ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃអំណាចនៃចំនួនកុំផ្លិច។ លេខស្មុគស្មាញ។ ទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។ សេចក្តីផ្តើមនៃគំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច
លេខស្មុគស្មាញ
ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ។ Abscissa និងតែងតាំង
ចំនួនកុំផ្លិច។ ផ្សំលេខកុំផ្លិច។
ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិច។ ធរណីមាត្រ
តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច។ យន្តហោះស្មុគស្មាញ។
ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ត្រីកោណមាត្រ
ទម្រង់លេខស្មុគស្មាញ។ ប្រតិបត្តិការជាមួយស្មុគស្មាញ
លេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្ត Moivre ។
ព័ត៌មានមូលដ្ឋានអំពី ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែក "ការស្រមើលស្រមៃនិងចំនួនកុំផ្លិច" ។ តម្រូវការសម្រាប់លេខទាំងនេះនៃប្រភេទថ្មីបានលេចឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េសម្រាប់ករណី
ឃ< 0 (здесь ឃគឺជាការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ) ។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយលេខទាំងនេះមិនបានរកឃើញការប្រើប្រាស់រូបវ័ន្តទេដែលនេះជាមូលហេតុដែលពួកគេត្រូវបានគេហៅថាលេខ "ស្រមើលស្រមៃ" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឥឡូវនេះពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃរូបវិទ្យា។និងបច្ចេកវិទ្យា៖ វិស្វកម្មអគ្គិសនី ធារាសាស្ត្រ និងលំហអាកាស ទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន។ល។
លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានសរសេរជា៖a+bi. នៅទីនេះ កនិង ខ – ចំនួនពិត , ក ខ្ញុំ – ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។អ៊ី ខ្ញុំ 2 = –1. ចំនួន កហៅ abscissa, ក ខ - ចាត់តាំងចំនួនកុំផ្លិចក + ខ។លេខស្មុគស្មាញពីរa+biនិង a-bi ហៅ រួមលេខស្មុគស្មាញ។
កិច្ចព្រមព្រៀងសំខាន់ៗ៖
1. ចំនួនពិត
កអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ផងដែរ។ចំនួនកុំផ្លិច៖ក + 0 ខ្ញុំឬ ក - 0 ខ្ញុំ. ឧទាហរណ៍ធាតុ 5 + 0ខ្ញុំនិង 5 - 0 ខ្ញុំមានន័យថាលេខដូចគ្នា។ 5 .2. លេខស្មុគស្មាញ 0 + ប៊ីហៅ ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ ចំនួន. ការថតប៊ីមានន័យដូចគ្នានឹង 0 + ប៊ី.
3. ចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi និងគ + ឌីត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នាប្រសិនបើa = គនិង b = ឃ. បើមិនដូច្នេះទេ។ ចំនួនកុំផ្លិចមិនស្មើគ្នា។
ការបន្ថែម។ ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌីត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច (a+c ) + (b+d ) ខ្ញុំដូច្នេះ នៅពេលបន្ថែម ចំនួនកុំផ្លិច, abscissas និង ordinates របស់វាត្រូវបានបន្ថែមដោយឡែកពីគ្នា។
និយមន័យនេះអនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយពហុនាមធម្មតា។
ដក។ ភាពខុសគ្នារវាងចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi(កាត់បន្ថយ) និង គ + ឌី(ដក) ហៅថា ចំនួនកុំផ្លិច (ក-គ ) + (ខ-ឃ ) ខ្ញុំ
ដូច្នេះ នៅពេលដកចំនួនកុំផ្លិចចំនួនពីរ abscissas និង ordinates របស់ពួកគេត្រូវបានដកដោយឡែកពីគ្នា។
គុណ។ ផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌី ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។
(ac-bd ) + (ad+bc ) ខ្ញុំនិយមន័យនេះកើតចេញពីតម្រូវការពីរ៖
1) លេខ a+biនិង គ + ឌីគួរតែគុណដូចពិជគណិតទ្វេនាម
2) លេខ ខ្ញុំមានទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង៖ខ្ញុំ 2 = – 1.
ឧទាហរណ៍ ( a + ប៊ី )(a-bi) = ក 2 + ខ 2 . អាស្រ័យហេតុនេះ ការងារ
ចំនួនកុំផ្លិចផ្សំពីរគឺស្មើនឹងពិត
លេខវិជ្ជមាន។
ការបែងចែក។ ចែកចំនួនកុំផ្លិចa+bi (បែងចែក) ទៅមួយទៀតគ + ឌី(ចែក) - មានន័យថាស្វែងរកលេខទីបីអ៊ី + ហ្វី(ជជែក) ដែលនៅពេលគុណនឹងចែកគ + ឌីដែលជាលទ្ធផលនៅក្នុងភាគលាភក + ខ។
ប្រសិនបើការបែងចែកមិនមែនសូន្យទេ ការបែងចែកគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរក (8+ខ្ញុំ ) : (2 – 3 ខ្ញុំ) .
ដំណោះស្រាយ។ ចូរសរសេរសមាមាត្រនេះឡើងវិញជាប្រភាគ៖
គុណភាគយក និងភាគបែងរបស់វាដោយ 2 + 3ខ្ញុំ
និង បន្ទាប់ពីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ យើងទទួលបាន៖
តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ លេខពិតត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខ៖
នេះគឺជាចំណុច កមានន័យថាលេខ -៣ ចំណុចខគឺជាលេខ 2 និង អូ- សូន្យ។ ផ្ទុយទៅវិញ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងជ្រើសរើសកូអរដោនេចតុកោណកែង (Cartesian) ដែលមានមាត្រដ្ឋានដូចគ្នានៅលើអ័ក្សទាំងពីរ។ បន្ទាប់មកចំនួនកុំផ្លិចa+bi នឹងត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច P ជាមួយ abscissa ក និងចាត់ចែង ខ (សូមមើលរូបភព។ ) ប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ .
ម៉ូឌុល ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងវ៉ិចទ័រOPដោយពណ៌នាអំពីចំនួនកុំផ្លិចនៅលើកូអរដោណេ ( រួមបញ្ចូលគ្នា) យន្តហោះ។ ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិចa+biតំណាងដោយ | a+bi| ឬលិខិត r
ពិចារណាសមីការការ៉េ។
ចូរកំណត់ឫសរបស់វា។
មិនមានចំនួនពិតដែលការ៉េគឺ -1 ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើរូបមន្តកំណត់ប្រតិបត្តិករ ខ្ញុំជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ នោះដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ 
. ឯណា 
និង 
- ចំនួនកុំផ្លិចដែលក្នុងនោះ -1 គឺជាផ្នែកពិត 2 ឬក្នុងករណីទីពីរ -2 គឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។ ផ្នែកស្រមើលស្រមៃក៏ជាចំនួនពិត (ពិត) ផងដែរ។ ផ្នែកស្រមើលស្រមៃគុណនឹងឯកតាស្រមើលស្រមៃមានន័យថារួចហើយ លេខស្រមើលស្រមៃ.
ជាទូទៅ ចំនួនកុំផ្លិចមានទម្រង់
z = x + អាយ ,
កន្លែងណា x, yគឺជាចំនួនពិត គឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអនុវត្តមួយចំនួន ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងវិស្វកម្មអគ្គិសនី អេឡិចត្រូនិក ទ្រឹស្ដីសញ្ញា ឯកតាស្រមើលស្រមៃត្រូវបានតំណាងដោយ j. លេខពិត x = Re(z)និង y=អ៊ឹម(z)ហៅ ផ្នែកពិតនិងស្រមើលស្រមៃលេខ z.កន្សោមត្រូវបានគេហៅថា ទម្រង់ពិជគណិតសញ្ញាណនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ចំនួនពិតណាមួយគឺជាករណីពិសេសនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ 
. លេខស្រមើស្រមៃក៏ជាករណីពិសេសនៃចំនួនកុំផ្លិចដែរ។ 
.
និយមន័យនៃសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច C
កន្សោមនេះអានដូចខាងក្រោមៈ set ជាមួយដែលមានធាតុដូចនោះ។ xនិង yជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនៃចំនួនពិត រនិងជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ ចំណាំថាជាដើម។
លេខស្មុគស្មាញពីរ 
និង 
គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ និង។
លេខ និងមុខងារស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា ជាពិសេសនៅក្នុងមេកានិច ការវិភាគ និងការគណនាសៀគ្វី AC អាណាឡូកអេឡិចត្រូនិច ទ្រឹស្ដីសញ្ញា និងដំណើរការ ទ្រឹស្ដីគ្រប់គ្រងដោយស្វ័យប្រវត្តិ និងវិទ្យាសាស្ត្រអនុវត្តផ្សេងៗទៀត។
- នព្វន្ធនៃចំនួនកុំផ្លិច
ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចពីរមាននៅក្នុងការបន្ថែមផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេ ពោលគឺឧ។
ដូច្នោះហើយភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច
លេខស្មុគស្មាញ 
ហៅ ស្មុគស្មាញ រួមចំនួន z=x +i.y.
លេខផ្សំស្មុគ្រស្មាញ z និង z * ខុសគ្នានៅក្នុងសញ្ញានៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។ វាច្បាស់ណាស់។
.
សមភាពណាមួយរវាងកន្សោមស្មុគស្មាញនៅតែមានសុពលភាព ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាពនេះនៅគ្រប់ទីកន្លែង ខ្ញុំជំនួសដោយ -
ខ្ញុំ, i.e. ទៅសមភាពនៃលេខរួម។ លេខ ខ្ញុំនិង –
ខ្ញុំពិជគណិតមិនអាចបែងចែកបានដោយសារតែ 
.
ផលិតផល (គុណ) នៃចំនួនកុំផ្លិចពីរអាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោមៈ
ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចពីរ៖
ឧទាហរណ៍:
- យន្តហោះស្មុគស្មាញ
ចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានតំណាងជាក្រាហ្វិកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ ចូរយើងកំណត់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណក្នុងយន្តហោះ (x, y) ។
នៅលើអ័ក្ស គោយើងនឹងរៀបចំផ្នែកពិត x, វាហៅថា អ័ក្សពិត (ពិតប្រាកដ), នៅលើអ័ក្ស អូ- ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ yលេខស្មុគស្មាញ។ នាងមានឈ្មោះ អ័ក្សស្រមៃ. លើសពីនេះទៅទៀត ចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចជាក់លាក់នៃយន្តហោះ ហើយយន្តហោះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ. ចំណុច កប្លង់ស្មុគស្មាញនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងវ៉ិចទ័រ អូអេ.
ចំនួន xហៅ abscissaចំនួនកុំផ្លិច, លេខ y – ចាត់តាំង.
លេខគូស្មុគ្រស្មាញមួយគូត្រូវបានបង្ហាញជាចំនុចដែលមានទីតាំងស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សពិត។
 |
ប្រសិនបើនៅលើយន្តហោះបានកំណត់ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។បន្ទាប់មករាល់ចំនួនកុំផ្លិច zកំណត់ដោយកូអរដោណេប៉ូល។ ឯណា ម៉ូឌុលលេខ 
គឺជាកាំប៉ូលនៃចំនុច និងមុំ 
- មុំប៉ូលរបស់វា ឬអាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិច z.
ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច 
តែងតែមិនអវិជ្ជមាន។ អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រូវបានកំណត់ជាក់លាក់ទេ។ តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ 
. ចំណុចនីមួយៗនៃប្លង់ស្មុគស្មាញក៏ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃសរុបនៃអាគុយម៉ង់។ អាគុយម៉ង់ដែលខុសគ្នាដោយពហុគុណនៃ 2π ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នា។ អាគុយម៉ង់លេខសូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម៖
វាច្បាស់ណាស់។
ឯណា
, 
.
តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច zជា
ហៅ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រចំនួនកុំផ្លិច។
ឧទាហរណ៍.
- ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច
ការរលួយនៅក្នុង ស៊េរី Maclaurinសម្រាប់មុខងារអាគុយម៉ង់ពិតប្រាកដ 
មើលទៅដូចជា:
សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ zការបំបែកគឺស្រដៀងគ្នា
.
ការពង្រីកស៊េរី Maclaurin សម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្រមើលស្រមៃអាចត្រូវបានតំណាងថាជា
អត្តសញ្ញាណលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តអយល័រ.
សម្រាប់អាគុយម៉ង់អវិជ្ជមានវាមើលទៅដូចជា
ដោយការរួមបញ្ចូលកន្សោមទាំងនេះ យើងអាចកំណត់កន្សោមខាងក្រោមសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស
.
ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រពីទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច
មាន ការបង្ហាញ(អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ប៉ូល) ទម្រង់នៃចំនួនកុំផ្លិច i.e. តំណាងរបស់វានៅក្នុងទម្រង់
,
កន្លែងណា 
- កូអរដោណេរាងប៉ូលនៃចំណុចមួយដែលមានកូអរដោនេចតុកោណ ( x,y).
បន្សំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដូចខាងក្រោម។
សម្រាប់ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់រូបមន្តខាងក្រោមសម្រាប់គុណ និងចែកចំនួនកុំផ្លិច
នោះគឺក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ផលិតផល និងការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចគឺងាយស្រួលជាងក្នុងទម្រង់ពិជគណិត។ នៅពេលគុណ ម៉ូឌុលនៃកត្តាត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម។ ច្បាប់នេះអនុវត្តចំពោះកត្តាមួយចំនួន។ ជាពិសេសនៅពេលគុណចំនួនកុំផ្លិច zនៅលើ ខ្ញុំវ៉ិចទ័រ zបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកាដោយ 90
នៅក្នុងការបែងចែក ម៉ូឌុលភាគយកត្រូវបានបែងចែកដោយម៉ូឌុលភាគបែង ហើយអាគុយម៉ង់ភាគបែងត្រូវបានដកចេញពីអាគុយម៉ង់ភាគយក។
ដោយប្រើទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានកន្សោមសម្រាប់អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រល្បី។ ឧទាហរណ៍ពីអត្តសញ្ញាណ
ដោយប្រើរូបមន្តអយល័រយើងអាចសរសេរបាន។
ដោយស្មើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៅក្នុងកន្សោមនេះ យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់កូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃផលបូកនៃមុំ
- អំណាច ឫស និងលោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិច
ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលធម្មជាតិ នផលិតតាមរូបមន្ត
ឧទាហរណ៍. គណនា 
.
ស្រមៃមើលលេខមួយ។ ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ
’
ការអនុវត្តរូបមន្តនិទស្សន្ត យើងទទួលបាន
ការដាក់តម្លៃនៅក្នុងកន្សោម r= 1, យើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា រូបមន្តរបស់ De Moivreដែលអ្នកអាចកំណត់កន្សោមសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃមុំច្រើន។
ឫស ន th power នៃចំនួនកុំផ្លិច zវាមាន នតម្លៃផ្សេងគ្នាកំណត់ដោយកន្សោម
ឧទាហរណ៍. ចូរយើងស្វែងរក។
ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្ហាញចំនួនកុំផ្លិច () ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ
.
យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫសនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងទទួលបាន
លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិច zគឺជាលេខ វសម្រាប់ការដែល . លោការីតធម្មជាតិនៃចំនួនកុំផ្លិចមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃនិងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
មានផ្នែកពិត (កូស៊ីនុស) និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ (ស៊ីនុស) ។ ភាពតានតឹងបែបនេះអាចត្រូវបានតំណាងជាវ៉ិចទ័រនៃប្រវែង អ៊ុំ, ដំណាក់កាលដំបូង (មុំ), បង្វិលជាមួយល្បឿនមុំ ω .
លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើមុខងារស្មុគស្មាញត្រូវបានបន្ថែម នោះផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់វាត្រូវបានបន្ថែម។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានគុណដោយថេរ ឬអនុគមន៍ពិត នោះផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់វាត្រូវបានគុណដោយកត្តាដូចគ្នា។ ភាពខុសគ្នា/ការរួមបញ្ចូលនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាពខុសគ្នា/ការរួមបញ្ចូលនៃផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃ។
ឧទាហរណ៍ ភាពខុសគ្នានៃកន្សោមស្ត្រេសស្មុគ្រស្មាញ
គឺគុណវាដោយ iω គឺជាផ្នែកពិតនៃអនុគមន៍ f(z) និង 
គឺជាផ្នែកស្រមៃនៃមុខងារ។ ឧទាហរណ៍: 
.
អត្ថន័យ zត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចមួយនៅក្នុងប្លង់ z និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ វ- ចំណុចមួយនៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញ វ. នៅពេលបង្ហាញ w = f(z)បន្ទាត់យន្តហោះ zចូលទៅក្នុងបន្ទាត់នៃយន្តហោះ វ, តួរលេខនៃយន្តហោះមួយទៅជាតួរលេខមួយទៀត ប៉ុន្តែរូបរាងនៃបន្ទាត់ ឬតួរលេខអាចផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង។
ទម្រង់ពិជគណិតនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច ................................................ ... ................... |
|||
ប្លង់នៃចំនួនកុំផ្លិច ................................................... …………………………………………………… ................... ... |
|||
លេខផ្សំមិនស្មុគស្មាញ ................................................ ……………………………………………………. ............... |
|||
ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត................................................ ………………. |
|||
ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច ................................................. …………………………………………………… ................... |
|||
ការដកចំនួនកុំផ្លិច ................................................. ……………………………………………. .......... |
|||
គុណនៃចំនួនកុំផ្លិច ................................................ ……………………………………………. ......... |
|||
ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិច ................................................... ……………………………………………………. .............. ... |
|||
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច……………………………………… …………………………. |
|||
ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ................................................ ............ |
|||
គុណនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ................................................ ......................... |
|||
ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ................................................ ................... ... |
|||
ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលចំនួនគត់វិជ្ជមាន |
|||
ការស្រង់ឫសនៃថាមពលចំនួនគត់វិជ្ជមានពីចំនួនកុំផ្លិច |
|||
ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាអំណាចសនិទាន .......................................... …………………. |
|||
ស៊េរីស្មុគស្មាញ ................................................ .................................................................. ..................................... |
|||
ស៊េរីចំនួនកុំផ្លិច ................................................... ……………………………………………………. ............... |
|||
ស៊េរីថាមពលនៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញ ................................................ ..................... ................................... |
|||
ស៊េរីថាមពលពីរចំហៀងនៅក្នុងយន្តហោះស្មុគស្មាញ ...................................... …………………. |
|||
មុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ ................................................. ……………………………………………………. ................... |
|||
មុខងារបឋម ………………………………………. ……………………………………………………. .......... |
|||
រូបមន្តអយល័រ ................................................ .................................................. ..................... |
|||
ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច …………………………………. ...... |
|||
ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងអ៊ីពែរបូល …………………………………. |
|||
អនុគមន៍លោការីត ................................................ .................................................................. .................... |
|||
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងថាមពលទូទៅ ………………………………………. ………………………………………. |
|||
ភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ................................................ .................... ... |
|||
លក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ........................................... ......................................................... …………………… |
|||
រូបមន្តសម្រាប់គណនាដេរីវេ ................................................. ........................................................... |
|||
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នា …………………………………. .............. ................................... |
|||
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារវិភាគ …………………………………. ....... |
|||
ការងើបឡើងវិញនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញមួយពីការពិត ឬស្រមើលស្រមៃរបស់វា។ |
|||
វិធីសាស្រ្តលេខ 1 ។ ការប្រើប្រាស់អាំងតេក្រាល Curvilinear ................................................... …………. |
|||
វិធីសាស្រ្តលេខ 2 ។ ការអនុវត្តផ្ទាល់នៃលក្ខខណ្ឌ Cauchy-Riemann ................................................ |
|||
វិធីសាស្រ្តលេខ 3 ។ តាមរយៈដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលចង់បាន........................................... ............................ |
|||
ការរួមបញ្ចូលមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ ................................................ .................................... |
|||
រូបមន្តអាំងតេក្រាលនៃ Cauchy ........................................... ……………………………………….. .. |
|||
ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Taylor និង Laurent .......................................... .................................... |
|||
លេខសូន្យ និងចំនុចឯកវចនៈនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញ ...................................... ....... ..... |
|||
សូន្យនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគស្មាញ .......................................... ………………………………………. |
|||
ចំនុចឯកវចនៈឯកវចនៈនៃអនុគមន៍នៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ …………………………………. ...... |
|||
14.3 ចង្អុលទៅភាពគ្មានកំណត់ ជាចំណុចឯកវចនៈនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។
ការដកប្រាក់ ................................................. ……………………………………….. ................................................... |
|||
ការកាត់នៅចំនុចចុង ................................................. ........................................................... …………………. |
|||
សំណល់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយក្នុងភាពគ្មានកំណត់ ................................................ ...................................................... |
|||
ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើសំណល់ ................................................. ………………………………………………. |
|||
សំណួរសម្រាប់ការពិនិត្យខ្លួនឯង ................................................. .................................................................. ......................... |
|||
អក្សរសិល្ប៍ ................................................. ……………………………………….. ................................ |
|||
លិបិក្រមប្រធានបទ ................................................ ……………………………………….. ............. |
|||
បុព្វបទ
វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការបែងចែកពេលវេលា និងការខិតខំប្រឹងប្រែងឱ្យបានត្រឹមត្រូវក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ផ្នែកទ្រឹស្តី និងការអនុវត្តនៃការប្រឡង ឬវិញ្ញាបនប័ត្រម៉ូឌុល ជាពិសេសចាប់តាំងពីវាតែងតែមិនមានពេលគ្រប់គ្រាន់ក្នុងអំឡុងពេលវគ្គ។ ហើយដូចដែលការអនុវត្តបង្ហាញ មិនមែនគ្រប់គ្នាអាចស៊ូទ្រាំនឹងបញ្ហានេះបានទេ។ ជាលទ្ធផល ក្នុងអំឡុងពេលប្រឡង សិស្សខ្លះដោះស្រាយបញ្ហាបានត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែពិបាកឆ្លើយសំណួរទ្រឹស្តីសាមញ្ញបំផុត ខណៈខ្លះទៀតអាចបង្កើតទ្រឹស្តីបទបាន ប៉ុន្តែមិនអាចអនុវត្តវាបាន។
អនុសាសន៍វិធីសាស្រ្តបច្ចុប្បន្នសម្រាប់ការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងនៅក្នុងវគ្គសិក្សាទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ (TFV) គឺជាការប៉ុនប៉ងដើម្បីដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នានេះហើយធានាឱ្យមានការធ្វើឡើងវិញក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃសម្ភារៈទ្រឹស្តី និងជាក់ស្តែងនៃវគ្គសិក្សា។ ដឹកនាំដោយគោលការណ៍ "ទ្រឹស្តីដោយគ្មានការអនុវត្តគឺស្លាប់ ការអនុវត្តដោយគ្មានទ្រឹស្ដីគឺខ្វាក់" ពួកគេមានទាំងទីតាំងទ្រឹស្តីនៃវគ្គសិក្សានៅកម្រិតនៃនិយមន័យ និងទម្រង់បែបបទ និងឧទាហរណ៍ដែលបង្ហាញពីការអនុវត្តនៃមុខតំណែងទ្រឹស្តីនីមួយៗ ហើយដូច្នេះវាធ្វើឱ្យវា ងាយស្រួលចងចាំ និងយល់។
គោលបំណងនៃអនុសាសន៍វិធីសាស្រ្តដែលបានស្នើឡើងគឺដើម្បីជួយសិស្សរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងនៅកម្រិតមូលដ្ឋាន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត មគ្គុទ្ទេសក៍ការងារបន្ថែមត្រូវបានចងក្រងដែលមានចំណុចសំខាន់ៗដែលប្រើក្នុងថ្នាក់រៀន TFKT និងចាំបាច់នៅពេលធ្វើកិច្ចការផ្ទះ និងរៀបចំសម្រាប់សកម្មភាពត្រួតពិនិត្យ។ បន្ថែមពីលើការងារឯករាជ្យរបស់សិស្ស ការបោះពុម្ភផ្សាយអប់រំតាមប្រព័ន្ធអេឡិចត្រូនិចនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលធ្វើថ្នាក់រៀនក្នុងទម្រង់អន្តរកម្មដោយប្រើក្តារអេឡិចត្រូនិច ឬសម្រាប់ដាក់ក្នុងប្រព័ន្ធសិក្សាពីចម្ងាយ។
សូមចំណាំថា ការងារនេះមិនជំនួសសៀវភៅសិក្សា ឬកំណត់ចំណាំបង្រៀនទេ។ សម្រាប់ការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃសម្ភារៈ វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ឱ្យយោងទៅផ្នែកពាក់ព័ន្ធនៃការបោះពុម្ភផ្សាយនៅសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋម៉ូស្គូ។ N.E. សៀវភៅសិក្សាមូលដ្ឋាន Bauman ។
នៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅណែនាំមានបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានណែនាំ និងលិបិក្រមប្រធានបទ ដែលរួមបញ្ចូលទាំងអស់ដែលបានបន្លិចនៅក្នុងអត្ថបទ។ ទ្រេតដិតលក្ខខណ្ឌ។ លិបិក្រមមានតំណខ្ពស់ទៅកាន់ផ្នែកដែលពាក្យទាំងនេះត្រូវបានកំណត់ ឬពិពណ៌នាយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងកន្លែងដែលឧទាហរណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដើម្បីបង្ហាញពីការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេ។
សៀវភៅណែនាំគឺសម្រាប់និស្សិតឆ្នាំទី 2 នៃមហាវិទ្យាល័យទាំងអស់នៃ MSTU ។ N.E. បាម៉ាន់។
1. ទម្រង់ពិជគណិតនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច
ការកត់ត្រាទម្រង់ z \u003d x + iy ដែល x, y ជាចំនួនពិត ខ្ញុំជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ (ឧ. i 2 = − 1)
ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z ។ ក្នុងករណីនេះ x ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយត្រូវបានតំណាងថា Re z (x \u003d Re z) y ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយតំណាងថា Im z (y \u003d Im z) ។
ឧទាហរណ៍។ ផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z = 4 − 3i គឺ Re z = 4 ហើយផ្នែកស្រមើលស្រមៃគឺ Im z = − 3 ។
2. ប្លង់នៃចំនួនកុំផ្លិច
IN ទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញពិចារណាយន្តហោះចំនួនកុំផ្លិចដែលត្រូវបានតំណាងទាំងឬអក្សរដែលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិច z, w ។ល។
អ័ក្សផ្តេកនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សពិត, ចំនួនពិត z = x + 0 i = x មានទីតាំងនៅលើវា។
អ័ក្សបញ្ឈរនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សស្រមើលស្រមៃវាមាន
3. លេខផ្សំស្មុគស្មាញ
លេខ z = x + iy និង z = x − iy ត្រូវបានហៅ conjugate ស្មុគស្មាញ. នៅលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញពួកគេត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចដែលស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សពិត។
4. ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត
4.1 ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច
ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរ |
z 1 = x 1 + iy 1 |
និង z 2 = x 2 + iy 2 ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច |
|||||||||||
z1 + z2 |
= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 ) ។ |
ប្រតិបត្តិការ |
ការបន្ថែម |
||||||||||
ចំនួនកុំផ្លិចគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមលេខពិជគណិត។ |
|||||||||||||
ឧទាហរណ៍។ ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = 3 + 7i និង z 2 |
= −1 +2 i |
នឹងជាចំនួនកុំផ្លិច |
|||||||||||
z 1 + z 2 = (3 +7 i) +(−1 +2 i) = (3 −1) +(7 +2) i = 2 +9 i . |
|||||||||||||
ជាក់ស្តែង |
ផលបូកនៅក្នុងស្មុគស្មាញមួយ។ |
ភ្ជាប់គ្នា។ |
គឺ |
ត្រឹមត្រូវ។ |
|||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Rez ។ |
|||||||||||||
4.2 ការដកចំនួនកុំផ្លិច |
|||||||||||||
ភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = x 1 + iy 1 |
X 2 + iy 2 |
ហៅ |
ទូលំទូលាយ |
||||||||||
លេខ z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − ( x 2 + iy 2 ) = ( x 1 − x 2 ) + i ( y 1 − y 2 ) ។ |
|||||||||||||
ឧទាហរណ៍។ ភាពខុសគ្នារវាងចំនួនកុំផ្លិចពីរ |
z 1 = 3 −4 i |
និង z2 |
= −1 +2 i |
វានឹងមានភាពទូលំទូលាយ |
|||||||||
លេខ z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1 + 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i ។ |
|||||||||||||
ភាពខុសគ្នា |
conjugate ស្មុគស្មាញ |
គឺ |
|||||||||||
z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z ។ |
|||||||||||||
4.3 គុណនៃចំនួនកុំផ្លិច |
|||||||||||||
ផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរ |
z 1 = x 1 + iy 1 |
និង z 2 = x 2 + iy 2 |
ត្រូវបានគេហៅថាស្មុគស្មាញ |
||||||||||
z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2 |
= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i ( y 1x 2 + y 2 x ) ។ |
||||||||||||
ដូច្នេះ ប្រតិបត្តិការនៃគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណនៃលេខពិជគណិតដោយគិតគូរពីការពិតដែលថា i 2 = − 1 ។
និយមន័យ
ទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺត្រូវសរសេរចំនួនកុំផ្លិច \(\z \) ជា \(\ z=x+i y \) ដែល \(\ x \) និង \(\ y \) ជាចំនួនពិត \ (\ i \ ) គឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃដែលបំពេញទំនាក់ទំនង \(\i^(2)=-1 \)
លេខ \(\ x \) ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\ z \\) ហើយត្រូវបានតាង \(\ x=\operatorname(Re) z \)
លេខ \(\ y \) ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\ z \\) ហើយត្រូវបានតាង \(\ y = \\ ឈ្មោះប្រតិបត្តិករ (Im) z \)
ឧទាហរណ៍:
ចំនួនកុំផ្លិច \(\ z=3-2 i \) និងលេខដែលជាប់ទាក់ទងរបស់វា \(\ \overline(z)=3+2 i \) ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ពិជគណិត។
តម្លៃស្រមើលស្រមៃ \(\z=5 i\) ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ពិជគណិត។
លើសពីនេះទៀត អាស្រ័យលើបញ្ហាដែលកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ អ្នកអាចបំប្លែងចំនួនកុំផ្លិចទៅជាត្រីកោណមាត្រ ឬលេខអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
សរសេរលេខ \(\z=\frac(7-i)(4)+13 \) ជាទម្រង់ពិជគណិត ស្វែងរកផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់វា ព្រមទាំងលេខរួម។
ការអនុវត្តការបែងចែកប្រភាគ និងក្បួននៃការបូកប្រភាគ យើងទទួលបាន៖
\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1) (4) ខ្ញុំ \\)
ដូច្នេះផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4)i\) គឺជាលេខ \(\x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \\) ផ្នែកស្រមើលស្រមៃគឺជាលេខមួយ \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)
លេខរួម៖ \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i\), \(\operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4)\), \(\overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
សកម្មភាពនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងការប្រៀបធៀបទម្រង់ពិជគណិត
ចំនួនកុំផ្លិចពីរ \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ \(\x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) i.e. ផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។
កំណត់ចំនួនកុំផ្លិច x និង y មួយណា \(\ z_(1)=13+y i \) និង \(\ z_(2)=x+5 i \) ស្មើ។
តាមនិយមន័យ ចំនួនកុំផ្លិចពីរគឺស្មើគ្នា ប្រសិនបើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់ពួកគេស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ \\ (\ x = ១៣ \\), \ (\ y = ៥ \\) ។
បន្ថែម
ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ធ្វើឡើងដោយការបូកសរុបដោយផ្ទាល់នៃផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃ៖
\(\z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\left(y_(1)+y_(2)\right)\)
រកផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=-7+5 i\), \(\z_(2)=13-4 i \)
ផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=-7+5 i \) គឺជាលេខ \(\x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) ការស្រមើលស្រមៃ ផ្នែកគឺជាលេខ \(\ y_(1)=\mathrm(Im)\), \(\z_(1)=5 \) ។ ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(2)=13-4 i \) គឺ \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) និង \(\ y_ (2)=\operatorname(Im) z_(2)=-4\) ។
ដូច្នេះផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺ៖
\(\z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)
\(\z_(1)+z_(2)=6+i \\)
សូមអានបន្ថែមអំពីការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ៖ ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច។
ដក
ការដកលេខកុំផ្លិច \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) និង \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) ធ្វើឡើងដោយផ្ទាល់ ការដកផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ៖
\(\z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)
រកភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=17-35 i\), \(\z_(2)=15+5 i \)
ស្វែងរកផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=17-35 i\), \(\z_(2)=15+5 i \):
\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \\)
\(\ y_(1)=\operatorname(Im)z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)
ដូច្នេះភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិចគឺ៖
\(\z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \\)
\(\z_(1)-z_(2)=2-40 i \) គុណ
គុណនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) និង \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) ត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់ បង្កើតលេខក្នុងទម្រង់ពិជគណិតដោយគិតគូរពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃ \(\i^(2)=-1 \) :
\(\z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)=\)
\(\=\left(x_(1)\cdot x_(2)-y_(1)\cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1)\cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\right) \)
ស្វែងរកផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=1-5 i \)
ភាពស្មុគស្មាញនៃចំនួនកុំផ្លិច៖
\(\z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)\cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \\)
\(\z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) បំបែក
កត្តាចំនួនកុំផ្លិច \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) និង \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) ត្រូវបានកំណត់ដោយគុណ ភាគបែង និងភាគបែងទៅលេខផ្សំជាមួយភាគបែង៖
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \\ frac(x_(2) \\cdot y_(1)-x_(1) \\cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(២)) \\)
ដើម្បីបែងចែកលេខ ១ ដោយចំនួនកុំផ្លិច \(\ z=1+2 i \) ។
ដោយសារផ្នែកស្រមៃនៃលេខពិត 1 គឺសូន្យ កត្តាគឺ៖
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1\cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1\cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)
\(\ \frac(1)(1+2i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
ផែនការមេរៀន។
1. ពេលវេលារៀបចំ។
2. ការបង្ហាញសម្ភារៈ។
3. កិច្ចការផ្ទះ។
4. សង្ខេបមេរៀន។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់
I. ពេលរៀបចំ.
II. ការបង្ហាញសម្ភារៈ.
ការលើកទឹកចិត្ត។
ការពង្រីកសំណុំនៃចំនួនពិតមាននៅក្នុងការពិតដែលថាចំនួនថ្មី (ការស្រមើលស្រមៃ) ត្រូវបានបន្ថែមទៅចំនួនពិត។ សេចក្តីណែនាំនៃលេខទាំងនេះត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងភាពមិនអាចទៅរួចនៃការដកឫសចេញពីលេខអវិជ្ជមាននៅក្នុងសំណុំនៃចំនួនពិត។
សេចក្តីផ្តើមនៃគំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។
លេខស្រមើស្រមៃដែលយើងបន្ថែមចំនួនពិតត្រូវបានសរសេរជា ប៊ី, កន្លែងណា ខ្ញុំគឺជាឯកតាស្រមើស្រមៃ និង i 2 = − 1.
ដោយផ្អែកលើនេះ យើងទទួលបាននិយមន័យខាងក្រោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។
និយមន័យ. ចំនួនកុំផ្លិចគឺជាកន្សោមនៃទម្រង់ a+bi, កន្លែងណា កនិង ខគឺជាលេខពិត។ ក្នុងករណីនេះលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ:
ក) ចំនួនកុំផ្លិចពីរ a 1 + b 1 iនិង a 2 + b 2 iស្មើគ្នាប្រសិនបើ និងប្រសិនបើ a 1 = a 2, b1=b2.
ខ) ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់៖
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
គ) គុណនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់៖
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
ទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ការសរសេរចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ a+biត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ដែលជាកន្លែងដែល ក- ផ្នែកពិត ប៊ីគឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃ និង ខគឺជាចំនួនពិត។
លេខស្មុគស្មាញ a+biត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងសូន្យ ប្រសិនបើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ៖ a=b=0
លេខស្មុគស្មាញ a+biនៅ b = 0ចាត់ទុកថាជាចំនួនពិត ក: a + 0i = ក.
លេខស្មុគស្មាញ a+biនៅ a = 0ហៅថាការស្រមើស្រមៃសុទ្ធសាធ និងត្រូវបានតំណាង ប៊ី: 0 + ប៊ី = ប៊ី.
លេខស្មុគស្មាញពីរ z = a + ប៊ីនិង = a – ប៊ីដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញានៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃ ត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។
សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត។
ប្រតិបត្តិការខាងក្រោមអាចត្រូវបានអនុវត្តលើចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត។
1) ការបន្ថែម។
និយមន័យ. ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = a 1 + b 1 iនិង z 2 = a 2 + b 2 iហៅថាចំនួនកុំផ្លិច zផ្នែកពិតដែលស្មើនឹងផលបូកនៃផ្នែកពិត z1និង z2ហើយផ្នែកស្រមើលស្រមៃគឺជាផលបូកនៃផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃលេខ z1និង z2នោះគឺ z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
លេខ z1និង z2ត្រូវបានគេហៅថាលក្ខខណ្ឌ។
ការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
1º ទំនាក់ទំនង៖ z1 + z2 = z2 + z1.
2º សមាគម៖ (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3) ។
3º លេខស្មុគស្មាញ -a -biត្រូវបានគេហៅថាផ្ទុយពីចំនួនកុំផ្លិច z = a + ប៊ី. ចំនួនកុំផ្លិចទល់នឹងចំនួនកុំផ្លិច z, តំណាង -z. ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិច zនិង -zស្មើសូន្យ៖ z + (-z) = 0
ឧទាហរណ៍ 1: បន្ថែម (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 − i) + (−1 + 2i) = (3 + (−1)) + (−1 + 2) i = 2 + 1i.
2) ដក។
និយមន័យ។ដកពីចំនួនកុំផ្លិច z1ចំនួនកុំផ្លិច z2 z,អ្វី z + z 2 = z 1.
ទ្រឹស្តីបទ. ភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិចមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀតគឺមានតែមួយគត់។
ឧទាហរណ៍ទី 2: ដក (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 − 2i) - (−3 + 2i) = (4 − (−3)) + (−2 − 2) i = 7 − 4i.
3) គុណ។
និយមន័យ. ផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = a 1 +b 1 iនិង z 2 \u003d a 2 + b 2 iហៅថាចំនួនកុំផ្លិច zកំណត់ដោយសមភាព៖ z = (a 1 a 2 − b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
លេខ z1និង z2ត្រូវបានគេហៅថាកត្តា។
គុណនៃចំនួនកុំផ្លិច មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
1º ទំនាក់ទំនង៖ z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º សមាគម៖ (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º ការចែកចាយគុណនឹងការបូក៖
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º។ z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2គឺជាចំនួនពិត។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ការគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានអនុវត្តដោយអនុលោមតាមក្បួនគុណនៃផលបូកដោយផលបូក និងបំបែកផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម ពិចារណាការគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចតាមពីរវិធី៖ ដោយក្បួន និងដោយគុណផលបូក។
ឧទាហរណ៍ទី ៣៖ គុណ (2 + 3i) (5 - 7i).
1 វិធី។ (2 + 3i) (5 − 7i) = (2 × 5 − 3 × (− 7)) + (2 × (− 7) + 3 × 5)i = = (10 + 21) + (− 14 + 15) ) i = 31 + i.
2 វិធី។ ប..
4) ផ្នែក។
និយមន័យ. ចែកចំនួនកុំផ្លិច z1ទៅចំនួនកុំផ្លិច z2មានន័យថា ស្វែងរកចំនួនកុំផ្លិច z, អ្វី z z 2 = z 1.
ទ្រឹស្តីបទ។ផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិចមាន ហើយមានតែមួយគត់ប្រសិនបើ z2 ≠ 0 + 0i.
នៅក្នុងការអនុវត្ត កូតានៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានរកឃើញដោយការគុណភាគយក និងភាគបែងដោយបន្សំនៃភាគបែង។
អនុញ្ញាតឱ្យ z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, បន្ទាប់មក
.
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងធ្វើការបែងចែកដោយរូបមន្ត និងក្បួនគុណដោយ conjugate នៃភាគបែង។
ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរក quotient 
.
5) ការកើនឡើងទៅជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។
ក) អំណាចនៃការរួបរួមការស្រមើលស្រមៃ។
ទាញយកប្រយោជន៍ពីសមភាព ខ្ញុំ 2 \u003d -1វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាមពលចំនួនគត់វិជ្ជមាននៃឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ យើងមាន:
ខ្ញុំ 3 \u003d ខ្ញុំ 2 ខ្ញុំ \u003d -i,
i 4 \u003d i 2 i 2 \u003d 1,
ខ្ញុំ 5 \u003d ខ្ញុំ 4 ខ្ញុំ \u003d ខ្ញុំ,
i 6 \u003d i 4 i 2 \u003d -1,
i 7 \u003d i 5 i 2 \u003d -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1ល។
នេះបង្ហាញថាតម្លៃសញ្ញាបត្រ ខ្ញុំ n, កន្លែងណា ន- ចំនួនគត់វិជ្ជមាន ធ្វើម្តងទៀតជាទៀងទាត់នៅពេលដែលសូចនាករកើនឡើង 4 .
ដូច្នេះដើម្បីបង្កើនចំនួន ខ្ញុំទៅជាថាមពលចំនួនគត់វិជ្ជមាន ចែកនិទស្សន្តដោយ 4 និងងើបឡើងវិញ ខ្ញុំចំពោះអំណាចដែលនិទស្សន្តគឺជាផ្នែកដែលនៅសល់។
ឧទាហរណ៍ទី ៥ គណនា៖ (i 36 + i 17) និង 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i ។
i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = − i ។
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i ។
ខ) ការបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលចំនួនគត់វិជ្ជមានត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃការបង្កើនលេខពីរទៅថាមពលដែលត្រូវគ្នាព្រោះវាជាករណីពិសេសនៃការគុណកត្តាស្មុគស្មាញដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ទី ៦ គណនា៖ (៤+២i) ៣
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i − 48 − 8i = 16 + 88i ។
