សិស្សសាលា

ស្វែងរកតំបន់នៃលក្ខណៈពិសេសដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់តាមអ៊ីនធឺណិត។ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid គឺជាលេខស្មើនឹងអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ។ ការបញ្ចប់ដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ដោយប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។ ជាលើកដំបូង យើងជួបប្រទះនឹងការបង្កើតបញ្ហាបែបនេះនៅក្នុងវិទ្យាល័យ នៅពេលដែលការសិក្សាអំពីអាំងតេក្រាលមួយចំនួនទើបតែត្រូវបានបញ្ចប់ ហើយវាជាពេលវេលាដើម្បីចាប់ផ្តើមការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងការអនុវត្ត។

ដូច្នេះ អ្វីដែលតម្រូវឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាដោយជោគជ័យក្នុងការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល៖

សមត្ថភាពក្នុងការគូរគំនូរឱ្យបានត្រឹមត្រូវ;
សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត ញូតុន-លីបនីហ្ស ដ៏ល្បីល្បាញ;
សមត្ថភាពក្នុងការ "មើលឃើញ" ដំណោះស្រាយដែលរកប្រាក់ចំណេញកាន់តែច្រើន - i.e. ដើម្បីយល់ពីរបៀបក្នុងរឿងនេះ ឬករណីនោះ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការរួមបញ្ចូល? តាមអ័ក្ស x (OX) ឬអ័ក្ស y (OY)?
ជាការប្រសើរណាស់, ដែលជាកន្លែងដែលគ្មានការគណនាត្រឹមត្រូវ?) នេះរួមបញ្ចូលទាំងការយល់ដឹងពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយប្រភេទនៃអាំងតេក្រាលផ្សេងទៀតនិងការគណនាលេខត្រឹមត្រូវ។

ក្បួនដោះស្រាយការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖

1. យើងបង្កើតគំនូរ។ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើបែបនេះនៅលើក្រដាសមួយនៅក្នុងទ្រុងមួយនៅលើខ្នាតធំ។ យើងចុះហត្ថលេខាដោយខ្មៅដៃនៅពីលើក្រាហ្វនីមួយៗឈ្មោះនៃមុខងារនេះ។ ហត្ថលេខានៃក្រាហ្វគឺធ្វើឡើងដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការគណនាបន្ថែមទៀត។ ដោយបានទទួលក្រាហ្វនៃតួរលេខដែលចង់បាន ក្នុងករណីភាគច្រើនវានឹងច្បាស់ភ្លាមៗថាដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលណាមួយនឹងត្រូវប្រើ។ ដូច្នេះយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាក្រាហ្វិក។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាកើតឡើងថាតម្លៃនៃដែនកំណត់គឺប្រភាគ ឬមិនសមហេតុផល។ ដូច្នេះអ្នកអាចធ្វើការគណនាបន្ថែម សូមចូលទៅកាន់ជំហានទីពីរ។

2. ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលមិនត្រូវបានកំណត់ច្បាស់លាស់ទេនោះ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយគ្នា ហើយមើលថាតើដំណោះស្រាយក្រាហ្វិករបស់យើងស្របគ្នាជាមួយនឹងការវិភាគដែរឬទេ។

3. បន្ទាប់អ្នកត្រូវវិភាគគំនូរ។ អាស្រ័យលើរបៀបដែលក្រាហ្វនៃមុខងារស្ថិតនៅ មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាក្នុងការស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាល។

3.1. កំណែបុរាណនិងសាមញ្ញបំផុតនៃបញ្ហាគឺនៅពេលដែលអ្នកត្រូវការស្វែងរកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ។ តើអ្វីទៅជា curvilinear trapezoid? នេះជារូបរាងសំប៉ែតដែលចងដោយអ័ក្ស x (y=0), ត្រង់ x = a, x = bនិងខ្សែកោងណាមួយបន្តនៅលើចន្លោះពេលពី កពីមុន ខ. ទន្ទឹមនឹងនេះតួលេខនេះគឺមិនអវិជ្ជមានហើយមានទីតាំងនៅមិនទាបជាងអ័ក្ស x ទេ។ ក្នុងករណីនេះ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid គឺមានចំនួនស្មើនឹងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដែលបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

ឧទាហរណ៍ ១ y = x2 − 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

តើបន្ទាត់អ្វីដែលកំណត់រូប? យើងមានប៉ារ៉ាបូឡា y = x2 − 3x + 3ដែលមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស អូវាមិនអវិជ្ជមានទេ ពីព្រោះ ចំណុចទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាបូឡានេះគឺវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់ ផ្តល់បន្ទាត់ត្រង់ x = ១និង x = ៣ដែលរត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូគឺជាបន្ទាត់ព្រំដែននៃតួរលេខនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។ អញ្ចឹង y = 0នាងគឺជាអ័ក្ស x ដែលកំណត់រូបភាពពីខាងក្រោម។ តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានដាក់ស្រមោល ដូចឃើញក្នុងរូបខាងឆ្វេង។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាភ្លាមៗ។ មុនពេលយើងគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយនៃ curvilinear trapezoid ដែលបន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

3.2. នៅក្នុងកថាខណ្ឌ 3.1 មុន ករណីនេះត្រូវបានវិភាគនៅពេលដែល curvilinear trapezoid ស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស x ។ ឥឡូវពិចារណាករណីនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺដូចគ្នា លើកលែងតែមុខងារស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស x ។ ដកមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅរូបមន្តស្តង់ដារ Newton-Leibniz ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះយើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២ . គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានប៉ារ៉ាបូឡា y=x2+6x+2ដែលមានប្រភពមកពីក្រោមអ័ក្ស អូ, ត្រង់ x=-4, x=-1, y=0. នៅទីនេះ y = 0កំណត់តួលេខដែលចង់បានពីខាងលើ។ ផ្ទាល់ x = −4និង x = −1ទាំងនេះគឺជាព្រំដែនដែលអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នឹងត្រូវបានគណនា។ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខស្ទើរតែទាំងស្រុងស្របគ្នានឹងឧទាហរណ៍លេខ 1។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺមិនវិជ្ជមានទេ ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងក៏បន្តនៅចន្លោះពេលផងដែរ។ [-4; -1] . អ្វីដែលមិនមានន័យវិជ្ជមាន? ដូចដែលអាចមើលឃើញពីតួលេខ តួលេខដែលស្ថិតនៅក្នុង x ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានកូអរដោនេ "អវិជ្ជមាន" ទាំងស្រុង ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវមើល និងចងចាំនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ យើងកំពុងស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដកនៅដើមដំបូងប៉ុណ្ណោះ។

អត្ថបទមិនត្រូវបានបញ្ចប់ទេ។

យើងចាប់ផ្តើមពិចារណាដំណើរការជាក់ស្តែងនៃការគណនាអាំងតេក្រាលទ្វេ និងស្គាល់អត្ថន័យធរណីមាត្ររបស់វា។

អាំងតេក្រាលទ្វេជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃតួលេខផ្ទះល្វែងមួយ (តំបន់នៃការរួមបញ្ចូល)។ នេះគឺជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃអាំងតេក្រាលទ្វេ នៅពេលដែលមុខងារនៃអថេរពីរស្មើនឹងមួយ៖ .

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាជាមុនសិនក្នុងន័យទូទៅ។ ឥឡូវនេះអ្នកនឹងភ្ញាក់ផ្អើលថាតើវាសាមញ្ញប៉ុណ្ណា! ចូរយើងគណនាផ្ទៃដីនៃតួរលេខផ្ទះល្វែងដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសន្មត់ថានៅចន្លោះពេល។ ផ្ទៃនៃតួលេខនេះគឺស្មើនឹងលេខ៖

ចូរពណ៌នាផ្ទៃក្នុងគំនូរ៖

តោះជ្រើសរើសវិធីដំបូងដើម្បីរំលងតំបន់នេះ៖

តាមវិធីនេះ៖

ហើយភ្លាមៗនោះល្បិចបច្ចេកទេសសំខាន់មួយ៖ អាំងតេក្រាលដែលបានធ្វើឡើងវិញអាចត្រូវបានពិចារណាដោយឡែកពីគ្នា។. ដំបូង អាំងតេក្រាលខាងក្នុង បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលខាងក្រៅ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានណែនាំយ៉ាងខ្លាំងសម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងនៅក្នុង teapots ប្រធានបទ។

1) គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្នុង ខណៈពេលដែលការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តលើអថេរ "y"៖

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៅទីនេះគឺសាមញ្ញបំផុត ហើយបន្ទាប់មករូបមន្ត banal Newton-Leibniz ត្រូវបានប្រើ ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាតែមួយគត់ដែល ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលមិនមែនជាលេខទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារ. ដំបូង យើងជំនួសដែនកំណត់ខាងលើទៅជា "y" (មុខងារប្រឆាំងមេរោគ) បន្ទាប់មកដែនកំណត់ទាប

2) លទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌទី 1 ត្រូវតែជំនួសជាអាំងតេក្រាលខាងក្រៅ៖

កំណត់ចំណាំតូចជាងមុនសម្រាប់ដំណោះស្រាយទាំងមូលមើលទៅដូចនេះ៖

រូបមន្តលទ្ធផលគឺពិតជារូបមន្តធ្វើការសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃតួលេខផ្ទះល្វែងដោយប្រើអាំងតេក្រាលកំណត់ "ធម្មតា"! មើលមេរៀន ការគណនាផ្ទៃដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៅទីនោះនាងនៅគ្រប់វេន!

នោះគឺ បញ្ហានៃការគណនាផ្ទៃដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេ ខុសគ្នាតិចតួចពីបញ្ហានៃការស្វែងរកតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់!តាមពិតពួកគេគឺតែមួយ!

ដូច្នោះហើយមិនគួរមានការលំបាកអ្វីកើតឡើង! ខ្ញុំនឹងមិនពិចារណាឧទាហរណ៍ច្រើនទេ ព្រោះតាមការពិតអ្នកបានជួបប្រទះបញ្ហានេះម្តងហើយម្តងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ៩

ដំណោះស្រាយ៖ចូរពណ៌នាផ្ទៃក្នុងគំនូរ៖

ចូរយើងជ្រើសរើសលំដាប់ដូចខាងក្រោមនៃការឆ្លងកាត់តំបន់៖

នៅទីនេះ និងខាងក្រោម ខ្ញុំនឹងមិនចូលទៅក្នុងរបៀបឆ្លងកាត់តំបន់នោះទេ ព្រោះកថាខណ្ឌទីមួយគឺលម្អិតណាស់។

តាមវិធីនេះ៖

ដូចដែលខ្ញុំបានកត់សម្គាល់រួចហើយ វាជាការប្រសើរសម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលដែលបានធ្វើម្តងទៀតដាច់ដោយឡែក ខ្ញុំនឹងប្រកាន់ខ្ជាប់នូវវិធីសាស្ត្រដូចគ្នា៖

1) ជាដំបូងដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz យើងដោះស្រាយជាមួយអាំងតេក្រាលខាងក្នុង៖

2) លទ្ធផលដែលទទួលបាននៅជំហានដំបូងត្រូវបានជំនួសដោយអាំងតេក្រាលខាងក្រៅ៖

ចំណុចទី 2 គឺពិតជាការស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខសំប៉ែត ដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ចម្លើយ៖

នេះគឺជាកិច្ចការដ៏ល្ងង់ខ្លៅ និងឆោតល្ងង់។

ឧទាហរណ៍ចង់ដឹងចង់ឃើញសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេ គណនាផ្ទៃនៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់ , ,

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចុងក្រោយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ 9-10 វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការប្រើវិធីទីមួយនៃការឆ្លងកាត់តំបន់នោះ អ្នកអានដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ អាចផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃផ្លូវវាង និងគណនាតំបន់តាមវិធីទីពីរ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនធ្វើខុសទេ នោះតាមធម្មជាតិ តម្លៃនៃតំបន់ដូចគ្នា ទទួលបាន។

ប៉ុន្តែក្នុងករណីខ្លះ វិធីទីពីរដើម្បីរំលងតំបន់នេះមានប្រសិទ្ធភាពជាង ហើយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃវគ្គសិក្សារបស់ nerd វ័យក្មេង សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ពីរបីទៀតលើប្រធានបទនេះ៖

ឧទាហរណ៍ 11

ដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេ គណនាផ្ទៃនៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់។

ដំណោះស្រាយ៖យើងកំពុងទន្ទឹងរង់ចាំប៉ារ៉ាបូឡាពីរដែលមានខ្យល់បក់ដែលនៅខាងពួកគេ។ មិនចាំបាច់ញញឹមទេ រឿងស្រដៀងគ្នានៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្រើនត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។

តើអ្វីជាវិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើគំនូរ?

ចូរតំណាងឱ្យប៉ារ៉ាបូឡាជាមុខងារពីរ៖
- សាខាខាងលើ និង - សាខាខាងក្រោម។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងតំណាងឱ្យប៉ារ៉ាបូឡាជាសាខាខាងលើ និងខាងក្រោម។

ផ្ទៃនៃតួលេខត្រូវបានគណនាដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេតាមរូបមន្ត៖

តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសវិធីដំបូងដើម្បីឆ្លងកាត់តំបន់នោះ? ដំបូងតំបន់នេះនឹងត្រូវបែងចែកជាពីរផ្នែក។ ហើយទីពីរ យើងនឹងសង្កេតមើលរូបភាពដ៏ក្រៀមក្រំនេះ៖ . ប្រាកដណាស់ អាំងតេក្រាល មិនមែនជាកម្រិតស្មុគ្រស្មាញទេ ប៉ុន្តែ... មានពាក្យគណិតវិទ្យាចាស់មួយពោលថាៈ អ្នកណាដែលរួសរាយជាមួយឬស មិនត្រូវការការកំណត់ទេ។

ដូច្នេះពីការយល់ខុសដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌយើងបង្ហាញពីមុខងារបញ្ច្រាស៖

មុខងារបញ្ច្រាសនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះមានអត្ថប្រយោជន៍ដែលពួកគេបានកំណត់ប៉ារ៉ាបូឡាទាំងមូលភ្លាមៗដោយគ្មានស្លឹក ផ្លេន មែក និងឫស។

យោងតាមវិធីសាស្រ្តទីពីរ ការឆ្លងកាត់តំបន់នឹងមានដូចខាងក្រោម៖

តាមវិធីនេះ៖

ដូចដែលពួកគេនិយាយ មានអារម្មណ៍ថាមានភាពខុសគ្នា។

1) យើងដោះស្រាយជាមួយអាំងតេក្រាលខាងក្នុង៖

យើងជំនួសលទ្ធផលទៅជាអាំងតេក្រាលខាងក្រៅ៖

ការធ្វើសមាហរណកម្មលើអថេរ "y" មិនគួរខ្មាស់អៀនទេ ប្រសិនបើមានអក្សរ "zyu" - វាជាការប្រសើរណាស់ក្នុងការរួមបញ្ចូលលើវា។ ទោះបីជាអ្នកណាអានកថាខណ្ឌទីពីរនៃមេរៀនក៏ដោយ។ របៀបគណនាបរិមាណនៃបដិវត្តន៍គាត់លែងជួបប្រទះនឹងភាពអាម៉ាស់បំផុតជាមួយនឹងការរួមបញ្ចូលលើ "y" ទៀតហើយ។

សូមយកចិត្តទុកដាក់ផងដែរចំពោះជំហានដំបូង៖ អាំងតេក្រាលគឺស្មើ ហើយផ្នែកសមាហរណកម្មគឺស៊ីមេទ្រីប្រហែលសូន្យ។ ដូច្នេះផ្នែកអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយពាក់កណ្តាលហើយលទ្ធផលអាចត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង។ បច្ចេកទេសនេះត្រូវបានអធិប្បាយលម្អិតនៅក្នុងមេរៀន។ វិធីសាស្រ្តដ៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់.

អ្វីដែលត្រូវបន្ថែម ... គ្រប់យ៉ាង!

ចម្លើយ៖

ដើម្បីសាកល្បងបច្ចេកទេសនៃការរួមបញ្ចូលរបស់អ្នក អ្នកអាចព្យាយាមគណនា។ ចម្លើយគួរតែដូចគ្នាបេះបិទ។

ឧទាហរណ៍ 12

ដោយប្រើអាំងតេក្រាលទ្វេ គណនាផ្ទៃនៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើអ្នកព្យាយាមប្រើវិធីដំបូងដើម្បីឆ្លងកាត់តំបន់នោះតួលេខនឹងលែងបែងចែកជាពីរប៉ុន្តែជាបីផ្នែក! ហើយតាមនោះ យើងទទួលបានចំនួនបីគូនៃអាំងតេក្រាលដែលបានធ្វើឡើងវិញ។ ពេលខ្លះវាកើតឡើង។

ថ្នាក់មេបានដល់ទីបញ្ចប់ហើយ វាដល់ពេលដែលត្រូវបន្តទៅថ្នាក់មេ - តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលទ្វេ? ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ. ខ្ញុំនឹងព្យាយាមកុំឲ្យមានចិត្តខ្លាំងក្នុងអត្ថបទទីពីរ =)

ជូនពរអ្នកជោគជ័យ!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖ដំណោះស្រាយ៖ គូរតំបន់មួយ។ នៅលើគំនូរ៖

ចូរយើងជ្រើសរើសលំដាប់ដូចខាងក្រោមនៃការឆ្លងកាត់តំបន់៖

តាមវិធីនេះ៖
ចូរបន្តទៅមុខងារបញ្ច្រាស៖

តាមវិធីនេះ៖
ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 4៖ដំណោះស្រាយ៖ តោះបន្តទៅមុខងារផ្ទាល់៖

តោះអនុវត្តគំនូរ៖

តោះផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃការឆ្លងកាត់តំបន់នេះ៖

ចម្លើយ៖

លំដាប់ឆ្លងកាត់តំបន់៖

តាមវិធីនេះ៖

1)
2)

ចម្លើយ៖

នៅក្នុងផ្នែកមុន ដោយឧទ្ទិសដល់ការវិភាគនៃអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយ យើងទទួលបានរូបមន្តមួយចំនួនសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid:

S (G) = ∫ a b f (x) d x សម្រាប់អនុគមន៍បន្តនិងមិនអវិជ្ជមាន y = f (x) នៅលើផ្នែក [ a ; ខ],

S (G) = − ∫ a b f (x) d x សម្រាប់អនុគមន៍បន្តនិងមិនវិជ្ជមាន y = f (x) នៅលើផ្នែក [ a ; ខ]។

រូបមន្តទាំងនេះអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញៗ។ ជាការពិត ជាញឹកញាប់យើងត្រូវធ្វើការជាមួយទម្រង់ស្មុគស្មាញជាង។ ក្នុងន័យនេះ យើងនឹងលះបង់ផ្នែកនេះក្នុងការវិភាគនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខ ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយមុខងារក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់មួយ i.e. ដូចជា y = f(x) ឬ x = g(y) ។

ទ្រឹស្តីបទ

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តលើផ្នែក [ a ; b ] និង f 1 (x) ≤ f 2 (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយ x ពី [ a ; ខ]។ បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃនៃតួលេខ Gbounded ដោយបន្ទាត់ x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) និង y \u003d f 2 (x) នឹងមើលទៅដូចជា S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ។

រូបមន្តស្រដៀងគ្នានឹងអាចអនុវត្តបានសម្រាប់ផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) និង x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

ភស្តុតាង

យើងនឹងវិភាគករណីចំនួនបីដែលរូបមន្តនឹងមានសុពលភាព។

ក្នុងករណីដំបូងដោយគិតគូរពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្ថែមនៃតំបន់នោះផលបូកនៃតំបន់នៃតួរលេខ G និង curvilinear trapezoid G 1 គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃរូប G 2 ។ វាមានន័យថា

ដូច្នេះ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) − f 1 (x)) ឃ x ។

យើងអាចអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិទីបីនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ក្នុងករណីទីពីរ សមភាពគឺ៖ S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) − f 1 (x)) d x

រូបភាពក្រាហ្វិកនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ប្រសិនបើមុខងារទាំងពីរមិនវិជ្ជមាន យើងទទួលបាន៖ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = − ∫ a b f 2 (x) d x − − ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . រូបភាពក្រាហ្វិកនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ចូរបន្តទៅការពិចារណាលើករណីទូទៅ នៅពេលដែល y = f 1 (x) និង y = f 2 (x) ប្រសព្វអ័ក្ស O x ។

យើងនឹងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វជា x i , i = 1 , 2 , ។ . . , ន - 1 ។ ចំណុចទាំងនេះបំបែកផ្នែក [ a ; b ] ទៅជា n ផ្នែក x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , ។ . . , n , ដែល α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

អាស្រ័យហេតុនេះ

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) − f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) − f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) − f 1 (x) d x

យើងអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ចូរយើងបង្ហាញករណីទូទៅនៅលើក្រាហ្វ។

រូបមន្ត S (G) = ∫ a b f 2 (x) − f 1 (x) d x អាចចាត់ទុកថាជាភស្តុតាង។

ហើយឥឡូវនេះ ចូរបន្តទៅការវិភាគនៃឧទាហរណ៍នៃការគណនាផ្ទៃនៃរូបភាពដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y \u003d f (x) និង x \u003d g (y) ។

ដោយពិចារណាលើឧទាហរណ៍ណាមួយ យើងនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការសាងសង់ក្រាហ្វ។ រូបភាពនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យរាងស្មុគស្មាញជាបន្សំនៃរាងសាមញ្ញ។ ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាក្នុងការគូរក្រាហ្វិក និងតួលេខនៅលើពួកវា អ្នកអាចសិក្សាផ្នែកលើមុខងារបឋមមូលដ្ឋាន ការបំប្លែងធរណីមាត្រនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ក៏ដូចជាការគូសវាសនៅពេលពិនិត្យមើលមុខងារមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ផ្ទៃនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d - x 2 + 6 x - 5 និងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d ៤.

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ។

នៅចន្លោះពេល [ 1 ; 4] ក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា y = − x 2 + 6 x − 5 ស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ y = − 1 3 x − 1 2 ។ ក្នុងន័យនេះ ដើម្បីទទួលបានចំលើយ យើងប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានមុននេះ ក៏ដូចជាវិធីសាស្ត្រសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

S (G) = ∫ 1 4 − x 2 + 6 x − 5 − 1 3 x − 1 2 d x = = ∫ 1 4 − x 2 + 19 3 x − 9 2 d x = − 1 3 x 3 + 19 6 x 2 − 9 2 x 1 4 = = − 1 3 4 3 + 19 6 4 2 − 9 2 4 − − 1 3 1 3 + 19 6 1 2 − 9 2 1 = = − 64 3 + 152 3 − 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

ចម្លើយ៖ S (G) = ១៣

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y = x + 2 , y = x , x = 7 ។

ដំណោះស្រាយ

ក្នុងករណីនេះ យើងមានបន្ទាត់ត្រង់មួយស្របនឹងអ័ក្ស x ។ នេះគឺ x = 7 ។ នេះតម្រូវឱ្យយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលទីពីរដោយខ្លួនឯង។

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វ ហើយដាក់លើវានូវបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

មានក្រាហ្វនៅពីមុខភ្នែករបស់យើង យើងអាចកំណត់យ៉ាងងាយស្រួលថាដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូលនឹងជា abscissa នៃចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x និងពាក់កណ្តាលប៉ារ៉ាបូល y \u003d x + 2 ។ ដើម្បីស្វែងរក abscissa យើងប្រើសមភាព៖

y = x + 2 O DZ : x ≥ − 2 x 2 = x + 2 2 x 2 − x − 2 = 0 D = ( − 1 ) 2 − 4 1 ( − 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 − 9 2 = − 1 ∉ O D G

វាប្រែថា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វគឺ x = 2 ។

យើងគូរយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះការពិតដែលថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ទូទៅនៅក្នុងគំនូរ បន្ទាត់ y = x + 2 , y = x ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (2 ; 2) ដូច្នេះការគណនាលម្អិតបែបនេះអាចហាក់ដូចជាលែងត្រូវការតទៅទៀត។ យើងបានផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិតបែបនេះនៅទីនេះតែប៉ុណ្ណោះ ពីព្រោះក្នុងករណីស្មុគស្មាញជាងនេះ ដំណោះស្រាយប្រហែលជាមិនច្បាស់ទេ។ នេះមានន័យថាវាជាការប្រសើរក្នុងការគណនាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយវិភាគជានិច្ច។

នៅចន្លោះពេល [ 2 ; 7] ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x ស្ថិតនៅខាងលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x + 2 ។ អនុវត្តរូបមន្តដើម្បីគណនាផ្ទៃ៖

S (G) = ∫ 2 7 (x − x + 2) d x = x 2 2 − 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 − 2 3 (7 + 2) 3 2 − 2 2 . 2 − 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 − 18 − 2 + 16 3 = 59 6

ចំលើយ៖ S (G) = 59 ៦

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយក្រាហ្វនៃមុខងារ y \u003d 1 x និង y \u003d - x 2 + 4 x - 2 ។

ដំណោះស្រាយ

តោះគូរបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វ។

ចូរកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដោយសមីការកន្សោម 1 x និង - x 2 + 4 x - 2 ។ បានផ្តល់ថា x មិនស្មើនឹងសូន្យ សមភាព 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ក្លាយជាសមមូលទៅនឹងសមីការដឺក្រេទីបី - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 ជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ . អ្នកអាចធ្វើឱ្យការចងចាំឡើងវិញនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបែបនេះដោយយោងទៅផ្នែក "ដំណោះស្រាយនៃសមីការគូប" ។

ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ x = 1: − 1 3 + 4 1 2 − 2 1 − 1 = 0 ។

ការបែងចែកកន្សោម − x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 ដោយ binomial x − 1 យើងទទួលបាន៖ − x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1 ⇔ − (x − 1) (x 2 − 3 x - 1) = 0

យើងអាចរកឫសដែលនៅសល់ពីសមីការ x 2 − 3 x − 1 = 0 ៖

x 2 − 3 x − 1 = 0 D = ( − 3 ) 2 − 4 1 ( − 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . ៣; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0 ។ ៣

យើងបានរកឃើញចន្លោះពេល x ∈ 1; 3 + 13 2 ដែល G ត្រូវបានរុំព័ទ្ធពីលើបន្ទាត់ពណ៌ខៀវ និងខាងក្រោមបន្ទាត់ក្រហម។ វាជួយយើងកំណត់តំបន់នៃរូបរាង:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 − x 2 + 4 x − 2 − 1 x d x = − x 3 3 + 2 x 2 − 2 x − ln x 1 3 + 13 2 = = − 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ចម្លើយ៖ S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោង y \u003d x 3, y \u003d - កំណត់ហេតុ 2 x + 1 និងអ័ក្ស x ។

ដំណោះស្រាយ

តោះដាក់បន្ទាត់ទាំងអស់នៅលើក្រាហ្វ។ យើងអាចទទួលបានក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = - log 2 x + 1 ពីក្រាហ្វ y = log 2 x ប្រសិនបើយើងដាក់វាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ហើយផ្លាស់ទីវាឡើងលើមួយឯកតា។ សមីការនៃអ័ក្ស x y \u003d 0 ។

ចូរយើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាព ក្រាហ្វនៃមុខងារ y \u003d x 3 និង y \u003d 0 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (0; 0) ។ នេះគឺដោយសារតែ x \u003d 0 គឺជាឫសពិតតែមួយគត់នៃសមីការ x 3 \u003d 0 ។

x = 2 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសមីការ - log 2 x + 1 = 0 ដូច្នេះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = - log 2 x + 1 និង y = 0 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (2 ; 0) ។

x = 1 គឺជាឫសតែមួយគត់នៃសមីការ x 3 = - log 2 x + 1 ។ ក្នុងន័យនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 3 និង y \u003d - កំណត់ហេតុ 2 x + 1 ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច (1; 1) ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយប្រហែលជាមិនច្បាស់ទេ ប៉ុន្តែសមីការ x 3 \u003d - កំណត់ហេតុ 2 x + 1 មិនអាចមានឫសច្រើនជាងមួយបានទេ ដោយសារមុខងារ y \u003d x 3 កំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយមុខងារ y \u003d - log 2 x + 1 កំពុងថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

ជំហានបន្ទាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងជម្រើសជាច្រើន។

ជម្រើសលេខ 1

យើងអាចតំណាងឱ្យរូប G ជាផលបូកនៃកំណាត់រាងកោងពីរដែលមានទីតាំងខាងលើអ័ក្ស abscissa ដែលទីមួយស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់កណ្តាលនៅលើផ្នែក x ∈ 0; 1 និងទីពីរគឺនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ក្រហមនៅលើផ្នែក x ∈ 1 ; ២. នេះមានន័យថា ផ្ទៃនឹងស្មើនឹង S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ។

ជម្រើសលេខ 2

តួលេខ G អាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃតួលេខពីរ ដែលទីមួយមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស x និងខាងក្រោមបន្ទាត់ពណ៌ខៀវនៅលើផ្នែក x ∈ 0; 2 និងទីពីរគឺនៅចន្លោះបន្ទាត់ក្រហម និងខៀវនៅលើផ្នែក x ∈ 1 ; ២. នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតំបន់ដូចនេះ៖

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x − ∫ 1 2 x 3 − (− log 2 x + 1) d x

ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីស្វែងរកតំបន់ អ្នកនឹងត្រូវប្រើរូបមន្តនៃទម្រង់ S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ។ តាមពិត បន្ទាត់ដែលចងរាងអាចត្រូវបានតំណាងជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ y ។

ចូរដោះស្រាយសមីការ y = x 3 និង - log 2 x + 1 ទាក់ទងនឹង x៖

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 − y ⇒ x = 2 1 - y

យើងទទួលបានតំបន់ដែលត្រូវការ៖

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 − y − y 3) d y = − 2 1 − y ln 2 − y 4 4 0 1 = = − 2 1 − 1 ln 2 − 1 4 4 − − 2 1 − 0 ln 2 − 0 4 4 = − 1 ln 2 − 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 − 1 4

ចំលើយ៖ S (G) = 1 ln 2 − 1 ៤

ឧទាហរណ៍ ៥

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 ។

ដំណោះស្រាយ

គូរបន្ទាត់នៅលើគំនូសតាងដោយបន្ទាត់ក្រហម ផ្តល់ដោយអនុគមន៍ y = x ។ គូរបន្ទាត់ y = − 1 2 x + 4 ជាពណ៌ខៀវ ហើយគូសបន្ទាត់ y = 2 3 x − 3 ជាពណ៌ខ្មៅ។

ចំណាំចំណុចប្រសព្វ។

រកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x និង y = − 1 2 x + 4 ៖

x = − 1 2 x + 4 O DZ : x ≥ 0 x = − 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 − 4 x + 16 ⇔ x 2 − 20 x + 64 = 0 D = (− 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 − 144 2 = 4 i ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ x 2 = 4 = 2 , − 1 2 x 2 + 4 = − 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ ⇒ (4 ; 2) ចំនុចប្រសព្វ i y = x និង y = − 1 2 x + 4

រកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x និង y = 2 3 x − 3 ៖

x = 2 3 x − 3 O DZ : x ≥ 0 x = 2 3 x − 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 − 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 − 45 x + 81 = 0 D = (− 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 ពិនិត្យ៖ x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ⇒ (9; 3) ចំនុចប្រសព្វ y = x និង y = 2 3 x − 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 – 3 = 2 3 9 4 − 3 = − 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 មិនមែនជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទេ

រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y = − 1 2 x + 4 និង y = 2 3 x − 3 ៖

1 2 x + 4 = 2 3 x − 3 ⇔ − 3 x + 24 = 4 x − 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 − 1 2 6 + 4 = 2 3 6 − 3 = 1 ⇒ (6 1) ចំនុចប្រសព្វ y = − 1 2 x + 4 និង y = 2 3 x − 3

វិធីសាស្រ្តលេខ 1

យើងតំណាងឱ្យតំបន់នៃតួលេខដែលចង់បានជាផលបូកនៃតំបន់នៃតួលេខបុគ្គល។

បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខគឺ:

S (G) = ∫ 4 6 x − − 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x − 2 3 x − 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 − 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 − x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 − 4 6 − 2 3 4 3 2 + 4 2 4 − 4 4 + + 2 3 9 3 2 − 9 2 3 + 3 9 − 2 3 6 3 2 − 6 2 3 + 3 6 = = − 25 3 + 4 6 + − 4 6 + 12 = 11 3

វិធីសាស្រ្តលេខ 2

តំបន់នៃតួលេខដើមអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃតួលេខពីរផ្សេងទៀត។

បន្ទាប់មកយើងដោះស្រាយសមីការបន្ទាត់សម្រាប់ x ហើយបន្ទាប់ពីនោះយើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាផ្ទៃនៃតួលេខ។

y = x ⇒ x = y 2 បន្ទាត់ក្រហម y = 2 3 x − 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 បន្ទាត់ខ្មៅ y = − 1 2 x + 4 ⇒ x = − 2 y + 8 s i n i i l i n i

ដូច្នេះតំបន់គឺ៖

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 − − 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 − y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y − 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 − y 2 d y = = 7 4 y 2 − 7 4 y 1 2 + − y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 − 7 4 2 − 7 4 1 2 − 7 4 1 + + − 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 − − 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញតម្លៃត្រូវគ្នា។

ចំលើយ៖ S (G) = 11 ៣

លទ្ធផល

ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងត្រូវគូសបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វា ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកតំបន់នោះ។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងបានពិនិត្យមើលជម្រើសទូទៅបំផុតសម្រាប់កិច្ចការ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ក)

ដំណោះស្រាយ។

គ្រាដំបូងនិងសំខាន់បំផុតនៃការសម្រេចចិត្តគឺការសាងសង់គំនូរ.

តោះធ្វើគំនូរ៖

សមីការ y=0 កំណត់អ័ក្ស x;

- x=-2 និង x=1 - ត្រង់, ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អ៊ូ;

- y \u003d x 2 +2 - ប៉ារ៉ាបូឡាដែលមែកត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ដោយមានចំណុចកំពូលនៅចំណុច (0;2)។

មតិយោបល់។ដើម្បីបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ i.e. ដាក់ x=0 ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូ និងដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលត្រូវគ្នា រកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូ .

ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

អ្នកអាចគូរបន្ទាត់និងចង្អុលដោយចំណុច។

នៅចន្លោះពេល [-2;1] ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x 2 +2 ដែលមានទីតាំងនៅ លើអ័ក្ស គោ , នោះហើយជាមូលហេតុដែល:

ចម្លើយ៖ ស \u003d 9 យូនីតការ៉េ

បន្ទាប់ពីកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការមើលគំនូរ និងស្វែងយល់ថាតើចម្លើយគឺពិតឬអត់។ ក្នុងករណីនេះ "ដោយភ្នែក" យើងរាប់ចំនួនក្រឡានៅក្នុងគំនូរ - ល្អប្រហែល 9 នឹងត្រូវបានវាយវាហាក់ដូចជាការពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងមាន, និយាយថា, ចម្លើយ: 20 ឯកតាការ៉េ, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅកន្លែងណាមួយ - កោសិកាចំនួន 20 យ៉ាងច្បាស់មិនសមនឹងតួរលេខនៅក្នុងសំណួរ, យ៉ាងហោចណាស់រាប់សិប។ ប្រសិនបើចម្លើយប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន នោះកិច្ចការក៏ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវដែរ។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើ curvilinear trapezoid មានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស អូ?

ខ)គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y=-e x , x=1 និងសម្របសម្រួលអ័ក្ស។

ដំណោះស្រាយ។

តោះធ្វើគំនូរ។

ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែង ទាំងស្រុងនៅក្រោមអ័ក្ស អូ , បន្ទាប់មកតំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ចម្លើយ៖ S=(e-1) sq. unit" 1.72 sq. unit

យកចិត្តទុកដាក់! កុំច្រឡំកិច្ចការពីរប្រភេទ:

1) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យដោះស្រាយគ្រាន់តែជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយគ្មានអត្ថន័យធរណីមាត្រ នោះវាអាចជាអវិជ្ជមាន។

2) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នោះ តំបន់គឺតែងតែវិជ្ជមាន! នោះហើយជាមូលហេតុដែលដកលេចឡើងនៅក្នុងរូបមន្តដែលទើបតែពិចារណា។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ភាគច្រើនជាញឹកញាប់តួលេខនេះមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ និងខាងក្រោម។

ជាមួយ)ស្វែងរកតំបន់នៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x ។

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើគំនូរ។ និយាយជាទូទៅនៅពេលសាងសង់គំនូរនៅក្នុងបញ្ហាតំបន់យើងចាប់អារម្មណ៍បំផុតចំពោះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយគឺការវិភាគ។

យើងដោះស្រាយសមីការ៖

ដូច្នេះដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូល a=0 ដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល b=3 .

យើងបង្កើតបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 1. Parabola - vertex នៅចំណុច (1; 1); ចំនុចប្រសព្វអ័ក្ស អូ -ពិន្ទុ (0; 0) និង (0; 2) ។ 2. បន្ទាត់ត្រង់ - bisector នៃមុំកូអរដោនេទី 2 និងទី 4 ។ ហើយឥឡូវនេះយកចិត្តទុកដាក់! ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល [ ក; ខ] មុខងារបន្តមួយចំនួន f(x)ធំជាង ឬស្មើនឹងមុខងារបន្តមួយចំនួន g(x)បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ .

ហើយវាមិនមានបញ្ហាថាតើតួលេខស្ថិតនៅត្រង់ណាទេ - ខាងលើអ័ក្ស ឬខាងក្រោមអ័ក្ស ប៉ុន្តែវាជាការសំខាន់ណាស់ដែលតារាងមួយណាខ្ពស់ជាង (ទាក់ទងទៅនឹងតារាងមួយទៀត) ហើយមួយណានៅខាងក្រោម។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីដកពី

វាអាចទៅរួចក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ដោយចំណុចខណៈពេលដែលដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញថា "ដោយខ្លួនឯង" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រវិភាគក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់ ពេលខ្លះនៅតែត្រូវប្រើ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វមានទំហំធំល្មម ឬការសាងសង់ខ្សែស្រឡាយមិនបានបង្ហាញពីដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម (វាអាចជាប្រភាគ ឬមិនសមហេតុផល)។

តួលេខដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាពីខាងលើ និងបន្ទាត់ត្រង់ពីខាងក្រោម។

នៅលើផ្នែកនេះបើយោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា:

ចម្លើយ៖ ស \u003d 4.5 sq. យូនីត

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ណាមួយ (ដែលមាន) មានអត្ថន័យធរណីមាត្រល្អណាស់។ នៅក្នុងថ្នាក់ ខ្ញុំបាននិយាយថា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាលេខ។ ហើយឥឡូវនេះ វាដល់ពេលដែលត្រូវប្រាប់ការពិតដ៏មានប្រយោជន៍មួយផ្សេងទៀត។ តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺ AREA.

នោះគឺ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ (ប្រសិនបើវាមាន) ធរណីមាត្រត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្ទៃនៃតួលេខមួយចំនួន. ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ អាំងតេក្រាលកំណត់ខ្សែកោងជាក់លាក់មួយនៅលើយន្តហោះ (វាតែងតែអាចគូរបានប្រសិនបើចង់បាន) ហើយអាំងតេក្រាលកំណត់ដោយខ្លួនវាគឺជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១

នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍កិច្ចការធម្មតា។ គ្រាដំបូងនិងសំខាន់បំផុតនៃការសម្រេចចិត្តគឺការសាងសង់គំនូរ. លើសពីនេះទៅទៀតគំនូរត្រូវតែត្រូវបានសាងសង់ ស្តាំ.

នៅពេលសាងសង់ប្លង់មេ ខ្ញុំសូមណែនាំតាមលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ ដំបូងវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ទាំងអស់ (ប្រសិនបើមាន) និងតែមួយគត់ បន្ទាប់ពី- ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ក្រាហ្វនៃមុខងារផ្សេងៗ។ ក្រាហ្វមុខងារមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការសាងសង់ ចំណុចដោយចំណុចបច្ចេកទេសនៃការសាងសង់ចង្អុលអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឯកសារយោង។

នៅទីនោះអ្នកក៏អាចស្វែងរកសម្ភារៈដែលមានប្រយោជន៍ច្រើនទាក់ទងនឹងមេរៀនរបស់យើងផងដែរ - របៀបបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡាយ៉ាងលឿន។

នៅក្នុងបញ្ហានេះ ដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ។
ចូរបង្កើតគំនូរមួយ (ចំណាំថាសមីការកំណត់អ័ក្ស)៖

ខ្ញុំនឹងមិនញាស់អង្កាញ់ curvilinear ទេ វាច្បាស់ណាស់ថាតើយើងកំពុងនិយាយអំពីតំបន់ណានៅទីនេះ។ ដំណោះស្រាយបន្តដូចនេះ៖

នៅលើផ្នែក ក្រាហ្វនៃមុខងារមានទីតាំងនៅ លើអ័ក្ស, នោះហើយជាមូលហេតុដែល:

ចម្លើយ៖

សម្រាប់អ្នកដែលមានការលំបាកក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងអនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz សូមមើលការបង្រៀន អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ.

បន្ទាប់ពីកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការមើលគំនូរ និងស្វែងយល់ថាតើចម្លើយគឺពិតឬអត់។ ក្នុងករណីនេះ "ដោយភ្នែក" យើងរាប់ចំនួនក្រឡានៅក្នុងគំនូរ - ប្រហែល 9 នឹងត្រូវបានវាយវាហាក់ដូចជាការពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងមាន, និយាយថា, ចម្លើយ: 20 ឯកតាការ៉េ, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅកន្លែងណាមួយ - កោសិកាចំនួន 20 យ៉ាងច្បាស់មិនសមនឹងតួរលេខនៅក្នុងសំណួរ, យ៉ាងហោចណាស់រាប់សិប។ ប្រសិនបើចម្លើយប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន នោះកិច្ចការក៏ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវដែរ។

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , , និងអ័ក្ស

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើ curvilinear trapezoid មានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស?

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ និងអ័ក្សសំរបសំរួល។

ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងបង្កើតគំនូរ៖

ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែង ទាំងស្រុងនៅក្រោមអ័ក្សបន្ទាប់មកតំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
ក្នុងករណីនេះ:

យកចិត្តទុកដាក់! ការងារពីរប្រភេទមិនគួរច្រឡំ៖

នៅក្នុងការអនុវត្ត ភាគច្រើនជាញឹកញាប់តួលេខនេះមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ និងខាងក្រោម ហើយដូច្នេះ ពីបញ្ហាសាលាសាមញ្ញបំផុត យើងបន្តទៅឧទាហរណ៍ដ៏មានអត្ថន័យបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ 4

រកផ្ទៃនៃតួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ .

ដំណោះស្រាយ៖ ដំបូងអ្នកត្រូវបង្កើតគំនូរ។ និយាយជាទូទៅនៅពេលសាងសង់គំនូរនៅក្នុងបញ្ហាតំបន់យើងចាប់អារម្មណ៍បំផុតចំពោះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយគឺការវិភាគ។ យើងដោះស្រាយសមីការ៖

ដូច្នេះ ដែនកំណត់ទាបនៃសមាហរណកម្ម ដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល។
យកល្អកុំប្រើវិធីនេះ បើអាច។

វាមានផលចំណេញច្រើន និងលឿនជាងមុនក្នុងការកសាងបន្ទាត់តាមចំនុច ខណៈពេលដែលដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញថា "ដោយខ្លួនឯង"។ បច្ចេកទេសសាងសង់ចំណុចដោយចំណុចសម្រាប់គំនូសតាងផ្សេងៗត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងជំនួយ ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បឋម. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រវិភាគក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់ ពេលខ្លះនៅតែត្រូវប្រើ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វមានទំហំធំល្មម ឬការសាងសង់ខ្សែស្រឡាយមិនបានបង្ហាញពីដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម (វាអាចជាប្រភាគ ឬមិនសមហេតុផល)។ ហើយយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍បែបនេះផងដែរ។

យើងត្រឡប់ទៅភារកិច្ចរបស់យើងវិញ៖ វាជារឿងសមហេតុសមផលជាងមុនក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ដំបូង ហើយមានតែប៉ារ៉ាបូឡាប៉ុណ្ណោះ។ តោះធ្វើគំនូរ៖

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថាជាមួយនឹងការសាងសង់ដោយចង្អុល ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់បំផុតថា "ដោយស្វ័យប្រវត្តិ"។

ហើយឥឡូវនេះរូបមន្តធ្វើការ៖ប្រសិនបើនៅលើផ្នែកមួយ មុខងារបន្តមួយចំនួន ធំជាង ឬស្មើមុខងារបន្តមួយចំនួន បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

នៅទីនេះវាមិនចាំបាច់គិតអំពីកន្លែងដែលតួលេខមានទីតាំងនៅ - ខាងលើអ័ក្សឬខាងក្រោមអ័ក្សហើយនិយាយប្រហែល។ វាសំខាន់ថាគំនូសតាងមួយណានៅខាងលើ(ទាក់ទងទៅនឹងក្រាហ្វផ្សេងទៀត) ហើយមួយណានៅខាងក្រោម.

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីដកពី

ការបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ:

ចម្លើយ៖

ជាការពិត រូបមន្តសាលាសម្រាប់តំបន់នៃ curvilinear trapezoid នៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាប (សូមមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញលេខ 3) គឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត។ ដោយសារអ័ក្សត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ ហើយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទីតាំងនៅខាងក្រោមអ័ក្ស បន្ទាប់មក

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ពីរបីសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

ឧទាហរណ៍ ៥

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួរលេខដែលរុំព័ទ្ធដោយបន្ទាត់ .

នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការគណនាតំបន់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ ជួនកាលឧប្បត្តិហេតុគួរឱ្យអស់សំណើចកើតឡើង។ គំនូរត្រូវបានគេធ្វើឡើងត្រឹមត្រូវ ការគណនាក៏ត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែដោយសារការមិនយកចិត្តទុកដាក់… បានរកឃើញតំបន់នៃតួលេខខុសនោះហើយជារបៀបដែលអ្នកបំរើដែលស្តាប់បង្គាប់របស់អ្នកបានវាយដំជាច្រើនដង។ នេះជាករណីជីវិតពិត៖

ឧទាហរណ៍ ៧

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , , , .

តោះគូរដំបូង៖

តួលេខដែលតំបន់ដែលយើងត្រូវរកនោះមានពណ៌ខៀវ។(មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលក្ខខណ្ឌ - របៀបដែលតួលេខត្រូវបានកំណត់!) ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត ដោយសារការមិនយកចិត្តទុកដាក់ ជារឿយៗវាកើតឡើងដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខដែលមានស្រមោលពណ៌បៃតង!

ឧទាហរណ៍នេះក៏មានប្រយោជន៍ក្នុងនោះក្នុងនោះផ្ទៃនៃតួលេខត្រូវបានគណនាដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ពីរ។ ពិតជា៖

1) នៅលើផ្នែកខាងលើអ័ក្សមានក្រាហ្វបន្ទាត់ត្រង់;

2) នៅលើផ្នែកខាងលើអ័ក្សគឺជាក្រាហ្វអ៊ីពែបូឡា។

វាច្បាស់ណាស់ថាតំបន់អាច (និងគួរ) ត្រូវបានបន្ថែម ដូច្នេះ៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៨

គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលបានកំណត់ដោយបន្ទាត់,
ចូរបង្ហាញសមីការក្នុងទម្រង់ "សាលា" ហើយអនុវត្តការគូសចំណុចដោយចំណុច៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីគំនូរថាដែនកំណត់ខាងលើរបស់យើងគឺ "ល្អ": .
ប៉ុន្តែតើអ្វីជាដែនកំណត់ទាប? វាច្បាស់ណាស់ថានេះមិនមែនជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែតើអ្វីទៅ? ប្រហែល ? ប៉ុន្តែតើការធានាថាគំនូរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយភាពត្រឹមត្រូវល្អឥតខ្ចោះនៅកន្លែងណានោះ វាអាចនឹងក្លាយជារឿងនោះបាន។ ឬឫស។ ចុះបើយើងមិនទទួលបានក្រាហ្វត្រឹមត្រូវ?

ក្នុងករណីបែបនេះ មនុស្សម្នាក់ត្រូវចំណាយពេលបន្ថែម និងកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលដោយការវិភាគ។

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប៉ារ៉ាបូឡា។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការ៖

ជាលទ្ធផល, ។

ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតគឺរឿងតូចតាច រឿងសំខាន់គឺមិនត្រូវច្រឡំក្នុងការជំនួស និងសញ្ញានោះទេ ការគណនានៅទីនេះមិនងាយស្រួលបំផុតនោះទេ។

នៅលើផ្នែកនេះបើយោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា:

ជាការប្រសើរណាស់, នៅក្នុងការបញ្ចប់នៃមេរៀន, យើងនឹងពិចារណាកិច្ចការពីរកាន់តែពិបាក។

ឧទាហរណ៍ ៩

គណនាផ្ទៃនៃតួលេខដែលបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ , ,

ដំណោះស្រាយ៖ គូររូបនេះក្នុងគំនូរ។

សម្រាប់ការសាងសង់គំនូរដោយចង្អុលទៅមួយចំណុច វាចាំបាច់ដើម្បីដឹងពីរូបរាងរបស់ sinusoid (ហើយជាទូទៅវាមានប្រយោជន៍ដើម្បីដឹង ក្រាហ្វនៃមុខងារបឋមទាំងអស់។) ក៏ដូចជាតម្លៃស៊ីនុសមួយចំនួន ពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង តារាងត្រីកោណមាត្រ. ក្នុងករណីខ្លះ (ដូចករណីនេះ) វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យសាងសង់គំនូរព្រាង ដែលក្រាហ្វ និងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវតែបង្ហាញជាគោលការណ៍ត្រឹមត្រូវ។

មិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលនៅទីនេះទេ ពួកគេធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌដោយផ្ទាល់៖ - "x" ផ្លាស់ប្តូរពីសូន្យទៅ "pi" ។ យើងធ្វើការសម្រេចចិត្តបន្ថែម៖

នៅលើផ្នែក ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស ដូច្នេះ៖

(1) របៀបដែលស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងអំណាចសេស អាចមើលឃើញនៅក្នុងមេរៀន អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ. នេះជាបច្ចេកទេសធម្មតាមួយ យើងកាត់ស៊ីនុសមួយ។

(2) យើងប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានក្នុងទម្រង់

(3) ចូរផ្លាស់ប្តូរអថេរ បន្ទាប់មក៖

ការចែកចាយឡើងវិញថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល៖

តើអ្នកណាជាអាជីវកម្មមិនល្អជាមួយការជំនួស សូមចូលទៅកាន់មេរៀន វិធីសាស្រ្តជំនួសក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់. សម្រាប់អ្នកដែលមិនសូវច្បាស់អំពីក្បួនដោះស្រាយជំនួសនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ សូមចូលទៅកាន់ទំព័រ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ. ឧទាហរណ៍ ៥៖ ដំណោះស្រាយ៖ ដូច្នេះ៖

ចម្លើយ៖

ចំណាំ៖ចំណាំពីរបៀបដែលអាំងតេក្រាលនៃតង់ហ្សង់នៅក្នុងគូបត្រូវបានយក ចំណុចស្នូលនៃអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានត្រូវបានប្រើនៅទីនេះ។