Ертегілер

Егер шеңбердің екі хордасы қиылыса, онда бір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі екінші хорданың кесінділерінің көбейтіндісіне тең болады. Геометрияда шеңбердің хордасы дегеніміз не, оның анықтамасы және қасиеттері Шеңбер туралы барлық теоремалар

Аккорд грек тілінен аударғанда «жіп» дегенді білдіреді. Бұл ұғым ғылымның әртүрлі салаларында – математикада, биологияда және т.б.

Геометрияда терминнің анықтамасы келесідей болады: бұл бір шеңбердегі екі еркін нүктені қосатын түзу кесінді. Егер мұндай сегмент центрді қиып өтсеқисық, ол шектелген шеңбердің диаметрі деп аталады.

Байланыста

Геометриялық аккордты қалай салу керек

Бұл сегментті салу үшін алдымен шеңбер салу керек. Секанттық сызық жүргізілетін екі ерікті нүктені белгілеңіз. Шеңбермен қиылысу нүктелерінің арасында орналасқан түзу кесінді хорда деп аталады.

Егер мұндай осьті екіге бөліп, осы нүктеден перпендикуляр түзу жүргізсеңіз, ол шеңбердің ортасынан өтеді. Сіз қарама-қарсы әрекетті жасай аласыз - шеңбердің ортасынан хордаға перпендикуляр радиусты сызыңыз. Бұл жағдайда радиус оны екі бірдей жартыға бөледі.

Екі параллель тең кесінділермен шектелген қисық бөліктерін қарастырсақ, онда бұл қисықтар да бір-біріне тең болады.

Қасиеттер

Бірқатар үлгілер бар, аккордтар мен шеңбердің ортасын байланыстырыңыз:

Радиус пен диаметрдің байланысы

Жоғарыда келтірілген математикалық ұғымдар өзара келесі заңдылықтармен байланысты:

Хорда және радиус

Бұл ұғымдар арасында келесі байланыстар бар:

Іштей сызылған бұрыштармен байланыстар

Шеңберге сызылған бұрыштар келесі ережелерге бағынады:

Доғалық әрекеттесулер

Егер екі кесінді қисықтың өлшемдері бойынша тең кесінділерін бағындырса, онда мұндай осьтер бір-біріне тең болады. Осы ережеден келесі үлгілер шығады:

Дәл жарты шеңберді қамтитын хорда оның диаметрі болып табылады. Егер бір шеңбердегі екі түзу бір-біріне параллель болса, онда осы кесінділердің арасына салынған доғалар да тең болады. Дегенмен, жабық доғаларды бірдей сызықтармен қамтылған доғалармен шатастырмау керек.

3-бөлім. Шеңберлер

I. Анықтамалық материалдар.

I. Тангенстердің, хордалардың және секанттардың қасиеттері. Ішкі және орталық бұрыштар.

Шеңбер және шеңбер

1. Егер шеңберден тыс жатқан бір нүктеден оған екі жанама жүргізсек, онда

а) берілген нүктеден түйісу нүктелеріне дейінгі кесінділердің ұзындықтары тең;

б) шеңбердің центрі арқылы өтетін әрбір жанама мен секанттың арасындағы бұрыштар тең.

2. Егер шеңбердің сыртында жатқан бір нүктеден оған жанама мен секанс жүргізсек, онда жанаманың квадраты секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең болады.

3. Егер екі хорда бір нүктеде қиылыса, онда бір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі екіншісінің кесінділерінің көбейтіндісіне тең болады.

4. Айналым C=2πR;

5. Доғаның ұзындығы L =πRn/180˚

6. Шеңбердің ауданы S=πR 2

7. Сектор аймағы С в=πR 2 n/360

Іштей сызылған бұрыштың градустық өлшемі ол тірелген доғаның градустық өлшемінің жартысына тең.

1-теорема.Шеңбердің ортақ нүктесі бар тангенс пен хорда арасындағы бұрыштың өлшемі оның қабырғалары арасындағы доғаның градустық өлшеміне тең.

2-теорема(тангенс және секант туралы). Егер М нүктесінен шеңберге жанама мен секант жүргізілсе, онда М нүктесінен жанама нүктесіне дейінгі жанама кесіндінің квадраты М нүктесінен оның нүктелеріне дейінгі кесінділердің ұзындықтарының көбейтіндісіне тең болады. шеңбермен қиылысу.

Теорема 3. Егер шеңбердің екі хордасы қиылыса, онда бір хорданың кесінділерінің ұзындықтарының көбейтіндісі екінші хорданың кесінділерінің ұзындықтарының көбейтіндісіне тең болады, яғни АВ және CD хордалары М нүктесінде қиылыса, онда AB MV = CM MD.

Шеңбер аккордтарының қасиеттері:

Хордаға перпендикуляр диаметр оны екіге бөледі. Керісінше: хорданың ортасынан өтетін диаметр оған перпендикуляр.

Шеңбердің тең аккордтары шеңбердің центрінен бірдей қашықтықта орналасқан. Керісінше: тең аккордтар шеңбердің ортасынан бірдей қашықтықта орналасқан.

Параллель хордалардың арасына салынған шеңбер доғалары тең.

Осы нүктеде ортақ нүктесі және ортақ жанамасы бар шеңберлер жанама деп аталады. Егер шеңберлер ортақ жанаманың бір жағында орналасса, онда олар ішкі жанама деп, ал жанаманың қарама-қарсы жақтарында болса, онда олар жанама деп аталады. сыртқы жанама.

II. Қосымша материалдар

Кейбір бұрыштардың қасиеттері.

Теорема.

1) Шыңы шеңбердің ішінде жататын бұрыш (ABC) екі доғаның (АС және DE) жарты қосындысы болып табылады, олардың біреуі оның қабырғалары арасында, екіншісі қабырғаларының ұзартулары арасында.

2) төбесі шеңберден тыс жатқан және қабырғалары шеңбермен қиылысатын бұрыш (АВС) оның қабырғалары арасында орналасқан екі доғаның (АС және ED) жарты айырымы.

Дәлелдеу .

AD аккордасын сызу (екі сызбада), біз аламыз ∆АВD,

қарастырылатын бұрышқа қатысты ABCоның төбесі шеңбердің ішінде жатқанда сыртқы, ал төбесі шеңберден тыс жатқанда ішкі болып қызмет етеді. Сондықтан бірінші жағдайда: ; екінші жағдайда:

Бірақ ADC және DAE бұрыштары, сызылғандар сияқты, жарты доғалармен өлшенеді

AC және DE; сондықтан ABC бұрышы өлшенеді: бірінші жағдайда қосындымен: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, ол тең 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE),ал екінші жағдайда айырмашылық 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE, ол 1/2-ге тең (ﬞ AC- ﬞ DE).

Теорема. Тангенс пен хорда түзетін бұрыш (ACD) оның ішіндегі доғаның жартысымен өлшенеді.

Алдымен CD хордасы О центрі арқылы өтеді деп алайық, яғни. бұл аккордтың диаметрі. Содан кейін бұрыш ACD- түзу, сондықтан 90°-қа тең. Бірақ CmD доғасының жартысы да 90°-қа тең, өйткені жарты шеңберді құрайтын барлық CmD доғасында 180° болады. Бұл нақты жағдайда теореманың дұрыс екенін білдіреді.

Енді аккорд CD ортасынан өтпейтін жалпы жағдайды алайық. CE диаметрін сызу арқылы бізде болады:

У тангенс пен диаметрден тұратын ACE мақсаты, дәлелденгендей, CDE доғасының жартысымен өлшенеді; DCE бұрышы, сызылған бұрыш ретінде, CnED доғасының жартысымен өлшенеді: дәлелдеудің жалғыз айырмашылығы - бұл бұрышты айырмашылық ретінде емес, ALL тік бұрышының және ECD сүйір бұрышының қосындысы ретінде қарастыру керек.

Шеңбердегі пропорционалды түзулер

Теорема.Егер шеңбер ішіне алынған нүкте (М) арқылы қандай да бір хорда (АВ) мен диаметр (CD) жүргізілсе, онда хорда кесінділерінің көбейтіндісі (АМ МБ) диаметрлік кесінділердің көбейтіндісіне (МБ MC) тең болады.

Дәлелдеу.

П
AC және BD екі көмекші аккордтарын сызу арқылы біз екі AMC және MBD үшбұрыштарын аламыз (суретте сызықшалармен жабылған), олар ұқсас, өйткені олардың A және D бұрыштары тең, сызылғандар сияқты, бірдей ВС доғасына негізделген, бұрыштар C және B бірдей AD доғасына негізделген, жазылғандай тең. Үшбұрыштардың ұқсастығынан мынаны шығарамыз:

AM: MD=MS: MV, бұл жерден AM MV=MD MS.

Салдары.Шеңбердің ішіне алынған нүкте (М) арқылы кез келген хорда саны (AB, EF, KL,...) жүргізілсе, онда әрбір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі барлық хордалар үшін тұрақты сан болады, өйткені әрбір бау үшін бұл туындысы алынған М нүктесі арқылы өтетін CD диаметрінің кесінділерінің көбейтіндісіне тең.

Теорема.Егер шеңберден тыс алынған (М) нүктеден оған қандай да бір секант (МА) және жанама (МС) тартылса, онда секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісі жанаманың квадратына тең болады (ол деп есептеледі). секант екінші қиылысу нүктесімен шектеледі, ал тангенс - жанасу нүктесі).

Дәлелдеу.

АС және ВС көмекші хордаларын салайық; онда біз MAC және MVS екі үшбұрыштарын аламыз (суретте сызықшалармен жабылған), олар ұқсас, өйткені олардың ортақ бұрышы M және MCW және CAB бұрыштары тең, өйткені олардың әрқайсысы ВС доғасының жартысымен өлшенеді. ∆MAS-те MA және MC жақтарын алайық; ∆MVS-дегі ұқсас тараптар MC және MV болады; сондықтан MA: MS = MS: MV, қайдан MA MV = MS 2.

Салдары.Егер шеңберден тыс алынған (М) нүктеден оған кез келген секанттар саны (MA, MD, ME,...) тартылса, онда әрбір секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісі барлық секанттар үшін тұрақты сан болады, өйткені әрбір секант үшін бұл көбейтінді М нүктесінен алынған жанаманың квадратына (MC 2) тең.

III. Кіріспе тапсырмалар.

1-тапсырма.

IN сүйір бұрышы 60° тең қабырғалы трапецияның бүйір жағы --ға, ал кіші табаны --ға тең. Осы трапециямен шектелген шеңбердің радиусын табыңыз.

Шешім

1) Трапецияның айналасында сызылған шеңбердің радиусы төбелері трапецияның кез келген үш төбесі болатын үшбұрыштың айналасында сызылған шеңбердің радиусымен бірдей. Үшбұрышқа сызылған шеңбердің R радиусын табыңыз АҚШ.

2) А Б С Дсондықтан тең қабырғалы трапеция болып табылады А.Қ. = М.Д., Қ.М. =.

∆ ішінде ABK А.Қ. = AB cos A = · cos 60° =. білдіреді,
AD = .

Б.Қ. = ABкүнә А = · = .

3) ∆ ішіндегі косинус теоремасы бойынша АҚШ BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos А.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ АҚШ) = AD · Б.Қ.; S(∆ АҚШ) = · · 3 =.

2-тапсырма.

Тең қабырғалы үшбұрышта ABCшеңбер сызылған және кесінді сызылған Н.М.,

М А.С., Н б.з.д., ол оған тиіп, бүйіріне параллель орналасқан AB.

Трапецияның периметрін анықтаңдар AMNB, егер сегменттің ұзындығы болса М.Н 6-ға тең.

Шешім.

1) ∆ABC– тең қабырғалы, нүкте О– медианалардың қиылысу нүктесі (биссектрисалар, биіктіктер), бұл білдіреді CO : О.Д. = 2 : 1.

2) М.Н– шеңберге жанама, П– байланыс нүктесі, яғни О.Д. =
= ОП, Содан кейін CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ ТАКСИ, бұл ∆ дегенді білдіреді CMN– тең жақты СМ. = CN = М.Н = = 6; П.

Және де

3) Б.Н = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = А.М. + М.Н + Б.Н + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Орта сызығы 5-ке, ал табанындағы сүйір бұрыштың синусы 0,8-ге тең болатын шеңбердің айналасында тең қабырғалы трапеция сипатталған. Трапецияның ауданын табыңыз.

Шешім.Шеңбер төртбұрышқа сызылғандықтан, онда б.з.д. + AD = AB + CD. Бұл төртбұрыш - тең қабырғалы трапеция, яғни б.з.д. + AD = 2AB.

FP– трапецияның ортаңғы сызығы, яғни б.з.д. + AD = 2FP.

Содан кейін AB = CD = FP = 5.

∆ABK- тікбұрышты, Б.Қ. = ABкүнә А; Б.Қ.= 5 · 0,8 = 4.

S ( А Б С Д) = FP · Б.Қ.= 5 · 4 = 20.

Жауап: 20.

ABC үшбұрышының шеңбері К нүктесінде ВС қабырғасына, ал шеңбер L нүктесінде ВС қабырғасына тиеді. CK=BL=(a+b+c)/2 екенін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу: қабырғалары АВ және ВС болатын іштей сызылған шеңбердің жанама нүктелері M және N болсын. Сонда BK+AN=BM+AM=AB, сондықтан CK+CN= a+b-c.

АВ және ВС қабырғаларының ұзартулары бар шеңбердің жанама нүктелері P және Q болсын. Сонда AP=AB+BP=AB+BL және AQ=AC+CQ=AC+CL. Сондықтан AP+AQ=a+b+c. Демек, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

а) АВС үшбұрышының В бұрышының биссектрисасының жалғасы сызылған шеңберді М нүктесінде қиып өтеді. О іштей сызылған шеңбердің центрі. O B - AC жағына жанама шеңбердің центрі. A, C, O және O B нүктелері центрі M болатын шеңберде жатқанын дәлелдеңдер.

D
дәлелі: Себебі

б) АВС үшбұрышының ішінде жатқан О нүктесінің BCO, ACO, ABO үшбұрыштарының шектелген шеңберлерінің центрлері арқылы AO, BO, CO түзулері өтетін қасиеті бар. О АВС үшбұрышының іштей сызылған шеңберінің центрі екенін дәлелдеңдер

Дәлелдеу: АСО үшбұрышының шеңбер центрі P болсын. Содан кейін

IV. Қосымша тапсырмалар

№1. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасына және оның катеттерінің ұзартпаларына жанама шеңбердің радиусы R. Үшбұрыштың периметрін табыңыз.

Р шешімі: HOGB - R қабырғасы бар шаршы

1) ∆OAH =∆OAF катет және гипотенуза бойымен =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

№ 2. С және D нүктелері диаметрі АВ болатын шеңберде жатыр. AC ∩ BD = P, және AD ∩ BC = Q. AB және PQ түзулерінің перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу: А D – диаметр => сызылған бұрыш ADB=90 o (диаметр негізінде)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP 2 жағынан ∆QNA-ға ұқсас және олардың арасындағы бұрыш => QN АВ-ға перпендикуляр.

№3. ABCD параллелограммында AC диагоналы BD диагоналынан үлкен; M - AC диагональындағы нүкте, BDCM - циклдік төртбұрыш BD сызығы ABM және ADM үшбұрыштарының шеңберлеріне ортақ жанама екенін дәлелдеңіз

П
аузы O – AC және ВD диагональдарының қиылысу нүктесі. Содан кейін М.О · OC=BO · OD. Ал OS=OA және VO=ВD, содан кейін MO · OA=VO 2 және MO · OA=DO 2. Бұл теңдіктер OB ADM үшбұрышының шеңберіне жанама екенін білдіреді

№ 4. Н ABC тең қабырғалы үшбұрышының АВ табанында Е нүктесі алынып, M және N нүктелеріндегі СЕ кесіндісіне тиетін шеңберлер ACE және ABE үшбұрыштарына сызылған. AE және BE ұзындықтары белгілі болса, MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

Кіріспе есеп бойынша 4 CM=(AC+CE-AE)/2 және CN=(BC+CE-BE)/2. AC=BC екенін ескерсек, MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2 аламыз.

№ 5. АВС үшбұрышының қабырғаларының ұзындықтары арифметикалық прогрессияны құрайды және а

АС қабырғасының ортасы M, ВС қабырғасымен сызылған шеңбердің жанама нүктесі N болсын. Сонда BN=р–b (кіріспе есеп 4), сондықтан BN=AM, өйткені шарты бойынша p=3b/2. Сонымен қатар,

В .Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар

№1. ABCD төртбұрышының BAD бұрышына іштей сызылған және ВС және CD қабырғаларының ұзартуларына жанама болатын шеңбер бар қасиеті бар. AB+BC=AD+DC екенін дәлелдеңдер.

№ 2. Радиустары R және r болатын шеңберлерге ортақ ішкі жанама олардың ортақ сыртқы жанамаларын А және В нүктелерінде қиып, С нүктесіндегі шеңберлердің біріне тиеді. AC∙CB=Rr екенін дәлелдеңдер.

№3. ABC үшбұрышында С бұрышы тік бұрыш болады. r =(a+b-c)/2 және r c =(a+b+c)/2 екенін дәлелдеңдер.

№ 4. Екі шеңбер А және В нүктелерінде қиылысады; MN оларға ортақ жанама болып табылады. AB түзуінің MN кесіндісін екіге бөлетінін дәлелдеңдер.

№ 5. ABC үшбұрышының бұрыштарының биссектрисаларының жалғасы сызылған шеңберді A 1, B 1, C 1 нүктелерінде қиып өтеді. M – биссектрисалардың қиылысу нүктесі. Дәлелдеңіз:

a) MA·MC/MB 1 =2r;

б) MA 1 ·MC 1 /MB=R

№ 6. Шеңбердің бір нүктесінен жүргізілген екі жанамадан пайда болатын бұрыш 23°15` тең. Жанама нүктелер арасындағы доғаларды есептеңіз

№ 7. Егер хорда шеңберді 3:7 қатынасында екі бөлікке бөлсе, тангенс пен хорда жасайтын бұрышты есептеңіз.

VI. Бақылау тапсырмалары.

1 нұсқа.

М нүктесі О центрі бар шеңбердің сыртында орналасқан. М нүктесінен үш секант жүргізілген: біріншісі шеңберді В және А нүктелерінде (М-В-А), екіншісі D және С (М-Д-С) нүктелерінде, ал үшіншісі шеңберді қиып өтеді. F және E (M-F-E) нүктелерінде және шеңбердің центрі арқылы өтеді, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Егер AB = CD болса, онда AME және CME бұрыштары тең болатынын дәлелдеңдер.

Шеңбердің радиусын табыңыз.

М нүктесінен шеңберге жүргізілген жанаманың ұзындығын табыңыз.

AEB бұрышын табыңыз.

2-нұсқа.

АВ – центрі О болатын шеңбердің диаметрі. EF хордасы диаметрді K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5 нүктелерінде қиып өтеді.

Шеңбердің радиусын табыңыз.

Шеңбердің центрінен BF хордасына дейінгі қашықтықты табыңыз.

АВ диаметрі мен EF хордасының арасындағы сүйір бұрышты табыңыз.

EM АВ параллель болса, FM хордасы неге тең?

3 нұсқа. ABC тікбұрышты үшбұрышында (

4-нұсқа.

АВ – центрі О болатын шеңбердің диаметрі. Бұл шеңбердің радиусы 4, O 1 – ОА ортасы. Центрі О 1 нүктесінде, үлкенірек шеңберге А нүктесінде жанама болатын шеңбер сызылған. Үлкенірек шеңбердің CD хордасы АВ-ға перпендикуляр және АВ-ны K нүктесінде қиып өтеді. E және F - CD-нің қиылысу нүктелері. кіші шеңбер (C-E-K-F-D), AK=3.

AE және AC аккордтарын табыңыз.

AF доғасының градустық өлшемін және оның ұзындығын табыңыз.

EF хордасымен кесілген кіші шеңбер бөлігінің ауданын табыңыз.

ACE үшбұрышымен шектелген шеңбердің радиусын табыңыз.

Алдымен шеңбер мен шеңбердің айырмашылығын түсінейік. Бұл айырмашылықты көру үшін екі фигураның не екенін қарастыру жеткілікті. Бұл бір орталық нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтағы нүктелердің шексіз саны. Бірақ, егер шеңбер де ішкі кеңістіктен тұрса, онда ол шеңберге жатпайды. Шеңбер әрі оны шектейтін шеңбер (шеңбер(р)), әрі шеңбердің ішіндегі сансыз нүктелер болып табылады.

Шеңберде жатқан кез келген L нүктесі үшін OL=R теңдігі қолданылады. (OL кесіндісінің ұзындығы шеңбердің радиусына тең).

Шеңбердегі екі нүктені қосатын кесінді - оның аккорд.

Шеңбердің центрі арқылы тікелей өтетін хорда диаметрібұл шеңбер (D). Диаметрді мына формула бойынша есептеуге болады: D=2R

Айналымформуласымен есептелінеді: C=2\pi R

Шеңбердің ауданы: S=\pi R^(2)

Шеңбер доғасыоның екі нүктесінің арасында орналасқан бөлігі деп аталады. Бұл екі нүкте шеңбердің екі доғасын анықтайды. CD аккорды екі доғаға бөлінеді: CMD және CLD. Бірдей аккордтар бірдей доғаларды қамтиды.

Орталық бұрышЕкі радиустың арасында жатқан бұрыш деп аталады.

Доғаның ұзындығыформула арқылы табуға болады:

Дәреже өлшемін қолдану: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Радиандық өлшемді қолдану: CD = \alpha R

Хордаға перпендикуляр болатын диаметр хорда мен ол жиырылған доғаларды екіге бөледі.

Егер шеңбердің АВ және CD хордалары N нүктесінде қиылысатын болса, онда N нүктесімен бөлінген хордалардың кесінділерінің көбейтінділері бір-біріне тең болады.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Шеңберге жанама

Шеңберге жанамаШеңбермен бір ортақ нүктесі бар түзуді атаған жөн.

Егер түзудің екі ортақ нүктесі болса, ол деп аталады секант.

Егер сіз радиусты жанама нүктесіне салсаңыз, ол шеңберге жанамаға перпендикуляр болады.

Осы нүктеден өз шеңберімізге екі жанама жүргізейік. Жанама кесінділер бір-біріне тең болады, ал шеңбердің центрі осы нүктеде төбесімен бұрыштың биссектрисасында орналасады.

AC = CB

Енді өз нүктемізден шеңберге жанама мен секант сызайық. Біз жанама кесіндінің ұзындығының квадраты бүкіл кесінді кесіндісінің және оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең болатынын аламыз.

AC^(2) = CD \cdot BC

Қорытындылай аламыз: бірінші секанттың бүкіл кесіндісі мен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісі екінші секанттың бүкіл сегменті мен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Шеңбердегі бұрыштар

Орталық бұрыштың градустық өлшемдері мен оның тірелген доғасы тең.

\ бұрыш COD = \ кесе CD = \альфа ^(\цирк)

Жазылған бұрыштөбесі шеңберде орналасқан және қабырғаларында хордалар бар бұрыш.

Доғаның өлшемін білу арқылы оны есептеуге болады, өйткені ол осы доғаның жартысына тең.

\бұрыш AOB = 2 \бұрыш АДБ

Диаметрге, сызылған бұрышқа, тік бұрышқа негізделген.

\бұрыш CBD = \бұрыш CED = \бұрыш CAD = 90^ (\цирк)

Бір доғаға сызылған сызылған бұрыштар бірдей.

Бір хордаға тірелген сызылған бұрыштар бірдей немесе олардың қосындысы 180^ (\circ) тең.

\бұрыш ADB + \бұрыш AKB = 180^ (\circ)

\бұрыш ADB = \бұрыш AEB = \бұрыш AFB

Бір шеңберде бұрыштары бірдей және табаны берілген үшбұрыштардың төбелері орналасқан.

Шеңбердің ішінде төбесі бар және екі хорданың арасында орналасқан бұрыш берілген және тік бұрыштардағы шеңбер доғаларының бұрыштық мәндерінің қосындысының жартысына бірдей.

\ бұрыш DMC = \ бұрыш ADM + \ бұрыш DAM = \ frac (1) (2) \ сол жақ (\ кесе DmC + \ кесе AlB \ оң)

Шеңберден тыс төбесі бар және екі секанттың арасында орналасқан бұрыш бұрыштың ішінде орналасқан шеңбер доғаларының бұрыштық мәндерінің жарты айырмашылығына бірдей.

\ бұрыш M = \ бұрыш CBD - \ бұрыш ACB = \ frac (1) (2) \ сол жақ (\ кесе DmC - \ кесе AlB \ оң жақ)

Жазылған шеңбер

Жазылған шеңберкөпбұрыштың қабырғаларына жанама шеңбер болып табылады.

Көпбұрыштың бұрыштарының биссектрисалары қиылысатын нүктеде оның центрі орналасады.

Әрбір көпбұрышта шеңберді жазуға болмайды.

Шеңбері сызылған көпбұрыштың ауданы мына формула бойынша табылады:

S = pr,

p – көпбұрыштың жарты периметрі,

r – іштей сызылған шеңбердің радиусы.

Бұдан сызылған шеңбердің радиусы мынаған тең болады:

r = \frac(S)(p)

Егер шеңбер дөңес төртбұрышқа сызылған болса, қарама-қарсы қабырғалардың ұзындықтарының қосындылары бірдей болады. Және керісінше: егер қарама-қарсы қабырғалардың ұзындықтарының қосындылары бірдей болса, шеңбер дөңес төртбұрышқа сәйкес келеді.

AB + DC = AD + BC

Кез келген үшбұрышқа шеңберді сызуға болады. Бір ғана. Фигураның ішкі бұрыштарының биссектрисалары қиылысатын нүктеде осы іштей сызылған шеңбердің центрі жатады.

Ішке сызылған шеңбердің радиусы мына формуламен есептеледі:

r = \frac(S)(p) ,

мұндағы p = \frac(a + b + c)(2)

Шеңбер

Егер көпбұрыштың әрбір төбесінен шеңбер өтетін болса, онда мұндай шеңбер әдетте деп аталады көпбұрыш туралы сипатталған.

Бұл фигураның қабырғаларының перпендикуляр биссектрисаларының қиылысу нүктесінде шеңбердің центрі болады.

Радиусты көпбұрыштың кез келген 3 төбесімен анықталған үшбұрыштың айналасындағы шеңбердің радиусы ретінде есептеу арқылы табуға болады.

Келесі шарт бар: шеңберді төртбұрыштың айналасында оның қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180^( \circ) тең болса ғана сипаттауға болады.

\ бұрыш A + \ бұрыш C = \ бұрыш B + \ бұрыш D = 180 ^ (\ шеңбер)

Кез келген үшбұрыштың айналасында сіз шеңберді сипаттай аласыз, тек біреуі. Мұндай шеңбердің центрі үшбұрыш қабырғаларының перпендикуляр биссектрисалары қиылысатын нүктеде орналасады.

Шектелген шеңбердің радиусын мына формулалар арқылы есептеуге болады:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c - үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары,

S - үшбұрыштың ауданы.

Птолемей теоремасы

Соңында Птолемей теоремасын қарастырайық.

Птолемей теоремасы диагональдардың көбейтіндісі циклдік төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысына бірдей екенін айтады.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Математика мұғалімінің тапсырмаларын орындауға арналған геометрия бойынша теориялық анықтамалық материалдар. Оқушыларға есептерді шешуге көмектесу.

1) Шеңберге сызылған бұрыш туралы тақырып.

Теорема: шеңберге сызылған бұрыш ол жатқан доғаның градустық өлшеміне тең (немесе осы доғаға сәйкес орталық бұрыштың жартысы), яғни .

2) Шеңберге іштей сызылған бұрыш туралы теоремадан алынған нәтижелер.

2.1) Бір доғаға тірелген бұрыштардың қасиеті.

Теорема: егер іштей сызылған бұрыштар бір доғамен тірелсе, онда олар тең болады (егер олар қосымша доғалармен тірелсе, олардың қосындысы тең болады.

2.2) Диаметрге түсірілген бұрыштың қасиеті.

Теорема: Шеңберге іштей сызылған бұрыш, егер ол дұрыс болса ғана диаметрге бөлінеді.

Айнымалы ток диаметрі

3) Жанама кесінділердің қасиеті. Бұрышпен іштей сызылған шеңбер.

1-теорема:егер оған шеңберде жатпайтын бір нүктеден екі жанама тартылса, онда олардың кесінділері тең болады, яғни PB=ДК.

2-теорема:Егер шеңбер бұрышқа сызылған болса, онда оның центрі осы бұрыштың биссектрисасында жатады, яғни PO биссектрисасы.

4) Секанттардың ішкі қиылысындағы хордалардың сегменттерінің қасиеті.
1-теорема:бір хорданың сегменттерінің көбейтіндісі екінші хорданың сегменттерінің көбейтіндісіне тең, яғни

2-теорема: хордалар арасындағы бұрыш осы хордалар шеңберде түзетін доғалар қосындысының жартысына тең, яғни

Алдын ала қарау:

Тақырып бойынша сабақ:

«Қиылысатын хордалардың кесінділерінің көбейтіндісі туралы теорема»

Пәні: геометрия

Сынып: 8

мұғалім б: Герат Людмила Васильевна

Мектеп : МОБУ «Дружбинская орта мектебі» Орынбор облысы, Соль-Илецк ауданы

Сабақтың түрі: Жаңа білімді «ашу» сабағы.

Жұмыс формалары: жеке, фронтальды, топтық.

Оқыту әдістері:ауызша, көрнекілік, практикалық, проблемалық.

Жабдық: компьютерлік сынып, мультимедиялық проектор,

Үлестірмелі материалдар (карточкалар), презентация.

Сабақтың мақсаттары:

тәрбиелік- қиылысатын хордалардың туындысы туралы теореманы оқып, оның есептерді шығаруда қолданылуын көрсету.

Іштей сызылған бұрыш теоремасын және оның салдарын пайдаланып есептер шығару дағдыларын жетілдіру.

дамуда – сабақта оқушылардың шығармашылық және ақыл-ой белсенділігін дамыту; мектеп оқушыларының жеке тұлғасының дербестік, икемділік, бағалау әрекеттерін жасау, жалпылау сияқты интеллектуалдық қасиеттерін дамыту; топтық жұмыс пен өз бетінше жұмыс істеу дағдыларын қалыптастыруға ықпал ету; өз ойларын анық және анық жеткізу қабілетін дамыту.
тәрбиелік – ақпараттық технологияны қолдану арқылы (компьютер арқылы) оқушылардың пәнге деген қызығушылығын ояту; математикалық жазбаларды дәл және сауатты орындау және есептің суретін салу қабілеттерін дамыту.

Тәрбиелік іс-шаралар студенттерді қызмет орнынан ауыстыру арқылы педагогикалық жұмыстың тиімділігі мен өнімділігін арттыруға бағытталғанобъект позициядағы мұғалімнің іс-әрекетіоқыту пәні , әрбір баланың мүмкіндіктерін дамытуға, оған тән мүмкіндіктерді ашуға ықпал етеді.

Субъективтілікті тәрбиелеу (дамыту) іс-әрекетте ғана мүмкін боладыонда субъект қатысады, онда олөзі: а) мақсат қояды; б) мақсатқа жетуге ерікті күш-жігерді шоғырландырады; в) өз жұмысының барысы мен нәтижесі туралы ойлайды. Рефлексия – тұлғаның өзін-өзі дамытуының қуатты құралы(жеке өзіндік құрылыс).

Оқушылардың субъективтілігін дамыту мәселесібір реттік шаралармен қандай да бір дәрежеде шешілмейді. Бұл қасиет дамидыоқушының оқу-танымдық іске қосылуына байланысты жүйелі түрде жүзеге асадыбелсенділік (дұрысы - әр сабақта), ол орындайдыөзі, оны қолдану өз күштері, орындауолардың өз бетінше, ең аз сыртқы көмекпен, барлық әрекеттер логикалық ретпен орындалады. Сабақта талапқа толық сәйкес келетін жұмыстың барлық 4 кезеңі және нәтижелер бойынша студенттің рефлексиясы қарастырылғанбелсенділік тәсілібілім беруде.

Ұсынылған сабақты жобалау және компьютерлік технологияларды қолдану арқылы келесі даму мақсаттары көзделеді:

Интеллектуалдық мәдениет;
Ақпараттық мәдениет;
Өзін-өзі ұйымдастыру мәдениеттері;
Зерттеу мәдениеті;

Оқушылардың іс-әрекеті оқушыларға ішкі мақсаттар мен мотивтерді беретіндей етіп ұйымдастырылуы керек; ізденіс қажеттілігі оқыту мен тәрбиелеудің ең маңызды міндеті болып табылады, бұл үшін сәттілік жағдайларын, жағымды эмоцияларды тудыратын іздеу жағдайларын жасау керек;

Сабақ жоспары

1. Іштей сызылған бұрыш теоремасын дәлелдеу (3 жағдай); карталармен жұмыс

Дайын сызбаларды пайдаланып есептер шығару.

2. Жұппен жұмыс.

3. Қиылысатын хордалардың кесінділерінің туындысы туралы теореманы зерттеу.

4. Теореманы бекітуге есептер шығару.

Сабақтар кезінде.

Оқытылатын тақырып бойынша оқушылардың білімдерін пысықтау.

Теоремаларды дәлелдеу үшін тақтаға үш оқушы шақырылады, екі оқушы тапсырма карточкаларын алады, қалған оқушылар дайын сызбалар бойынша есептер шығарады. Оқушылар дайын сызбалар бойынша есептерді шығарғаннан кейін теоремаларды дәлелдеуді бүкіл сынып тыңдайды.

№1 карта..

1. «Егер оның төбесі …………….., ал бұрыштың қабырғалары……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….да жатса, бұрышты іштей сызылған бұрыш деп атайды» деген түсіп қалған сөздерді қойыңыз.

2. Суретте көрсетілген сызылған бұрыштарды тауып жаз:

3. Суретте көрсетілген ABC бұрышының градустық өлшемін табыңыз, егер доғаның градустық өлшемі ABC = 270 болса..

Карточка №2.

1. Берілген сөздерді толықтырыңыз: «Ішілген бұрыш …………. арқылы өлшенеді».

Берілген: OA=AB. АВ доғасының градустық өлшемін табыңыз.

Дайын сызбаларды пайдаланып есептер шығару.

1-сурет. 2-суретті табыңыз. 3-сурет. 4-сурет. 5-сурет.

AOD, ACD ABC табу BCD табу BAC табу BCD табу

II. Жұппен жұмыс.

Қиылысатын хордалардың кесінділері туралы теореманы дәлелдеу есеп түрінде орындалады:

Шеңбердің екі АВ және CD хордалары Е нүктесінде қиылысатын болса, онда дәлелдеңдер

AE * BE =CE * DE

Оларға жұпта өз бетінше мәселені шешу ұсынылады, содан кейін оның шешімін талқылайды. Теореманы дәлелдеудің сызбасын дәптерлеріңе және тақтаға жазыңдар.

Контур

a) ACE ЕКІ (A = D BC доғасына негізделген іштей сызылған бұрыштар ретінде;

AES = DEB тік ретінде).

Талқылауға арналған мәселелер:

CAB және CDB бұрыштары туралы не айта аласыз? AEC және DEB бұрыштары туралы?

ACE және DBE үшбұрыштары дегеніміз не? Жанама хордалардың сегменттері болып табылатын олардың жақтарының қатынасы қандай?

Пропорциялардың негізгі қасиетін пайдаланып екі қатынастың теңдігінен қандай теңдік жазуға болады?

IV. Үйренген материалды бекіту.

Есепті шешіңіз: PT және KM шеңберінің хордалары Е нүктесінде қиылысады. ME табыңыз, егер

KE = 4см, TE =6см, ПЭ =2см.

Шешуі: AE * BE =CE * DE

AE * 4 = 2 * 6