Түзу сызық. Негізгі ұғымдар. Параллель сызықтар. Көрнекі нұсқаулық (2020) Параллель түзулер дегеніміз не

Бұл мақала параллель түзулер және параллель түзулер туралы. Алдымен жазықтықтағы және кеңістіктегі параллель түзулердің анықтамасы беріліп, белгілеулері енгізіледі, параллель түзулерге мысалдар мен графикалық иллюстрациялар беріледі. Әрі қарай түзулердің параллельдік белгілері мен шарттары талданады. Қорытындылай келе, жазықтықтағы және үш өлшемді кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесіндегі түзудің кейбір теңдеулері арқылы берілген түзулердің параллелдігін дәлелдейтін типтік есептердің шешімдері көрсетілген.

Бетті шарлау.

Параллель түзулер – негізгі ақпарат.

Анықтама.

Жазықтықтағы екі түзу деп аталады параллельегер олардың ортақ тұстары болмаса.

Анықтама.

Үш өлшемді екі түзу деп аталады параллельегер олар бір жазықтықта жатса және ортақ нүктелері болмаса.

Кеңістіктегі параллель түзулерді анықтаудағы «егер олар бір жазықтықта жатса» тармағы өте маңызды екенін ескеріңіз. Осы тармақты нақтылайық: үш өлшемді кеңістіктегі ортақ нүктелері жоқ және бір жазықтықта жатпайтын екі түзу параллель емес, қисық.

Мұнда параллель түзулердің кейбір мысалдары берілген. Дәптер парағының қарама-қарсы жиектері параллель түзулерде жатыр. Үйдің қабырғасының жазықтығы төбе мен еденнің жазықтықтарын қиып өтетін түзу сызықтар параллель. Тегіс жердегі темір жолдарды параллель сызықтар ретінде де қарастыруға болады.

Параллель түзулерді белгілеу үшін «» символы қолданылады. Яғни, a және b түзулері параллель болса, онда қысқаша a b жазуға болады.

Назар аударыңыз, егер а және b түзулері параллель болса, онда а түзуі b түзуіне параллель, сонымен қатар b түзуі а түзуіне параллель деп айтуға болады.

Жазықтықтағы параллель түзулерді зерттеуде маңызды рөл атқаратын тұжырымды айтайық: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы берілгенге параллель болатын жалғыз түзу өтеді. Бұл тұжырым факт ретінде қабылданады (оны планиметрияның белгілі аксиомалары негізінде дәлелдеу мүмкін емес) және ол параллель түзулердің аксиомасы деп аталады.

Кеңістіктегі жағдай үшін теорема дұрыс: берілген түзудің бойында жатпайтын кеңістіктегі кез келген нүкте арқылы берілгенге параллель бір түзу өтеді. Бұл теореманы жоғарыда келтірілген параллель түзулер аксиомасы арқылы оңай дәлелдеуге болады (оның дәлелін әдебиеттер тізімінде мақаланың соңында берілген 10-11 сыныптарға арналған геометрия оқулығынан таба аласыз).

Кеңістіктегі жағдай үшін теорема дұрыс: берілген түзудің бойында жатпайтын кеңістіктегі кез келген нүкте арқылы берілгенге параллель бір түзу өтеді. Бұл теорема жоғарыда келтірілген параллель түзулер аксиомасының көмегімен оңай дәлелденеді.

Түзулердің параллелдігі – параллелизмнің белгілері мен шарттары.

Параллель түзулердің белгісіпараллель түзулердің жеткілікті шарты болып табылады, яғни орындалуы параллель түзулерге кепілдік беретін мұндай шарт. Басқаша айтқанда, бұл шарттың орындалуы түзулердің параллель екендігін айту үшін жеткілікті.

Сонымен қатар жазықтықта және үш өлшемді кеңістікте параллель түзулер үшін қажетті және жеткілікті шарттар бар.

Параллель түзулердің қажетті және жеткілікті шарты деген сөз тіркесінің мағынасын ашып көрейік.

Біз параллель сызықтардың жеткілікті шартын қарастырдық. Ал «параллель түзулердің қажетті шарты» қандай? «Қажетті» атауы арқылы бұл шарттың орындалуы сызықтардың параллель болуы үшін қажет екені анық. Басқаша айтқанда, параллель түзулердің қажетті шарты орындалмаса, онда түзулер параллель емес. Осылайша, түзулердің параллель болуы үшін қажетті және жеткілікті шарторындалуы параллель түзулер үшін қажетті де, жеткілікті де болатын шарт болып табылады. Яғни, бір жағынан, бұл параллель түзулердің белгісі болса, екінші жағынан, бұл параллель түзулерде болатын қасиет.

Түзулердің параллель болуының қажетті және жеткілікті шартын айтпас бұрын, бірнеше көмекші анықтамаларды еске түсірген жөн.

бөлу сызығыберілген екі сәйкес келмейтін түзудің әрқайсысын қиып өтетін түзу болып табылады.

Секанттың екі сызығының қиылысында сегіз орналастырылмағаны қалыптасады. деп аталатын көлденең жату, сәйкесЖәне бір жақты бұрыштар. Оларды сызбада көрсетейік.

Теорема.

Егер жазықтықтағы екі түзуді секант кесіп өтсе, онда олардың параллельдігі үшін көлденең жатқан бұрыштардың тең болуы немесе сәйкес бұрыштардың тең болуы немесе бір жақты бұрыштардың қосындысы 180 градусқа тең болуы қажет және жеткілікті. .

Жазықтықтағы параллель түзулердің осы қажетті және жеткілікті шартының графикалық иллюстрациясын көрсетейік.

Параллель түзулердің бұл шарттарының дәлелдерін 7-9 сыныптарға арналған геометрия оқулықтарынан табуға болады.

Бұл шарттарды үш өлшемді кеңістікте де қолдануға болатынын ескеріңіз - ең бастысы, екі сызық пен секант бір жазықтықта жатыр.

Мұнда түзулердің параллельдігін дәлелдеуде жиі қолданылатын тағы бірнеше теоремалар берілген.

Теорема.

Егер жазықтықтағы екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар параллель болады. Бұл ерекшеліктің дәлелі параллель түзулер аксиомасынан туындайды.

Үш өлшемді кеңістікте параллель түзулер үшін де осындай шарт бар.

Теорема.

Кеңістіктегі екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар параллель болады. Бұл ерекшеліктің дәлелі 10-сыныптағы геометрия сабақтарында қарастырылады.

Дауысты теоремаларды суреттеп көрейік.

Жазықтықтағы түзулердің параллельдігін дәлелдеуге мүмкіндік беретін тағы бір теореманы берейік.

Теорема.

Егер жазықтықтағы екі түзу үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда олар параллель болады.

Кеңістіктегі сызықтар үшін де осындай теорема бар.

Теорема.

Егер үш өлшемді кеңістіктегі екі түзу бір жазықтыққа перпендикуляр болса, онда олар параллель болады.

Осы теоремаларға сәйкес суреттер салайық.

Жоғарыда тұжырымдалған барлық теоремалар, белгілер мен қажетті және жеткілікті шарттар түзулердің параллельдігін геометрия әдістерімен дәлелдеу үшін өте қолайлы. Яғни, берілген екі түзудің параллельдігін дәлелдеу үшін олардың үшінші түзуге параллель екендігін көрсету немесе көлденең жатқан бұрыштардың теңдігін көрсету, т.б. Бұл есептердің көпшілігі орта мектепте геометрия сабақтарында шешіледі. Дегенмен, көп жағдайда жазықтықтағы немесе үш өлшемді кеңістіктегі түзулердің параллельдігін дәлелдеу үшін координаталар әдісін қолдану ыңғайлы екенін ескеру қажет. Тік бұрышты координаталар жүйесінде берілген түзулердің параллельдігінің қажетті және жеткілікті шарттарын тұжырымдаймыз.

Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі түзулердің параллельдігі.

Мақаланың осы бөлімінде біз тұжырымдаймыз параллель түзулер үшін қажетті және жеткілікті шарттартікбұрышты координаталар жүйесінде осы түзулерді анықтайтын теңдеулердің түріне байланысты және типтік есептердің толық шешімін де береміз.

Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықтағы екі түзудің параллелдік шартынан бастайық Oxy . Оның дәлелі түзудің бағыттаушы векторын анықтауға және түзудің жазықтықтағы нормаль векторын анықтауға негізделген.

Теорема.

Сәйкес келмейтін екі түзудің жазықтықта параллель болуы үшін осы түзулердің бағыт векторлары коллинеар немесе осы түзулердің нормаль векторлары коллинеар немесе бір түзудің бағыт векторы нормальға перпендикуляр болуы қажет және жеткілікті. екінші жолдың векторы.

Жазықтықтағы екі түзудің параллельдік шарты (түзулердің бағыт векторлары немесе түзулердің қалыпты векторлары) немесе (бір түзудің бағыт векторы және екінші түзудің қалыпты векторы) төмендейтіні анық. Сонымен, егер және a және b түзулерінің бағыт векторлары, және Және сәйкесінше a және b түзулерінің нормаль векторлары болса, онда а және b параллель түзулерінің қажетті және жеткілікті шартын былай жазуға болады. , немесе , немесе , мұндағы t - қандай да бір нақты сан. Өз кезегінде а және b түзулерінің бағыттаушы және (немесе) нормаль векторларының координаталары түзулердің белгілі теңдеулерінен табылады.

Атап айтқанда, тікбұрышты координаталар жүйесіндегі a түзуі жазықтықтағы Oxy пішін сызығының жалпы теңдеуін анықтайды. , және түзу b - , онда бұл түзулердің нормаль векторларының сәйкесінше координаталары болады және a және b түзулерінің параллельдік шарты ретінде жазылады.

Егер а түзу пішіннің көлбеу коэффициентімен түзудің теңдеуіне сәйкес келсе . Демек, тікбұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықтағы түзулер параллель болса және көлбеу коэффициенттері бар түзулердің теңдеулері арқылы берілуі мүмкін болса, онда түзулердің көлбеу коэффициенттері тең болады. Және керісінше: тік бұрышты координаталар жүйесіндегі жазықтықтағы сәйкес келмейтін түзулерді көлбеу коэффициенттері бірдей түзудің теңдеулері арқылы беруге болатын болса, онда мұндай түзулер параллель болады.

Егер тікбұрышты координаталар жүйесіндегі а және b түзуі пішін жазықтығындағы түзудің канондық теңдеулерін анықтаса Және , немесе пішіннің жазықтығындағы түзудің параметрлік теңдеулері Және тиісінше, онда бұл түзулердің бағыт векторларының координаталары және болады, ал a және b түзулерінің параллельдік шарты ретінде жазылады.

Бірнеше мысалды қарастырайық.

Мысал.

Түзулер параллель ме? Және ?

Шешім.

Түзу теңдеуін кесінділерде түзудің жалпы теңдеуі түрінде қайта жазамыз: . Енді бұл түзудің нормаль векторы екені анық , және түзудің нормаль векторы. Бұл векторлар коллинеар емес, өйткені теңдігі болатын t нақты саны жоқ. ). Демек, жазықтықтағы түзулердің параллельдігінің қажетті және жеткілікті шарты орындалмайды, сондықтан берілген түзулер параллель емес.

Жауап:

Жоқ, сызықтар параллель емес.

Мысал.

Түзулер мен параллельдер ме?

Шешім.

Түзудің канондық теңдеуін еңісі бар түзудің теңдеуіне келтіреміз: . Әлбетте, және түзулерінің теңдеулері бірдей емес (бұл жағдайда берілген түзулер бірдей болар еді) және түзулердің көлбеулері тең, сондықтан бастапқы түзулер параллель болады.

Жазықтықта түзулердің ортақ нүктелері болмаса, яғни олар қиылыспаса, олар параллель деп аталады. Параллелизмді көрсету үшін арнайы || белгішесін пайдаланыңыз (а || б параллель түзулері).

Кеңістікте жатқан түзулер үшін ортақ нүктелер жоқ деген талап жеткіліксіз – олар кеңістікте параллель болу үшін бір жазықтыққа жатуы керек (әйтпесе олар қисайған болады).

Параллель сызықтардың мысалдары үшін алысқа барудың қажеті жоқ, олар бізді барлық жерде сүйемелдейді, бөлмеде олар қабырғаның төбемен және еденмен қиылысу сызықтары, блокнот парағында қарама-қарсы жиектер және т.б.

Алғашқы екеуінің біріне параллель екі түзу және үшінші түзу параллель болса, екіншісіне параллель болатыны анық.

Жазықтықтағы параллель түзулер планиметрия аксиомалары арқылы дәлелденбейтін тұжырыммен байланысады. Ол факт ретінде, аксиома ретінде қабылданады: жазықтықтың түзу бойында жатпайтын кез келген нүктесі үшін ол арқылы берілгенге параллель өтетін жалғыз түзу болады. Әрбір алтыншы сынып оқушысы бұл аксиоманы біледі.

Оның кеңістіктік жалпылауы, яғни түзу бойында жатпайтын кеңістіктің кез келген нүктесі үшін ол арқылы берілгенге параллель өтетін бірегей түзу бар деген тұжырым параллелизм аксиомасы арқылы оңай дәлелденеді. ұшақ.

Параллель түзулердің қасиеттері

• Екі параллель түзудің кез келгені үшіншіге параллель болса, онда олар өзара параллель болады.

Параллель түзулер жазықтықта да, кеңістікте де осындай қасиетке ие.
Мысал ретінде оның стереометриядағы негіздемесін қарастырайық.

b түзулері а түзуіне параллель болсын.

Барлық түзулер бір жазықтықта жатқан жағдай планиметрияға қалдырылады.

a және b бетта жазықтығына жатады делік, ал гамма - a және c жататын жазықтық (кеңістіктегі параллелизмнің анықтамасы бойынша түзулер бір жазықтыққа жатуы керек).

Бетта және гамма жазықтықтары әртүрлі деп есептесек және бетта жазықтығынан b түзуінде белгілі бір В нүктесін белгілесек, онда В нүктесі арқылы жүргізілген жазықтық пен с сызығы бетта жазықтығымен түзу сызықта қиылысуы керек ( белгілейміз бұл b1).

Егер алынған b1 сызығы гамма жазықтығымен қиылса, онда, бір жағынан, қиылысу нүктесі а-да жатуы керек еді, өйткені b1 бетта жазықтығына жатады, ал екінші жағынан, ол да с-ға тиесілі болуы керек, өйткені b1 үшінші жазықтыққа жатады.
Бірақ параллель a және c түзулері қиылыспауы керек.

Сонымен, b1 түзуі бетта жазықтығына жатуы керек және сонымен бірге а-мен ортақ нүктелері болмауы керек, сондықтан параллелизм аксиомасына сәйкес ол b-мен сәйкес келеді.
c түзуімен бір жазықтыққа жататын және оны қиылыспайтын b түзуімен сәйкес келетін b1 түзуін алдық, яғни b және c параллель.

• Берілген түзуге параллель түзуде жатпайтын нүкте арқылы тек бір ғана түзу өте алады.

• Үшіншіге перпендикуляр жазықтықта жатқан екі түзу параллель.

• Екі параллель түзудің біреуі жазықтықты қиып өтсе, екінші түзу сол жазықтықты қиып өтеді.

• Үшіншінің параллель екі түзуінің қиылысуынан пайда болған сәйкес және көлденең жатқан ішкі бұрыштар тең, бұл жағдайда құрылған ішкі бір жақтылардың қосындысы 180 °.

Қарама-қарсы тұжырымдар да ақиқат, оларды екі түзудің параллелизм белгілері ретінде алуға болады.

Параллель түзулердің шарты

Жоғарыда тұжырымдалған қасиеттер мен белгілер түзулердің параллельдігінің шарттары болып табылады және оларды геометрия әдістерімен дәлелдеуге болады. Басқаша айтқанда, қолда бар екі түзудің параллельдігін дәлелдеу үшін олардың үшінші түзуге параллельдігін немесе бұрыштардың теңдігін, сәйкес немесе көлденең жатқанын және т.б.

Дәлелдеу үшін олар негізінен «қайшылық бойынша» әдісін пайдаланады, яғни түзулер параллель емес деген болжаммен. Бұл болжамға сүйене отырып, бұл жағдайда берілген шарттар бұзылатынын оңай көрсетуге болады, мысалы, көлденең жатқан ішкі бұрыштар тең емес болып шығады, бұл жасалған болжамның дұрыс еместігін дәлелдейді.

1.Егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар параллель болады:

Егер а||вЖәне б||в, Бұл а||б.

2.Егер екі түзу үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда олар параллель болады:

Егер а⊥вЖәне б⊥в, Бұл а||б.

Түзулердің параллелизмінің қалған белгілері екі түзудің үштен бір бөлігінің қиылысында пайда болған бұрыштарға негізделген.

3. Ішкі бір жақты бұрыштардың қосындысы 180° болса, түзулер параллель болады:

Егер ∠1 + ∠2 = 180° болса, онда а||б.

4. Сәйкес бұрыштар тең болса, түзулер параллель болады:

Егер ∠2 = ∠4 болса, онда а||б.

5. Ішкі көлденең жатқан бұрыштар тең болса, түзулер параллель болады:

Егер ∠1 = ∠3 болса, онда а||б.

Параллель түзулердің қасиеттері

Түзулердің параллельдік белгілеріне кері болатын мәлімдемелер олардың қасиеттері болып табылады. Олар екі параллель түзудің үшінші түзумен қиылысуынан пайда болатын бұрыштардың қасиеттеріне негізделген.

1. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда, олардың түзетін ішкі бір жақты бұрыштарының қосындысы 180° болады:

Егер а||б, онда ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысқанда, олардан құрылған сәйкес бұрыштар тең болады:

Егер а||б, онда ∠2 = ∠4.

3. Екі параллель түзудің үшінші түзумен қиылысында олардың көлденеңінен түзетін жатқан бұрыштары тең болады:

Егер а||б, онда ∠1 = ∠3.

Келесі сипат әрбір алдыңғысының ерекше жағдайы болып табылады:

4. Жазықтықтағы түзу екі параллель түзудің біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады:

Егер а||бЖәне в⊥а, Бұл в⊥б.

Бесінші қасиет параллель түзулердің аксиомасы:

5. Берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.

Нұсқау

Дәлелдеуді бастамас бұрын, сызықтардың бір жазықтықта жатқанына және оған сызуға болатынына көз жеткізіңіз. Дәлелдеудің ең қарапайым әдісі – сызғышпен өлшеу әдісі. Ол үшін сызғышты пайдаланып, бір-бірінен мүмкіндігінше алыс бірнеше жерде түзу сызықтар арасындағы қашықтықты өлшеңіз. Егер қашықтық өзгеріссіз қалса, берілген түзулер параллель болады. Бірақ бұл әдіс жеткілікті дәл емес, сондықтан басқа әдістерді қолданған дұрыс.

Үшінші сызықты екі параллель түзуді қиып өтетіндей етіп сызыңыз. Олармен бірге төрт сыртқы және төрт ішкі бұрышты құрайды. Ішкі бұрыштарды қарастырыңыз. Секант сызығы арқылы жататындар айқаспалы деп аталады. Бір жағында жатқандар бір жақты деп аталады. Транспортирдің көмегімен екі ішкі диагональ бұрыштарын өлшеңіз. Егер олар тең болса, онда түзулер параллель болады. Егер күмәніңіз болса, бір жақты ішкі бұрыштарды өлшеп, алынған мәндерді қосыңыз. Бір жақты ішкі бұрыштардың қосындысы 180º тең болса, түзулер параллель болады.

Егер сізде транспортир болмаса, 90º шаршыны пайдаланыңыз. Оны түзулердің біріне перпендикуляр салу үшін пайдаланыңыз. Осыдан кейін бұл перпендикуляр басқа түзуді қиып өтетіндей етіп жалғастырыңыз. Сол шаршыны пайдаланып, бұл перпендикуляр оны қандай бұрышпен қиып жатқанын тексеріңіз. Егер бұл бұрыш та 90º тең болса, онда түзулер бір-біріне параллель болады.

Түзулер декарттық координаталар жүйесінде берілген жағдайда олардың бағыттаушыларын немесе нормаль векторларын табыңыз. Егер бұл векторлар сәйкесінше бір-бірімен коллинеар болса, онда түзулер параллель болады. Түзулер теңдеуін жалпы түрге келтіріп, әрбір түзудің нормаль векторының координаталарын табыңыз. Оның координаталары А және В коэффициенттеріне тең. Қалыпты векторлардың сәйкес координаталарының қатынасы бірдей болған жағдайда олар коллинеар, ал түзулер параллель болады.

Мысалы, түзулер 4x-2y+1=0 және x/1=(y-4)/2 теңдеулерімен берілген. Бірінші теңдеу жалпы формада, екіншісі канондық. Екінші теңдеуді жалпы түрге келтіріңіз. Бұл үшін пропорцияны түрлендіру ережесін қолданыңыз, сонда сіз 2x=y-4 болады. Жалпы түрге келтіргеннен кейін 2x-y + 4 = 0 алыңыз. Кез келген түзу үшін жалпы теңдеу Ax+By+C=0 жазылғандықтан, бірінші түзу үшін: A=4, B=2, ал екінші түзу үшін A=2, B=1. Нормал вектордың бірінші тура координатасы үшін (4;2), ал екіншісі үшін - (2;1). 4/2=2 және 2/1=2 нормаль векторларының сәйкес координаталарының қатынасын табыңыз. Бұл сандар тең, яғни векторлар коллинеар. Векторлар коллинеар болғандықтан, түзулер параллель болады.

Олар қанша уақытқа созылса да, қиылыспайды. Жазбадағы сызықтардың параллельдігі келесідей көрсетіледі: AB|| МЕНЕ

Мұндай сызықтардың болу мүмкіндігі теорема арқылы дәлелденеді.

Теорема.

Берілген түзудің сыртында алынған кез келген нүкте арқылы осы түзуге параллель жүргізуге болады..

Болсын ABбұл сызық және МЕНоның сыртында алынған кейбір нүкте. Мұны дәлелдеу талап етіледі МЕНтүзу сызық салуға болады параллельAB. Келіңіздер ABнүктеден МЕН перпендикулярМЕНDсосын жасаймыз МЕНЕ^ МЕНD, не мүмкін. Түзу CEпараллель AB.

Дәлелдеу үшін біз керісінше деп есептейміз, яғни бұл CEқиылысады ABбір сәтте М. Содан кейін нүктеден Мтүзу сызыққа МЕНDбізде екі түрлі перпендикуляр болар еді МDЖәне ХАНЫМ, бұл мүмкін емес. білдіреді, CEқиылыса алмайды AB, яғни. МЕНЕпараллель AB.

Салдары.

Екі перпендикуляр (CЕЖәнеД.Б.) бір түзуге (CD) параллель.

Параллель түзулер аксиомасы.

Бір нүкте арқылы бір түзуге параллель екі түрлі түзу жүргізу мүмкін емес.

Сонымен, егер түзу сызық болса МЕНD, нүктесі арқылы сызылған МЕНтүзу сызыққа параллель AB, содан кейін кез келген басқа жол МЕНЕсол нүкте арқылы МЕН, параллель бола алмайды AB, яғни. ол жалғастырады қиылысубірге AB.

Бұл анық емес шындықтың дәлелі мүмкін емес болып шығады. Ол қажетті болжам (постулатум) ретінде дәлелсіз қабылданады.

Салдары.

1. Егер Түзу(МЕНЕ) біреуімен қиылысады параллель(БҚ), содан кейін ол екіншісімен қиылысады ( AB), өйткені әйтпесе сол нүкте арқылы МЕНекі түрлі түзу, параллель AB, бұл мүмкін емес.

2. Егер екеуінің әрқайсысы тікелей (АЖәнеБ) бірдей үшінші түзуге параллель ( МЕН) , содан кейін олар параллель боладыөз арамызда.

Шынында да, егер біз мұны болжасақ АЖәне Ббір нүктеде қиылысады М, онда осы нүкте арқылы бір-біріне параллель екі түрлі түзу өтетін еді. МЕН, бұл мүмкін емес.

Теорема.

Егер түзу перпендикулярпараллель түзулердің біріне, онда ол екіншісіне перпендикуляр болады параллель.

Болсын AB || МЕНDЖәне Е.Ф ^ AB.Оны дәлелдеу қажет Е.Ф ^ МЕНD.

ПерпендикулярЕФ, қиылысатын AB, сөзсіз қиылысады және МЕНD. Қиылысу нүктесі болсын Х.

Енді солай делік МЕНDперпендикуляр емес EH. Содан кейін, мысалы, басқа сызық HK, перпендикуляр болады EHжәне сол нүкте арқылы Хекі түзу параллель AB: бір МЕНD, шарты бойынша және басқа HKбұрын дәлелденген. Бұл мүмкін емес болғандықтан, бұлай деп болжауға болмайды БҚперпендикуляр емес еді EH.