ខ្សែដៃកៅស៊ូ

ស្វែងរកតំបន់រវាងបន្ទាត់តាមអ៊ីនធឺណិត។ រកផ្ទៃនៃរូបដែលចងដោយបន្ទាត់ y=f(x), x=g(y)។ ប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោងរាបស្មើ

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមិនអវិជ្ជមាន និងបន្តនៅចន្លោះពេល។ បន្ទាប់មក យោងទៅតាមអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងត្រូវបានចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃមុខងារនេះ ពីខាងក្រោមដោយអ័ក្ស ពីឆ្វេង និងស្តាំដោយបន្ទាត់ត្រង់ និង (សូមមើលរូបទី 2 ។ ) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ឧទាហរណ៍ ៩ស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់មួយ។ និងអ័ក្ស។

ដំណោះស្រាយ. ក្រាហ្វមុខងារ គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមែករបស់វាចង្អុលចុះក្រោម។ ចូរយើងសាងសង់វា (រូបភាពទី 3) ។ ដើម្បីកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ (ប៉ារ៉ាបូឡា) ជាមួយអ័ក្ស (បន្ទាត់ត្រង់) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

យើងទទួលបាន: , កន្លែងណា , ; ជាលទ្ធផល, , ។

អង្ករ។ ៣

ផ្ទៃនៃតួលេខត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (5):

ប្រសិនបើមុខងារមិនវិជ្ជមាន និងបន្តនៅលើផ្នែក នោះផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងពីខាងក្រោមដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះ ពីខាងលើដោយអ័ក្ស ពីឆ្វេង និងស្តាំដោយបន្ទាត់ត្រង់ ហើយគឺ គណនាដោយរូបមន្ត

. (6)

ប្រសិនបើមុខងារបន្តនៅលើផ្នែកមួយ ហើយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅចំនួនកំណត់នៃចំនុច នោះផ្ទៃនៃរូបភាពដែលមានស្រមោល (រូបភាពទី 4) គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃអាំងតេក្រាលកំណត់ដែលត្រូវគ្នា៖

អង្ករ។ បួន

ឧទាហរណ៍ 10គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយអ័ក្ស និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សម្រាប់ .

អង្ករ។ ៥

ដំណោះស្រាយ. តោះធ្វើគំនូរ (រូបភាពទី 5) ។ តំបន់ដែលចង់បានគឺជាផលបូកនៃតំបន់ និង . ចូរយើងស្វែងរកតំបន់ទាំងនេះនីមួយៗ។ ដំបូងយើងកំណត់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន , ។ ជាលទ្ធផល៖

;

ដូច្នេះតំបន់នៃតួលេខដែលមានស្រមោលគឺ

(ឯកតា sq ។ )

អង្ករ។ ៦

សូមអោយចុងក្រោយ អង្កត់ទ្រូងកោងត្រូវបានចងពីខាងលើ និងខាងក្រោមដោយក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តនៅលើផ្នែក និង ,
និងនៅខាងឆ្វេងនិងស្តាំ - ត្រង់និង (រូបភាព 6) ។ បន្ទាប់មកផ្ទៃដីរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

. (8)

ឧទាហរណ៍ 11 ។ស្វែងរកតំបន់នៃតួរលេខដែលរុំព័ទ្ធដោយបន្ទាត់ និង .

ដំណោះស្រាយ។តួលេខនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 7. យើងគណនាផ្ទៃដីរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត (8) ។ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ យើងរកឃើញ , ; ជាលទ្ធផល, , ។ នៅលើផ្នែកយើងមាន: . ដូច្នេះក្នុងរូបមន្ត (៨) យើងយកជា x, និងជា - ។ យើងទទួលបាន:

(ឯកតា sq ។ )

បញ្ហាស្មុគ្រស្មាញកាន់តែច្រើននៃការគណនាតំបន់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបំបែកតួរលេខទៅជាផ្នែកដែលមិនប្រសព្វ ហើយគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខទាំងមូលជាផលបូកនៃផ្ទៃនៃផ្នែកទាំងនេះ។

អង្ករ។ ៧

ឧទាហរណ៍ 12 ។ស្វែងរកផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ , , .

ដំណោះស្រាយ. តោះធ្វើគំនូរ (រូបភាពទី 8) ។ តួរលេខនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា curvilinear trapezoid ដែលចងពីខាងក្រោមដោយអ័ក្ស ពីឆ្វេង និងស្តាំ - ដោយបន្ទាត់ត្រង់ និងពីខាងលើ - ដោយក្រាហ្វនៃមុខងារ និង . ដោយសារតួលេខនេះត្រូវបានចងភ្ជាប់ពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ បន្ទាប់មកដើម្បីគណនាផ្ទៃរបស់វា យើងបែងចែកតួលេខត្រង់នេះជាពីរផ្នែក (1 គឺជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និង)។ ផ្ទៃនៃផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (4):

(ឯកតា sq ។ ); (ឯកតា sq ។ ) ជាលទ្ធផល៖

(ឯកតា sq ។ )

អង្ករ។ ប្រាំបី

X= j ( នៅ)

អង្ករ។ ៩

សរុបសេចក្តីមក យើងកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើរង្វង់រាងចតុកោណកែងត្រូវបានចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ ហើយអ័ក្ស និងបន្តនៅលើខ្សែកោង (រូបភាពទី 9) នោះផ្ទៃរបស់វាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

បរិមាណនៃអង្គបដិវត្តន៍

ទុកឱ្យរាងរាងចតុកោណកែងជាប់នឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បន្តលើផ្នែកមួយ អ័ក្ស បន្ទាត់ត្រង់ ហើយបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស (រូបភាព 10)។ បន្ទាប់មកបរិមាណនៃលទ្ធផលនៃបដិវត្តន៍ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

. (9)

ឧទាហរណ៍ 13គណនាបរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្សនៃរាងចតុកោណកែងដែលចងដោយអ៊ីពែបូឡា បន្ទាត់ត្រង់ និងអ័ក្ស។

ដំណោះស្រាយ. តោះធ្វើគំនូរ (រូបភាពទី 11) ។

វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែល . តាមរូបមន្ត (៩) យើងទទួលបាន

អង្ករ។ ដប់

អង្ករ។ ដប់មួយ

បរិមាណរាងកាយដែលទទួលបានដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស អូ curvilinear trapezoid ចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ y = គនិង y = ឃ, អ័ក្ស អូនិងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តលើផ្នែកមួយ (រូបភាពទី 12) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

. (10)

X= j ( នៅ)

អង្ករ។ ១២

ឧទាហរណ៍ 14. គណនាបរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស អូ curvilinear trapezoid ចងដោយបន្ទាត់ X 2 = 4នៅ, y= 4, x = 0 (រូបភព 13) ។

ដំណោះស្រាយ. ដោយអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងរកឃើញដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល៖ , . តាមរូបមន្ត (១០) យើងទទួលបាន៖

អង្ករ។ ១៣

ប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោងរាបស្មើ

អនុញ្ញាតឱ្យខ្សែកោងដែលផ្តល់ដោយសមីការ ដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះ (រូបភាពទី 14)។

អង្ករ។ ដប់បួន

និយមន័យ។ ប្រវែងនៃធ្នូត្រូវបានយល់ថាជាដែនកំណត់ដែលប្រវែងនៃពហុបន្ទាត់ដែលបានចារឹកនៅក្នុងធ្នូនេះមានទំនោរនៅពេលដែលចំនួននៃតំណភ្ជាប់នៃប៉ូលីលីនមានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់ ហើយប្រវែងនៃតំណភ្ជាប់ធំបំផុតមានទំនោរទៅសូន្យ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វាត្រូវបានបន្តនៅលើផ្នែក នោះប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

. (11)

ឧទាហរណ៍ ១៥. គណនាប្រវែងធ្នូនៃខ្សែកោងដែលរុំព័ទ្ធរវាងចំណុចដែលមាន .

ដំណោះស្រាយ. ពីស្ថានភាពនៃបញ្ហាដែលយើងមាន . តាមរូបមន្ត (១១) យើងទទួលបាន៖

4. អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ
ជាមួយនឹងដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល

នៅពេលណែនាំគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ វាត្រូវបានសន្មត់ថាលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖

ក) ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល កនិងត្រូវបានកំណត់;

ខ) អាំងតេក្រាលត្រូវបានចងនៅលើផ្នែក។

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះមិនត្រូវបានបំពេញ នោះអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថា មិនត្រឹមត្រូវ.

ចូរយើងពិចារណាជាមុនសិនអំពីអាំងតេក្រាលដែលមិនសមស្របជាមួយនឹងដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល បន្ទាប់មកនិងគ្មានដែនកំណត់នៅខាងស្តាំ (រូបភាពទី 15) ។

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនសមស្របបញ្ចូលគ្នា នោះតំបន់នេះគឺមានកំណត់។ ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវខុសគ្នា នោះតំបន់នេះគឺគ្មានកំណត់។

អង្ករ។ ដប់ប្រាំ

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដែលមានកម្រិតទាបជាងគ្មានកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖

. (13)

អាំងតេក្រាលនេះបង្រួបបង្រួម ប្រសិនបើដែនកំណត់នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (13) មាន ហើយមានកំណត់។ បើមិនដូច្នេះទេ អាំងតេក្រាល ត្រូវបានគេនិយាយថា ខុសគ្នា។

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដែលមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ពីរនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖

, (14)

ដែល с គឺជាចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេល។ អាំងតេក្រាលអាចចូលគ្នាបាន លុះត្រាតែអាំងតេក្រាលទាំងពីរប៉ះខាងស្តាំនៃសមភាព (14)។

;

ឆ) = [ជ្រើសរើសការេពេញក្នុងភាគបែង៖ ] = [ការជំនួស៖

] =

ដូច្នេះ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនឹងចូលរួម ហើយតម្លៃរបស់វាស្មើនឹង .

បញ្ចូលមុខងារដែលអ្នកចង់ស្វែងរកអាំងតេក្រាល។

ម៉ាស៊ីនគិតលេខផ្តល់នូវដំណោះស្រាយលម្អិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ម៉ាស៊ីនគិតលេខនេះដោះស្រាយអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ f(x) ជាមួយនឹងដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍

ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់សញ្ញាបត្រ
(ការ៉េ និងគូប) និងប្រភាគ

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

ឫសការេ

Sqrt(x)/(x+1)

ឫសគូប

Cbrt(x)/(3*x + 2)

ការប្រើប្រាស់ស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុស

2*sin(x)*cos(x)

អាកស៊ីន

X*arcsin(x)

អាកកូស៊ីនុស

x*arccos(x)

ការអនុវត្តលោការីត

X*log(x,10)

លោការីតធម្មជាតិ

អ្នកតាំងពិព័រណ៍

Tg(x) * sin(x)

កូតង់សង់

Ctg(x) * cos(x)

ប្រភាគមិនសមហេតុផល

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

អាកតង់ហ្សង់

X*arctg(x)

អ័ក្សតង់សង់

X*arcctg(x)

ស៊ីនុស Hyberbolic និងកូស៊ីនុស

2*sh(x)*ch(x)

តង់ហ្សង់ Hyberbolic និងកូតង់សង់

ctgh(x)/tgh(x)

Hyberbolic Arcsine និង Arccosine

X^2*arcsinh(x)* arccosh(x)

អាកតង់ហ្សង់ Hyberbolic និង arccotangent

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលកន្សោម និងមុខងារ

កន្សោមអាចមានមុខងារ (កំណត់សម្គាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមលំដាប់អក្ខរក្រម)៖ ដាច់ខាត(x)តម្លៃដាច់ខាត x
(ម៉ូឌុល xឬ |x|) Arccos(x)អនុគមន៍ - អាកកូស៊ីនុសនៃ x arccosh(x)អាក់កូស៊ីនុស អ៊ីពែរបូល ពី x arcsin(x) Arcsine ពី x arcsinh(x) Arcsine hyperbolic ពី x arctg(x)អនុគមន៍ - អ័ក្សតង់សង់ពី x arctgh(x)តង់ហ្សង់ធ្នូគឺអ៊ីពែរបូលពី x អ៊ី អ៊ីចំនួនដែលប្រហែលស្មើនឹង 2.7 exp(x)អនុគមន៍ - និទស្សន្តពី x(ដែលជា អ៊ី^x) កំណត់ហេតុ(x)ឬ កំណត់ហេតុ(x)លោការីតធម្មជាតិនៃ x
(ទទួល log7(x)អ្នកត្រូវបញ្ចូល log(x)/log(7) (ឬឧទាហរណ៍សម្រាប់ កំណត់ហេតុ 10(x)=log(x)/log(10)) ភីលេខគឺ "Pi" ដែលប្រហែលស្មើនឹង 3.14 sin(x)មុខងារ - ស៊ីនុសនៃ x cos(x)មុខងារ - កូស៊ីនុសនៃ x sinh(x)អនុគមន៍ - ស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលនៃ x សាច់ប្រាក់(x)អនុគមន៍ - កូស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលនៃ x sqrt(x)មុខងារគឺជាឫសការ៉េនៃ x sqr(x)ឬ x^2មុខងារ - ការ៉េ x tg(x)អនុគមន៍ - តង់សង់ពី x tgh(x)អនុគមន៍ - តង់ហ្សង់អ៊ីពែរបូលនៃ x cbrt(x)មុខងារគឺជាឫសគូបនៃ x

អ្នកអាចប្រើប្រតិបត្តិការខាងក្រោមក្នុងកន្សោម៖ លេខពិតបញ្ចូលក្នុងទម្រង់ 7.5 មិនមែនទេ។ 7,5 2*x- គុណ 3/x- ការបែងចែក x^3- និទស្សន្ត x + ៧- បន្ថែម x − ៦- ដក
លក្ខណៈពិសេសផ្សេងទៀត៖ ជាន់(x)មុខងារ - បង្គត់ xចុះក្រោម (ឧទាហរណ៍ជាន់(4.5)==4.0) ពិដាន(x)មុខងារ - បង្គត់ xឡើង (ឧទាហរណ៍ពិដាន(4.5)==5.0) សញ្ញា(x)មុខងារ - សញ្ញា x erf(x)មុខងារកំហុស (ឬប្រូបាប៊ីលីតេអាំងតេក្រាល) laplace(x)មុខងារ Laplace

ការគណនាផ្ទៃដីនៃតួលេខនេះប្រហែលជាបញ្ហាលំបាកបំផុតមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីតំបន់។ នៅក្នុងធរណីមាត្រសាលា ពួកគេត្រូវបានបង្រៀនឱ្យស្វែងរកផ្នែកនៃរាងធរណីមាត្រជាមូលដ្ឋានដូចជា ឧទាហរណ៍ ត្រីកោណ រាងមូល ចតុកោណកែង រាងចតុកោណ រង្វង់។ល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជារឿយៗមនុស្សម្នាក់ត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនានៃផ្នែកនៃតួលេខស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ វាគឺនៅក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដែលវាងាយស្រួលប្រើការគណនាអាំងតេក្រាល។

និយមន័យ។

រាងចតុកោណកែងតួរលេខ G ខ្លះត្រូវបានហៅ កំណត់ដោយបន្ទាត់ y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a និង x \u003d b ហើយមុខងារ f (x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [a; b] ហើយមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វានៅលើវា។ (រូបទី 1) ។តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងអាចត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរ S (G) ។

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ʃ a b f(x)dx សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) ដែលបន្តនិងមិនអវិជ្ជមានលើផ្នែក [a; b], និងជាតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដែលត្រូវគ្នា។

នោះគឺដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃរូប G ដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a និង x \u003d b វាចាំបាច់ត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ʃ a b f (x) dx ។

ដោយវិធីនេះ S(G) = ʃ a b f(x)dx ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មិនវិជ្ជមាននៅលើ [a; b] បន្ទាប់មកតំបន់នៃ curvilinear trapezoid អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត S(G) = -ʃ a b f(x)dx ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d x 3; y = 1; x = ២.

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ ABC ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ២.

តំបន់ដែលចង់បានគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃ curvilinear trapezoid DACE និងការ៉េ DABE ។

ដោយប្រើរូបមន្ត S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) យើងរកឃើញដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

(y \u003d x 3,
(y = 1 ។

ដូច្នេះយើងមាន x 1 \u003d 1 - ដែនកំណត់ទាប និង x \u003d 2 - ដែនកំណត់ខាងលើ។

ដូច្នេះ S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx − 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (ឯកតាការ៉េ) ។

ចម្លើយ៖ ១១/៤ ម៉ែតការ៉េ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d √x; y = 2; x = ៩.

ដំណោះស្រាយ។

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ ABC ដែលត្រូវបានចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

y \u003d √x និងពីខាងក្រោមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d 2. តួលេខលទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ៣.

ផ្ទៃដែលចង់បានគឺស្មើនឹង S = ʃ a b (√x − 2) ។ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលៈ b = 9 ដើម្បីស្វែងរក a យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

(y = √x,
(y = 2 ។

ដូច្នេះ យើងមានថា x = 4 = a គឺជាដែនកំណត់ទាប។

ដូច្នេះ S = ∫ 4 9 (√x − 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| ៤ ៩ - ២x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (ឯកតាការ៉េ)។

ចម្លើយ៖ S = 2 2/3 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងរៀបចំអនុគមន៍ y \u003d x 3 - 4x សម្រាប់ x ≥ 0 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេ y ':

y' = 3x 2 – 4, y' = 0 at х = ±2/√3 ≈ 1.1 គឺជាចំនុចសំខាន់។

ប្រសិនបើយើងគូរចំណុចសំខាន់នៅលើអ័ក្សពិត ហើយដាក់សញ្ញានៃដេរីវេ នោះយើងទទួលបានថាអនុគមន៍ថយចុះពីសូន្យទៅ 2/√3 ហើយកើនឡើងពី 2/√3 ទៅបូកគ្មានដែនកំណត់។ បន្ទាប់មក x = 2/√3 ជាចំនុចអប្បបរមា តម្លៃអប្បបរមានៃអនុគមន៍ y គឺ min = -16/(3√3) ≈ −3 ។

ចូរកំណត់ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖

ប្រសិនបើ x \u003d 0 បន្ទាប់មក y \u003d 0 ដែលមានន័យថា A (0; 0) គឺជាចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស Oy ។

ប្រសិនបើ y \u003d 0 បន្ទាប់មក x 3 - 4x \u003d 0 ឬ x (x 2 - 4) \u003d 0 ឬ x (x - 2) (x + 2) \u003d 0 ពីកន្លែង x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (មិនសមរម្យទេ ព្រោះ x ≥ 0) ។

ចំណុច A(0; 0) និង B(2; 0) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សអុក។

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាតួលេខ OAB ដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ បួន។

ចាប់តាំងពីមុខងារ y \u003d x 3 - 4x ទទួលយក (0; 2) តម្លៃអវិជ្ជមានបន្ទាប់មក

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|។

យើងមាន៖ ʃ 0 2 (x 3 − 4x)dx = (x 4 /4 − 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4 ពីកន្លែងដែល S \u003d 4 ម៉ែត្រការ៉េ។ ឯកតា

ចម្លើយ៖ S = 4 sq ។ ឯកតា

ឧទាហរណ៍ 4

រកផ្ទៃនៃរូបដែលចងដោយប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d 2x 2 - 2x + 1, បន្ទាត់ត្រង់ x \u003d 0, y \u003d 0 និងតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានេះនៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d ២.

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូងយើងចងក្រងសមីការនៃតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d 2x 2 - 2x + 1 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x₀ \u003d 2 ។

ចាប់តាំងពីដេរីវេ y' = 4x − 2 បន្ទាប់មកសម្រាប់ x 0 = 2 យើងទទួលបាន k = y'(2) = 6 ។

រកលំដាប់នៃចំណុចប៉ះ៖ y 0 = 2 2 2 − 2 2 + 1 = 5 ។

ដូច្នេះសមីការតង់សង់មានទម្រង់៖ y - 5 \u003d 6 (x - 2) ឬ y \u003d 6x - 7 ។

ចូរយើងបង្កើតតួរលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់៖

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7 ។

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - ប៉ារ៉ាបូឡា។ ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖ A(0; 1) - ជាមួយអ័ក្ស Oy; ជាមួយនឹងអ័ក្សអុក - មិនមានចំណុចប្រសព្វទេពីព្រោះ សមីការ 2x 2 − 2x + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយ (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2 ពោលគឺ ចំនុចកំពូលនៃចំនុចប៉ារ៉ាបូឡា B មានកូអរដោនេ B (1/2; 1/2) ។

ដូច្នេះតួលេខដែលតំបន់ដែលត្រូវកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញដោយការញាស់នៅលើ អង្ករ។ ៥.

យើងមាន៖ S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច D ពីលក្ខខណ្ឌ៖

6x − 7 = 0, i.e. x \u003d 7/6 បន្ទាប់មក DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6 ។

យើងរកឃើញផ្ទៃនៃត្រីកោណ DBC ដោយប្រើរូបមន្ត S ADBC = 1/2 · DC · BC ។ ដោយវិធីនេះ

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 sq ។ ឯកតា

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 − 2x + 1)dx = (2x 3 /3 − 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (ឯកតាការ៉េ)។

ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖ S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (sq. units)។

ចម្លើយ៖ S = 1 1/4 sq ។ ឯកតា

យើងបានពិនិត្យឧទាហរណ៍ ការស្វែងរកផ្នែកនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវចេះបង្កើតបន្ទាត់ និងក្រាហ្វនៃមុខងារនៅលើយន្តហោះ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ អនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកតំបន់ ដែលបង្កប់ន័យសមត្ថភាព និងជំនាញក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ក)

ដំណោះស្រាយ។

គ្រាដំបូងនិងសំខាន់បំផុតនៃការសម្រេចចិត្តគឺការសាងសង់គំនូរ.

តោះធ្វើគំនូរ៖

សមីការ y=0 កំណត់អ័ក្ស x;

- x=-2 និង x=1 - ត្រង់, ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អ៊ូ;

- y \u003d x 2 +2 - ប៉ារ៉ាបូឡាដែលមែកត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ ដោយមានចំណុចកំពូលនៅចំណុច (0;2)។

មតិយោបល់។ដើម្បីបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ i.e. ដាក់ x=0 ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូ និងដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលត្រូវគ្នា រកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អូ .

ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

អ្នកអាចគូរបន្ទាត់និងចង្អុលដោយចំណុច។

នៅចន្លោះពេល [-2;1] ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x 2 +2 ដែលមានទីតាំងនៅ លើអ័ក្ស គោ , នោះហើយជាមូលហេតុដែល:

ចម្លើយ៖ ស \u003d 9 យូនីតការ៉េ

បន្ទាប់ពីកិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់ វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការមើលគំនូរ និងស្វែងយល់ថាតើចម្លើយគឺពិតឬអត់។ ក្នុងករណីនេះ "ដោយភ្នែក" យើងរាប់ចំនួនក្រឡានៅក្នុងគំនូរ - ល្អប្រហែល 9 នឹងត្រូវបានវាយវាហាក់ដូចជាការពិត។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងមាន, និយាយថា, ចម្លើយ: 20 ឯកតាការ៉េ, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅកន្លែងណាមួយ - កោសិកាចំនួន 20 យ៉ាងច្បាស់មិនសមនឹងតួរលេខនៅក្នុងសំណួរ, យ៉ាងហោចណាស់រាប់សិប។ ប្រសិនបើចម្លើយប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន នោះកិច្ចការក៏ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវដែរ។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើ curvilinear trapezoid មានទីតាំងនៅ នៅក្រោមអ័ក្ស អូ?

ខ)គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់ y=-e x , x=1 និងសម្របសម្រួលអ័ក្ស។

ដំណោះស្រាយ។

តោះធ្វើគំនូរ។

ប្រសិនបើរាងចតុកោណកែង ទាំងស្រុងនៅក្រោមអ័ក្ស អូ , បន្ទាប់មកតំបន់របស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ចម្លើយ៖ S=(e-1) sq. unit" 1.72 sq. unit

យកចិត្តទុកដាក់! កុំច្រឡំកិច្ចការពីរប្រភេទ:

1) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យដោះស្រាយគ្រាន់តែជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយគ្មានអត្ថន័យធរណីមាត្រ នោះវាអាចជាអវិជ្ជមាន។

2) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានសួរឱ្យស្វែងរកតំបន់នៃតួលេខដោយប្រើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នោះ តំបន់គឺតែងតែវិជ្ជមាន! នោះហើយជាមូលហេតុដែលដកលេចឡើងនៅក្នុងរូបមន្តដែលទើបតែពិចារណា។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ភាគច្រើនជាញឹកញាប់តួលេខនេះមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះពាក់កណ្តាលខាងលើ និងខាងក្រោម។

ជាមួយ)ស្វែងរកតំបន់នៃតួយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់ y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x ។

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើគំនូរ។ និយាយជាទូទៅនៅពេលសាងសង់គំនូរនៅក្នុងបញ្ហាតំបន់យើងចាប់អារម្មណ៍បំផុតចំពោះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយគឺការវិភាគ។

យើងដោះស្រាយសមីការ៖

ដូច្នេះដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូល a=0 ដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល b=3 .

យើងបង្កើតបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: 1. Parabola - vertex នៅចំណុច (1; 1); ចំនុចប្រសព្វអ័ក្ស អូ -ពិន្ទុ (0; 0) និង (0; 2) ។ 2. បន្ទាត់ត្រង់ - bisector នៃមុំកូអរដោនេទី 2 និងទី 4 ។ ហើយឥឡូវនេះយកចិត្តទុកដាក់! ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល [ ក; ខ] មុខងារបន្តមួយចំនួន f(x)ធំជាង ឬស្មើនឹងមុខងារបន្តមួយចំនួន g(x)បន្ទាប់មកតំបន់នៃតួលេខដែលត្រូវគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ .

ហើយវាមិនមានបញ្ហាថាតើតួលេខស្ថិតនៅត្រង់ណាទេ - ខាងលើអ័ក្ស ឬខាងក្រោមអ័ក្ស ប៉ុន្តែវាជាការសំខាន់ណាស់ដែលតារាងមួយណាខ្ពស់ជាង (ទាក់ទងទៅនឹងតារាងមួយទៀត) ហើយមួយណានៅខាងក្រោម។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា វាច្បាស់ណាស់ថានៅលើផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីដកពី

វាអាចទៅរួចក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ដោយចំណុចខណៈពេលដែលដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរកឃើញថា "ដោយខ្លួនឯង" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីសាស្ត្រវិភាគក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់ ពេលខ្លះនៅតែត្រូវប្រើ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វមានទំហំធំល្មម ឬការសាងសង់ខ្សែស្រឡាយមិនបានបង្ហាញពីដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម (វាអាចជាប្រភាគ ឬមិនសមហេតុផល)។

តួលេខដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាពីខាងលើ និងបន្ទាត់ត្រង់ពីខាងក្រោម។

នៅលើផ្នែកនេះបើយោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា:

ចម្លើយ៖ ស \u003d 4.5 sq. យូនីត

គណនាផ្ទៃនៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់.

ដំណោះស្រាយ។

យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ដើម្បីស្វែងរក abscissas នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងដោះស្រាយសមីការ៖

យើងស្វែងរក: x 1 = -2, x 2 = 4.

ដូច្នេះ បន្ទាត់ទាំងនេះដែលជាប៉ារ៉ាបូឡា និងបន្ទាត់ត្រង់ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច ក(-2; 0), ខ(4; 6).

បន្ទាត់ទាំងនេះបង្កើតជាតួរលេខបិទជិត ផ្ទៃនៃ ដែលត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងលើ៖

យោងតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz យើងរកឃើញ៖

ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយពងក្រពើ.

ដំណោះស្រាយ។

ពីសមីការពងក្រពើសម្រាប់ I quadrant យើងមាន។ ពីទីនេះយោងទៅតាមរូបមន្តយើងទទួលបាន

តោះអនុវត្តការជំនួស x = កអំពើបាប t, dx = ក cos t dt. ដែនកំណត់ថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល t = α និង t = β ត្រូវបានកំណត់ពីសមីការ 0 = កអំពើបាប t, ក = កអំពើបាប t. អាចដាក់បាន។ α = 0 និង β = π /2.

យើងរកឃើញមួយភាគបួននៃតំបន់ដែលត្រូវការ

ពីទីនេះ ស = ប៉ា.

រកផ្ទៃនៃតួលេខដែលចងដោយបន្ទាត់y = - x 2 + x + 4 និងy = - x + 1.

ដំណោះស្រាយ។

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, សមីការនៃបន្ទាត់: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ឬ x 2 - 2x- 3 = 0. រកឫស x 1 = -1, x 2 = 3 និងបទបញ្ជាដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ។ y 1 = 2, y 2 = -2.

ដោយប្រើរូបមន្តផ្ទៃតួលេខយើងទទួលបាន

ស្វែងរកតំបន់ដែលព័ទ្ធជុំវិញដោយប៉ារ៉ាបូឡាy = x 2 + 1 និងដោយផ្ទាល់x + y = 3.

ដំណោះស្រាយ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ស្វែងរក abscissas នៃចំនុចប្រសព្វ x 1 = -2 និង x 2 = 1.

សន្មត់ y 2 = 3 - xនិង y 1 = x 2+1 ដោយផ្អែកលើរូបមន្តដែលយើងទទួលបាន

គណនាតំបន់ដែលមាននៅក្នុង Bernoulli lemniscater 2 = ក 2 cos 2 φ .

ដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល តំបន់នៃតួរលេខដែលចងភ្ជាប់ដោយធ្នូនៃខ្សែកោង r = f(φ ) និងកាំប៉ូឡាពីរ φ 1 = ʅ និង φ 2 = ʆ ត្រូវបានបង្ហាញដោយអាំងតេក្រាល។

ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីនៃខ្សែកោងដំបូងយើងកំណត់មួយភាគបួននៃផ្ទៃដែលចង់បាន

ដូច្នេះផ្ទៃដីសរុបគឺ ស = ក 2 .

គណនាប្រវែងអ័ក្សអាកាសx 2/3 + y 2/3 = ក 2/3 .

ដំណោះស្រាយ។

យើងសរសេរសមីការនៃ astroid ក្នុងទម្រង់

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (ក 1/3) 2 .

តោះដាក់ x 1/3 = ក 1/3 កូស t, y 1/3 = ក 1/3 អំពើបាប t.

ពីទីនេះយើងទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ astroid

x = ក cos ៣ t, y = កបាប ៣ t, (*)

ដែល 0 ≤ t ≤ 2π .

នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃស៊ីមេទ្រីនៃខ្សែកោង (*) វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកមួយភាគបួននៃប្រវែងធ្នូ អិលដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tពី 0 ទៅ π /2.

យើងទទួលបាន

dx = -3ក cos 2 tអំពើបាប t dt, ឌី = 3កបាប ២ t cos t dt.

ពីទីនេះយើងរកឃើញ

ការរួមបញ្ចូលកន្សោមលទ្ធផលនៅក្នុងជួរពី 0 ទៅ π / 2 យើងទទួលបាន

ពីទីនេះ អិល = 6ក.

ស្វែងរកតំបន់ដែលជាប់នឹងវង់របស់ Archimedesr = aφ និងវ៉ិចទ័រកាំពីរដែលត្រូវគ្នានឹងមុំប៉ូលφ 1 និងφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

ដំណោះស្រាយ។

តំបន់ជាប់នឹងខ្សែកោង r = f(φ ) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត កន្លែងណា α និង β - ដែនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរមុំប៉ូល

ដូច្នេះយើងទទួលបាន

(*)

ពី (*) វាបន្ទាប់ពីតំបន់ដែលជាប់នឹងអ័ក្សប៉ូល និងវេនទីមួយនៃវង់ Archimedes ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញតំបន់ដែលជាប់នឹងអ័ក្សប៉ូល និងវេនទីពីរនៃវង់ Archimedes ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

តំបន់ដែលត្រូវការគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃតំបន់ទាំងនេះ

គណនាបរិមាណនៃរាងកាយដែលទទួលបានដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្សគោ តួលេខដែលត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាy = x 2 និងx = y 2 .

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

និងទទួលបាន x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, ចំនុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងមកពីណា អូ(0; 0), ខ(ដប់មួយ) ។ ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាព បរិមាណដែលចង់បាននៃរាងកាយបដិវត្តន៍គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងបរិមាណទាំងពីរដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស។ គោរាងចតុកោណកែង OCBAនិង ODBA:

គណនាផ្ទៃដែលជាប់នឹងអ័ក្សគោ និង sinusoidy = អំពើបាបx នៅលើផ្នែក៖ ក); ខ) ។

ដំណោះស្រាយ។

ក) នៅលើផ្នែក មុខងារ sin xរក្សាសញ្ញា ហើយដូច្នេះដោយរូបមន្ត សន្មត់ y= បាប x, យើងស្វែងរក

ខ) នៅលើផ្នែក មុខងារ sin xសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវនៃបញ្ហា ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកផ្នែកជាពីរ និង [ π , 2π ] ដែលមុខងារនីមួយៗរក្សាសញ្ញារបស់វា។

យោងតាមច្បាប់នៃសញ្ញានៅលើផ្នែក [ π , 2π ] តំបន់ត្រូវបានយកដោយសញ្ញាដក។

ជាលទ្ធផលផ្ទៃដែលចង់បានគឺស្មើនឹង

កំណត់បរិមាណនៃរាងកាយដែលចងដោយផ្ទៃដែលទទួលបានពីការបង្វិលនៃរាងពងក្រពើជុំវិញអ័ក្សសំខាន់ក .

ដំណោះស្រាយ។

ដោយសារពងក្រពើមានភាពស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សកូអរដោនេ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកបរិមាណដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស គោតំបន់ OABស្មើនឹងមួយភាគបួននៃផ្ទៃនៃរាងពងក្រពើ និងលទ្ធផលទ្វេដង។

ចូរយើងកំណត់បរិមាណនៃតួនៃបដិវត្តន៍តាមរយៈ វ x; បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើរូបមន្ត យើងមាន 0 និង ក- abscissas នៃចំណុច ខនិង ក. ពីសមីការនៃពងក្រពើយើងរកឃើញ។ ពីទីនេះ

ដូច្នេះបរិមាណដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង . (នៅពេលដែលពងក្រពើបង្វិលជុំវិញអ័ក្សតូច ខបរិមាណរាងកាយគឺ)

ស្វែងរកតំបន់ដែលជាប់នឹងប៉ារ៉ាបូឡាy 2 = 2 ភីច និងx 2 = 2 ភី .

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូង យើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល។ ការបំប្លែងសមីការដើម យើងទទួលបាន និង . ស្មើតម្លៃទាំងនេះ យើងទទួលបាន ឬ x 4 - 8ទំ 3 x = 0.

x 4 - 8ទំ 3 x = x(x 3 - 8ទំ 3) = x(x - 2ទំ)(x 2 + 2ភីច + 4ទំ 2) = 0.