tada

.

Paskutinė išraiška yra teigiamas skaičius, nes sinuso ženklai yra skaičiai iš intervalo.

nuo numerio tikra ir teigiama. Iš tiesų, jei a ir b yra kompleksiniai skaičiai ir yra realūs bei didesni už nulį, tada.

Be to,

todėl reikalinga lygybė įrodyta.

59 uždavinys. Užrašykite skaičių algebrine forma .

Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma ir raskime jo algebrinę formą. Mes turime ... Dėl gauname sistemą:

Tai reiškia lygybę: .

Taikant Moivre formulę:,

mes gauname

Rasta nurodyto skaičiaus trigonometrinė forma.

Dabar rašome šį skaičių algebrine forma:

.

Atsakymas: .

60 uždavinys. Raskite sumą,,

Apsvarstykite sumą

Taikydami Moivre formulę, randame

Ši suma yra geometrinės progresijos su vardikliu n narių suma ir pirmasis narys .

Taikydami tokios progresijos terminų sumos formulę, turime

Paskutinėje išraiškoje atskirdami įsivaizduojamą dalį, randame

Atskirdami tikrąją dalį taip pat gauname tokią formulę:,,.

61 uždavinys. Raskite sumą:

a) ; b).

Pagal Niutono formulę, kaip padidinti iki galios, turime

Naudodami Moivre formulę randame:

Sulyginę gautų išraiškų tikrąsias ir menamas dalis, turime:

ir .

Šios formulės gali būti parašytos kompaktiška forma taip:

,

, kur yra sveikoji skaičiaus a dalis.

62 uždavinys. Surask visus kam.

Tiek, kiek , tada taikydami formulę

, Norėdami išgauti šaknis, gauname ,

Vadinasi, , ,

, .

Skaičius atitinkantys taškai yra kvadrato, įrašyto į 2 spindulio apskritimą, kurio centras yra taške (0; 0), viršūnėse (30 pav.).

Atsakymas: , ,

, .

63 uždavinys. Išspręskite lygtį , .

Pagal sąlygą; todėl ši lygtis neturi šaknies, todėl ji yra lygiavertė lygčiai.

Kad skaičius z būtų šios lygties šaknis, būtina, kad skaičius būtų šaknis n-asis laipsnis nuo 1 numerio.

Taigi darome išvadą, kad pradinė lygtis turi šaknis, nustatytas iš lygybių

,

Taigi,

,

t.y. ,

Atsakymas: .

64 uždavinys. Išspręskite lygtį kompleksinių skaičių aibėje.

Kadangi skaičius nėra šios lygties šaknis, ši lygtis yra lygi lygčiai

Tai yra lygtis.

Visos šios lygties šaknys gaunamos iš formulės (žr. 62 uždavinį):

; ; ; ; .

65 uždavinys. Kompleksinėje plokštumoje nubrėžkite taškų aibę, tenkinančią nelygybes: ... (2-asis 45 problemos sprendimo būdas)

Leisti būti .

Kompleksiniai skaičiai su vienodais moduliais atitinka plokštumos taškus, esančius apskritime, kurio centras yra ištakoje, todėl nelygybė tenkina visus atviro žiedo, apriboto apskritimų, turinčių bendrą centrą ištakoje ir spinduliais, taškus ir (31 pav.). Tegu koks nors kompleksinės plokštumos taškas atitinka skaičių w0. Skaičius , turi modulį, kuris yra vieną kartą mažesnis už modulį w0, ir argumentą, kuris yra didesnis už argumentą w0. Geometriškai taškas, atitinkantis w1, gali būti gaunamas naudojant homotetą, kurio centras yra pradžioje ir koeficientas, taip pat sukimas apie pradinę vietą kampu prieš laikrodžio rodyklę. Šias dvi transformacijas pritaikius žiedo taškams (31 pav.), pastarasis virsta žiedu, kurį riboja apskritimai, kurių centras yra vienodas ir spinduliai 1 ir 2 (32 pav.).

Transformacija įgyvendintas naudojant lygiagretųjį vertimą į vektorių. Perkeldami taške įcentruotą žiedą į nurodytą vektorių, gauname tokio pat dydžio žiedą, kurio centras yra taške (22 pav.).

Siūlomas metodas, naudojant geometrinių plokštumos transformacijų idėją, tikriausiai yra ne toks patogus aprašyme, bet labai elegantiškas ir efektyvus.

66 uždavinys. Raskite, jei .

Leisk, tada ir. Pirminė lygybė įgauna formą ... Iš dviejų kompleksinių skaičių lygybės sąlygos gauname,, iš kur,. Taigi,.

Parašykime skaičių z trigonometrine forma:

, kur,. Pagal Moivre formulę randame.

Atsakymas: - 64.

67 uždavinys. Sudėtinio skaičiaus atveju raskite visus tokius kompleksinius skaičius, kad ir .

Pavaizduokime skaičių trigonometrine forma:

... Vadinasi,. Gautas skaičius gali būti lygus bet kuriam.

Pirmuoju atveju , antrajame

.

Atsakymas: , .

68 uždavinys. Raskite tokią skaičių sumą, kad. Įveskite vieną iš šių skaičių.

Atkreipkite dėmesį, kad jau iš pačios problemos formuluotės galima suprasti, kad lygties šaknų sumą galima rasti neskaičiuojant pačių šaknų. Iš tiesų, lygties šaknų suma yra koeficientas at paimtas su priešingu ženklu (apibendrinta Vietos teorema), t.y.

Mokiniai, mokyklos dokumentai, daro išvadas apie šios sąvokos įsisavinimo laipsnį. Apibendrinti matematinio mąstymo ypatybių tyrimą ir kompleksinio skaičiaus sampratos formavimo procesą. Metodų aprašymas. Diagnostika: I etapas. Pokalbis vyko su matematikos mokytoja, kuri 10 klasėje dėsto algebrą ir geometriją. Pokalbis įvyko po kurio laiko nuo pradžios...

Rezonansas "(!)), Kuris taip pat apima įvertinimą savo elgesį... 4. Kritinis jūsų situacijos supratimo įvertinimas (abejojimas). 5. Galiausiai, teisės psichologijos rekomendacijų panaudojimas (atsižvelgiant į psichologinius advokato atliekamų profesinių veiksmų aspektus – profesinis ir psichologinis pasirengimas). Dabar panagrinėkime psichologinę juridinių faktų analizę. ...

Trigonometrinio keitimo matematika ir sukurtų mokymo metodų efektyvumo tikrinimas. Darbo etapai: 1. Pasirenkamojo kurso tema: „Trigonometrinio keitimo panaudojimas sprendžiant algebrinius uždavinius“ rengimas su matematikos giluminio mokymosi klasių mokiniais. 2. Parengto pasirenkamojo kurso vedimas. 3. Diagnostinės kontrolės atlikimas...

Pažintinės užduotys yra skirtos tik esamoms mokymo priemonėms papildyti ir turi būti tinkamai derinamos su visomis tradicinėmis ugdymo proceso priemonėmis ir elementais. Skirtumas tarp edukacinių problemų mokant humanitarinius mokslus nuo tiksliųjų, nuo matematinių uždavinių yra tik tuo, kad istoriniuose uždaviniuose nėra formulių, standžių algoritmų ir pan., o tai apsunkina jų sprendimą. ...