ដំណោះស្រាយផ្ទាល់មាត់នៃសមីការ quadratic និងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការចតុកោណ និងសមីការផ្សេងៗទៀត ការអនុវត្តន៍ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

នៅក្នុងការបង្រៀននេះ យើងនឹងស្គាល់ពីទំនាក់ទំនងដែលចង់ដឹងចង់ឃើញរវាងឫសនៃសមីការការ៉េ និងមេគុណរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Viet (1540-1603)។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 ដោយមិនបានរកឃើញឫសរបស់វា អ្នកអាចដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ភ្លាមៗនិយាយថា ផលបូកនៃឫសគឺ ហើយផលនៃឫសគឺ
i.e. - 2. ហើយសម្រាប់សមីការ x 2 - 6x + 8 \u003d 0 យើងសន្និដ្ឋាន៖ ផលបូកនៃឫសគឺ 6 ផលិតផលនៃឫសគឺ 8; ដោយវិធីនេះវាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាតើឫសអ្វីស្មើនឹង: 4 និង 2 ។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េ ax 2 + bx + c \u003d 0 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ដែល D \u003d b 2 - 4ac គឺជាអ្នករើសអើងនៃសមីការ។ ចាក់ឬសទាំងនេះ
យើង​ទទួល​បាន

ឥឡូវនេះយើងគណនាផលិតផលនៃឫស x 1 និង x 2 យើងមាន

ទំនាក់ទំនងទីពីរត្រូវបានបង្ហាញ៖
មតិយោបល់។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏មានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីដែលសមីការការ៉េមានឫសមួយ (នោះគឺនៅពេលដែល D \u003d 0) វាគ្រាន់តែថាក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានចាត់ទុកថាសមីការមានឫសដូចគ្នាពីរដែលទំនាក់ទំនងខាងលើត្រូវបានអនុវត្ត។ .
ទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + px + q \u003d 0 យកទម្រង់សាមញ្ញពិសេស។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
ទាំងនោះ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta មនុស្សម្នាក់ក៏អាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមអោយ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0 ។ បន្ទាប់មក

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលបំណងសំខាន់នៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺមិនមែនថាវាបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងជាក់លាក់រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការបួនជ្រុងនោះទេ។ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀតនោះគឺថា ដោយមានជំនួយពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នោះ រូបមន្តសម្រាប់បង្កើតត្រីកោណមាត្រការ៉េត្រូវបានចេញ ដោយគ្មានអ្វីដែលយើងនឹងមិនធ្វើនៅពេលអនាគត។

ភស្តុតាង។ យើង​មាន

ឧទាហរណ៍ ១. ធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េ 3x 2 - 10x + 3 ។
ដំណោះស្រាយ។ ដោយបានដោះស្រាយសមីការ Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d ។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន

វាសមហេតុផលជំនួសឱ្យការសរសេរ Zx − 1។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន Zx 2 - 10x + 3 = (x − 3) (3x − 1) ។
ចំណាំថា ត្រីកោណការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានកត្តាដោយមិនប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដាក់ជាក្រុម៖

Zx 2 − 10x + 3 = Zx 2 − 9x − x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1) ។

ប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះជោគជ័យគឺអាស្រ័យលើថាតើយើងអាចស្វែងរកក្រុមជោគជ័យបានឬអត់ ខណៈពេលដែលវិធីសាស្ត្រដំបូងជោគជ័យត្រូវបានធានា។
ឧទាហរណ៍ ១. កាត់បន្ថយប្រភាគ

ដំណោះស្រាយ។ ពីសមីការ 2x 2 + 5x + 2 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = − 2,

ពីសមីការ x2 − 4x − 12 = 0 យើងរកឃើញ x 1 = 6, x 2 = −2 ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2) ។
ឥឡូវនេះយើងកាត់បន្ថយប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣. ធ្វើ​ជា​កត្តា​កន្សោម៖
ក) x4 + 5x 2 +6; ខ) 2x+-3
ដំណោះស្រាយ ក) យើងណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ជាត្រីកោណការ៉េដោយគោរពទៅនឹងអថេរ y ពោលគឺក្នុងទម្រង់ y 2 + bу + 6 ។
ដោយបានដោះស្រាយសមីការ y 2 + bу + 6 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3 ។ ឥឡូវនេះយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ 2; យើង​ទទួល​បាន

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3) ។
វានៅតែត្រូវចាំថា y \u003d x 2, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3) ។
ខ) សូមណែនាំអថេរថ្មី y = . វា​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​សរសេរ​កន្សោម​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​ត្រីកោណមាត្រ​ការ៉េ ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​អថេរ y គឺ​ក្នុង​ទម្រង់ 2y 2 + y - 3 ។ ដោយ​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ
2y 2 + y - 3 \u003d 0 យើងរកឃើញឫសនៃត្រីកោណការ៉េ 2y 2 + y - 3៖
y 1 = 1, y 2 = ។ លើសពីនេះទៀតដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 យើងទទួលបាន:

វានៅតែត្រូវចាំថា y \u003d, i.e. ត្រឡប់ទៅកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ

ផ្នែកនេះបញ្ចប់ដោយការពិចារណាមួយចំនួន ភ្ជាប់ម្តងទៀតជាមួយទ្រឹស្តីបទ Vieta ឬផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការអះអាងផ្ទុយគ្នា៖
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2 គឺដូចជា x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q នោះលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ
ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការ quadratic ជាច្រើនដោយផ្ទាល់មាត់ ដោយមិនប្រើរូបមន្ត root ដ៏លំបាក ហើយថែមទាំងសរសេរសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍។

1) x 2 − 11x + 24 = 0. េនះ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. ងាយស្មានថា x 1 = 8, x 2 = 3 ។

2) x 2 + 11x + 30 = 0. នៅទីនេះ x 1 + x 2 = −11, x 1 x 2 = 30. ងាយស្មានថា x 1 = −5, x 2 = −6 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យសេរីនៃសមីការគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន នោះឫសទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

3) x 2 + x − 12 = 0. េនះ x 1 + x 2 = −1, x 1 x 2 = −12 ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថា x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 ។
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃនៃសមីការគឺជាលេខអវិជ្ជមាន នោះឫសគឺខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញា។ នេះមានសារៈសំខាន់ក្នុងការពិចារណានៅពេលជ្រើសរើសឫស។

4) 5x 2 + 17x − 22 = 0. ងាយមើលឃើញថា x = 1 បំពេញសមីការ i.e. x 1 \u003d 1 - ឫសគល់នៃសមីការ។ ចាប់តាំងពី x 1 x 2 \u003d - និង x 1 \u003d 1 យើងទទួលបាននោះ x 2 \u003d - ។

5) x 2 − 293x + 2830 = 0. េនេនះ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. េបើអនកយកចិត្តទុកដក់លើការពិតថា 2830 = 283 ។ 10 និង 293 \u003d 283 + 10 បន្ទាប់មកវាច្បាស់ថា x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ឥឡូវនេះស្រមៃមើលថាតើការគណនាអ្វីខ្លះនឹងត្រូវអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េនេះដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ) ។

6) ចូរបង្កើតសមីការការ៉េដើម្បីឱ្យលេខ x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 ដើរតួជាឫសគល់របស់វា។ ជាធម្មតានៅក្នុងករណីបែបនេះ ពួកវាបង្កើតជាសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 ។
យើងមាន x 1 + x 2 \u003d -p ដូច្នេះ 8 - 4 \u003d -p នោះគឺ p \u003d -4 ។ បន្ថែមទៀត x 1 x 2 = q, i.e. 8"(-4) = q ពេលណាយើងទទួលបាន q = -32 ។ ដូច្នេះ p \u003d -4, q \u003d -32 ដែលមានន័យថាសមីការការ៉េដែលចង់បានមានទម្រង់ x 2 -4x-32 \u003d 0 ។

សមីការការ៉េពេញលេញណាមួយ។ ax2 + bx + c = 0អាចត្រូវបាននាំយកមកក្នុងចិត្ត x 2 + (b/a) x + (c/a) = 0ប្រសិនបើយើងបែងចែកពាក្យនីមួយៗដោយមេគុណ a មុន x2. ហើយប្រសិនបើយើងណែនាំសញ្ញាណថ្មី។ (b/a) = ទំនិង (c/a) = qបន្ទាប់មកយើងនឹងមានសមីការ x 2 + px + q = 0ដែលនៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ.

ឫសគល់នៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ និងមេគុណ ទំនិង qមានទំនាក់ទំនងគ្នា។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតាដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Francois Vieta ដែលរស់នៅចុងសតវត្សទី១៦។

ទ្រឹស្តីបទ. ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0ស្មើនឹងមេគុណទីពីរ ទំយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយនិងផលិតផលនៃឫស - ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ q.

យើងសរសេរសមាមាត្រទាំងនេះក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

អនុញ្ញាតឱ្យ x ១និង x2ឫសផ្សេងគ្នានៃសមីការកាត់បន្ថយ x 2 + px + q = 0. នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta x1 + x2 = -pនិង x 1 x 2 = q.

ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ ចូរយើងជំនួសឫស x 1 និង x 2 ទៅក្នុងសមីការ។ យើងទទួលបានសមភាពពិតពីរ៖

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

ដកទីពីរចេញពីសមភាពទីមួយ។ យើង​ទទួល​បាន:

x 1 2 − x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

យើងពង្រីកពាក្យពីរដំបូងយោងទៅតាមភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ៖

(x 1 − x 2)(x 1 − x 2) + p(x 1 − x 2) = 0

តាមលក្ខខណ្ឌ ឫស x 1 និង x 2 គឺខុសគ្នា។ ដូច្នេះយើងអាចកាត់បន្ថយសមភាពដោយ (x 1 − x 2) ≠ 0 និង express p ។

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p ។

សមភាពទីមួយត្រូវបានបង្ហាញ។

ដើម្បីបញ្ជាក់សមភាពទីពីរ យើងជំនួសសមីការទីមួយ

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 ជំនួសឱ្យមេគុណ p ចំនួនស្មើគ្នារបស់វាគឺ (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

ការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងទទួលបាន៖

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q ដែលត្រូវបង្ហាញ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺល្អព្រោះ ទោះបីជាមិនបានដឹងពីឫសគល់នៃសមីការការ៉េក៏ដោយ យើងអាចគណនាផលបូក និងផលរបស់វា។ .

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួយកំណត់ឫសចំនួនគត់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់សិស្សានុសិស្សជាច្រើន បញ្ហានេះបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកដោយសារតែពួកគេមិនស្គាល់ក្បួនដោះស្រាយច្បាស់លាស់នៃសកម្មភាព ជាពិសេសប្រសិនបើឫសគល់នៃសមីការមាន សញ្ញាផ្សេងគ្នា.

ដូច្នេះសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទម្រង់ x 2 + px + q \u003d 0 ដែល x 1 និង x 2 គឺជាឫសរបស់វា។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta x 1 + x 2 = -p និង x 1 x 2 = q ។

យើងអាចសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម.

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការពាក្យចុងក្រោយត្រូវនាំមុខដោយសញ្ញាដក នោះឫស x 1 និង x 2 មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ លើសពីនេះទៀតសញ្ញានៃឫសតូចជាងគឺដូចគ្នានឹងសញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៅក្នុងសមីការ។

ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថានៅពេលបន្ថែមលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នាម៉ូឌុលរបស់ពួកគេត្រូវបានដកហើយសញ្ញានៃលេខធំជាងត្រូវបានដាក់នៅពីមុខលទ្ធផលអ្នកគួរតែបន្តដូចខាងក្រោម:

1. កំណត់កត្តាបែបនេះនៃចំនួន q ដូច្នេះភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងលេខ p ។
2. ដាក់សញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការនៅពីមុខលេខតូចជាងនៃលេខដែលទទួលបាន។ ឫសទីពីរនឹងមានសញ្ញាផ្ទុយ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ x 2 − 2x − 15 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ.

ចូរយើងព្យាយាមដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើច្បាប់ដែលបានស្នើឡើងខាងលើ។ បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានច្បាស់ថាសមីការនេះនឹងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ពីព្រោះ ឃ \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0 ។

ឥឡូវនេះ ពីកត្តាទាំងអស់នៃលេខ 15 (1 និង 15, 3 និង 5) យើងជ្រើសរើសអ្នកដែលខុសគ្នាស្មើនឹង 2។ ទាំងនេះនឹងជាលេខ 3 និង 5។ យើងដាក់សញ្ញាដកនៅពីមុខលេខតូចជាង។ , i.e. សញ្ញានៃមេគុណទីពីរនៃសមីការ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានឫសនៃសមីការ x 1 \u003d -3 និង x 2 \u003d 5 ។

ចម្លើយ។ x 1 = −3 និង x 2 = 5 ។

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយសមីការ x 2 + 5x − 6 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ.

សូមពិនិត្យមើលថាតើសមីការនេះមានឫសគល់ឬអត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញអ្នករើសអើង៖

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

កត្តាដែលអាចកើតមាននៃលេខ 6 គឺ 2 និង 3, 6 និង 1 ។ ភាពខុសគ្នាគឺ 5 សម្រាប់គូនៃ 6 និង 1 ។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មេគុណនៃពាក្យទីពីរមានសញ្ញាបូក ដូច្នេះលេខតូចនឹងមាន សញ្ញាដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែមុនពេលលេខទីពីរនឹងមានសញ្ញាដក។

ចម្លើយ៖ x 1 = −6 និង x 2 = 1 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ក៏អាចត្រូវបានសរសេរសម្រាប់សមីការ quadratic ពេញលេញមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើសមីការ quadratic ax2 + bx + c = 0មានឫស x 1 និង x 2 បន្ទាប់មកពួកគេបំពេញសមភាព

x 1 + x 2 = -(b/a)និង x 1 x 2 = (c/a). ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទនេះនៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញគឺមានបញ្ហាជាង ប្រសិនបើមានឫស យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺជាចំនួនប្រភាគ។ ហើយការធ្វើការជាមួយការជ្រើសរើសប្រភាគគឺពិបាកណាស់។ ប៉ុន្តែនៅតែមានផ្លូវចេញ។

ពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ ax 2 + bx + c = 0. គុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយមេគុណ a ។ សមីការនឹងយកទម្រង់ (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 ។ ឥឡូវសូមណែនាំអថេរថ្មី ឧទាហរណ៍ t = ax ។

ក្នុងករណីនេះសមីការលទ្ធផលប្រែទៅជាសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ t 2 + bt + ac = 0 ឫសដែល t 1 និង t 2 (ប្រសិនបើមាន) អាចត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការ quadratic ដើមនឹងមាន

x 1 = (t 1 / a) និង x 2 = (t 2 / a) ។

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដោះស្រាយសមីការ 15x 2 − 11x + 2 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ.

យើងបង្កើតសមីការជំនួយ។ ចូរគុណពាក្យនីមួយៗនៃសមីការដោយ ១៥៖

15 2 x 2 − 11 15x + 15 2 = 0 ។

យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ t = 15x ។ យើង​មាន:

t 2 − 11t + 30 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ឫសនៃសមីការនេះនឹងមាន t 1 = 5 និង t 2 = 6 ។

យើងត្រលប់ទៅការជំនួស t = 15x:

5 = 15x ឬ 6 = 15x ។ ដូច្នេះ x 1 = 5/15 និង x 2 = 6/15 ។ យើងកាត់បន្ថយ និងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ៖ x 1 = 1/3 និង x 2 = 2/5 ។

ចម្លើយ។ x 1 = 1/3 និង x 2 = 2/5 ។

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta សិស្សត្រូវអនុវត្តឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ នេះពិតជាអាថ៌កំបាំងនៃភាពជោគជ័យ។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ quadratic បន្ថែមពីលើរូបមន្តឫស មានទំនាក់ទំនងមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់នូវរូបមន្ត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ បន្ទាប់​មក យើង​ពិចារណា​ទ្រឹស្តីបទ​មួយ​ទៅ​ទ្រឹស្តីបទ​របស់​វីតា។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍លក្ខណៈបំផុត។ ជាចុងក្រោយ យើងសរសេររូបមន្ត Vieta ដែលកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងឫសពិត សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n និងមេគុណរបស់វា។

ការរុករកទំព័រ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta, ការបង្កើត, ភស្តុតាង

ពីរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 នៃទម្រង់ ដែល D = b 2 −4 a c ទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = −b/a, x 1 x 2 = គ/ក។ លទ្ធផលទាំងនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា:

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ ក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ b និង a ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ និងផលគុណនៃ ឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ c និង a ពោលគឺ .

ភស្តុតាង។

យើងនឹងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Vieta តាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖ យើងនឹងចងក្រងផលបូក និងផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់ បន្ទាប់មកយើងនឹងបំប្លែងកន្សោមលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាពួកវាស្មើនឹង −b /a និង c/a រៀងគ្នា។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងផលបូកនៃឫស, តែងវា។ ឥឡូវនេះយើងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងរួមមួយ យើងមាន។ នៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគលទ្ធផល បន្ទាប់ពីនោះ : . ទីបំផុតបន្ទាប់ពី 2 យើងទទួលបាន។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។ ចូរបន្តទៅទីពីរ។

យើងចងក្រងផលនៃឫសនៃសមីការ quadratic : ។ យោងតាមក្បួនគុណនៃប្រភាគ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជា។ ឥឡូវនេះ យើងគុណដង្កៀបដោយតង្កៀបនៅក្នុងភាគយក ប៉ុន្តែវាលឿនជាងក្នុងការបង្រួមផលិតផលនេះដោយ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ, ដូច្នេះ។ បន្ទាប់មក ចងចាំ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់។ ហើយដោយសាររូបមន្ត D=b 2 −4 ac·c ត្រូវគ្នាទៅនឹងការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ បន្ទាប់មក b 2 −4·a·c អាចត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងប្រភាគចុងក្រោយជំនួសឱ្យ D យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់ពីបើកតង្កៀប និងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដូច យើងមកដល់ប្រភាគ ហើយការកាត់បន្ថយរបស់វាត្រឹម 4·a ផ្តល់ឱ្យ។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលនៃឫស។

ប្រសិនបើយើងលុបចោលការពន្យល់ នោះភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta នឹងមានទម្រង់សង្ខេបមួយ៖
,
.

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសតែមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមីការក្នុងករណីនេះមានឫសដូចគ្នាពីរ នោះសមភាពពីទ្រឹស្តីបទ Vieta ក៏កាន់ដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ D=0 ឫសនៃសមីការការ៉េគឺ បន្ទាប់មក និង ហើយចាប់តាំងពី D=0 នោះគឺ b 2 −4·a·c=0 មកពីណា b 2 = 4·a·c បន្ទាប់មក។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ (ជាមួយនឹងមេគុណខ្ពស់បំផុតស្មើនឹង 1) នៃទម្រង់ x 2 +p·x+q=0 ។ ពេលខ្លះវាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ ដែលមិនកំណត់ភាពទូទៅ ចាប់តាំងពីសមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយសមីការសមមូលដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយលេខមិនសូន្យ a ។ នេះគឺជារូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយ x 2 + p x + q \u003d 0 គឺស្មើនឹងមេគុណ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះគឺ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

រូបមន្តទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន បង្ហាញថាប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 នោះទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q ។ ម៉្យាងទៀត ពីទំនាក់ទំនងជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q វាដូចខាងក្រោម x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 +p x + q = 0 ។ ម្យ៉ាង​ទៀត ការ​អះអាង​ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង​ទ្រឹស្តីបទ​របស់​វីតា គឺ​ពិត។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់ជាទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វា។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើលេខ x 1 និង x 2 គឺដូចនោះ x 1 + x 2 = −p និង x 1 x 2 = q នោះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x + q=0 .

ភស្តុតាង។

បន្ទាប់ពីជំនួសមេគុណ p និង q ក្នុងសមីការ x 2 +p x + q = 0 នៃកន្សោមរបស់ពួកគេតាមរយៈ x 1 និង x 2 វាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល។

យើងជំនួសលេខ x 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល យើងមានសមភាព x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0ដែលសម្រាប់ x 1 និង x 2 គឺជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 0=0 ចាប់តាំងពី x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដែលមានន័យថា x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការសមមូល x 2 +p x+q=0 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ជំនួសលេខ x 2 ជំនួស x បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាព x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. នេះគឺជាសមីការត្រឹមត្រូវពីព្រោះ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 2 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដូច្នេះ សមីការ x 2 + p x + q = 0 ។

នេះបញ្ចប់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ទ្រឹស្តីបទសន្ទនាវីតា។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta

វាដល់ពេលដែលត្រូវនិយាយអំពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta និងទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់វា។ នៅក្នុងផ្នែករងនេះ យើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាបំផុតមួយចំនួន។

យើងចាប់ផ្តើមដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ វាងាយស្រួលប្រើវាដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាបន្ទាប់ពីនោះសុពលភាពនៃទំនាក់ទំនងត្រូវបានពិនិត្យ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះមានការពេញចិត្ត នោះដោយសារទ្រឹស្តីបទដែលផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនពេញចិត្ត នោះលេខទាំងនេះមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េទេ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍។

តើគូមួយណានៃលេខ 1) x 1 = −5, x 2 = 3, ឬ 2) ឬ 3) គឺជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េ 4 x 2 −16 x+9=0?

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 4 x 2 −16 x+9=0 គឺ a=4 , b=−16 , c=9 ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវតែស្មើនឹង −b/a នោះគឺ 16/4=4 ហើយផលគុណនៃឫសត្រូវតែស្មើនឹង c/a ពោលគឺ 9 /៤.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខក្នុងគូនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងបី ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងតម្លៃដែលទើបតែទទួលបាន។

ក្នុងករណីទីមួយ យើងមាន x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពីលេខ 4 ដូច្នេះការផ្ទៀងផ្ទាត់បន្ថែមទៀតមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តទេប៉ុន្តែដោយទ្រឹស្តីបទការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមៗថាលេខគូទីមួយមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

ចូរបន្តទៅករណីទីពីរ។ នៅទីនេះ នោះគឺលក្ខខណ្ឌទីមួយគឺពេញចិត្ត។ យើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពី 9/4 ។ ដូច្នេះ គូទីពីរនៃលេខមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការ quadratic ទេ។

ករណីចុងក្រោយនៅសល់។ នៅទីនេះ និង។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះលេខទាំងនេះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖

ទ្រឹស្តីបទដែលជាទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់ Vieta អាចត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តដើម្បីជ្រើសរើសឫសនៃសមីការការ៉េ។ ជាធម្មតា ឫសចំនួនគត់នៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ត្រូវបានជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីក្នុងករណីផ្សេងទៀត វាពិបាកធ្វើណាស់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គេប្រើការពិតដែលថា ប្រសិនបើផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរនៃសមីការការ៉េ យកដោយសញ្ញាដក ហើយផលគុណនៃលេខទាំងនេះស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះលេខទាំងនេះគឺ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរយើងយកសមីការការ៉េ x 2 −5 x + 6 = 0 ។ ដើម្បីឱ្យលេខ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ សមភាពពីរ x 1 +x 2 \u003d 5 និង x 1 x 2 \u003d 6 ត្រូវតែពេញចិត្ត។ វានៅសល់ដើម្បីជ្រើសរើសលេខបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ៖ លេខបែបនេះគឺ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 2 + 3 = 5 និង 2 3 = 6 ។ ដូច្នេះ 2 និង 3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។

ទ្រឹស្តីបទដែលជាទ្រឹស្ដីបញ្ច្រាសរបស់ Vieta គឺងាយស្រួលជាពិសេសដើម្បីអនុវត្តចំពោះការស្វែងរកឫសទីពីរនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ នៅពេលដែលឫសណាមួយត្រូវបានគេស្គាល់ឬច្បាស់រួចហើយ។ ក្នុងករណីនេះឫសទីពីរត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនងណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 512 x 2 −509 x−3=0 ។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាឯកតាគឺជាឫសគល់នៃសមីការ ព្រោះផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េនេះគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ x 1 = 1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ឫសទីពីរ x 2 អាចត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនង x 1 x 2 = c/a ។ យើងមាន 1 x 2 = −3/512 , ពេលណា x 2 = −3/512 ។ ដូច្នេះ យើងបានកំណត់ឫសទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ៖ ១ និង −៣/៥១២។

វាច្បាស់ណាស់ថាការជ្រើសរើសឫសគឺចាំបាច់តែនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកឫស អ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េតាមរយៈអ្នករើសអើង។

មួយទៀត ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែងទ្រឹស្តីបទ ដែលជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មាននៅក្នុងការគូរសមីការ quadratic សម្រាប់ឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យ x 1 និង x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាផលបូកនៃឫសដែលផ្តល់មេគុណនៃ x ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងផលិតផលនៃឫសដែលផ្តល់រយៈពេលឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍។

សរសេរសមីការការ៉េដែលមានឫសជាលេខ −11 និង 23 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្គាល់ x 1 = −11 និង x 2 = 23 ។ យើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខទាំងនេះ៖ x 1 + x 2 \u003d 12 និង x 1 x 2 \u003d −253 ។ ដូច្នេះ លេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណទីពីរ -12 និងពាក្យឥតគិតថ្លៃ -253 ។ នោះគឺ x 2 −12·x−253=0 គឺជាសមីការដែលចង់បាន។

ចម្លើយ៖

x 2 −12 x−253=0 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ តើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទាក់ទងនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 យ៉ាងដូចម្តេច? នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពាក់ព័ន្ធពីរ៖

• ប្រសិនបើការស្ទាក់ចាប់ q គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះពួកវាទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន។
• ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាលេខអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះសញ្ញារបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា ម្យ៉ាងវិញទៀត ឫសមួយគឺវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះធ្វើតាមរូបមន្ត x 1 x 2 =q ក៏ដូចជាច្បាប់សម្រាប់គុណលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន និងលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍។

R គឺវិជ្ជមាន។ យោងតាមរូបមន្តបែងចែកយើងរកឃើញ D = (r + 2) 2 −4 1 (r−1) = r 2 +4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8 តម្លៃនៃកន្សោម r 2 +8 គឺវិជ្ជមានសម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ ដូច្នេះ D> 0 សម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​ដើម​មាន​ឫស​ពីរ​សម្រាប់​តម្លៃ​ពិត​ណាមួយ​នៃ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ r ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងរកមើលនៅពេលដែលឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃឫសគឺខុសគ្នា នោះផលិតផលរបស់ពួកគេគឺអវិជ្ជមាន ហើយដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ផលិតផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូច្នេះហើយ យើងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃទាំងនោះនៃ r ដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃ r−1 គឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ r ដែលចាប់អារម្មណ៍យើងយើងត្រូវ ដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរ r−1<0 , откуда находим r<1 .

ចម្លើយ៖

នៅ r<1 .

រូបមន្ត Vieta

ខាងលើ យើងបាននិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងវិភាគទំនាក់ទំនងដែលវាអះអាង។ ប៉ុន្តែមានរូបមន្តដែលភ្ជាប់ឫសពិត និងមេគុណមិនត្រឹមតែសមីការបួនជ្រុងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសមីការគូប សមីការបួនជ្រុង និងជាទូទៅ។ សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n. ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Vieta.

យើងសរសេររូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n នៃទម្រង់ ខណៈពេលដែលយើងសន្មត់ថាវាមានឫសពិត x 1, x 2, ..., x n (ក្នុងចំនោមពួកវាអាចមានដូចគ្នា):

ទទួលបានរូបមន្ត Vieta អនុញ្ញាត ទ្រឹស្តីបទកត្តាកត្តាពហុធាក៏ដូចជានិយមន័យនៃពហុនាមស្មើគ្នា តាមរយៈសមភាពនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់។ ដូច្នេះពហុនាម និងការពង្រីករបស់វាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់គឺស្មើគ្នា។ ការបើកតង្កៀបនៅក្នុងផលិតផលចុងក្រោយ និងស្មើមេគុណដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្ត Vieta ។

ជាពិសេស សម្រាប់ n=2 យើងធ្លាប់ស្គាល់រូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។

សម្រាប់សមីការគូប រូបមន្ត Vieta មានទម្រង់

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត Vieta មានអ្វីដែលហៅថាបឋម ពហុនាមស៊ីមេទ្រី.

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : Education, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
• ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed ។ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - M. : ការត្រាស់ដឹង, 2010.- 368 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-022771-1 ។

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺកម្មវិធី រូបមន្ត VIETAដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាម FRANCOIS VIETE ។

គាត់ជាមេធាវីដ៏ល្បីល្បាញ ហើយបានបម្រើការនៅសតវត្សទី 16 ជាមួយស្តេចបារាំង។ ពេលទំនេរ គាត់បានសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។

គុណសម្បត្តិនៃរូបមន្ត៖

1 . ដោយ​ការ​អនុវត្ត​រូបមន្ត អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​ដំណោះ​ស្រាយ​បាន​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស។ ដោយសារតែអ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចូលមេគុណទីពីរទៅក្នុងការ៉េ បន្ទាប់មកដក 4ac ពីវា ស្វែងរកអ្នករើសអើង ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫស។

2 . ដោយគ្មានដំណោះស្រាយអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសយកតម្លៃនៃឫស។

3 . ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃកំណត់ត្រាពីរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសដោយខ្លួនឯងទេ។ នៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ ផលិតផលនៃឫសនៅក្នុងសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីបី។

4 . យោងតាមឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យ សរសេរសមីការ quadratic នោះគឺ ដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីបទ។

5 . វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តនៅពេលដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។

គុណវិបត្តិ៖

1 . រូបមន្តមិនមែនជាសកលទេ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta ថ្នាក់ទី ៨

រូបមន្ត
ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 បន្ទាប់មក៖

ឧទាហរណ៍
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ។

P = -2, q = −3 ។

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = −1 3 = −3 = q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស

រូបមន្ត
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2, p, q ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖

បន្ទាប់មក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 + px + q = 0 ។

ឧទាហរណ៍
ចូរបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដោយឫសរបស់វា៖

X 1 \u003d 2 -? 3 និង x 2 \u003d 2 +? ៣.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d ១.

សមីការដែលចង់បានមានទម្រង់៖ x 2 − 4x + 1 = 0 ។

2.5 រូបមន្ត Vieta សម្រាប់ពហុនាម (សមីការ) ដឺក្រេខ្ពស់ជាង

រូបមន្តដែលបានមកពី Vieta សម្រាប់សមីការបួនជ្រុងក៏ជាការពិតសម្រាប់ពហុនាមនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យពហុនាម

P(x) = a 0 x n + a 1 x n −1 + … +a n

មានឫសខុសគ្នា x 1 , x 2 … , x n ។

ក្នុងករណីនេះ វាមានកត្តាកំណត់ទម្រង់៖

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពនេះដោយ 0 ≠ 0 ហើយពង្រីកតង្កៀបនៅផ្នែកទីមួយ។ យើងទទួលបានសមភាព៖

x n + ( )x n −1 + ... + ( ) = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n −1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n −1 x n)x n − 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

ប៉ុន្តែពហុនាមពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទ ប្រសិនបើមេគុណដែលមានអំណាចដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។ វាកើតឡើងពីនេះថាសមភាព

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n −1 x n =

x 1 x 2 … x n = (−1) n

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីបី

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

យើង​មាន​អត្តសញ្ញាណ

x 1 + x 2 + x 3 = −

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = −

ចំពោះសមីការការ៉េ រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Vieta ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្តទាំងនេះគឺជាពហុនាមស៊ីមេទ្រីពីឫស x 1 , x 2 ... , x n នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃមេគុណនៃពហុនាម។

2.6 សមីការដែលអាចកាត់បន្ថយទៅជាការេ (biquadratic)

សមីការនៃដឺក្រេទីបួនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុង៖

ax 4 + bx 2 + c = 0,

ត្រូវបានគេហៅថា biquadratic លើសពីនេះទៅទៀត a ≠ 0 ។

វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដាក់ x 2 \u003d y ក្នុងសមីការនេះ ដូច្នេះហើយ

ay² + ដោយ + c = 0

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ quadratic លទ្ធផល

y 1,2 =

ដើម្បីស្វែងរកឫស x 1, x 2, x 3, x 4 ជំនួស y ដោយ x និងទទួលបាន

x2 =

x 1,2,3,4 = .

ប្រសិនបើសមីការនៃដឺក្រេទីបួនមាន x 1 នោះវាក៏មានឫស x 2 \u003d -x 1,

ប្រសិនបើមាន x 3 បន្ទាប់មក x 4 \u003d - x 3 ។ ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបែបនេះគឺសូន្យ។

2x 4 − 9x² + 4 = 0

យើងជំនួសសមីការទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ biquadratic៖

x 1,2,3,4 = ,

ដោយដឹងថា x 1 \u003d -x 2 និង x 3 \u003d -x 4 បន្ទាប់មក៖

x 3.4 =

ចម្លើយ៖ x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 =

2.7 ការសិក្សាសមីការ biquadratic

ចូរយើងយកសមីការ biquadratic

ax 4 + bx 2 + c = 0,

ដែល a, b, c គឺជាចំនួនពិត និង a > 0។ ដោយការណែនាំជំនួយមិនស្គាល់ y = x² យើងពិនិត្យមើលឫសនៃសមីការនេះហើយបញ្ចូលលទ្ធផលក្នុងតារាង (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធលេខ 1)

2.8 រូបមន្ត Cardano

ប្រសិនបើយើងប្រើនិមិត្តសញ្ញាទំនើប នោះការចេញមកពីរូបមន្ត Cardano អាចមើលទៅដូចនេះ៖

x =

រូបមន្តនេះកំណត់ឫសនៃសមីការទូទៅនៃដឺក្រេទីបី៖

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0 ។

រូបមន្តនេះគឺពិបាកនិងស្មុគស្មាញណាស់ (វាមានរ៉ាឌីកាល់ស្មុគស្មាញជាច្រើន) ។ វាមិនតែងតែអនុវត្តទេព្រោះ។ ពិបាកណាស់ក្នុងការបញ្ចប់។

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

រាយ ឬជ្រើសរើសពី 2-3 អត្ថបទជាកន្លែងដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ ដូច្នេះហើយ យើងបានពិចារណាលើបទប្បញ្ញត្តិទូទៅសម្រាប់ការបង្កើត និងដំណើរការវគ្គសិក្សាជ្រើសរើស ដែលនឹងត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបង្កើតវគ្គសិក្សាជ្រើសរើសនៅក្នុងពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 "សមីការបួនជ្រុង និងវិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ"។ ជំពូក II ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណើរការវគ្គសិក្សាជ្រើសរើស "សមីការបួនជ្រុង និងវិសមភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ" 1.1 ។ ឧត្តមសេនីយ៍...

ដំណោះស្រាយពីវិធីសាស្ត្រគណនាលេខ។ ដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការ ចំនេះដឹងនៃទ្រឹស្ដី Abel, Galois, Lie group ជាដើម មិនត្រូវបានទាមទារទេ ហើយការប្រើប្រាស់វាក្យស័ព្ទគណិតវិទ្យាពិសេស៖ ចិញ្ចៀន, វាល, ឧត្តមគតិ, isomorphisms ជាដើម។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាប័ត្រទី n អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ និងស្រង់ឫសចេញពីចំនួនកុំផ្លិច។ ឫសអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ ...

ជាមួយនឹងឯកតានៃការវាស់វែងនៃបរិមាណរូបវន្តនៅក្នុងប្រព័ន្ធ MathCAD? 11. ពិពណ៌នាលម្អិតអំពីប្លុកអត្ថបទ ក្រាហ្វិក និងគណិតវិទ្យា។ មេរៀនលេខ ២ ។ បញ្ហាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងបរិស្ថាន MathCAD នៅក្នុងបញ្ហាពិជគណិតលីនេអ៊ែរ វាស្ទើរតែតែងតែក្លាយជាការចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការផ្សេងៗជាមួយម៉ាទ្រីស។ បន្ទះប្រតិបត្តិករម៉ាទ្រីសមានទីតាំងនៅលើបន្ទះគណិតវិទ្យា។ ...