ខ្សែដៃកៅស៊ូ

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់។ របៀបដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ក្នុងគណិតវិទ្យា រូបមន្តរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានល្បិចពិសេស ដែលសមីការ quadratic ជាច្រើនត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងរហ័ស និងគ្មានការរើសអើងណាមួយឡើយ។ លើសពីនេះទៅទៀត ជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលត្រឹមត្រូវ មនុស្សជាច្រើនចាប់ផ្តើមដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយពាក្យសំដី ព្យញ្ជនៈ "ភ្លាមៗ" ។

ជាអកុសលនៅក្នុងវគ្គសិក្សាទំនើបនៃគណិតវិទ្យាសាលា បច្ចេកវិទ្យាបែបនេះស្ទើរតែមិនត្រូវបានសិក្សា។ ហើយអ្នកត្រូវដឹង! ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងពិចារណាបច្ចេកទេសមួយក្នុងចំណោមបច្ចេកទេសទាំងនេះ - ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ជាដំបូងសូមណែនាំនិយមន័យថ្មី។

សមីការការ៉េនៃទម្រង់ x 2 + bx + c = 0 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ។ សូមចំណាំថាមេគុណនៅ x 2 គឺស្មើនឹង 1 ។ មិនមានការរឹតបន្តឹងផ្សេងទៀតលើមេគុណទេ។

x 2 + 7x + 12 = 0 គឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ;
x 2 − 5x + 6 = 0 ក៏ត្រូវបានកាត់បន្ថយ;
2x 2 − 6x + 8 = 0 - ប៉ុន្តែនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាល់តែសោះ ចាប់តាំងពីមេគុណនៅ x 2 គឺ 2 ។

ជាការពិតណាស់ សមីការការ៉េនៃទម្រង់ ax 2 + bx + c = 0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបែងចែកមេគុណទាំងអស់ដោយលេខ a ។ យើងតែងតែអាចធ្វើវាបាន ព្រោះវាធ្វើតាមនិយមន័យនៃសមីការការ៉េដែល a ≠ 0 ។

ពិតមែន ការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះនឹងមិនតែងតែមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការស្វែងរកឫសនោះទេ។ ទាបជាងបន្តិច យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថា វាគួរតែត្រូវបានធ្វើតែនៅពេលដែលនៅក្នុងសមីការការេចុងក្រោយ មេគុណទាំងអស់គឺជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ពេលនេះ សូមមើលឧទាហរណ៍ងាយៗមួយចំនួន៖

កិច្ចការមួយ។ បំប្លែងសមីការការ៉េទៅជាកាត់បន្ថយ៖

3x2 − 12x + 18 = 0;

−4x2 + 32x + 16 = 0;

1.5x2 + 7.5x + 3 = 0;

2x2 + 7x − 11 = 0 ។

ចូរបែងចែកសមីការនីមួយៗដោយមេគុណនៃអថេរ x 2 ។ យើងទទួលបាន:

3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - បែងចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយ 3;
−4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - ចែកនឹង −4;
1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - ចែកនឹង 1.5 មេគុណទាំងអស់ក្លាយជាចំនួនគត់;
2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - ចែកដោយ 2. ក្នុងករណីនេះ មេគុណប្រភាគបានកើតឡើង។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចមានមេគុណចំនួនគត់ ទោះបីជាសមីការដើមមានប្រភាគក៏ដោយ។

ឥឡូវនេះយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទចម្បង ដែលតាមពិត គំនិតនៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយត្រូវបានណែនាំ៖

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ពិចារណាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ x 2 + bx + c \u003d 0 ។ ឧបមាថាសមីការនេះមានឫសពិត x 1 និង x 2 ។ ក្នុងករណីនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖

x1 + x2 = −b ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងមេគុណនៃអថេរ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ។

x 1 x 2 = គ. ផលគុណនៃឫសនៃសមីការ quadratic គឺស្មើនឹងមេគុណទំនេរ។

ឧទាហរណ៍។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងពិចារណាតែសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលមិនត្រូវការការបំប្លែងបន្ថែម៖

x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ឫស៖ x ១ = ៤; x 2 \u003d 5;
x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; ឫស៖ x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; ឫស៖ x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផ្តល់ឱ្យយើងនូវព័ត៌មានបន្ថែមអំពីឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែសូម្បីតែជាមួយនឹងការបណ្តុះបណ្តាលតិចតួចក៏ដោយ អ្នកនឹងរៀន "មើល" ឫស ហើយទាយវាដោយព្យញ្ជនៈក្នុងរយៈពេលតែប៉ុន្មានវិនាទីប៉ុណ្ណោះ។

កិច្ចការមួយ។ ដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

x2 − 9x + 14 = 0;

x 2 − 12x + 27 = 0;

3x2 + 33x + 30 = 0;

−7x2 + 77x − 210 = 0 ។

ចូរយើងព្យាយាមសរសេរមេគុណយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta និង "ទាយ" ឫស៖

x 2 − 9x + 14 = 0 គឺជាសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។
តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. ងាយមើលថាឫសគឺជាលេខ 2 និង 7;
x 2 − 12x + 27 = 0 ក៏ត្រូវបានកាត់បន្ថយផងដែរ។
ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. ដូចេនះឫសៈ 3 និង 9;
3x 2 + 33x + 30 = 0 - សមីការនេះមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងជួសជុលវាឥឡូវនេះដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយមេគុណ a \u003d 3 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 + 11x + 10 \u003d 0 ។
យើងដោះស្រាយតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ឫស៖ −10 និង −1;
−7x 2 + 77x − 210 \u003d 0 - ម្តងទៀតមេគុណនៅ x 2 មិនស្មើនឹង 1 ពោលគឺឧ។ សមីការមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងបែងចែកអ្វីៗទាំងអស់ដោយលេខ a = −7 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 − 11x + 30 = 0 ។
តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; ពីសមីការទាំងនេះវាងាយស្រួលក្នុងការទាយឫស៖ 5 និង 6 ។

ពីហេតុផលខាងលើ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរបៀបដែលទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។ គ្មានការគណនាស្មុគស្មាញ គ្មានឫសនព្វន្ធ និងប្រភាគ។ ហើយសូម្បីតែអ្នករើសអើង (សូមមើលមេរៀន "ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង") យើងមិនត្រូវការទេ។

ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងការឆ្លុះបញ្ចាំងរបស់យើងទាំងអស់ យើងបានបន្តពីការសន្មត់សំខាន់ពីរ ដែលជាទូទៅមិនតែងតែត្រូវបានបំពេញនៅក្នុងបញ្ហាពិតប្រាកដនោះទេ៖

សមីការ quadratic ត្រូវបានកាត់បន្ថយ, i.e. មេគុណ x 2 គឺ 1;
សមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។ តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត ក្នុងករណីនេះ ការរើសអើង D > 0 - តាមពិតដំបូងឡើយ យើងសន្មត់ថា វិសមភាពនេះគឺពិត។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាធម្មតាលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ។ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការគណនាគឺជាសមីការការ៉េ "អាក្រក់" (មេគុណនៅ x 2 គឺខុសពី 1) វាងាយស្រួលក្នុងការជួសជុល - សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៅដើមមេរៀន។ ជាទូទៅខ្ញុំនៅស្ងៀមអំពីឫស៖ តើកិច្ចការប្រភេទណាដែលមិនមានចម្លើយ? ជាការពិតណាស់នឹងមានឫស។

ដូច្នេះ គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta មានដូចខាងក្រោម៖

កាត់បន្ថយសមីការ quadratic ទៅមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ប្រសិនបើនេះមិនទាន់ត្រូវបានធ្វើរួចនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា;
ប្រសិនបើមេគុណនៅក្នុងសមីការបួនជ្រុងខាងលើប្រែទៅជាប្រភាគ យើងដោះស្រាយតាមរយៈការរើសអើង។ អ្នកថែមទាំងអាចត្រលប់ទៅសមីការដើមដើម្បីធ្វើការជាមួយលេខ "ងាយស្រួល" បន្ថែមទៀត។
ក្នុងករណីមេគុណចំនួនគត់ យើងដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta;
ប្រសិនបើក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីវាមិនអាចទស្សន៍ទាយឫសបានទេ យើងដាក់ពិន្ទុលើទ្រឹស្តីបទ Vieta ហើយដោះស្រាយតាមរយៈអ្នករើសអើង។

កិច្ចការមួយ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ 5x 2 − 35x + 50 = 0 ។

ដូច្នេះ យើងមានសមីការដែលមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយនោះទេ ព្រោះ មេគុណ a \u003d 5. ចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយ 5 យើងទទួលបាន: x 2 - 7x + 10 \u003d 0 ។

មេគុណទាំងអស់នៃសមីការការ៉េគឺជាចំនួនគត់ - តោះព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. ក្នុងករណីនេះឫសគឺងាយស្រួលទាយ - ទាំងនេះគឺ 2 និង 5 ។ អ្នកមិនចាំបាច់រាប់តាមអ្នករើសអើងទេ។

កិច្ចការមួយ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ។

យើងមើល៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - សមីការនេះមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយមេគុណ a = −5 ។ យើងទទួលបាន៖ x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - សមីការដែលមានមេគុណប្រភាគ។

ជាការប្រសើរក្នុងការត្រលប់ទៅសមីការដើមវិញ ហើយរាប់តាមការរើសអើង៖ −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4 ។

កិច្ចការមួយ។ ដោះស្រាយសមីការ៖ 2x 2 + 10x − 600 = 0 ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងបែងចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយមេគុណ a \u003d 2 ។ យើងទទួលបានសមីការ x 2 + 5x - 300 \u003d 0 ។

នេះគឺជាសមីការកាត់បន្ថយ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300 ។ វាពិបាកក្នុងការទស្សន៍ទាយឫសគល់នៃសមីការ quadratic ក្នុងករណីនេះ - ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំ "បង្កក" យ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរនៅពេលខ្ញុំដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

យើងនឹងត្រូវស្វែងរកឫសតាមរយៈការរើសអើង៖ D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនចាំឫសគល់នៃអ្នករើសអើងទេ ខ្ញុំនឹងចំណាំថា 1225: 25 = 49 ដូច្នេះហើយ 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 ។

ឥឡូវនេះឫសគល់នៃអ្នករើសអើងត្រូវបានដឹង ការដោះស្រាយសមីការមិនពិបាកទេ។ យើងទទួលបាន៖ x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20 ។

នៅពេលសិក្សាវិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការលំដាប់ទីពីរនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលា សូមពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសដែលទទួលបាន។ ឥឡូវនេះពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់របស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

សមីការការ៉េ

សមីការលំដាប់ទីពីរគឺជាសមភាព ដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបថតខាងក្រោម។

នៅទីនេះនិមិត្តសញ្ញា a, b, c គឺជាលេខមួយចំនួនដែលត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃសមីការដែលកំពុងពិចារណា។ ដើម្បីដោះស្រាយសមភាព អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃ x ដែលធ្វើឱ្យវាពិត។

ចំណាំថាចាប់តាំងពីតម្លៃអតិបរមានៃថាមពលដែល x ត្រូវបានលើកឡើងគឺពីរ នោះចំនួនឫសនៅក្នុងករណីទូទៅក៏មានពីរផងដែរ។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយសមភាពប្រភេទនេះ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាមួយក្នុងចំណោមពួកគេ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់អ្វីដែលគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទ Vieta

នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 16 គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Francois Viet (ជនជាតិបារាំង) បានកត់សម្គាល់ដោយវិភាគលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនៃសមីការការ៉េផ្សេងៗថា បន្សំជាក់លាក់នៃពួកវាបំពេញនូវទំនាក់ទំនងជាក់លាក់។ ជាពិសេស បន្សំទាំងនេះគឺជាផលិតផល និងផលបូករបស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta បង្កើតដូចខាងក្រោម៖ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ នៅពេលដែលបូកសរុប ផ្តល់សមាមាត្រនៃលីនេអ៊ែរទៅមេគុណការ៉េដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានគុណ ពួកវានាំទៅរកសមាមាត្រនៃពាក្យសេរីទៅមេគុណបួនជ្រុង។ .

ប្រសិនបើទម្រង់ទូទៅនៃសមីការត្រូវបានសរសេរដូចដែលវាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបថតនៅក្នុងផ្នែកមុននៃអត្ថបទ នោះតាមគណិតវិទ្យាទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាសមភាពពីរ៖

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d គ / ក។

ដែល r 1 , r 2 គឺជាតម្លៃនៃឫសនៃសមីការដែលបានពិចារណា។

សមភាពទាំងពីរនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាខុសៗគ្នាជាច្រើន។ ការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta ក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែកខាងក្រោមនៃអត្ថបទ។

រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ quadratic បន្ថែមពីលើរូបមន្តឫស មានទំនាក់ទំនងមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់នូវរូបមន្ត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ បន្ទាប់មក យើងពិចារណាទ្រឹស្តីបទមួយទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍លក្ខណៈបំផុត។ ជាចុងក្រោយ យើងសរសេររូបមន្ត Vieta ដែលកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងឫសពិត សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n និងមេគុណរបស់វា។

ការរុករកទំព័រ។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta, ការបង្កើត, ភស្តុតាង

ពីរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 នៃទម្រង់ ដែល D = b 2 −4 a c ទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = −b/a, x 1 x 2 = គ/ក។ លទ្ធផលទាំងនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា:

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើ ក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ b និង a ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ និងផលគុណនៃ ឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ c និង a ពោលគឺ .

ភស្តុតាង។

យើងនឹងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Vieta តាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖ យើងនឹងចងក្រងផលបូក និងផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់ បន្ទាប់មកយើងនឹងបំប្លែងកន្សោមលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាពួកវាស្មើនឹង −b /a និង c/a រៀងគ្នា។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងផលបូកនៃឫស, តែងវា។ ឥឡូវនេះយើងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងរួមមួយ យើងមាន។ នៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគលទ្ធផល បន្ទាប់ពីនោះ : . ទីបំផុតបន្ទាប់ពី 2 យើងទទួលបាន។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។ ចូរបន្តទៅទីពីរ។

យើងចងក្រងផលនៃឫសនៃសមីការ quadratic : ។ យោងតាមក្បួនគុណនៃប្រភាគ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជា។ ឥឡូវនេះ យើងគុណនឹងតង្កៀបដោយតង្កៀបនៅក្នុងភាគយក ប៉ុន្តែវាលឿនជាងក្នុងការបង្រួមផលិតផលនេះដោយ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ, ដូច្នេះ។ បន្ទាប់មក ដោយចងចាំ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់។ ហើយដោយសាររូបមន្ត D=b 2 −4 ac·c ត្រូវគ្នាទៅនឹងការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ដូច្នេះ b 2 −4·a·c អាចត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងប្រភាគចុងក្រោយជំនួសឱ្យ D យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់ពីបើកតង្កៀប និងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដូច យើងមកដល់ប្រភាគ ហើយការកាត់បន្ថយរបស់វាត្រឹម 4·a ផ្តល់ឱ្យ។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលនៃឫស។

ប្រសិនបើយើងលុបចោលការពន្យល់ នោះភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta នឹងមានទម្រង់សង្ខេបមួយ៖
,
.

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសតែមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមីការក្នុងករណីនេះមានឫសដូចគ្នាពីរ នោះសមភាពពីទ្រឹស្តីបទ Vieta ក៏កាន់ដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ D=0 ឫសនៃសមីការការ៉េគឺ បន្ទាប់មក និង ហើយចាប់តាំងពី D=0 នោះគឺ b 2 −4·a·c=0 មកពីណា b 2 = 4·a·c បន្ទាប់មក។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ (ជាមួយនឹងមេគុណខ្ពស់បំផុតស្មើនឹង 1) នៃទម្រង់ x 2 +p·x+q=0 ។ ពេលខ្លះវាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ ដែលមិនកំណត់ភាពទូទៅ ចាប់តាំងពីសមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយសមីការសមមូលដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយលេខមិនសូន្យ a ។ នេះគឺជារូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + p x + q \u003d 0 គឺស្មើនឹងមេគុណ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះគឺ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q ។

ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

រូបមន្តទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន បង្ហាញថាប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 នោះទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q ។ ម៉្យាងវិញទៀត ពីទំនាក់ទំនងជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q វាដូចខាងក្រោម x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 +p x + q = 0 ។ ម្យ៉ាងទៀត ការអះអាងផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា គឺពិត។ យើងបង្កើតវាតាមទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វា។

ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើលេខ x 1 និង x 2 គឺដូចនោះ x 1 + x 2 = −p និង x 1 x 2 = q នោះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x + q=0 .

ភស្តុតាង។

បន្ទាប់ពីជំនួសមេគុណ p និង q ក្នុងសមីការ x 2 +p x + q = 0 នៃកន្សោមរបស់ពួកគេតាមរយៈ x 1 និង x 2 វាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល។

យើងជំនួសលេខ x 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល យើងមានសមភាព x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0ដែលសម្រាប់ x 1 និង x 2 គឺជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 0=0 ចាប់តាំងពី x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដែលមានន័យថា x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការសមមូល x 2 +p x+q=0 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ជំនួសលេខ x 2 ជំនួស x បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាព x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. នេះគឺជាសមីការត្រឹមត្រូវពីព្រោះ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 2 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដូច្នេះហើយ សមីការ x 2 +p x + q = 0 ។

នេះបញ្ចប់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta

វាដល់ពេលដែលត្រូវនិយាយអំពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta និងទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់វា។ នៅក្នុងផ្នែករងនេះ យើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាបំផុតមួយចំនួន។

យើងចាប់ផ្តើមដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ វាងាយស្រួលប្រើវាដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាបន្ទាប់ពីនោះសុពលភាពនៃទំនាក់ទំនងត្រូវបានពិនិត្យ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះមានការពេញចិត្ត នោះដោយសារទ្រឹស្តីបទដែលផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនពេញចិត្ត នោះលេខទាំងនេះមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េទេ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍។

តើគូមួយណានៃលេខ 1) x 1 = −5, x 2 = 3, ឬ 2) ឬ 3) គឺជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េ 4 x 2 −16 x+9=0?

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 4 x 2 −16 x+9=0 គឺ a=4 , b=−16 , c=9 ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវតែស្មើនឹង −b/a នោះគឺ 16/4=4 ហើយផលគុណនៃឫសត្រូវតែស្មើនឹង c/a ពោលគឺ 9 /៤.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខក្នុងគូនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងបី ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងតម្លៃដែលទើបតែទទួលបាន។

ក្នុងករណីទីមួយ យើងមាន x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពីលេខ 4 ដូច្នេះការផ្ទៀងផ្ទាត់បន្ថែមមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តទេប៉ុន្តែដោយទ្រឹស្តីបទ ការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមៗថាលេខគូទីមួយមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ .

ចូរបន្តទៅករណីទីពីរ។ នៅទីនេះ នោះគឺលក្ខខណ្ឌទីមួយគឺពេញចិត្ត។ យើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពី 9/4 ។ ដូច្នេះ គូទីពីរនៃលេខមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការ quadratic ទេ។

ករណីចុងក្រោយនៅសល់។ នៅទីនេះ និង។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះលេខទាំងនេះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖

ទ្រឹស្តីបទដែលជាទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់ Vieta អាចត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តដើម្បីជ្រើសរើសឫសនៃសមីការការ៉េ។ ជាធម្មតា ឫសចំនួនគត់នៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ត្រូវបានជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីក្នុងករណីផ្សេងទៀត វាពិបាកធ្វើណាស់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គេប្រើការពិតដែលថាប្រសិនបើផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរនៃសមីការការ៉េ យកដោយសញ្ញាដក ហើយផលគុណនៃលេខទាំងនេះស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះលេខទាំងនេះគឺ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរយើងយកសមីការការ៉េ x 2 −5 x + 6 = 0 ។ ដើម្បីឱ្យលេខ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ សមភាពពីរ x 1 +x 2 \u003d 5 និង x 1 x 2 \u003d 6 ត្រូវតែពេញចិត្ត។ វានៅសល់ដើម្បីជ្រើសរើសលេខបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ៖ លេខបែបនេះគឺ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 2 + 3 = 5 និង 2 3 = 6 ។ ដូច្នេះ 2 និង 3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។

ទ្រឹស្ដីបទធៀបទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺងាយស្រួលជាពិសេសសម្រាប់ការស្វែងរកឫសទីពីរនៃសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយនៅពេលដែលឫសណាមួយត្រូវបានគេដឹង ឬច្បាស់រួចហើយ។ ក្នុងករណីនេះឫសទីពីរត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនងណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 512 x 2 −509 x−3=0 ។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាឯកតាគឺជាឫសគល់នៃសមីការ ព្រោះផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េនេះគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ x 1 = 1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ឫសទីពីរ x 2 អាចត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនង x 1 x 2 = c/a ។ យើងមាន 1 x 2 = −3/512 , ពេលណា x 2 = −3/512 ។ ដូច្នេះ យើងបានកំណត់ឫសទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ៖ ១ និង −៣/៥១២។

វាច្បាស់ណាស់ថាការជ្រើសរើសឫសគឺចាំបាច់តែនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកឫស អ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េតាមរយៈអ្នករើសអើង។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែងមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទ ដែលបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺការចងក្រងនៃសមីការការ៉េសម្រាប់ឫស x 1 និង x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាផលបូកនៃឫសដែលផ្តល់មេគុណនៃ x ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងផលិតផលនៃឫសដែលផ្តល់រយៈពេលឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍។

សរសេរសមីការការ៉េដែលមានឫសជាលេខ −11 និង 23 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្គាល់ x 1 = −11 និង x 2 = 23 ។ យើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខទាំងនេះ៖ x 1 + x 2 \u003d 12 និង x 1 x 2 \u003d −253 ។ ដូច្នេះ លេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណទីពីរ -12 និងពាក្យឥតគិតថ្លៃ -253 ។ នោះគឺ x 2 −12·x−253=0 គឺជាសមីការដែលចង់បាន។

ចម្លើយ៖

x 2 −12 x−253=0 ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ តើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទាក់ទងទៅនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 យ៉ាងដូចម្តេច? នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលពាក់ព័ន្ធចំនួនពីរ៖

ប្រសិនបើការស្ទាក់ចាប់ q គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះពួកវាទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន។
ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាលេខអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះសញ្ញារបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា ម្យ៉ាងវិញទៀត ឫសមួយគឺវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះធ្វើតាមរូបមន្ត x 1 x 2 =q ក៏ដូចជាច្បាប់សម្រាប់គុណលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន និងលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ។

ឧទាហរណ៍។

R គឺវិជ្ជមាន។ យោងតាមរូបមន្តបែងចែកយើងរកឃើញ D = (r + 2) 2 −4 1 (r−1) = r 2 +4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8 តម្លៃនៃកន្សោម r 2 +8 គឺវិជ្ជមានសម្រាប់ r ពិតណាមួយ ដូច្នេះ D> 0 សម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការការ៉េដើមមានឫសពីរសម្រាប់តម្លៃពិតណាមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ r ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថានៅពេលដែលឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃឫសគឺខុសគ្នា នោះផលិតផលរបស់ពួកគេគឺអវិជ្ជមាន ហើយដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ផលិតផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូច្នេះហើយ យើងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃទាំងនោះនៃ r ដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃ r−1 គឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ r ដែលចាប់អារម្មណ៍យើង យើងត្រូវ ដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរ r−1<0 , откуда находим r<1 .

ចម្លើយ៖

នៅ r<1 .

រូបមន្ត Vieta

ខាងលើ យើងបាននិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងវិភាគទំនាក់ទំនងដែលវាអះអាង។ ប៉ុន្តែមានរូបមន្តដែលភ្ជាប់ឫសពិត និងមេគុណមិនត្រឹមតែសមីការបួនជ្រុងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសមីការគូប សមីការបួនជ្រុង និងជាទូទៅ។ សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n. ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Vieta.

យើងសរសេររូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n នៃទម្រង់ ខណៈពេលដែលយើងសន្មត់ថាវាមានឫសពិត x 1, x 2, ..., x n (ក្នុងចំនោមពួកវាអាចមានដូចគ្នា)៖

ទទួលបានរូបមន្ត Vieta អនុញ្ញាត ទ្រឹស្តីបទកត្តាកត្តាពហុនាមក៏ដូចជានិយមន័យនៃពហុនាមស្មើគ្នា តាមរយៈសមភាពនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់។ ដូច្នេះពហុនាម និងការពង្រីករបស់វាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់គឺស្មើគ្នា។ ការបើកតង្កៀបនៅក្នុងផលិតផលចុងក្រោយ និងស្មើមេគុណដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្ត Vieta ។

ជាពិសេស សម្រាប់ n=2 យើងធ្លាប់ស្គាល់រូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។

សម្រាប់សមីការគូប រូបមន្ត Vieta មានទម្រង់

វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត Vieta មានអ្វីដែលហៅថាបឋម ពហុនាមស៊ីមេទ្រី.

គន្ថនិទ្ទេស។

ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed ។ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - M. : ការត្រាស់ដឹង, 2010.- 368 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-022771-1 ។

ការបង្កើត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការគូប និងសមីការនៃលំដាប់តាមអំពើចិត្ត។

មាតិកា

សូមមើលផងដែរ: ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

សមីការការ៉េ

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

ចូរកំណត់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានកាត់បន្ថយ
(1) .
បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណដែលយកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។ ផលិតផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖
;
.

កំណត់ចំណាំអំពីឫសច្រើន។

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការ (1) គឺសូន្យ នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។ ប៉ុន្តែ ដើម្បីជៀសវាងការបង្កើតទម្រង់ស្មុគស្មាញ វាជាទូទៅត្រូវបានទទួលយកថានៅក្នុងករណីនេះ សមីការ (1) មានឫសច្រើន ឬស្មើពីរ៖
.

ភស្តុតាងមួយ។

ចូរយើងស្វែងរកឫសនៃសមីការ (១)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ៖
;
;
.

ស្វែងរកផលបូកនៃឫស៖
.

ដើម្បីស្វែងរកផលិតផលយើងអនុវត្តរូបមន្ត៖
.
បន្ទាប់មក

.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាងពីរ

ប្រសិនបើលេខ និងជាឫសគល់នៃសមីការ quadratic (1) បន្ទាប់មក
.
យើងបើកតង្កៀប។

.
ដូច្នេះ សមីការ (១) នឹងមានទម្រង់៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (១) យើងរកឃើញ៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស

សូមឱ្យមានលេខតាមអំពើចិត្ត។ បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
,
កន្លែងណា
(2) ;
(3) .

ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនារបស់ Vieta

ពិចារណាសមីការការ៉េ
(1) .
យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើ និង , បន្ទាប់មក និងជាឫសគល់នៃសមីការ (1)។

ជំនួស (2) និង (3) ទៅ (1)៖
.
យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖
;
;
(4) .

ជំនួសក្នុង (4):
;
.

ជំនួសក្នុង (4):
;
.
សមីការត្រូវបានបំពេញ។ នោះគឺលេខគឺជាឫសនៃសមីការ (1) ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញ

ឥឡូវពិចារណាសមីការការ៉េពេញលេញ
(5) ,
កន្លែងណា និងជាលេខមួយចំនួន។ និង។

យើងបែងចែកសមីការ (5) ដោយ៖
.
នោះគឺយើងទទួលបានសមីការខាងលើ
,
កន្លែងណា; .

បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េពេញលេញមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

ចូរកំណត់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េពេញលេញ
.
បន្ទាប់មកផលបូកនិងផលនៃឫសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការគូប

ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫសនៃសមីការគូប។ ពិចារណាសមីការគូប
(6) ,
ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាលេខមួយចំនួន។ និង។
ចូរបែងចែកសមីការនេះដោយ៖
(7) ,
កន្លែងណា , , ។
សូមឱ្យ , , ជាឫសគល់នៃសមីការ (7) (និងសមីការ (6)) ។ បន្ទាប់មក

.

ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការ (៧) យើងរកឃើញ៖
;
;
.

ទ្រឹស្តីបទ Vieta សម្រាប់សមីការដឺក្រេទី 1

ដូចគ្នាដែរ អ្នកអាចរកឃើញទំនាក់ទំនងរវាងឫស , , ... , , សម្រាប់សមីការនៃដឺក្រេទី
.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការសញ្ញាបត្រទី n មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
;
;
;

.

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះ យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
បន្ទាប់មកយើងយកមេគុណនៅ , , , ... , ហើយប្រៀបធៀបពាក្យទំនេរ។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។
សង់ទីម៉ែត។ Nikolsky, M.K. Potapov et al ។ , ពិជគណិត: សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 នៃស្ថាប័នអប់រំ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ, ការអប់រំ, 2006 ។

សូមមើលផងដែរ:

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺកម្មវិធី រូបមន្ត VIETAដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាម FRANCOIS VIETE ។

គាត់ជាមេធាវីដ៏ល្បីល្បាញ ហើយបានបម្រើការនៅសតវត្សទី 16 ជាមួយស្តេចបារាំង។ ពេលទំនេរ គាត់បានសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។

គុណសម្បត្តិនៃរូបមន្ត៖

1 . ដោយការអនុវត្តរូបមន្ត អ្នកអាចរកឃើញដំណោះស្រាយបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ដោយសារតែអ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចូលមេគុណទីពីរទៅក្នុងការ៉េ បន្ទាប់មកដក 4ac ពីវា ស្វែងរកអ្នករើសអើង ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫស។

2 . ដោយគ្មានដំណោះស្រាយអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសយកតម្លៃនៃឫស។

3 . ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃកំណត់ត្រាពីរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសខ្លួនឯងទេ។ នៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ ផលិតផលនៃឫសនៅក្នុងសមីការ quadratic ខាងលើគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីបី។

4 . យោងតាមឫសដែលបានផ្តល់ឱ្យ សរសេរសមីការបួនជ្រុង នោះគឺ ដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីបទ។

5 . វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តនៅពេលដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។

គុណវិបត្តិ៖

1 . រូបមន្តមិនមែនជាសកលទេ។